指数与指数函数A

指数与指数函数
学完本节你可以：
1、了解指函数模型的实际背景．
2、理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
3、理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，并运用指数函数的性质解题． 知识点总结： 根与幂的运算 1．根式
(1)n 次方根的定义：若x n
＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1，且n ∈N ＋，式子n
a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)n 次方根的性质：
①一个数a 的奇次方根只有一个，即n
a (n 为奇数，a ∈R)．
②一个正数a 的偶次方根有两个，即±n
a (n 为非零偶数)，0的偶次方根为0，负数没有偶次方根． (3)两个重要公式
①n a n ＝ (n 为偶数)；
②(n
a )n
＝ a (n ＞1，且n ∈N ＋)(注意a 必须使n
a 有意义)． (4)有理指数幂的运算性质
①a r a s
＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； ②(a r )s ＝ (a ＞0，r ，s ∈Q)； ③(ab )r ＝ (a ＞0，b ＞0，r ∈Q)． ④p
a
-= （0a ≠）
= （0,0m n >>） ⑥n
m
a = （0,0m n >>） (5)无理指数幂
一般地，无理指数幂a α
(a ＞0，α是无理数)是一个确定的实数，有理指数幂的运算法则同
(),0,,0a a a n a a a ⎧
⎪⎪≥⎧⎨⎪=⎨
⎪-<⎪⎪⎩⎩
为奇数
样适用于无理指数幂．指数函数的图象和性质
注：1．指数函数图象的三个关键点
画指数函数图象时应抓住图象上的三个关键点：(1，a )，(0,1)，(－1，1
a
)．
2．不同底指数函数的比较． 在第一象限图象从下至上底数依次变大． 考点分析：
考点一 指数式的化简与求值
例1. 计算下列各式（式中字母都是正数）
2115113
3
6
6
2
2
(1)(2)(6)(3);a b a b a b -÷- 31884
(2)().m n
解析：21152111151103366326
236
22(1)(2)(6)(3)[2(6)(3)]44a b a b a b a b
ab a ++++-÷-=⨯-÷-==
33112
8
8
3
3
3
884
43(2)()
()()m m n m n m n n
-
-==•=
【答案】（1）4a （2）2
3m n
变式训练1
（1）计算下列各式：
⑴
⑵
1
11
34
4
21
3
243(,0)6a a b a b a b ---
⎛⎫- ⎪
⎝⎭>-． 解析：⑴ 5=；
⑵ 111
34
4
11112144233321
3
243226a a b a b ab a b -⎛⎫⎛⎫+----- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
--
⎛⎫- ⎪⎝⎭==-． （2）写出使下列等式成立的x 的取值范围
5)5()25)(5(2+-=--x x x x
解析： ∵22(5)(25)(5)(5)55x x x x x x --=-+=-+
∴55(5)5x x x x -+=-+成立的充要条件是 50x +=或5055x x x +>⎧⎨
-=-⎩
，即5x =-或5
50x x >-⎧⎨-≤⎩ ∴x 的取值范围是[]55-，
【答案】 []55-，
考点二 指数函数的图像性质
例2. 如图的曲线C 1、C 2、C 3、C 4是指数函数x
y a =的图象，而12,
,3,2a π⎧⎫⎪⎪
∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭
，则图
象C 1、C 2、C 3、C 4对应的函数的底数依次是________、________、________、________． 【答案】
22 1
2
π 3 【解析】由底数变化引起指数函数图象的变化规律可知，C 2的底数＜C 1的
底数＜C 4的底数＜C 3的底数． 变式训练2
（1）设()|31|x
f x =-，c ＜b ＜a 且()()()f c f a f b >>，则下列关系式中一定成立的是（ ）
A ．33c b <
B ．33c b >
C ．332c a +>
D ．332c a
+< 【答案】D
（2）为了得到函数935x
y =⨯+的图象，可以把函数3x
y =的图象( )
A ．向左平移9个单位长度，再向上平移5个单位长度
B ．向右平移9个单位长度，再向下平移5个单位长度
C ．向左平移2个单位长度，再向上平移5个单位长度
D ．向右平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度 【答案】C
【解析】注意先将函数935x
y =⨯+转化为2
3
5x y +=+，再利用图象的平移规律进行判断．
∵2
9353
5x
x y +=⨯+=+，∴把函数3x y =的图象向左平移2个单位长度，再向上平
移5个单位长度，可得到函数935x
y =⨯+的图象，故选C ． 考点三 利用指数函数解不等式及比较大小 例3（1）判断下列各数的大小关系：
(1)1.8a
与1.8a+1
； (2)2
4
-231(),3,()33
1
(3)22.5
，(2.5)0
， 2.5
1(
)2
(4)23(0,1)a a a a >≠与 【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。

【答案】（1）1.8a
<1.8a+1
（2）2-24311()<()<333 （3） 2.50 2.5
1()<(2.5)<22
（4）当a>1时，23a a <，当0<a<1时，23
a a >
【解析】
(1)因为底数1.8>1，所以函数y=1.8x
为单调增函数，
又因为a<a+1，所以1.8a <1.8a+1
.
(2)因为44
133-⎛⎫= ⎪⎝⎭，又13x y ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
是减函数，所以-4
2-23111()<()<333⎛⎫ ⎪⎝⎭，即
2-24311
()<()<333
． (3)因为 2.521>， 2.5
112⎛⎫< ⎪⎝⎭
，所以 2.50 2.5
1()<(2.5)<22
(4)当a>1时，23a a <，当0<a<1时，23
a a >．
例3（2）如果21
5x x a
a +-≤（0a >，且1a ≠），求x 的取值范围．
【答案】当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤- 【解析】（1）当01a <<时，由于21
5x x a
a +-≤，
215x x ∴+≥-，解得6x ≥-．
（2）当1a >时，由于21
5x x a
a +-≤，
215x x ∴+≤-，解得6x ≤-．
综上所述，x 的取值范围是：当01a <<时，6x ≥-；当1a >时，6x ≤-．
变式训练3
（1）利用函数的性质比较122，133，16
6
【答案】133>122>16
6 【解析】122=3113666
2(2)8== 121123
6
6
6
33(3)9=== 作出8,9,6x
x
x
y y y ===的图象知 986x
x
x
y y y =>=>=
所以13
3>12
2>16
6
（2）比较1.5-0.2
， 1.30.7
， 1
32
()3
的大小.
【答案】7.02
.031
3.15
.1)3
2(<<- 【解析】先比较31
512.02
.0)32()32()23(5
.1与==--的大小.由于底数3
2
∈(0，1)， ∴ x y )32(=在R 上是减函数，∵ 05
1
31>>， ∴ 1)32()32()32(0051
31
=<<<，再考虑指数
函数y=1.3x
， 由于 1.3>1， 所以y=1.3x
在R 上为增函数 1.30.7
>1.30
=1， ∴
7.02.031
3.15.1)3
2
(<<-. 考点四 指数函数的综合应用 例4（1）求函数232
3
x x y -+-=的单调区间及值域.
【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3
[,)2
x ∈+∞上单减. 1
4(0,3]
【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2
+3x-2， y=3u
；
[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域.
设u=-x 2+3x-2， y=3u
，
其中y=3u
为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2
x ∈-∞上单增，
u=-x 2
+3x-2在3[,)2
x ∈+∞上单减，
则2
32
3x
x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2
x ∈+∞上单减.
又u=-x 2
+3x-22311
()244
x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为1
4(0,3].
例4（2）设a 是实数，()2
21
x f x a =-
+ (x ∈R) (1)试证明对于任意()af x 为增函数； (2)试确定a 值，使()f x 为奇函数.
解析：(1)设1212x x R x x ∈<，，
且 则()()1
212222121x x f x f x a a ⎛
⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ =
1
22
1221
2+-+x x
=)
12)(12()22(221
21++-x x x x 由于指数函数2x y =在R 上是增函数，且12x x <,所以21
22x x <即1
2
220x x -<
又由20x >得1210x +>，2210x +> 所以()()120f x f x -< 即()()12f x f x <
因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，f (x )为增函数. (2)若f (x )为奇函数，则()()f x f x -=-
即22
()2121x x a a --
=--++ 变形得:
222
2(21)221
x x x x a -⋅=++⋅+
=1
2)12(2++x
x 解得1a =
所以当1a =时，()f x 为奇函数.
变式训练4
（1） 已知函数2
()()1
x x a
f x a a a -=
--，其中0a >，1a ≠． ⑴判断函数()f x 的奇偶性；
⑵判断函数()f x 的单调性，并证明．
解析：2
()()()1x x a
f x a a f x a --=
-=--，∴()f x 为奇函数 ⑵法一：
若1a >，则210a ->，有201
a
a >-，
又101a <<，且1
()x x a a -=，
∴x a -单调递减 ，∴x a --单调递增 ∵x a 单调递增，
∴x x a a --单调递增，由201a a >-可知2()1
x x a
a a a ---单调递增
若01a <<，则210a -<，有201
a
a <-，
又11a
>，且1
()x x a a -=，
∴x a -单调递增，∴x a --单调递减 ∴x a 单调递减，
∴x x a a --单调递减，由201a a <-可知2()1
x x a
a a a ---单调递增
综上，不论01a << 还是1a >，()f x 在R 上为增函数． 法二：
设12x x <，则2211212()()()1
x x x x a
f x f x a a a a a ---=--+-
若1a >，有210x x a a ->，120x x a a --->，且210a ->， ∴21()()f x f x >，∴()f x 为增函数
若01a <<，有210x x a a -<，120x x a a ---<，且210a -<， ∴21()()f x f x >，∴()f x 为增函数
【答案】增函数
（2） 已知函数()x f x b a =(其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B(3,24).
(1)求()f x ；
(2)若不等式1123x
x
m ⎛⎫⎛⎫
+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在()1x ∈-∞，时恒成立，求实数m 的取值范围.
解析：把A (1,6)，B(3,24)代入()x f x b a =，得
3
624.
ab
b a =⎧⎨=⋅⎩ 结合2
003a a a b =⎧>≠⎨=⎩
且，解得： ∴()32x f x =.
(2)要使1123x
x
m ⎛⎫⎛⎫
+≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在(－∞，1]上恒成立，
只需保证函数1123x
x
y ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在(－∞，1]上的最小值不小于m 即可.
∵函数1123x
x y ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在(－∞，1]上为减函数，
∴当1x =时，1123x x
y ⎛⎫⎛⎫
=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
有最小值56.
∴只需5
6
m ≤
即可. 【答案】56
m ≤
家庭作业
1.下列个函数中，是指数函数的是（ ）
A.(3)x y =-
B.3x y =-
C. 1
3x y -= D. 3x
y =
解析： D 根据指数函数的概念判断。

2．若函数()f x 与1()2x
g x ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
的图象关于y 轴对称，则满足()1f x >的x 的取值范围是
（ ）
A. R
B.(),0-∞
C. ()0,+∞
D. ()1,+∞
解析：C 因为函数()f x 与1()2x
g x ⎛⎫= ⎪⎝⎭
的图象关于y 轴对称，所以()2x
f x =，()1f x >，
即0212x >=，所以0x >。

故选C 。

3．若10x -<<，则下列各不等式成立的是（ ） A.2
20.2x
x x -<< B. 20.22x x x -<< C. 0.222x x x -<< D. 220.2x x x -<<
解析：D 用特殊值法：取12
x =-，
则12222x x --===
，0.2x
=，因
为
2
<<，故选D 。

4.函数(
)
2
()1x
f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A.1>a B.2<a
C.a <
1a <<解析：D 因为函数()f x 是R 上的减函数，所以2
011a <-<，所以2
12a <<
，即
1||a <<。

5. 已知定义在R 上的奇函数()f x 和偶函数()g x 满足()()2x
x
f x
g x a a
-+=-+
()0,1a a >≠且，若(2)g a =，则(2)f =（ ）
A. 2
B.
154 C. 174
D. 2
a 解析：B 因为()()2x
x
f x
g x a a
-+=-+（1），所以()()2x x
f x
g x a a --+-=-+，又()
f x 为奇函数，()
g x 为偶函数，所以()()2x
x f x g x a
a --+=-+（2），有（1）、（2）得：
(),()2x x f x a a g x -=-=。

2215
(2),2,(2)224
g a a f -=∴=∴=-=。

6.已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b
>；(3)b
a 1
1<；(4)11
33a b >；
(5)1133a b
⎛⎫⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
中恒成立的有（ ）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个 解析：C （2）（4）（5）正确，其余错误。

7.函数2121
x x y -=+是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C. 既是奇函数又是偶函数
D.非奇非偶函数
解析：A 因为211221
()()211221
x x x x
x
x f x f x ------===-=-+++，故()f x 为奇函数。

8.已知01,1a b <<<-，则函数x
y a b =+的图像必定不经过（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析：A 取特殊值法，取1,22a b ==-，所以得函数y =122x
⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，由图象平移的知识知，
函数y =122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象是由函数y =12x
⎛⎫
⎪⎝⎭
的图象向下平移两个单位得到的，故其图象一定
不过第一象限。

9．当[]1,1x ∈-时，()32x
f x =-的值域为 。

解析：5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
因为[]1,1x ∈-，则
1333x ≤≤，即5
3213
x -≤-≤。

10．设函数()()()x
x
f x x e ae x R -=+∈是偶函数，则实数a 的值是 。

解析：-1 取特殊值法 因为函数()f x 为偶函数，所以(1)(1)f f -=，即
()11e ae e ae ---+=+，1a
ae e e e
∴--=+，221ae e a ∴--=+，()()2110a e ∴++=
，
210e +≠，∴10a +=，∴1a =-。

11.设函数[)2
2,(,1)
(),,1,x
x f x x x -⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩
若()4f x >，则x 的取值范围是_________. 解析：()
,2(2,)-∞-+∞，()4,f x >当1x <时，
由24x
->可知，2x <-；当1x ≥时，由2
4x >可知，2x >，∴ 2x >或 2x <-.
12.函数2
233x y -=的单调递减区间是_______________.
解析：()0,+∞，令23,23U y U x ==-， ∵3U y =为增函数，∴2233x y -=的单调递减区间为()0,+∞.
13．比较下列各题中两个数的大小：
（1）0.80.73,3；（2）0.10.10.75,0.75
-； （3）已知4477a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，比较,a b 的大小。

解析：（1）
3x y =是R 上的增函数，0.70.8<，0.70.833∴<。

（2）0.75x y =是R 上的减函数，0.1
0.10.10.1;0.750.75->-∴<。

（3）设函数4()7x y =，它在实数集上是减函数，44,77a b a b ⎛⎫⎛⎫>∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

14.已知函数22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭
，求其单调区间及值域. 解析：令13U y ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，225U x x =++，则y 是关于U 的减函数，而U 是(),1-∞-上的减函数，()1,-+∞上的增函数，∴22513x x y ++⎛⎫
= ⎪⎝⎭
在(),1-∞-上是增函数，而在()1,-+∞上是减函数，又∵2225(1)44U x x x =++=++≥， ∴22513x x y ++⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为410,3⎛⎤⎛⎫ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎥⎝⎦
. 15.已知函数1()(1)1
x x a f x a a -=>+， (1)判断函数的奇偶性；
(2)求该函数的值域；
(3)证明()f x 是R 上的增函数.
解析：（1）∵定义域为x R ∈，且11()(),()11x x
x x a a f x f x f x a a
-----===-∴++是奇函数； （2）1222()1,11,02,111
x x x x x a f x a a a a +-==-+>∴<<+++∵即()f x 的值域为()1,1-；
（3）设12,x x R ∈，且12x x <，
12121212121122()()011(1)(1)
x x x x x x x x a a a a f x f x a a a a ----=-=<++++(∵分母大于零，且12x x a a <) ∴()f x 是R 上的增函数.。