2021高考数学二轮复习专题练大题每日一题规范练第二周含解析

大题每日一题规范练

星期一(三角) 2021年____月____日

【题目1】 已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，在①(a ＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ， ②b sin

B ＋C

2

＝a sin B ，

③cos 2A －3cos(B ＋C )＝1这三个条件中任选一个解答下列问题： (1)求A 的大小； (2)若△ABC 的面积S ＝5

3，b ＝5，求sin B sin C 值.

(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选择①.

(1)由正弦定理，得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ， 即a 2－b 2＝c 2－bc . 由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc

＝1

2

. ∵0

3.

(2)由S ＝1

2

bc sin A ＝5

3，b ＝5，A ＝π

3

，得c ＝4.

由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝21.

由正弦定理，得a

sin A ＝2R (R 为△ABC 的外接圆的半径)，

∴(2R )2＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫a sin A 2＝28， ∴sin B sin C ＝bc

（2R ）2＝5

7.

选择②.

(1)由正弦定理，得sin B sin B ＋C

2

＝sin A sin B .

∵sin B ≠0，A ＋B ＋C ＝π，

∴sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－A 2＝sin A ，即cos A 2＝2sin A 2cos A 2.

又cos A 2≠0，∴sin A 2＝1

2

.

∵0

6，即A ＝π

3.

(2)由S ＝1

2

bc sin A ＝5

3，b ＝5，A ＝π

3

，得c ＝4.

由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝21.

由正弦定理，得a

sin A

＝2R (R 为△ABC 的外接圆的半径)，

∴(2R )2＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫a sin A 2

＝28， ∴sin B sin C ＝bc

（2R ）2＝5

7.

选择③.

(1)由cos 2A －3cos(B ＋C )＝1，A ＋B ＋C ＝π， 得2cos 2A ＋3cos A －2＝0.

解得cos A ＝1

2或cos A ＝－2(舍去).

∵0

3.

(2)由S ＝1

2

bc sin A ＝5

3，b ＝5，A ＝π

3

，得c ＝4.

由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝21.

由正弦定理，得a

sin A ＝2R (R 为△ABC 的外接圆的半径)，

∴(2R )2＝

⎝ ⎛⎭

⎪⎫a sin A 2＝28， ∴sin B sin C ＝bc

（2R ）2＝5

7

.

星期二(数列) 2021年____月____日

【题目2】 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1－2，记b n ＝a n S n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵S n ＝2n ＋1－2.

∴当n ＝1时，a 1＝S 1＝21＋1－2＝2. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－2n ＝2n ， 又a 1＝2＝21适合上式， 故a n ＝2n (n ∈N *).

(2)由(1)知b n ＝a n S n ＝2n (2n ＋1－2)＝2·4n －2n ＋1. ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n

＝2(4＋42＋…＋4n )－(22＋23＋…＋2n ＋1)

＝2×4（1－4n ）1－4－4（1－2n ）1－2＝23·4n ＋1－2n ＋2＋4

3

.

星期三(概率与统计) 2021年____月____日

【题目3】 第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行.为宣传冬奥会，让更多的人了解、喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了100名学生的成绩，绘制成如图所示的频率分布直方图：

(1)试根据频率分布直方图估计这100人的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替)； (2)若采用分层抽样的方法从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中共抽取6人，再将其随机地分配到3个社区开展冬奥会宣传活动(每个社区2人)，求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率.

解 (1)平均成绩x －

＝0.02×45＋0.16×55＋0.22×65＋0.30×75＋0.20×85＋0.10×95＝73.00.

(2)由题意知，从成绩在[70，80)，[80，90)，[90，100]的学生中分别选取了3人，2人，1人.

6人平均分成3组分配到3个社区，共有C 26C 24＝90(种)方法. 成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有A 33A 23＝36(种)，

所以“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率p ＝3690＝2

5

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星期四(立体几何) 2021年____月____日

【题目4】 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，PA ＝PD ，∠DAB ＝60°.