初一数学培优之与角相关的问题

初一数学培优之与角相关的问题

阅读与思考

角也是一种基本的几何图形，凡是由直线组成的图形都出现角. 角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，也可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

按角的大小可以分成锐角、直角和钝角. 由于直角和平角在角中显得特别重要，所以处于不同位置，但两角的和是一个直角或是一个平角的角仍然得到我们的特别关注. 两角之和为直角的，这两个角叫做互为余角；而两角之和为平角的，这两个角叫做互为补角，余角和补角的概念及其应用在几何计算和证明中都有十分重要的地位.

解与角有关的问题常用到以下知识与方法： 1. 角的分类； 2. 角平分线的概念； 3. 互余、互补等数量关系角； 4. 用方程的观点来进行角的计算.

例题与求解

【例1】如图，在3×3的网格上标出了∠1和∠2，则12∠+∠= .

2

1

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：对图形进行恰当的处理，通过拼补求出12∠+∠的值.

【例2】如果α∠与β∠互补，且αβ∠>∠，则下列表示β∠的余角的式子中：①90β︒-∠；②

90α∠-︒；③1()2αβ∠+∠；④1

()2

αβ∠-∠. 其中正确的有（ ）

A. 4个

B. 3个

C. 2个

D. 1个

（2013年浙江省衢江市数学竞赛试题）

解题思路：彼此互余的角只要满足一定的数量关系即可，而与位置无关.

【例3】已知80AOB ∠=︒，OC 是不在直线OA ，OB 上的任一条射线. OM ，ON 分别平分∠AOC ，∠BOC . 求∠MON 的大小.（题目中考虑的角都小于平角）

B'

A'

O B

A

（湖北省武汉市武昌区调考试题）

解题思路：因OC 位置不确定，故分类讨论是解本例的关键.

【例4】钟表在12点钟时三针重合，经过x 分钟秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分，求x 的值.

（湖北省黄冈市竞赛试题）

解题思路：把秒针第一次将分钟和时针所夹的锐角平分所得的两个角用x 的代数式表示，通过解方程求出x 的值.

【例5】（1）现有一个19°的“模板”（如图），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来.

19°

（2）现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？ （3）用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？

对（2）（3）两问，如果能，请你简述画法步骤；如果不能，请你说明理由.

（“希望杯”邀请赛试题）

解题思路：若只连续使用模板，则得到的是一个19°（或17°或21°）的整数倍的角，其实，解题的关键是在于能否找到19°（或17°或21°）的一个倍数与某个特殊角的某个倍数相差1°.

【例6】如图所示，O 是直线AB 上的一点，∠COD 是直角，OE 平分∠BOC . （1）如图①，若30AOC ∠=︒，求∠DOE 的度数；

（2）在图①中，若AOC α∠=，直接写出∠DOE 的度数 （用含α的代数式表示）；

（3）将图①中的∠DOC 绕顶点O 顺时针旋转至图②的位置.

① 探究∠AOC 和∠DOE 的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由；

② 在∠AOC 的内部有一条射线OF ，满足42AOC AOF BOE AOF ∠-∠=∠+∠，试确定∠AOF 与∠DOE 的度数之间的关系，说明理由

A

B

O

D

C

E

E

C

D

O

B

A

图 ① 图 ②

（湖北省武汉市模拟试题）

解题思路：（1）利用互余、互补关系易求出∠DOE 的度数；

（2）先根据∠DOE 与∠COE 的互余关系列出相应的关系式，然后用∠BOC 表示出∠COE ，再根据互补角的关系用α表示出所求角的度数；

（3）①可设∠BOC 为一个未知数，分别表示出∠AOC 与∠DOE ，可得相应关系；②结合①把所给等式整理为只含所求角的关系式即可.

能力训练

A 级

1. 已知一个角的补角等于这个角余角的6倍，那么这个角等于 .

（“祖冲之杯”邀请赛试题）

2. 如图，45BOD ∠=︒，90AOE ∠=︒，那么不大于90°的角有 个，它们的度数之和是 .

E

C D

O

B

A

（“希望杯”邀请赛试题）

3. 如图，150AOC BOD ∠=∠=︒，若3AOD BOC ∠=∠，则BOC ∠等于 .

A

B O

D

C

4. 如图，O 是直线AB 上一点，120AOD ∠=︒，90AOC ∠=︒，OE 平分∠BOD ，则图中彼此互补的角有 对.

E

C

D

O

B

A

（北京市“迎春杯”竞赛试题）

5. 一个角的补角的

1

17

是6°，则这个角是（ ） A. 68° B. 78° C. 88° D. 98°

（“希望杯”邀请赛试题）

6. 用一副三角板可以画出大于0°且小于176°的不同角度有（ ）种 A. 9 B. 10 C. 11 D. 12

7. 如图，若180AOB ∠=︒，∠1是锐角，则∠1的余角是（ ）

2

A

B

O

1

A.1

212∠-∠ B.132122∠-∠ C.

1(21)2∠-∠ D.1

(21)3

∠+∠ （甘肃省兰州市竞赛试题）

8. 如图，180AOB ∠=︒，OD 是∠COB 的平分线，OE 是∠AOC 的平分线，设BOD α∠=，则与α的余角相等的角是（ ）