平稳性和非平稳时间序列分析
平稳信号与非平稳信号的概念与区别
平稳信号与⾮平稳信号的概念与区别在统计学⾥，平稳序列因其具有良好的统计特性和处理的⽅便性⽽成为时间序列分析的基础，然⽽我们所能观测到的序列经常受某些因素的影响⽽表现出⾮平稳性。
经典时间序列的分析中处理这类⾮平稳序列的主要思路是通过某些预处理的⽅法将其转化为平稳序列后再做分析。
根据统计学对平稳时间序列的定义可以知道平稳时间序列也有严平稳时间序列和宽平稳时间序列之分。
严平稳时间序列的任何有限维联合分布对于时间的平移是不变的。
宽平稳时间序列中的均值、⽅差与时间⽆关，任何时刻的序列和平移若⼲步后的序列有相同的协⽅差。
但是在⼯程应⽤领域的研究对于时间序列的平稳性定义较统计学弱，即平稳时间序列中其均值和⽅差都与时间⽆关，且⾃协⽅差函数只与时间间隔有关。
常见的平稳性检验⽅法有时序图判断法、⾃相关系数检验法、分段检验法、游程检验法以及ADF单位根检验法。
通过观察信号的可视化结果，因此根据时序图判断法可以得知电压⽐信号（序列）是⼀个⾮平稳序列。
在统计学领域处理⾮平稳的⽅法有确定性性因素分解法和随机性序列差分法。
在实际的⼯程应⽤⾥，主要是分析时间序列的⼀种，即信号。
从信号的统计性能描述的⾓度，信号可以被分为确定信号和随机信号。
确定信号可以使⽤数学表达式来描述，其数学统计特性能够确定。
随机信号⼜称不确定信号，⽆法⽤确定的时间函数来表达信号。
随机信号不能⽤确定的数学关系式描述，任何⼀次观测只代表其在变动范围内可能产⽣的结果之⼀，其值的变动服从统计规律。
从严格的意义上来讲，对信号平稳性的讨论前提是该信号必须为随机信号。
随机信号的平稳与⾮平稳的区别是集合总体意义统计的不同，⽽不是时间意义统计的不同。
在信号处理中，处理⾮平稳的主要⽅法有⾃适应滤波、短时傅⾥叶变换、短时⾃回归滑动平均参数谱、参数谱和时频分析等。
上述⼏种处理⾮平稳的⽅法的⽬的是去掉或抑制确定性因素的影响，⽽各态历经过程的参数则借助处理⽅法所隐含的时域平均来估计。
学术研究中的平稳性检验
学术研究中的平稳性检验摘要：平稳性检验是时间序列数据分析中非常重要的一步，它可以帮助我们确定时间序列数据是否具有稳定性，从而避免由于非平稳数据导致的统计误判。
本文将对平稳性检验的方法、原理和应用进行详细介绍。
一、引言在时间序列数据分析中，平稳性是一个非常重要的概念。
如果一个时间序列数据是平稳的，那么我们就可以对其进行一系列的统计分析和预测。
反之，如果一个时间序列数据是非平稳的，那么我们就需要采取一些措施来消除其非平稳性，否则会导致统计误判和预测误差。
因此，平稳性检验是时间序列数据分析中非常重要的一步。
二、平稳性检验的方法1.单位根检验（Augmented Dickey-Fuller Test）单位根检验是一种常用的平稳性检验方法，它可以通过建立时间序列数据的回归模型来检验其是否具有单位根。
如果回归模型的系数不显著，则说明该时间序列数据是平稳的；反之，如果回归模型的系数显著，则说明该时间序列数据是非平稳的。
常用的单位根检验方法有ADF检验和PP检验等。
2.协整检验（Cointegration Test）协整检验是一种用于检验两个或多个非平稳时间序列数据之间是否存在长期均衡关系的统计方法。
如果两个或多个时间序列数据之间存在协整关系，那么它们之间就可以建立回归模型进行分析和预测。
常用的协整检验方法有Kao检验和Johansen检验等。
三、平稳性检验的原理平稳性检验的原理是利用时间序列数据的特性进行分析。
在统计学中，平稳时间序列是指其均值、方差和自相关系数都是常数，也就是说，该时间序列数据具有稳定性。
如果一个时间序列数据是非平稳的，那么它的统计特性就会发生变化，从而影响统计分析和预测的准确性。
因此，在进行时间序列数据分析之前，必须对数据进行平稳性检验，以确保数据的稳定性和可靠性。
四、平稳性检验的应用1.经济领域中的应用在经济学中，平稳性检验被广泛应用于各种经济指标的时间序列数据分析中。
例如，通货膨胀率、失业率、国内生产总值等指标都是常用的经济指标，它们的变化趋势往往受到多种因素的影响。
计量经济学时间序列
计量经济学中的时间序列是指按照时间顺序排列的一系列数据，这些数据可以是同一指标在不同时间点的观测值，也可以是多个指标在不同时间点的观测值组合。
时间序列数据的分析主要涉及两个方面：一是数据平稳性检验，二是数据建模与分析。
数据平稳性检验是时间序列分析中非常重要的一个步骤。
平稳性是指时间序列数据的统计特性不随时间推移而发生变化。
如果数据不满足平稳性条件，那么传统的回归分析方法可能会出现问题。
因此，在利用回归分析方法讨论经济变量有意义的经济关系之前，必须对经济变量时间序列的平稳性与非平稳性进行判断。
如果数据是非平稳的，可能需要采用适当的处理方法，如差分、对数转换等，使其满足平稳性条件。
在数据平稳性检验通过后，接下来需要进行数据建模与分析。
在计量经济学中，自回归模型（AR模型）是一种常用的时间序列模型。
自回归模型是统计上一种处理时间序列的方法，它用同一变数例如x 的之前各期，亦即x 1至x t-1来预测本期x t的表现，并假设它们为一线性关系。
除了自回归模型外，还有其他的模型可用于时间序列分析，如移动平均模型（MA模型）、自回归移动平均模型（ARMA模型）等。
这些模型的参数估计与假设检验方法也是计量经济学中研究的重点内容之一。
总之，计量经济学中的时间序列分析是一个相对独立且完整的领域，它为经济学、金融学等领域的研究提供了重要的方法论支持和实践指导。
回归分析中的时间序列数据处理技巧(七)
回归分析是统计学中一种重要的分析方法，它用来探讨变量之间的关系。
在实际应用中，我们经常会遇到时间序列数据，如股票价格、销售额、气温等，这些数据都具有时间相关性。
因此，在进行回归分析时，需要特别注意时间序列数据的处理技巧。
首先，我们来讨论时间序列数据的平稳性。
平稳性是指数据在不同时间点上的统计特性（如均值和方差）保持不变。
如果数据是非平稳的，就需要对其进行变换，使其变成平稳序列。
常见的平稳性检验方法有ADF检验和单位根检验。
一旦确定数据是非平稳的，就可以采取差分、对数变换等方法来使其平稳。
其次，我们来探讨时间序列数据的自相关性。
自相关性是指时间序列数据在不同时间点上的相关性。
在回归分析中，如果存在自相关性，就会导致模型的系数估计不准确。
因此，需要对数据进行自相关性检验，并采取相应的方法来处理自相关性。
常见的方法包括引入滞后项或者使用ARIMA模型。
另外，时间序列数据通常会呈现出季节性。
季节性是指数据在特定时间段内呈现出周期性变化。
在回归分析中，需要特别注意季节性对模型的影响。
通常可以采取季节性调整或者引入季节性变量来处理季节性数据。
此外，时间序列数据还可能存在异方差性。
异方差性是指数据的方差在不同时间点上不同。
在回归分析中，异方差性会导致模型的标准误差不准确，从而影响系数的显著性检验。
处理异方差性的方法包括加权最小二乘法和异方差稳健标准误差。
最后，还需要注意时间序列数据的非线性关系。
在回归分析中，通常假设自变量和因变量之间是线性关系。
但是在实际应用中，很多时间序列数据存在非线性关系。
因此，需要对数据进行非线性检验，并采取相应的非线性回归模型来处理非线性关系。
综上所述，回归分析中的时间序列数据处理技巧包括平稳性处理、自相关性检验、季节性处理、异方差性处理以及非线性关系处理。
这些技巧对于保证回归分析的准确性和有效性至关重要。
在实际应用中，需要根据数据的特点和需求，选择合适的方法来处理时间序列数据，从而得到可靠的回归分析结果。
时间序列分析模型
时间序列分析模型时间序列分析是一种广泛应用于统计学和经济学领域的建模方法，用于研究随时间变化的数据。
它的目的是揭示和预测数据中隐含的模式和关系，以便更好地理解和解释现象，并做出相应的决策。
时间序列分析模型可以分为统计模型和机器学习模型两类。
一、统计模型1.平稳时间序列模型：平稳时间序列是指在统计学意义上均值和方差都是稳定的序列。
常用的平稳时间序列模型包括：自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）和季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）等。
-自回归移动平均模型（ARMA）是根据时间序列数据的自相关和移动平均性质建立的模型。
它将序列的当前值作为过去值的线性组合来预测未来值。
ARMA(p,q)模型中，p表示自回归项的阶数，q表示移动平均项的阶数。
-自回归整合移动平均模型（ARIMA）在ARMA模型基础上引入差分操作，用于处理非平稳时间序列。
ARIMA(p,d,q)模型中，d表示差分的次数。
-季节性自回归整合移动平均模型（SARIMA）是ARIMA模型的扩展，在存在季节性变化的时间序列数据中应用。
SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型中，s表示季节周期。
2.非平稳时间序列模型：非平稳时间序列是指均值和/或方差随时间变化的序列。
常用的非平稳时间序列模型包括：趋势模型、季节性调整模型、自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）等。
- 趋势模型用于描述数据中的趋势变化，例如线性趋势模型（y = ax + b）和指数趋势模型（y = ab^x）等。
-季节性调整模型用于调整季节性变化对数据的影响，常见的方法有季节指数调整和X-12-ARIMA方法。
-自回归积分滑动平均模型（ARIMA）和季节性自回归积分滑动平均模型（SARIMA）在非平稳时间序列中引入差分操作进行模型建立。
二、机器学习模型机器学习模型在时间序列分析中发挥了重要作用，主要应用于非线性和高维数据的建模和预测。
时间序列分析中的平稳性与非平稳性
时间序列分析中的平稳性与非平稳性时间序列分析是一种用来研究时间数据的统计方法，它可以揭示出时间序列数据的模式和趋势，并预测未来的发展。
在进行时间序列分析时，我们经常会遇到平稳性和非平稳性的问题，本文将重点讨论这两个概念及其在时间序列分析中的重要性。
1. 什么是平稳性？平稳性是指时间序列在统计特性上具有不变性，即其均值和方差不随时间的推移而发生改变。
具体而言，平稳时间序列的均值在时间维度上是稳定的，方差也不会随时间变化而增加或减小。
此外，平稳时间序列的自协方差只与时间间隔有关，而与特定时间点无关。
2. 平稳性的判断方法为了判断一个时间序列是否具有平稳性，我们可以使用一些统计检验方法。
常见的方法有ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）、KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）等。
ADF检验通常用于检验平稳性，其原假设是时间序列具有单位根（非平稳），如果检验结果拒绝了原假设，则可以得出时间序列是平稳的结论。
3. 非平稳性的表现形式非平稳性的时间序列可能会呈现出明显的趋势、季节性或周期性变化。
趋势是时间序列长期的、持续的上升或下降，季节性是指时间序列在特定时间点上出现的周期性波动，周期性是指时间序列存在长期的、不规则的上升或下降。
4. 非平稳性的处理方法如果时间序列是非平稳的，我们需要对其进行处理，以使其具备平稳性。
常见的处理方法有差分法、对数变换等。
差分法可以通过计算相邻时间点的差值来消除趋势和季节性，对数变换则可以通过对时间序列取对数来减少其波动性。
5. 平稳性的重要性平稳性在时间序列分析中非常重要，具有以下几个方面的意义： - 简化模型：平稳时间序列的统计特性稳定，可以简化模型的建立和预测。
- 降低误差：平稳时间序列的随机误差具有恒定的方差，使得模型的预测更准确。
- 提高可靠性：基于平稳时间序列建立的模型具有更好的可靠性和稳定性，可以更好地应对未来的变化。
平稳时间序列模型的性质概述
平稳时间序列模型的性质概述平稳时间序列模型是一种描述时间序列数据的统计模型，它的核心假设是数据在时间上的统计特性不发生变化。
具体而言，平稳时间序列模型具有以下性质：1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值不随时间变化而变化，即序列的均值是恒定的。
这意味着序列的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。
2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差不随时间变化而变化，即序列的方差是恒定的。
这意味着序列的波动性是稳定的，不存在明显的波动增长或缩减。
3. 自协方差稳定性：平稳时间序列的自协方差（序列任意两个时间点之间的协方差）仅依赖于时间点之间的间隔，而不依赖于特定的时间点。
这意味着序列的相关性结构是稳定的，不存在明显的季节性或周期性变化。
4. 纯随机性：平稳时间序列被认为是纯随机的，没有系统性的模式或规律可寻。
这意味着序列的未来值无法通过过去的观察值来准确预测。
根据这些性质，我们可以使用平稳时间序列模型来进行时间序列的建模和预测。
常见的平稳时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA模型）、自回归积分移动平均模型（ARIMA 模型）以及季节性模型等。
总而言之，平稳时间序列模型具有均值稳定性、方差稳定性、自协方差稳定性和纯随机性等性质，这使得它们成为分析和预测时间序列数据的常用工具。
通过运用这些模型，我们可以揭示序列的短期和长期特征，提供数据的统计属性并进行未来值的预测。
平稳时间序列模型是时间序列分析中非常重要的方法之一，它能够帮助我们理解和预测一系列观测值之间的关系。
在实际应用中，平稳时间序列模型常被用于金融市场分析、经济学研究、气象预测等领域。
首先，均值稳定性是平稳时间序列模型的一个重要性质。
这意味着序列的长期平均水平是恒定的，不随时间变化而变化。
例如，在金融市场中，股票价格的均值稳定性意味着股票价格的长期趋势是稳定的，不存在明显的上升或下降趋势。
通过建立平稳时间序列模型，我们可以更好地理解价格的平均水平，并预测未来的价格走势。
平稳时间序列与非平稳时间序列的区别
平稳时间序列与非平稳时间序列的区别时间序列是统计学中一种重要的数据形式，用于研究随时间变化的现象。
在时间序列分析中，平稳性是一个关键概念。
平稳时间序列与非平稳时间序列在特征和性质上存在着显著的区别。
本文将讨论平稳时间序列与非平稳时间序列的定义、特征和分析方法。
一、平稳时间序列的定义及特征平稳时间序列是指其概率分布不随时间推移而发生改变的时间序列。
具体来说，对于平稳时间序列，它的均值、方差和自相关函数等统计特征在不同时刻保持不变。
平稳时间序列的特征可以总结为以下几点：1. 均值稳定性：平稳时间序列的均值在时间上保持不变。
2. 方差稳定性：平稳时间序列的方差在时间上保持不变。
3. 自相关性：平稳时间序列的自相关函数只依赖于时间的间隔，而不依赖于具体的时间点。
二、非平稳时间序列的定义及特征非平稳时间序列是指其概率分布随时间推移而发生改变的时间序列。
具体来说，非平稳时间序列的均值、方差和自相关函数等统计特征会随时间发生变化。
非平稳时间序列的特征可以总结为以下几点：1. 趋势性：非平稳时间序列存在明显的增长或下降趋势。
2. 季节性：非平稳时间序列可能会呈现出周期性的变动，如一年内的季节变化。
3. 自相关性的变化：非平稳时间序列的自相关函数不仅依赖于时间的间隔，还依赖于具体的时间点。
三、分析方法的区别针对平稳时间序列和非平稳时间序列，我们在分析方法上有不同的选择。
对于平稳时间序列，我们可以使用经典的时间序列分析方法，如自回归移动平均模型（ARMA）、自回归模型（AR）和移动平均模型（MA）等。
这些方法基于平稳性的假设，能够准确地对平稳时间序列进行建模和预测。
对于非平稳时间序列，由于其不具备平稳性，我们需要采取一些转换方法来处理。
常见的方法包括一阶差分、对数转换和季节性调整等。
此外，我们还可以使用更加复杂的模型，如自回归积分移动平均模型（ARIMA）、差分自回归移动平均模型（DARIMA）和趋势-季节性分解模型等。
时间序列分析知识点总结(1)
一.时间序列分析的相关概念♦随机过程：若对于每一个特定的t ∈T ，X(t)是一个随机变量，则称这一族无穷多个随机变量{X(t),t ∈T}是一个随机过程。
♦纯随机过程：随机过程X(t)(t=1,2,…)，如果是由一个不相关的随机变量序列构成的，即对于所有s ≠t ，随机变量X t 和X s 的协方差均为零，则称其为纯随机过程。
♦♦♦♦独立增量随机过程：任意两相邻时刻上的随机变量之差是相互独立的，则称其为独立增量随机过程。
二阶矩过程：若随机过程{X(t),t ∈T}，对每个t ∈T ，X(t)的均值和方差存在，则称其为二阶矩过程。
正态过程：若{X(t)}的有限维分布都是正态分布，则称{X(t)}为正态随机过程。
平稳过程(严平稳)：如果对于时间t 的任意n 个值t 1,t 2,…,t n 和任意实数 ，随机过程X(t)的n 维分布函数满足关系式F n (x 1,x 2,…,x n ; t 1,t 2,…,t n ) = F n (x 1,x 2,…,x n ; t 1+ε,t 2+ε,…,t n+ε)，则称X(t)为平稳过程。
即是统计特性不随时间的平移而变化的过程。
♦宽平稳：若随机过程{X(t),t ∈T}的均值和协方差存在，且满足①EX t ∈a,∀t ∈T ；②E[X t+τ-a][X t -a]=R(τ),∀t,t+τ∈T ，则称{X(t),t ∈T}为宽平稳随机过程，R(τ)为X(t)的协方差函数。
♦非平稳随机过程：不具有平稳性的过程就是非平稳过程。
即序列均值或协方差与时间有关时，就可以认为是非平稳的。
♦♦自相关：指时间序列观察资料互相之间的依存关系。
动态性(记忆性)：指系统现在的行为与其历史行为的相关性。
如果某输入对系统后继n 个时刻的行为都有影响，就说该系统具有n 阶动态性。
二.刻画时间序列统计特性的各种数字特征的定义、性质等♦均值函数其中，F t (x)为随机序列X t 的分布密度函数。
统计学中的平稳性检验方法
统计学中的平稳性检验方法统计学是一门研究数据收集、分析和解释的学科，而平稳性检验是其中的一个重要概念和方法。
平稳性检验用于确定时间序列数据是否具有平稳性，即数据的统计特性在时间上是否保持不变。
本文将介绍统计学中常用的平稳性检验方法，并探讨其应用和局限性。
一、平稳性的概念和意义平稳性是时间序列分析的基本假设之一，它指的是数据的统计特性在时间上保持不变，即数据的均值、方差和自协方差不随时间的推移而发生显著变化。
平稳性的检验是为了确保时间序列数据的可靠性和有效性，因为只有具有平稳性的数据才能进行可靠的预测和建模。
二、单位根检验单位根检验是最常用的平稳性检验方法之一，它基于时间序列数据中是否存在单位根的假设。
单位根是指时间序列数据中存在一个根为1的特征根，即数据具有非平稳性。
常用的单位根检验方法包括ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）和KPSS检验（Kwiatkowski-Phillips-Schmidt-Shin test）。
ADF检验是一种基于单位根存在的假设进行的统计检验，它通过计算单位根的统计量来判断数据是否具有平稳性。
ADF检验的原假设是存在单位根，即数据具有非平稳性。
如果ADF检验的统计量小于临界值，就可以拒绝原假设，认为数据具有平稳性。
KPSS检验则是一种基于单位根不存在的假设进行的统计检验，它通过计算单位根的统计量来判断数据是否具有平稳性。
KPSS检验的原假设是不存在单位根，即数据具有平稳性。
如果KPSS检验的统计量大于临界值，就可以拒绝原假设，认为数据具有非平稳性。
三、滚动统计量除了传统的单位根检验方法，滚动统计量也是一种常用的平稳性检验方法。
滚动统计量是在时间序列数据中使用移动窗口的方法进行计算，它可以检测数据在不同时间段内的平稳性。
常见的滚动统计量包括滚动平均、滚动方差和滚动自相关系数。
滚动平均是指在时间序列数据中计算移动窗口内数据的平均值，然后将窗口向前移动一个时间单位，再计算平均值。
平稳性和非平稳时间序列分析
“单积”（Integrated）的，并记I为(d) 。
14
四、时间序列的协积性 （一）定义 如果一组时间序列都 X1, , X n 是同阶单积
的（I (d) ），并且存在向量 (1, , n )
使加权组合1X1 n X n 为平稳序列 （I (0)），则称这组时间序列为“协积的”
（Cointegrated），其中 (1, , n ) 称为
“协积向量”。
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具有协积性的非平稳序列各自的非平稳 趋势和波动有相互抵消的作用，因此虽 然非平稳本身有导致回归分析失效的影 响，但如果模型中的几个非平稳时间序 列具有协积性，回归分析仍然可以是有 效的，不需要担心非平稳性会造成问题。
16
11
不少非平稳时间序列作差分变换得到的差分序 列都是平稳序列。对于这种非平稳时间序列的 差分序列，基于平稳数据的计量分析就是有效 的。
由于时间序列的差分序列与时间序列本身包含 许多一致的信息，差分与原变量之间常常可以 相互转换，因此利用差分数据进行计量分析也 是有意义的。
并不是所有非平稳时间序列的差分序列都是平 稳的。利用差分数据进行分析之前，必须对差 分序列进行平稳性检验。检验的方法是把单位 根检验用于时间序列的差分序列。
Yt Yt1 t ，其中 t 为白噪声过程。
（2）检验思路 首先 Yt 服从如下的自回归模型
Yt Yt 1 t
6
如果其中 1 ，或者变换成如下的回归 模型 Yt Yt 1 t
中的 0 ，那么时间序列{Yt }就是最基
本的单位根过程 Yt Yt1 t ，肯定是非平 稳的。 对上述差分模型中的显著性检验，就是 检验时间序列是否存在上述单位根问题。
趋势图判断是否平稳的依据
趋势图判断是否平稳的依据趋势图在统计分析中是一种常用的可视化工具，用于展示数据随时间的变化趋势。
对于观察一个时间序列是否平稳，趋势图是一种有用的分析方法。
判断一个时间序列是否平稳有以下几个依据：1. 趋势图的形态：通过观察趋势图的形态，可以初步判断时间序列是否具有明显的趋势。
对于平稳的时间序列，其趋势图呈现出围绕某个平均值上下波动的稳定形态，没有显著的上升或下降趋势。
2. 平均值的稳定性：在时间序列的趋势图中，可以关注其平均值的变化情况。
如果时间序列的平均值在不同时间段内呈现出相对稳定的水平，即没有出现明显的上升或下降趋势，可以初步认定该序列是平稳的。
3. 方差的稳定性：方差是衡量数据波动程度的指标，对于平稳的时间序列，其方差应该保持相对稳定的水平。
如果时间序列的方差随时间的变化出现明显的增长或减小趋势，可以认为该序列不是平稳的。
4. 自相关性：时间序列的自相关性反映了序列数据之间的相关程度，可以通过自相关图进行观察。
对于平稳的时间序列，自相关图中的相关系数应该在一个较小的范围内波动，不应该出现显著的上升或下降趋势。
5. 单位根检验：单位根检验是一种常用的统计方法，用于检测时间序列中是否存在单位根（非平稳性）。
通过单位根检验可以得到一个统计量，用于判断时间序列是否平稳。
常用的单位根检验包括DF检验、ADF检验等。
6. 季节性：对于具有明显季节性的时间序列，如果能够通过季节性调整方法将其转化为平稳序列，则可以认为该序列是平稳的。
例如，通过差分、季节性分解等方法可以消除时间序列中的季节性效应，得到一个平稳序列。
需要注意的是，以上的判断依据并不是绝对准确的，判断时间序列是否平稳是一个相对的过程，需要结合具体情况进行判断。
此外，平稳性并不是数据分析的唯一目标，有些时间序列在一定条件下具有一定的非平稳性并仍然有分析的价值。
因此，在实际应用中还需要结合具体分析目的来综合考虑。
非平稳的时间序列平稳化的方法
非平稳的时间序列平稳化的方法
时间序列是指在时间上按一定间隔排列的一组数据，它是许多实际问题中经常遇到的一类数据。
在实际应用中，我们经常遇到非平稳的时间序列，即数据具有随时间变化的趋势、季节性或周期性等特征，这导致时间序列的随机性较弱，难以进行有效的分析和预测。
为了解决这个问题，需要对非平稳的时间序列进行平稳化处理，使其满足平稳性条件，从而提高分析和预测的准确性。
平稳性是指时间序列在时间上的统计性质不随时间而改变，即均值、方差和自相关系数不随时间变化。
在实际应用中，我们通常采用差分法、对数变换法、移动平均法和指数平滑法等方法对非平稳的时间序列进行平稳化处理。
差分法是指对时间序列进行一阶或高阶差分运算，使其满足平稳性条件。
对数变换法是指对时间序列取对数，从而将其变成线性关系，进而使其满足平稳性条件。
移动平均法是指对时间序列进行平均处理，消除季节性和周期性的影响，使其满足平稳性条件。
指数平滑法是指根据过去的数据，通过加权平均的方法对未来数据进行预测，从而使时间序列平稳。
总之，选择何种方法进行时间序列平稳化需要根据具体情况而定，需要结合数据的特征和应用场景进行选择。
- 1 -。
时间序列的平稳非平稳协整格兰杰因果关系
时间序列的平稳、非平稳、协整、格兰杰因果关系步骤：先做单位根检验，看变量序列是否平稳序列，若平稳，可构造回归模型等经典计量经济学模型；若非平稳，进行差分，当进行到第i次差分时序列平稳，则服从i阶单整（注意趋势、截距不同情况选择，根据P值和原假设判定）。
若所有检验序列均服从同阶单整，可构造VAR模型，做协整检验（注意滞后期的选择），判断模型内部变量间是否存在协整关系，即是否存在长期均衡关系。
如果有，则可以构造VEC模型或者进行Granger因果检验，检验变量之间“谁引起谁变化”，即因果关系。
1.单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。
常用的ADF检验包括三个模型方程。
在李子奈的《高级计量经济学》上有该方法的全部步骤，即从含趋势项、截距项的方程开始，若接受原假设，则对模型中的趋势项参数进行t 检验，若接受则进行对只含截距项的方程进行检验，若接受，则对一阶滞后项的系数参数进行t检验，若接受，则进行差分后再ADF检验；若拒绝，则序列为平稳序列。
2.当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验，但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。
3.当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG两步法和JJ检验：(1)EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性；(2)JJ检验是基于回归系数的检验，前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式）。
4.当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM进一步考察短期关系，Eviews这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别。
5.格兰杰检验只能用于平稳序列！这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。
时间序列的平稳、非平稳、协整、格兰杰因果关系
时间序列的平稳、非平稳、协整、格兰杰因果关系步骤：先做单位根检验，看变量序列是否平稳序列，若平稳，可构造回归模型等经典计量经济学模型；若非平稳，进行差分，当进行到第i次差分时序列平稳，则服从i阶单整（注意趋势、截距不同情况选择，根据P值和原假设判定）。
若所有检验序列均服从同阶单整，可构造VAR模型，做协整检验（注意滞后期的选择），判断模型内部变量间是否存在协整关系，即是否存在长期均衡关系。
如果有，则可以构造VEC模型或者进行Granger因果检验，检验变量之间“谁引起谁变化”，即因果关系。
1.单位根检验是序列的平稳性检验，如果不检验序列的平稳性直接OLS容易导致伪回归。
常用的ADF检验包括三个模型方程。
在李子奈的《高级计量经济学》上有该方法的全部步骤，即从含趋势项、截距项的方程开始，若接受原假设，则对模型中的趋势项参数进行t 检验，若接受则进行对只含截距项的方程进行检验，若接受，则对一阶滞后项的系数参数进行t检验，若接受，则进行差分后再ADF检验；若拒绝，则序列为平稳序列。
2.当检验的数据是平稳的（即不存在单位根），要想进一步考察变量的因果联系，可以采用格兰杰因果检验，但要做格兰杰检验的前提是数据必须是平稳的，否则不能做。
3.当检验的数据是非平稳（即存在单位根），并且各个序列是同阶单整（协整检验的前提），想进一步确定变量之间是否存在协整关系，可以进行协整检验，协整检验主要有EG两步法和JJ检验：(1)EG两步法是基于回归残差的检验，可以通过建立OLS模型检验其残差平稳性；(2)JJ检验是基于回归系数的检验，前提是建立VAR模型（即模型符合ADL模式）。
4.当变量之间存在协整关系时，可以建立ECM进一步考察短期关系，Eviews这里还提供了一个Wald－Granger检验，但此时的格兰杰已经不是因果关系检验，而是变量外生性检验，请注意识别。
5.格兰杰检验只能用于平稳序列！这是格兰杰检验的前提，而其因果关系并非我们通常理解的因与果的关系，而是说x的前期变化能有效地解释y的变化，所以称其为“格兰杰原因”。
时间序列分析中的平稳性检验
时间序列分析中的平稳性检验时间序列分析是统计学中重要的研究领域，它用于研究随时间变化的数据，并预测未来的趋势。
平稳性检验是时间序列分析的关键步骤之一，它用于确定时间序列数据是否具有平稳性。
本文将介绍时间序列分析中的平稳性检验的基本概念、方法和应用。
一、平稳性的概念在时间序列分析中，平稳性是指时间序列数据的统计特性在不同时间段内保持不变。
具体而言，平稳性要求时间序列的均值、方差和自相关函数在时间上不发生显著的变化。
如果时间序列数据具有平稳性，那么我们可以利用历史数据对未来进行可靠的预测。
二、平稳性检验的方法为了检验时间序列数据的平稳性，常用的方法包括观察法、单位根检验和ADF检验。
1. 观察法观察法是最简单的平稳性检验方法，它通过观察时间序列数据的图表和统计指标来判断数据是否具有平稳性。
如果时间序列数据的均值和方差在不同时间段内保持相对稳定，且自相关函数衰减较快，那么可以初步认为数据具有平稳性。
2. 单位根检验单位根检验是一种常用的平稳性检验方法，它基于时间序列数据是否具有单位根来判断数据的平稳性。
常用的单位根检验方法包括ADF检验、PP检验和KPSS 检验。
其中，ADF检验是最常用的单位根检验方法之一。
3. ADF检验ADF检验（Augmented Dickey-Fuller test）是一种常用的单位根检验方法，它基于Dickey-Fuller回归模型来判断时间序列数据是否具有单位根。
ADF检验的原假设是时间序列数据具有单位根，即非平稳性；备择假设是时间序列数据不具有单位根，即平稳性。
ADF检验的关键统计量是ADF统计量，它的值与临界值进行比较来判断数据的平稳性。
如果ADF统计量的值小于临界值，那么可以拒绝原假设，认为数据具有平稳性；如果ADF统计量的值大于临界值，那么接受原假设，认为数据不具有平稳性。
三、平稳性检验的应用平稳性检验在时间序列分析中具有广泛的应用。
首先，平稳性检验是进行时间序列建模的前提条件，只有具有平稳性的数据才能进行可靠的建模和预测。
平稳序列和非平稳序列
平稳序列和非平稳序列
平稳序列和非平稳序列是时间序列分析中经常遇到的两种类型。
平稳序列指的是在时间轴上，变量的平均值和方差保持不变的序列，也就是说，序列的统计性质在时间上是不随时间变化而发生改变的。
而非平稳序列则是指在时间轴上，变量的平均值和方差发生明显的变化的序列，也就是说，序列的统计性质在时间上是随时间变化而发生改变的。
对于平稳序列，我们可以使用一些基于平稳假设的统计方法来进行分析和预测，例如自回归移动平均模型(ARMA)、自回归积分移动平均模型(ARIMA)等等。
这些方法基于序列的平稳性假设，可以用来捕
捉序列中的周期性和趋势性信息。
而对于非平稳序列，我们需要进行一些处理，才能使用这些基于平稳假设的方法来进行分析和预测。
一种处理方法是对序列进行差分，即对序列每个时间点上的数值与前一个时间点上的数值做差，从而得到一个新的序列。
如果得到的新序列是平稳序列，则可以使用基于平稳假设的方法进行分析和预测。
另一种处理方法是使用基于非平稳假设的方法，例如趋势线性回归模型、季节性模型、指数平滑模型等等，来对序列进行分析和预测。
总之，在时间序列分析中，平稳序列和非平稳序列都是非常重要的，需要根据实际情况选择不同的处理方法。
- 1 -。
平稳性和非平稳时间序列分析
β1 + β 3 Xt 如果我们作下列变换 ecmt = Yt − 1− β2 α = β2 − 1 ，那么模型变为：
，
∆Yt = β 0 + β1∆X t + αecmt −1 + ε t
误差修正模型的自动调整机制类似于适应性预 期模型。如果误差修正项的系数 α 在统计上 是显著的，它将告诉我们 Y 在一个时期里的失 衡，有多大一个比例部分可在下一期得到纠正。 或者更应该说“失衡”对下一期 水平变化的 Y 影响的大小）。
6
1、基本的DF检验方法 （1）检验时间序列{ Yt }是否属于最基本的 单位根过程，也就是随机游走过程 Yt = Yt −1 + ε t ，其中 ε t 为白噪声过程。 （2）检验思路 首先 Yt 服从如下的自回归模型 Yt = δYt −1 + ε t
7
如果其中 δ = 1 ，或者变换成如下的回归 模型 ∆Yt = λYt −1 + ε t 中的 λ = 0 ，那么时间序列{ Yt }就是最基 本的单位根过程 Yt = Yt −1 + ε t ，肯定是非平 稳的。 对上述差分模型中的显著性检验，就是 检验时间序列是否存在上述单位根问题。
25
ˆ 3、把 ut −1 作为误差修正项，代入前述ECM 模型。因为 Yt 和 X t 有协整关系，ECM模 型各项都平稳，因此可直接用OLS法估计 参数。最后再进行相关检验和进行应用 分析等。
26
15
四、时间序列的协积性 （一）定义 如果一组时间序列都 X 1 ,L, X n 是同阶单积 的（ I (d ) ），并且存在向量 ( β1 ,L, β n ) 使加权组合 β1 X 1 + L + β n X n 为平稳序列 （I (0)），则称这组时间序列为“协积的 协积的” 协积的 （Cointegrated），其中 ( β1 ,L, β n ) 称为 “协积向量”。
平稳性和非平稳时间序列分析
28
随机游走一直围绕最初出发点为中心前后左右移动，但随着游走 时间次数增加，围绕最初出发点的来回的距离（方差）越来越远。
29
随机游走模型。 它最早于1905年7月由卡尔〃皮尔逊(Karl Pearson)在 《自然》杂志上作为一个问题提出： 假如有一个醉汉醉得非常严重，完全丧失方向感，把他放 在荒郊野外，一段时间之后再去找他，在什么地方找到他 的概率最大呢？
奖级
中奖条件 红球 蓝球
说明
单注奖金
一等奖
●●● ●●●
●
当奖池资金低于 1亿元时，奖金 总额为当期高等 选6+1中6+1 奖奖金的70%与 奖池中累积的奖 金之和。
---------时间序列的动态特性 时间序列模型：时间序列各观测值之间的关系。
从系统的观点来看，某一时刻进入系统的输入 对系统后继行为的影响
与t无关，与 有关的有限值
60
ARMA(p,q)模型的平稳性条件
•
宽平稳时间序列（week stationary）—指序列的 统计性质只要保证序列的二阶矩平稳就能保证序 列的主要性质近似稳定。
5
时间序列的平稳性定义
如果在任取时间 t 、 s 和 k 时，时间序列 X t 满足如下三个条件：
EXt2
EX t
E( X t t )( X s s ) E( X k k )( X k st k st )
t 1 j t j
类似
阶数增加，越来越复杂!
53
一般情况？
cov( zt , zt ) E zt mt zt mt E zt zt
E (at 1at 1 j at j )(at 1at 1 j at j )
经济统计学中的非平稳数据分析
经济统计学中的非平稳数据分析引言：经济统计学是研究经济现象的数量化方法和技术的学科。
在经济统计学中，数据分析是非常重要的一环。
然而，经济数据往往呈现出非平稳的特征，这给数据分析带来了一定的困难。
本文将探讨经济统计学中非平稳数据的分析方法和技巧。
一、什么是非平稳数据非平稳数据是指在时间序列中，数据的均值和方差不随时间保持恒定，呈现出明显的趋势或波动性。
与平稳数据相比，非平稳数据更具有挑战性，因为它们不符合许多经典统计方法的假设。
二、非平稳数据的特征1. 趋势性：非平稳数据往往呈现出明显的趋势，可以是上升趋势、下降趋势或周期性趋势。
2. 季节性：非平稳数据可能存在季节性的波动，如销售额在节假日期间的增加或减少。
3. 突变性：非平稳数据可能会受到外部因素的干扰，导致突变，如经济危机或政策调整。
三、非平稳数据的分析方法1. 差分法：差分法是一种常用的非平稳数据分析方法。
通过对数据进行一阶或多阶差分，可以将非平稳数据转化为平稳数据。
差分法的基本思想是通过消除趋势性和季节性，使数据更符合平稳性的假设。
2. 移动平均法：移动平均法是一种平滑时间序列数据的方法。
通过计算一段时间内的平均值，可以减少数据的波动性，使其更具平稳性。
移动平均法常用于消除季节性和趋势性的影响。
3. 时间序列模型：时间序列模型是一种用来描述和预测时间序列数据的方法。
常用的时间序列模型包括ARIMA模型、ARCH模型和GARCH模型等。
这些模型可以对非平稳数据进行建模，从而提供预测和分析的依据。
四、非平稳数据的应用1. 宏观经济分析：非平稳数据在宏观经济分析中有着广泛的应用。
例如，GDP、通货膨胀率和失业率等经济指标往往呈现出非平稳的特征，通过对这些数据进行分析，可以了解经济的发展趋势和变化。
2. 金融市场分析：金融市场中的股票价格、汇率和利率等数据通常也是非平稳的。
通过对这些数据的分析，可以帮助投资者和决策者做出更准确的预测和决策。
3. 企业经营分析：企业经营数据中的销售额、利润和市场份额等指标也常常是非平稳的。
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奖级
中奖条件 红球 蓝球
说明
单注奖金
一等奖
●●● ●●●
●
当奖池资金低于 1亿元时，奖金 总额为当期高等 选6+1中6+1 奖奖金的70%与 奖池中累积的奖 金之和。
---------时间序列的动态特性 时间序列模型：时间序列各观测值之间的关系。
从系统的观点来看，某一时刻进入系统的输入 对系统后继行为的影响
(k ) (0) (0)
自相关系数 (k )随着延迟期数的增加，会迅速 衰减到零
13
一个时间序列的样本自相关系数（自相关函数）定义为：
rk
X
t 1
nk
t n
X X t k X
t
X
t 1
X
k 1,2,3,
2
易知，随着k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。但 从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快得多。
只需讨论相关函数
55
AR(1)模型的平稳性
2 D zt (0) 12
56
1则 k 有界
57
AR(2)模型的平稳性
k 有界
离散时间动态系统的BIBO稳定条件
58
AR(n)模型的平稳性
y n 1 y n 1 2 y n 2 n y 0 c
47
48
AR模型的平稳性 MA模型的平稳性 ARMA模型的平稳性
49
AR(1)模型的平稳性
上述序列是随机差分方程的一个平稳解
50
AR(1)模型的平稳性
E zt E(at at 1 at 2 at j ) 0
2 j
2 D zt 1 2 j 2 , 1 2 1
22
23
回归分析 regression analysis
研究一个随机变量Y对另一个(X)或一组(X1，X2，…，Xk)变 量的相依关系的统计分析方法。 相关分析研究的是现象之间是否相关、相关的方向和密切程度， 一般不区别自变量或因变量。 回归分析则确定其因果关系，用数学模型来表现其具体关系。 相关分析 “质量”和“用户满意度”变量密切相关， 到底是哪个变量受哪个变量的影响，影响程度如何，回归分析。
与t无关，与 有关的有限值
60
ARMA(p,q)模型的平稳性条件
51
AR(1)模型的平稳性
cov( zt , zt ) E zt mt zt mt E zt zt
E (at at 1 j at j )(at at 1 j at j )
•
宽平稳时间序列（week stationary）—指序列的 统计性质只要保证序列的二阶矩平稳就能保证序 列的主要性质近似稳定。
5
时间序列的平稳性定义
如果在任取时间 t 、 s 和 k 时，时间序列 X t 满足如下三个条件：
EXt2
EX t
E( X t t )( X s s ) E( X k k )( X k st k st )
27
随机游走（random walk）过程： Xt=Xt-1+t，t是一个白噪声
容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1) 为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为 X0，则易知 X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 …… Xt=X0+1+2+…+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。
rk
1
rk
1
0
k
0
k
(a) (b) 图 9.1.2 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图
14
纯随机性检验
如果序列值彼此之间没有任何相关性，过去的行为对未 来的发展没有丝毫影响，这种序列我们称之为纯随机序 列。 从统计分析角度，纯随机序列是没有任何分析价值的序 列。
15
16
标准正态分布白噪声序列Xt
t 1 j t j
类似
阶数增加，越来越复杂!
53
一般情况？
cov( zt , zt ) E zt mt zt mt E zt zt
E (at 1at 1 j at j )(at 1at 1 j at j )
1 (k ) ~ N (0, ) n
k
E ( X t t )( X t k t k ) DX t DX t k
(k ) (0) (0)
k为延迟期数， n为样本观察期数 19
彩票分析案例
双色球投注分为红球和蓝球，红球号码 范围为01～33，蓝球号码范围为01～16， 每期开出6个红球和1个蓝球作为中奖号 码。 双色球玩法即是竞猜开奖号码的6个 红球号码和1个蓝球号码，顺序不限：
31
在股票随机游走模型中，收益率序列是白噪声。致命错误: 认为一种金融资产收益率的方差是不随时间改变的， 由此也决定了定价理论与现实市场之间的偏差。 曼德尔布罗特发现收益率的分布是尖峰胖尾的，呈现长期相 关性。据此提出了股票价格的“诺亚效应” 和“约瑟效应” 。 “诺亚效应”是指股票价格偶尔会发生不连续、突发性的大 跳跃，并且在一个大跳跃后面常跟着一个大跳跃，在一个小跳 跃后面常跟着一个小跳跃，金融学中的波动集群现象。 “约瑟效应”是指股票价格存在长期持续与非周期的循环现 象。像圣经里约瑟故事中粮食生产一样，七年丰收，跟着七年 饥馑。这导致收益存在长期相关性。
4 3 2
白噪声
1 0 -1 -2 -3 -4 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
时间
17
白噪声序列具有三个重要的性质：
常数均值
EX t
纯随机性（无记忆） r (t , s) 0
方差齐性(平稳)
r ( s, s ) 2
18
E (at at 1 )(at at 1 at 1at 1 )
(1 2 4 ) 2 2, 12 1
平稳性条件
52
AR(2)模诺贝尔经济学奖授予美国经济学家罗伯 特•恩格尔
33
2010年17卷第二期《广西科学》 发表了广西科学院研究员严少敏和吴光的 《用随机漫步模型拟合1850年至2009年的全球气温变化》论文
随机游走过程
34
随机游走过程
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
自回归模型autoregressive model
利用前期若干时刻的随机变量的线性组合来描述以后某时刻 随机变量的线性回归模型。
25
26
方程 Xt=Xt-1+at， at是一个白噪声 1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是发散的， 表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)，因此是非 平稳的。 2)只有当-1<<1时，该随机过程才是平稳的。
只要括号内的量为有限值， cov( zt , zt )
也为有限值，且与t无关
54
一般情况？
只需得到 cov( zt , zt ) 为有限值即可，即 cov( zt , zt ) 存在
cov( zt , zt ) E zt zt mt mt mt mt
10
非平稳时间序列时序图
1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 36 38 40 42 44 46 48 50 52 54
IN VGM
11
平稳时间序列
4
2
0
-2
-4 200 400 600 Z2 800 1000
12
平稳序列通常具有短期相关性
(k )
E ( X t t )( X t k t k ) DX t DX t k
•平稳性检验
实际的时间序列数据往往是非平稳的。 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归”——经济学。两 个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性情况。 GDP每年都增长和旁边的树每年都长高
3
4
平稳性检验
平稳时间序列有两种定义:
• 严平稳时间序列（strictly stationary）—指序列 所有的统计性质都不会随着时间的推移而发生变 化。
E (at 1at 1 q at q )(as 1as 1 q as q ) E (at 1at 1 q at q )(at 1at 1 q at q )
平稳时间序列分析
1
时间序列
指被观察到的依时间为序排列的数据序列。 时间序列背后是某一现象的变化规律。
时间序列分析
根据系统的有限长度的运行记录（观察数据），建 立能够比较精确地反映序列中所包含的动态依存关系 的数学模型，并借以对系统的未来进行预报。
2
时间序列的预处理
•随机性检验
序列值彼此之间有无相关性
32
•曼德尔布罗特的工作启发了两类时间序列分析方法的发展。其 中之一，是恩格尔的ARCH(自动递减条件下的异方差性)模型 ARCH模型的基本思想:某一时刻噪声是服从正态分布。其均 值为零，方差是随时间变化的量，是过去有限项噪声值平方的 线性组合(即为自回归)。 可以看出，由于现在时刻噪声的方差是过去有限项噪声值平 方的回归，也就是说噪声的波动具有一定的记忆性。如果在以 前时刻噪声的方差变大，那么此刻噪声的方差往往也跟着变大。 翻译到金融市场:如果前一阶段资产价格波动变大，那么在此 刻市场资产价格波动也往往较大，反之亦然。这就是ARCH模 型具有的波动集群特性。 ARCH模型族比较准确地刻画了金融 市场风险的变化过程。因此受到金融界的欢迎。