广东工业大学线性代数试题A卷2(含答案)
线性代数试题线性代数试卷及答案大全(173页大合集)
属于 对应的特征向量为 ,单位化: ,
属于 对应的特征向量为 ,单位化: ,
取 ,则有 。
八、(本题8分)证明:由
得 的特征值 ,
,
故 的最大特征值是 。
试卷2
闭卷考试时间:100分钟
一、填空题(本题15分,每小题3分)
1、若n阶行列式零元素的个数超过n(n-1)个,则行列式为。
三、(本题8分)解:从第一行开始,每行乘 后逐次往下一行加,再按最后一行展开得:
原式= 。
四、(本题12分)解:由 ,得: ,
可逆,故 ;
由于 , 。
五、(本题14分)解:(1)令 , ,
则 线性无关,故 是向量组 的一个极大无关组;
(2)由于4个3维向量 线性相关,
若 线性无关,则 可由 线性表示,与题设矛盾;
A:矩阵A必没有零行
B:矩阵A不一定是阶梯形矩阵
C:矩阵A必有零行
D:矩阵A的非零行中第一个不等于零的元素都是1
非齐次线性方程组Ax=b中,系数矩阵A和增广矩阵(A b)的秩都等于3,A是3×4矩阵,则▁▁▁。【A】
A:方程组有无穷多解
B:无法确定方程组是否有解
C:方程组有唯一解
D:方程组无解
试卷1
4、若 阶实方阵 , 为 阶单位矩阵,则( )。
(A) (B)
(C) (D)无法比较 与 的大小
5、设 , , , ,其中 为任意常数,则下列向量组线性相关的为( )。
(A) ( B) (C) (D)
三、(10分)计算 阶行列式 , 的主对角线上的元素都为 ,其余位置元素都为 ,且 。
四、(10分)设3阶矩阵 、 满足关系: ,且 ,求矩阵 。
B:Ax=0的基础解系中的解向量的个数不可能为n-r
广东工业大学高等代数2试卷和答案-2016
广东工业大学试卷用纸,共7页,第1页
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记,
——(6分)
第二步单位化:
——(6分)
2. (12分)解:(用初等变换)
——(6分)
λλλ-;——(3分) 由上面特征矩阵的标准型,得出初等因子为,,2
且矩阵A的Jordan标准为
广东工业大学试卷用纸,共7页,第5页
的特征多项式为
X1,X2,X3就是特征值2的三个线性无关的特征向量;
X4就是特征值-2的特征向量;——(3分)
(2)因为特征向量X1,X2,X3,X4线性无关,则矩阵A可以对角化,且有
——(3)有(2),我们有
——(6分)
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——(6分)
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08-09-2高数试卷A(2)(A考试卷)共6页word资料
广东工业大学考试试卷 (A)
课程名称: 高等数学A(2) 试卷满分 100 分
考试时间: 2009年6月29日 (第20周星期一)
题号一二三四五六七八九十总分评卷得分评卷签名
复核得分复核签名一、填空题:(每小题4分,共20
分)
1.设,,令. 则向量的方向余弦为:。
2.曲面在点处的切平面方程为:。
3.设区域,则 = 。
4.设是由方程所确定的隐函数,其中具有
连续的偏导数,且,则。
5.设是周期为的周期函数,它在区间上的定义为
,则的傅里叶级数在处收敛于________.
二、选择题:(每小题4分,共20分)
1.平面的位置是().
A.平行于轴.
B.斜交于轴
C.垂直于轴.
D.通过轴.
2. 考虑二元函数的下面4条性质:
①在点处连续;②在点处的两个偏导数连续;
③在点处可微;④在点处的两个偏导数存在.
若用“”表示可由性质推出性质,则有()
第 1 页
A ②③①;
B ③②①;
C ③④①;
D ③①④
学院:专业:学号:
姓名:
装订线
第 2 页
希望以上资料对你有所帮助,附励志名言3条:
1、生命对某些人来说是美丽的,这些人的一生都为某个目标而奋斗。
2、推销产品要针对顾客的心,不要针对顾客的头。
3、不同的信念,决定不同的命运。
第 6 页。
三、2009-6-15线性代数A卷
广东工业大学试卷用纸,共3页,第1页广东工业大学试卷用纸,共3页,第2页2、设行列式1534780311113152−−−==A D ,则2=+−+4443424135A A A A .(A )0(B )1(C )-1(D )-163、设A 、B 是n 阶方阵,下列等式正确的是.(A )AB=BA (B )))((22B A B A B A −+=−(C )22AA =(D )111)(−−−+=+B A B A 4、设0α是非齐次方程组b AX =的一个解,r ααα,,,21⋯是0=AX 的基础解系,则.(A)01,,,r ααα⋯线性相关。
(B )01,,,r ααα⋯线性无关。
(C )01,,,r ααα⋯的线性组合是b AX =的解。
(D )01,,,r ααα⋯的线性组合是0=AX 的解。
5、n 阶方阵A 与对角阵相似的充要条件是.(A)A 是实对称阵;(B)A 有n 个互异特征值;(C)A 的特征向量两两正交.(D)A 有n 个线性无关的特征向量;三、(10分)设na a a A +++=111111111||21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯,021≠n a a a ⋯其中.求A .四、(10分)设4阶方阵C B A ,,满足方程11)2(−−=−C A B C E T ,试求矩阵A ,其中123212010*******,0012001200010001B C −−⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠五、(10分)讨论λ为何值时,方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++λλλλ321321321)1(3)1(0)1(x x x x x x x x x广东工业大学试卷用纸,共3页,第3页(1)有唯一解?(2)无解?(3)有无穷多解?并在此时求出其通解。
六、(10分)已知R 3中的向量组321,,ααα线性无关,向量组112223,b k b αααα=−=+,331b k αα=+线性相关,求k 值。
广东工业大学线性代数试题A卷2(含答案)
33xx1166xx22
0 0
3x1 6x2 0
解之得基础解系
2 0
1
1
,
2
0
…………6 分
0
1
同理将 3 2 代入 A E x 0 得方程组的基础解系3 (1,1,1)T ………7 分
AB )
1 0 3
4、设矩阵
A
与
B
2
3
相似,则 | A* E | _________ .
3
5、若
2
为可逆阵
A
的特征值,则
1 3
A2
1
的一个特征值为
二、 选择题(每小题 4 分,共 20 分):
1、下列命题正确的是(
)。
(A) 若 AB E ,则 A 可逆且 A1 B
四、 解:由已知 (A 2E)X A ,…………………………………………2 分
1 0 0 3 8 6
因为 ( A 2E,
A)
r
0
0
广10东工10业大2学2试卷129用纸,96共 …3……页,…第……4…页……8
分
3 8 6
故
X
(
A
八、(共 14 分)证明题:
1、(6 分)若 A 为 n 阶幂等阵( A2 A ),求证: r( A) r( A En ) = n . 2、(8 分)设 A 是 m n 实矩阵, 0 是 m 维实列向量,
证明:(1)秩 r( A) r( AT A) ; (2)非齐次线性方程组 AT Ax AT 有解.
[VIP专享]广工10高数A(2)试卷及答案
1.级数
n1
sin n
n2
的收敛性为(
A 绝对收敛 B 条件收敛 C 发散 D 敛散性不能确定
)
广东工业大学试卷用纸,共 7 页,第 0 页
88.8918÷1.2990÷.1=4214÷3922=.0034=1÷15251371=8535.78.208÷023.2173c00÷1*m=29030.3922c=.1÷20m3=2÷120252.=3535=42314c)*523m240341*31.252=31*.1.535.*031342.*9205221.04.455=+213*05*2022.02.854850.3150.*+58c12*5m1*202+.050+0.014*85.20*051000+0+03/8T.+0÷+=55+1*011+010+91÷01454050*0010200+5+0+080+400*+4**1*1510.3910%*C%-*6+÷M(=*M=5÷50)*30*31(÷3110*5+**÷4*1m243.%71e=78%n0)8=8s.5=77.93c.6c0mmc.4*m1*31,0w199o.k2.m4c-cem.5mn2csp26m659*.0.34-50.60c5*pm.3c85m9,c05g.m.05i0rp-l.s.85p6/c50bcm0.om7py.c.6spm5c+mc;0m..7.cmk ; 1+1k+12+1+k2234=1c+m1++4+4+2
五、(8 分)计算二重积分 x y 2 dxdy ,其中 D={ (x, y) | 0 x 1,0 y 1}。
广工12高数A(2)试卷及答案
学院:专业:学号:姓名:装 订 线 广东工业大学考试试卷 ( A ) 课程名称: 高等数学A(2) 试卷满分 100 分 考试时间:2012年 7 月 2 日 (第 20 周 星期 一 ) 题 号 一 二 三 四 五 六 七 总分 1 2 3 评卷得分 评卷签名 复核得分 复核签名 考生注意:请把所有答案直接写在试卷上,卷面务必保持清洁。
一、填空题(每小题4分,共20分) 1.向量}1,2,2{=→b 在向量}4,3,4{-=→a 上的投影为 。
2.函数 u xyz = 在点(5,1,2)处沿从点(5,1,2)到点(9,4,14)的方向导数 为 。
3.交换二次积分⎰⎰x x dy y x f dx 220),(的顺序后为 。
4.设f 具有二阶连续偏导数, ⎝⎛⎪⎪⎭⎫=y x x,f z ,则y z ∂∂= 。
5 设区域D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域,则=+⎰⎰σd e y x D 22 。
二、选择题(每小题4分,共20分) 1.周期为2的函数f(x)在一个周期内的表达式为5.01-1x 0.5 ,1,≤≤<<⎩⎨⎧x x ,则它的傅里叶 级数在5.3-=x 处的和为( ).A .0.75 B. 0 C .0.35 D. -0.75广东工业大学试卷用纸,共5页,第1页 2. 无穷级数∑∞=-2ln )1(n nn 为( )。
A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C .发散 D. 无法确定3.对于二元函数22x xy y) f(x, y +=,极限)y ,(lim )0,0(),(x f y x →为( ). A. 不存在 B. 0 C. 1 D. 无穷大4. 曲面922=++z y x 在点(1, 2, 4)处的切平面方程为( )。
A -14z 4y 2x =++B 14z 4y 2x =++C -14z -4y 2x =+D 14z 4y 2x =+-5. 直线x+y+3z=0,x-y-z=0与平面x-y-z+1=0的夹角为( )A 4πB 2πC 0D 3π 三、计算题(每小题8分,共32分)1. 设方程组⎩⎨⎧=+-+-=--+010u 222xy v u y x v 确定隐函数),(),,(v u y v u x x ==,求u x ∂∂,u y ∂∂。
线性代数试题(附参考答案)
《 线性代数 》课程试题(附答案)一、 填空。
(3×8=24分)1.设A 为四阶方阵,且3=A ,则=-A 22.设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=003020100A ,则=-1A3.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ,则A 的伴随矩阵=*A 4.设CB A ,,为n 阶方阵,若0≠A ,且C AB =,则=B 5.矩阵A 可逆的充要条件为6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关,则向量组32,∂∂ (填“线性相关”或“线性无关”)8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ,且n r A r <=)(,则基础解系中含有 个解向量。
二、 计算行列式的值。
(10分)321103221033210=D三、 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=145243121A ,求1-A 。
(10分)四、 设矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1112A ,求矩阵X ,使E A AX 2+=。
(10分)五、 问K 取什么值时下列向量组线性相关(10分) T k )1,2,(1=α,T k )0,,2(2=α,T )1,1,1(3-=α。
六、 设A ,B 为n 阶矩阵且2B B =,E B A +=,证明A 可逆并求其逆(6分)七、 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=979634121121112A ,求矩阵A 的列向量组的秩及一个极大线性无关组,并把其余向量用极大线性无关组表示。
(15分)八、 求非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=+--=--+0895443313432143214321x x x x x x x x x x x x 的通解。
(15分)《线性代数》课程试题参考答案一、 填空。
(3×8=24分)1.设A 为四阶方阵,且3=A ,则=-A 2482.设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=003020100A ,则=-1A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛001021031003.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4321A ,则A 的伴随矩阵=*A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1324 4.设C B A ,,为n 阶方阵,若0≠A ,且C AB =,则=B C A 1- 5.矩阵A 可逆的充要条件为0≠A6.齐次线性方程组01=⨯⨯n n m X A 有非零解的充要条件为n A r <)(7.设n 维向量组321,,∂∂∂线性无关,则向量组32,∂∂线性无关(填“线性相关”或“线性无关”)8.设n 元齐次线性方程组0=Ax ,且n r A r <=)(,则基础解系中含有r n -个解向量。
广东工业大学高数2试卷
学
若用“ P ⇒ Q ”表示可由性质 P 推出性质 Q ,则有(
A C B D
广东工业大学试卷用纸,共 2 页,第 1 页
3. 对于二元函数 f ( x, y ) = A.0 . B. 不存在
xy ,极限 lim f ( x, y ) 为( ( x , y )→ (0,0) x + y2
2
) 。
C.1 .
= 3 × 1[ 2 + 3(2 + 3)] = 51
广东工业大学试卷用纸,共 2 页,第 6 页
广东工业大学试卷用纸,共 2 页,第 7 页
n =1
∞
∞
x 2n , n
2x , 1+ x2
s ′( x) = 2∑ (−1) n x 2 n −1 = −
n =1
s ( x ) − s ( 0) = ∫ −
0
x
2x 1+ x
2
dx = − ln(1 + x 2 ), s(0) = 0
所以
s( x ) = − ln(1 + x 2 ), − 1 ≤ x ≤ 1
广东工业大学考试试卷 (A)
名:
课程名称: 课程名称:
高等数学 A(2)
试卷满分 100
分
考试时间: 星期一) 考试时间: 2009 年 6 月 29 日 (第 20 周 星期一)
姓 题 号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 总分
线
评卷得分 评卷签名 复核得分
号:
复核签名 (每小题 一、填空题: 每小题 4 分,共 20 分) 填空题: ( uuu r uuu r uuu uuu r r 1.设 OA = 2i + j , OB = − i + 2k ,令 m = OA − OB . 则向量 m 的方向余弦为:
线性代数试卷2014A
A. ;B. ;
C. ;D. .
5.设矩阵 ,则 的对应于特征值 的特征向量 为( ).
A. B. C. D.
二、填空题(每小题5分,共计30分)
1.已知三阶矩阵 的行列式 , 则 _____________.
2.行列式=
3.设A为4阶方阵, 且 是 的两个解向量,则 的一个基础解
六.(12分) 设线性方程组为 ,问 取何值时,方程组无解、有唯一解、有无穷多解? 在有无穷多解时求出其通解。
七、(12分)设矩阵 ,试判断它是否可对角化?若可以,写出可逆阵P及相应的对角阵 .
系为______________.
4.设 的秩为1,则
5.已知向量组 线性无关,而向量组 , 线性相关,则
6.设 , ,三维向量 与 正交,则
三.(8分)、已知 ,满足 ,求矩阵 .
四.(8分)设 是 的一个基础解系, 是非齐次线性方程 的解,证明:向量组 是 的线性无关解。
五.(10分)设 请问a,b为何值时,向量组 的秩为2。
(完整版)广东工业大学线性代数真题A
设为阶对称矩阵, 则有;
设为阵, 为阵, 若, 则必有或;
设均为阶可逆阵, 则必;
设均为阶方阵, 则有。
6.阶方阵A具.个不同的特征值是A与对角矩阵相似............. ]
. (A.充分必要条件...........(B.充分而非必要条件.
. (..必要而非充分条件.........(D.既非充分也非必要条件.
二.选择(单选, 每题4分, 共24分)
1.若齐次线性方程组有非零解, 则的值可能为 [ ]
( ) ( ) ( ) ( )
2.设为阶可逆阵, 则下列不正确的是: [ ]
存在阶矩阵, 使得
必能表为一些初等矩阵的乘积.
3.设为三阶方阵, 且已知, 则的值为: [ ]
4.设n阶方阵满.,则必........................]
三.(10分)已知4阶行列式பைடு நூலகம்D的 元的代数余子式依次记作 求
四.(10分)设, 求使.
五.(10分)已知向量组线性无关, 证明向量组, , 也线性无关.
六.(10)判定下列向量组的线性相关性, 求出它的一个极大线性无关组, 并将其余向量用极大线性无关组线性表示.
七.(12分)设矩阵
(1) 已知 的一个特征值为 , 试求 (2) 求矩阵 使 为对角矩阵.
2020-2021某大学《线性代数》期末课程考试试卷A1(含答案)
2020-2021《线性代数》期末课程考试试卷A1考试时间: 类型:闭卷 时间:120分钟 总分:100分 专业:农学、动科等一、填空题(共9空,每空2分,共18分) 1、排列12453的逆序数 。
2、两个向量,线性相关的充分必要条件是 。
3、向量组的正交化向量为 。
4、设则= 。
5、设矩阵为正交矩阵,则;。
6、设方阵满足,为单位阵,则= 。
7、设,则= 。
8、如果阶行列式中等于零的元素个数大于,则此行列式的值为 。
二、选择题 (共5题,每题2分,共10分)1、设为矩阵,齐次线性方程组有非零解的充要条件是( )A 、的列向量组线性相关B 、的列向量组线性无关C 、的行向量组线性相关D 、的行向量组线性无关 2、设为阶可逆方阵,则下列结论成立的是( )。
A 、B 、C 、D 、3、设是矩阵,,则( )。
A 、中的4阶子式都不为0;B 、中存在不为0的4阶子式C 、中的3阶子式都不为0;D 、中存在不为0的3阶子式 4、若矩阵相似,下面结论不正确的是( ) A 、; B 、矩阵的特征值相等;C 、 ;D 、矩阵对应于相同特征值的特征向量相同5、已知是的基础解系,则( )也是该方程组的基础解系 A、;B、C、D、三、计算题(共4题,每题5分,共20分)1、 2、3、4、院系: 专业班级: 姓名: 学号: 装 订 线 内 不 准 答 题 装 订 线四、设,的元的代数余子式记作ijA(1)求的值;求(8分)五.已知阶方阵的特征值为,为的伴随矩阵,为单位阵,求. (8分)六、设,(1)化矩阵A为行最简形矩阵;(2)求矩阵A的秩;(3)求出的列向量组的一个最大无关组;(4)将不属于最大无关组的列向量用(3)中的最大无关组线性表示。
(10分)七、设。
求。
(10分) 八、设是矩阵,为矩阵,其中,是阶单位矩阵,若,证明的列向量组线性无关。
(6分)九、设,问为何值时,此方程组有唯一解;无解;或有无穷多个解?并在有无穷多个解时求出其通解(10分)2020-2021《线性代数》期末课程考试试卷A1答案考试时间:2011.5类型:闭卷 时间:120分钟 总分:100分 专业:农学、动科等一、填空题(共9空,每空2分,共18分) 1、排列12453的逆序数 2 。
广东工业大学2014年线性代数A卷
3.已知方程组 ,问 取何值时,此方程组(1)有唯一解,
(2)无解,(3)有无穷多解?
4.求向量组
的一个最大无关组,并把其余向量用此最大无关组线性表示。
5.已知四元非齐次方程组Ax=b,R(A)=3,又已知该方程组的三个解向量 满足
求该方程组的通解。
1.齐次线性方程组 只有零解,则 应满足条件______。
(A) (B) (C) (D)
2.设A是4阶矩阵,且 ,则 。
(A)16 (B) 32 (C) 8 (D) 0
3.已知非齐次线性方程组无解,则a=______。
(A)-1 (B) 0 (C) 2 (D) 3
4.已知方阵A的列向量组 线性无关,下列结论中正确的是_______。
(A)向量组 的任一部分向量组都线性无关;
(B)向量组 中存在两个向量分量对应成比例;
(C)齐次方程组 有非零解;
(D)向量组 中有一个是零向量
5.设 是可逆矩阵A的一个特征值,则矩阵 有一个特征值为_______。
(A)1 (B) (C) 2 (D) 3
三.计算题(每题12分,共60分)
1.计算n阶行列式。
线性代数考试练习题带答案大全(二)
线性代数考试练习题带答案一、单项选择题(每小题3分,共15分)1.设A 为m n ⨯矩阵,齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的( A ). (A ) 列向量组线性无关, (B ) 列向量组线性相关, (C )行向量组线性无关, (D ) 行向量组线性相关. 2.向量,,αβγ线性无关,而,,αβδ线性相关,则( C )。
(A ) α必可由,,βγδ线性表出, (B )β必不可由,,αγδ线性表出, (C )δ必可由,,αβγ线性表出, (D )δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222123123(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++,当满足( C )时,是正定二次型.(A )1λ>-; (B )0λ>; (C )1λ>; (D )1λ≥.4.初等矩阵(A );(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵;(B ) 所对应的行列式的值都等于1; (C ) 相乘仍为初等矩阵; (D ) 相加仍为初等矩阵 5.已知12,,,n ααα线性无关,则(C )A. 12231,,,n n αααααα-+++必线性无关;B. 若n 为奇数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关;C. 若n 为偶数,则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关;D. 以上都不对。
二、填空题(每小题3分,共15分)6.实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2,则=t7.设矩阵020003400A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则1A -=8.设A 是n 阶方阵,*A 是A 的伴随矩阵,已知5A =,则*AA 的特征值为 。
9.行列式111213212223313233a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;10. 设A 是4×3矩阵,()2R A =,若102020003B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则()R AB =_____________;三、计算题(每小题10分,共50分)11.求行列式111213212223313233a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。
广工-2017-2018-1-线性代数-真题2答案
2
2
0 ,于是 k1 0 .同理可得 k2 k3 0 .
…………6 分
综上所述, 1 , 2 , 3 线性无关.
(2) 解法 1:设 k11 k2 2 0 .因为 1 1 2 3 , 2 1 2 2 3 ,所以
广东工业大学试卷参考答案及评分标准( A )
课程名称: 线性代数 (第**周 星期*)
考试时间:****年**月**日
一、填空题(每小题 4 分,共 20 分)
1 1. ( A 2 I ) ; 3
2.0;
3. 16 ;
1 0 4. x c 1 1 ; 1 0
(2)
1 a b c a 1 b c a b 1 c a
r21 ( 1) r31 ( 1) r41 ( 1)
d d d 1 d c 0 1 0
1 a b c b c 1 a b c 1 b c 1 a b c b 1 c 1 a b c b c d 0 1 a b c. 0 1
广东工业大学试卷参考答案及评分标准,共 5 页,第 5 页
5. 64
二、单项选择题(每小题 4 分,共 20 分) 1.D; 2.C; 3.B; 4.A; 5.B
三、 (共 12 分) 解:(1) 构造分块矩阵
0 1 1 1 4 r 1 1 1 12 2 1 0 1 3 A B ~2 1 0 1 1 1 3 2 0 1 1 3 2 1 1 1 1 1 r12 ( 2) r23 ~ 0 3 2 7 1 ~ 0 1 0 1 1 1 4 0 3 3 2 1 1 1 1 r23 ( 3) r21 (1) ~ 0 1 1 1 4 ~ 0 0 0 1 10 13 0 6 1 0 0 4 r32 (1) ~ 0 1 0 9 9 . 0 0 1 10 13
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题(每题4分,共20分)1. 设矩阵A的行列式为-2,则矩阵A的逆矩阵的行列式为()。
A. -1/2B. 1/2C. 2D. -22. 若向量α=(1, 2, 3),则向量α的模长为()。
A. √14B. √13C. 6D. √153. 设A为3×3矩阵,且|A|=0,则下列说法正确的是()。
A. A可逆B. A不可逆C. A的秩为3D. A的秩为24. 若A是n阶方阵,且A^2=I(单位矩阵),则A的特征值只能是()。
A. 0B. ±1C. 2D. -25. 设A为3阶方阵,且A的行列式为-1,则A的迹为()。
A. -1B. 1C. 0D. 3二、填空题(每题4分,共20分)1. 设矩阵A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\],则矩阵A的转置矩阵为\[\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 2 &4\end{bmatrix}\]。
2. 若向量组α1=(1, 0, 0),α2=(0, 1, 0),α3=(0, 0, 1),则向量组α1,α2,α3是线性__的。
3. 设A为3阶方阵,且A的特征多项式为f(λ)=λ(λ-1)(λ+2),则矩阵A的特征值为__。
4. 设A=\[\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\],B=\[\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\],则矩阵A与B的乘积AB为\[\begin{bmatrix}-1 & 2 \\ 3 & 4\end{bmatrix}\]。
5. 若矩阵A的特征值为2,3,则矩阵A的迹为__。
三、解答题(每题10分,共60分)1. 已知矩阵A=\[\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 1 & 2\end{bmatrix}\],求矩阵A的逆矩阵。
广工高等数学A1试卷及答案
2. 解:函数的定义域为: ),(∞+0,ln x x x y 224-=' (1分)121102224-==''+=''ex y x y 得令,ln (3分)列表讨论如下:x(0,1211-e)1211-e(1211-e, +∞)y ''- 0+ y凸61118--e凹(5分)区间 (0, 1211-e] 为曲线的凸区间, 区间 [1211-e , +) 为曲线的凹区间,曲线有拐点: (1211-e , 61118--e ) (7分)3. 解:因为][cos 223ππ,x x -为 上连续的奇函数,所以0223=⎰-ππdx x x cos(2分) ⎰-+22223ππx d x x x cos )sin ( =⎰-2222ππx d x x cos sin=⎰202221πx d x sin =⎰-24141πx d x )cos ( (5分)= 84414120ππ=-)sin (x x (7分)六、(7分)证明: 设,sin )()(x x f x F = (3分)由题目所给条件知: F (x )在[0,]上连续,在(0,)内可导,且00==)()(F F π,所以由罗尔定理,至少存在一点),(πξ0∈,使得:0=')(ξF (5分)又 ξξ=+'='x x x f x x f F ]cos )(sin )([)( 所以 0=+'ξξξξcos )(sin )(f f因为 ),(πξ0∈,所以0≠ξsin ,从而有 ξξξξξξcot )(sin cos )()(f f f -=-=' 证毕(7分) 七、(9分)解: (1) 所求旋转体的体积为⎰∞+-=0dx xaa V a xπ)( (2分)⎰∞+--=0ax xdaaa πln⎰∞+-+∞-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=0dx aa axa a a a xa xππln ln =2⎪⎭⎫⎝⎛a a ln π(5分) (2)aa a a V 312ln )(ln )(-='π,令,)(0='a V 得e a a ==,ln 1 (7分) 当e a <<1时,)(,)(a V a V 0<' 单调减少, 当e a >时,)(,)(a V a V 0>' 单调增加, 所以当e a =时,V 最小,最小体积为。
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订
x 1 中, x 3 的系数为 x A1 1 1 A2 1 0 ,A 0
.
0 ,则 A 1 A2
1 0 2、设 A1 0 3 ,
.
业:
1 0 2 3、设 A 是 4 3 矩阵,且 R ( A) 2 ,而 B 0 2 0 ,则 R ( AB ) 1 0 3 2 * 4、设矩阵 A 与 B 3 相似,则 | A E | _________ . 3 1 5、若 2 为可逆阵 A 的特征值,则 A2 的一个特征值为 3
八、(14 分)
1、 证明: A 2 A , A( A E n ) 0
r ( A) r ( A E n ) n …………………………………………3 分
又 E n A E n A,
n r ( A) r ( E n A) r ( A) r ( A E n )
A , B 都不可逆
).
(D) k
n 1
A 或 B 不可逆,则 A B 必不可逆
2、设 A 为 n 阶矩阵, A * 为其伴随矩阵,则 kA* (
(A) k n A (B) k A
n
(C) k
n
A
n 1
A
n
3、若非齐次线性方程组 Ax b 中方程个数少于未知数个数,那么(
(A) Ax b 必有无穷多解; (C) Ax 0 仅有零解; (B) Ax 0 必有非零解; (D) Ax 0 一定无解.
由于 1 , 2 , 3 1
0 1
1 0 ,所以 1 , 2 , 3 线性无关, 1
0
令
2 0 1 1 0 0 1 P 1 , 2 , 3 1 0 1 ,则有: P AP 0 1 0 ………10 分 0 1 1 0 0 2
广东工业大学试卷用纸,共 3 页,第 2 页
讨论:向量组 , 1 , 2 ,, k 线性相关还是线性无关?.
4 6 0 七、 (10 分) 设 A 3 5 0 , 问 A 能否对角化?若能对角化, 则求出可逆矩阵 P , 3 6 1
六、解:设有 x0 , x1 , x2 ,, xk 使得
x0 x1 ( 1 ) x 2 ( 2 ) x k ( k ) 0 , ( x 0 x1 x 2 x k ) x1 1 x 2 2 x k k 0 ,
2 0 解之得基础解系 1 1 , 2 0 …………6 分 0 1
T
同理将 3 2 代入 A E x 0 得方程组的基础解系 3 (1,1,1) ………7 分
2 0 1
因此齐次线性方程组 Ax 0 与 AT Ax 0 ,同解, 故秩 r ( A) r ( AT A) 。…………………………………………4 分 (2)因为秩
r ( AT A) r ( AT A, A T ) r ( A T ( A, )) r ( AT ) r ( A) r ( AT A) AT ) r ( AT A) ,故非齐次线性方程组 AT Ax AT 有解。 因此 r ( AT A,
3
1 2 ,
2
得全部特征值为: 1 2 1, 3 2 ,………………………………………4 分 将 1 2 1 代入 A E x 0 得方程组
广东工业大学试卷用纸,共 3 页,第
5 页
3 x1 6 x2 0 3 x1 6 x2 0 3 x 6 x 0 2 1
).
1, - 1, 2, 4) , α2=( 0, 3, 1, 2) , α3=( 3, 0, 7, 14) , α4=( 1, - 2, 2, 0) 与 4 、 设 有 向 量 组 α1=( α5=( 2, 1, 5, 10),则向量组的极大线性无关组是(
(A) α1,α 2,α3 ; (C) α1,α 2,α5 ;
若 x0 x1 x 2 x k 0 ,则 可由 1 , 2 ,, k 线性表示, (1) (2)………4 分
是 Ax 0 的解,与已知矛盾.故必有 x0 x1 x2 xk 0 ,
从而 x11 x2 2 xk k 0 ,………………………………………………………7 分 由 1 , 2 ,, k 是 Ax 0 的一个基础解系知 1 , 2 ,, k 线性无关,
………………………………………8 分
广东工业大学试卷用纸,共 3 页,第 6 页
广东工业大学试卷用纸,共 3 页,第
7 页
当 a -2 时,方程组有唯一解……………………………………………5 分 当 a -2, b -1 时,方程组无解 ……………………………………7 分 当 a -2, b -1 时, r ( A) r ( A ) =2 < 3,方程组有无穷多组解, 其通解为 (3,1,0) T k (2,1,1) T , k 为任意常数。…………………10 分
五、 (10 分)设线性方程组为
x1 3 x 2 x3 0 x1 4 x 2 a x3 b ,问: a 、 b 取何值时,方程组无 2 x x 3 x 5 2 3 1
解、有唯一解、有无穷多解? 在有无穷多解时求出其通解。
六、 (10 分) 设 1 , 2 ,, k 是 Ax 0 的一个基础解系, 不是 Ax 0 的解, 即 A 0 ,
)
(B) α1,α 2,α 4 ; (D) α1,α 2,α 4,α5 .
5、设 A 、 B 为 n 阶实对称可逆矩阵,则下面命题错误的是(
1
)
(A)有可逆矩阵 P 、 Q 使得 PBQ A (B)有可逆矩阵 P 使得 P ABP BA (C)有可逆矩阵 P 使得 P B P A
1 2 2
解:由已知 ( A 2 E ) X A ,…………………………………………2 分
1 0 0 3 8 6 因为 ( A 2 E , A) 0 1 0 2 9 6 ………………………8 分 3 页,第 4 页 0 广东工业大学试卷用纸,共 0 1 2 12 9
r
3 8 6 故 X ( A 2 E ) A 2 9 6 …………………………………………10 分 2 12 9不对的根据步骤酌情给出。
0 1 3 1 0 1 3 1 1 1 …………………3 分 五、解: A 1 4 a b 0 1 2 1 3 5 0 0 a 2 b 1
1
.
专
装
.
二、 选择题(每小题 4 分,共 20 分) :
院: 1、下列命题正确的是( (A) 若
) 。
学
A B E ,则 A 可逆且 A 1 B AB || BA |
1 页
(B) 方阵 AB 的行列式阶子式 |
广东工业大学试卷用纸,共 3 页,第
(C)若方阵 AB 不可逆,则 (D)若 n 阶矩阵
使得 P -1AP 为对角阵.
八、 (共 14 分)证明题:
1、 (6 分)若 A 为 n 阶幂等阵( A 2 A ) ,求证: r ( A) r ( A E n ) = n . 2、 (8 分)设 A 是 m n 实矩阵, 0 是 m 维实列向量, 证明: (1)秩 r ( A) r ( AT A) ; (2)非齐次线性方程组 AT Ax AT 有解.
(D)有正交矩阵 P 使得 P AP P AP B
1
T
三、计算行列式(6 分) :
1 5 1 3
设 A
1 1 2
1 1 2
3 4 2 3 3 4
,计算 A41 A42 A43 A44 的值,其中 A4 i (i 1,2,3,4) 是代数余子式.
4 2 3 四、 (10 分)设矩阵 X 满足关系 AX A 2 X ,其中 A 1 1 0 ,求 X . 1 2 3
1、-2;
3、2;
4、280;
5、
四、 选择题(每小题 4 分,共 20 分) :
1 D 2 C 3 B 4 B 5 D
五、 解:
A41 A42 A43 A44 1 5 1 3 1 1 1 0 0 0 1 1 1 6 6 6 3 4 2 3 1 1 3 1 0
2
3分
广东工业大学试卷用纸,共 3 页,第
3 页
广东工业大学试卷参考答案及评分标准 (
课程名称: 考试时间: 2010 年 1 线性代数 月 5 日 (第 19 。 周 星期 二
A
)
)
三、 填空题(每小题 4 分,共 20 分) :
1 0 2、 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 3 4
故 n r ( A) r ( A E n ) …………………………………………6 分 2、证明: (1)因为若 A 0 ,则 AT A A0 0 ; 而当 AT A 0 时,由
| A | 2 (A) T A T AT A T 0 0 ,得 A 0 。
1 5 1 2 1
6
2
1
=1 (-1) 0 -1 -1 0 -2 -3 5分
0 -2 -1 -1 -2 -3
2 =6 (-1)
6 6分
评分说明:本题方法不唯一,但都要求计算必须有过程,结果不对的酌情给分。 四、