惯性矩及惯性积

惯性矩及惯性积

在讨论物体的平面动力学时，需介绍对通过质心G且与运动平面垂直的轴之惯性矩I G。在三维动力分析时，有时需计算六个惯性量。这些项称为惯性矩及惯性积(moments and products of inertia)，其以特殊方式描述物体相对于一已确定方向及原点的坐标系统的质量分布。

惯性矩考虑下图所示的刚体，物体的微分元素dm对三坐标轴的任一轴的惯性矩(moment of inertia)可定义为：元素的质量和此元素到该轴的最短距离的平方之乘积。例如，如图中所标示的，故dm对x轴的质量惯性矩为

物体的质量惯性矩I xx为上式对整个物体的质量积分。因此，对各轴的惯性矩可写成

在此可看出惯性矩必为正的量，由于此量是质量dm与距离平方的乘积之和，而质量dm必为正。

惯性积微分元素dm相对于一组相互正交的两平面的惯性积(product of inertia)定义为：质量元素与至各平面的垂直(或最短)距离的乘积。例如，相对于y-z及x-z平面，上图的质量元素的惯性积dI xy为

dI xy = xydm

同时注意dI yx = dI xy。对整个质量积分，物体对各平面组合的惯性积可表示为

不像惯性矩必为正，惯性积可为正、负或零。其结果是视其定义的两个坐标的符号而定，因其符号的变化是彼此独立的。特殊情况，如质量对称于两正交平面之一或两者，则相对于此二平面的惯性积将为零，在此情况下，质量元素将成对出现于对称平面的两侧，其中一例的元素，惯性积为正，两另一例对应元素的惯性积为负，故其和为零。这种例子如下图所示。在第一种情况，图(a)，y-z平面为对称平面，故I xz = I xy =0，而I yz计算的结果将为正，因所有的质量元素均位于正y及z坐标。对于图(b)所示的圆柱及坐标轴，x-z及y-z，平面均为对称平面，故I zx = I yz = I xy = 0。

平行轴与平行面定理求解物体惯性矩的积分技巧已于前面章节中讨论过。同时也曾讨论过组合物体，即由简单形状所组合成的物体的惯性矩，并表列于后封面内页。在这些情况，平行轴定理(parallel-axis theorem)常被用来计算，此定理于前面章节中导出，用来转移对通过质心G的轴的惯性矩至通过另一点的平行轴上。此时，若G点在x, y, z轴上的坐标为x G, y G, z G，如下图，则用来计算对x, y, z轴的惯性矩的平行轴方程式为

物体或组合体的惯性积的计算方式和物体的惯性矩相同。然而，此时的平行面定理就显得相当重要。此定理是用来将物体对一组通过物体质心的三正交平面的惯性积转移至另一组通过O点的三个平行面上。若平面间的垂直距离为x G, y G, z G，如下图，则平行面方程式可写成

这些方程式的推导和前面章节平行轴方程式相同。

惯性张量物体的惯性性质可由九个量完全描述其特性，其中有六个是彼此独立的。这些量由定义，可写成

此数组称为惯性张量(inertia tensor)。当此张量是对于不同原点O及不同坐标轴方向来计算，物体的惯性张量都有一组唯一的数值。

对于O及点我们可以找到唯一的一组坐标轴方向，使得物体对这些轴的惯性积均为零。在此情况，此惯性张量称为"对角化"，可写成简单形式

此处I x = I xx，I y = I yy及I z= I zz称为物体的主惯性矩(principal moments of inertia)，这是对惯性主轴计算而得。三个主惯性矩中，有一个是物体的最大惯性矩，另有一个是最小惯性矩。

在此将不讨论如何用数学方法来求惯性主轴的方向。但有许多情况下的主轴可由观察即可获得。根据前面惯性积的讨论我们可以注意到，当三相互正交的平面中有两个平面是物体的对称面，则物体对此坐标平面的所有惯性积为零，若坐标轴位于此二平面上，则此坐标轴即为惯性主轴。例如，前图(b)所示的x, y, z轴即为圆柱在O点的惯性主轴。

对任意轴的惯性矩考虑下图所示的物体，并已对原点在O点的x, y, z轴求出惯性张量的九个元素。现在若想求物体对Oa轴的惯性矩，Oa轴的方向由单位向量u a定义，则根据定义I Oa=∫b2dm，其中b是dm至Oa的垂直距离。若dm的位置以r表示，则b = r sinθ即表示u a⨯r的大小。故惯性矩可表为

若u a = u x i + u y j + u z k及r = x i + y j + z k，故u a⨯r = (u y z - u z y)i + (u z x - u x z)j + (u x y - u y x)k，代入后并进行点乘积，我们可将惯性矩写成

将物体的惯性矩及惯性积用符号取代，得

若物体的惯性张量是对x, y, z轴计算的，则对倾斜轴Oa的惯性矩可用上式来计算。而计算前必先求出Oa轴的方向余弦u x, u y, u z，此三项乃分别是Oa轴与x, y, z轴间的夹角α, β, γ的余弦值。