不等式性质和基本不等式

第七章 不等式

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第1讲 不等关系与不等式

★ 知 识 梳理 ★

1.比较原理：

两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a

0>-⇔>b a b a ； 0<-⇔

2．不等式的性质：

（1）对称性:a b b a <⇔>， a b b a >⇔< （2）传递性:,a b b c >>⇒，a c >

（3）可加性:a b >⇔. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>⇔>-

推论：同向不等式可加. ,a b c d >>⇒ a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >⇒>>0,，,0a b c ><⇒ac bc < 推论1：同向(正)可乘: 0,0a b c d >>>>⇒ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>⇒ n n a b >` (,2)n N n *

∈≥

(5) 可开方(正):0a b >>⇒

>(,2)n N n *

∈≥

第4讲 基本不等式

★ 知 识 梳理 ★

1.基本形式:

,a b R ∈,则222a b ab +≥;

0,0a b >>,

则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立.

2求最值:

当ab 为定值时,2

2

,a b a b ++有最小值;

当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>).

3.拓展：若0,0a b >>时

,2

112a b a b

+≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★

考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 例1 . 已知0,0x y >>且满足28

1x y

+=,求x y +的最小值. 【解题思路】利用

28

1x y

+=，构造均值不等式 解析：∵2828()1()()28y x

x y x y x y x y x y

+=+⋅=+⋅+=+++,0,0x y >>,∴

280,0y x

x y

>>

1018x y +≥+=,当且仅当28y x x y

=时等号成立,即22

4y x =,∴2y x =,又28

1x y

+=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18. 【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正

数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件． 题型2. 当和a b +为定值时, 求积ab 最大值

例2. 已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．

【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy 转化成lgxy 考虑．

解析∵x>0，y>0，3x+4y=12，

∴ y x xy 43121⋅⋅=≤32431212

=⎪⎭

⎫

⎝⎛+y x ，

∴lgx+lgy=lgxy ≤lg3 ．

由⎪⎩

⎪

⎨⎧==+>>y x y x y x 4312430,0 解得 ⎪⎩

⎪⎨⎧==232y x ∴当x=2，y=

2

3

时，lgx+lgy 取得最大值lg3 ． 【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一． 考点2 利用基本不等式证明

题型：用综合法证明简单的不等式

例1. 已知,,a b c R ∈,求证:222a b c ab bc ca ++≥++. 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体. [解析] Q 2

2

2

2

2

2

2,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥,

相加整理得222a b c ab bc ca ++≥++. 当且仅当a b c ==时等号成立. 【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形. 例2. 已知a ，b 为正数，求证：

a

b b

a +

≥b a +．

【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.

解析1：∵ a>0，b>0， ∴

b b a +≥a b b a 22

=⋅，

a a

b +≥b a a

b 22=⋅，

两式相加，得

a a

b b b

a ++

+≥b a 22+，

∴

a

b b

a +

≥b a +．

解析2. a

b

b b a a b a b a a b b

a +++=+⎪

⎪⎭⎫

⎝⎛+

)(≥ab b a 2++ 2)(b a +=．

∴

a

b b

a +

≥b a +．

【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路． “分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用． 这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．

6.已知函数12

()f x a x

=-

+，若02≥+x x f )(在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围。 解析：因为02≥+x x f )(在（0，+∞）上恒成立，即022

1≥++-x x

a

∴ )(x x a 121+≤ ∵ )(x x 12+的最小值为4 ∴ 41

≤a

解得4

1

0≥

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1. 设x ≠0，则函数y = (x +1

x )2-1 在x =____时，y 有最小值____．

解：y = (x +1x )2-1≥3=x 2+1

x 2+1≥2+1=3．答案为： __±1__；3 2. 设实数x ,y 满足x 2+2xy -1=0 ，则x +y 的取值范围是____．

解析：x 2+2xy +y 2=y 2+1≥1,即(x+y )2 ≥1所以x+y ≥1 或x+y ≤-1 ．答案为(-∞,-1]∪[1, +∞)_ 3.

（广东省梅州、揭阳两市四校

2008届高三第三次联考）设x ，y 均为正实数，且

3

1

2121=+++y x ，则xy 的最小值为