惯性矩及惯性积

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01-极惯性矩惯性矩惯性积课件

极惯性矩惯性矩惯性积
二、极惯性矩
IP
2dA
A
2 z2 y2
所以 I P I z I y
z
dA
z
O
y
y
对于圆形对圆心的极惯性矩自己课下推导。
极惯性矩惯性矩惯性积
三、惯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ积
I yz
yzdA
A
1.惯性矩的数值恒为正，惯性
积则可能为正值，负值，也
可能等于零；
z
dA dA z y
y
2.若y，z 两坐标轴中有一个为截面的对称轴，则截面对y，z轴的惯性积一定等于零。
极惯性矩惯性矩惯性积
四、惯性半径
iy
Iy A
iz
Iz A
极惯性矩惯性矩惯性积
极惯性矩惯性矩惯性积
一、惯性矩(面积的二次矩）
I y
z 2dA
A
Iz
y 2dA
A
z
z
O
y
dA y
极惯性矩惯性矩惯性积
例题
I y
z 2dA
A
h/2 z2bdz h/2
z
dA z
yh
b h/2 z2dz h/2 3
bh 12
b
对于三角形、圆形对自身形心轴的惯性矩自己课下推导。

M02资_惯性矩和惯性积的平行移轴定理

第5章平面的几何性质 5
材料力学
本章主要内容
§5–1 面积矩与形心位置惯性矩、惯性积、 §5–2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 §5–3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 §5–4 惯性矩和惯性积的转轴定理、截面的主惯性轴和主惯性矩
材料力学
§5-1 静矩与形心位置
一、面积（对轴）矩：(与力矩类似) 面积（对轴） y 是面积与它到轴的距离之积。
I AB = I x + d 2 A=
π d 4 π d 4 5π d 4
64 + 4 = 64
材料力学
§5 - 4
惯性矩和惯性积的转轴定理、惯性矩和惯性积的转轴定理、截面的主惯性轴和主惯性矩
y y1 x1
一、惯性矩和惯性积的转轴定理
x 1 = x cos α + y sin α y 1 = − x sin α + y cos α
i i
1
1
2
A2
A
A1 + A2
x
5×(−70×110) = =−20.3 120×80−70×110
图(b)
材料力学
§5 - 2
惯性矩、惯性积、惯性矩、惯性积、极惯性矩
是面积与它到轴的距离的平方之积。
与转动惯量类似）一、惯性矩：(与转动惯量类似）惯性矩：与转动惯量类似
I x =∫ y dA
tg2 0=− α IxC−I yC
2IxC yC
形心主惯ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ矩：
IxC+I yC 2 2 IxC0 IxC+I yC ± ( ) +IxCyC = 2 2 I yC0
材料力学
3.求截面形心主惯性矩的方法 ①建立坐标系 ②计算面积和面积矩 ③求形心位置

惯性积和惯性矩

§1 Inertia product and principal moment of inertia 惯性积与主惯性矩
§1 Inertia product and principal moment of inertia 惯性积与主惯性矩
Inertia product 惯性积 Parallel axis theorem of inertia product 惯性积平行轴定理 Stress transformation equations and principal moment of inertia
I y1z1 I y Iz 2 I y1 I y I z I y I z cos2 I z1 2 2 I yz sin2 sin2 I yz cos2
：始边y轴，为正
I y1 I z1 I y I z I p
Principal axes and principal moment of inertia 主轴与主惯性矩 I y Iz I yz sin2 I yz cos2 0 2 2 I yz tan2 主形心轴 Iz I y 满足惯性积为零的坐标轴－主轴记为 y , z
Stress transformation equations and principal moment of inertia 转轴公式与主惯性矩转轴公式
建立 I yz 与 I y1z1 的关系
y1 ycos zsin
z1 zcos ysin
I y1z1 A ( ycos zsin )( zcos ysin )dA
二者平行
算例
试计算惯性积 Iyz
I y0 z0 0
yC 20 mm zC -10 mm

不规则平面形之静矩,重心,惯性矩及惯性积之新计算法

不规则平面形之静矩,重心,惯性矩及惯性积之新计算法
静矩，截面上所有点坐标值的代数和；静矩大小可能为正，也可能为负，其大小与坐标系位置有关。

静矩的量纲是长度的三次方。

可用于计算截面形心。

截面对某轴的静矩为零，则该轴必过形心，截面对一个坐标系的两个轴的静矩都为零，则该坐标系原点为形心。

过某点取坐标系，当截面对该坐标系的惯性积等于零时，这一对坐标系称为主惯性轴，简称主轴。

通过截面形心的主惯性轴称为形心主惯性轴，截面对该轴的惯性矩称为形心主惯性矩。

由平行移轴公式可知，截面对过形心主惯性轴的惯性矩是截面对所有坐标系惯性矩中最大和最小的两个惯性矩。

惯性矩：截面上所有点至坐标轴距离平方的和，可反映截面上的点相对于轴的分布情况。

惯性矩可用于计算纯弯曲变形杆截面上的正应力。

极惯性矩始终大于0，其大小与坐标系位置有关。

极惯性矩的量纲是长度的四次方。

截面上离轴心较远的点越多，截面对轴心的极惯性矩越大，截面抵抗扭转变形的能力越强。

惯性积，截面上所有点横纵坐标之积的和。

惯性积大小可能为正，也可能为负，其大小与坐标系有关。

惯性积的量纲是长度的四次方。

惯性矩、极惯性矩、惯性积的计算公式
中的被积函数都是二次项，因此统称为二阶矩；静矩计算公式中的被积分项是一次项，因此称为一阶矩。

截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴

2
对于复杂形状，可以采用微元法或积分法计算其惯性矩。
3
在工程实践中，常常使用软件或计算器进行惯性矩的计算，以提高计算效率和精度。
04
CATALOGUE
惯性积
惯性积的定义
惯性积是截面的一种几何属性，用于描述截面的形状和大小。
惯性积是一个标量，表示截面在某个方向上的投影面积与该方向上单位长度的平方之比。
02
利用三维坐标系中的点坐标和方向向量，通过向量的外积计算得到截面的法向量和面积向量，进而计算惯性积。
03
利用计算机图形学中的几何算法，通过计算截面的顶点坐标和法线向量，实现惯性积的精确计算。
05
CATALOGUE
平行移轴
平行移轴的定义
一个方向上的直线，可以是实线或虚线。
在三维空间中，与某一平面相交的平面。
中性轴
通过截面形心并与形心轴垂直的轴线。
惯性矩的性质
01
惯性矩与截面的形状和大小有关，形状相同但尺寸不同的截面具有不同的惯性矩。
02
惯性矩具有方向性，与中性轴的位置有关。
对于矩形、圆形、椭圆形等简单形状，其惯性矩可以通过公式
03
直接计算。
惯性矩的计算方法
1
对于简单形状，如矩形、圆形、椭圆形等，可以直接使用公式计算其惯性矩。
截面的几何性质
目录
• 截面的定义与性质 • 面积矩 • 惯性矩 • 惯性积 • 平行移轴
01
CATALOGUE
截面的定义与性质
截面的定义
截面定义
截面是指通过一个平面与一个三维物体相交，所形成的交线或交面。这个平面可以是垂直的、倾斜的或与三维物体表面平行。
截面的形状

第7章-惯性矩与惯性积

形心：截面图形的几何中心。质心是针对实物体而言的，而形心是针对抽象几何体而言的，对于密度均匀的实物体，质心和形心重合。
xC xdA
A
A
yC

A
ydA A
（10-1）
静矩：面积对某轴的一次矩。一般用S来表示。
S x ydA
A
S y xdA
A
（10-2）
1
建筑力学
S x yC A
上式说明，截面图形对任一轴的惯性矩，等于图形对其平行的形心轴的惯性矩加上两轴间距离的平方与图形面积之积；而截面图形对于任意一对互相垂直轴的惯性积，等于图形对于与其平行的一对形心轴的惯性积加上图形形心坐标与其面积之积。
8
[例] 试计算截面对水平形心轴yc的惯性矩。
z
10
单位：mm ①
125 C1
I
2 I 4 I y z yz 2 2 I 4 I y z yz 2
tg 2 p
2 I yz Iy Iz
I
形心主惯性轴和形心主惯性矩的计算步骤：
(1) 确定组合截面形心的位置；
(2) 计算通过截面形心的一对坐标轴yc与zc的惯性矩Iyc 、 Izc 和惯性积Iyczc ； (3) 通过转轴公式确定形心主惯性轴的方位角α，并计算
10
建筑力学
7.4 主惯性轴和主惯性矩
z y z
dA
I y1 I z1
Iy Iz 2 Iy Iz 2 Iy Iz 2

I y Iz 2 Iy Iz 2
cos 2 I yz sin 2 cos 2 I yz sin 2
o
y
I y1z1

截面的几何性质面积矩惯性矩惯性积平行移轴公式

HOHAI UNIVERSITY
1
HOHAI UNIVERSITY
2
HOHAI UNIVERSITY
例1 求如图矩形Sz和Sy
解：Sz
ydA
A
ah
ybdy
a
bh(a h) 2
A yC
同样地
Sy
bh(d
b) 2
A
zC
z b/2 b/2 a
y h/2
h/2
dy
y
d
3
HOHAI UNIVERSITY
解： A1 15050mm 2 A2 18050mm 2
150
A3 250 50mm 2
50
C1
yC1 255mm yC2 140mm
5c0
C2
yC3 25mm zC1 zC2 zC3 0
50
C3
z
yC
A1
yC1 A2 yC2 A1 A2 A3
A3
yC 3
250
y
15050 255 18050140 25050 25 mm 15050 18050 25050
i=1
同理
n
Iz =∑ Izi
i=1
n
Iyz =∑ Iyzi
i=1
12
HOHAI UNIVERSITY
例5 图示矩形中，挖去两个直径为d 的圆形，求余下图形对z轴的惯性矩。
b/2 b/2
z
Iz
1 bh3 12
5 d 4
32y13HOHAI UNIVERSITY
14
HOHAI UNIVERSITY
作业题求图示工字形截面对z轴的惯性矩。
b d
z
15

惯性矩总结(含常用惯性矩公式)

惯性矩就是一个物理量,通常被用作描述一个物体抵抗扭动,扭转得能力。

惯性矩得国际单位为(m^4)。

工程构件典型截面几何性质得计算2、1面积矩1.面积矩得定义图2-2、1任意截面得几何图形如图2-31所示为一任意截面得几何图形(以下简称图形)。

定义:积分与分别定义为该图形对z轴与y轴得面积矩或静矩,用符号S z与S y,来表示,如式(2—2、1)(2—2、1)面积矩得数值可正、可负,也可为零。

面积矩得量纲就是长度得三次方,其常用单位为m3或mm3。

2.面积矩与形心平面图形得形心坐标公式如式(2—2、2)(2—2、2)或改写成,如式(2—2、3)(2—2、3)面积矩得几何意义:图形得形心相对于指定得坐标轴之间距离得远近程度。

图形形心相对于某一坐标距离愈远,对该轴得面积矩绝对值愈大。

图形对通过其形心得轴得面积矩等于零;反之,图形对某一轴得面积矩等于零,该轴一定通过图形形心。

3.组合截面面积矩与形心得计算组合截面对某一轴得面积矩等于其各简单图形对该轴面积矩得代数与。

如式(2—2、4)(2—2、4)式中,A与y i、z i分别代表各简单图形得面积与形心坐标。

组合平面图形得形心位置由式(2—2、5)确定。

(2—2、5)2、2极惯性矩、惯性矩与惯性积1.极惯性矩任意平面图形如图2-31所示,其面积为A。

定义:积分称为图形对O点得极惯性矩,用符号I P,表示,如式(2—2、6)(2—2、6)极惯性矩就是相对于指定得点而言得,即同一图形对不同得点得极惯性矩一般就是不同得。

极惯性矩恒为正,其量纲就是长度得4次方,常用单位为m4或mm4。

(1)圆截面对其圆心得极惯性矩,如式(2—7)(2—2、7)(2)对于外径为D、内径为d得空心圆截面对圆心得极惯性矩,如式(2—2、8)(2—2、8)式中,d/D为空心圆截面内、外径得比值。

2.惯性矩在如图6-1所示中,定义积分,如式(2—2、9)(2—2、9)称为图形对z轴与y轴得惯性矩。

第7章-惯性矩与惯性积方案

10
y
I yc1

b1h13 12
a12h1
I yc1

10 125 3 12源自62.5 41.92
10 125

2.16 106 mm 4
矩形②对yc轴的惯性矩为：
I yc2

b2h23 12
a22h2
I yc2

70 103 12
5 41.92 70 10
截面对水平形心轴yc和垂直形心轴zc的惯性积
应等于矩形①对水平形心轴yc和垂直形心轴zc
yc
的惯性积加上矩形②对水平形心轴yc和垂直形心轴zc的惯性积。即：
I I I yczc
yc zc 1
yczc 2
10
矩形①对yc和zc轴的惯性积为：
y
Iyczc 1 I yc1zc1 a1b1A1
A
惯性半径(工程中表示惯性矩的方法)：
ix
Ix A
iy
Iy A
5
建筑力学
组合截面的惯性矩和惯性积当截面由n个简单图形组合而成时，截面对于某根轴的惯
性矩等于这些简单图形对于该轴的惯性矩之和。即:
n
I y I y1 I y2 I y3 I yn I yi i 1 n
4
建筑力学
7.2 惯性矩和惯性积
惯性矩：面积对某轴的二次矩。
Ix
y 2 dA
A
I y
x2dA
A
极惯性矩：平面内任意面积dA与其到坐标原点距离平方的乘积。
IP
2dA
A
Ip Ix Iy
惯性积：面积与其到x轴、y轴距离的乘积称为该面积对坐

I.4 计算惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴和主惯性矩

I.4 计算惯性矩和惯性积的转轴公式主惯性轴和主惯性矩22d ,d ,d x y xy AAAI y A I x A I xy A===⎰⎰⎰规定：α 逆时针转为正1111212111d d d x A y A x y AI y A I x A I x y A ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩⎰⎰⎰已知：求解：x yy 1x 1xy αα αd A O1(tan )sin cos cos sin x x y x x y ααααα=+-=+1(tan )cos cos sin y y x y x αααα=-=-()1221d cos sin d x A AI y A y x Aαα==-⎰⎰()2222sin cos 2sin cos d Ax y xy Aαααα=+-⎰22cos sin 2sin cos x y x y I I I αααα=+-xyy 1x 1xyαα αd A O1cos 2sin 222x yx yx xy I I I I I I αα+-=+-1cos 2sin 222x yx yy xy I I I I I I αα+-=++11sin 2cos 22x yx y xy I I I I αα-=+转轴公式整理后得2cos22cos 1, sin 22sin cos ααααα=-=221cos sin 2sin cos x x y x y I I I I αααα=+-()()αf I I Iy x y x =1111、、都是 α 角的有界连续函数，注意α 的正负号当时， xy y x I I =11当时， 0=α︒=90αxy y x I I -=111100x y I αα∴=⇒=常数11x y x y p I I I I I +=+==主惯性轴若，则轴称为主惯性轴。

I x y =110x y ,11其位置α0可由下式确定：α0tan 22=--I I I xy x y=+=-ααI I I I x y xy x y2sin 2cos2011截面对其惯性积等于零的一对坐标轴。

附录A2-讲义惯性矩、极惯性矩与惯性积

12
12
cot 2
1
1 sin 2
录
A
平
面
图
形
的
几
何
性
质
思考题毕
讲
义
8
BRY 例题 A.4 计算半径为 R 的圆形对其形心轴的惯性矩、惯性
积和对圆心的极惯性矩。
z
材料
解
力
学 (1) 求惯性矩和惯性积
B
附录
I y
z 2dA
A
d
d y
A
2
R ( sin )2 d d
00
平
面图形的
BRY
§A.2 惯性矩、极惯性矩与惯性积
材料
A.2.1 惯性矩
z
力
学惯性矩 (moment of inertia)
B
附平面图形对 y 轴的惯性矩：
z
录 A
I y
z 2dA
A
(A.6.a)
dA A
平平面图形对 z 轴的惯性矩：
面图形
Iz
y2dA
A
(A.6.b)
O
y
y
的几
惯性矩也称为二次轴矩 (second moment of an area)。
dz
z ( y b ) tan 2
形的几何性
1 3
h 2 h 2
6(
z
cot
)2
(
b 2
)
2(
b 2
)3
dz
质
讲义
1 3
h 2 h
(3bz 2
cot 2
b3 4
)
dz

惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式

LOGO惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式在此输入你的公司名称惯性矩的计算方法及常用截面惯性矩计算公式截面图形的几何性质一.重点及难点:（一）.截面静矩和形心1•静矩的定义式如图1所示任意有限平面图形，取其单元如面积dA，定义它对任意轴的一次矩为它对该轴的静矩，即dS y 二xdAdSx = ydA整个图形对y、z轴的静矩分别为S y = A xdA(1-Sx= A ydA1)2.形心与静矩关系图1-1设平面图形形心C的坐标为y C,z C则0-S y x =A (1-2)推论1如果y轴通过形心（即x = 0），则静矩Sy=0 ；同理，如果x轴通过形心（即y = 0），则静矩Sx=o；反之也成立。

推论2如果x、y轴均为图形的对称轴，则其交点即为图形形心；如果y轴为图形对称轴，贝昭形形心必在此轴上。

3.组合图形的静矩和形心设截面图形由几个面积分别为A,A2,A3……A n的简单图形组成，且一直各族图形的形心坐标分别为x1,y1; x2,y2; x3,y3，则图形对y轴和x轴的静矩分别为n nS y = * S yi i A i Xii -1 i-1 nnS x 八 S xi 八 A i y ii 4i 4截面图形的形心坐标为A i4.静矩的特征（1）界面图形的静矩是对某一坐标轴所定义的，故静矩与坐标轴有关。

（2）静矩有的单位为m 3（3）静矩的数值可正可负，也可为零。

图形对任意形心轴的静矩必定为零，反之，若图形对某一轴的静矩为零，则该轴必通过图形的形心。

⑷ 若已知图形的形心坐标。

则可由式（I-1）求图形对坐标轴的静矩。

若已知图形对坐标轴的静矩，则可由式（1-2）求图形的形心坐标。

组合图形的形心位置，通常是先由式（I-3）求出图形对某一坐标系的静矩，然后由式（I-4）求出其形心坐标。

（二）■惯性矩惯性积惯性半径1. 惯性矩定义设任意形状的截面图形的面积为 A （图I-3），则图形对0点的极惯性矩定义为 I p = A （2dA（1-5）图形对y 轴和x 轴的光性矩分别定义为 I y 二 A X 2dA ， I x 「A y 2dA （I-6）惯性矩的特征（1）界面图形的极惯性矩是对某一极点定义的；轴惯性矩是对某一坐标轴定义的。

工程力学第02节截面的惯性矩、惯性积和惯性半径

解取平行于 x 轴的狭长条作为微面积dA，则
H
dA b dy
矩形截面部分的面积对于
x 轴的惯性矩为
H
Ix

A
y2
dA

2
2 h
y 2bdy
2
b (H 3 h3) 12
矩形截面对于 x 轴的惯性半径为
ix
Ix A
b (H 3 h3) 12
b(H h)
H
3 H 2 Hh h2 6
微面积 dA 与坐标 x、y 的乘积xydA，称为该微面积对这两个坐标轴的惯性积，而对整个截面面积A进行
I xy A xydxdy
定义 I xy为整个截面对于
x 和 y 轴的惯性积。
结论
• 惯性积的值可为正，也可为负或等于零。
• 如果坐标轴 x 或 y 中有一个是截面的对称轴，则截面对坐标轴 x、y 的惯性积为零。
d 4
64
d 2

d 4
4
x 轴和 y 轴都与圆的直
径重合，因对称的原因，有
Iy

Ix

d 4
64
iy

ix

d 4
圆形截面对于 C 点极惯性矩
Ip

Iy
Ix
d 4
32
圆形截面第一象限部分
对于 x、y 轴的惯性矩为
Ixy A xydA A xydxdy
d
2y
定义，这种截面对某轴的惯性矩应等于各部分对该
轴的惯性矩之和，即
n
Ix Ixi
i 1
n
I y Iyi
i 1
式中

《材料力学第2版》_顾晓勤第05章第2节截面的惯性矩、惯性积和惯性半径

2 2 2 22
64
第 2 节截面的惯性矩、惯性积和惯性半径第五章截面的几何性质
例 5-4 如图所示，计算圆形截面对于 x 轴和 y轴
的惯性矩、惯性半径，以及极惯性矩、第一象限部
分对 x、y轴的惯性积。
解取平行于 x 轴的狭
长条作为微面积 dA，则
dA b(y)dy 2 d 22 y2dy
dy
dA bdy
y
矩形截面对于 x 轴的惯性矩为
H
Ix A y2dA 2h2 y2bdy 2 2b [( H )3 ( h )3 ] 32 2 b (H 3 h3) 12
第 2 节截面的惯性矩、惯性积和惯性半径第五章截面的几何性质
矩形截面对于 x 轴的惯性半径为
ix
Ix A
b 12
圆形截面对于 x 轴的惯性矩为
Ix A y2dA
d2
d 2
y2
2
d 2 2 y2 dy
πd 4 64
第 2 节截面的惯性矩、惯性积和惯性半径第五章截面的几何性质
圆形截面对于 x 轴的惯性半径为
ix
Ix A
πd 4 πd 2
64 4
d 4
x 轴和 y 轴都与圆的直径重合，由
于对称的原因，有
第 2 节截面的惯性矩、惯性积和惯性半径第五章截面的几何性质
设任意平面图形其面积
为A。x 轴和 y 轴为图形所在平面内的坐标轴。在 ( x ，y )
处取微面积 dA，则定义图形
对于x 轴和 y轴 y2dA I y A x2dA
注意
由于 x2 和 y 2总是正的，所以 I x 和 I y 也恒
是正值。
惯性矩的量纲为长度的四次方。

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惯性矩及惯性积
在讨论物体的平面动力学时，需介绍对通过质心G且与运动平面垂直的轴之惯性矩I G。

在三维动力分析时，有时需计算六个惯性量。

这些项称为惯性矩及惯性积(moments and products of inertia)，其以特殊方式描述物体相对于一已确定方向及原点的坐标系统的质量分布。

惯性矩考虑下图所示的刚体，物体的微分元素dm对三坐标轴的任一轴的惯性矩(moment of inertia)可定义为：元素的质量和此元素到该轴的最短距离的平方之乘积。

例如，如图中所标示的，故dm对x轴的质量惯性矩为
物体的质量惯性矩I xx为上式对整个物体的质量积分。

因此，对各轴的惯性矩可写成
在此可看出惯性矩必为正的量，由于此量是质量dm与距离平方的乘积之和，而质量dm必为正。

惯性积微分元素dm相对于一组相互正交的两平面的惯性积(product of inertia)定义为：质量元素与至各平面的垂直(或最短)距离的乘积。

例如，相对于y-z及x-z平面，上图的质量元素的惯性积dI xy为
dI xy = xydm
同时注意dI yx = dI xy。

对整个质量积分，物体对各平面组合的惯性积可表示为
不像惯性矩必为正，惯性积可为正、负或零。

其结果是视其定义的两个坐标的符号而定，因其符号的变化是彼此独立的。

特殊情况，如质量对称于两正交平面之一或两者，则相对于此二平面的惯性积将为零，在此情况下，质量元素将成对出现于对称平面的两侧，其中一例的元素，惯性积为正，两另一例对应元素的惯性积为负，故其和为零。

这种例子如下图所示。

在第一种情况，图(a)，y-z平面为对称平面，故I xz = I xy =0，而I yz计算的结果将为正，因所有的质量元素均位于正y及z坐标。

对于图(b)所示的圆柱及坐标轴，x-z及y-z，平面均为对称平面，故I zx = I yz = I xy = 0。

平行轴与平行面定理求解物体惯性矩的积分技巧已于前面章节中讨论过。

同时也曾讨论过组合物体，即由简单形状所组合成的物体的惯性矩，并表列于后封面内页。

在这些情况，平行轴定理(parallel-axis theorem)常被用来计算，此定理于前面章节中导出，用来转移对通过质心G的轴的惯性矩至通过另一点的平行轴上。

此时，若G点在x, y, z轴上的坐标为x G, y G, z G，如下图，则用来计算对x, y, z轴的惯性矩的平行轴方程式为
物体或组合体的惯性积的计算方式和物体的惯性矩相同。

然而，此时的平行面定理就显得相当重要。

此定理是用来将物体对一组通过物体质心的三正交平面的惯性积转移至另一组通过O点的三个平行面上。

若平面间的垂直距离为x G, y G, z G，如下图，则平行面方程式可写成
这些方程式的推导和前面章节平行轴方程式相同。

惯性张量物体的惯性性质可由九个量完全描述其特性，其中有六个是彼此独立的。

这些量由定义，可写成
此数组称为惯性张量(inertia tensor)。

当此张量是对于不同原点O及不同坐标轴方向来计算，物体的惯性张量都有一组唯一的数值。

对于O及点我们可以找到唯一的一组坐标轴方向，使得物体对这些轴的惯性积均为零。

在此情况，此惯性张量称为"对角化"，可写成简单形式
此处I x = I xx，I y = I yy及I z= I zz称为物体的主惯性矩(principal moments of inertia)，这是对惯性主轴计算而得。

三个主惯性矩中，有一个是物体的最大惯性矩，另有一个是最小惯性矩。

在此将不讨论如何用数学方法来求惯性主轴的方向。

但有许多情况下的主轴可由观察即可获得。

根据前面惯性积的讨论我们可以注意到，当三相互正交的平面中有两个平面是物体的对称面，则物体对此坐标平面的所有惯性积为零，若坐标轴位于此二平面上，则此坐标轴即为惯性主轴。

例如，前图(b)所示的x, y, z轴即为圆柱在O点的惯性主轴。

对任意轴的惯性矩考虑下图所示的物体，并已对原点在O点的x, y, z轴求出惯性张量的九个元素。

现在若想求物体对Oa轴的惯性矩，Oa轴的方向由单位向量u a定义，则根据定义I Oa=∫b2dm，其中b是dm至Oa的垂直距离。

若dm的位置以r表示，则b = r sinθ即表示u a⨯r的大小。

故惯性矩可表为
若u a = u x i + u y j + u z k及r = x i + y j + z k，故u a⨯r = (u y z - u z y)i + (u z x - u x z)j + (u x y - u y x)k，代入后并进行点乘积，我们可将惯性矩写成
将物体的惯性矩及惯性积用符号取代，得
若物体的惯性张量是对x, y, z轴计算的，则对倾斜轴Oa的惯性矩可用上式来计算。

而计算前必先求出Oa轴的方向余弦u x, u y, u z，此三项乃分别是Oa轴与x, y, z轴间的夹角α, β, γ的余弦值。