系统的状态变量分析

则状态方程和输出方程分别为：
12((tt))
a111(t) a211(t)
a1nn (t) b11x1(t) b1m xm (t) a2nn (t) b21x1(t) b2m xm (t)
n (t) an11(t) annn (t) bn1x1(t) bnm xm (t)
X (s)
Y (s)
H(s)
X (s) H(s) Y (s)
Y(s) H(s)X (s)
例：将下图所示系统的方框图转化成信号流图。
X (s)
解：
s1 • s1 • s1
b1
b2
•
Y (s)
a1 a2 a3
由两个及两个以上的 箭头指向的节点可兼 做加法器。
b1
X (s)
1
s 1
a1
s 1
2 1 La 1 G2H 2
a
1 (G1H1 G2H 2G3H3 G1G2G3H4 ) G1G3H1H3
G1 H1H2H3H5, 1 1
G2 H4H5, 2 1 La 1 G2 H 2
a
H
1
K
GK K
1
(G11
G22 )
H1H2 H3H5 H4 H5 (1 G2 H2 )
上述状态方程和输出方程可以写成矩阵形式：
状态方程： 输出方程：
[n
1] k 1
[ A]kk
[n]k1
[B]km
x[n] m1
y[n] r1 [C]rk
[n] k1 [D]rm
x[n] m1
其中：
1[n 1]
[n
1]
2 [n
L
1]
k
[n
1]
1[n]
[n]
2 [n]
L
c11 c12 L c1k
[C] c21
c22 L
c2k
L
cr1 cr 2 L crk
d11 d12 d1m
[D] d21
d22
d
2
m
dr1 dr 2 drm
12.2 连续系统状态方程的建立
一、 由电路图直接建立状态方程
对于给定电路，通常选电容两端电压和流经电感的电流作 为状态变量。
s 1
输入节点（源点）： a2 a3
只有输出支路的节点。
b2
1
Y (s)
输出节点（阱点）： 只有输入支路的节点。
（2） 信号流图的性质
1.信号只能沿支路箭头方向传输，支路的输出是该支路输入与 支路增益的乘积。
X (s)
如：
H(s)
Y (s)
Y(s) H(s)X (s)
2.当节点有几个输入时，节点将所有输入支路的信号相加，并 将其和传送给与该节点相连的输出节点。
列写回路方程和节点方程
回路1： 回路2：
21(t)
d dt
1(t)
3
(t)
x1(t)
2
(t
)
1 3
d dt
2
(t
)
3
(t
)
x2
(t
)
节点1：
1 2
d dt
3
(t)
1(t)
2
(t)
整理得：
12((tt))
21(t) 3(t) 32 (t) 33(t)
x1(t) 3x2
(t
)
3(t) 21(t) 22 (t)
这是以iL(t)、vC(t) 作为变量的一阶联立微分方程
组，这种描述系统的方法称为系统的状态变量或状态空
间分析法。其中iL(t)、vC(t) 称为状态变量。
n 阶系统有n个状态变量，状态方程是n 个一阶微分方程组。
用状态变量法分析系统的优点：
1）便于研究系统内部物理量的变化
2）适合于多输入多输出系统
GK -------- 由源点到阱点之间的第K条前向通路的增益；
K -------- 第K条前向通路特征行列式的余因子，表示除去与第
K条前向通路接触的环路外余下的特征行列式。
例：求下图所示流图的系统函数。
H4
X
x1
H1 x2 H2 x3 H3
x4 H5
Y
G1 G2 G3
解： 求 La
a
x1 x2 x1 环路：L1 G1H1
1[n 1] a111[n] L a1k k [n] b11x1[n] L b1m xm[n]
2 [n
1] L
a211[n]
L
a2k k [n] b21x1[n] L
b2m xm[n]
k [n 1] ak11[n] L akk k [n] bk1x1[n] L bkm xm[n]
x3''
4.给定系统，信号流图并不惟一。
dy(t) dt
a0
y(t)
b1
dx(t) dt
b0
x(t)
b1
b1
x(t) 1
s 1
b0
1 y(t) x(t) 1
b0
s 1
a0
a0
5.流图转置以后，其转移函数保持不变。
1 y(t)
（3） 信号流图的梅森公式
梅森公式：
H 1
K
GK K
1 La LbLc Ld LeLf
独立的
例12-1：给定下图所示电路，列写状态方程。
1H
1/3H
2
+ x1(t)
-
1(t)
1/2F
i1(t)
iC 2 (t) +- 3(t)
i2(t)
1
+ x2(t) -
2
+ x1(t)
-
1H 1 1/3H
1(t)
1/2F
i1(t)
iC 2 (t) +- 3(t)
i2(t)
1
+ x2(t) -
解：选电感中电流和电容两端电压作为状态变量
求 LbLc
b,c
只有一对两两互不接触的环路：x1 x2 x1 与 x3 x4 x3
L1L3 G1G3H1H3, 即
LbLc G1G3H1H3
b,c
没有三个及三个以上都不接触的 环路，所以，
1 La LbLc
a
b,c
1 (G1H1 G2H 2G3H3 G1G2G3H4 ) G1G3H1H3
r 个输出信号： y1[n], y2[n], L , yr[n]
则状态方程和输出方程分别为：
1[n 1] a111[n] L a1k k [n] b11x1[n] L b1m xm[n]
2 [n
1] L
a211[n]
L
a2k k [n] b21x1[n] L
b2m xm[n]
k [n 1] ak11[n] L akk k [n] bk1x1[n] L bkm xm[n]
表示成矩阵形式为：
k
[n]
x1[n]
x[n]
x2
[n]
L
xm[n]
y1[n]
y[n]
y2
[
n]
L
yr [n]
a11 [ A] a21
L ak1
a12 L a1k
a22 L
a2k
ak 2 L akk
b11 b12 L b1m
[B] b21
b22 L
b2m
L
bk1 bk 2 L bkm
不关心系统内部变量的变化情况，只对输出变量y(t)感 兴趣，这种方法称为端口方法或输入输出分析法。
x(t)
RiL
(t)
L
d dt
iL
(t)
vC
(t)
C
d dt
vC
(t)
iL
(t)
x(t )
d dt
iL (t)
R L
iL (t)
1 L
vC
(t )
1 L
x(t )
d
dt
vC
(t )
1 C
iL (t)
n (t)
x1(t)
[ x(t )]
x2
(t )
xm (t)
y1(t)
[
y (t ) ]
y2
(t )
yr
(t
)
a11 a12 a1n
[ A] a21
a22
a2
n
an1
an2
ann
c11 c12 c1n
[C] c21
c22
c2n
cr1 cr 2 crn
12.1 引言
系统函数
1、经典的线性系统理论 系统外部特性
单输入单输出系统
状态变量 2、状态变量分析 系统内部特性
多输入多输出系统
x(t)
d2 dt 2
vC
(t)
2
d dt
vC
(t)
2 0
vC
(t)
2 0
x(t
)
R 2L
,0
1 LC
x(t) (x[n])
微分方程 （或差分方程）
y(t) (y[n] )
系统的状态变量分析
补充：11.6 信号流图
• 系统的框图
三种基本单元的方框图及运算功能
x1 (t )
X1(s)
y(t) x1(t) x2 (t) Y(s) X1(s) X2(s)
x2 (t) X 2 (s)
x(t) X (s)
x(t)
a
y(t) ax(t)
Y (s) aX (s)
或
a
y(t) ax(t)
（a) 加法器
（b) 数乘器
t
x(t)
1
y(t) x( )d
P
X (s) 1s1 y(0 ) Nhomakorabeas
Y (s) 1 X (s) 1 y(0 )
s
s
(c) 积分器（时域表示）
积分器（s域表示）
• 信号流图 （1） 信号流图的获得
系统的信号流图，就是用一些点和线段来表示系统。
x1 H 14
x5
x2
H 24 H 34
x3
x4 H 45 H 46 x6
x4 H14 x1 H 24 x2 H34 x3 x5 H 45 x4 x6 H 46 x4
3.具有输入和输出支路的混合节点，通过增加一个具有单位传 输增益的支路，可以将它变成输出节点。
x1
a x2 b
c
d 1
x3'
H4
X
x1
H1 x2 H2 x3 H3
x4 H5
Y
G1 G2 G3
再求其它参数。
第一条前向通路：X x1 x2 x3 x4 Y
G1 H1H2H3H5, 由于各环路都与该前向通路都接触，所以
1 1 第二条前向通路：X x1 x4 Y G2 H4H5, 由于环路 x2 x3 x2与该前向通路不接触，所以
其中 (t) 为状态变量(t) 的一阶导数。
y1(t) c111(t) c1nn (t) d11x1(t) d1m xm (t)
y2
(t
)
c211
(t
)
c2nn (t) d21x1(t)
d2m xm (t)
yr (t) cr11(t) crnn (t) dr1x1(t) drm xm (t)
y1[n] c111[n] L c1k k [n] d11x1[n] L d1m xm[n]
y2[n] L
c211[n]
L
c2k k [n] d21x1[n] L
d2m xm[n]
yr [n] cr11[n] L crk k [n] dr1x1[n] L drm xm[n]
y1[n] c111[n] L c1k k [n] d11x1[n] L d1m xm[n]
y2[n] L
c211[n]
L
c2k k [n] d21x1[n] L
d2m xm[n]
yr [n] cr11[n] L crk k [n] dr1x1[n] L drm xm[n]
1 G1H1 G2 H2 G3H3 G1G2G3H4 G1G3H1H3
第12章 系统的状态变量分析
12.1 引言 12.2连续时间系统状态方程的建立 12.4离散时间系统状态方程的建立 12.3连续时间系统状态方程的求解 12.5离散时间系统状态方程的求解 12.6由状态方程判断系统的稳定性
b11 b12 b1m
[B] b21
b22
b2m
bn1 bn2 bnm
d11 d12 d1m
[D] d21
d22
d
2
m
dr1 dr 2 drm
（2） 离散系统状态方程和输出方程的一般形式
设系统有k个状态变量： 1[n], 2[n], L , k[n]
m个输入信号： x1[n], x2[n], L , xm[n]
3）也适用于非线性系统或时变系统
4）便于分析系统的稳定性
5）便于采用数值解法，为计算机分
析系统提供了有效途径
（1） 连续系统状态方程和输出方程的一般形式
设系统有n个状态变量： 1(t), 2 (t), , n (t)
m个输入信号： x1(t), x2 (t), , xm (t) r 个输出信号： y1(t), y2 (t), , yr (t)
a
b,c
d,e, f --------- 信号流图的特征行列式
La -------- 所有不同环路的增益之和；
a
LbLc -------- 所有两两互不接触环路的增益乘积之和；
b,c
Ld LeLf -------- 所有三个都互不接触环路的增益乘积之和；
d ,e, f
K -------- 由源点到阱点之间的第K条前向通路的标号；
x2 x3 x2 环路：L2 G2H2 x3 x4 x3 环路：L3 G3H3 x1 x4 x3 x2 x1 环路：L4 G1G2G3H4
La (G1H1 G2H 2 G3H3 G1G2G3H 4 )
a
H4
X
x1
H1 x2 H2 x3 H3
x4 H5
Y
G1 G2 G3
上述状态方程和输出方程可以写成矩阵形式：
状态方程：[(t)]n1 [ A]nn[ (t)]n1 [B]nm[x(t)]m1
输出方程：[ y(t)]r1 [C]rn[(t)]n1 [D]rm[x(t)]m1
其中：
[(t ) ]
12((tt))
n (t)
1(t) [(t)] 2 (t)