湖南省长郡中学2021届高三月考试卷(一)理科数学及答案解析
湖南省长沙市长郡中学2021届高三上学期第一次月考 数学 (含答案)
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2021年高三数学上学期第一次月考试题 理(含解析)湘教版
2021年高三数学上学期第一次月考试题理（含解析）湘教版【试卷综析】试卷注重对基础知识和基本方法全面考查的同时,又突出了对数学思想、数学核心能力的综合考查, 试卷以考查考生对“双基”的掌握情况为原则,重视基础,紧扣教材,回归课本,整套试卷中有不少题目可以在教材上找到原型.对中学数学教学和复习回归课本,重视对基础知识的掌握起到好的导向作用.一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.【题文】1.如果复数(其中为虚数单位,为实数)的实部和虚部互为相反数,那么= ( )A. B. C. D. 2【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．L4【答案解析】C 解析：由,依题有,即.选C.【思路点拨】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，利用实部和虚部互为相反数，求出b．【题文】2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体被抽到的概率为( )A. B. C. D.【知识点】简单随机抽样．I1【答案解析】B 解析：由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为.选B.【思路点拨】依据简单随机抽样方式，总体中的每个个体被抽到的概率都是一样的，再结合容量为5，可以看成是抽5次，从而可求得概率．【题文】3.设偶函数满足,则( )A. B.C. D.【知识点】函数的奇偶性.B4【答案解析】C 解析：当时,由,得,由图象对称性可知选C.【思路点拨】由函数的奇偶性解不等式可得结果.【题文】4.若展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( )A. B. 84 C. D. 36【知识点】二项式定理系数的性质.J3【答案解析】B 解析：由二项式系数之和为,即,又令,则故常数项为.选B.【思路点拨】结合二项式定理，通过令x=-1，即可求出展开式的所有二项式系数的和，然后求出n 的值，利用二项式的通项，求出常数项即可．【题文】5.设条件,条件,其中为正常数.若是的必要不充分条件,则 的取值范围是( )A. B. C. D.【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．A2【答案解析】A 解析：由条件对应的集合为,条件对应.且依题意,可知,又,故.选A.【题文】6.按照如图所示的程序运行,已知输入的的值为,则输出的值为( ) A. B.C. D. 【知识点】程序框图．L1 【答案解析】A 解析：由于输入的初始值为,故 ,即.故选A.问题的关键．【题文】7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为( ) A. B.C. D.【知识点】由三视图求面积、体积．G2【答案解析】B 解析：由该几何体的三视图可以借用长方体将其还原 为直观图如右所示,(由简到繁)，由俯视图→侧视图→正视图→直观图,其为四棱锥,所以,选B. 棱锥的高线，求出棱锥的高，代入棱锥的体积公式计算．【题文】8.设,若是的最小值,则的取值范围为( )A. [-1,2]B. [-1,0]C. [1,2]D. [0,2]【知识点】分段函数的应用．B10【答案解析】D 解析：当时,显然不是的最小值,当时,可知时,,而当时,,依题意,得,所以即求. 选D.【思路点拨】分别由f （0）=a ，，综合得出a 的取值范围．【题文】9.已知锐角是的一个内角,是三角形中各角的对应边,若,则下列各式正确的是( )正视图 1 1 2 2 2 2 侧视图 俯视图 B 1 1A. B. C. D.【知识点】正弦定理.C8【答案解析】C 解析：由得,,又为锐角,故,于是,即.于是由余弦定理有,即,解得,选C.【思路点拨】事实上在中,如果三边成等差或等比数列,即,那么我们都可以结合重要不等式知识得到.本题考查的是其逆向问题.【题文】10.如图,圆的半径为1,是圆上的定点,是圆上的动点, 角的始边为射线,终边为射线,过点作直线 的垂线,垂足为,将点到直线的距离表示 为的函数,则在上的图象大致为( )【知识点】函数的图像与性质.B10 【答案解析】C 解析：由,于是,由三角函数线有,,于是的最大值为,故选C. 【思路点拨】先由三角函数线得，再求最大值.二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.【题文】11.已知直线的极坐标方程为,则极点到直线的距离为 .【知识点】简单曲线的极坐标方程；与圆有关的比例线段．N3 H2【答案解析】 解析：由化为直角坐标方程为,于是极点到该直线的距离为,故答案为【思路点拨】先将原极坐标方程中的三角函数式展开后两边同乘以ρ后化成直角坐标方程，再利用直角坐标方程进行求解即得．【题文】12.设均为正数,满足,则的最小值是 .【知识点】基本不等式．E6【答案解析】3 解析：∵，∴，∴，当且仅当x=3z 时取“=”．故答案为3．【思路点拨】由x-2y+3z=0可推出，代入中，消去y ，再利用均值不等式求解即可．【题文】13.数列的前项和为,若,则 .【知识点】数列递推式.D1【答案解析】 解析：由……①,可推出,……②①-②式得,,于是,,故.【思路点拨】借助于，可得，进而得到结果.【题文】14.若满足约束条件,且取得最小值的点有无数个,则 .【知识点】简单线性规划．E5【答案解析】或 解析：先作出可行域如右图:又目标函数,依题意,所以①当,即时,依题意有目标直线时,当其运动 至与重合时,最优解有无数个,符合题意,即,即;②同理当,即时,必有,即,即,综上①②可知,或 为所求. x x x x【思路点拨】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，要使z=kx+y 取最小值的最优解有无穷多个，则目标函数和其中一条直线平行，然后根据条件即可求出a 的值．【题文】15.已知椭圆的离心率为,过椭圆上一点作直线分别交椭圆于两点,且斜率为,若点 关于原点对称,则的值为 .【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题．H5 H8【答案解析】解析：由,得,如右图所示, 取中点,连结,则由几何意义知, ,又,故,即 【思路点拨】本题有一般性结论,即过椭圆的中心的任一条直线交椭圆于两点,是椭圆上异于的任意一点,且当都存在时,则有. 三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,16.(本小题满分12分)xx 年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为,恰是通晓俄语的人的概率为,且通晓法语的人数不超过3人.(Ⅰ)求这组志愿者的人数;(Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;(Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数的分布列.【知识点】概率的应用．K6【答案解析】(Ⅰ)10 (Ⅱ) (Ⅲ)见解析解析：(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有人,且;则依题意有,即…………………………………………2分消去得,,当且仅当时,符合正整数条件,所以,也即这组志愿者有10人;………………………………………………………3分 (Ⅱ)记事件为“甲、乙不全被选中”,则的对立事件表示“甲、乙全被选中”,于是;…………………………………………………7分(Ⅲ)随机变量的可能取值为1,2,3,且由古典概型知33212121535537283310101179(1),(2)120120C C C C C C C C P X P X C C +++======.………………………………………………………………11分所以随机变量的分布列如下:.……………………………………………………………12分【思路点拨】（I ）设通晓英语的，通晓俄语的，通晓法语的人数，根据通晓英语的人的概率为，是通晓俄语的人数的概率为，列出关于所设的人数的表示式，解出结果．（II ）本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件有C51C31C21种结果，甲通晓俄语，乙通晓法语，则甲和乙不全被选中的对立事件是全被选中，先做出两个人全被选中的概率，用对立事件的概率公式得到甲和乙不全被选中的概率．（III ）随机变量X 的可能取值为1，2，3，求出相应的概率，进而可求3人所会的语种数X 的分布列．如图,点是单位圆与轴的正半轴的交点,点. (Ⅰ)若,求;(Ⅱ)设点为单位圆上的动点,点满足,求的取值范围.【知识点】三角函数中的恒等变换应用；任意角的三角函数的定义．【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)解析：(Ⅰ)由三角函数定义可知, 所以1sin 22sin cos 2()2ααα==-=,即求…………………………………5分 (Ⅱ)由三角函数定义知,所以所以11()(1cos2)2sin(2)262f OB OQ πθθθθ=⋅=-++=--, 又因,故,即,于是,所以的取值范围是.……………………………………12分【思路点拨】(Ⅰ) 直接结合三角函数的定义求解sinα，cosα的值，然后，根据二倍角公式进行求值；(Ⅱ) 首先求解f （θ），然后根据，确定f （θ）的取值范围．【题文】18.(本小题满分12分) 直三棱柱中,,点在上.(Ⅰ)若是中点,求证:平面;(Ⅱ)当时,求二面角的余弦值. 【知识点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．G4 G11【答案解析】(Ⅰ)见解析 (Ⅱ)解析：(Ⅰ)连接交于点,连接,因为直三棱柱中侧面为矩形,所以 为的中点,又是中点, 于是,且面 , AC1⊄平面B1CD 所以平面;…………………………6分(Ⅱ)由知,即, 又直三棱柱中面,于是以为原点建立空间 直角坐标系如右图所示,于是, 又,由平面几何易知, 显然平面的一个法向量为, 又设平面的一个法向量为,则由,得,解得,取,则,设二面角的平面角为, 则,又由图知 为锐角, 【思路点拨】(Ⅰ) 通过作平行线，由线线平行证明线面平行；(Ⅱ) 建立空间直角坐标系，求得两平面的法向量，利用向量法求二面角的余弦值．A C DBC 1 A 1 B 1 A CD BC 1 A 1B 1E在数列中,已知.(Ⅰ)求证:是等比数列;(Ⅱ)令为数列的前项和,求的表达式.【知识点】数列的求和；等比关系的确定．D3 D4【答案解析(Ⅰ) 见解析(Ⅱ)解析：(Ⅰ)证明:由可得所以数列以是-2为首项,以2为公比的等比数列………………………………6分(Ⅱ) 由(Ⅰ)得:,所以,所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n n S b b b n =+++=-+-++-=+++-令,则,两式相减得2311111111122222222n n n n n n n T ++=+++-=--,所以,即…………………………………………………13分【思路点拨】(Ⅰ)此证明题应从结论中找方法，要证明数列{an-n}是等比数列，将题设中的条件an+1=2an-n+1变形为an+1-（n+1）=2（an-n ）即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)结论可求出bn ，由通项公式的形式可以看出，本题宜先用分组求和的技巧，然后对其一部分用错位减法求和．最后将结果综合起来．【题文】20.(本小题满分13分)已知椭圆的一个顶点为,焦点在轴上.若右焦点到直线的距离为3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆与直线相交于不同的两点.当时,求的取值范围.【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题．H5 H8【答案解析】(Ⅰ) (Ⅱ)解析：(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为,右焦点,由题设,得,故;故椭圆的方程为………5分综上可得,【思路点拨】(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为，由题设解得a2=3设P 为弦MN 的中点，由,,得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0∴△＞0，即m2＜3k2+1．由此可推导出m的取值范围．【题文】21.(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为,对于任意的,函数在区间上总不是单调函数,求的取值范围;(Ⅲ)求证:.【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．B12【答案解析】(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) (Ⅲ)见解析解析：(Ⅰ)由,.………………………………………………………1分①当时,显然时,,当时,,所以此时的单调递增区间为,递减区间为,②同理当时, 的单调递增区间为,递减区间为,③当时,不是单调函数;.……………………………………………………4分(Ⅱ)由题知,,得,所以.所以,且,……………6分令时,可知恒成立,即一定有两个不等实根,且注意到,所以不妨设,又,于是可知时,,又时,即在上递减,在上递增,依题意可知,于是只须,…………………………………………7分又以上事实对恒成立.故,得;……………9分(Ⅲ)分析:要证成立,即证ln2ln3ln4ln123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥,也即证,成立,而这是我们众所周知的超越不等式,下面用综合法证明. 证明过程: 由(Ⅰ)知当时,在上递增,所以()ln3(1)2ln1,1f x x x f x x x=-+->=-⇔<->………………………………11分也所以在上式中分别令得, ,以上同向正数不等式相乘得ln2ln3ln4ln123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥两边同除以得, ,即证.…………………13分【思路点拨】利用导数求函数的单调区间的步骤是①求导函数f′（x）；②解f′（x）＞0（或＜0）；③得到函数的增区间（或减区间），对于本题的(Ⅰ)在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；(Ⅱ)点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，即切线斜率为1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数可知：，于是可求m的范围．(Ⅲ)是近年来高考考查的热点问题，即与函数结合证明不等式问题，常用的解题思路是利用前面的结论构造函数，利用函数的单调性，对于函数取单调区间上的正整数自变量n有某些结论成立，进而解答出这类不等式问题的解．23889 5D51 嵑20402 4FB2 侲 23612 5C3C 尼wm25313 62E1 拡28970 712A 焪21379 5383 厃624058 5DFA 巺39879 9BC7 鯇33350 8246 艆28801 7081 炁28354 6EC2 滂。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高三上学期月考地理试题(一)及答案
大联考长郡中学2025 届高三月考试卷(一)地理得分本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量 75 分钟，满分100 分.一、选择题(本大题共16小题，每小题3分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)大源村是广州郊区的一个城中村，邻近服装批发市场。
2018年以来，大源村逐步把旧厂房改造为电商产业园，同时成立了大源电子简务协会，并构建了“政—校一企”三方合作平台。
下图为大源利由传统电商向新型电商转型示意图。
据此完成1~3题。
1.2012年前后，影响广州部分电商企业布局变化的主要因素是A.市场B.基础设施C.土地价格 B.政策2.大源村将旧厂房改造为电商产业园，首先影响到当地电商产业发展的A.产业环境B.产业布局C.产业链条 D 产业结构3.大源村电商产业园区吸引个体电商入驻的原因是A.竞争压力小B.销售方式多C.供货渠道广D.产业规模大J古城由都城、离宫和军事卫城构成。
战国时期，都城是古城中心，离宫的东南角城门可供船只通行。
秦汉时期，离宫成为古城中心。
此后，由于环境变迁，J古城衰落。
19世纪起，S市人口集聚，现已发展为地级市。
下图示意长江流域局部地区。
据此完成4~6题。
4. J古城建设之初，都城未建在离宫处，主要是考虑A.减少水患B.便于取水C.方便耕作D.利于防卫b.古城中心的变迁，反映了战国至秦汉期间该地区气候趋向A.湿润B.干旱C.温暖·I).寒冷6.根据J古城和S市的地理位置，可推知战国时期至现代长江干流图示河段A.整体向北移动B.8市附近河道没有明显摆动C. 整体向南移动D. S市附近河道摆动幅度较大大小交路是指列车在线路上的运行距离有长、短路两种方式，在线路的部分区段共线运行。
石家庄地铁1号线于2021年起在规定时间段内执行该运行模式(如下图)：大交路(西王—福泽)10分钟/次，小交路(西王—汶河大道)5分钟/次。
据此完成7~8题。
7.石家庄地铁1号线采用大小交路运行的目的有①提高运输能力②缓解客流压力③提高运行速度④降低能源消耗A.①②B.②③C.①④D.③④8.下列时间段中；最适合以大小交路运行的是A 工作日·6:00-7:30 B.工作日9:00—19:30C.节假日6:00—7:30D.节假日9:00—19:30温度露点差是温度与露点(露点：在气象学中是指在固定气压之下，空气中所含的气态水达到饱和而凝结成液态水所需要降至的温度)的差值，是相对湿度的一种度量，温度露点差越大，湿度越小，当温度露点差接近0℃时，表示空气中的水汽达到近似饱和状态。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期入学摸底考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合112162x A x N +⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭，{}240B x x x m =-+=，若1A B ∈，则A B ＝（ ）A ．{1，2，3}B ．{1，2，3，4}C ．{0，1，2}D ．{0，1，2，3} 2．已知复数z 满足()1243z i i +=- (其中i 为虚数单位)，则复数z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2i -C ．1D ．i 3．()1cos x f x x=-的部分图象大致是（ ） A ． B ．C ．D ．4．饕餮(tāo tiè)纹，青铜器上常见的花纹之一，盛行于商代至西周早期.有人将饕餮纹的一部分画到了方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为1，有一点P 从A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能性的，那么它经过3次跳动后，恰好是沿着餮纹的路线到达点B 的概率为（ ）A ．12B ．14C ．116D ．185．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4上，且圆E 上的所有点均在椭圆C 外，若|PQ |－|PF |的最小值为－6，且椭圆C 的长轴长恰与圆E 的直径长相等，则椭圆C 的标准方程为（ ）A ．2212x y += B ．2214x y += C ．22143x y += D ．22142x y += 6．命题p ：f (x )＝x ＋a ln x (a ∈R )在区间[1，2]上单调递增；命题q ：存在x ∈[2，e ]，使得1ln x x-－e ＋4＋2a ≥0成立(e 为自然对数的底数)，若p 且q 为假，p 或q 为真，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(－2，－32) B ．(－2，－32)∪[－1，＋∞) C ．[－32，－1) D ．(2，－32)∪[1，＋∞) 7．已知()22103A B C D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，，，四点均在函数f （x ）＝log 2ax x b +的图象上，若四边形ABCD 为平行四边形，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．265B ．263C ．525D ．5238．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，当n *∈N 时，n a ，1n 2+，1n a +成等差数列，若2020n S =，且23a <，则n 的最大值为（ ）A ．63B ．64C ．65D ．66二、多选题9．2020年两会“部长通道”工信部部长表示，中国每周大概增加1万多个5G 基站，4月份增加5G 用户700多万人，5G 通信将成为社会发展的关键动力，下图是某机构对我国未来十年5G 用户规模的发展预测图.则（ ）A ．2022年我国5G 用户规模年增长率最高B ．2022年我国5G 用户规模年增长户数最多C ．从2020年到2026年，我国的5G 用户规模增长两年后，其年增长率逐年下降D ．这十年我国的5G 用户数规模，后5年的平均数与方差都分别大于前5年的平均数与方差10．如图，已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，2πϕ≤）的图象与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，2BC BD =，3OCB π∠=，||2OA =，AD =.则下列说法正确的有（ ）.A ．()f x 的最小正周期为12B ．6πϕ=-C ．()f x 的最大值为163D ．()f x 在区间(14,17)上单调递增 11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，过AB 作一垂直于直线B 1C 的平面交平面ADD 1A 1于直线l ，动点M 在直线l 上，则（ ）A ．B 1C //lB ．B 1C ⊥lC ．点M 到平面BCC 1B 1的距离等于线段AB 的长度D ．直线BM 与直线CD 12．若存在实常数k 和b ，使得函数()F x 和()G x 对其公共定义域上的任意实数x 都满足：()F x kx b ≥+和()G x kx b ≤+恒成立，则称此直线y kx b =+为()F x 和()G x 的“隔离直线”，已知函数()()2f x x R x =∈，()()10g x x x=<，()2ln h x e x =（e 为自然对数的底数），则（ ）A ．()()()m x f x g x =-在x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭内单调递增； B ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且b 的最小值为4-；C ．()f x 和()g x 之间存在“隔离直线”，且k 的取值范围是[]4,1-；D ．()f x 和()h x 之间存在唯一的“隔离直线”y e =-.三、填空题13．三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n 种方法，则1(2)nx x +展开式的常数项为____________.(用数字作答) 14．设,,a b c →→→为单位向量，向量a →与b →的夹角为120°，则a c b c →→→→⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的取值范围是_____.15．已知点A 、B 关于坐标原点O 对称，2AB =，以M 为圆心的圆过A 、B 两点，且与直线1y =相切.若存在定点P ，使得当A 运动时，MA MP -为定值，则点P 的坐标为_______.16．在三棱锥P －ABC 中，P A ＝PB ＝PC ＝2，二面角A －PB －C 为直二面角，∠APB ＝2∠BPC (∠BPC <4π)，M ，N 分别为侧棱P A ，PC 上的动点，设直线MN 与平面P AB 所成的角为α.当tan α的最大值为2532时，则三棱锥P －ABC 的体积为__________.四、解答题17．在①数列{a n }为等差数列，且a 3＋a 7＝18；②数列{a n }为等比数列，且a 2a 6＝64，a 2a 3<0；③S n －1＝a n －1(n ≥2)这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并加以解答. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1， .（1）求数列{a n }的通项公式；（2）是否存在正整数k ∈{8，9，10}，使S k >512，若存在，求出相应的正整数k 的值；若不存在，请说明理由.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，D 在BC 边上，且BD ＝2DC ，若sin 2A ＋sin 2C －sin 2B ＝23sin A sin C ，c ＝2. （1）求sin B 的值；（2）设∠BAD ＝α，∠DAC ＝β，若△ADC ，求sin sin αβ的值. 19．据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50%的高速年均增长，针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值k 为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k ，并分成以下5组，其统计结果及产品等级划分如下表所示：试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）.（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得10.03s ≈.记X 表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k 在区间(]50.54,80.63之外的包装胶带个数，求()1P X =及X 的数学期望（精确到0.001）；（2）已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示：()()1,4t ∈.假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由.参考数据：若随机变量()2,Z N μσ~，则()0.6827P Z μσμσ-<≤+=，()220.9545P Z μσμσ-<≤+=，()330.9973P Z μσμσ-<≤+=，290.81860.0030≈，ln13 2.6≈.20．已知底面为正三角形的斜三棱柱111ABC A B C -中，,E F 分别是棱11A B ，AB 的中点，点1A 在底面投影为AC 边的中点O ，11A C AC P ⋂=，1A F AE G =.（1）证明：PG //平面111A B C ；（2）若6AB =，15AA =，点M 为棱11A B 上的动点，当直线AM 与平面1A FC 所成时，求点M 的位置. 21．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且垂直于x 轴的直线交抛物线C 于D ，E 两点，且|DE |＝4.（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 过点A (2，0)且与抛物线C 交于P ，Q 两点，点R 在抛物线C 上，点N 在x 轴上，NP NQ NR 0++=，直线PR 交x 轴于点B ，且点B 在点A 的右侧，记△APN的面积为S 1，△RNB 的面积为S 2，求12S S 的最小值. 22．已知函数f (x )＝e x ＋x e -，其中e 是自然对数的底数.e-＋m－1在(0，＋∞)上恒成立，求实数m的取值范围；（1）若关于x的不等式mf(x)≤x（2）已知正数a满足：存在x∈[1，＋∞)，使得f(x0)<a(－x03＋3x0)成立.试比较1a e-与1e a-的大小，并证明你的结论.参考答案1．D【分析】根据题意，解不等式求出集合{}0,1,2A =，由1A B ∈，得1B ∈，进而求出3m =，从而可求出集合{}1,3B =，最后根据并集的运算即可得出答案.【详解】 解：由题可知，112162x A x N +⎧⎫=∈<<⎨⎬⎩⎭， 而112162x +<<，即114222x -+<<，解得：23x -<<， 又由于x ∈N ，得{}0,1,2A =，因为1A B ∈，则1B ∈，所以140m -+=，解得：3m =， 所以{}{}24301,3B x x x =-+==，所以{}0,1,2,3A B ⋃=.故选：D.【点睛】本题考查集合的交集的定义和并集运算，属于基础题.2．A【分析】由题目条件可得()12435z i i +=-=，即512z i =+，然后利用复数的运算法则化简. 【详解】 因为435i -=，所以()12435z i i +=-=， 则()()()5125510121212125i i z i i i i --====-++- 故复数z 的虚部为2-.故选：A .【点睛】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单.3．A【分析】利用排除法，根据函数的定义域，奇偶性以及特殊值可得结果.【详解】解：由于()1cos x f x x=-，则1cos 0x -≠，即2,x k k Z π≠∈， 可知()f x 的定义域为{}2,x x k k Z π≠∈，则0x ≠，故排除C ，而()()()1cos 1cos x x f x f x x x---===----， 所以()f x 为奇函数，则图象关于原点对称，故排除B ，又因为当x π=时，()01cos 2f ππππ==>-，故排除D. 故选：A.【点睛】本题考查函数图象的识别和判断，结合函数的定义域，奇偶性以及特殊值是解题的关键，属于基础题.4．D【分析】列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】点P 从A 点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次的所有基本事件有：（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8种不同的跳法（线路）， 符合题意的只有（下，下，右）这1种，所以3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B 的概率为18. 故选：D.【点睛】本题考查数学文化与古典概型，考查计算能力，属于基础题.5．C因为圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4的半径为2，所以2a =，由椭圆的定义可得1||4||PF PF =-,根据题意可得当且仅当1,,,E Q P F 四点共线时，|PQ |－|PF |取得最小值为6，所以1||EF =.【详解】因为圆E ：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4的半径为2，所以2a =，设椭圆的左焦点为1F (,0)c -，由椭圆的定义可得1||||24PF PF a +==，所以1||4||PF PF =-，所以1||||||||4PQ PF PQ PF -=+-1||4QF ≥-1||||6QF EQ =+-1||6EF ≥-，当且仅当1,,,E Q P F 四点共线时，等号成立，又|PQ |－|PF |的最小值为－6，所以1||66EF -=，即1||EF ==1c =或52c a =>=（舍）. 所以222413b a c =-=-=，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.故选：C. 【点睛】本题考查了椭圆的定义，考查了圆的标准方程，考查了椭圆中的最值问题，属于中档题. 6．C求出命题p 对应的a 的取值范围为[)1,a ∈-+∞，再求出命题q 对应的a 的取值范围为3,12a ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，再根据复合命题p 且q 为假，p 或q 为真，得出p 真q 假，p 假q 真两种情况，即可得出结果。
湖南省长郡、雅礼、一中2021届高三上学期联合考试理科数学试题 Word版含答案
湖南省长郡、雅礼、一中2021届高三月考试卷一（全国卷）数学（理科）一、选择题A ．AB ⊆ B ．B A ⊆B ⋂=∅R2．若复数z 满足()1i 2i z -=，则下列说法正确的是（ ） 的虚部为iA ．5-B ．20-C ．15D ．5，若单位向量1e ，2e 满足：12e e ⊥且向量123e e +与12e e λ-的夹角为则λ=（ ）6．随机变量X 的分布列如表：若()2E ξ=，则()D ξ=（ ）A ．32B ．43C ．54D ．657．设3535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，353log 2b =，3532c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．<<a b cB ．<<a c bC ．<<b a cD ．<<b c a8．函数()3sin 6x f x x =+的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．9．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（ ）A ．12B ．10C ．8D ．610．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭．它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信A ．10%B ．30%C ．50%D ．100%（ ）则E 的离心率为（ ）二、填空题13．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A ，B ，C 三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A 项、乙不选B B 项的概率为______．底面圆上异于A ，B 的动点，则S 、A 、B 、C 四点所在球面的半径是______． 16．已知点()5,0A ，()0,4B ，动点P ，Q 分别在直线2y x =+和y x =上，且PQ 与两三、解答题（一）必考题17．圆O 的内接四边形ABCD 中，3AD BC ==，3BAD π∠=，sin 3sin ABD DBC ∠=∠．（1）求AB 的长度； （2）求圆O 的半径．18．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12AA =，120ABC ∠=︒，D 为1CC 中点．（1）求四面体1A ABD -的体积；（2）求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦．19．已知椭圆E 的离心率为32e =，且经过点31,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求椭圆E 的方程．（2）设()00,P x y 为椭圆E 上非顶点的任意一点，若A 、B 分别为椭圆E 的左顶点和上顶点，直线PA 交y 轴于D ，直线PB 交x 轴于C ，W AC BD =，问：W 的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明理由．性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n步回到点A的概率为np．（1）分别写出1p，2p的值；（2）设一只蚂蚁从顶点A出发经过n步到达点C的概率为n q，求3n np q+的值；（3）求np．21．（1）求()lnf x x x=-的最大值；（2）若()2ln21x t x x+≤++对0x≥恒成立，求实数t的取值范围．（二）选考题22．选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2,2242x ty t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t为参数），在极坐标系（以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴）中，曲线2C的方程为()2sin2cos>0p pρθθ=，曲线1C，2C交于A，B两点，其中定点()0,4M-．（1）若2p=，求MA MB+的值；（2）若MA，AB，MB成等比数列，求p的值．23．选修4-5：不等式选讲()（2）当<2a 时，函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值．2021届高三月考试卷一（全国卷）数学（理科）参考答案1．【答案】B 【解析】故选B ． 2．【答案】C 【解析】【解答】解：因为()1i 2i z -=，故选C ． 3．【答案】B 【解析】【解答】解：()51x -展开式中2x 项的系数：()3351C 10-=-；()51x -展开式中4x 项的系数：()151C 5-⋅=-；故选B ． 4．【答案】A 【解析】()()(1231,3e e +=，()12,1e e λλ-=-故选A ． 5．【答案】D 【解析】故选D 6．【答案】A 【解析】7．【答案】C 【解析】∴<<b a c ． 故选C ． 8．【答案】A 【解析】所以函数()f x 为奇函数，排除选项D ；综上可知，()f x 在()0,+∞上单调递增，排除选项B 和C ． 故选A ． 9．【答案】D 【解析】【解答】如图所示，过点P 作//PF AC ，交VC 于点F ，过点F 作//FE VB 交BC 于点E ，过点E 作//EQ AC ，交AB 于点Q ； 由作图可知：//EQ PF ，所以四边形EFPQ 是平行四边形； 所以截面四边形EFPQ 的周长为()2216⨯+=．10．【答案】A 【解析】【解答】解：将信噪比SN从1000提升至2000时， ()()2222log 12000log 2001log 11000log 1001W W +=+()lg 2001lg 200013lg 2 1.1lg1001lg10003=≈=+≈， 故C 大约增加了10%． 故选A ． 11．【答案】D 【解析】【解答】解：问题等价于函数sin y x =在区间,66x ππω⎛⎫+⎪⎝⎭恰有3个零点，故3<46ππωππ+≤，于是可得1723<66ω≤．故选D ． 12．【答案】A 【解析】【解答】解：由题意可知：双曲线的右焦点1F ，由P 关于原点的对称点为Q ，则|OP OQ =， ∴四边形PFQF 为平行四边形，则1PF FQ =，1PF QF =，由3PF FQ =，根据双曲线的定义12PF PF a -=，∴190OPF ∠=︒，在1QPF △中，2PQ b =，13QF a =，1PF a =， ∴()()22223b a a +=，整理得：222b a =，则双曲线的离心率2213c b e a a==+=．故选A ．13．【答案】49【解析】【解答】解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有13C 种，则4人总的选择方式共有()4143C 3=种，其中甲、乙的选择方式有()2122C2=种，其余两人仍有()2123C3=种，故甲不选A 、乙不选B 项目的概率为22423439⨯=． 法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种， 而甲乙的选择相互独立，故甲不选A 、乙不选B 项目的概率为49． 故答案为49． 14．【答案】18【解析】∵α，β均为锐角，∴>0x ，>0y ，故答案为18． 15．【答案】2 【解析】【解答】解：如图，设底面圆的圆心为O ，S 、A 、B 、C 四点所在球面的球心为1O ，连接SO ，设球1O 的半径为R ，故答案为2．16．【答案】52+【解析】【解答】解：设(),Q x x ，由于PQ 与两直线垂直且2PQ =，则()1,1P x x -+，故()()()2222513AQ BP x x x x +=-++-+-．此式可理解为点(),Q x x 到()5,0A 及()1,3C 的距离之和，其最小值即为5AC =． 故所求最小值为52+．故答案为52+．17．【答案】（1）设圆O 半径为R ，由正弦定理，2sin AD R ABD=∠，2sin CDR DBC =∠， ∴sin sin AD CDABD DBC=∠∠， 又sin 3sin ABD DBC ∠=∠．故3AD CD =．而3AD =．∴1CD =． 设AB x =，则2222119233123122BD x x ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭． ∴2340x x --=．∴4x =．即4AB =．【解析】（2）设O 为AC 中点，1O 为11A C 中点，以射线OB ，OC ，1OO 为非负x ，y ，z 轴． 建立空间直角坐标系，∴1,2AB ⎛= ，(0,AD =，(0,AC =，11,2AB ⎛= 设(1,m x y =00m AB m AD ⎧⋅=⇒⎪⎨⋅=⇒⎪⎩取(3,m =-设(22,,n x y =100n AC n AB ⎧⋅=⇒⎪⎨⋅=⇒⎪⎩取(4,0,1n =-3,11917m n =【解析】设椭圆方程为22244x y b +=， 将M点坐标代入可得1b =，由于220044x y +=，【解析】（2）由于从顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ， 则由A 出发经过n 步到达点1B ，1D 的概率也是n q ，n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=，n 为偶数时，由A 出发经过n 步不可能到1A ，B ，D ，1C 这四个点，31n n p q +=．由A 出发经过n （n 为偶数）步再回到A 的路径分为以下四类：【解析】令()0f x '≥得0<1x ≤．故()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减， ∴()()max 11f x f ==-．（2）设()()2ln 21g x x t x x =+---，①若1e t ≤≤，则0x ≥时，240x -≤，()410t x -+≤，10t -≤，>0x t +， 此时()0g x '≤对0x ≥恒成立，故()g x 在[)0,+∞单调递减，()()0ln 10g x g t ≤=-≤， 故[]1,e t ∈符合要求．②若0<<1t ，由于()ln 1f x x x =-≤-故ln 1x x ≤-，∴()ln 1x t x t +≤+-，而()()22211222>0x x x t x t t ++-+-=-+≥-对0x ≥恒成立， ∴()2211ln x x x t x t ++≥+-≥+．∴()0,1t ∈符合要求， 综上，t 的取值范围为(]0,e ． 【解析】22．【答案】（1）∵曲线2C 的方程为()2sin2cos >0p p ρθθ=，∴22sin 2cos p ρθρθ=，即()22>0y px p =．∴曲线2C 的直角坐标方程为()22>0y px p =，又已知2p =，∴曲线2C 的直角坐标方程为24y x =．【解析】∴实数a 的取值范围是()(),04,-∞⋃+∞．∴2<2a =-符合题意，∴2a =-．。
【精准解析】湖南省长沙市长郡中学2021届高三高考一模数学试卷 含解析
2021年湖南省长沙市长郡中学高三高考数学一模试卷一、单项选择题（每小题5分）.1．若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i2．已知集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，则P∩Q＝（）A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0≤x≤6}D．{x|﹣6≤x≤0} 3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（）A．﹣B．﹣C．D．24．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件5．某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底30°面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为30°，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约为（）平方米（注：，，）A．990B．890C．790D．6906．已知非空集合A，B满足以下两个条件：（i）A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝∅；（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．7B．8C．9D．107．已知实数a，b，c∈R，满足，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c8．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满足CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，则实数λ的最大值为（）A．1B．C．2D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查．经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）．根据统计图分析，下列结论正确的是（）A．当x∈[0，2）时有害垃圾错误分类的重量加速增长B．当x∈[2，4）时有害垃圾错误分类的重量匀速增长C．当x∈[4，6）时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[2，4）时增长了30%D．当x∈[6，8]时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[0，2）时减少了0.6吨10．如果平面向量，那么下列结论中正确的是（）A．||＝3||B．C．与的夹角为30°D．在方向上的投影为11．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B 在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得CD＝s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC12．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为“∞曲线”C．已知点P（x0，y0）是“∞曲线”C上一点，下列说法中正确的有（）A．“∞曲线”C关于原点O中心对称B．C．“∞曲线”C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个D．|PO|的最大值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．在（2+）6的展开式中，常数项等于．14．已知是函数f（x）＝a sin x+b cos x（a＞0）的对称轴，则f（x）的对称中心为．15．定义函数f（x）＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.3]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，[2]＝2．当x∈[0，n）（n∈N*）时，f（x）的值域为A n．记集合A n中元素的个数为a n，则值为．16．若关于x的方程+x﹣ln（ax）﹣2＝0（a＞0）有解，则正数a的取值范围是．四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．△ABC的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，已知向量＝（c﹣a，sin B），＝（b ﹣a，sin A+sin C）且∥．（1）求C；（2）若，求sin A．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3＝8，S5＝2a7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前2n项和T2n．19．如图1，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE∥BC，记．将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．（1）当EN∥平面MBD时，求λ的值；（2）试探究：随着λ值的变化，二面角B﹣MD﹣E的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角B﹣MD﹣E的正弦值大小．20．已知函数f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．21．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆C的左焦点F1作不与x轴重合的直线MN与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线m：x ＝﹣2a的垂线ME，E为垂足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）①已知直线EN过定点P，求定点P的坐标．②点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值．22．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．（1）当n＝2，p＝时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求ξ的分布列与数学期望；（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C 可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？参考答案一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若复数z满足2z+＝3﹣2i，其中i为虚数单位，则z＝（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i解：复数z满足2z+＝3﹣2i，设z＝a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi＝3﹣2i．解得a＝1，b＝﹣2．z＝1﹣2i．故选：B．2．已知集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}，Q＝{x|3x≥1}，则P∩Q＝（）A．{x|﹣1≤x≤0}B．{x|0≤x≤1}C．{x|0≤x≤6}D．{x|﹣6≤x≤0}解：集合P＝{x|x2﹣5x﹣6≤0}＝{x|﹣1≤x≤6}，Q＝{x|3x≥1}＝{x|x≥0}，∴P∩Q＝{x|0≤x≤6}．故选：C．3．圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离为1，则a＝（）A．﹣B．﹣C．D．2解：圆x2+y2﹣2x﹣8y+13＝0的圆心坐标为：（1，4），故圆心到直线ax+y﹣1＝0的距离d＝＝1，解得：a＝，故选：A．4．设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：因为a，b都是实数，由a＞b，不一定有a2＞b2，如﹣2＞﹣3，但（﹣2）2＜（﹣3）2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不充分条件；反之，由a2＞b2也不一定得a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，所以“a＞b”是“a2＞b2”的不必要条件．故选：D．5．某班科技兴趣小组研究在学校的图书馆顶上安装太阳能板的发电量问题，要测量顶部的面积，将图书馆看成是一个长方体与一个等底的正四棱锥组合而成，经测量长方体的底面正方形的边长为26米，高为9米，当正四棱锥的顶点在阳光照射下的影子恰好落在底30°面正方形的对角线的延长线上时，测的光线与底面夹角为30°，正四棱锥顶点的影子到长方体下底面最近顶点的距离为11.8米，则图书馆顶部的面积大约为（）平方米（注：，，）A．990B．890C．790D．690解：如图1，根据题意得：∠PSO＝30°，CC1＝9，SC1＝11.8，AB＝26，所以，故SO＝SC1+C1O＝11.8+18.2＝30，故在Rt△PSO中，设PO＝x，则PS＝2x，SO＝30，所以|SO|2+|OP|2＝|SP|2，即：900+x2＝4x2，解得在正四棱锥P﹣ABCD中，PO'＝17﹣9＝8，AB＝26，取BC中点E，连接EP，EO'，所以EO'＝13，由正四棱锥的性质得△PEO'为直角三角形，故|PE|2＝|PO'|2+|O'E|2＝132+82＝233，所以，所以正四棱锥P﹣ABCD的侧面积为．故选：C．6．已知非空集合A，B满足以下两个条件：（i）A∪B＝{1，2，3，4，5}，A∩B＝∅；（ii）A的元素个数不是A中的元素，B的元素个数不是B中的元素，则有序集合对（A，B）的个数为（）A．7B．8C．9D．10解：若集合A中只有1个元素，则集合B中只有4个元素，则1∉A，4∉B，∴4∈A，1∈B，此时只有＝1；若集合A中只有2个元素，则集合B中只有3个元素，则2∉A，3∉B，∴3∈A，2∈B，此时有＝3；若集合A中只有3个元素，则集合B中只有2个元素，则3∉A，2∉B，∴2∈A，3∈B，此时有＝3；若集合A中只有4个元素，则集合B中只有1个元素，则4∉A，1∉B，∴1∈A，4∈B，此时有＝1，∴有序集合对（A，B）的个数为：1+3+3+1＝8．故选：B．7．已知实数a，b，c∈R，满足，则a，b，c大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c解：因为，则a＞0，c＜0，对于函数f（x）＝x﹣lnx，（x＞0），f′（x）＝1﹣，可得f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴f（x）≥（1）＝1＞0，∴lna＜a，即，∴，令函数h（x）＝，h′（x）＝，可得h（x）的图像如下：∴a＜b，综上：b＞a＞c，故选：D．8．已知△ABC中，AB＝2BC＝4，AC＝2，点M在线段AC上除A，C的位置运动，现沿BM进行翻折，使得线段AB上存在一点N，满足CN⊥平面ABM；若NB＞λ恒成立，则实数λ的最大值为（）A．1B．C．2D．解：因为AB＝2BC＝4，AC＝2，且点M在线段AB上除A、C的位置运动，要使AB上存在一点N，满足CN⊥平面ABM，使NB＞λ恒成立，则当M恰好为C点时，为临界条件（M不可为C点，但可用来计算），即CN⊥AB，且NB＝λ，因为AB＝4，可得CN2＝4﹣λ2，CN2＝（2）2﹣（4﹣λ）2，所以4﹣λ2＝12﹣（4﹣λ）2，解得λ＝1，所以λ的最大值为1．故选：A．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查．经整理绘制了如图所示的有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间（单位：周），纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量（单位：吨）．根据统计图分析，下列结论正确的是（）A．当x∈[0，2）时有害垃圾错误分类的重量加速增长B．当x∈[2，4）时有害垃圾错误分类的重量匀速增长C．当x∈[4，6）时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[2，4）时增长了30%D．当x∈[6，8]时有害垃圾错误分类的重量相对于当x∈[0，2）时减少了0.6吨解：根据题意，依次分析选项：对于A，由统计图可知，第2周增长数量比第1周增长数量明显要多，所以是加速增长，所以选项A正确；对于B，当x∈[2，4）时图象是线段，所以是匀速增长，所以选项B正确；对于C，当x∈[4，6）时增长数量比当x∈[2，4）时增长数量要少，所以是减少，所以选项C错误；对于D，当x∈[0，2）时共增长2.4吨，当x∈[6，8]时共增长0.6吨，所以减少了1.8吨，所以选项D错误．故选：AB．10．如果平面向量，那么下列结论中正确的是（）A．||＝3||B．C．与的夹角为30°D．在方向上的投影为解：因为，所以．对于A，因为，所以，故A正确；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，因为，所以与的夹角为180°，故C错误；对于D，在方向上的投影为，故D错误．故选：AB．11．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与B 在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得CD＝s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（）A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACDC．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC解：对于A，已知s，∠ACB，∠BCD，∠BDC，在△BCD中，利用三角形内角和为180°可求得∠CBD＝π﹣∠BDC﹣∠BCD，利用正弦定理＝，可求得BC，在△ABC中，AB⊥BC，由tan∠ACB＝，即可求AB；对于B，在△BCD中，已知一边CD，一角∠BCD，无法求解三角形，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，无法求解三角形，在△ACD中，已知一边CD，一角∠ACD，无法求解三角形；对于C，在△ACD中，已知一边CD，两角∠ACD，∠ADC，由三角形内角和可求得∠CAD，由正弦定理可求得AC，在△ABC中，已知两角∠ACB，∠ABC＝90°，一边AC，利用sin∠ACB＝，可求得AB；对于D，在△ABC中，已知两角∠ABC＝90°，∠ACB，由tan∠ACB＝，可用AB表示BC，由sin∠ACB＝，可用AB表示AC，在△ACD中，已知∠ADC，边CD，AB表示AC，利用余弦定理可用AB表示AD，在Rt△ABD中，利用勾股定理可用AB表示BD，在△BCD中，已知∠BCD，CD，AB表示BD，AB表示BC，利用余弦定理可建立关于AB的方程，即可求解AB．故选：ACD．12．数学中的很多符号具有简洁、对称的美感，是形成一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素．如我们熟悉的∞符号，我们把形状类似∞的曲线称为“∞曲线”．在平面直角坐标系xOy中，把到定点F1（﹣a，0），F2（a，0）距离之积等于a2（a＞0）的点的轨迹称为“∞曲线”C．已知点P（x0，y0）是“∞曲线”C上一点，下列说法中正确的有（）A．“∞曲线”C关于原点O中心对称B．C．“∞曲线”C上满足|PF1|＝|PF2|的点P有两个D．|PO|的最大值为解：对A，设动点C（x，y），由题意可得C的轨迹方程为，把（x，y）关于原点对称的点（﹣x，﹣y）代入轨迹方程，显然成立；所以A正确；对B，因为P（x0，y0），故，又，所以a2sin∠F1PF2＝2a⋅|y0|，即，故，故B正确；对C，若|PF1|＝|PF2|，则P（x0，y0）在F1F2的中垂线即y轴上．故此时x0＝0，代入，可得y0＝0，即P（0，0），仅有一个，故C错误；对D，因为∠POF1+∠POF2＝π，故cos∠POF1+cos∠POF2＝0，，因为|OF1|＝|OF2|＝a，，故．即，所以．又|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2a，当且仅当P，F1，F2共线时取等号．故，即|OP|2≤2a2，解得，故D正确．故选：ABD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．在（2+）6的展开式中，常数项等于160．解：（2+）6的展开式的通项公式为T r+1＝＝26﹣r x3﹣r，令3﹣r＝0，可得r＝3，所以常数项为23＝160．故答案为：160．14．已知是函数f（x）＝a sin x+b cos x（a＞0）的对称轴，则f（x）的对称中心为（kπ﹣，0），（k∈Z）．解：f（x）＝a sin x+b cos x（a＞0）＝sin（x+∅），tan∅＝．∵是函数f（x）＝a sin x+b cos x（a＞0）的对称轴，∴f（0）＝f（），∴sin（0+∅）＝sin（+∅）＝cos∅，∴tan∅＝1，∴∅＝，∴f（x）＝sin（x+），由x+＝kπ，得：x＝kπ﹣，∴对称中心为（kπ﹣，0）（k∈Z）．故答案为：（kπ﹣，0），（k∈Z）．15．定义函数f（x）＝[x[x]]，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[1.3]＝1，[﹣1.5]＝﹣2，[2]＝2．当x∈[0，n）（n∈N*）时，f（x）的值域为A n．记集合A n中元素的个数为a n，则值为．解：根据题意，[x]表示不超过x的最大整数，即[x]＝，则有x[x]＝，则[x[x]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n﹣1；故a n＝1+1+2+3+……+（n﹣1）＝1+，＝（）+（）+……+（）＝++……+＝（﹣）+（﹣）+……+（﹣）＝2（1﹣）＝；故答案为：．16．若关于x的方程+x﹣ln（ax）﹣2＝0（a＞0）有解，则正数a的取值范围是[1，+∞）．解：因为，即e[ln（ax）﹣x+1]＝[ln（ax）﹣x+1]+1有解，由e x≥x+1，当且仅当x＝0时取等号，可知ln（ax）﹣x+1＝0在区间（0，+∞）内有解，所以ax＝e x﹣1在区间（0，+∞）内有解，即在区间（0，+∞）内有解，设，则，易知函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，而f（1）＝1，x→0时，f（x）→+∞，x→+∞时，f（x）→+∞，∴要使在区间（0，+∞）内有解，只需a≥1．故答案为：[1，+∞）．四、解答题（共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．△ABC的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，已知向量＝（c﹣a，sin B），＝（b ﹣a，sin A+sin C）且∥．（1）求C；（2）若，求sin A．解：（1）∵向量＝（c﹣a，sin B），＝（b﹣a，sin A+sin C）且∥，∴（c﹣a）（sin A+sin C）＝（b﹣a）sin B，由正弦定理可得（c﹣a）（a+c）＝（b﹣a）b，∴a2+b2﹣c2＝ab，∴cos C＝＝＝，∵C∈（0，π），∴C＝．（2）由（1）可得B＝﹣A，由题设及正弦定理可得：sin C+3sin（﹣A）＝3sin A，即+cos A+sin A＝sin A，可得sin（A﹣）＝，由于0，﹣＜A﹣＜，∴cos（A﹣）＝，∴sin A＝sin（A﹣+）＝sin（A﹣）cos+cos（A﹣）sin＝．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a3＝8，S5＝2a7．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前2n项和T2n．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则由题意可得，解得a1＝2，d＝3，所以数列{a n}的通项公式为a；（2）因为b＝（﹣1），所以T2n＝（a2﹣a1）+（a4﹣a3）+…+（a2n﹣a2n﹣1）+（22+23+…+2n+1）＝3n+＝3n+22n+2﹣4．19．如图1，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE∥BC，记．将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．（1）当EN∥平面MBD时，求λ的值；（2）试探究：随着λ值的变化，二面角B﹣MD﹣E的大小是否改变？如果是，请说明理由；如果不是，请求出二面角B﹣MD﹣E的正弦值大小．解：（1）取MB的中点为P，连接DP，PN，因为MN＝CN，MP＝BP，所以NP∥BC，又DE∥BC，所以NP∥DE，即N，E，D，P四点共面，又EN∥面BMD，EN⊂面NEDP，平面NEDP∩平面MBD＝DP，所以EN∥PD，即NEDP为平行四边形，所以NP∥DE，且NP＝DE，即，即．（2）解：取DE的中点O，由平面MDE⊥平面DECB，且MO⊥DE，所以MO⊥平面DECB，如图建立空间直角坐标系，不妨设BC＝2，则，D（λ，0，0），，所以，．设平面BMD的法向量为，则，令，即，又平面EMD的法向量，所以，即随着λ值的变化，二面角B﹣MD﹣E的大小不变．且，所以二面角B﹣MD﹣E的正弦值为．20．已知函数f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．解：（1）函数f（x）的定义域是（0，+∞），∵f（x）＝lnx﹣a（1﹣）+1（a∈R），∴f′（x）＝﹣＝，当a≤0时，f′（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞a，由f′（x）＜0得0＜x＜a，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增；（2）由f（x）＞0得lnx﹣a（1﹣）+1＞0，故＜lnx+1，即a＜对x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）＝，则g′（x）＝＝，令h（x）＝x﹣lnx﹣2，则h′（x）＝1﹣＝，∵x＞1，∴h′（x）＞0，∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，∵h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln4＞0，故∃x0∈（3，4）满足x0﹣lnx0﹣2＝0，当1＜x＜x0时，h（x）＜0，g′（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，g′（x）＞0，故g（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，故g（x）min＝g（x0）＝＝x0，故a＜x0，∵3＜x0＜4，a∈Z，故a的最大值是3．21．已知椭圆＝1（a＞b＞0）的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆C的左焦点F1作不与x轴重合的直线MN与椭圆C相交于M，N两点，过点M作直线m：x ＝﹣2a的垂线ME，E为垂足．（1）求椭圆C的标准方程；（2）①已知直线EN过定点P，求定点P的坐标．②点O为坐标原点，求△OEN面积的最大值．解：（1）根据题意可得，所以a＝2，b＝，所以椭圆的方程为+＝1．（2）①由题意知，由对称性可知，P必在x轴上，F（﹣1，0），设直线MN的方程为：x＝my﹣1，M（x1，y1），N（x2，y2），E（﹣4，y1），联立，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，所以y1+y2＝，y1y2＝，所以﹣2my1y2＝3（y1+y2），又k EN＝，所以直线EN的方程为y﹣y1＝（x+4），令y＝0，则x＝﹣4﹣＝﹣4﹣＝﹣4﹣＝﹣4+＝﹣，所以直线EN过定点P（﹣，0）．②由（1）知△＝144（m2+1）＞0，|y1﹣y2|＝＝＝，所以S△OEN＝|OP||y1﹣y2|＝•＝，令t＝，t≥1，则S△OEN＝＝，在[1，+∞）上单调递减，所以t＝1时，[S△OEN]max＝．22．某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G有2n﹣1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p，且每个电子元件能否正常工作相互独立．若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G可以正常工作，否则就需维修．（1）当n＝2，p＝时，若该电子产品由3个系统G组成，每个系统的维修所需费用为500元，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求ξ的分布列与数学期望；（2）为提高系统G正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p，且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C 可以正常工作，问p满足什么条件时，可以提高整个系统G的正常工作概率？解：（1）当n＝2时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为，（1分）设X为该电子产品需要维修的系统个数，则，ξ＝500X，∴，∴ξ的分布列为：ξ050010001500P∴．（2）记2k﹣1个元件组成的系统正常工作的概率为p k.2k﹣1个元件中有i个正常工作的概率为，因此系统工常工作的概率．在2k﹣1个元件组成的系统中增加两个元件得到2k+1个元件组成的系统，则新系统正常工作可分为下列情形：（a）原系统中至少有k+1个元件正常工作，概率为；（b）原系统中恰有k个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，概率为；（c）原系统中恰有k﹣1个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，概率为．因此，＝，故当时，p k单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性．- 21 -。
o2020┄2021届长郡中学高三第1次月考试卷
长郡中学2021年高三月考试卷（一）化学得分:本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量90分钟，满分100分可能用到的相对原子质量:H~1 C~12 N~14O~16 Mg~24 Al~27一、选择题（本题有22个小题，每小题2分，共44分。
每小题只有一个选项符合題意）★1.有些科学家提出硅“21纪的能源”，这主要是由于作为半导体材料的硅在太阳能发电过程中具有重要的作用。
下列关于硅及其化合物的如说法正确的是（）Ａ．光导纤维的主要成分是SiO2Ｂ．水泥、玻璃、水晶饰物都是硅酸盐制品Ｃ．白然界中硅元素的储量丰富，并存在大量的单质硅Ｄ．高温下，可在普通玻璃试管内完成焦炭和石英砂（SiO2）制取硅的反应2.下列化学用语表示正确的是（）Ａ．S2-的结构示意图：Ｂ．乙酸的结构简式：C2H4O2Ｃ．中子数为20的氯原子：Ｄ．二氧化碳分子的比例模型：★3.下列有关物质的性质与其应用不对应的是（）Ａ．MgO、Al2O3的熔点高，可制作时高温材料Ｂ．Al具有良好的延展性和抗腐蚀性，可制成铝箔包装物品Ｃ． NaHCO3能与碱反应，在食品工业中用作焙制糕点的膨松剂Ｄ．利用钠蒸气放电发光的性质制造的高压钠灯，可发出射程远、透雾能力强的黄光4.N A代表阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是（）Ａ．常温下，0.1molCl2与足量的水反应，转移的电子数为0.1N AＢ．将100mL0.1mol/ L FeCl3溶液滴入沸水中可制得Fe（OH）3胶粒0.01N A Ｃ．1 mol MnO2粉末与足量的浓盐酸共热，转移的电了数目小于2N A Ｄ．乙烯和环丙烷组成的28g混合气体中，氢原子的个数为N A★5.如果家中的食用花生油中不小心混人了大量的水，最简便的分离方法是（）6.下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是（）①1010)()(=-+OHcHc的溶液中:K+、AlO2-、C1-、Na+②Fe与稀硫酸反应后的溶液中:NH4+、Cl-、Na+、[Fe（CN）6]3-③无色溶液中:K+、Na+、Br-、Cu2+④常温时，水电离出的c（H+）=10-10mol/L的溶液中:Al3+、C1-、SO42-、 CH3COO-⑤某澄清透明的溶液中：Fe3+、NO3-、K+、SO42-Ａ．①② Ｂ．③④ Ｃ．④⑤ Ｄ．⑤★7.下列氧化还原反应方程式中，所标电子转移方向或数目错误的是（）8.的同分异构体中，满足下列条件的共有（不考虑立体异构）（）①苯环上只有两个取代基②能发生银镜反应③遇FeCl3溶液发生显色反应Ａ．3 Ｂ．6种Ｃ．9种Ｄ．12种9.利用如图所示装置进行下列实验，能得到相应实验结论的是（）选项①②③实验结论A食盐水电石溴水乙炔可与溴单质发生加成反应B浓硫酸Cu酸性KMnO4溶液验证SO2的还原性C浓硝酸Fe NaOH溶液铁和浓硝酸反应可生成NO2 D浓氨水生石灰酚酞溶液氨气的水溶液呈碱性★10.某有机物的结构如图所示，下列关于该有机物的说法正确的是（）Ａ．与乙苯互为同系物Ｂ．分子中共直线的原子最多有4个Ｃ．甲苯互为同分异构体Ｄ．分子中共平面的碳原子最多有13个11.下列能正确表示相应反应的离子方程式是（）A.用酸性KMnO4溶液与H2O2反应，证明H2O2具有还原性：2MnO 4—+6H ++5H 2O 2=2Mn 2++5O 2↑+8H 2OＢ．向NH 4Al （SO 4）2溶液中滴加Ba （OH ）2溶液至SO 42-恰好沉淀完全； Al 3++2SO 42-+2Ba 2++4OH -=2BaSO 4↓+AlO 2-+2H 2OＣ．用铁做电极电解NaCl 溶液；--+↑+↑=+2OH Cl H 电解O 2H 2Cl 222 Ｄ．将Fe 2O 3加入HI 溶液中：Fe 2O 3+6H +=2Fe 3++3H 2O12.体积为1L 的某溶液屮含有以下离子（忽略水的电离及离子的水解）：用惰性电极电解该溶液，当电路中有6mole —通过时（忽略电解时溶液体积的变化及电极产物可能存在的溶解现象），下列说法正确的是（ ）Ａ．b=2 Ｂ．阴极析出的金属是铜与铝Ｃ．阳极生成了22.4LCl 2 Ｄ．电解后溶液中的c （H +）=2mol/L13.在一定温度下的定容密闭容器中发生反应NH 2 COONH 4（s ）⇌2NH 3（g ）+CO 2（g ），下列能说明该反应已达到平衡状态的是（） Ａ．NH 3在混合气体中的体积分数不变 Ｂ．混合气体的压强不变Ｃ．.混合气体的平均相对分子质量不变 Ｄ．各生成物的浓度之比等于化学计量数之比14.已知工业合成氨的反应为N 2（g ）+3H 2（g ）⇌2NH 3（g ）△H<0。
(解析版)湖南省长沙市长郡中学高三第三次月考数学(理科)
长郡中学2021届高三月测试卷〔数学〔理科〕第I卷〔共60分〕一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的.1 .集合｛y E N|y = -/十6〕E M｝的真子集的个数是〔〕A. 3B. 4C. 7D. 8【答案】C【解析】二函数y =-工之l•3KE^^ x = 0. 1,2时,y分别等于63 2在［0,十面上是减函数,,*二3 时,y ＜0, J. ｛y EN¥=-/+0K EN｝=｛工5,6｝一,该集合的所有真子集为@闭,⑸,⑹：口5｝#2,6*5⑹,,该集合的真子集个数为7,应选C.2 .变量X?■成负相关,且由观测数据算得样本平均数",y =3.5,那么由该观测数据算得的线性回归方程可能是〔〕A. y .1三B. .:,-'C. V - ；：D. ■■』■!【答案】C【解析】由变量x、y负相关,知A, B不正确,把代入C, D方程只有C满足,应选C.3.命题P：% E 〔y,0〕, 2%工3%,命题卬队E 〔o,|j, tanx ＞或ux,那么以下命题为真命题的个数是〔〕①口*q；②pv「q〕；③④pZF.A. 1个B. 2 个C. 3 个D. 4 个【答案】B2 靠【解析】•「当x＜.时,总有〔广1 ,即八命题P为假,从而不为真,■■■当匹吟|时,tanx-sinx --- ---------------- ＞.,即面ix＞Wnx.又命题q为真,二〔¥〕八9, pVq为真,真命题的个数cosx是工应选B.4 .复数工满足小1 = ।十］〔:为虚数单位〕,那么工的共轲复数工A. । - -B.C. T 十D. ।【解析】由于Z7 = l十］,所以(1+1)(-1) , gPz= 1-1, E的共轲复数』=1十i,应选A.5 .执行如下图的程序框图,那么输出的结果是( )A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C2 2 3【解析】第一次循环,S = log^,口= 2 ；第二次循环,S = log3- + = 3 ；第三次循环,J 3 45 = log3- ।匕g%- log2-Ji = <..,第n次需环,.234 , n , 2 2.一一.S = 10g3- + l0g2-卜iQg广1-- + ——一= ------ 浦=n + 1 ,令Wgr ------ < 一己,解得口> 1 5,八输出M 5 F + 1 F + 1 n- 1的结果是n十1 = 16,应选C.6 .f(x)为奇函数,函数［(X)与虱K)的图象关于直线丫=工十1对称,假设2⑴=4,那么£(-3)=( )A. -2B. 2C. -1D. 4【解析】解析：由题意设P〔1冉关于y = x+I的对称点Mo,那么,解之得二;那么｝』〔32〕在函数y = f〔x〕的图像上,故f〔3〕= 2,那么f〔-3〕= -2,应选答案B.7 .实数x;y满足|x| < y + I ,且T M y M I ,那么z = 2x十y的最大值〔〕A. 2B. 4C. 5D. 6jn11* ■:c、f y > X-1 T x > 0根据题意,约束条件为：y<-x-Lx<0 约束条件围成的图形如图 A.ABC ,,-1 <y< 1z = 2x + >化为y =-2x+z,平移予=-2x十乙当二;时,y =-六+ z在Y轴上的截距m取得最大值,z = 2x + y = 2x2+ 1 = 5,应选C.【方法点晴】此题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值,属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求〞：〔1〕作出可行域〔一定要注意是实线还是虚线〕；〔2〕找到目标函数对应的最优解对应点〔在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解〕；〔3〕将最优解坐标代入目标函数求出最值.8 .某空间几何体的三视图如下图,那么该几何体的体积为〔〕【解析】解析：由三视图中提供的数据信息和几何特征可知该几何体是一个四棱锥去掉以半圆锥的组合体,其体积 型=,2小2E 应选答案B . 3 3 3「 3兀9 .假设函数 f(x) = sinsx 斗小CQSSK R E R),又®) = -2 , f(p)=.,且o.-fJ|的最小值为一,那么正数m 的 值是()A. B. C. D.3 2 3 3【答案】D/ 7C\ 乳 7T 二(冗 5jt 【解析】f(x) = 2洞ox 4,由 f(o) = -2,得切口 । - =的兀一出 E Z ,口 = ------------- ,由 f(p) =.,3/ 3 2 co 6o) 3.工 2时,|a-p 取得最小值—,那么—=一,解得团=-,应选D.2<0 4 310.如图,正三棱柱AB .A[Bgi 的各条棱长均相等,D 为AA1的中点,M,N 分别是线段口蜕和 线段CJ 上的动点(含端点),且满足BM = gN .当M,N 运动时,以下结论中不正确的选项是()A.平面DMN 1平面BCCBB. 三棱锥A 】DMS 的体积为定值C. ADMN 可能为直角三角形D. 平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角范围为(0,三【答案】C如图,当M,N 分别在上运动时,假设满足BM = C[N,那么线段MN 必过正方形BCCiE .的中央.,而D0 1平面BCCiB]/平面DMN1平面BCC|B 「A 正确；当MN 分别在 BBpCC]上运动时,AA 】DM 的面积不变,N 到平面A 】DM 的距离不变,的棱锥N-AQM 的体积不..,了 ： . . ； .|, 那么 a B _ 2<k r k ^ ,八」dR --------------- co71 2©4(k 「kr)兀 f2<o、kWZ ,变,即三棱维A 「DMN 的体积为定值,E 正确；假设为直角三角形,那么必是以 AfDN 为直 角的直角三角形,但的最大值为BG ,而此时DMDX 的长大于BBp 二Z\DMN 不可能为直角三角形,C 错误；当M,N 分别为BBpCC ］中点时,平面DMN 与平面ABC 所成的角为0,当M 与B 重 7E合,N 与G 重合时,平面DMN 与平面ABC 所成的锐二面角最大,为 ,C|BC 等于j, ,•.平面DMN 与n 7Txf-1) sin ----- 1- 2dx E [组2tl + l\(nEN),假设数列｛4｝满足11 .i- i . 7CX(—1)“+ 2n + 2,x E [2n + l,2n - 2),a m = ^mXmEN*〕,数列｛鼠〔的前加项的和为兀,那么瓦通一与小 〔 〕A. 909B. 910C. 911D. 912 【答案】A7tx1(-l)nsin — + 2ax E [2n,2n + 1)【解析】函数f(x)=」,n E N ,数列k J 满足(—I/1 siny - 2口 ▼ 2,x E [2n 十[,2n 十 2)斗u = f ⑹(m EN"),二斯/一蹑二的7十%吕+…十%5 二.4M , 49JF . 52?c .. . “、人. sin,— । 2 x 48 + 2-sm ----- + 2 x 49 । ... । sm — । 2 乂 52 4 2 = 909 ,应选 A.2 2 2 12.函数f(、) = x + /F , g(x) = iMx 十2)-4 ,其中1c 为自然对数的底数,假设存在实数 4,使口与)-虱飞)=3成立,那么实数a 的值为( )A.B. In...C. .D. .【答案】B_ ___ , 一 , 1 K + 1 ,, 【解析】令 Rx 〕-g 〔K 〕=x-i e - ln 〔x -I 2〕'I 4e ,令丁 = x- ln 〔x + 2〕 y 1 = l -- -- ----- ,故x + 2 x + 2y =x-ln 〔x +2〕在上是减函数,〔-1,十◎上是增函数,故当K = T 时,y 有最小值-1-0 =-1 , 由根本不等式得『一〞十命一〞之4〔当且仅当= 4/一",即x = a 十足之时,等号成立〕；故f 〔x 〕-g〔x 〕=3〔当且仅当等号同时成立时,等号成立〕,故x=a 十ln2=-1,即a = Tn2-1,应选B.【方法点睛】此题主要考查利用导数求最值、根本不等式求最值以及转化与划归思想的应用, 属于难题.利用根本不等式求最值时,一定要正确理解和掌握“一正, 二定,三相等〞的内涵：平面ABC 所成的锐二面角范围为〔0,： D 正确,应选C.11.函数Rx 〕一正是,首先要判断参数是否为正；二定是,其次要看和或积是否为定值〔和定积最大,积定和最小〕；三相等是,最后一定要验证等号能否成立〔主要注意两点,一是相等时参数否在定义域内,二是屡次用3或•工时等号能否同时成立〕第n卷〔共90分〕二、填空题〔每题5分,总分值20分,将答案填在做题纸上〕13.抹展开式的常数项为15,贝।sin2x〕dx =., -a【答案】23 -—1 十_j- q【解析】由题意得：T _] = 〔96-『,〔_火〕『=〔_]〕『.产,c：• x之,令3i；r = 0,即r = X D a C「15,,a - --7=15, /.a4= 1. ■■ a> 0, = 1 ,2 乂1H 1 I I 1'JG1 + sin2x〕dx = Jjl -x2d x + J sin2xdx = 法,根据定积分的几何意义可得Jjl—x?dK-a -1 -1 -1 -1表示半径为I的半圆的面积,【方法点晴】此题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及定积分的几何意义,属于中档题.二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一,关于二项式定理的命题方向比拟明确,主要从以下几个方面命题：〔1〕考查二项展开式的通项公式T『+i = C/LE ;〔可以考查某一项,也可考查某一项的系数〕〔2〕考查各项系数和和各项的二项式系数和；〔3〕二项展开式定理的应用.14 .向量满足：|a| = |b| = I ,且「E = L 假设c = xa十yl 其中x>0 , y >0且x+y = 2 ,那么|c 的最小值是.【答案】忑【解析】v|a| =|b| =1 ,且a -〔? = -,当c = xa 十?后时,c2= x2a3I 2xya - b I y气,,= x2+xy +/=〔x + y〕2-xy,又x>0,y > 0 且x i y = 2, - xy r< | = 1 ,当且仅当x = y = I 时取“=",二/ > 〔x r广笥丫= 231 = 3-、向的最小值是后,故答案为忑.15 .将正整数12分解成两个正整数的乘积有I第12, 2 乂6, 3三种,其中3,4是这三种分解中两数差的绝对值最小的,我们称3丈4为12的最正确分解.当P'q 〔PWq且p,qEN* 〕是正整数口的最正确分解时,我们定义函数f〔n〕= q—p,例如f〔12〕= 4-3 = I .数列/⑨?的前100项和为【解析】当口为偶数时,耳片=0;当n 为奇数时,丁〞、,' ' f(3n ) = 3 2 一3 二S1翼=2(3°-31+…十3勺=2 x --------- = 3,0-1,故答案为产7.3_1 16 .如图,正方体ABCD-AjBgiD]的棱长为3,在面对角线A 】D 上取点M,在面对角线CD 】上取点N ,使得MN II 平面AAgg ,当线段YN 长度取到最小值时,三棱锥 AI-MND]的体积为【答案】1【解析】试题分析：如以下图所示,建立空间直角坐标系,从而可设,Y(m0m) , NB ,n,3-n),• - XdN = (-m,n n 3_n m),而面•工CC-看 的■个法向量是 n=( 1,1,0) , •1- XIN ■ n = O^m = n , 「• xfrj2 = 十 n* 十(3一口-m)* = 2m* 十I 9 = 6(m -])1 + 3 > 3 , 当且仅当m = 1时,等号成立,此时%%/加]=V N -AM D]乂 2" = ],故填：। .考点：立体几何中的最值问题.【思路点睛】立体几何的综合应用问题中常涉及最值问题,处理时常用如下两种方法：1 .结合条件与 图形恰当分析取得最值的条件；2 .直接建系后,表示出最值函数,转化为求最值问题.三、解做题 (本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.)n-1 n-1口=2x3?,17.某高校在今年的自主招生测试成绩中随机抽取100名考生的笔试成绩,分为 5组制出频率分布直方图如下图〔1〕求4d 的值;〔2〕该校决定在成绩较好的 3、4、5组用分层抽样抽取 6名学生进行面试,那么每组应各抽多 少名学生？〔3〕在〔2〕的前提下,面试有 4位考官,被抽到的 6名学生中有两名被指定甲考官面试,其余4名那么随机分配给3位考官中的一位对其进行面试,求这 4名学生分配到的考官个 数X 的分布列和期望.【答案】〔1〕前,03, 20, 0.2; 〔2〕第三组应抽3人,第四组应抽2人,第五组应抽I 人；〔3〕 65 . 27【解析】试题分析：〔1〕由频率分布直方图,求出成绩有 [85,90〕中的频率,由此根据频率与频数的关系能求出abc 的值；〔2〕组的学生数分别为3d20,10 ,由此能求出用分层抽样抽取6名学生进行面试,每组应各抽多少名学生；〔3〕由得X 的可能取值为123,分别求出相应的概率,由此能求出这 4名学生分配到的考官个数X 的分布列和期望. 试题解析：〔1〕由题意知 b = o.oe X 5 = 0.3 , a = 100 x 0.3 = 30 , d = I -0.05-035 -03-0.1 =0.2 c= 100x0.2=20 ..30〔2〕三个组共60人,所以第三组应抽人, 20 10第四组应抽6、二=1人,第五组应抽6乂二=1人.60 60 （3） X 的所有可以取的值分别为 1,2,3叱=】)=#=万/+ 14 -P(X = 2) =-------- ----- =—(或 P(X = 2) =27组号分组；粮教 频率1 [75,80) 产30.05 2 [80,85) 350,353 [85,90) a4 [90,95) r d5[95JOO)100, 1C ■设一 2) 144 一P(X = 3)=——=-(或 P(X = 3) = IT 9 所以X 的分布列为:14 27所以X 的数学期望E 〔X 〕 = 1【方法点睛】此题主要考查直方图的应用以及离散型随机变量的分布列与数学期望,属于中 档题.求解该类问题,首项要正确理解问题,其次要准确无误的随机变量的所以可能值,计 算出相应的概率,写出随机变量的分布列,正确运用均值、方差的公式进行计算,也就是要 过三关：〔1〕阅读理解关；〔2〕概率计算关；〔3〕公式应用关.就18.在3ABe 1中,内角A,B,C 所对的边分别为 电b,c,.=2,〔3 = §. 〔1〕当 2sin2A ++ C 〕 = siriC 时,求 AABC 的面积；〔2〕求.AABC 周长的最大值.【答案】〔1〕亍；〔2〕6.【解析】试题分析：〔1〕由二倍角的正弦公式以及两角和的正弦公式化简可得23mAeosA = sinBcosA ,分类讨论先分别求出 久,B ,再求出a,b 的值,利用三角形面积公式即可计 算得解；〔2〕由余弦定理及条件可得：/十产rb = 4,利用根本不等式可得〔a + b 〕3 = 4 । 3册玉4 + 3史型-,解得a 『bW4,从而可求周长的最大值.由 2sm2A + sin(2B + C) = sinC得 241nAe 口SA = sinBeosA ,当时,sinB = 2sinA ,由正弦定理b = 2日,联立 2点4小解得b=?T,, 一,―…1 2小故二角形的面积为试题解析:a -+b - - ab = 4b = 2a〔2〕由余弦定理及条件可得：.由〔g+= 4十3处三4十3〔a；b〕得& ± b < 4 ,故AABC周长的最大值为6,当且仅当三角形为正三角形取到 .19.如下图,直三棱柱ABC-中,AB=AC = 2, 0为-G的中点,E为的中点.B 民〔1〕求证：C^ill 面ARD；〔2〕假设AB[J-面A]DB,求二面角B %D瓦的余弦值.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕—.4【解析】试题分析：〔1〕设AB1与AR交于F,连接DF.EF, •••EFIIBBJICC],那么EF与CQ平行且相等..♦・四边形EgDF为平行四边形,由线面平行的判定定理可得结果；〔2〕以BC的中点口为原点,分别以OE. OA方向为x轴和工轴正方向,以方向为y轴正方向,建立空间直角坐标系,分别求出平面与平面的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果 ^试题解析：〔1〕设居1与交于F,连接DF、EF,••• EFII BB仲CC1?那么EF与C]D平行且相等..•・四边形EC]DF为平行四边形..CjE IDF,又DF 匚面A]DB, C】E仁面ARB ,,C]E II 面ARD.〔2〕以BC的中点.为原点,分别以OB、OA方向为x轴和工轴正方向,以CC]方向为y轴正方向, 建系如图,设8=K, AAj = y,那么有H〔xaO〕, A〔0A^4^'〕, E]〔xy0〕, 一冬〔.邛<777〕, D卜.•・班= 〔-2x:0〕,..叫=〔-居媪匚♦,,赢1 =〔x,y-J4.x方由AB[,面A]DB ,那么H；A ■ BAj = 0,E；A liD = 0.那么1尸.、解得门.所以面ARD的法向量为_0]=〔12.我,又设面ARD的法向量为S =〔a,b,c〕, 口云「QI.〕,A自=〔】.,我,A1B1n = O, DB1 n = O,所以隹.二;,令a =收那么s瑜」〕,J7.、下-5出击..•",•.・■1 - .S ,尽44所以二面角的余弦值为—.4【方法点晴】此题主要考查线面平行的判定定理、利用空间向量求二面角,属于难题.证实线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证实两直线平行.②利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.此题〔1〕是就是利用方法①证实的.20.数列kn｝满足为7, %+]=相1卜产1-4口〔武短〕.〔1〕是否能找到一个定义在因’的函数Rn〕=A,2n T I 〔4B、C1是常数〕使得数列｛日口一出口〕｝是公比为3的等比数列,假设存在,求出｛%｝的通项公式；假设不存在,说明理由；〔2〕ifiS1]=a l i-a2 iq 一। %,假设不等式'r?>p x非对任意“ E N〞都成立,求实数p的取值范围.【解析】试题分析：1「由即+1 = 3a n + 2n 1- 4n可得(n + 1) - 3f(n) = 2n-1 - 4n ,纪合f(n 4- 1) - 3f(n) = - A ' 2n 1 - 2Bn + (B - 20 ,对应项系数相等列不等式组求解即可；⑶ 先利用分组求和法求得£门二2n + r? + 2rv化简5n -n2> px 3rl可得p < \ ." +工口= 1,中II I 11 I ■3n试题解析：(1) 8n(口 + l)=地1r氏项,•.•%+[= 3% । Rn 7)-3f(n),所以只需.,■, i,■,二二匕1 '二,•二? ?.即::二T.‘‘」：・； 1 ・3〞一.：一•.7 ,,1 - 一.二"'' 「二n .(2 ：：.二：i- 3.•一：1：・；I ・二•••二：・二. ・n • .「' + ..：二,2 + 2n 2 - 2n=. ________2n-2n 2n- 4n + 2 2n-2(2n- I)当n"时,/=〔I + 1广十u/] 一…十黑；十C：；三2十五n- l〕= 2n>2n- I 二.n"时,％ + 产%.容易验证,当15W3时,% + ]三,,73一 ,O 1・•.p的取值范围为〔-叫\ 81 /21 .f(x) = e'(ax,- x 十］).〔1〕当aWO时,求证：f〔x〕< I ;〔2〕当a >0时,试讨论方程f〔x〕=］的解的个数.【答案】〔1〕证实见解析；〔2〕林」时,方程一个解；当林J且4.时,方程两个解.2 , 2【解析】试题分析：〔1〕f〔x〕三l=e*〞〔ax,十x十】〕01等价于e x - ax3 - X - I > 0 ,令h㈤= 利用导数研究函数的单调性求出h〔x〕En = h〔0〕= 0 ,即可得结论；〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x- ax2- x - 1的零点个数,通过两次求导,讨论三种情况,分别判断函数Mx〕单调性及最值情况,从而可得方程解的个数试题解析：〔1〕要证Rx〕三l=e*'〔ax"十犬十】〕三1 ,只要证e x- ax2- x - I > 0 (* )令h(x) =,- ax" - x - 1 ,贝U h(K)=/- - 1 ,而h"〔*〕=£-%>.,所以h&l在〔-8,十⑼上单调递增,又4〔0〕= 口, 所以Mx〕在上单调递减,在〔0,十⑼上单调递增,,h〔K〕min , h〔0〕= 0 ,即hg 至.,〔* 〕式成立所以原不等式成立.〔2〕问题转化为函数h〔x〕= e x-ax2-x - 1的零点个数.而h (x)=它*= 2ax - 1 , h (x) = e x- 2a.令h"(x) = O,解得x = ln2n所以h'〔x〕在「8血㈤上单调递减,在包十⑼上单调递增.所以h(x)mg = h (ln2a) = 2a - 2aln2a - 1 ,设m = 2a,, g(m) = m - mlnm - 1 ,而, 那么g〔x〕在〔L十刈上单调递减,在〔0,D上单调递增,所以虱m%«= gQ〕= Q,即成刈讪不.〔当m = l即l,时取等〕.1 1 ,1°当/=寸寸,h〔乂〕Mn =.,那么h〔x〕3.恒成立.所以Mx〕在R上单调递增,又h〔o〕= o,那么Mx〕有一个零点;2当时,ln2a > 0 , h(x) = h(In2a.) <0,、* n ■ LIIIJ, /有在। - 上单调递减,在(ln2a,十W上单调递增,且XT+ 馍时,h (x)=已、=2ax - 1 > 0那么存在乂1,()使得h(Kj = 0,又h"(0) = D这时M2在(-皿0)上单调递增,在(0明)上单调递减,h(x)在㈤)上单调递增所以卜的)之履0) = 0,又XT +M时,岭)=金一/.工.]>Q, h(0) = 0所以这时Mx)有两个零点；3 当时,hi2a <0, h(x)mjl]= h(ln2a)<0.有h&)在।-81n*i)上单调递减,在(In知十田上单调递增,且XT - 8时,h(x) =/- 2ax - 1 > 0,那么存在x z -「,)使得h(x2) = 0.又h(0) = 0 ,这时Mx)在(-qxj上单调递增,在(■与⑼上单调递减,Mx)在◎十⑼上单调递增.所以h(xj > h(0} = 0.又XT - 9时,h(x) = e x - ax^ - x - 1, < 0, h(0) = 0.所以这时h(x)有两个零点；,一 1 ,〜, 1 一 ,〜、〜〜…综上：H =-时,原方程一个斛；当：af-且时,原方程两个斛. 2 2请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,那么按所做的第一题记分.选彳4-4 :坐标系与参数方程22 .直线仃匕祟二(L为参数),圆黑e为参数),兀(1)当u=,时,求C]与％的交点坐标；(2)过坐标原点.作J的垂线,垂足为A, P为.A的中点,当M变化时,求P点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线.【答案】(1) (Z0)；(2) ! x = giiTs 圆心为(I.]半径为’的圆.[y = -cosasina \2 / 2【解析】试题分析：(I )求得Ci. G的普通方程, 联立方程组堂]？,解之得正解；(x y(n)求得Cj的普通方程n A点坐标为Qsin%, - 2coscisina)P点轨迹的参数方程为[)]皿" (口为参数)=P点轨迹的普通方程为仅二『卜y2：=故P点是圆心为&口),半(y=- cos as in ci 2 4 2径为I的圆.2试题解析：(I)当Q =:时,Ci的普通方程为丫二击仅一),G的普通方程为xJ『= 4.联立方程组F；后厂2)解得％与Q的交点为口,一回,Q0)J [ x —v1 = 4(II) %的普通方程为xsma - ycosa -左inct= 0. A点坐标为Q出i%, - 2cosasina),故当以变化时, P点轨迹的参数方程为[x-suAi (也为参数)ly = - cosasmaP点轨迹的普通方程为(x ；故P点是圆心为?.),半径为；的圆.选彳4- 4-5 :不等式选讲23. (1)函数R X)=|K/1|十|x-2|-旨-冽.假设函数f(x)的图象恒在x轴上方,求实数n的取值范围.(2)f(x} = J]十长,a#b,求证：f(b)| < |Ei-b|.【答案】(1) sE(-lJ) ; (2)证实见解析.【解析】试题分析：(1)求出f(x)的最小值,根据函数f(x)的图象恒在x轴上方,可得3-方炉0,|a-b||a + b|即可求实数a的取值范围；(2)不等式的左边化简为一/=;,利用忖十b|W|a|十|b和Jl 十a - Jl + b右品乒3舟后,即可证得不等式成立.试题解析：(1) fM的最小值为3-|『-冽,由题设,得力卜3,解得aE(-IJ).(2)证实：.「.,|a2|a- b||a i-b|।Jl +) Jl + H 1Jl +b2又. ■..|a I b| 一, . ----------------------------- --- 1 ----------------------------- ----- ।v11 + a + J ।b 'a^b, ..|a-b|>0.。
2021届湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中高三上学期联合考试数学(理)试题(解析版)
2021届湖南省长郡中学、雅礼中学、长沙一中高三上学期联合考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}22<0A x x =+-，141log 2B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭，则（）A ．AB ⊆ B ．B A ⊆C ．R A B ⋂=∅D ．122A B x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭答案：B【分析】先化简集合,A B ,再分析判断得解.解：由题得{}21A x x =-<<，1211441log log ()4B x x ⎧⎫⎪⎪=>⎨⎬⎪⎪⎩⎭102x x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭.所以B A ⊆.R A B ⋂≠∅，102A B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭.故选：B点评：易错点睛：化简集合B 时，容易漏掉0x >，得到12B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭.在研究函数的问题时，一定要注意定义域优先的原则，否则容易出错. 2．若复数z 满足()12z i i -=，则下列说法正确的是（） A ．z 的虚部为i B ．z 为实数 C．z =D ．2z z i +=答案：C【分析】利用复数的除法运算，可得1z i =-，即可判断各选项的正误； 解：由()12z i i -=，知：211iz i i==--； ∴z 的虚部为1，||z =2z z +=-；故选：C点评：本题考查了复数的运算，利用复数的概念判断选项的正误，属于简单题；3．()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为（） A ．5- B ．20-C ．15D ．5答案：B【分析】求出5(1)x -的展开式的2x 的系数和4x 的系数，即得解.解：设5(1)x -的通项为55155(1)(1)r rr r r r r T C xC x --+=-=-，当3r =时，2x 的系数为335(1)C -； 当1r =时，4x 的系数为115(1)C -.所以()521x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中3x 项的系数为()()3315512120C C -+-=-， 故选：B.点评：本题主要考查二项式定理求展开式的系数，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和计算能力.4．设R λ∈，若单位向量1e ，2e 满足：12e e ⊥12e +与12-e e λ的夹角为3π，则λ=（）A ．B ．-C D ．1答案：A【分析】先利用已知条件得到11e =，21e =，120e e ⋅=，再利用向量的数量积运算法则代入求解即可. 解：由题意得，11e =，21e =，120e e ⋅=，12e +与12-e e λ的夹角为3π，得)()221212112122333e e e e e e e e e λλλλ⋅=+--⋅+⋅-=，122e +=，12-1e e λ=+则)()12121212cos33e e e e e e e πλλλ⋅==+-+-=，所以λ=故选：A.点评：本题主要考查了平面向量的数量积运算.属于较易题. 5．已知数列{a n }满足a n ＝1+2+3++n ，则122020111a a a +++=（）A ．20202021B ．20191010 C ．20192020 D ．40402021答案：D【分析】利用等差数列求和公式化简n a ，再利用裂项相消法求和.解：因为()12n n n a +=，则1112[]1n a n n =-+， 所以2202011111111140402[1]223202020212021a a a +++=⨯-+-++-=. 故选：D点评：本题考查等差数列求和公式、裂项相消法求和，属于基础题. 6．随机变量X 的分布列如表：若()2E X =，则()D X =（） A ．32B ．43C ．54D ．65答案：A【分析】根据随机分布列的性质以及数学期望可得出关于实数a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，再利用方差公式可取得()D X 的值.解：由分布列的性质以及期望公式可得()1242212E X a b a b ⎧=++=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得14a b ==.()()()()22211131222422442D X =-+-+-=. 故选：A.7．设3535a ⎛⎫= ⎪⎝⎭353()5a =，353log 2b =，3532c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<答案：C【分析】根据指数对数函数的单调性，确定a ，b ，c 的范围，进而比较大小即可.解：由题可得35331550a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<，33553log log 102b =<=，30533122c ⎛⎫⎛⎫=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以b a c <<. 故选：C点评：本题主要考查利用指对数函数的单调性比较大小，属于基础题.8．函数3()6sin x x f x =+的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．答案：A【分析】求函数导数，21()cos 2f x x x '=+，再利用导数可知当0x ≥时，()0f x '>，由函数单调性即可求解.解：因为3()6sin x x f x =+，所以21()cos 2f x x x '=+， 令21()cos 2g x x x =+，则()sin g x x x -'= 当0x ≥时，由y x =与sin y x =的图象知，()sin 0g x x x '=-≥,（也可继续求导确定） 所以21()cos 2g x x x =+在[0,)+∞上单调递增，所以min ()(0)1g x g ==， 即21()cos 102f x x x '=+≥>在[0,)+∞上恒成立， 所以函数3()6sin x x f x =+在[0,)+∞上单调递增，故选：A点评：本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值，图象的识别，考查了推理运算能力，属于中档题.9．如图，已知三棱锥V ABC -，点P 是VA 的中点，且2AC =，4VB =，过点P 作一个截面，使截面平行于VB 和AC ，则截面的周长为（）A ．12B ．10C ．8D ．6答案：D【分析】如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF.先证明截面DEFP 就是所作的平面，再求截面的周长.解：如图所示，设AB 、BC 、VC 的中点分别为D,E,F ，连接PD,DE,EF,PF. 由题得PD||VB,DE||AC,因为,PD DE ⊆平面DEFP,VB,AC 不在平面DEFP 内， 所以VB||平面DEFP,AC||平面DEFP, 所以截面DEFP 就是所作的平面.由于11||,||,,22PD VB EF VB PD VB EF VB ===, 所以四边形DEFP 是平行四边形， 因为VB=4,AC=2,所以PD=FE=2,DE=PF=1, 所以截面DEFP 的周长为2+2+1+1=6. 故选：D点评：本题主要考查截面的作法和线面位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.10．5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中SN叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（） A ．10% B ．30%C ．50%D ．100%答案：A【分析】根据香农公式，分别写出信噪比为1000和2000时的传递速率为2log (11000)C W =+和2log (12000)C W =+，两者相比，再根据对数运算即可估计得答案. 解：当1000SN=时，2log (11000)C W =+ 当2000SN=时，2log (12000)C W =+ 则2222222log (12000)log (11000)log 20011log 1000111lg 2log (11000)log 1001log 10003W W W +-++=-≈-=+又113411lg10lg 2lg1043=<<=，根据选项分析，1lg 20.13≈所以信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了10%. 故选：A.点评：本题考查知识的迁移应用，考查对数的运算，是中档题.11．已知函数()sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有3个零点，则ω的取值范围是（） A ．717,66⎛⎤⎥⎝⎦ B ．230,6⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1723,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．1723,66⎛⎤⎥⎝⎦ 答案：D【分析】由()0,x π∈，可得,66x x ππω⎛⎫∈+⎪⎝⎭，转化为函数sin y x =在区间,66x ππω⎛⎫+ ⎪⎝⎭恰有3个零点，得到3<46ππωππ+≤，即可求解.解：由()0,x π∈，可得,66x x ππω⎛⎫∈+⎪⎝⎭，又由函数()sin 06y x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有3个零点， 等价于函数sin y x =在区间,66x ππω⎛⎫+ ⎪⎝⎭恰有3个零点，故3<46ππωππ+≤，解得1723<66ω≤. 故选D .点评：此类问题的解答中把函数sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间()0,π恰有3个零点，通常转化为函数sin y x =在区间,66x ππω⎛⎫+⎪⎝⎭恰有3个零点，结合三角函数的图象与性质进行求解，体现了转化思想的应用.12．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>，过原点O 任作一条直线，分别交曲线两支于点P ，Q （点P 在第一象限），点F 为E 的左焦点，且满足||3||PF FQ =，||OP b =，则E 的离心率为（）A B C D ．2答案：A【分析】利用右焦点1F ，得到四边形1PFQF 为平行四边形，然后根据双曲线定义，可得,PF FQ 的值且90PQF ︒∠=，最后利用勾股定理，可得结果.解：设双曲线右焦点为1F ，由题意可知：P 关于原点的对称点为Q ， 则||||OP OQ =，∴四边形1PFQF 为平行四边形，则1||PF FQ =，1||PF QF =， 由||3||PF FQ =，根据双曲线的定义1||2PF PF a -=，1PF a ∴=，||OP b =，1OF c =，190OPF ︒∴∠=，在1QPF ∆中，||2PQ b =，13QF a =，1PF a =，222(2)(3)b a a ∴+=，整理得222b a =，则双曲线的离心率c e a === 故选：A.点评：本题主要考查双曲线的离心率，难点在于可以得到四边形1PFQF 为平行四边形，属中档题. 二、填空题13．甲､乙､丙､丁4名学生参加体育锻炼，每人在A ，B ，C 三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A 项､乙不选B 项的概率为______. 答案：49【分析】根据分类加法原理和分步乘法原理计算即可.解：每位学生选择三个锻炼项目有13C 种，则4人总的选择方式共有()4143C 3=种，其中甲､乙的选择方式有()2122C 2=种，其余两人仍有()2123C 3=种，故甲不选A ､乙不选B 项目的概率为22423439⨯=.故答案为：49. 14．已知锐角α、β满足6παβ+=，则14sin cos cos sin αβαβ+的最小值为______.答案：18【分析】计算出1sin cos cos sin 2αβαβ+=，再将代数式()2sin cos cos sin αβαβ+与代数式14sin cos cos sin αβαβ+相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 解：6παβ+=，()1sin sin cos cos sin sin62παβαβαβ∴+=+==， α、β均为锐角，则sin cos 0αβ>，cos sin 0αβ>，()14142sin cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭∴cos sin 4sin cos cos sin 4sin cos 2525218sin cos cos sin sin cos cos sin αβαβαβαβαβαβαβαβ⎛⎫⎛⎫=++≥⨯+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当cos sin 4sin cos sin cos cos sin αβαβαβαβ=时，即当cos sin 2sin cos αβαβ=时，等号成立. 因此，11sin cos cos sin αβαβ+的最小值为18.故答案为：18.点评：条件最值的求解通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．15．如图，已知圆锥底面圆的直径AB 与侧棱SA ､SB 构成边长为23的正三角形，点C 是底面圆上异于A ，B 的动点，则S 、A 、B 、C 四点所在球面的半径是______.答案：2【分析】设底面圆的圆心为O ，S 、A 、B 、C 四点所在球面的球心为1O ，连接SO ，设球1O 的半径为R ，根据题中条件，由勾股定理，即可得出结果.解：如图，设底面圆的圆心为O ，S 、A 、B 、C 四点所在球面的球心为1O ，连接SO ，则SO ⊥平面ABC ，且1O 在线段SO 上，易知3SO =，3AO =设球1O 的半径为R ，在1Rt O AO 中，由勾股定理得()22233R R -+=，解得2R =.故答案为：2. 点评：思路点睛：求解几何体外接球的半径的思路：（1）根据球的截面的性质，利用球的半径，截面圆的半径以及球心到截面圆的距离三者的关系求解；其中确定球心的位置是关键；（2）将几何体补成长方体，利用该几何体与长方体共有外接球的特征，由外接球的直径等于长方体的体对角线长求解.16．已知点()5,0A ，()0,4B ，动点P ，Q 分别在直线2y x =+和y x =上，且PQ 与两直线垂直，则AQ QP PB ++的最小值为______. 答案：52【分析】设(),Q x x ，求出P 点坐标，计算AQ QP PB ++，再用几何意义求出AQ BP +的最小值即得．解：解：设(),Q x x ，由于PQ 与两直线垂直且2PQ =()1,1P x x -+，故()()()2222513AQ BP x x x x +=-+-+-.此式可理解为点(),Q x x 到()5,0A 及()1,3C 的距离之和，其最小值即为5AC =.故所求最小值为52. 故答案为：52.点评：方法点睛：本题考查距离之和的最值问题，解题方法是：用坐标表示距离，化几何问题为代数问题，利用函数知识求解，对平方和（或二次根式下的平方和）形式，或一次分式形式的代数式又可利用几何意义：两点间的距离公式，点到直线的距离，直线的斜率，可代数问题转化为平面上的几何问题，利用图形易得结论． 三、解答题17．圆O 的内接四边形ABCD 中，3AD BC ==，3BAD π∠=，sin 3sin ABD DBC ∠=∠.（1）求AB 的长度； （2）求圆O 的半径. 答案：（1）4；（239. 【分析】（1）在两个三角形中由正弦定理，通过外接圆直径2R 连接得sin sin AD CDABD DBC=∠∠，求得CD ，然后在这两个三角形中分别用余弦定理表示BD可求得AB ；（2）由（1）求得BD 后用正弦定理可得圆O 半径． 解：（1）设圆O 半径为R ，由正弦定理，2sin AD R ABD =∠，2sin CDR DBC=∠，∴sin sin AD CDABD DBC=∠∠，又sin 3sin ABD DBC ∠=∠.故3AD CD =.而3AD =.∴1CD =.设AB x =，则2222119233123122BD x x ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭.∴2340x x --=.∴4x =.即4AB =. （2）222143243132BD =+-⨯⨯⨯=，∴13BD =， ∴1313213233sin32R π===. ∴39R =. 点评：关键点点睛：解三角形中，正弦定理和余弦定理是重要公式，解题时需注意它们应用的类型，当然也需灵活运用，特别注意已知两边和一边对角应用正弦定理求解时可能会出现两解情形．象本题更是运用正弦定理和余弦定理求解的典范，在两个三角形中，一个应用外接圆半径连接应用正弦定理，一个是利用公共边连接应用余弦定理，解题时注意体会．18．三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，且1AB BC ==，12AA =，120ABC ∠=︒，D 为1CC 中点.（1）求四面体1A ABD -的体积；（2）求平面ABD 与1ACB 所成锐二面角的余弦.答案：（1）36；（23357119【分析】（1）改为1A AB 为底易求得高，从而易得体积；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦． 解：解：（1）作CH AB ⊥于H ，因为1AA ⊥平面ABC ，CH ⊂平面ABC ，所以1AA CH ⊥，而1AA AB A =，所以CH ⊥平面11ABB A ，CH 为C 到平面11ABB A 的距离，又三棱柱中1//CC 平面11ABB A ，所以D 到平面11ABB A 的距离等于C 到平面11ABB A 的距离，ABC 中，1AB BC ==，120ABC ∠=︒，所以31sin 60CH =⨯︒=， 11113113312323226A ABD D A AB A AB V V S --⎛⎫==⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△.（2）设O 为AC 中点，1O 为11A C 中点，则11//OO AA ，1OO ⊥平面ABC ，OB AC ⊥ 以射线OB ，OC ，1OO 为非负x ，y ，z 轴.建立空间直角坐标系，则1,0,02B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30,2C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，11,0,22B ⎛⎫⎪⎝⎭. ∴132AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,1AD =，()0,3,0AC =，113,,222AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面ABD 的一个法向量是()111,,m x y z =，则111130,30m AB x m AD y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩．，取11y =-，则(3,3m =-，设平面1ACB 的一个向量是()222,,n x y z =，则212220,132022n AC y n AB x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩．取21z =-，则()4,0,1n =-，cos ,7m n m n m n⋅<>==⋅＝故平面ABD 与平面1ACB. 点评：方法点睛：求三棱锥的体积，常常用换底法求解，要求换底后，高易求得即可．求空间的角（异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角）常常是建立空间直角坐标系，用空间向量法计算，这种方法把空间想象与逻辑推理转化为运算求解．19．已知椭圆E 的离心率为e =，且经过点M ⎛ ⎝⎭. （1）求椭圆E 的方程.（2）设()00,P x y 为椭圆E 上非顶点的任意一点，若A ､B 分别为椭圆E 的左顶点和上顶点，直线PA 交y 轴于D ，直线PB 交x 轴于C ，W AC BD =，问：W 的值是不是定值？若为定值，求之，若不为定值，说明理由.答案：（1）2214x y +=；（2）是定值，定值为4. 【分析】（1）由离心率得2a b =，再代入点的坐标可得参数b 值，得椭圆方程； （2）设()0,D m ，(),0C n ，用00,x y 表示,m n ，然后计算W AC BD =，并代入220044x y +=可得结论．解：解：（1）设椭圆方程为22221x ya b +=，(0)a b >>．2c e a b a =⇒=⇒=， 设椭圆方程为222214x y b b+=，又椭圆过点1,2M ⎛ ⎝⎭，所以2214144b b +=，解得1b =， 故椭圆方程为2214x y +=.（2）设()0,D m ，(),0C n ，由A ､D ､P 共线可知00002222AP AD y y mk k m x x =⇒=⇒=++，由B ､P ､C 共线可知0000111BP BC y xk k n x n y --=⇒=⇒=-. 0000222211x x y AC n y y +-=+=+=--，000002221122y x y BD m x x +-=-=-=++.∴()()()00002212x y W AC BD y x +-==-+2200000000004444822x y x y x y x y x y ++-+-=-+-+，由于220044x y +=，∴000000004488422x y x y W x y x y -+-+==-+-+.点评：方法点睛：椭圆中定值问题解决方法，由于00(,)P x y 是动点，因此可以把,C D 的坐标用00,x y 表示，然后计算W AC BD =，再代入动点坐标满足的性质，化简可得．即引入参数，利用参数计算结论，然后化简使得结论与参数无关，即得定值． 20．如图，一只蚂蚁从单位正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，每一步（均为等可能性的）经过一条边到达另一顶点，设该蚂蚁经过n 步回到点A 的概率n p ．（I ）分别写出12,p p 的值；（II ）设顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，求3n n p q +的值； （III ）求n p ．答案：（I ）10,3；（II ）1；（III ）1111,=2{?430,21n n n k p n k -⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪=⎝⎭⎝⎭=-．试题分析：（1）由题意得经过1步不可能从点A 回到点A ，故10p =；经过2步从点A 回到点A 的方法有3种，即A-B-A ；A-D-A ；1A A A --，且选择每一种走法的概率都是13，由此可得所求概率．（2）分n 为奇数和偶数两种情况讨论可得结论．（3）结合（2）中的结论，分四种情况可得221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=，故可得2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，于是得到 111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，从而可得结论． 试题解析：”（1）121110,3333p p ==⨯⨯=． （2）由于顶点A 出发经过n 步到达点C 的概率为n q ，则由A 出发经过n 步到达点11,B D 的概率也是n q ，并且由A 出发经过n 步不可能到11,,,A B D C 这四个点，所以当n 为奇数时0n n p q ==，所以30n n p q +=； 当n 为偶数时，31n n p q +=．（3）同理，由11,,C B D 分别经2步到点A 的概率都是1122339⨯⨯=，由A 出发经过n 再回到A的路径分为以下四类：①由A 经历2n -步到A ，再经2步回到A ，概率为213n p -； ②由A 经历2n -步到C ，再经2步回到A ，概率为229n q -；③由A 经历2n -步到1B ，再经2步回到A ，概率为229n q -；④由A 经历2n -步到1D ，再经2步回到A ，概率为229n q -；所以221233n n n p p q --=+，又31n n p q +=， 所以2221121233399n n n n p p p p ----=+⋅=+，即2111494n n p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， 所以11221111144943nn n p p --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⋅ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故111143n n p -⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦． 综上所述，1111,=2430,21n n n kp n k -⎧⎡⎤⎛⎫+⎪⎢⎥ ⎪=⎝⎭⎨⎢⎥⎣⎦⎪=-⎩． 点睛：本题难度较大，综合了排列组合和概率的有关知识，解题的关键是根据条件进行分类讨论，另外利用互斥事件和相互独立事件的概率的知识也是解决本题的重要工具． 21．（1）求()ln f x x x =-的最大值；（2）若()2ln 21x t x x +≤++对0x ≥恒成立，求实数t 的取值范围.答案：（1）1-；（2）(]0,e .【分析】（1）已知()f x 的解析式，对其进行求导，利用导数研究其单调性，从而求解； （2）设()()2ln 21g x x t x x =+---，由题意得()0g x ≤在0x ≥恒成立，由()00g ≤得0<e t ≤，求导得()()()24411x t x t g x x t--++-'=+，按1e t ≤≤和01t <<分类讨论即可.解：（1）()ln f x x x =-，则()11f x x'=-，令()0f x '≥得01x <≤. 故()f x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，∴()()max 11f x f ==-. （2）设()()2ln 21g x x t x x =+---，由()00g ≤得0<e t ≤，则()()()24411141x t x t g x x x t x t--++-'=--=++. ①若1e t ≤≤，则0x ≥时，240x -≤，()410t x -+≤，10t -≤，0x t +>， 此时()0g x '≤对0x ≥恒成立，故()g x 在[)0,+∞单调递减，()()0ln 10g x g t ≤=-≤，故[]1,e t ∈符合要求.②若01t <<，由（1）得()ln 1f x x x =-≤-，故ln 1≤-x x ，∴()ln 1x t x t +≤+-， 而()()22211222>0x x x t x t t ++-+-=-+≥-对0x ≥恒成立，∴()2211ln x x x t x t ++≥+-≥+.∴()0,1t ∈符合要求，综上，t 的取值范围为(]0,e .点评：关键点点睛：本题考查函数在某范围上的恒成立求参数的问题，代入某特值符合题意，求出参数再验证是否符合题意，属于中档题.22．已知在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为,242x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴)中，曲线2C 的方程为()2sin 2cos >0p p ρθθ=，曲线1C ，2C 交于A ，B 两点，其中定点()0,4M -.（1）若2p =，求MA MB +的值；（2）若MA ，AB ，MB 成等比数列，求p 的值. 答案：（1）（2）4-+【分析】（1）由公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可化极坐标方程为直角坐标方程，得曲线2C 的直角坐标方程，把曲线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程，利用韦达定理得1212,t t t t +，从而得120,0t t >>，利用参数的几何意义求得MA MB +的值；（2）同样把曲线1C 的参数方程代入2C 的直角坐标方程，利用韦达定理得1212,t t t t +，从而得120,0t t >>，由参数t 的几何意义表示出MA ，AB ，MB ，再由等比数列的性质可求得p 值．解：（1）∵曲线2C 的方程为()2sin2cos >0p p ρθθ=，∴22sin 2cos p ρθρθ=，即()220y px p =>.∴曲线2C 的直角坐标方程为()220y px p =>，又已知2p =，∴曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.将曲线1C的参数方程,24x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，与24y x =联立，得2320t -+=，由于(2432>0∆=--⨯，∴设方程两根为1t ，2t，则12t t +=1232t t =，∴1212MA MB t t t t +=+=+=.（2）将曲线1C的参数方程,242x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩(t 为参数)，与()220y px p =>联立，得)24320t p t -++=，由于)()22443288>0p p p ⎡⎤∆=-+-⨯=+⎣⎦，∴设方程两根为1t ，2t，则)124t t p +=+，1232t t =，且10t >，20t >， 又MA ，AB ，MB 成等比数列， ∴2AB MA MB =⋅，得21212t t t t -=⋅，则()21212124t t t t t t +-=，即()212125t t t t +=.∴)24532p ⎡⎤+=⨯⎣⎦，得2840p p +-=，解得4p =-±，又0p >，∴4p =-+，∴当MA ，AB ，MB 成等比数列时，p得值为4-+点评：方法点睛：直线的参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为直线的倾斜角），此参数方程中参数t 具有的几何意义：设()P t ，00(,)M x y ，则PM t =，如果有向线段MP 是向上方向，t 为正，有向线段MP 是向下方向，t 为负．由这种几何意义可解决直线与曲线相交的弦长问题．23．已知函数()|2||1|,f x x a x a R =-+-∈.（1）若不等式()2|1|f x x --无解，求实数a 的取值范围； （2）当2a <时，函数()f x 的最小值为2，求实数a 的值.答案：（1）(,0)(4,)-∞+∞；（2）2a =-.【分析】（1）把()f x 代入不等式，并化简，根据题意可得min (|2||22|)2x a x -+->，利用绝对值三角不等式，可得|2|2a ->，简单计算可得结果.（2）使用零点分段法，去掉绝对值，可得()f x 表达式，然后画出图像，可得结果. 解：（1）把()|2||1|f x x a x =-+-代入不等式()2|1|f x x -- 得|2||22|2x a x -+-，因为不等式()2|1|f x x --无解， 所以min (|2||22|)2x a x -+->， 即|2|2a ->，解得4a >，或0a <， 所以实数a 的取值范围是(,0)(4,)-∞+∞.（2）函数()|2||1|f x x a x =-+-的零点是2a和1， 因为2a <，所以12a<， 则31,,2()1,1,231, 1.a x a x a f x x a x x a x ⎧-++⎪⎪⎪=-+<<⎨⎪--⎪⎪⎩如图由图可知当2ax =时， min ()122af x =-=，得22a =-<符合题意， 所以2a =-.点评：本题考查绝对值不等式的应用以及分段函数图象应用，熟悉绝对值的三角不等式a b a b a b -≤±≤+，同时熟练掌握零点分段法的使用，属中档题.。
2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期月考(一)数学试题(解析版)
A．数列 为等比数列B． 时，
C．当 时， D．
答案：AC
解：由 和等比数列的定义，判断出A正确；利用等比数列的求和公式判断B错误；利用等比数列的通项公式计算得出C正确，D不正确．
解：
由 ，得 .
时， ，相减可得 ，
又 ，数列 为首项为 ，公比为 的等比数列，故A正确；
因 ，
，
而 ，
，
所以数列 前48项之和为 .
故答案为：1176.
点评：
本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.
四、解答题
17．请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题
① ；② 的面积为 ；③ .
在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， .在已知 ， 为钝角， .
（1）求边 的长；
解：
由已知， ， ，因此 ，
∴ ，
所以 ，过点 ，
因此 ， ，又 ，
所以 ，∴ ，
对A， 图象关于原点对称，故A正确；
对B，当 时， ，故B正确；
对C，由 ，有 ， 故C不正确；
对D，当 时， ，所以 与函数 有4个交点令横坐标为 ， ， ， ， ，故D正确.
故选：ABD.
点评：
本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.
解：
由 ，有 ，解得 ，
故 ，
故当 时， 取最小值 .
故选：A.
点评：
本题考查分式型三角函数的化简，以及关于二次型三角函数的最值问题，属于基础题.
8．设函数 ，若存在区间 ，使 在 ， 上的值域为 ， ，则 的取值范围是
备战高考数学：长郡中学2021-2022学年高三下学期月考数学试卷
长郡中学2022届高三月考试卷数 学得分：本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合204x A x x +⎧⎫=≤⎨⎬-⎩⎭，B={0，1，2，4，8}，则A B =（ ）A ．{1，2，4，8}B ．{0，1，2}C ．{1，2}D ．{0，1，2，4}2．复数()32i i z =-的共轭复数z 等于（ ） A ．23i --B ．23i -+C ．23i -D ．23i +3．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．设E 是平行四边形ABCD 所在平面内一点，2AC DE =，则（ ）A ．122BE AB AC =-B ．322BE AB AC =-+C ．1322BE AB AC =-+D ．122BE AB AC=+5．已知定义在R 上的函数()1y f x =+是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则满足()()22f x f x >+的x 的取值范围为（ ）A ．（2，+∞）B ．()(),02,-∞+∞C ．（-∞，23-）D ．()2,2,3⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭6．长郡中学体育节中，羽毛球单打12强中有3个种子选手，将这12人任意分成3个组（每组4个人），则3个种子选手恰好被分在同一组的概率为（ ） A ．155B ．355C ．14D ．137．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，A 为双曲线的右顶点，若四边形MF 1NF 2为矩形，且∠MAN=56π，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．3D8m ≥对任意a ∈R ，()0,b ∈+∞恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2⎛-∞ ⎝⎦C ．(-∞D ．(],2-∞二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．已知a ，b ∈R ，下列命题为真命题的是（ ） A ．若0a b +=，则2a b e e +≥ B ．若1a b >>，则log log 2a b b a +> C ．若0a >，0b >且2a b +=，则213a b+≥ D ．若4a b +=，则221108a b <≤+ 10．袋子中共有大小和质地相同的4个球，其中2个白球和2个黑球，从袋中有放回地依次随机摸出2个球．甲表示事件“第一次摸到白球”，乙表示事件“第二次摸到黑球”，丙表示事件“两次都摸到白球”，则（ ） A ．甲与乙互斥 B ．乙与丙互斥 C ．甲与乙独立 D ．甲与乙对立 11．将函数()f x 的图象横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移3π个单位，得到函数()()sin 2g x x ϕ=+（02πϕ<<）的部分图象（如图所示）．对于[]12,,x x a b ∀∈，且12x x ≠若()()12g x g x =，都有()12g x x +=成立，则（ ）A ．()sin 23g x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．()sin 43f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()g x 在3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 D ．函数()f x 在40,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的零点为1x ，2x ，…，n x ，则12318522212n n x x x x x π-+++⋅⋅⋅++= 12．如图1，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 、CD 中点，若沿AE 、AF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使得B 、C 、D 三点重合于S ，得到四面体S−AEF （图2），点G 为SE 中点．下列结论正确的是（ ）A ．四面体S−AEFB ．顶点S 在面AEF 上的射影为△AEF 的重心C ．SA 与面AEF所成角的正切值为4D ．过点G 的平面截四面体S−AEF 的外接球所得截面圆面积取值范围是3,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．函数()()1ln f x x x =+的图象在点（1，()1f ）处的切线方程为 ． 14．若()522100121022x x a a x a x a x -+=+++⋅⋅⋅+，则1210a a a ++⋅⋅⋅+= ．15．△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别为a ，b ，c ，c=2b ，若△ABC 的面积为1，则BC 的最小值是 ．16．已知数列{}n a 对任意的n *∈N ，都有n a *∈N ，且131,,2n n n nn a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数．△当18a =时，2022a = ．△若存在m *∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数P ，则P= ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分） 在△ABC 中，设角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且()()()sin sin sin c b C a b A B -=-+． （1）求A ；（2）若D 为BC 上点，AD 平分角A ，且b=3，BDDC．18．（12分）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=． （1）证明：数列{}n b 是等差数列； （2）求{}n a 的通项公式．19．（12分）接种新冠疫苗，可以有效降低感染新冠肺炎的几率，某地区有A，B，C三种新冠疫苗可供居民接种，假设在某个时间段该地区集中接种第一针疫苗，而且这三种疫苗的供应都很充足．为了节省时间和维持良好的接种秩序，接种点设置了号码机，号码机可以随机地产生A，B，C三种号码（产生每个号码的可能性都相等），前去接种第一针疫苗的居民先从号码机上取一张号码，然后去接种与号码相对应的疫苗（例如：取到号码A，就接种A种疫苗，以此类推）．若甲，乙，丙，丁四个人各自独立的去接种第一针新冠疫苗．（1）求这四个人中恰有2个人接种A种疫苗的概率；（2）记甲，乙，丙，丁四个人中接种疫苗的种数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（12分）如图，正三棱柱ABC−A1B1C1的所有棱长均为2，D为棱BB1（不包括端点）上一动点，E是AB的中点．（1）若AD⊥A1C，求BD的长；（2）当D在棱BB1（不包括端点）上运动时，求平面ADC1与平面ABC的夹角的余弦值的取值范围．21．（12分）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率12e =，且经过点（1，32），点F 1，F 2为椭圆C 的左、右焦点．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点F 1分别作两条互相垂直的直线l 1，l 2，且l 1与椭圆交于不同两点A ，B ，l 2与直线1x =交于点P ．若11AF F B λ=，且点Q 满足QA QB λ=，求△PQF 1面积的最小值．22．（12分）已知函数()()223xf x x x e =-，()lng x a x =，其中a e ≤．（1）求()f x 的最小值；（2）记()'f x 为()f x 的导函数，设函数()()()23'f x h x g x x =-+有月只有一个零点，求a 的取值范围．。