高考数学压轴专题2020-2021备战高考《数列》知识点

数学《数列》知识点

一、选择题

1．已知等比数列{a n }，a n ＞0，a 1=256，S 3=448，T n 为数列{a n }的前n 项乘积，则当T n 取得最大值时，n =（ ） A ．8 B ．9

C ．8或9

D ．8.5

【答案】C 【解析】 【分析】

设等比数列{a n }的公比为q ，由a n ＞0，可得q ＞0．根据a 1＝256，S 3＝448，可得256（1+q +q 2）＝448，解得q ．可得a n ，T n ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】

设等比数列{a n }的公比为q ，∵a n ＞0，∴q ＞0． ∵a 1＝256，S 3＝448， ∴256（1+q +q 2）＝448， 解得q 12=

． ∴a n ＝2561

1()2

n -⨯=29﹣n ．

T n ＝28•27•……•2

9﹣n

＝2

8+7+…+9﹣n

()217

289[)89242

2

22

n n n ⎛⎤--- ⎥+-⎝

⎦==．

∴当n ＝8或9时，T n 取得最大值时， 故选C ． 【点睛】

本题考查了等比数列的通项公式与求和公式及其性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

2．设等比数列{}n a 的前n 项和记为n S ,若105:1:2S S =,则155:S S =( ) A ．

34

B ．

23

C ．

12

D ．

13

【答案】A 【解析】 【分析】

根据等比数列前n 项和的性质求解可得所求结果． 【详解】

∵数列{}n a 为等比数列，且其前n 项和记为n S ， ∴51051510,,S S S S S --成等比数列． ∵105:1:2S S =，即1051 2

S S =，

∴等比数列51051510,,S S S S S --的公比为10551

2

S S S -=-， ∴()151010551

1 24

S S S S S -=--=， ∴15510513 44

S S S S =+=， ∴1553:4

S S =． 故选A ． 【点睛】

在等比数列{}n a 中，其前n 项和记为n S ，若公比1q ≠，则233,,,k k k k k S S S S S --L 成等比数列，即等比数列中依次取k 项的和仍为等比数列，利用此性质解题时可简化运算，提高解题的效率．

3．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且

*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列

(){}5n

f ()*

n N ∈的前2020项的和为（ ）

A ．1010

5

1+

B ．1010514-

C ．1010512

-

D ．101051-

【答案】D 【解析】 【分析】

首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】

解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550n

n

n f =-=； 当n 为奇数时，1112

2

2

(5)5

5

45

n n n n f +--=-=⨯，

所以01100920204(555)S =++⋯+，

101051451

-=-g ，

101051=-．

故选：D 【点睛】

本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．

4．已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足6a ，43a ，5a -成等差数

列，则4

2

S S ( ) A ．3 B ．9 C ．10 D ．13

【答案】C 【解析】 【分析】

设{}n a 的公比为0q >，由645,3,a a a -成等差数列，可得2

60,0q q q --=>，解得q ，

再利用求和公式即可得结果. 【详解】

设各项均为正数的等比数列{}n a 的公比为0q >，

Q 满足645,3,a a a -成等差数列，

()

2465446,6,0a a a a a q q q ∴=-∴=->， 260,0q q q ∴--=>，解得3q =，

则

()

()

4124221313131103131

a S S a --==+=--，故选C. 【点睛】

本题主要考查等比数列的通项公式与求和公式，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.

5．已知数列{}n a 是正项等比数列，若132a =，3432a a ⋅=，数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则n S >0时n 的最大值为 （ ） A ．5 B ．6

C ．10

D ．11

【答案】C 【解析】

25251634121

32323222log 62

n n n n a a a q q q a a n --⋅===⇒=⇒=⨯=⇒=-⇒ max (56)

011102

n n n S n n +-=

>⇒<⇒= ，故选C.

6．函数()f x 对任意正整数,a b 满足条件()()()f a b f a f b +=⋅，且()12f =，