初中数学冀教版八年级上册第十五章 二次根式15.2 二次根式的乘除运算-章节测试习题(5)
八年级数学上册 第十五章 二次根式 专题练习 二次根式的加减运算3 冀教版(2021年整理)
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二次根式的加减运算一、选择题1、在12，34，48，6中能与3进行加减合并的根式有_________．2、下列根式中与其他三个不同类的是( ）A ．2B ．98C ．48D ．503、下列各组二次根式中，可以进行加减合并的一组是（ )A ．12与72B ．63与78C ．38x 与22xD ．18与6 4、下列根式合并过程正确的是（ ）A ．23—3-=2B ．a c +b c =a+b cC ．5a +12a =a+12a D ．133a -143a =1123a5、若53+y =63，则y 值为（ ）A ． 3B ．1C ．23D ．3二、计算：(1)7238550(2）x x x x 1246932-+三、计算:（1）213904540（2）232282xy x x +-(0,0)x y >>四．计算:(1)212+348（（3（4)143a。
最新冀教版初中数学八年级上册《15.0第十五章二次根式》精品教案 (1)
16．1.1 二次根式教学内容二次根式的概念及其运用 教学目标理解二次根式的概念，并利用a （a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键1．重点：形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2．难点与关键：利用“a （a ≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个课本P2的三个思考题： 二、探索新知很明显3、10、46，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如a （a ≥0）•的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0，a 有意义吗？ 老师点评:（略）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0）、0、42、-2、1x y+、x y +（x ≥0，y •≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：2、x （x>0）、0、-2、x y +（x ≥0，y ≥0）；不是二次根式的有：33、1x、42、1x y +．例2．当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，•31x -才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥13当x ≥13时，31x -在实数范围内有意义． 三、巩固练习教材P5练习1、2、3． 四、应用拓展例3．当x 是多少时，23x ++11x +在实数范围内有意义？ 分析：要使23x ++11x +在实数范围内有意义，必须同时满足23x +中的≥0和11x +中的x+1≠0．解：依题意，得23010x x +≥⎧⎨+≠⎩由①得：x ≥-32由②得：x ≠-1 当x ≥-32且x ≠-1时，23x ++11x +在实数范围内有意义． 例4(1)已知y=2x -+2x -+5，求xy的值．(答案:2) (2)若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值．(答案:25) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握：1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 六、布置作业1．教材P5 1，72．选用课时作业设计．第一课时作业设计 一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（ ）A ．-7B ．37C ．xD ．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ） A ．4 B ．16 C ．8 D ．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ） A ．5 B ．5 C ．15D ．以上皆不对 二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x 是多少时，23x x++x 2在实数范围内有意义？ 3．若3x -+3x -有意义，则2x -=_______．4.使式子2(5)x --有意义的未知数x 有（ ）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数5.已知a 、b 为实数，且5a -+2102a -=b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1．a （a ≥0） 2．a 3．没有三、1．设底面边长为x ，则0.2x 2=1，解答：x=5．2．依题意得：2300x x +≥⎧⎨≠⎩，320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩∴当x>-32且x ≠0时，23x x +＋x 2在实数范围内没有意义．3.134．B5．a=5，b=-416.1.2 二次根式(2)教学内容1．a （a ≥0）是一个非负数； 2．（a ）2=a （a ≥0）． 教学目标理解a （a ≥0）是一个非负数和（a ）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简． 通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a （a ≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（a ）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题． 教学重难点关键1．重点：a （a ≥0）是一个非负数；（a ）2=a （a ≥0）及其运用．2．难点、关键：用分类思想的方法导出a （a ≥0）是一个非负数；•用探究的方法导出（a ）2=a （a ≥0）． 教学过程一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0时，a 叫什么？当a<0时，a 有意义吗？ 老师点评（略）． 二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a （a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出a （a ≥0）是一个非负数．做一做：根据算术平方根的意义填空：（4）2=_______；（2）2=_______；（9）2=______；（3）2=_______；（13）2=______；（72）2=_______；（0）2=_______． 老师点评：4是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，4是一个平方等于4的非负数，因此有（4）2=4．同理可得：（2）2=2，（9）2=9，（3）2=3，（13）2=13，（72）2=72，（0）2=0，所以（a ）2=a （a ≥0）例1 计算 1．（32）2 2．（35）2 3．（56）2 4．（72）2分析：我们可以直接利用（a ）2=a （a ≥0）的结论解题．解：（32）2 =32，（35）2 =32·（5）2=32·5=45， （56）2=56，（72）2=22(7)724=． 三、巩固练习计算下列各式的值：（18）2 （23）2 （94）2 （0）2 （478）2 22(35)(53)-四、应用拓展例2 计算1．（1x +）2（x ≥0） 2．（2a ）2 3．（221a a ++）2 4．（24129x x -+）2分析：（1）因为x ≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4题都可以运用（a ）2=a （a ≥0）的重要结论解题． 解：（1）因为x ≥0，所以x+1>0 （1x +）2=x+1（2）∵a 2≥0，∴（2a ）2=a 2 （3）∵a 2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a 2+2a+1≥0 ，∴221a a ++=a 2+2a+1 （4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2 又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥0，∴（24129x x -+）2=4x 2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-3 （2）x 4-4 (3) 2x 2-3分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：1．a （a ≥0）是一个非负数；2．（a ）2=a （a ≥0）;反之:a=（a ）2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P5 2，6，82．选用课时作业设计．第二课时作业设计 一、选择题1．下列各式中15、3a 、21b -、22a b +、220m +、144-，二次根式的个数是（ ）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（ ）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题1．（-3）2=________．2．已知1x +有意义，那么是一个_______数． 三、综合提高题 1．计算（1）（9）2 （2）-（3）2 （3）（126）2 （4）（-323）2 (5) (2332)(2332)+- 2．把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 （2）3.4 （3）16（4）x （x ≥0） 3．已知1x y -++3x -=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式: （1）x 2-2 （2）x 4-9 3x 2-5第二课时作业设计答案: 一、1．B 2．C二、1．3 2．非负数三、1．（1）（9）2=9 （2）-（3）2=-3 （3）（126）2=14×6=32（4）（-323）2=9×23=6 (5)-6 2．（1）5=（5）2 （2）3.4=（ 3.4）2（3）16=（16）2 （4）x=（x ）2（x ≥0）3．103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩ x y =34=81 4.（1）x 2-2=（x+2）（x-2）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（x+3）（x-3） (3)略16.1.3 二次根式(3)教学内容2a ＝a （a ≥0）教学目标理解2a =a （a ≥0）并利用它进行计算和化简．通过具体数据的解答，探究2a =a （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键1．重点：2a ＝a （a ≥0）． 2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0时，2a ＝a 才成立． 教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式； 2．a （a ≥0）是一个非负数； 3．(a )2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0时，2a =a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知（学生活动）填空：22=_______；20.01=_______；21()10=______；22()3=________；20=________；23()7=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：22=2；20.01=0.01；21()10=110；22()3=23；20=0；23()7=37．因此，一般地：2a =a （a ≥0） 例1 化简（1）9 （2）2(4)- （3）25 （4）2(3)-分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）•去化简．解：（1）9=23=3 （2）2(4)-=24=4（3）25=25=5 （4）2(3)-=23=3三、巩固练习 教材P 7练习2． 四、应用拓展例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？ （3）2a >a ，则a 可以是什么数？分析：∵2a =a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，2a =2()a -，那么-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为2a =a ，所以a ≥0； （2）因为2a =-a ，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0时2a =a ，要使2a >a ，即使a>a 所以a 不存在；当a<0时，2a =-a ，要使2a >a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展． 六、布置作业1．教材P 5习题16． 3、4、6．2．选作课时作业设计．第三课时作业设计 一、选择题1．2211(2)(2)33+-的值是（ ）．A ．0B ．23 C ．423D ．以上都不对 2．a ≥0时，2a 、2()a -、-2a ，比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（ ）． A ．2a =2()a -≥-2a B ．2a >2()a ->-2a C ．2a <2()a -<-2a D ．-2a >2a =2()a - 二、填空题1．-0.0004=________．2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求a+212a a -+的值，甲乙两人的解答如下： 甲的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（1-a ）=1；乙的解答为：原式=a+2(1)a -=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a │+2000a -=a ，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a •的值是正数还是负数，去掉绝对值） 3. 若-3≤x ≤2时，试化简│x-2│+2(3)x ++21025x x -+。
冀教版八年级上数学：15.2二次根式乘除运算 同步测试(带答案)
15.2 二次根式乘除运算当堂检测1.计算√8×√2的结果是()A.√10B.4C.√6D.22.化简√5×√920的结果是()A.32B.√32C.5√32 D.1523.已知m=(-√33)×(-2√21),则有() A.5.0<m<5.1 B.5.1<m<5.2C.5.2<m<5.3D.5.3<m<5.44.下列计算正确的是()A.2√5×3√5=6×25=150B.2√5×3√5=6×5=30C.2√5×3√5=6√5D.2√5×3√5=5√55.把√3a√12ab化简后得()A.4bB.2√bC.12√b D.√b2b6.下列计算正确的是()A.√3÷√5=15√3 B.√3÷√25=15√3C.√125÷√5=√5D.√x÷x=√x7.一个长方形的长和宽分别是3√6,2√3,则它的面积是 ( )A.20√3B.18√2C.17√2D.16√28.已知√7·√a 的积是一个整数,则正整数a 的最小值是 ( )A.7B.2C.19D.59.三角形的一边长是√42 cm,这条边上的高是√30 cm,则这个三角形的面积是( )A.6√35 cm 2B.3√35 cm 2C.√72 cm 2D.√126 cm 210.下列各式的计算结果是整数的是 ( )A.√12×√6B.√18×√8C.√20×√10D.√24×√1211.如果√x ·√x -6=√x (x -6),那么x 的取值范围是 ( )A.x ≥0B.x ≥6C.0≤x ≤6D.x ≤612.计算.(1)6√·√x y (x ≥0,y >0);(2)5√ab ·(-4√a 3b)(a ≥0,b ≥0);(3)√18mn ·√2m 2n 4(m ≥0,n ≥0);(4)4√xy 7×(-12√28x 2y).13.计算.(1)√18÷√8; (2)√152√5; (3)√123÷√56; (4)2√x 2y 3√xy .14.设√3=a,√30=b,试用含a,b的代数式表示√0.9×√10×√90.15.设长方形的长与宽分别为a,b,面积为S.(1)已知a=2√2 cm,b=√10 cm,求S的值;(2)已知S=√72 cm2,b=√求a的值.16.比较下列各式的大小.(在横线上填“>”“<”或“=”) (1)①4+32×√4×√3;②3+122×√3×√12;③5+52×√5×√5……(2)通过观察归纳,写出能反映这种规律的一般结论,并证明结论的正确性. 17.计算.(写出解题过程)(1)√6×√2;(2)2√5×3√10;(3)2√8÷4√2;(4)√24√6.18.化简与计算.(1)2√5a·√10a(a≥0);(2)3a√12ab·(-23√6b)(a≥0,b≥0).19.设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=16,b=√10,求a的值.答案与解析1、B 解析:√8×√2=√16=4.故选B.2、A 解析:原式=√5×920=√94=32.故选A.3、C 解析:∵m =(-√33)×(-2√21)=2√7=√28,5.22=27.04,5.32=28.09,∴5.2<m <5.3.故选C.4、B 解析:2√5×3√5=(2×3)×(√5×√5)=6×5=30.故选B.5、D 析:√3a √12ab =√3a√3a×√4b =2√b =√b 2b .故选D. 6、B 解析:A.√3÷√5=√3√5=√155,故本选项错误;B.√3÷√25=√3√25=15√3,正确;C.√125÷√5=√125√5=√5√5=5,故本选项错误;D.√x ÷x =√x x ,故本选项错误.故选B. 7.B(解析:3√6×2√3=3×2×√6×√3=6√18=18√2.故选B .) 8.A(解析:∵√7·√a 的积是一个整数,∴√7a 是整数,故正整数a 的最小值是7.故选A .)9.B(解析:三角形的面积为12×√42×√30=3√35(cm 2).故选B .) 10.B(解析:A.√12×√6=6√2,故此选项错误;B.√18×√8=12,故此选项正确;C.√20×√10=10√2,故此选项错误;D.√24×√12=12√2,故此选项错误.故选B .)11.B(解析:由题意得{x ≥0,x -6≥0,解得x ≥6.故选B .) 12.解:(1)6√·√x y =18 √3xy ·x y =18√3x. (2)5√(-4√a 3b )=-20√a 4b 2=-20a 2b. (3)√18mn ·√2m 2n 4=6√mn ·m 2n 4=6mn 2√mn . (4)4√xy 7×(-12√28x 2y)=-2√xy7×28x 2y =-4xy √x .13.解:(1)原式=√188=√94=32. (2)原式=2 √155=2√3. (3)原式=√53÷56=√53×65=√2. (4)原式=23√x 2y xy=23√x . 14.解:∵√3=a ,√30=b ,∴√0.9×√10×√90=√0.9×10×√3×30=3×√3×√30=3ab.15.解:(1)∵a =2√2 cm,b =√10 cm,∴S =2√2×√10=4√5(cm 2). (2)∵S =√72 cm 2,b =√50 cm,∴a =√72÷√50=65(cm).16.解:(1)①> ②> ③= (2)规律:a +b ≥2√ab .证明如下:a-2√ab +b =(√a -√b)2≥0,故a +b ≥2√ab .17、解:(1)原式=√6×2=√4×3=2√3.(2)原式=6√5×10=6√50=30√2.(3)原式=12√82=12√4=1.(4)原式=√246=√4=2.18、解:(1)原式=2√50a 2=10√2a. (2)原式=-2a √72ab 2=-12ab √2a . 19解:由题意得a =S ÷b =16÷√10=8√105,即a 的值为8√105.。
八年级数学上册第十五章二次根式15-3二次根式的加减运算教案新版冀教版
15.3二次根式的加减运算教学目标【知识与能力】1.了解二次根式(根号下仅限于数)的加减运算.2.会合并被开方数相同的二次根式,能进行二次根式的加减运算.【过程与方法】1.经历探索二次根式的加减运算法则的过程,培养学生的探究精神和合作交流的习惯.2.体会用类比的思想研究二次根式的加减运算法则,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂.【情感态度价值观】1.教学中为学生创造大量的操作、思考和交流的机会,关注学生思考问题的过程,鼓励学生在探索规律的过程中从多个角度进行考虑.2.让学生品尝成功的喜悦,激发学生应用数学的热情,培养学生主动探索,敢于实践,善于发现的科学精神以及合作精神,树立创新意识.教学重难点【教学重点】二次根式的加减运算法则.【教学难点】能正确地计算二次根式的加减法.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:1.复习最简二次根式(1)怎样的二次根式叫做最简二次根式?(2)2√5与√20的实质区别是什么?2.复习整式的加减【课件1】计算下列各式.(1)2x+3x;(2)2x2-3x2+5x2;(3)y+2y+3y;(4)3a2-2a2+a2.说明:上面题目的计算,实际上就是我们以前学过的合并同类项,合并同类项的法则是:字母及其指数不变,系数相加减.[设计意图]复习合并同类项的方法,为学生学习合并被开方数相同的二次根式做好铺垫.导入二:【课件2】一个运动场要修两块长方形草坪,第一块草坪的长是10米,宽是√5米,第二块草坪的长是20米,宽也是√5米.你能告诉运动场的负责人要准备多大面积的草皮吗?问题:10√5+20√5等于多少?说明:学生回答,教师出示课题并说明研究该问题就是如何进行二次根式的加法运算.[设计意图]从实际问题中抽象出二次根式的加法运算,指明本节课的学习内容.导入三:引语:这节课我们先来解决简单的问题,同学们注意抢答.提问:(1)2+3等于几?(2)√2+√3呢?(3)√2+√2呢?教师把问题一个一个给出,学生抢答.对于第(2)(3)小题的回答,教师先不要急于评价,让学生讨论、说理.[设计意图] 先抛出一个极其简单老套的问题,引起学生的不屑,但同时也会激发学生的兴趣;第(2)(3)小题,学生会有不同的看法,再度引起争议从而为更好地掌握二次根式的加减法打好基础.二、新知构建：活动一:二次根式的加减运算思路一 1.试着做做【课件3】 计算下列各式.(1)5√3+2√3; (2)√12+√75; (3)6√7-√17. 2.通过观察以上三道计算题,你联想到了什么? 3.你能试着解决它们吗?解:(1)5√3+2√3=(5+2)√3=7√3.(2)√12+√75=2√3+5√3=(2+5)√3=7√3. (3)6√7-√17=6√7-17√7=(6-17)√7=41√77.归纳:遇到两个二次根式相加(或相减)时,我们希望利用分配律,这里利用分配律的实质是这两个二次根式的被开方数相同,这种类似的情况我们过去也遇到过:将两个单项式相加,如果想利用分配律的话,那么就应当要求两个单项式除了系数以外,其余的都相同.这就启发我们,类比整式的加减中的合并“同类项”,能不能在二次根式的加减中,也合并一种“同类二次根式”呢?4.像5√3和2√3,3√a 和2√a ,这样的两个二次根式都可以合并.如果几个二次根式可以进行合并,它们具备的特点是:(1)被开方数相同;(2)二次根式必须是最简二次根式;(3)与前面的“系数”无关. 5.想一想:怎样把被开方数相同的最简二次根式进行合并?引导学生归纳:二次根式的加减与整式的加减类似,只要对被开方数相同的最简二次根式进行合并,合并的方法是“系数”相加减,被开方数不变. [设计意图] 通过计算、观察、类比使学生发现二次根式的加减法的实质就是把二次根式化简之后,合并被开方数相同的二次根式的过程,让学生体会前后知识的联系. 思路二(针对导入三)说理:事实上,如果√2+√3=√5,那么√2+√2=√4,而√4=2,也就是说√2+√2=2,这显然是错误的.提问:(1)同学们还记得你们曾犯过类似的错误吗?(12+13=15)(2)那么√2+√2到底等于多少呢?√2+√3呢?能不能直接相加呢?如何进行二次根式的加减法运算呢?[设计意图] 通过说理环节让学生意识到问题原来不是那么简单的,通过强烈的反差使学生意识到二次根式的加减并不简单,接着再通过两个问题使学生在愉悦的氛围中学习,同时引导学生进行思考.计算:√18+√32-√50.解:√18+√32-√50=3√2+4√2-5√2=(3+4-5)√2=2√2.上面的计算中,先把二次根式化简,几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,就可以合并在一起.二次根式相加减时,先把各个二次根式化简,再把它们进行合并.合并时与合并同类项类似.因此,二次根式的加减可以比照整式的加减进行.在二次根式的运算中,实数的运算性质和法则同样适用. 活动二:例题讲解 【课件4】计算下列各式. (1)2√3-3√12+5√27;(2)√8+√0.5-(√0.2-√132).先让学生独立完成,教师可适当点拨:(1)先将不是最简二次根式的化成最简二次根式,然后合并被开方数相同的项.(2)可先将根号下的小数化成分数,然后再去括号,化成最简二次根式后进行计算.解:(1)原式=2√3-6√3+15√3=11√3. (2)原式=2√2+√12-( √15-14√12)=2√2+√22-√55+√28=21√28-√55. 说明:教师巡视全班,对有困难的学生加以点拨指导,对学生交流后反馈的情况加以总结,并引导学生得出结论.请同学们完成下面两道题.【课件5】 (教材第99页做一做)计算下列各式. (1)2√28-3√63+5√49; (2)√24+√16-( √56+√0.96).引导学生独立完成,指定两名同学板演,其他学生在练习本上完成. 提示:(1)35-5√7. (2)53√630-√306. 【课件6】计算下列各式.(1)2√12-3√13-√27; (2)(√48-10√0.2)-3(√45-√13). 提问:(1)两题中有被开方数相同的项吗? (2)能否将它们化简呢? 学生自主完成.解:(1)2√12-3√13-√27=4√3-√3-3√3=0. (2)(√48-10√0.2)-3(√45-√13)=4√3-10×√55-3×(3√5-√33)=4√3-2√5-9√5+√3=5√3-11√5.总结方法:第一步,将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步,将被开方数相同的项进行合并.[知识拓展] 在二次根式的加减运算中,要注意以下几点:(1)二次根式的加减运算的实质就是合并被开方数相同的最简二次根式,因此正确地化简二次根式及准确地进行合并是关键.二次根式的加减运算与整式的加减运算类似,只需将被开方数相同的最简二次根式的“系数”相加减,根指数不变,被开方数也不变,不要把被开方数不同的二次根式进行加减运算.如2+√5=2√5是错误的,运算时一定要注意.(2)在进行二次根式的加减运算时,加法运算律中的交换律和结合律,去括号和添括号法则都是适用的.(3)二次根式加减运算的结果应写成最简形式,系数是带分数的一定要化成假分数,如2 3√2+5√2=173√2,不能写成523√2.(4)二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示:[设计意图]通过对例题的讲解,让学生明确在二次根式的计算中,如果有些二次根式的被开方数不同,应先将其化成最简二次根式,然后再将其合并.各例题层层递进,各有不同,让学生自主分析,自主完成,培养学生动手、动脑的良好习惯,培养了学生的解题能力.三、课堂小结：1.几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式就可以合并.合并的时候,只把“系数”相加减,根指数和被开方数不变.2.二次根式的加减法的步骤:(1)如果有括号,根据去括号法则去括号;(2)把不是最简二次根式的二次根式进行化简;(3)合并被开方数相同的最简二次根式.。
冀教版数学八年级上册15.2二次根式的乘除运算 同步课时作业
15.2二次根式的乘除运算 1.23⨯=( ) A.5 B.6 C.23 D.322.如果23(2)(3)a a a a +⋅-=+-，那么( )A.2a ≥-B.23a -≤≤C.3a ≥D.a 为一切实数 3.先阅读下面的解题过程：223(2)312-=-⨯=①，1223=②，2323∴-=③，以上过程开始出现错误的是( )A.①B.②C.③D.没有错误4.28⨯=( )A.42B.4C.10D.22 5.下列各式正确的是( )A.(4)(9)49-⨯-=-⨯-B.99161644+=⨯C.444499=⨯D.4949⨯=⨯6.计算4133÷的结果为( ) A.32 B.23 C.2 D.27.如图，一只电子蚂蚁在数轴上爬行，爬到表示5(8)2⨯-的点处，则该点可能是下列点中的( )A.点EB.点FC.点PD.点Q8.39x x ( ) A.13 B.13x C.3x D.3x ± 9.有一个体积为32523cm 的长方体纸盒，该纸盒的长为314cm ，宽为221cm ，则该纸盒的高为( )A.22cmB.23cmC.32cmD.33cm10.计算：8421÷=___________.11.计算：2273⨯=____________.12.计算2205⨯的结果是__________.13.二次根式的乘法在生活和高科技领域中有着广泛的应用.如图，在长征三号乙运载火箭中要将某一长方形部件变化成等面积的一个圆形，已知长方形的长是140πcm，宽是35πcm，则圆的半径是多少？答案以及解析1.答案：B解析：本题考查二次根式的乘法. B.2.答案：C20a +≥，30a -≥，所以3a ≥.故选C.3.答案：A解析：出现错误的一步是①，-== A.4.答案：B解析：原式4===.5.答案：DA ≠B 选项错误；=C 选项错误.故选D. 6.答案：D解析：原式2==.故选D. 7.答案：A(43=-<<-，由数轴可知点E 所表示的数大于4-且小于3-，故选A.8.答案：C3x =.故选C. 9.答案：C解析：由题意，得该纸盒的高为÷=（cm ）.故选C.10.答案：2解析：原式2=.11.答案：解析：原式==12.答案：解析：原式===13.答案：由题意知2 70πcm S ==长方形， 设圆的半径为R cm ，则2π70πR =，R ∴=。
冀教版八年级上册河北教案第十五章 15-2 二次根式的乘除运算
15.2 二次根式的乘除运算【教学目标】知识与技能：1．掌握二次根式的乘除运算法则，会进行简单的二次根式的乘除运算．2．培养学生的合情推理能力和分母有理化能力．过程与方法：1．在学生原有知识的基础上，经历知识的产生过程，探索新知识．2．体会用类比的思想研究二次根式的乘除法，体验研究数学问题的常用方法：由特殊到一般，由简单到复杂．情感态度与价值观：通过本节课的学习，让学生认识到事物之间是相互联系、相互作用的．【重点难点】重点：二次根式的乘除运算．难点：二次根式的乘除运算．【教学过程】一、创设情境(1)一个长方形的长为12 cm，宽为 2 cm，求这个长方形的面积；(2)如果一个长方形的面积S＝18 cm2，长a＝ 6 cm，求宽b.二、探索归纳内容1：二次根式的乘除法法则问题1.想一想积(商)的算术平方根的性质是什么？问题2.根据等式的对称性，把上述公式反过来，你能得到什么结论？二次根式的乘法和除法1. a · b ＝a·b(a≥0，b≥0).2.ab＝ab(或 a ÷ b ＝a÷b)(a≥0，b>0).问题 3.二次根式的乘(除)法法则与积(商)的算术平方根的性质有什么关系？内容2：例题讲解【例1】计算下列各式．(1) 3 × 2 ；(2)8 ×32 ；(3)50 ×20 .【解析】直接利用二次根式乘法法则进行计算即可．学生完成后，找同学对每道题进行讲解、分析，说明过程和思路，学生对于(2)(3)有不同的做法应予以鼓励和表扬．【例2】计算下列各式．(1)32；(2)45÷85；(3)76÷58.【解析】直接利用二次根式的除法法则进行计算，注意结果要化成最简二次根式．学生完成后，集体讲评，重视解题方法的指导．说明：运算的结果，应化为最简二次根式．内容3：分母有理化观察32，56，23，18的特点，有什么发现？答：分母都含有二次根式．你能把它们分母化成有理数吗？学生分组讨论，推荐4个人到黑板上板书．教师总结：将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子，像这样，把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化．教材第96页大家谈谈：请就小明和大刚分别计算 2 ×18 ，273的做法给予评价，并谈谈你的想法．小明和大刚的做法都是正确的．在教学过程中，可先由学生独立完成，然后展开交流，让学生体会到不同的思考方法．解答问题的过程可能是不同的，但结果是唯一的．三、交流反思今天所学的内容：1．二次根式的乘法和除法(1) a · b ＝a·b(a≥0，b≥0).(2)ab＝ab(或 a ÷ b ＝a÷b)(a≥0，b>0).2．分母有理化：把分母中的二次根式化去，叫做分母有理化．应用二次根式的乘法法则可以将分母有理化．四、检测反馈1．下列运算正确的是( )A． 2 · 3 ＝ 5 B．9 3 ×127＝ 3C．24 ÷ 6 ＝4 D．24 ·32＝62．计算：(1)15 ×35；(2) 3 ×63÷12.五、布置作业P96—97：习题A组1，2题；B组1，2题．六、板书设计15.2 二次根式的乘除运算二次根式的乘除法法则________例1________例2________活动三：分母有理化七、教学反思本节内容是以前一节二次根式的性质为基础进行的，要求学生能熟练运用二次根式的乘法法则和除法法则进行化简和计算．在教学过程中，通过一些特殊的例子让学生归纳出乘法法则和除法法则，学生比较容易接受．教师在对二次根式的乘除运算法则的学习和应用的教学过程中，渗透分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和学习兴趣，鼓励学生大胆猜想，积极探索，运用类比、归纳和从特殊到一般的思想方法激发学生创造性的思维．。
冀教版初中数学八年级上册15.2《二次根式的乘除运算》教案
冀教版初中数学
重点知识精选
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《二次根式的乘除运算》教案
教学目标
1.运用法则进行二次根式的乘除运算. )0,0(≥≥=
⋅b a ab b a 2.会用公式化简二次根式.
)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 教学重点 运用进行化简或计算.
)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 教学难点
经历二次根式的乘除法则的探究过程.
教学过程
一、情境导入
1.复习旧知：什么是二次根式？已学过二次根式的哪些性质？
2.计算：
(1)
94⨯94⨯(2) 949
4二、探索活动
1.学生计算；
2.观察上式及其运算结果，看看其中有什么规律？
3.概括：.
)0,0(≥≥=⋅b a ab b a 得出：二次根式相乘，实际上就是把被开方数相乘，而根号不变.
将上面的公式逆向运用可得：
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
商的算术平方根，等于各因式中算术平方根的商.
三、例题讲解
1.化简：
(1) (2) (3) 6481⨯625⨯9
5小结：如何化简二次根式？
1.(关键)将被开方数因式分解或因数分解，使之出现“完全平方数”或“完全平方式”；
四、课堂练习
1、P96练习.
2、P96-P97习题A 组1、2题.
相信自己，就能走向成功的第一步
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
数学思维
可以让他们更理性地看待人生。
冀教版八年级上册数学：152 二次根式的乘除运算(公开课课件)
12 2 3
分母有理化
把分母中的根号化去，叫做分母有 理化。
注意：二次根式的运算中，最后的结果中的二次根 式一般要写成最简二次根式的形式。
计算：(1) 2 ( 2) 2 3 ( 3) 27
3
8
3x
解（1）解法一：
2 2 23 6 6 6 3 3 33 32 32 3 解法二：
2 2 3 6 6 3 3 3 ( 3)2 3
式的式子进行分母有理化。
讨论
计算: (1) 4 25 1 0 ( 2) 4 25 10
(3) 9 1 3 ( 4) 9 1 3
42
42
你发现了什么？用你发现的规律填空：
(1) 2 3 = ６
(2) 5 7 = 35
探究
(4)(9) 4 9成立吗？
不成立！
4、 9没有意义。
25 5
25 5
根据你发现的规律填空：
(1)
2 3
=
2 3
(2)
5 7
= 75
一般地，对二次根式的除法，有：
a
a
（a≥0,b＞0）
bb
例题讲解
计算：(1) 24 ( 2) 2 1
3
3 18
解: (1) 24 24 8 2 2
3
3
(2) 2 1 2 1 2 18 3 18 3 18 3
冀教版八年级上册数学第十五章 15.2二次根式的乘除运算
胡晓红 邢台县皇台底中学
1、一个长方形的长为6cm，宽为 3cm， 这 个 长 方 形 的 面 积 是 多少 ？
解 : 长方形的面积为 6 3
这个结果能否化简？如何化简？
学习目标： 1、会运用二次根式的乘除运算
新冀教版八年级数学上册第15章 二次根式 【创新教案】二次根式的乘除
二次根式的乘除一、 教学目标1．了解二次根式，最简二次根式的概念。
2．掌握二次根式的性质。
3．能化简二次根式。
4．知道有理数的法则在实数范围内仍然适用，会进行简单的二次根式的乘除运算。
二、 知识网络定义最简二次根式二次根式 二次根式的性质化简二次根式二次根式的乘除运算三、 学习流程流程一、自学指导认真自学课本112页文字部分的内容，了解有理数的运算法则和运算律在实数范围内同样适用，找到二次根式的定义并掌握。
总结：二次根式的双重非负性1.被开方数a 应满足2.a 是非负数a ，()=2a （a ≥0）平行训练1．要使2-x 有意义，则x 应满足2．若021=++-b a 则a+b=流程二、自学指导请你完成下列各式的计算，你能发现什么规律吗？（1）=⨯254 =⨯54（2）169⨯＝169⨯＝ （3）254＝ =254 （4）=3625 =3625根据上面的结果归纳总结二次根式的性质： 提示：利用上面的规律，我们可以将某些二次根式化简，并且可以方便的进行二次根式的乘除运算。
流程三、自学指导对下列各式进行化简。
（1）94⨯ 225121⨯8116（2）225⨯ 413⨯492（3）50 521698（4）75.0 31 81观察上题结果，被开方数是整数，且这个整数不含能开得尽的因数，这样的二次根式叫做最简二次根式。
平行训练下列哪些是最简二次根式，哪些不是？对不是最简二次根式的进行化简。
5.0 52 25 45 32 341流程四、自学指导利用二次根式的性质，你能完成下列各题吗？（1）54⨯4964（2）82⨯82732⨯（3）642 51654÷（4）63⨯ 354提示：二次根式的结果都应化成最简二次根式。
平行训练32⨯ 1533⨯ 1417⨯ 26 61535÷达标测试1．下列结论正确的是（ ）A ．形如a 的式子叫做二次根式B ．二次根式a 一定是正数C ．()a a =2D ．()332=2．使二次根式x -1有意义，则x 应满足3．若,11-=-y x y x则x 0，y 4．若02112=-+-y x ，则2x+y= 5．下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是，把不是的化简。
河北省2024八年级数学上册第十五章二次根式15.2二次根式的乘除运算课件新版冀教版
9
10
B.
÷
＝
D.
÷
＝1
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
4. [2024保定月考]若 · 的值是整数，则 n 的值可以是
B
(
)
A. 25
B. 20
C. 15
D. 2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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16
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20
5. 计算： × ＝
＝
(
D
A.
)
B.
C.
1
2
D.
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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14
15
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18
19
20
15. [教材P97B组T1变式]已知一直角三角形的两条直角边长
分别为 cm， cm，则这个直角三角形的面积
为
1
2
3
cm2.
4
5
6
7
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10
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18
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17. 计算：
(1) × ÷ ；
解：原式＝ × ÷ ＝ ＝10.
冀教版数学八年级上册15.2《二次根式的乘除运算》教学设计
冀教版数学八年级上册15.2《二次根式的乘除运算》教学设计一. 教材分析冀教版数学八年级上册15.2《二次根式的乘除运算》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握二次根式相乘、相除的运算法则。
通过这一节的学习，使学生能灵活运用二次根式的乘除运算，为后续学习二次根式在实际问题中的应用打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已掌握了实数的运算、二次根式的性质等知识。
但部分学生对这些知识的理解不够深入，对二次根式的乘除运算法则的推导和应用还不够熟练。
因此，在教学过程中，要关注学生的知识基础，引导学生通过自主学习、合作交流等方式，提高对二次根式乘除运算的理解和应用能力。
三. 教学目标1.理解二次根式相乘、相除的运算法则。
2.能熟练进行二次根式的乘除运算。
3.培养学生的运算能力、逻辑思维能力和团队合作能力。
四. 教学重难点1.教学重点：二次根式相乘、相除的运算法则。
2.教学难点：二次根式乘除运算的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入二次根式的乘除运算，激发学生的学习兴趣。
2.引导发现法：引导学生通过自主探究、合作交流，发现二次根式乘除运算的规律。
3.实践操作法：让学生通过大量练习，提高二次根式乘除运算的熟练程度。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示二次根式乘除运算的例题和练习题。
2.练习题：准备适量的一次根式和二次根式的乘除运算题目。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如计算一个物体的体积，引入二次根式的乘除运算。
引导学生思考如何进行二次根式的乘除运算，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）通过课件展示二次根式乘除运算的例题，引导学生观察、分析，发现二次根式乘除运算的规律。
同时，进行讲解，阐述二次根式乘除运算的法则。
3.操练（10分钟）让学生独立完成课件中展示的练习题，教师巡回指导，解答学生的问题。
在此过程中，关注学生的操作过程，纠正出现的错误。
4.巩固（10分钟）让学生分组合作，互相出题并进行解答，检验对二次根式乘除运算的理解。
冀教版八年级数学上册全册教学课件
冀教版八年级数学上册全册教学 课件目录
0002页 0051页 0091页 0124页 0184页 0202页 0204页 0250页 0276页 0327页 0374页 0420页 0480页 0493页 0522页 0551页
第十二章 分式和分式方程 12.2 分式的乘除 12.5 分式方程的应用 13.1 命题与证明 13.3 全等三角形的判定 第十四章 实数 14.2 立方根 14.4 近似数 第十五章 二次根式 15.2 二次根式的乘除 15.4 二次根式的混合 16.1 轴对称 16.3 角的平分线 17.1 等腰三角形 17.3 勾股定理 17.5 反证法
第十二章 分式和分式方程
冀教版八年级数学上册全册教级数学上册全册教学课 件
12.2 分式的乘除
冀教版八年级数学上册全册教学课 件
12.3 分式的加减
冀教版八年级数学上册全册教学课 件
12.5 分式方程的应用
冀教版八年级数学上册全册教学课 件
第十三章 全等三角形
冀教版八年级数学上册全册教学课 件
13.1 命题与证明
冀教版八年级数学上册全册教学课 件
13.2 全等图形
冀教版八年级数学上册全册教学课 件
13.3 全等三角形的判定
冀教版八年级数学上册全册教学课 件
13.4 三角形的尺规作图
冀教版八年级数学上册全册教学课 件
15.2 二次根式的乘除运算
同时注意确定积的符号．
（来自《点拨》）
解： (1) 28 7 28 7 196 14.
(2) 1 256 1 256 64 8.
4
4
(3)4 xy 1 4 xy 1 4 x .
y
y
(4)6 27 2 3 6 2 27 3
12 81 12 9 108.
知1－练
A. a b
B.
a b
C. a b
D.
a b
（来自《典中点》）
3
化简 3 2 27
的结果是(D
)
A. 2 3
C. 2
B.
2
3
D.
6
3
知3－练
（来自《典中点》）
1.在应用二次根式的乘、除法法则时要注意不要忽略法 则 成立的条件，尤其在除法法则中，b既是被开方数，又 在分母的位置，所以b一定是正数． 2.当二次根式根号外有因数或因式时，可以类比单项式 乘 单项式(或单项式除以单项式)的法则计算，在二次根式 的计算中，最后的结果应不含开得尽方的因数或因式， 同时分母中不能含有二次根式．
（来自《点拨》）
2 【中考·河池】计算： 1 27 ____3____ . 3
3 【中考·安徽】计算 8 2 的结果是( B )
A. 10
B．4
C. 6
D．2
知1－练
（来自《典中点》）
知识点 2 二次根式的除法
1.计算：
(1) 9 ______, 9 ______;
16
16
(2) 16 ______, 16 ______;
2
(3) 1 1 1 3 1 3 6 3. 2 6 26 2
知2－练
（来自《点拨》）
冀教版八年级数学上册 (二次根式的乘除运算)课件
4 9= 4 9； 16 25= 16 25； 25 36= 25 36.
归纳
二次根式的乘法法则：两个二次根式相乘，将它们的被开方数相乘.
a b a b a 0，b 0 .
注意：（1）a≥0，b≥0是公式成立的必要条件； （2）公式中的a、b既可以是数，也可以是代数式，但都必须是非 负的； （3）此法则也可以推广为
30m
30 × 6
6m
获取新知
知识点 1 二次根式的乘法
做一做 计算下列各式, 观察计算结果,试着归纳其中规律.
(1) (2) (3) 发现
4 9 =___6____, 4 9 =___6____;
16 25 =___2_0___, 16 25 =___2_0___;
25 36 =__3__0___, 25 36=___3_0___.
2
a或
a2
的形式．
例3 去掉下列各式分母中的二次根式：
(1) 3 ； (2) 12 ； （3） 3 - 2 .
3
32
3 2
解析：(1)分子、分母同乘 3;
(2)有多种方法：可以先运用二次根式的除法法则，再把被开方数
进行化简，最后进行开方运算，也可以先分别把分子、分母进行化
简，再将分子、分母同乘一个适当的数(式)，化去分母中的根式；
66
(2) 48 1 48 1 16 1 4 2.
2 3 2 3 2
2
(3) 1 1 1 3 1 3 6 3. 2 6 26 2
(4)
4
a
1
3
b
a 1 b
4a 13 b a 1
b
4a 13 b b
a1
4a 12 b2
冀教版-数学-八年级上册-15.2 二次根式的乘除运算第2课时 教案
15.2 二次根式的乘除运算第2课时教学目标：（1）利用归纳类比的方法得出二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质；（2）会进行简单的二次根式的除法运算;（3）理解最简二次根式的概念.教学重难点：二次根式的除法法则与商的算术平方根的性质之间的关系和应用.教学过程设计：一．复习提问，探究规律问题1 二次根式的乘法法则是什么内容？化简二次根式的一般步骤怎样？师生活动学生回答.让学生回忆探究乘法法则的过程，类比该过程，学生可以探究除法法则．二．观察思考，理解法则问题2 探究,计算结果如何？有何规律？（1=________=_________；（2=________=________；（3=________=_________；（4=________=________．．【答案】（1）34，34（2）23，23（3）12，12（4）49，49 =，=，=，=.师生活动学生回答，给出正确答案后，教师引导学生思考，并总结二次根式除法法则：（a≥0，b>0）问题3 对比乘法法则里字母的取值范围，除法法则里字母的取值范围有何变化？师生活动学生思考，回答.学生能说明根据分数的意义知道，分母不为零就可以了.学生通过自主探究，采用类比的方法，得出二次根式的除法法则后，要明确字母的取值范围，以免在处理更为复杂的二次根式的运算时出现错误.======问题4 对例题的运算你有什么看法？是如何进行的？师生活动 学生利用法则直接运算，一般根号下不含分母和开得尽方的因数. 让学生初步利用二次根式的性质、乘除法法则进行简单的运算.问题5 对比积的算术平方根的性质，商的算术平方根有没有类似性质？师生活动 学生类比地发现，商的算术平方根等于算术平方根的商，即（a≥0，b>0）利用该性质可以进行二次根式的化简.三．例题示范，学会应用例1 计算下列各式：(1)(2)(3)(4)【答案】解：(1)=== (2)2===== (3)==== (4)===== 例2计算：（1）53（2）2723（3）a 28【答案】(1)，(2)， (3).例3比较.【答案】解：∵12<18,∴ ＜ <∴<∴<此外，也可以用下面的方法比较大小.方法1：方法2师生活动 提问：你有几种方法去掉分母中的根号？去分母的依据分别是什么？ 再提问：用什么方法计算更简捷？根号下含字母在移出根号时应注意什么？ 通过具体问题，让学生在实际运算中培养运算能力，训练运算技能.问题5 你能从例题的解答过程中，总结一下二次根式的运算结果有什么特征吗？ 师生活动 学生总结，师生共同补充、完善.要总结出：（1）这些根式的被开方数都不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；（3）分母中不含根号；引导学生及时总结，提出最简二次根式的概念，要强调，在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式.问题6 课件展示一组二次根式的计算、化简题.让学生用总结出的结论进行二次根式的运算.四．巩固概念，学以致用例6设长方形的面积为S ，相邻两边长分别为A.b ，已知S=23，b=10，求a.【答案】解：因为S=ab ，所以S a b ====师生活动提问 本题是以长方形面积为背景的数学问题，二次根式的除法运算在此发挥什么作用？再提问 本章引言中的问题现在能解决了吗？巩固性练习，同时培养学生应用二次根式的乘除运算法则解决实际问题的能力.0,=<1,==<五．归纳小结，反思提高师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：（1）除法运算的法则如何？对等式中字母的取值范围有何要求？（2）你能说明最简二次根式需要满足的条件吗？六．布置作业：教科书练习题七. 目标检测1.中，最简二次根式为.2.=；3. 化简：（1) ；(2) .【答案】1.√6；2. 3. （1），（2）.aba2112532÷31501000mm。
2024年冀教版八年级上册第十五章 二次根式二次根式的乘除运算
课时目标1.了解二次根式的乘除运算法则,会用它进行简单的二次根式的乘除运算.2.会将分母中含有简单二次根式的式子进行分母有理化.3.在学生原有知识的基础上,经历知识的产生过程,探索新知识.4.体会用类比的思想研究二次根式的乘除法,体验研究数学问题的常用方法:由特殊到一般,由简单到复杂. 学习重点了解二次根式的乘除运算法则,并会用二次根式的乘除运算法则进行简单的运算. 学习难点 分母有理化. 课时活动设计复习引入1.二次根式的性质:√a·b =√a ·√b (a ≥0,b ≥0),√a b =√a√b (a ≥0,b >0). 2.最简二次根式满足的两个条件: (1)被开方数的因数是整数,因式是整式; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 根据性质我们知道√4×9=√4×√9,√49=√4√9,反之也成立,即√4×√9=√4×9,√4√9=√49.所以反向利用二次根式的性质,就可以进行二次根式的乘除运算了. 3.二次根式的乘法和除法: (1)√a ·√b =√a·b (a ≥0,b ≥0).(2)√a √b =√ab (或√a ÷√b =√a ÷b )(a ≥0,b >0). 设计意图:通过回顾旧知识,引入本节课要讲授的知识,学生将新知识与已有知识相联系,从而更容易理解和记忆新知识.典例精讲完成下列题目,总结步骤,说出每步的依据以及注意事项. 例1 计算下列各式:(1)√3×√2;(2)√8×√32;(3)√20×√50;(4)√72×√112. 解:(1)√3×√2=√3×2=√6. (2)√8×√32=√8×32=√256=16. (3)√20×√50=√20×50=√1000=10√10. (4)√72×√112=√72×112=√6.教师最后提出需要注意的地方,二次根式运算的结果,应化为最简二次根式. 例2 计算下列各式: (1)√2√3;(2)√45÷√85;(3)√76÷√58.解:(1)√2√3=√23=√69=√63.(2)√43÷√85=√45÷85=√45×58=√12=√2=√22.(3)√76÷√58=√76÷58=√76×85=√2815=√7√15=2√10515. 在本例的解答过程中,将√2√3,√2,√7√15分别化成了√63,√22,2√10515,也就是将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子,像这样,把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化.设计意图:通过例题介绍了二次根式乘除化简与运算的一般步骤,引出分母中含有简单二次根式的分母有理化的概念与方法.二次根式分母有理化的设计意图在于简化计算过程、避免无理数运算、提高计算准确性、便于理解和应用、体现数学严密性、培养逻辑思维以及提升数学技能.巩固训练1.下列运算正确的是( D )A.√2×√5=√7B.8√2×√116=1 C.√2×√6=12 D.√12×√34=3 2.下列运算错误的是( D ) A.√8÷√2=2B.√12÷√2=12 C.√3÷√32=√2D.√23÷√32=13.计算下列各式: (1)√2×√18;(2)√27√3. 解:(1)√2×√18=6. (2)√27√3=3. 教师可让学生独立完成,并让学生展示做法,根据学生的不同做法,教师进行总结.小明的做法(先运算后化简) 解:√2×√18 =√2×18 =√36 =6.√27√3=√273=√9=3. 大刚的做法(先化简后运算)解:√2×√18 =√2×√2×9 =√2×3√2 =6.√273=√3√3=3. 4.已知一个长方形的长为√15,宽为√3.求它的面积.解:√15×√3=3√5.所以它的面积为3√5.设计意图:进一步巩固所学知识,加深对所学知识的理解,提高综合运用能力.课堂小结设计意图:帮助学生反思、总结本节课的知识与方法,让学生对本节课内容有一个更深刻、更全面的认识.有利于帮助学生理清知识脉络,巩固学习效果.为下节课学习作好铺垫.课堂8分钟.1.教材第96页习题A组第1,2题.2.七彩作业.15.2二次根式的乘除运算1.二次根式的乘法和除法:(1)√a·√b=√a·b(a≥0,b≥0).(2)√a√b =√ab(或√a÷√b=√a÷b)(a≥0,b>0).2.分母有理化:把分母中的二次根式化去,叫做分母有理化.教学反思。
第十五章 思维图解+项目学习(课件)冀教版数学八年级上册
被开方数的因数是整
最简二次
数，因式是整式
根式
被开方数中不含能开
得尽方的因数或因式
分母
有理化 把分母中的二次根式化去，
叫做分母有理化
第十五章 二次根式
单
元
思
维
图
解
乘法
二
次
根
式
· = ·b（a≥0，b≥0
）
=
（或 ÷ = ÷ ）
除法 （a≥0，b＞0）
运
× -2 ×（ - ）=2 × + × -2
× +2 × =2 +2-6+2 =4 -4；
（+ ）−
（2）原式=
−
−
=
- ．
+
+
·
−
−
=
−
·
−
−
（
） −
项目式学习是初中阶段综合与实践领域的重要方式，经
历项目式学习的全过程，能合理使用数据，进行合理计算.
通过解决二次根式混合运算，提高运算能力.运算能力有助
于形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实
的科学态度.
项目学习
例
计算：
（1）
- 6
（2）
-
-
−
÷
÷
−
−
．
第十五章 二次根式
课标领航·核心素养学段目标
1. 了解二次根式、最简二次根式的概念.
2. 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运
算法则，会用它们进行简单的四则运算.
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章节测试题
1.【答题】计算：＝______
【答案】12
【分析】根据二次根式的除法法则解答即可。
【解答】解：。
2.【题文】
【答案】2
【分析】根据二次根式的除法法则解答即可。
【解答】二次根式乘法法则：；二次根式除法法则：
原式===2.
3.【题文】
【答案】
【分析】根据二次根式的除法法则解答即可。
【解答】二次根式乘法法则：；二次根式除法法则：
原式
4.【题文】化简：
【答案】1
【分析】根据二次根式的除法法则解答即可。
【解答】二次根式的性质：当时，；当时，
.
5.【题文】计算：
(1)4＋－＋4
(2)÷3×(－5)．
【答案】(1) 7＋2;(2) －.
【分析】（1）把每一个二次根式都化为最简二次根式，然后合并同类二次根式；
（2）先进行符号运算，再将带分数转化为假分数，然后用二次根式的混合运算法则计算.
【解答】解：
(1)原式＝4＋3－2＋4＝7＋2.
(2)原式＝(－1××5)
＝－×＝－.
6.【题文】化简下列各式：
(1)(a＞0)；
(2)(a≥0，b≥0，c＞0)；
【答案】（1）；（2）
【分析】根据二次根式的除法法则解答即可。
【解答】
(1)，
(2)．
7.【题文】
【答案】1．
【分析】根据二次根式的乘除法法则解答即可。
【解答】解：原式=．
8.【题文】
【答案】．
【分析】根据二次根式的乘除法法则解答即可。
【解答】解：原式=6．
9.【题文】计算：
【答案】1
【分析】根据二次根式的除法法则解答即可。
【解答】原式=．
10.【题文】化简：(1)(x＞0，y＞0)；
(2)(a＞0，b＞0)；
【答案】（1）；（2）
【分析】根据二次根式的除法法则解答即可。
【解答】 (1)．
(2)．
11.【答题】若是整数，则最小的正整数a的值是______．
【答案】5
【分析】本题考查二次根式的化简求值.
【解答】45a=5×3×3×a，若为整数，则必能被开方，∴满足条件的最小正整数a为5．故答案为5．
12.【答题】已知ab＜0，则化简后为______．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，关键是正确分析出a和b的符号．根据ab＜0和二次根式有意义的条件可分析出a＜0，则b＞0，然后再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解答】∵ab＜0，∴a、b为异号，
∵，ab＜0，
∴a＜0，
∴b＞0，
∴＝，
故答案为．
13.【题文】小明在解决问题：已知a＝，求2a2-8a＋1的值，他是这样分析与解答的：
∵a＝＝＝2-，
∴a-2＝-，
∴（a-2）2＝3，即a2-4a＋4＝3，
∴a2-4a＝-1，
∴2a2-8a＋1＝2（a2-4a）＋1＝2×（-1）＋1＝-1．
请你根据小明的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：=______．
（2）计算：＋…＋；
（3）若a＝，求4a2-8a＋1的值．
【答案】（1）；（2）9；（3）5．
【分析】本题考查分母有理化．
【解答】（1）；
（2）原式；（3），
则原式，
当时，原式．
14.【答题】化简时，甲的解法是：==，乙的解法是：==，以下判断正确的是（）
A. 甲的解法正确，乙的解法不正确
B. 甲的解法不正确，乙的解法正确
C. 甲、乙的解法都正确
D. 甲、乙的解法都不正确
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的除法.
【解答】甲的做法是将分母有理化，去分母；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分去分母．均正确．选C.
15.【答题】下列二次根式是最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】本题考查最简二次根式的定义.
【解答】A.=；B.；D.；因此这三个选项都不是最简二次根式，选C.
16.【答题】如果ab＞0，a+b＜0，那么下面各式：①=，②，
③÷=-b，其中正确的是（）
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的除法.
【解答】∵ab＞0，a+b＜0，∴a＜0，b＜0，∴①=，错误；②•=1，正确；
③÷=-b，正确，选B．
17.【答题】计算÷×结果为（）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
【答案】B
【分析】本题考查二次根式的除法.
【解答】原式=，选B.
18.【答题】若=•，则a的取值范围是（）
A. -4≤a≤4
B. a＞-4
C. a≤4
D. -4＜a＜4 【答案】A
【分析】本题考查二次根式的乘法，二次根式有意义的条件.
【解答】由题意，得解得-4≤a≤4．选A.
19.【答题】把4写成一个正数的平方的形式是（）
A. （2）2
B. （2）2或（-2）2
C. （）2
D. （）2或（-）2
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的乘法.
【解答】，即写成一个正数的平方的形式为（）2．选C.
20.【答题】计算（+3）2010（-3）2009的结果是（）
A. -3
B. 3
C. -3
D. +3
【答案】D
【分析】本题考查二次根式的乘法.
【解答】（+3）2010（-3）2009=[（+3）（-3）]2（+3）=+3．选D.。