不等式性质和基本不等式

第七章 不等式知识网络.第1讲 不等关系与不等式★ 知 识 梳理 ★1.比较原理：两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a<b;a=b ；0>-⇔>b a b a ； 0<-⇔<b a b a ； 0=-⇔=b a b a ．2．不等式的性质：（1）对称性:a b b a <⇔>， a b b a >⇔< （2）传递性:,a b b c >>⇒，a c >（3）可加性:a b >⇔. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>⇔>-推论：同向不等式可加. ,a b c d >>⇒ a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >⇒>>0,，,0a b c ><⇒ac bc < 推论1：同向(正)可乘: 0,0a b c d >>>>⇒ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>⇒ n n a b >` (,2)n N n *∈≥(5) 可开方(正):0a b >>⇒>(,2)n N n *∈≥第4讲 基本不等式★ 知 识 梳理 ★1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立.2求最值:当ab 为定值时,22,a b a b ++有最小值;当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>).3.拓展：若0,0a b >>时,2112a b a b+≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 例1 . 已知0,0x y >>且满足281x y+=,求x y +的最小值. 【解题思路】利用281x y+=，构造均值不等式 解析：∵2828()1()()28y xx y x y x y x y x y+=+⋅=+⋅+=+++,0,0x y >>,∴280,0y xx y>>1018x y +≥+=,当且仅当28y x x y=时等号成立,即224y x =,∴2y x =,又281x y+=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18. 【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正数；(2)要求“和”或“积”为定值；(3)要注意是否具备等号成立的条件． 题型2. 当和a b +为定值时, 求积ab 最大值例2. 已知x>0，y>0，且3x+4y=12，求lgx+lgy 的最大值及此时x 、y 的值．【解题思路】这是条件最值问题，但目标式与已知条件的联系较隐蔽，不易发现. 应将lgx+lgy 转化成lgxy 考虑．解析∵x>0，y>0，3x+4y=12，∴ y x xy 43121⋅⋅=≤32431212=⎪⎭⎫⎝⎛+y x ，∴lgx+lgy=lgxy ≤lg3 ．由⎪⎩⎪⎨⎧==+>>y x y x y x 4312430,0 解得 ⎪⎩⎪⎨⎧==232y x ∴当x=2，y=23时，lgx+lgy 取得最大值lg3 ． 【名师指引】利用基本不等式求最值是高考中最常考的方法之一． 考点2 利用基本不等式证明题型：用综合法证明简单的不等式例1. 已知,,a b c R ∈,求证:222a b c ab bc ca ++≥++. 【解题思路】因为是轮换对称不等式，可考虑由局部证整体. [解析] Q 2222222,2,2a b ab b c bc a c ac +≥+≥+≥,相加整理得222a b c ab bc ca ++≥++. 当且仅当a b c ==时等号成立. 【名师指引】综合法证明不等式常用两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这一结论，运用时要结合题目条件，有时要适当变形. 例2. 已知a ，b 为正数，求证：ab ba +≥b a +．【解题思路】观察结构用基本不等式加以证明.解析1：∵ a>0，b>0， ∴b b a +≥a b b a 22=⋅，a ab +≥b a ab 22=⋅，两式相加，得a ab b ba +++≥b a 22+，∴ab ba +≥b a +．解析2. abb b a a b a b a a b ba +++=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+)(≥ab b a 2++ 2)(b a +=．∴ab ba +≥b a +．【名师指引】当要证明的不等式形式上比较复杂时，常通过分析法寻求证题思路． “分析法”与“综合法”是数学推理中常用的思维方法，特别是这两种方法的综合运用能力，对解决实际问题有重要的作用． 这两种数学方法是高考考查的重要数学思维方法．6.已知函数12()f x a x=-+，若02≥+x x f )(在（0，+∞）上恒成立，求a 的取值范围。

解析：因为02≥+x x f )(在（0，+∞）上恒成立，即0221≥++-x xa∴ )(x x a 121+≤ ∵ )(x x 12+的最小值为4 ∴ 41≤a解得410≥<a a 或★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1. 设x ≠0，则函数y = (x +1x )2-1 在x =____时，y 有最小值____．解：y = (x +1x )2-1≥3=x 2+1x 2+1≥2+1=3．答案为： __±1__；3 2. 设实数x ,y 满足x 2+2xy -1=0 ，则x +y 的取值范围是____．解析：x 2+2xy +y 2=y 2+1≥1,即(x+y )2 ≥1所以x+y ≥1 或x+y ≤-1 ．答案为(-∞,-1]∪[1, +∞)_ 3.（广东省梅州、揭阳两市四校2008届高三第三次联考）设x ，y 均为正实数，且312121=+++y x ，则xy 的最小值为解析：由312121=+++y x 可化为xy =8+x+y,Θx ，y 均为正实数 ∴ xy =8+x+y xy 28+≥（当且仅当x=y 等号成立）即xy-2xy -80≥可解得xy 4≥,即xy ≥16故xy 的最小值为16。

★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1:比较法两个数的大小 例2. 比较a mb m ++与ab（其中0b a >>，0m >）的大小 【解题思路】作差整理,定符号 解析：()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m ab m b+>+．【名师指引】作差比较法的步骤是：1、作差；2、变形：配方、因式分解、通分、分母（分子）有理化等；3、判断符号；4、作出结论．考点2 不等式的性质题型：验证或推导简单不等式的有关结论例1. 已知：m ＞n ，a ＜b ，求证：m －a ＞n －b . 【解题思路】以不等式的性质为基础，进行推导证法一：由m ＞n 知m －n ＞0，由a ＜b 知b －a ＞0.∴（m －a ）－（n －b ）＝（m －n ）＋（b －a ）＞0⇒m －a ＞n －b ； 证法二：∵a ＜b ∴－a ＞－b又∵m ＞n ∴m ＋（－a ）＞n ＋（－b ） ∴m －a ＞n －b .【名师指引】不等式的性质中,有“单向性”和“双向性”的区别,切记随心所欲、自创性质 例 2.已知下列三个不等式①0ab >;②c da b>;③bc ad >,以其中两个作为条件,余下一个作结论,则可组成几个正确命题.【解题思路】以比较法为基础进行变形[解析](1)对②变形0c d bc ad a b ab->⇔>,由0,ab bc ad >>得②成立,∴①③⇒②. (2)若0,0bc ad ab ab ->>,则bc ad >,∴①②⇒③.(3)若,0bc adac bd ab->>,则0ab >,∴①②⇒③.综上所述可组成3个正确命题.【名师指引】注意运用性质时须满足的条件,如a b >时,判断ac 与bc 的大小关系应注意从0,0,0c c c >=<三个方面讨论.考点3 不等式性质综合应用 题型1.用比较法证函数的单调性例1. （广东省揭阳二中2009届高三上学期期中考试）已知函数()f x 的定义域为{},0x x R x ∈≠且对定义域内的任意1x 、2x ，都有1212()()(),1()0,(2) 1.f x x f x f x x f x f ⋅=+>>=且当时（1）求证：()f x 是偶函数；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21) 2.f x -<【解题思路】证明抽象函数的单调性通常是用单调性的定义结合比较法. 解析；（1）证明 因对定义域内的任意1x 、2x 都有121212()()(),,1f x x f x f x x x x ⋅=+==-令，则有()()(1)f x f x f -=+- ……2分又令121,2(1)(1)x x f f ==--=得 再令121,(1)0,(1)0,x x f f ===-=得从而 于是有()(),()f x f x f x -=所以是偶函数． （2）设212121110()()()(.)x x x f x f x f x f x x <<-=-，则 221111()()()(),x xf x f x f f x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦ 由于21210,1,x x x x ><>所以从而21()0xf x >， 故1212()()0()(),()(0,)f x f x f x f x f x -<<+∞，即所以在上是增函数． （3）由于(2)1,211(2)(2)(4),f f f f ==+=+=所以于是待解不等式可化为2(21)(4)f x f -<， 结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于 2214x -<解得0x x x ⎧⎫⎪⎪<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭且．【名师指引】 作差法、作商法以及函数的单调性是比较大小的常用方法.运用不等式性质时应从结论出发, 寻找解题的切入点.★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1. 如果,,a b c 满足c b a <<,且0ac <,那么下列选项中不一定成立的是( ) A.ab ac > B.()0c b a -> C.22cb ab < D. ()0ac a c -> 解析:由题意知0,0c a <>,则A 一定正确,B 一定正确,D 一定正确,故选C(当b=0时)2.(2008·吴川一中)对于实数a b 、，“()0b b a -≤”是“1ab≥”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 解析：由10()0a a b b b a b b-≥⇒≥⇒-≤;反之不成立.选 C 3. 若110a b<<,则下列不等式:①a b ab +<;②||||a b >;③a b <;④2b aa b+>中,正确的不等式有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析:由110a b <<得0b a <<,0ab >,则①④正确,②③错误,故选B. 4.若22ππαβ-<<<,则αβ-的取值范围是解析:由,2222ππππαβ-<<-<-<,αβ<可得(,0)π-5. 设,0,0>>b a 求证.)()(2121212212b a a b b a +≥+证法一:左边-右边=)()()(33b a abb a +-+=abb a ab b ab a b a )())((+-+-+=abb ab a b a )2)((+-+ =0))((2≥-+abb a b a ∴原不等式成立。