反比例函数比例系数k的几何意义02

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反比例函数中比例系数k的几何意义

反思小结
在反比例函数 y 10 的图象上,有一系列点A1，A2， x A3…..An，An+1，若A1横坐标为2,且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为2. 现分别过点A1，A2，A3…..An，An+1作X轴与Y轴的垂线段，构成若干个矩形如图10所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn， 5 5 15 2 5 2 (5 _____, ) 则S1=________, S +S +S =____ S1+S2 2 1 2 3 4 2 5 10 n 2 (5 ) +S3+….+Sn=________________.( 用n的代数式表 n 1 n 1 A 示)
C
S SOAD SABD SBCD SOCD 4 1 4
达标测试
已知几何图形的面积S，求比例系数k
5、如图，已知双曲线（k>0）经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2，则k的值为（ B ）。
y
y
k x
A 1
所以
B 2
C 4
S OAB 4
O
y
已知几何图形的面积S，求比例系数k k y 变式、如图，已知双曲线 x ( k＞0 )经
B
D
C E A
x
而
SOAB SOBC SOAC
即
S ODE 1 S OAB 1 4 k 3 2
1 k 2
相似三角形的面积比等于相似比的平方 k 4;
k 0 k 4
k 0 k 4
4 y x
达标测试
4、如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，菱形OABC的对角线 OB在x轴上，顶点A在反比例函数 2 的图像上，求菱形的面积。 y B

反比例函数中k的几何意义的应用

反比例函数中k的几何意义的应用
k在反比例函数中具有重要的几何意义，以下列举一些它的应用。

1. 直线反比例函数：k反映直线斜率的倒数，即斜率m=-k。

当给定直
线k值时，由定点和k值可以求出斜率m，从而可以绘制出这条直线。

2. 圆反比例函数：k反映圆半径r的倒数，即r=1/k。

当给定圆k值时，由定点和k值可以求出圆半径，从而可以绘制出这个圆。

3. 抛物线反比例函数：k反映抛物线的开口方向，当k > 0时，抛物线
向右开口；当k < 0时，抛物线向左开口。

4. 双曲线反比例函数：k反映双曲线的开口方向，当k＞0时，双曲线
开口向右；当k＜0时，双曲线开口向左。

5. 其他函数反比例函数：k可以反映此类函数中曲线的凹凸，当k > 0时，曲线是凹曲线；当k < 0时，曲线是凸曲线。

总之，k在反比例函数中应用广泛，几乎所有的函数都可以用反比例函
数表示。

它的几何意义非常重要，不仅仅可以根据k值绘制出各种曲线，而且可以了解曲线的开口方向以及凹凸方向。

因此，k在反比例函
数绘制中发挥着重要的作用。

反比例函数中K的几何意义

反比例函数中K的几何意义
在反比例函数中，K表示比例系数或常数，也被称为反比例常数。

它
是用来确定两个变量之间反比关系的重要参数。

反比例函数的一般形式为：y=K/x，其中K表示比例系数。

K的几何意义可以通过分析反比例函数的图像得出。

反比例函数的图
像是一个双曲线，特点是曲线趋向于两个坐标轴。

下面将详细讨论K的几
何意义。

1.K的符号对于曲线的位置以及开口方向具有重要影响。

如果K为正数，那么曲线将位于第一和第三象限，并且开口方向为右上和左下。

如果
K为负数，那么曲线将位于第二和第四象限，并且开口方向为左上和右下。

2.K的绝对值越大，曲线就越“陡峭”。

当K增大时，曲线将更加接
近于坐标轴，并且在原点附近的斜率会越来越大。

反之，当K变小时，曲
线将更加平缓，斜率将减小。

3.K决定了特定坐标点的函数值。

例如，在函数y=K/x中，当x为K 时，y的值将为1、这是因为x与y成反比关系，而K是这种关系的常数。

4.K还决定了曲线相对于坐标轴的位置。

具体而言，当K增大时，曲
线将向坐标轴移动，而当K减小时，曲线将远离坐标轴。

总之，K代表了反比例函数中的比例系数或常数，它对于函数的位置、开口方向、陡峭程度以及特定坐标点的函数值都具有重要影响。

通过对K
的分析，我们可以更好地理解和解释反比例函数的几何特征。

反比例函数中k的几何意义

专题二反比例函数中k的几何意义
【主干必备】反比例函数中比例系数k的几何意义设点P(m,n)是双曲线y= k (k≠0)上任意一点
x
(1)过点P作x轴或y轴的垂线,垂足为点A,则
S△OAP=
1 2
·OA·AP=
1 |m|·|n|=
2
1 |mn|=
2
1 2
|k|.
(2)过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为A,B,
值为世纪金榜导学号( D )
A.5
B.-5
C.10
D.-10
3.(2019·哈尔滨木兰期末)已知P是反比例函数y= k
x
(k≠0)图象上一点,PA⊥x轴于A,若S△AOP=4,则这个反
比例函数的解析式是 ( C )
A.y= 8
x
C.y= 8 =- 8
x
D.y= 4 或y=- 4
则S矩形OAPB=OA·AP=|m|·|n|=|mn|=|k|.
【微点警示】因为反比例函数y= k (k是常数,k≠0)中的k有正、负之
x
分,所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时,都应加上绝对值符号;已知矩形或三角形的面积求反比例函数的解析式或k的值时,要根据函数的图象所在的象限确定k的正负.
x
x轴于点B交反比例函数y= 2 的图象于点C,连接OA,OC,
x
则△OAC的面积为 ( B )
A.2
B.3
C.6
D.8
2.(2019·达州达川区期末)如图所示,点A是反比例函
数y= k 的图象上的一点,过点A作AB⊥x轴,垂足为B,点
x
C为y轴上的一点,连接AC,BC.若△ABC的面积为5,则k的
【核心突破】

反比例K的几何意义

反比例函数比例系数k 的几何意义知识梳理：如图所示，过双曲线)0(k≠=k xy 上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM 、PN,垂足为M 、N ，所得矩形PMON 的面积S=PM •PN=|y|•|x|.,y xk=∴||k S k xy ==，。

反比例函数图像上任意一点“对应的直角三角形的面积”S=21│k │ 反比例函数图像上任意一点“对应的矩形的面积”S=│k │这就说明，过双曲线上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数|k|。

这是系数k 几何意义,明确了k 的几何意义，会给解题带来许多方便。

典例精析专题一 K 值与面积直接应用例1：已知如图，A 是反比例函数ky x=的图象上的一点，AB 丄x 轴于点B ，且△ABO 的面积是3，则k 的值是（）A 、3B 、﹣3C 、6D 、﹣6变式练习1：如图，点P 是反比例函数6y x=图象上的一点，则矩形PEOF 的面积是．变式练习2：如图：点A 在双曲线 ky x=上，AB 丄x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =2，则k= ．变式练习3：如图，A 是反比例函数图象上一点，过点A 作AB ⊥y 轴于点B ，点P 在x 轴上:△ABP的面积为2，则这个反比例函数的解析式为______________．OABxy:变式练习4：如图反比例函数4y x=-的图象与直线13y x =-的交点为A ，B ，过点A 作y 轴的平行线与过点B 作x 轴的平行线相交于点C ，则ABC △的面积为（） A ．8 B ．6C ．4D ．2B 为双曲线x12-y =上的点，AD ⊥x 轴于D,BC ⊥y 轴于点C ，则四边形ABCD 的面积为。

例2：如图1所示，直线l 与双曲线)0(ky >=k x交A 、B 两点，P 是AB 上的点，试比较⊿AOC 的面积S 1，⊿BOD 的面积S 2，⊿POE 的面积S 3的大小：。

《反比例函数图像性质-k的几何意义》课件

随着x的增大或减小，曲线会逐渐靠近坐标轴，但永远不会与坐标轴相交。
曲线形状
图像是由两支分别位于第一和第三象限的曲线组成，这两支曲线关于原点对称。
k<0时图像特征
1 2
图像位于第二、四象限
当k<0时，反比例函数的图像会出现在第二和第四象限。
曲线形状
图像同样是由两支分别位于第二和第四象限的曲线组成，这两支曲线也关于原点对称。
图像的性质。
总结
反比例函数的图像性质与 $k$ 的正负有关。当 $k > 0$ 时，图像位于第一、三象限；当 $k < 0$
时，图像位于第二、四象限。
涉及综合应用问题
01
例题5
已知反比例函数 $y = frac{k}{x}$ 的图像与一次函数 $y = ax + b$ 的
图像交于点 $M(2,1)$ 和 $N(-1,-2)$，求这两个函数的解析式。
反比例函数的极限与连续性问题
讨论反比例函数在特定点的极限行为，以及在定义域内的连续性。
反比例函数与其他函数的复合问题
研究反比例函数与其他基本函数（如幂函数、三角函数等）的复合性质及图像特征。
THANK YOU
06
总结回顾与拓展延伸
重点知识点总结回顾
反比例函数图像的基本性质
反比例函数图像为双曲线，当k>0时，图像位于第一、三象限；当k<0时，图像位于第二、四象限。
k的几何意义
k的绝对值表示双曲线与坐标轴所围成的矩形的面积。当k>0时，矩形在第一象限；当 k<0时，矩形在第二象限。
反比例函数图像的对称性
通过中心对称性，我们可以更好地理解反比例函数的性质和行为，以及它在解决实际问题中的应

反比例函数中k的几何意义解题技巧

在反比例函数中，k代表常数。

它在几何上表示函数图像与坐标轴的关系，具体解题技巧如下：
求解比例关系：在已知的反比例函数中，通过给定的函数表达式或已知的点，可以建立函数的比例关系。

使用这些已知信息，可以得出k 的值。

图像特征分析：观察反比例函数的图像特征，特别是与坐标轴的关系。

在反比例函数中，k 的值可以表示函数图像与坐标轴之间的比例关系。

当k > 0 时，函数图像与坐标轴之间存在正比例关系。

函数图像可能与x 轴正向逼近，与y 轴正向逼近，或同时逼近两个轴。

当k < 0 时，函数图像与坐标轴之间存在反比例关系。

函数图像可能与x 轴正向逼近，与y 轴负向逼近，或同时逼近两个轴。

当k = 0 时，函数图像与x 轴平行或与y 轴平行，即函数图像不存在与坐标轴的交点。

推测几何意义：根据反比例函数的性质，可以推测k 的几何意义。

当k > 0 时，k 可以表示函数图像与坐标轴之间的比例系数。

它可以表示函数图像在与x 轴或y 轴的交点处的斜率。

当k < 0 时，k 的绝对值可以表示函数图像与坐标轴之间的反比例系数。

它可以表示函数图像在与x 轴或y 轴的交点处的斜率的相反数。

需要注意的是，以上是一般性的解题技巧，具体问题可能需要结合具体的题目和函数表达式进行分析和求解。

同时，绘制函数图像可以帮助更好地理解和观察几何意义。

反比例函数K的几何意义

（2）A、C落在反比例函数的图象上，设矩形平移后A坐标是（2，6-b），C坐标是（6，4-b）， ∵A、C落在反比例函数的图象上， ∴k=2（6-b）=6（4-b）， ∴b=3，即矩形平移后A的坐标是（2，3），代入反比例函数的解析式得：k=2×3=6，
【山东·全国考题回访】
1.(2014·济南中考)如图,△OAC和△BAD都是等
如图，过y轴正半轴上的任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=-4/x和 y=2/x交于点A和点B，若点C是x轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为
点B，D在反比例函数y=b/x（b＜0）的图象上，
AB∥CD∥x轴，AB，CD在x轴的两侧，AB=3，CD=2，
AB与CD的距离为5，则a-b的值是
则S△OBC=
1·(-x)·22y=6.解得k=xy=-6. 2
答案:-6
如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数 y1=k1/x(x>0)及y2=k2/x(x>0)的图像分别交于点A， B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为3，则k1-k2 的值等于（）
如图△P1OA1，△P2A1A2是等腰直角三角形，点P1， P2在函数y=4/x（x＞0）的图象上，斜边OA1，A1A2 都在x轴上，则点A2的坐标是______．
答案:6
（1）直接写出B、C、D三点的坐标；
（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．
（1）∵四边形ABCD是矩形，平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为（2，6）． ∴AB=CD=2，AD=BC=4， ∴B（2，4），C（6，4），D（6，6）；
腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°,反比例函数 y= k 在第一象限的图象经过点B，若OA2-AB2=12，则kx的值为_______.

反比例函数中比例系数k的几何意义

19.6反比例函数中比例系数k的几何意义一、复习旧知：1.反比例函数的表达式有______种形式，分别是_________________________.2.反比例函数的图象是_______________.3.反比例函数的图象性质是:_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 二、创设情境---自主探究1.已知：如图1，∠AED=∠B ，AD=y ，AE=2，AB=x ，AC=6，写出y 与x 的函数关系式.2.已知：如图2，在△ABC 中，∠C=90°，BC=x ，AC=y ，S △ABC =6，则y 与x 的函数表达式为：________________.3.已知：如图3，在矩形ACBH 中，BC=x ，AC=y ，S 矩形ACBH =12，则y 与x 的函数表达式为：4观察2题和3题中图形面积与函数表达式中的k 值有怎样的关系.三、学习新知---合作探究已知点A （-6,2）、B （3，m ）是反比例函数图象上的两点，根据要求完成下列问题： 1.反比例函数的表达式：________________________; 点B 坐标__________. 2.在平面直角坐标系中画出函数图象.图1图2图33.过点A 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足为点C 和点H ，连接AO （1）则S △AOC =_________. （2）则S 矩形ACOH =__________.4. 过点B 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足为点E 和点F ，连接BO （1）则S △BOF =__________. （2）则S 矩形BEOF =___________.5.观察问题3和问题4的结果有怎样的关系，它们的结果与反比例函数解析式中的k 又有怎样的关系？小结：如图，在反比例函数xky =（k ≠0）上任意一点P(x,y)，过这一点分别作x 轴和y 轴的垂线PM 、PN ，连接OP ，则S △POM =___________ ； S 矩形PMON =___________.四、学以致用—自主练习1.已知：反比例函数图象上一点A ，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，作AB ⊥y 轴于点B ，连接AO.（1）若点A （2,3），则反比例解析式k=_____; S △AOC =____； S 矩形ABOC =_____.（2）若S △AOC =4，且反比例函数图象在一、三象限内，则反比例函数表达式：__________ （3）若S 矩形ABOC =5，则反比例函数表达式：______________________________________ 2.计算与双曲线xky =（k ≠0）上的点有关的图形面积.。

反比例函数函数K的几何意义 (2)

α 2.4
C
A B 90 B 90 A 90 66 24
在直角三角形的六个元素中,除直角外,如果知道两个元素(其中至少有一个是边),就可以求出其余三个元素.
在直角三角形中,由已知元素求未知元素的过程,叫解直
角三角形.
例1 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC 2 , BC 6
（4）取原避中
根据下列条件解Rt△ABC(∠C=90°)其他角与边的大小：（1）∠A = 30°， b = 3 ; c
B a
（2）
C = 4 ,
,
b = 2 2 ;
c = 25; b = 8 15 A
（3）∠B = 60°, (4) a = 8 5
b
C
1、在下列直角三角形中不能求解的是（ D ） (A)已知一直角边一锐角 (B)已知一斜边一锐角 (C)已知两边 (D)已知两角
2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=4，欲 C 求∠A的值，最适宜的做法是（） A.计算tanA的值求出 B.计算sinA的值求出 C.计算cosA的值求出 D.先根据sinB求出∠B，再利用求出90°-∠B 求出
【走进中考】
1.（2012·东营中考）如图，小明为了测量其所在位置，A点到河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂直的方向走了m米，到达点C，测得∠ACB＝α ，那么AB等于（ B ） (A) m·sinα 米 (C) m·cosα 米 (B) m·tanα 米 (D)
解这个直角三角形
A 解：
在Rt△ABC中，∠C＝90°
2
BC 6 tan A 3 AC 2
C
6
B
A 60

知识点反比例函数意义,比例系数k的几何意义

的积．
5. （2011 辽宁阜新,6,3 分）反比例函数 y 6 与 y 3 在第一象限的图象如图所示，作一条平行于 x 轴的直线
x
x
分别交双曲线于 A、B 两点，连接 OA、OB，则△ AOB 的面积为（）
3
A.
B.2
C.3 D.1
2
考点：反比例函数系数 k 的几何意义。
专题：探究型。
分析：分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BC⊥y 轴，点 C 为垂足，再根据反比例函
∴y=- ，
故答案为：y=- ，
点评：此题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．
2. （2011 江苏扬州，6，3 分）某反比例函数的图象经过点（-1,6），则下列各点中，此函数图象也经过的点是（）
A. （-3,2） B. （3,2）
C.（2，3） D.（6,1）
考点：反比例函数图象上点的坐标特征。
B、﹣3
C、6
D、﹣6
考点：反比例函数系数 k 的几何意义。
分析：过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 是个定值，
即 S＝ 1 |k|． 2
解答：解：根据题意可知：S△ AOB＝ 1 |k|＝3， 2
又反比例函数的图象位于第一象限，k＞0，
则 k＝6．
数系数 k 的几何意义分别求出四边形 OEAC、△ AOE、△ BOC 的面积，进而可得出结论．
解答：解：分别过 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为 D、E，过 B 作 BC⊥y 轴，点 C 为垂足，
∵由反比例函数系数 k 的几何意义可知，S 四边形 OEAC=6，S△ AOE=3，S△ BOC= 3 ， 2

反比例函数的比例系数k的几何意义.2_反比例函数系数k的几何意义

x
一、应用比例系数k的几何意义解题
1 1.如图，已知点P在反比例函数y=的 2x
图象上，PA⊥x轴， PB⊥y轴，则矩形
y
1 PAOB的面积等于____ 2 ，P 1 A ∆POA的面积等于_____. 4
B
0
x
1 2.如图已知点A，D分别在反比例函数y= x 3 与y= 的图象上，AD//x轴，且AB⊥x x 轴， DC⊥x轴，则四边形ABCD的面积 y =_______. 2
三
变式训练
y
归纳：
S矩形OAPB | k | .
S ΔOAP 1 |k| 2
P(x,y)
o y
A
x
P(x,y)
o
A
x
三
变式训练
变式1：
k 如图，已知P点是反比例函数y＝ x (k≠0)的
图象上一点，AP⊥y轴于A，且△APO的面 6 ． -6 积为3，则k的值为_____
y
k y= x
P A A P
Q
x
k 例.反比例函数 y = x
（k≠0）的比例系数k的几何意义，即k与图形面积的关系： 6 图象上 (2)如图，点P，Q是反比例函数 y = x 任意两点，作PA⊥x轴， PB⊥y轴，QE⊥x轴， y QF⊥y轴，则 6 y= x 6 ，矩形PAOB的面积等于____ P B 6 矩形QEOF的面积等于____. E 你发现这些矩形的面积 0 A 与哪个有关？ F Q 比例系数k= - 6有关，等于-6的绝对值
x
反比例函数的比例系数k的几何意义，即k与图形面积的关系：归纳： k 反比例函数 y = 的图象上任意一点向x轴， x y轴作垂线，所围成的矩形的面积等于_____. |k|

反比例函数的比例系数k的几何意义

B
O
x
x
探究
已知反比例函数解析式为 y
y4 x
求：各四边形的面积
y4 x
o
x
P3(-4,y) P2(-2,y)
P1(-1,-4)
探究
1、各矩形面积有什么关系？
已知P(8,3)在反比2、例各函数矩形面y 积与什么有关？
上，求：
1、反比例函数的解析式 2、各四边形的面积分别
是多少？
y

24 x
P(8,3)
No
x
巩固
如图，A、C是反比例函数
y

k
的图
x
象上的点，且A（3，-4），过C点
作y轴的垂线，则△COD的面积
是多少？
反比例函数的解析式为： y
y 12 x
CD
o
x
A
思路拓展2 如图，A、C是反比例函数
y

k
的图
x
象上两点，过A作y轴的垂线，过
C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，
垂足分别为E、F，记S为△ABC
反比例函数的图象和性质
复习
1、什么是反比例函数？ 2、反比例函数的几种表达形式？ 3、反比例函数的性质？
探究
反比例函数上一点A（-4，3）问题：该反比例函数的解析式是什么？矩形ABOC的面积是多少？ y
A
C
B
O
x
探究
已知反比例函数
y
上任意一点P（x，y），
求：四边形PBCO的面积？
PC y
y
若A(-x,y)、C(x,-y)，那么四边形ABCD的面积又为多少？ A(-3x,1y)
四边形AEFD的面积呢？

反比例函数比例系数k的几何意义02

反比例函数中比例系数k的几何意义

反比例函数中k的几何意义的应用

反比例函数中K的几何意义

反比例函数中k的几何意义

反比例K的几何意义

《反比例函数图像性质-k的几何意义》课件

反比例函数中k的几何意义解题技巧

反比例函数K的几何意义

反比例函数中比例系数k的几何意义

反比例函数函数K的几何意义 (2)

知识点 反比例函数意义,比例系数k的几何意义

反比例函数的比例系数k的几何意义.2_反比例函数系数k的几何意义

反比例函数的比例系数k的几何意义

知识点反比例函数意义,比例系数k的几何意义