第二章 直线和圆的方程 专题测试(解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
人教A版新教材选择性必修第一册第二章直线与圆的方程单元测试题
人教A版新教材选择性必修一第二章直线与圆的方程单元测试题时间：120分钟满分：150分命卷人：审核人：一、选择题（每小题5分，共12小题60分）1. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（）A. B. C. D.2. 已知直线过定点,点在直线上,则的最小值是( )A. B. C. D.3. 由三条直线，和围成的三角形是()A. 直角三角形B. 等边三角形C. 钝角三角形D. 锐角三角形4. 直线与圆的位置关系是（）A. 相交B. 相离C. 相切或相离D. 相切或相交5. 直线的倾斜角的取值范围是（）A. B. C. D.6. 圆与圆的公切线有（）A. 条B. 条C. 条D. 条7. 已知点，直线与线段相交，则实数的取值范围是（）A. B. C. 或 D.8. 已知点在圆上，点，则线段的中点的轨迹方程是（）A. B.C. D.9. 若直线与圆相切,且为锐角,则该直线的斜率是( )A. B. C. D.10. 圆上到直线的距离为的点共有( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 由直线上的点P向圆引切线，则切线长的最小值为()A. 1B.C.D. 912. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题一“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为,若将军从点处出发,河岸线所在直线方程为,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为( )A. B. C. D.二、填空题（每小题5分，共4小题20分）13. 已知直线不通过第一象限，则实数的取值范围__________．14. 已知圆经过直线与圆的交点,且圆的圆心在直线上,则圆的方程为__________.15. 一束光线从点出发，经轴反射到圆上，则最短路程是__________．16. 关于方程表示的圆，下列叙述中：①圆心在直线上；②其圆心在轴上；③过原点；④半径为．其中叙述正确的是__________(要求写出所有正确的序号).三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）17. 已知的顶点的平分线所在直线方程为边上的高所在直线方程为．（1）求顶点的坐标；（2）求的面积.18.(2020安徽高二月考)设直线的方程为..(1)若在两坐标轴上的截距相等,求的方程;(2)若与两坐标轴围成的三角形的面积为,求的值.19.已知点及圆C：.（1）若直线l过点P且被圆C截得的线段长为，求l的方程；（2）求过P点的圆C的弦的中点D的轨迹方程.20.(2020东莞市东华高级中学高二期中)已知圆,圆,则(1)若两圆心距为,求的值.(2)直线与坐标轴的交点,.点在圆上,求三角形面积最小值.21.已知实数、满足方程.（1）求的最大值和最小值；（2）求的最小值；（3）求的最大值和最小值.22. 曲线上两点、满足：（1）关于直线对称，（2），求直线的方程.人教A版新教材选择性必修一第二章直线与圆的方程单元测试题答案和解析第1题：【答案】A【解析】提示：因为两直线平行，故，所以.将代入直线的方程并化简得.由平行线的距离公式得两直线的距离为，故选A.第2题：【答案】B【解析】直线方程可化为:,令,得,所以点,又点在直线上,所以的最小值为点到直线的距离,因为,所以的最小值是.第3题：【答案】A【解析】和，则，∴.故选A.第4题：【答案】D【解析】直线过定点在圆上，∴直线与圆的位置关系是相切或相交.第5题：【答案】B【解析】解：直线可化为：，倾斜角，, 则,因为所以所以,即,所以. 所以选B.第6题：【答案】C【解析】两圆圆心距，所以两圆相外切，那么公切线有条，故选C.第7题：【答案】C【解析】∵直线可化为过定点，所以，数形结合可得直线的斜率的取值范围是或，即或，得的取值范围是或第8题：【答案】B【解析】设，线段中点坐标为，由坐标为，得到线段中点坐标为，即，代入圆可得：，即.故线段中点的轨迹方程为.第9题：【答案】A【解析】由题意知,圆心到直线的距离为, 则,所以或者, 当时,,, 当时,不可能成立,故舍去.第10题：【答案】C【解析】圆可化为, 所以圆心为,半径为2, 圆心到直线的距离为:, 所以, 所以圆上到直线的距离为的点共有3个. 故选:C第11题：【答案】C【解析】解：将圆方程化为标准方程得：,得到圆心,半径，圆心到直线的距离，则切线长的最小值，故选C.第12题：【答案】B【解析】由题点和军营所在区域在河岸线所在直线方程的同侧,设点关于直线的对称点,中点在直线上,解得:,即,设将军饮马点为,到达营区点为,则总路程,要使路程最短,只需最短,即点到军营的最短距离,即点到区域的最短距离为:.第13题：【答案】【解析】由题意得直线恒过定点，且斜率为，∵直线不通过第一象限，∴，解得，故实数的取值范围是．第14题：【答案】【解析】设所求圆的方程为:,即, ∴圆心为,由圆心在直线,∴,∴, ∴圆的方程为,即.第15题：【答案】.【解析】相当于求与圆上点的最近距离，．第16题：【答案】①③【解析】将圆的方程化成：易知①③正确第17题：【答案】（1）；（2）．【解析】(1)直线,则,直线的方程为, 由所以点的坐标． (2),所以直线的方程为,,即., 点到直线的距离为, 则.第18题：【答案】见解析【解析】(1)由题意知,,即.当直线过原点时,该直线在两条坐标轴上的截距都为,此时,直线的方程为;当直线不过原点,即时,由截距相等,得即,直线的方程为. 综上所述,所求直线的方程为或. (2)由题意知, ,,且在轴,轴上的截距分别为,.由题意知,,即. 当时,解得,当时,解得. 综上所述,或.第19题：【答案】（1）直线的方程为：或；（2）【解析】（1）如图所示，，设是线段的中点，则点C的坐标为, 在中，可得，设所求直线的方程为：即，由点到直线的距离公式得：此时直线的方程为：. 又直线的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为：所以所求直线的方程为：或. （2）设过点P的圆C的弦的中点为，则即所以化简得所求轨迹的方程为：.第20题：【答案】见解析【解析】解析:(1)∵的圆心,的圆心, 又∵圆心距为, 由得, ∴或. (2)∵当时,当时,, ∴,, ∴, 当到直线的距离最小时,面积最小. 设的高为, ∴, ∴.第21题：【答案】（1），（2），（3），【解析】（1）原方程化为，表示以点为圆心，半径为的圆.设，即，当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，此时有，解得，故的最大值为，最小值为. （2）设，即，当与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值，此时，即，故，. （3）表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.又圆心到原点的距离为，故，.第22题：【答案】或【解析】由（1）得直线过圆心，∴，，故设直线的方程为，与圆方程联立消去得.设，，由于，∴，即结合韦达定理可得或.从而直线的方程为或.。
第二章 直线与圆的方程单元测试卷-高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册
第二章 直线与圆的方程满分卷-2021-2020人教A （2019）高二（上）选择性必修第一册一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1] B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3C D ．77．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为 10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为1012．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是 ． 15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为 ．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是 ，最小距离是 ． 四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程； （Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长． 18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=． （Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ． （Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P且斜率为k的直线l与圆M相切，求k的值．22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线:20l x y++=和圆22+=，P是直线l上一O x y:1点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B．（1）若PA PB⊥，求点P的坐标；（2）求线段PA长的最小值；（3）设线段AB的中点为Q，是否存在点T，使得线段TQ长为定值？若存在，求出点T；若不存在，请说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．如图中的直线1l 、2l 、3l 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，则( )A ．123k k k <<B ．312k k k <<C ．321k k k <<D ．132k k k <<解：由图象知，直线1l 、2l 、3l 的倾斜角分别为1α，2α，3α， 且1(2πα∈，)π，3202παα<<<；所以对应的斜率分别为10k <，320k k <<， 即132k k k <<． 故选：D ．2．已知直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，则“2a =”是“12l l ⊥”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：直线1:10l ax y -+=，2:420l ax y ++=，12l l ⊥， (1)40a a ∴⨯+-⨯=，240a ∴-=，2a ∴=±， 2a ∴=是12l l ⊥的充分不必要条件，故选：A ．3．经过点(0,1)P -的直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 两点的线段总有公共点，则l 的倾斜角的取值范围是( ) A ．[1-，1]B ．(-∞，1][1-，)+∞C ．3[,]44ππD ．3[0,][,)44πππ解：如图所示，设直线l 的倾斜角为α，[0α∈，)π． 12101PA k -+==--，11102PB k --==-． 直线l 与连接(1,2)A -，(2,1)B 的线段总有公共点，1tan 1α∴-．[0α∴∈，3][44ππ，)π． 故选：D ．4．已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(,)(1,1)22a a-=-．圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=． 故选：D ．5．两条直线1:20l x y c ++=，2:210l x y -+=的位置关系是( ) A ．平行B ．垂直C ．重合D ．不能确定解：直线1l 的斜率是：2-， 直线2l 的斜率是：12， 由1212-⨯=-，得直线垂直， 故选：B ．6．已知实数x ，y 满足224x y +=，则函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为( )A ．49，9B ．7，3CD ．7解：22226825(3)(4)S x y x y x y =+--+=-+-， 实数x ，y 满足224x y +=，22(3)(4)S x y ∴=-+-的几何意义为圆224x y +=上的动点与定点(3,4)M 的距离的平方， 如图，||5OM =，2(52)49max S ∴=+=，2(52)9min S =-=．∴函数226825S x y x y =+--+的最大值和最小值分别为49，9．故选：A ．7．已知直线l 经过点(1,2)P -，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为( ) A ．2340x y ++=B ．2380x y +-=C ．3270x y --=D ．3210x y --=解：直线l 与直线2310x y +-=垂直， 所以直线l 的斜率为32， 又直线l 经过点(1,2)P -，所以直线l 的方程为：3(2)(1)2y x --=-，化简得：3270x y --= 故选：C ．8．关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线（图中实线）可能是( )A ．B ．C ．D ．解：关于x 、y 的方程210(0)a x ay a --=≠表示的直线，直线的斜率为a ，在y 轴上的截距为1a-，直线的斜率和它在y 轴上的截距的乘积等于1-，图A 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是正的，这不满足条件，故排除A ；图B 中，直线的斜率小于1，它在y 轴上的截距大于1-小于零，这不满足条件，故排除B ； 图C 中，直线的斜率和它在y 轴上的截距都是负值，这不满足条件，故排除C ；图D 中，直线的斜率小于1-，它在y 轴上的截距大于零小于1，能满足条件，故D 可能成立， 故选：D ．二．多选题（共4小题）9．已知直线:20l kx y k -+=和圆222:O x y r +=，则( ) A ．存在k 使得直线l 与直线0:220l x y -+=垂直B ．直线l 恒过定点(2,0)C ．若4r >，则直线l 与圆O 相交D ．若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为 解：对于A ，直线0:220l x y -+=的斜率为12，则当2k =-时，满足直线l 与直线0:220l x y -+=垂直，故A 正确；对于B ，由:20l kx y k -+=，得(2)0k x y +-=，令200x y +=⎧⎨-=⎩，解得20x y =-⎧⎨=⎩，∴直线l 恒过定点(2,0)-，故B 错误；对于C ，若4r >，则直线l 所过定点(2,0)-在圆O 内部，则直线l 与圆O 相交，故C 正确；对于D ，若4r =，则直线l 被圆O 截得的弦长的最大值为8，最小值为=即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围为，8]，故D 错误． 故选：AC ．10．下列结论错误的是( )A ．若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l lB ．若直线的斜率121k k ⋅=，则12l l ⊥C ．若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l lD ．若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 不平行 解：若直线1l ，2l 的斜率相等，则12//l l 或重合，A 错误； 若直线的斜率121k k ⋅=-，则12l l ⊥，B 错误；若直线1l ，2l 的斜率都不存在，则12//l l 或重合，C 错误； 若直线1l ，2l 的斜率不相等，则1l 与2l 一定不平行，D 正确． 故选：ABC ．11．已知动直线:0m x y λλ-+=和:320n x y λλ+--=，P 是两直线的交点，A 、B 是两直线m 和n 分别过的定点，下列说法正确的是( ) A ．B 点的坐标为(3,2)- B ．m n ⊥C ．P 的轨迹是一条直线D ．PA PB ⨯的最大值为10解：对于A ，直线:(2)30n y x λ-+-=，所以直线n 过点(3,2)，故A 错误； 对于B ，1(1)0λλ⨯+-⨯=，所以m n ⊥，故B 正确；对于C ，因为PA PB ⊥，所以P 的轨迹是以AB 为直径的圆，故C 错误； 对于D ，222202PA PB AB PA PB +==⨯，所以D 正确． 故选：BD ．12．已知直线1:40l x y +-=与圆心为(0,1)M 且半径为3的圆相交于A ，B 两点，直线2:22350l mx y m +--=与圆M 交于C ，D 两点，则四边形ACBD 的面积的值可以是()A ．B ．C ．D ．1)解：根据题意，圆M 的圆心为(0,1)M 且半径为3，则圆M 的方程为22(1)9x y +-=，即22280x y y +--=，直线1:40l x y +-=与圆M 相交于A ，B 两点，则有2228040x y y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解可得：31x y =⎧⎨=⎩或04x y =⎧⎨=⎩，即A 、B 的坐标为(3,1)，(0,4)，则||AB AB 的中点为3(2，5)2，直线2:22350l mx y m +--=，变形可得(23)250m x y -+-=，直线2l 恒过定点3(2，5)2，设3(2N ，5)2，当CD 与AB 垂直时，四边形ACBD 的面积最大， 此时CD 的方程为5322y x -=-，变形可得1y x =+，经过点(0,1)M ， 则此时||6CD =，故ACBD S 四边形的最大值162ACB ADB S S ∆∆=+=⨯⨯=故92ACBD S 四边形， 分析选项：BC 符合题意， 故选：BC ．三．填空题（共4小题）13．在平面直角坐标系中，已知(2,2)A 、(1)B -若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点，则直线l 斜率的取值范围是 ． 解：如图，显然点P 在直线AB 下方，直线AP 的斜率为21121AP k +==+，直线BP 的斜率BP k == 所以若过点(1,1)P --的直线l 与线段AB 有公共点， 则直线l 斜率BP k k ，或者AP k k ， 所以3k -或者1k ，故答案为：(-∞，[1，)+∞．14．直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是 ．解：圆222410x y x y +---=化简可得22(1)(2)6x y -+-=，圆心坐标为(1,2)，，圆心到直线210x y -+==< ∴直线210x y -+=和圆222410x y x y +---=的位置关系是相交，故答案为：相交．15．直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离为 ． 解：直线1:3470l x y +-=与直线2:3410l x y ++=之间的距离85d ==．故答案为：85．16．圆222440x y x y +-++=上的点到3490x y -+=的最大距离是 ，最小距离是 ． 解：圆222440x y x y +-++=即22(1)(2)1x y -++=，表示以(1,2)C -为圆心，半径为1的圆．由于圆心(1,2)C -到直线3490x y -+=的距离4d ==，故动点P 到直线3490x y -+=的距离的最小值与最大值分别为3，5， 故答案为：5，3． 四．解答题（共6小题）17．已知圆C 的圆心在x 轴上，且经过点(3,0)A -，(1,2)B -． （Ⅰ）求圆C 的标准方程；（Ⅱ）过点(0,2)P 斜率为34的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，求弦MN 的长． 解：（Ⅰ）设AB 的中点为D ，则(2,1)D -， 由圆的性质得CD AB ⊥， 所以1CD AB k k ⨯=-，得1CD k =-，所以线段AB 的垂直平分线方程是1y x =--，设圆C 的标准方程为222()x a y r -+=，其中(,0)C a ，半径为(0)r r >， 由圆的性质，圆心(,0)C a 在直线CD 上，化简得1a =-，所以圆心(1,0)C -，||2r CA ==，所以圆C 的标准方程为22(1)4x y ++=； （Ⅱ）因为直线l 过点(0,2)P 斜率为34， 则直线l 的方程为324y x =+， 圆心(1,0)C -到直线l的距离为3|2|1d -==，所以MN ==18．（1）求直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长；（2）已知圆22:430C x y x +-+=，求过点(3,2)M 的圆的切线方程． 解：（1）根据题意，圆22(2)4x y +-=的圆心为(0,2)，半径2r =， 圆心到直线y x =的距离d =则直线y x =被圆截得的弦长2l == 故直线y x =被圆22(2)4x y +-=截得的弦长为（2）圆22:430C x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，其圆心为(2,0)，半径1r =， 若切线的斜率不存在，则切线的方程为3x =，符合题意；若切线的斜率存在，则设切线的斜率为k ，则切线的方程为2(3)y k x -=-，即320kx y k --+=，则有1d ==，解可得：34k =，此时切线的方程为3410x y --=．综上可得，圆的切线方程为3x =或3410x y --=．19．在直角坐标系xOy 中，直线:40l x --=交x 轴于M ，以O 为圆心的圆与直线l 相切．（1）求圆O 的方程；（2）设点0(N x ，0)y 为直线3y x =-+上一动点，若在圆O 上存在点P ，使得45ONP ∠=︒，求0x 的取值范围；（3）是否存在定点S ，对于经过点S 的直线L ，当L 与圆O 交于A ，B 时，恒有AMO BMO ∠=∠？若存在，求点S 的坐标；若不存在，说明理由．解：（1）直线:40l x -=交x 轴于(4,0)M ，圆心半径2r ==，所以圆的方程224x y +=．（2）如图，直线NP 与圆相切，设PNO α∠=，则2sin ONα=， 根据图象，N 越靠近O 点，ON 越小，sin α越大，由2sin 452ON ︒==，得ON = 设(,3)N x x -，由距离公式22(3)8x x +-=，解得x =0372x +．（3）AMO BMO ∠=∠，若直线L 的斜率不存在，显然S 点存在； 当斜率存在时，设:L y kx m =+，L 与圆的交点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 根据题意只需0AM BM k k +=，即1212044y yx x +=--， 把11y kx m =+，22y kx m =+带人并化简得12122(4)()80kx x m k x x m +-+-=， 把L 与圆联立解方程224y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得12221kmx x k +=-+，212241m x x k -=+， 带入上式222422(2)8011m kmk m k m k k ----=++，化简得0k m +=，即m k =-，所以:(1)L y k x =-，恒过(1,0)点．20．已知直线10l y -+=，圆C 的方程为224210x y x y ++-+=． （Ⅰ）判断直线l 与该圆的位置关系；（Ⅱ）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线l 的最短距离． 解：（Ⅰ）圆的方程为224210x y x y ++-+=，即22(2)(1)4x y ++-=，∴圆心为(2,1)-，半径为2r =，则圆心到直线的距离d r =，∴直线与圆相交．（Ⅱ）弦长2l ==． 21．已知圆M 过点(4,0)A ，(2,0)B -，(1,3)C ． （Ⅰ）求圆M 的标准方程；（Ⅱ）若过点(2,3)P 且斜率为k 的直线l 与圆M 相切，求k 的值． 解：（Ⅰ）设圆M 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，则有222222222(4)(0)(2)(0)(1)(3)a b r a b r a b r ⎧-+-=⎪--+-=⎨⎪-+-=⎩，解得1a =，0b =，3r =，所以圆M 的标准方程为22(1)9x y -+=； （Ⅱ）因为直线l 过点(2,3)P 且斜率为k ，则直线l 的方程为：3(2)y k x -=-，即230kx y k --+=， 因为直线l 与圆M 相切，所以圆心到直线l3=，解得0k =或34-．22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线:20l x y ++=和圆22:1O x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ． （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由．解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P=P 在直线20x y ++=上，设(,2)P x x --，则||OP =1x =-， 故(1,1)P --；（2）由22||||1PA PO =-，可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小． 线段PO 长的最小值，即点O 到直线l 的距离，故||min PO ==∴||1min PA ==；（3）设0(P x ，02)x --，则以OP 为直径的圆的方程为222200002(2)()()224x x x x x y --+---+-=， 化简得：2200(2)0x x x x y y -+++=，与221x y +=联立， 可得AB 所在直线方程为00(2)1x x x y -+=，联立0022(2)11x x x y x y -+=⎧⎨+=⎩，得22200000(244)2430x x x x x x x ++----=， Q ∴的坐标为002200002(,)244244x x x x x x --++++， 可得Q 点轨迹为22111()()448x y +++=，圆心11(,)44--，半径4R =．故存在点11(,)44T --，使得线段TQ 长为定值．。
第二章 直线和圆的方程 专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一
第二章直线和圆的方程专题测试(原卷版+解析版) (人教A版)高二数学选择性必修一第二章直线和圆的方程专题测试注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息。
2.请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1.（2020·福建高二学业考试）已知直线 $ $l_1\parallell_2$，则实数 $k=$（）。
A。
$-2$B。
$-1$C。
$1$D。
$2$2.（2020·XXX高一月考）直线$l_1:(a-2)x+(a+1)y+4=0$，$l_2:(a+1)x+ay-9=0$ 互相垂直，则 $a$ 的值是（）。
A。
$-0.25$B。
$1$C。
$-1$D。
$1$ 或 $-1$3.（2020·XXX高一月考）直线 $l:(m-1)x-my-2m+3=0$（$m\in R$）过定点 $A$，则点 $A$ 的坐标为（）。
A。
$(-3,1)$B。
$(3,1)$C。
$(3,-1)$D。
$(-3,-1)$4.（2020·广东高二期末）设 $a\in R$，则“$a=1$”是“直线$ax+y-1=0$ 与直线 $x+ay+1=0$ 平行”的（）。
A。
充分不必要条件B。
必要不充分条件C。
充分必要条件D。
既不充分也不必要条件5.（2020·黑龙江高一期末）若曲线 $y=4-x^2$ 与直线$y=k(x-2)+4$ 有两个交点，则实数 $k$ 的取值范围是（）。
A。
$\left[\frac{3}{4},1\right]$B。
$\left[\frac{3}{4},+\infty\right)$C。
$(1,+\infty)$D。
$(1,3]$6.（2020·XXX高三其他）已知直线 $x+y=t$ 与圆$x+y=2t-t^2$（$t\in R$）有公共点，则 $\frac{t(4-t)}{9}$ 的最大值为（）。
2021年人教A版(2019)选择性必修第一册数学第二章_直线与圆的方程单元测试卷高中答案解析
2021年人教A版（2019）选择性必修第一册数学第二章直线与圆的方程单元测试卷（1）一、选择题1. 直线x+y+1=0的倾斜角是( )A.3π4B.2π3C.π4D.π62. 经过点(1,0)且与直线x−2y−2=0平行的直线方程为( )A.x−2y−1=0B.x−2y+1=0C.2x+y−2=0D.2x−y−2=03. 以点(3,−1)为圆心，且与直线x−3y+4=0相切的圆的方程是( )A.(x−3)2+(y+1)2=10B.(x−3)2+(y−1)2=10C.(x+3)2+(y−1)2=10D.(x+3)2+(y+1)2=104. 圆A，圆B，圆C两两外切，半径分别为2，3，10，则△ABC的形状是( )A.等腰三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.直角三角形5. 过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行，则|AB|的值为()A.6B.√2C.2D.不确定6. 若方程x2+y2−2x=m表示圆，则实数m的取值范围为( )A.(−∞, −1)B.(−1, +∞)C.(−∞, 0)D.(0, +∞)7. 已知直线x+2y−4=0与直线2x+my+m+3=0平行，则它们之间的距离为()A.√10B.√5C.3√52D.3√1028. 已知直线l经过点(1,−2)，且与直线2x+3y−1=0垂直，则l的方程为()A.2x+3y+4=0B.2x+3y−8=0C.3x−2y−7=0D.3x−2y−1=09. 两直线l1:mx−y+n=0和l2：nx−y+m=0在同一坐标系中，则正确的图形可能是( )A. B.C. D.10. 圆C1:(x−2)2+(y−2)2=64与C2:x2+y2+2x+4y−4=0的位置关系是( )A.外切B.内切C.相交D.内含11. 已知圆O1:(x−a)2+(y−b)2=4,O2:(x−a−1)2+(y−b−2)2=1(a,b∈R)，那么两圆公切线的条数（）A.0B.1C.2D.312. 已知P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于的解的情况是( )x和y的方程组{a1x+b1y=1，a2x+b2y=1A.无论k，P1，P2如何，总是无解B.无论k，P1，P2如何，总有唯一解C.存在k，P1，P2，使之恰有两解D.存在k，P1，P2，使之有无穷多解二、填空题13. 圆(x+2)2+y2=4与圆(x−2)2+(y−1)2=9的位置关系为________.14. 已知直线y=2x+1与圆x2+y2+ax+2y+1=0交于A，B两点，直线mx+y+ 2=0垂直平分弦AB，则|AB|=________.15. 直线x+y−4=0和直线6x−y−3=0的交点P坐标为________，直线l通过P点且与直线2x+y+1=0平行，则直线l的方程为________.16. 若圆O1:x2+y2=5与圆O2：(x+m)2+y2=20(m>0)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则AB的直线方程为________.三、解答题17. 菱形ABCD中，A(4,−7)，C(−2,3)，BC边所在直线过点P(−3,1)．求：(1)AD边所在直线的方程；(2)BD所在直线方程．18. 如图，在四面体ABCD中，E，H分别是线段AB，AD的中点，F，G分别是线段CB，CD上的点，且CFBF =CGDG=12，求证：(1)四边形EFGH是梯形；(2)AC，EF，GH三条直线相交于同一点.19. 平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x+3)2+y2=4和圆C2：(x−4)2+(y−4)2=4．(1)若直线l过点A(4, −1)，且被圆C1截得的弦长为2√3，求直线l的方程；(2)是否存在一个定点P，使过P点有无数条直线l与圆C1和圆C2都相交，且l被两圆截得的弦长相等，若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20. 已知关于x，y的方程x2+y2−4x+4y+m=0表示一个圆．(1)求实数m的取值范围；(2)若m=4过点P(0,2)的直线l与圆相切，求出直线l的方程．21. 如图，已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标为A(−1, 4)，B(−2, −1)，C(2, 3)．(1)求平行四边形ABCD的顶点D的坐标；(2)在△ACD中，求CD边上的高线所在直线方程．22. 当前台风中心P在某海滨城市O向东100km处生成，并以20km/ℎ的速度向西偏北30∘方向移动，已知距台风中心60km以内的地方都属于台风侵袭的范围．(1)如图取O为原点，OP所在直线为x轴，建立直角坐标系，写出过点P(100,0)，倾斜角为150∘的台风中心所在直线l的参数方程；(2)在(1)的条件下，求海滨城市O受台风侵袭大概持续多长时间？（结果保留一位小数，√11≈3.3)参考答案与试题解析2021年人教A版（2019）选择性必修第一册数学第二章直线与圆的方程单元测试卷（1）一、选择题1.【答案】A【考点】直线的倾斜角【解析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：直线x+y+1=0的斜率k=−1，∴直线x+y+1=0的倾斜角α=3π．4故选A.2.【答案】A【考点】直线的点斜式方程两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：所求直线与直线x−2y−2=0平行，．故所求直线的斜率k=12又直线过点(1,0)，(x−1)，利用点斜式得所求直线的方程为y−0=12即x−2y−1=0．故选A．3.【答案】A【考点】点到直线的距离公式圆的标准方程直线与圆的位置关系【解析】=√10，解：点(3,−1)到直线x−3y+4=0的距离是√1+32所以圆的方程是(x−3)2+(y+1)2=10．故选A．4.【答案】D【考点】直线与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：∵⊙A，⊙B，⊙C两两外切，它们的半径分别为2，3，10，∴AB=2+3=5，BC=3+10=13，AC=2+10=12，∵AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形.故选D．5.【答案】B【考点】两点间的距离公式两条直线平行与倾斜角、斜率的关系【解析】=1，即b−a=1．再利过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行，可得b−a5−4用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：∵过点A(4, a)和B(5, b)的直线与直线y=x+m平行，∴b−a=1，5−4∴b−a=1．∴|AB|=√(5−4)2+(b−a)2=√1+1=√2．故选B．6.【答案】B【考点】圆的一般方程【解析】把圆的一般方程化为标准方程，再根据半径大于零，从而求得实数m的取值范围．【解答】解：把所给的方程化为标准方程为(x−1)2+y2=m+1，得m+1>0，即得m>−1，7.【答案】C【考点】两条平行直线间的距离【解析】根据题意，由直线平行的判断方法可得m的值，进而由平行线间距离公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，直线x+2y−4=0与直线2x+my+m+3=0平行，则有m=2×2=4，则两直线的方程为2x+4y−8=0与直线2x+4y+7=0，则它们之间的距离d=√4+16=3√52.故选C.8.【答案】C【考点】直线的一般式方程两条直线垂直的判定【解析】此题暂无解析【解答】解：设所求直线l的方程为3x−2y+c=0，又直线l经过点(1, −2)，所以3−2×(−2)+c=0，解得c=−7，故直线l的方程为3x−2y−7=0.故选C.9.【答案】B【考点】直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系【解析】无【解答】解：若l1//x轴，则m=0，l2必过原点，故C错误；若l2//x轴，n=0，l1过原点，故m，n均不为0，∴l1：y=mx+n，l2：y=nx+m．A，由图形得，两直线在y轴上的截距均为正，即m>0且n>0，此时两直线斜率应为正，但有一直线斜率为负，故A错误；B，由图形得，两直线在y轴上的截距为一正一负，即m>0且n<0，此时两直线交x轴的值为正值，符合，故B正确；D，由图形得，两直线斜率均为负，即m<0且n<0，但有一直线在y轴上的截距为正，故D错误．故选B．10.【答案】B【考点】圆与圆的位置关系及其判定圆的标准方程与一般方程的转化【解析】分别找出圆心坐标和半径，利用两点间的距离公式，求出两圆心的距离d，然后求出R−r，即可得到两圆的位置关系．【解答】解：圆C1:(x−2)2+(y−2)2=64的圆心坐标为(2, 2)，半径为8；圆C2:x2+y2+2x+4y−4=0化为标准方程得：(x+1)2+(y+2)2=9，故圆心坐标为(−1, −2)，半径为3，∵C1C2=√(−1−2)2+(−2−2)2=5=8−3，∴两圆的位置关系是内切．故选B．11.【答案】C【考点】圆与圆的位置关系及其判定两圆的公切线条数及方程的确定【解析】先判断两圆的位置关系，再根据它们的位置关系可得公切线的条数．【解答】解：由题设有：O1(a,b),r1=2,O2(a+1,b+2),r2=1,故|O1O2|=√(a+1−a)2+(b+2−b)2=√5.因为r1−r2<|O1O2|<r1+r2，故两圆相交，所以两圆的公切线条数为2.故选C．12.【答案】B【考点】方程组解的个数与两直线的位置关系斜率的计算公式【解析】判断直线的斜率存在，通过点在直线上，推出a1，b1，P2，a2，b2的关系，然后求解方程组的解即可．【解答】解：P1(a1, b1)与P2(a2, b2)是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y= kx+1的斜率存在，∴k=b2−b1a2−a1，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1−a1b2=ka1a2−ka1a2+a2−a1=a2−a1，{a1x+b1y=1①a2x+b2y=1②①×b2−②×b1得：(a1b2−a2b1)x=b2−b1，即(a1−a2)x=b2−b1．∴方程组有唯一解．故选B.二、填空题13.【答案】相交【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】求出两圆的圆心和半径，计算两圆的圆心距，将圆心距和两圆的半径之和或半径之差作对比，判断两圆的位置关系．【解答】解：圆(x+2)2+y2=4的圆心C1(−2, 0)，半径r=2．圆(x−2)2+(y−1)2=9的圆心C2(2, 1)，半径R=3，两圆的圆心距d=√(−2−2)2+(0−1)2=√17，R+r=5，R−r=1，R+r>d>R−r，所以两圆相交.故答案为：相交.14.【答案】8√55【考点】直线与圆相交的性质直线和圆的方程的应用【解析】首先利用垂直，得m=12，再利用圆心，确定a=4，结合直线与圆相交的性质，即可求出弦长.【解答】解：由题意可得直线y=2x+1与直线mx+y+2=0垂直，所以2(−m)=−1，所以m=12，因为圆心(−a2,−1)在直线mx+y+2=0上，所以12(−a2)−1+2=0，所以a=4，所以圆x2+y2+ax+2y+1=0的方程可化为(x+2)2+(y+1)2=4，所以圆心为(−2,−1)，半径为2，圆心到直线y =2x +1的距离为d =√5=√5， 所以弦AB 的长为|AB|=2√22−(√5)2=8√55. 故答案为：8√55. 15. 【答案】(1,3),2x +y −5=0【考点】两条直线的交点坐标直线的一般式方程与直线的平行关系【解析】此题暂无解析【解答】解：联立{x +y −4=0，6x −y −3=0，解得P(1,3)， 若直线l 经过点P 且与直线2x +y +1=0平行， 不妨设直线l:y =kx +b ，已知其经过点P(1,3)，且斜率为−2，解得直线l 的方程为2x +y −5=0.故答案为：(1,3)；2x +y −5=0.16.【答案】x =−1【考点】相交弦所在直线的方程【解析】【解答】解：连接O 1A ，O 2A ，由于圆O 1，圆O 2，在点A 处的切线互相垂直，因此O 1A ⊥O 2A ，所以O 1O 22=O 1A 2+O 2A 2，即m 2=5+20=25， 设AB 交x 轴于C 点，在Rt △O 1AO 2中，sin ∠AO 2O 1=√55，在Rt△ACO2中，AC=AO2⋅sin∠AO2O1=2√5×√55=2，所以O1C=1，AB的直线方程为x=−1．故答案为：x=−1．三、解答题17.【答案】解：(1)由题意可知，直线PC的斜率即是BC的斜率.k BC=k CP=3−1−2+3=2，∵ AD//BC，∴k AD=2，∴ 直线AD方程为y+7=2(x−4)，即2x−y−15=0．(2)k AC=3+7−2−4=−53，∵ 菱形对角线互相垂直，∴ BD⊥AC，∴k BD=35，而AC中点(1,−2)，也是BD的中点，∴ 直线BD的方程为y+2=35(x−1)，即3x−5y−13=0．【考点】直线的一般式方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)由题意可知，直线PC的斜率即是BC的斜率.k BC=k CP=3−1−2+3=2，∵ AD//BC，∴k AD=2，∴ 直线AD方程为y+7=2(x−4)，即2x−y−15=0．(2)k AC=3+7−2−4=−53，∵ 菱形对角线互相垂直，∴ BD⊥AC，∴k BD=35，而AC中点(1,−2)，也是BD的中点，∴ 直线BD的方程为y+2=35(x−1)，即3x−5y−13=0．18.【答案】证明：(1)连接BD，∵E，H分别是边AB,AD的中点，∴EH//BD，且EH=12BD，又∵CFCB =CGCD=13，∴FG//BD，且FG=13BD，因此EH//FG且EH≠FG，故四边形EFGH是梯形；(2)由(1)知EF，HG相交，设EF∩HG=K，∵K∈EF，EF⊂ABC平面，∴K∈ABC平面，同理K∈ACD平面，又平面ABC∩ACD平面=AC，∴K∈AC，故EF和GH的交点在直线AC上.所以AC,EF，GH三条直线相交于同一点.【考点】两条直线平行的判定空间中直线与直线之间的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】证明：(1)连接BD，∵E，H分别是边AB,AD的中点，∴EH//BD，且EH=12BD，又∵CFCB =CGCD=13，∴FG//BD，且FG=13BD，因此EH//FG且EH≠FG，故四边形EFGH是梯形；(2)由(1)知EF，HG相交，设EF∩HG=K，∵K∈EF，EF⊂ABC平面，∴K∈ABC平面，同理K ∈ACD 平面，又平面ABC ∩ACD 平面=AC ，∴ K ∈AC ，故EF 和GH 的交点在直线AC 上.所以AC,EF ，GH 三条直线相交于同一点.19.【答案】解：(1)由于直线x =4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y =k(x −4)−1，圆C 1的圆心到l 的距离为d ，所以d =1．由点到直线l 的距离公式得d =√1+k 2，从而k(24k +7)=0所以k =0或k =−724， 所以直线l 的方程为y =−1或7x +24y −4=0．(2)假设存在，设点P 的坐标为P(a, b)，l 的方程为y −b =k(x −a)，因为圆C 1和圆C 2的半径相等，被l 截得的弦长也相等，所以圆C 1和圆C 2的半径相等，到l 的距离相等， 即2=2，整理得：(14a −7)k 2−(8a +14b −32)k +8b −16=0.因为k 的个数有无数多个，所以{14a −7=0，8a +14b −32=0，8b −16=0，解得{a =12，b =2.综上所述，存在满足条件的定点P ，且点P 的坐标为P(12，2)． 【考点】直线和圆的方程的应用【解析】（1）设直线l 的方程为y =k(x −4)−1，再利用圆C 1的圆心到l 的距离、半径、弦长的一半构成的直角三角形求解即可；（2）对于存在性问题，可先假设存在，即假设假设存在，设点P 的坐标为P(a, b)，再利用圆心C 1和圆心C 2到l 的距离相等，求出a ，b 的值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．【解答】解：(1)由于直线x =4与圆C 1不相交，所以直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y =k(x −4)−1，圆C 1的圆心到l 的距离为d ，所以d =1．由点到直线l 的距离公式得d =√1+k 2，从而k(24k +7)=0所以k =0或k =−724，所以直线l 的方程为y =−1或7x +24y −4=0．(2)假设存在，设点P 的坐标为P(a, b)，l 的方程为y −b =k(x −a)，因为圆C 1和圆C 2的半径相等，被l 截得的弦长也相等，所以圆C 1和圆C 2的半径相等，到l 的距离相等， 即2=2，整理得：(14a −7)k 2−(8a +14b −32)k +8b −16=0.因为k 的个数有无数多个，所以{14a −7=0，8a +14b −32=0，8b −16=0，解得{a =12，b =2.综上所述，存在满足条件的定点P ，且点P 的坐标为P(12，2)．20.【答案】解：(1)由x 2+y 2−4x +4y +m =0表示一个圆，则D 2+E 2−4F =16+16−4m >0，解得m <8.(2)当m =4时，圆的方程为x 2+y 2−4x +4y +4=0，即(x −2)2+(y +2)2=4，圆心C(2，−2)，半径r =2，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x =0，此时直线l 与圆心的距离d =2=r ，满足题意；当直线l 斜率存在时，设直线方程为y =kx +2，即kx −y +2=0，由于直线l 与圆(x −2)2+(y +2)2=4相切， 所以22=2， 解得k =−34，所以直线l 的方程为y =−34x +2，综上所述，直线l 的方程为x =0或y =−34x +2. 【考点】直线与圆的位置关系圆的切线方程二元二次方程表示圆的条件点到直线的距离公式【解析】（1）利用D²+E²-4F=16+16-4m>0，求解即可.（2）分斜率存在和不存在两种情况，当直线斜率不存在时，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，即可得到切线方程.【解答】解：(1)由x 2+y 2−4x +4y +m =0表示一个圆，则D 2+E 2−4F =16+16−4m >0，解得m <8.(2)当m =4时，圆的方程为x 2+y 2−4x +4y +4=0，即(x −2)2+(y +2)2=4，圆心C(2，−2)，半径r =2，当直线l 的斜率不存在时，直线方程为x =0，此时直线l 与圆心的距离d =2=r ，满足题意；当直线l 斜率存在时，设直线方程为y =kx +2，即kx −y +2=0，由于直线l 与圆(x −2)2+(y +2)2=4相切， 所以22=2， 解得k =−34，所以直线l 的方程为y =−34x +2，综上所述，直线l 的方程为x =0或y =−34x +2. 21.【答案】解：(1)BA →=(1, 5)，设D(x, y)，则CD →=(x −2, y −3)=(1, 5)，故{x −2=1y −3=5，解得：{x =3y =8， 故D(3, 8)；(2)k CD =8−33−2=5，故CD 的高线的斜率是−15，故所求直线的方程是：y −4=−15(x +1)，即x +5y −19=0．【考点】向量的几何表示待定系数法求直线方程两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】（1）求出向量BA →的坐标，根据BA →=CD →，求出D 的坐标即可；（2）求出CD 的斜率，求出CD 的垂线的斜率，代入点斜式方程即可．【解答】解：(1)BA →=(1, 5)，设D(x, y)，则CD →=(x −2, y −3)=(1, 5)，故{x −2=1y −3=5，解得：{x =3y =8， 故D(3, 8)；(2)k CD =8−33−2=5，故CD 的高线的斜率是−15， 故所求直线的方程是：y −4=−15(x +1)，即x +5y −19=0．22.【答案】解：(1)由直线的参数方程定义，得l 的参数方程为 {x =100−√32t ，y =12t, （t 为参数）．(2)以O 为圆心，60km 为半径作圆O ，当台风中心移动后的位置M 在圆O 内或圆O 上时，城市O 将受到台风侵袭．圆O 的方程为x 2+y 2=602，联立直线的参数方程和圆的普通方程{ x =100−√32t,y =12t,x 2+y 2=602,得t 2−100√3t +6400=0 .t 1+t 2=100√3，t 1⋅t 2=6400，|AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=20√11，则受侵袭时长t =|AB|20=√11≈3.3小时．【考点】直线的参数方程直线与圆相交时的弦长问题【解析】【解答】解：(1)由直线的参数方程定义，得l 的参数方程为 {x =100−√32t ，y =12t, （t 为参数）．(2)以O 为圆心，60km 为半径作圆O ，当台风中心移动后的位置M 在圆O 内或圆O上时，城市O 将受到台风侵袭．圆O 的方程为x 2+y 2=602，联立直线的参数方程和圆的普通方程{ x =100−√32t,y =12t,x 2+y 2=602,得t 2−100√3t +6400=0 . t 1+t 2=100√3，t 1⋅t 2=6400， |AB|=|t 1−t 2|=√(t 1+t 2)2−4t 1t 2=20√11， 则受侵袭时长t =|AB|20=√11≈3.3小时．。
第二章 直线和圆的方程(单元解读)高二数学(人教A版2019选择性必修第一册)
本章选学内容
本章还安排了 1. “方向向量与直线的参数方程” 2. “笛卡儿与解析几何” 3. “坐标法与数学机械化”等选学内容，
目的是拓展学生的知识面，让学生从多种角度 认识直线方程的表示形式，了解解析几何产生的过 程，以及我国数学家吴文俊先生运用坐标法进行几 何定理机器证明的杰出贡献.
1. 用向量方法推导点到直线的距离公式， 2. 以及对直线与直线的方程， 3. 圆与圆的方程之间关系的认识，
坐标法是解析几何最基本的研究方法
• 本章研究直线、圆及其相关问题，用的是坐标法. • 坐标法是解析几何最基本的研究方法， • 它建立了几何与代数之间的联系，体现了数形结 合的思想.
七、本章学业要求
准方程. • 把圆的标准方程展开，得到圆的一般方程. • 圆的标准方程和一般方程是圆的方程的两种形式，它们
各有自己的特点，而且两者之间可以互化.
第5节是“直线与圆、圆与圆的位置关系”.
综合运用直线和圆的方程研究直线与圆、圆与圆的位 置关系，以及一些简单的数学问题和实际问题.
图形之间的位置关系，既可以直观定性描述，也可以 严格定量刻画.定量刻画的方法既可以完全运用代数的方法， 通过运算求解，得到图形之间的位置关系；
第1节“直线的倾斜角与斜率”，
• 通过一点和一个方向确定一条直线，引入直线倾斜角刻画 直线的倾斜程度（方向）；
• 然后通过具体实例，由具体到一般，通过向量法，用直线 上两点的坐标刻画倾斜角；
• 把倾斜角的正切值表示为这两点纵坐标的差与横坐标的 差的商，进而引出直线斜率的概念；
• 建立过两点的直线斜率公式，以及直线的斜率与其方向向 量的关系.由于两条直线平行或垂直取决于它们的方向，所以 由它们斜率的关系可以判断两条直线平行或垂直的位置关系. ’
人教A版(2019)选择性必修第一册第二章直线与圆的方程单元测试
人教A 版（2019）选择性必修第一册第二章直线与圆的方程单元测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．过点（1，-3）且平行于直线x +2y -3=0的直线方程为（ ）A ．270x y --=B ．210x y ++=C ．250x y --=D ．250x y ++= 2．已知圆22460x y x y +-+=的圆心坐标为(),a b ，则22a b +=（ ） A ．8 B ．16 C ．12 D ．13 3．若圆22:2430C x y x y ++-+=关于直线620ax by ++=对称，则由点(),a b 向圆所作的切线长的最小值是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．64．两平行直线12,l l 分别过点()()1,3,2,1P Q --，它们分别绕,P Q 旋转，但始终保持平行，则12,l l 之间的距离的取值范围是（ ）A ．()0,∞+B ．[]0,5C ．(]0,5 D．( 5．已知倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，则sin θ=（ ） A．5-BC． D6．已知，直线1111:0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=平行 ，则（ ）A ．1122A B A B = B ．1221A B A B =且1221A C A C ≠ C ．111222A B C A B C =≠ D ．12120A A B B += 7．已知点()1,2P ，点M 是圆()2211:14O x y -+=上的动点，点N 是圆()2221:24O x y +-=上的动点，则PN PM -的最大值是（ ） A1 B ．0 C ．1 D ．28．已知点(,)M a b ，0a >，0b >是圆22:1C x y +=内一点，直线1ax by +=，1ax by +=-，1ax by -=，1ax by -=-围成的四边形的面积为S ，则下列说法正确的是（ ）A ．4S >B ．4S ≥C ．4S <D ．4S ≤ 9．圆()()22141x y +--=关于直线y x =称的圆是（ ）A ．()()22141x y --+=B ．()()22411x y --+=C ．()()22411x y +--=D ．()()22141x y ---= 10．过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（,a b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（ ）A ．0,5⎡+⎣B ．5⎡⎤⎣⎦C ．5,5⎡+⎣D ．5⎡⎣二、填空题 11．已知A 是圆221:1C x y +=上的动点，B 是圆()()222:341C x y -+-=上的动点，则AB 的取值范围为___________.12．已知直线l 与圆2240x y y +-=相交于A ，B 两点，且线段AB 的中点P 坐标为(1,1)-，则直线l 的方程为________.13．经过直线2370x y +-=与71510x y ++=的交点，且平行于直线2430x y +-=的直线方程是___________.三、双空题14．圆224240x y x y ++-+=上的点到直线1y x =-的最近距离为___________，最远距离为___________.15．过点32P ⎛ ⎝⎭的直线l 与圆()22:14C x y -+=交于A ,B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为_________________，此时ACB =∠___________．16．已知直线l ：mx ﹣y ＝1，若直线l 与直线x +m （m ﹣1）y ＝2垂直，则m 的值为_____，动直线l ：mx ﹣y ＝1被圆C ：x 2﹣2x +y 2﹣8＝0截得的最短弦长为_____．17．已知半径为5的动圆C 的圆心在直线:100l x y -+=上.若动圆C 过点()5,0-，求圆C 的方程___________，存在正实数r =___________，使得动圆C 中满足与圆222:O x y r +=相外切的圆有且仅有一个.四、解答题18．已知()()()24,02,22,ABC A B C BC ∆--的顶点为，，，边上的中线,AM BC 边上的高为AD .求（1）中线AM 的方程；（2）高.AD AD 所在直线的方程及高的长19．下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长.（1）227205x y y -++=；（2）22670x xy y x y -+++=；（3）2220x y x +++=；（4）220x y x +-=.20．在平面直角坐标系xOy 中, 曲线265y x x =-+与坐标轴的交点都在圆C 上． （Ⅰ）求圆C 的方程；（Ⅱ）若圆C 与直线0x y a -+=交于A,B 两点，且,CA CB ⊥求a 的值．21．已知直线l 经过点(6,4)P ，斜率为k（Ⅰ）若l 的纵截距是横截距的两倍，求直线l 的方程；（Ⅱ）若1k =-，一条光线从点(6,0)M 出发，遇到直线l 反射，反射光线遇到y 轴再次反射回点M ，求光线所经过的路程．22．已知圆22:144O x y +=与圆221:302601O x x y ++=+，试判断两圆的位置关系，并求两圆公切线的方程.参考答案1．D【分析】由题意可先设所求的直线方程为x +2y+c=0再由直线过点（1，﹣3），代入可求c 的值，进而可求直线的方程【详解】由题意可设所求直线方程为x +2y+c=0，∵直线过点（1，–3），代入x +2y+c=0可得1–6+c=0，解得c=5，∴所求直线方程为x +2y+5=0，故选D ．【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，解决本题的关键根据直线平行的条件设出所求的直线方程x +2y+c=0．2．D【解析】由圆的标准方程可知圆心为()2,3-，即2213a b +=. 故选D.3．C【分析】由题意圆C 的圆心()1,2-在直线620ax by ++=上，可得2260a b -++=，即点(),a b 在直线:30l x y -++=上，过点作圆C 的切线，切点为E ，则DE ==只需CD 最短，可得答案.【详解】由将圆C 的方程化为标准方程为：()()22122x y ++-=，圆心为()1,2-，因为圆C 关于直线620ax by ++=对称，所以圆心位于该直线上，将圆心坐标代入直线方程中，有2260a b -++=，即点(),a b 在直线:30l x y -++=上，设(),D a b ，过点作圆C 的切线，切点为E则DE ==要使得切线DE 长最短，则只需CD 最短.CD 的最小值为过点C 作直线:30l x y -++=的垂线.此时CD ==CE r =所以根据勾股定理，得4DE ==.故选：C【点睛】本题考查了求圆的切线长,解题关键是掌握圆的定义和圆切线的长的求法,,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.4．C【分析】先判断当两直线1l ，2l 与直线PQ 垂直时，两平行直线1l ，2l 间的距离最大，计算得到最大值，进而得到范围.【详解】5PQ ==当1PQ l ⊥时，1l 与2l 的最大距离为5，因为两直线平行，则两直线距离不为0，故选：C.【点睛】本题考查了直线间的距离，判断垂直时距离最大是解题的关键，属于基础题.5．D【分析】倾斜角为θ的直线l 与直线230x y +-=垂直，利用相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式即可得出结果.【详解】解：因为直线l 与直线230x y +-=垂直，所以1tan 12θ⎛⎫⋅-=- ⎪⎝⎭，tan 2θ=.又θ为直线倾斜角，解得sin θ. 故选：D.【点睛】 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系，同角三角函数基本关系式，考查计算能力，属于基础题.6．B【分析】将两条直线中x 的系数化为相同，根据条件则y 的系数相等，常数不同.【详解】与直线1111:0l A x B y C ++=可以化为1212120A A x B A y C A ++=而直线2222:0l A x B y C ++=可化为1212120A A x A B y AC ++=直线1111: 0l A x B y C ++=与直线2222:0l A x B y C ++=平行所以1221A B A B =且1221A C A C ≠.故选：B【点睛】本题考查两直线平行的条件的探索，属于基础题.7．B【分析】 要求PN PM -的最大值，则只需要求出PN 的最大值，PM 的最小值即可.【详解】圆1O 的圆心()11,0O ，半径12r =， 圆2O 的圆心()20,2O ，半径12R =， 则PN 的最大值为112+，PM 的最小值为122-， 则PN PM -的最大值为1112022⎛⎫+--= ⎪⎝⎭.故选：B【点睛】本题主要考查两点间距离的应用，利用点和圆的位置关系，数形结合是解决本题的关键. 8．A【分析】首先根据第一象限内的点(,)M a b 在圆22:1C x y +=内,从而求得221a b +<，根据直线的对称性，可知四边形是直线1ax by +=与坐标轴围成的三角形的面积的四倍，结合三角形的面积公式以及重要不等式求得结果.【详解】由已知221a b +<，四条直线围成的四边形面积224442S ab a b =≥>+，故选A. 【点睛】该题考查的是有关四边形的面积的问题，涉及到的知识点有点与圆的位置关系，四边形的分解，三角形的面积公式，重要不等式，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.9．B【分析】求出圆心关于直线y x =对称即可.【详解】圆心()1,4-关于直线y x =的对称点为()41-,，半径不变，∴所求圆的方程为()()22411x y -+-=.故选：B【点睛】本题考查圆关于直线的对称的圆的方程，考查点关于直线的对称点，属于基础题. 10．D【详解】 ()220ax a b y b +++=,整理为：(2)(2)0a x y b y +++=得直线恒过点Q （1，-2），画出图象可知90PMQ ∠=或者M 与P,Q 之一重合，PQ =故点M 在以PQ 为直径的圆上运动，设该圆的圆心为F ，则线段MN 满足的范围为FN MN FN ≤≤+所以：MN 的取值范围是5⎡⎣故选：D11．[]3,7【分析】 先求解两个圆心的距离，结合圆的半径，可求AB 的取值范围.【详解】由题意圆1C 的圆心为()0,0，半径为1；圆2C 的圆心为()3,4，半径为1； 易知125C C =且两圆外离，所以5252AB -≤≤+， 即37AB ≤≤.故答案为：[]3,7.【点睛】本题主要考查圆与圆的关系，求出圆心距及半径是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.12．0x y +=.【分析】由圆的方程，得到圆心C 的坐标，由圆的特征可得：AB CP ⊥ ，从而可求出直线l 的斜率，再由直线过点P ，即可得出直线方程.【详解】因为圆2240x y y +-=的圆心坐标为(0,2)C ，又点P 坐标为(1,1)-，所以直线CP 的斜率为21101CP k -==+； 又因为AB 是圆的一条弦，P 为AB 的中点，所以AB CP ⊥，故1AB k =-，即直线l 的斜率为1-，因此，直线l 的方程为1(1)y x -=-+，即0x y +=.故答案为0x y +=【点睛】本题主要考查直线与圆位置关系，以及由弦中点坐标，求弦所在直线方程的问题，属于常考题型.13．362x y 0+-=【分析】先求出两相交直线的交点，设出所求直线的方程为20x y m ++=，根据交点在直线上，求出直线方程.联立方程组可知2370x y +-=与71510x y ++=的交点，为1712,3⎛⎫-⎪⎝⎭， 设所求直线为20x y m ++=， 则1712203m ⎛⎫+⨯-+= ⎪⎝⎭，23m =-. 所以直线方程为2203x y +-=，即362x y 0+-= 故答案为： 362x y 0+-=【点睛】本题考查求两直线的交点坐标，考查两直线平行的直线的方程的设法．属于基础题. 14．11【分析】把圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径r ，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d ，求出d r -即为所求的距离最小值，d r +即为所求的距离最大值.【详解】解：圆224240x y x y -+--=的方程化为标准方程得：()()22211x y ++-=， 圆心坐标为()2,1-，半径1r =.圆心到直线1y x =-的距离d ==所以所求的最近距离为1d r -=，最远距离为1d r +=.故答案为：1；1.【点睛】本题考查了圆的方程及性质，点到直线的距离公式，考查运算求解能力，转化思想，属于基础题.15．30x -= 23π利用当∠ACB 最小时，CP 和AB 垂直，求出AB 直线的斜率，用点斜式求得直线l 的方程．【详解】圆C ：()2214x y -+=的圆心为C （1，0）， 当∠ACB 最小时，CP 和AB 垂直，∴AB312-用点斜式写出直线l 的方程为yx ﹣32），即30x +-=，1CP ==，∴1cos ACP 2CP AC ∠==， ∴ACP 3π∠=，即23ACB π∠= 故答案为：30x +-= ，23π． 【点睛】本题考查用点斜式求直线方程的方法，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．判断当∠ACB 最小时，CP 和AB 垂直是解题的关键．16．0或2【分析】直接由直线垂直与系数的关系列式求得m 值；化圆的方程为标准方程，作出图形，数形结合求解．【详解】由题意，直线mx ﹣y ＝1与直线x+m （m ﹣1）y ＝2垂直，所以m×1+（﹣1）×m（m ﹣1）＝0，解得m ＝0或m ＝2；动直线l ：mx ﹣y ＝1过定点（0，﹣1），圆C ：x 2﹣2x+y 2﹣8＝0化为（x ﹣1）2+y 2＝9，圆心（1，0）到直线mx ﹣y ﹣1＝0= 所以动直线l ：mx ﹣y ＝1被圆C ：x 2﹣2x+y 2﹣8＝0截得的最短弦长为=． 故答案为0或2；【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟记直线与圆的位置关系，以及圆的弦长公式，准确求解是解答的关键，着重考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．.17．()221025x y ++=或()()225525x y ++-=5【分析】由题意设动圆C 的方程为：()()2225x a y b -+-=，圆心(),a b 满足100a b -+=，动圆过点()5,0-，则()()225025a b --+-=，可求出圆的方程；由圆O 的圆心()0,0到直线l的距离d ==5r d +=时满足条件..【详解】 依题意，可设动圆C 的方程为：()()2225x a y b -+-=其中圆心(),a b 满足100a b -+=. 又动圆过点()5,0-，()()225025a b ∴--+-=， 解方程组()()221005025a b a b -+=⎧⎪⎨--+-=⎪⎩， 可得100a b =-⎧⎨=⎩或55a b =-⎧⎨=⎩，故所求圆C 的方程为： ()221025x y ++=或()()225525x y ++-=. 由圆O 的圆心()0,0到直线l的距离d ==当满足5r d +=时，即5r =时，动圆C 中有且仅有1个圆与圆222:O x y r +=相外切.故答案为：()221025x y ++=或()()225525x y ++-=；5【点睛】本题考查求圆的方程，考查两圆的位置关系，属于中档题.18．（1）4340x y -+=(12)x -≤≤；（2）x-2y+6=0，【分析】（1）求出中点M 的坐标后可以直线AM 的两点式方程，整理后可得一般方程. （2）求出BC 的斜率后可以直线AD 的斜率，从而得到直线AD 的方程，而AD 就是A 到直线BC 的距离，利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】解：（1）设点M 的坐标为(),x y ，因为点M 是线段BC 中点， 所以20221,022x y -+-==-==即点M 的坐标为()1,0-， 由两点式得AM 所在直线方程为1421y x +=+即4340x y -+= 所以中线AM 的方程为：4340x y -+= ()12x -≤≤.（2）直线BC 的斜率为：2BC k =-，因为AD BC ⊥，所以112AD BC k k =-=， 所以AD 所在直线方程是()1422y x -=-即260x y -+=. 直线BC 的方程为：220x y ++=，因为AD 就是A 点到直线BC 的距离，所以由点到直线的距离公式得AD ==【点睛】直线有斜率、倾斜角或其所过之点共三种几何要素，知道两个点或一个点及斜率（或倾斜角）都可以求出直线的方程，解题中注意分析题设中已知的条件再选择合适的计算途径来计算直线的方程.19．（1）不表示圆；（2）不表示圆；（3）不表示圆；（4）表示圆，圆心坐标为1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径12r =. 【分析】根据圆的一般方程的条件，对各个题进行逐一判断．【详解】（1）227205x y y -++=中，2x 与2y 的系数不同，故原方程不表示圆.（2）22670x xy y x y -+++=中含有xy 项，故原方程不表示圆.（3）2218704D F E +=-=--<，∴原方程不表示圆. （4）()2224110F D E --+==>， ∴方程表示圆，圆心坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 即1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径12r ==. 【点睛】本题考查二元二次方程表示圆的方程的条件，属于基础题．20．（Ⅰ）22(3)(3)13x y -+-=；（Ⅱ）a =【详解】（Ⅰ）曲线y ＝x 2﹣6x +5与坐标轴的交点为A （0，5），B （1，0），C （5，0）， 设圆C 的方程x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0，则2550102550E F D F D F ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得：665D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，故圆C 的方程为：x 2+y 2﹣6x ﹣6y +5＝0（Ⅱ）由CA ⊥CB 得△ABC 为等腰直角三角形，|AB|=d == 解得：a21．（1）:230l x y -=或:2160l x y +-=；（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）由条件求得直线l 的点斜式方程，求得纵截距和横截距，列方程可求得斜率k ，即可得到直线的方程；（Ⅱ）先求得点M 关于l 的对称点为()10,4，由反射的原理可得光线所经过的路程为2M M ，由两点间的距离公式求解即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得0k ≠．直线l 的方程为()()4664y k x y k x -=-=-+，即，令0x =，得64y k =-+令0y =，得46x k=-+ ∵l 的纵截距是横截距的两倍46426k k ⎛⎫∴-+=-+ ⎪⎝⎭解得23k =或2k =- ∴直线()2643l y x =-+的方程为或()264y x =--+， 即230x y -=或2160x y +-=（Ⅱ）当1k =-时，直线100l x y +-=的方程为，设点M 关于l 的对称点为()1,M a b ， 则1661002b a a y ⎧=⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得4b ⎨=⎩， ()110,4M ∴点的坐标为，()110,4M ∴关于y 轴的对称点为()210,4M -∴光线所经过的路程为2||M M ==点睛：（1）第一问中容易忽视直线过原点的情形；（2）光的反射的问题实际上就是解析几何中的对称问题，由对称的特点，结合垂直、平分可得一对对称点的坐标之间的关系，然后在根据反射原理将光线所经过的路程转化为两点间的距离求解．22．外切，34600x y -+=，34600x y ++=，12x =-.【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆与圆的位置关系即可判断.【详解】由222:12O x y +=与圆()2221:153O x y ++=可知11215OO r r ===+， ∴圆O 与圆1O 外切，从而可知，两圆有3条公切线.如图，设两圆的外公切线AB 与x 轴相交于(),0P x ， 由相似三角形易知11123PO OA PO O B ==， 即415x x-=--，解得20x =-， 故知()20,0P -，所以16AP ==， ∴外公切线AB 的斜率123164AB k ==， 故两圆的三条公切线方程为：()3204y x =+，()3204y x =-+，12x =-，即34600x y -+=，34600x y ++=，12x =-.【点睛】本题主要考查了圆与圆的位置关系，以及两圆公切线的求解，属于中档题.。
人教A版高中数学选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (1)(含答案解析)
选修一第二章《直线和圆的方程》提高训练题 (1)一、单选题1．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，P 、Q 分别为面1111D C B A 和线段1B C 上的动点，则EPQ △周长的最小值为（ ）A ．BC ．D ．2．已知直线l 过定点()0,1，则“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．一束光线，从点A (-2，2)出发，经x 轴反射到圆C ：()()22331x y -+-=上的最短路径的长度是（ ）A ．1B ．1C ．1D ．14．已知圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称，则直线方程为（ ） A ．1y x =-+ B ．1y x =+ C ．2y x =-+ D ．2y x =+5．已知点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积是（ ）A ．πB ．2π+C ．1π+D ．4π+6．已知点(7,3)P ，Q 为圆22:210250M x y x y +--+=上一点，点S 在x 轴上，则||||SP SQ +的最小值为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．107．已知直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，则41b c+的最小值是（ ）. A ．9 B ．8 C ．4 D ．28．在[2-，2]上随机取一个数k ，则事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为（ ） A ．14B ．12C ．23D ．349．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:29C x y -+=，,E F 是直线:2l y x =+上的两点，若对线段EF 上任意一点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得cos 0APB ∠≤，则线段EF 长度的最大值为（ ）A ．2BC ．D ．4二、多选题10．定义点()00,P x y 到直线l :()2200ax by c a b ++=+≠的有向距离为=d 已知点12,P P 到直线l 的有向距离分别是12,d d .以下命题不正确的是（ ） A ．若121d d ==，则直线12PP 与直线l 平行 B ．若11d =，21d =-，则直线12PP 与直线l 垂直 C ．若120d d +=，则直线12PP 与直线l 垂直 D ．若120d d ⋅≤，则直线12PP 与直线l 相交11．已知直线l ：20ax y +-=与C ：()()2214x y a -+-=相交于,A B 两点，若△ABC 为钝角三角形，则满足条件的实数a 的值可能是（ ） A ．12B ．1C ．2D ．412．已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论正确的是（ ） A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0，1)和B (－1，0)C ．不论a 为何值时，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，则|MO |13．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ．点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =D ．C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为114．已知点P 在圆C ：()()22455x y -+-=上，点()4,0A ，()0,2B ，则下列说法中正确的是（ ）A ．点P 到直线AB 的距离小于6 B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．cos APB ∠的最大值为45D ．APB ∠的最大值为2π 15．（多选题）下列说法正确的是（ ）A ．直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是2B ．过()()1122,,,x y x y 两点的直线方程为112121y y x x y y x x --=-- C ．点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(0,2)D ．经过点(3,4)P ，且在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线条数共有6条三、填空题16．如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点()1,0P 作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点，当AB 的中点C 恰好落在直线12y x =上时，则直线AB 的方程是______．17．已知点Q 是直线l ：40x y --=上的动点，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，18．已知直线:l y x b =+，曲线:C y b 的取值范围是______． 19．已知()3,1A -，()5,2B -，点P 在直线0x y +=上，若使PA PB +取最小值，则点P 的坐标是___________.20．已知圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，且与直线20x y -=相交于,A B 两点，若AB 4=，则实数m =___________.21．已知直线l 经过点()4,3P ，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程______． 22．已知(),P x y 为圆221x y +=上的动点，则3410x y ++的最大值为________．23．设点P (x ，y )是圆C ：x 2+(y -2)2=1上的动点，定点A (1，0)，B (－1，0)，则PA PB ⋅的最大值为_____24．已知(),0C m ，若以C 为圆心的圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ，则圆C 的标准方程是______．25．点P 在曲线21y x =+上，当点P 到直线25y x =-的距离最小时，P 的坐标是______. 26．已知直线:(1)(1)(3)0l m x m y m ++-+-=，则原点到直线l 的距离的最大值等于___________. 27．已知复数z 满足1i z z -=-（其中i 为虚数单位），则2i z +-的最小值为________． 28．设直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈与圆222(1)(0)x y r r -+=>交于A ，B 两点，C 为圆心，当实数m 变化时，ABC 面积的最大值为4，则2mr =______.29．圆2221: 290C x y ax a +++-=和圆2222: 4140C x y by b +--+=只有一条公切线，若a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，则2241a b +的最小值为___________. 30．阿波罗尼斯（古希腊数学家，约公元前262—190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数k （0k >且1k ≠）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有ABC ，6AC =，sin 2sin C A =，则当ABC 的面积最大时，BC 的长为______.四、解答题31．已知点(P 在以坐标原点为圆心的圆O 上，直线1l 0y +-=与圆O 相交于A ，B 两点，且A 在第一象限（1）求圆O 在点P 处的切线方程；（2）设()()000,1Q x y x ≠±是圆O 上的一个动点，点Q 关于原点O 的对称点为1Q ，点Q 关于x 轴的对称点为2Q ，如果直线1AQ ，2AQ 与y 轴分别交于()0,m 和()0,n 两点，问mn 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.32．已知点()1,3M ，圆C ：()()22214x y -++=.（1）若直线l 过点M ，且被圆C 截得的弦长为l 的方程；（2）设O 为坐标原点，点N 在圆C 上运动，线段MN 的中点为P ，求点P 的轨迹方程. 33．已知圆C ：22230x y x ++-=.（1）求斜率为1且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）已知点()4,0A ，()0,4B ，P 是圆C 上的动点，求ABP △面积的最大值.34．以三角形边BC ，CA ，AB 为边向形外作正三角形BCA '，CAB '，ABC '，则AA '，BB '，CC '三线共点，该点称为ABC 的正等角中心．当ABC 的每个内角都小于120º时，正等角中心点P 满足以下性质： （1）120APBAPC BPC ；（2）正等角中心是到该三角形三个顶点距离之和最小的点（也即费马点）．35．在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的长AB 为2，宽AD 为1，AB ，AD 边分别为x 轴正半轴，y 轴正半轴，以A 为坐标原点，将矩形折叠，使A 点落在线段DC 上(包括端点).（1）若折痕所在直线的斜率为k ，求折痕所在直线方程；（2）当20k -+≤≤时，求折痕长的最大值；（3）当21k -≤≤-时，折痕为线段PQ ，设()221t k PQ =-，试求t 的最大值36．已知圆C 经过()2,4，()1,3两点，圆心C 在直线10x y -+=上，过点()0,1A 且斜率为k 的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点. （1）求圆C 的方程；（2）若12OM ON ⋅=（O 为坐标原点），求直线l 的方程. 37．如图，已知圆()22:19M x y -+=，点()2,1A -．（1）求经过点A 且与圆M 相切的直线l 的方程；（2）过点()3,2P -的直线与圆M 相交于D 、E 两点，F 为线段DE 的中点，求线段AF 长度的取值范围．38．已知直线l ：450x ay +-=与直线l ′：20x y -=相互垂直，圆C 的圆心与点(2，1)关于直线l 对称，且圆C 过点M (-1，-1)． （1）求直线l 与圆C 的方程．（2）过点M 作两条直线分别与圆C 交于P ，Q 两点，若直线MP ，MQ 的斜率满足k MP ＋k MQ =0，求证：直线PQ 的斜率为1．39．已知直线l ：10x y -+=，点()12，A --． （1）求过点A 且与l 垂直的直线方程； （2）求点A 关于直线l 的对称点A '的坐标；40．已知直线180l mx y n ++=：，直线2210l x my +-=：，12//l l ()(00)A m n m n >>，，的直线l 被1l 、2l（1）A 点坐标； （2）直线l 的方程．41．已知点(1,0),(4,0)A B ，曲线C 上任意一点P 满足2PB PA =． （1）求曲线C 的方程；（2）设点(3,0)D ，问是否存在过定点Q 的直线l 与曲线C 相交于不同两点E ，F ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分∠EDF ，若存在，求出Q 点坐标，若不存在，请说明理由．42．已知在平面直角坐标系xOy 中，点()30A -,. （1）设动点(),M x y ，满足2=MA MO ，求动点M 的轨迹C 的方程； （2）已知Q 点的坐标为()3,3-，求过点Q 且与C 相切的直线方程.43．已知圆C 经过两点(1,3),(3,1)P Q ---，且圆心C 在直线240x y +-=上，直线l 的方程为(1)2530k x y k -++-=．（1）求圆C 的方程；（2）证明：直线l 与圆C 一定相交； （3）求直线l 被圆C 截得的弦长的取值范围．44．如图直线l 过点(3，4)，与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，AOB 的面积为24.点P 为线段AB 上一动点，且//PQ OB 交OA 于点Q .（1）求直线AB 斜率的大小； （2）若APQ 的面积APQS与四边形OQPB 的面积OQPB S 满足：13APQ OQPB S S =△时，请你确定P 点在AB 上的位置，并求出线段PQ 的长；（3）在y 轴上是否存在点M ，使MPQ 为等腰直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.45．已知ABC 的三个顶点()30A -，，2(3)B -，，(01)C ，. （1）求ABC 外接圆的方程； （2）求ABC 内切圆的方程.46．已知曲线22:20(1,2,)n C x nx y n -+==.从点(1,0)P -向曲线n C 引斜率为(0)n n k k >的切线n l ，切点为(),n n n P x y .（1）求切点1P 坐标和切点n P 的坐标；（2）已知()f x x x =在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭n n x y <.47．如果()2,0A ，()1,1B ，()1,1C -，()2,0D -，CD 是以OD 为直径的圆上一段圆弧，CB 是以BC 为直径的圆上一段圆弧，BA 是以OA 为直径的圆上一段圆弧，三段弧构成曲线Ω，（1）求AB 所在圆与CB 所在圆的公共弦方程； （2）求CB 与BA 的公切线方程.48．如图所示，甲船由A 岛出发向北偏东45︒的方向做匀速直线航行，速度为/小时，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40海里处的B 岛出发，朝北偏东1tan 2θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭的方向作匀速直线航行，速度为/小时.（1）求出发后3小时两船相距多少海里？ （2）求两船出发后多长时间距离最近？49．已知圆()22:11M x y -+=，15,22A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,B t ，()()0,404C t t -<<，直线,PB PC 都是圆M 的切线，且点P 在y 轴右侧.（1）过点A 的直线l 被圆M l 的方程； （2）当1t =时，求点P 的横坐标； （3）求PBC 面积的最小值.五、双空题50．已知直线1:30l x y -+=，2:20l x y +=相交于点A ，则点A 的坐标为_________，圆22:+C x y 2410x y -++=，过点A 作圆C 的切线，则切线方程为__________.【答案与解析】1．B 【解析】先分析出P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，过P 作在平面BCC 1B 1的投影P ',连接,P Q P E '',则,PQ P Q PE P E ''>>,所以只有P 在B 1C 1上时,△PEQ 的周长更短.过E 点作关于B 1C 1的对称点N ,关于B 1C 的对称点M ,则,EQ MQ EP NP ==，把△PEQ 的周长转化为PQ PN QM ++，当,,,N P Q M 共线时，周长最短，即可求解.所以△PEQ 的周长可以转化为PQ PN QM ++. 当,,,N P Q M 共线时，周长最短.则=PQ PN QM MN ++.因为E 为中点,所以111,1C N C E CM CE ====，所以△PEQ 的周长为MN即EPQ △. 故选:B距离的计算方法有两类：（1）几何法：利用几何图形求最值；（2）代数法：把距离表示为函数，利用函数求最值. 2．B 【解析】首先根据题意求直线l ，再判断充分，必要条件. 当直线斜率存在时，直线l 的方程是1y kx =+，圆心()2,0到直线10kx y -+=的距离2d =，解得：34k =，当直线斜率不存在时，直线l 的方程是0x =与圆()2224x y -+=相切，综上可知，“直线l 与圆()2224x y -+=相切”是“直线l 的斜率为34”的必要不充分条件.故选：B 3．A 【解析】求出点A 关于x 轴对称点A '，再求点A '与圆C 上的点距离最小值即可. 依题意，圆C 的圆心(3,3)C ，半径1r =，点A (-2，2)关于x 轴对称点(2,2)A '--，连A C '交x 轴于点O ，交圆C 于点B ，如图，圆外一点与圆上的点距离最小值是圆外这点到圆心距离减去圆的半径，于是得点A '与圆C 上的点距离最小值为1A B A C r ''=-=1=， 在x 轴上任取点P ，连,,AP A P PC '，PC 交圆C 于点B '，而,AO A O AP A P ''==，AO OB A O OB A B A C r A P PC r AP PB '''''+=+==-≤+-=+，当且仅当点P 与O 重合时取“=”，所以最短路径的长度是1. 故选：A 4．D 【解析】本题首先可求出两圆的圆心，然后根据题意得出直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直，最后根据直线的点斜式方程即可得出结果. 224x y +=，圆心为()0,0，半径为2，224440x y x y ++-+=，即()()22224x y ++-=，圆心为()2,2-，半径为2，因为圆224x y +=和圆224440x y x y ++-+=关于直线l 对称， 所以直线l 过两圆心连接而成的线段的中点且互相垂直， 则直线l 过点()1,1-，斜率112020k，故直线方程为11y x -=+，即2y x =+， 故选：D. 5．A 【解析】根据题意S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，当α取遍任何实数时，点集S 对应的图形如图，为矩形与两个半圆的组合图形，从而可得答案. 根据题意，点集()()(){}2222,cos sin 1,S x y x y R ααα=-+-≤∈，S 中的元素组成以()22cos ,sin αα为圆心的圆心，半径为1的圆及其内部，设M ()22cos ,sin αα又由22220cos 10sin 1sin cos 1a a αα⎧≤≤⎪≤≤⎨⎪+=⎩，则圆心M 在线段()101x y x +=≤≤上，则点集S 对应的图形如图，为矩形ABCD 与两个半圆的组合图形， 其中AB＝2，BC ，则当α取遍任何实数时，S 所扫过的平面区域面积S＝2ππ=；故选：A ．6．C【解析】本题目是数形结合的题目，根据两点之间线段最短的原则，可以将SP 转换为'SP ，连接'MP ，找到S 点的位置，从而求出线段和的最小值将圆方程化为标准方程为：()()22151x y -+-=，如下图所示：作点(7,3)P 关于x 轴的对称点'(7,3)P -，连接'MP 与圆相交于点Q ，与x 轴相交于点S ，此时，||||SP SQ +的值最小，且'''||||||||SP SQ SP SQ P Q P M r +=+==-，由圆的标准方程得：M 点坐标为()1,5，半径1r =，所以'10P M ==，'9P M r -=，所以||||SP SQ +最小值为9 故选：C 7．A 【解析】直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．解：圆22250x y y +--= 即22(1)6x y +-=，表示以(0,1)C 的圆． 由于直线()10,0ax by c b c ++-=>经过圆22250x y y +--=的圆心，故有1b c +=．∴()()5414152494c b c b b c b cb c +=+=++++= 当且仅当223b c ==时，取等号， 故41b c+的最小值为9， 故选：A ． 8．B 【解析】先求出直线与圆有公共点的k 值区间，再利用几何概型即可求出概率.显然，圆(224x y -+=的圆心坐标为0)，半径为2，直线y kx =与圆(224x y -+=2≤，解得11k -≤≤，在[2-，2]上随机取一个数k 的试验的全部结果构成的区间长度为4，“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”的事件A 的区间长度为2，于是得21()42P A ==，事件“直线y kx =与圆(224x y -+=有公共点”发生的概率为12.故选：B 9．C 【解析】设圆的切线为PM 、PN ，由cos 0APB ∠≤得90APB ∠≥，即90MPN ∠≥， 再求得PC 的取值范围，求得点P 的坐标，即可求得EF 的最大值． 由题意，圆心到直线:2l y x =+的距离为3d =<（半径）故直线l 和圆相交；当点P 在圆外时，从直线上的点向圆上的点连线成角， 当且仅当两条线均为切线时，APB ∠才是最大的角，不妨设切线为PM ，PN ，则由cos 0APB ∠≤， 得90APB ∠≥， 90MPN ∴∠≥；当90MPN ∠=时，32sin sin 452MPC PC ∠===，PC ∴=设()00,2P x x +，PC ==解得：0x =设())2,2E F，如图，EF 之间的任何一个点P ，圆C 上均存在两点,A B ，使得90APB ∠≥，线段EF 长度的最大值为EF ==故选：C 10．BCD 【解析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可 设()111,P x y , ()222,P x y ,选项A, 若121d d ==, 则1122ax by c ax by c ++=++=则点12,P P 在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线12PP 与直线l 平行, 所以正确;选项B, 点12,P P 在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等, 直线12PP 不一定与l 垂直, 所以错误; 选项C, 若120d d ==, 满足120d d +=, 即11220ax by c ax by c ++=++=, 则点12,P P 都在直线l 上, 所以此时直线12PP 与直线l 重合, 所以错误; 选项D, 若120d d ⋅≤, 即()()11220ax by c ax by c ++++≤, 所以点12,P P 分别位于直线l 的两侧或在直线l 上, 所以直线12PP 与直线l 相交或重合, 所以错误. 故选：BCD 11．AC 【解析】根据ABC 的形状先判断出CAB ∠的大小，然后结合圆心到直线的距离d 以及sin CAB ∠的取值范围求解出a 的取值范围.由题意，圆C 的圆心为()1,a ，半径为2r，由于△ABC 为等腰三角形，若该三角形为钝角三角形，则045CAB ︒<∠<︒， 设圆心C 到直线l 的距离为d，则d =则0sin 2d CAB r <∠==<， 且直线不经过圆心，即20a a +-≠，整理可得24101a a a ⎧-+<⎨≠⎩，解得22a <<+，且1a ≠.所以()(21,2a ∈⋃. 故选：AC. 12．ABD 【解析】对A ，根据斜率相乘为1-可判断；对B ，可直接求出定点可判断；对C ，取特殊的点代入即可判断；对D ，联立直线求出交点即可表示出MO 即可求出最值.对于A ，1(1)0a a ⨯+-⨯=恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确；对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立，所以l 1恒过定点A (0，1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1，0)，故B 正确． 对于C ，在l 1上任取点(,1)x ax +，关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为(1,)ax x ---，代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不等于0，故C 不正确；对于D ，联立1010ax y x ay -+=⎧⎨++=⎩，解得221111a x a a y a --⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩，即2211,11a a M a a ---+⎛⎫ ⎪++⎝⎭，所以MO MO，故D 正确. 故选：ABD. 13．ABD 【解析】对于A ，设点(),P x y ，由||1||2PA PB =结合两点间的距离公式化简即可判断，对于B ，由A 可知曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，从而可求出圆上的点到点()1,1的距离的范围，进而进行判断，对于C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，由距离公式可得方程，再结点()00,M x y 在曲线C 上，得到一个方程，两方程联立求解判断，对于D ，由于曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，所以只要求出圆心到直线的距离减去圆的半径可得答案由题意可设点(),P x y ，由()2,0A -，()4,0B ，||1||2PA PB =，12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=，所以选项A 正确；对于选项B ，曲线C 的方程表示圆心为()4,0-，半径为4的圆，点()1,1与圆心的距离为44，而34]∈，所以选项B 正确；对于选项C ，设()00,M x y ，由2MO MA =，又()2200416x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解，所以选项C 错误； 对于选项D ，C 的圆心()4,0-到直线34130x y --=的距离为|3(4)13|55d ⨯--==，且曲线C 的半径为4，则C 上的点到直线34130x y --=的最小距离541d r -=-=故选项D 正确； 故选：ABD ． 14．BCD 【解析】首先求出线段AB 的中点，即可求出线段AB 的垂直平分线，再由圆心在直线上，即可求出P 到直线AB 的距离的最值，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，数形结合即可求出cos APB ∠的最大值； 解：(4,0)A ，(0,2)B ，所以线段AB 的中点为()2,1M ，201042AB k -==--，所以线段AB 的垂直平分线为()122y x -=-，即23y x =-，因为圆C ：()()22455x y -+-=，圆心()4,5C ，半径r = 又点()4,5C 恰在直线23y x =-上，所以点P 到直线AB 的距离最小值为2CM r -=，最大值为6CM r +=，由正弦定理可知，当ABP △的外接圆与圆C 相内切时，APB ∠最小，此时cos APB ∠最大，此时P 恰在23y x =-与()()22455x y -+-=的一个交点上，由()()2245523x y y x ⎧-+-=⎪⎨=-⎪⎩解得57x y =⎧⎨=⎩或33x y =⎧⎨=⎩，所以()5,7P ，所以AP =PMcos PM APM AP ∠==24cos cos 22cos 15APB APM APM ∠=∠=∠-=，当ABP △的外接圆与圆C 相外切时，APB ∠最大，此时2APB π∠=，故C 、D 正确；故选：BCD15．AC 【解析】选项A 先求出直线20x y -+=与两坐标轴的交点坐标，再求面积；选项B 利用直线方程的条件限制判定；选项C 利用求一点关于直线对称的点的步骤求解；选项D 分截距为零和截距不为零讨论，对于截距不为零的利用截距式方程求解.选项A ：因为直线20x y -+=与两坐标轴的交点为()2,0A -，()0,2B ，所以直线20x y -+=与两坐标轴围成三角形的面积是12222⨯-⨯=，故选项A 正确；选项B ：直线方程写成11y y x x y y x x --=--的条件为1212,y y x x ≠≠，故选项B 错误；选项C ：设点(1,1)关于直线10x y -+=的对称点为(),m n ，由1110,221111m n n m ++⎧-+=⎪⎪⎨-⎪⋅=-⎪-⎩，解得0,2m n =⎧⎨=⎩，故选项C 正确；选项D ：当截距为零时，有一条43y x =；当截距不为零时，设直线方程为1x ya b+=， 因为过定点(3,4)P ，所以341a b +=，即1243b a =+-，又a ，b 均为正整数，所以3a -必为12的正因数1，2，3，4，6，12，共6种情况， 故综合起来应该有7条，故选项D 错误． 故选：AC.16．(3230x y -- 【解析】先求出射线OA ，OB 的方程，(),A m m，(),B n ，可得点C 的坐标，利用点C 在直线12y x =以及Ap BP k k =列方程组可得m 的值，再求出Ap k ，由点斜式可得直线方程. 由题意可得tan 451OA k ==，()3tan 18030tan1503OB k =-==-，所以直线OA 的方程：y x =，直线OB 的方程：y =， 设(),A m m ，(),B n ，所以AB 的中点2m n C ⎫+⎪⎪⎝⎭， 由点C 在直线12y x =上，且,,A P B 三点共线得：12201m n m m ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩解得：m ，所以A又()1,0P，所以AB AP k k =，所以直线AB 的方程是：)1y x =-，即(3230xy --=， 故答案为：(3230x y --=. 17．(1，－1) 【解析】恒过的定点坐标.由题意可设Q 的坐标为(m ，n )，则m －n －4＝0，即m ＝n ＋4，过点Q 作圆O ：224x y +=的切线，切点分别为A ，B ，则切点弦AB 所在直线方程为mx ＋ny －4＝0，又由m ＝n ＋4，则直线AB 的方程变形可得nx ＋ny ＋4x －4＝0，则有0440x y x +=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，则直线AB 恒过定点(1，－1).故答案为：(1，－1).18．1b ≤<【解析】由直线、曲线方程画出对应的图形，应用数形结合法，确定对应图形有两个交点时参数b 的取值范围.y x b =+表示斜率为1的平行直线系；y x 轴及其上方的半圆，如图所示．当l 通过()1,0A -，()0,1B 时，l 与C 有两交点，此时1b =，记为1l ；当l 与半圆相切时，此时b =2l ； 当l 夹在1l 与2l 之间时，l 和C 有两个不同的公共点．综上，1b ≤<故答案为：1b ≤<19．1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】求出点A 关于直线0x y +=的对称点E ，则直线BE 与0x y +=的交点即为所求. 点()3,1A -关于直线0x y +=的对称点为()1,3E -，又()5,2B -， 则直线BE 的方程为135123x y -+=--+，即4130x y --=，联立41300x y x y --=⎧⎨+=⎩，解得135x =，135y =-，所以使PA PB +取最小值的点P 的坐标是1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1313,55⎛⎫- ⎪⎝⎭.20．-7 【解析】根据题意可知半径r m =-，进而算出圆心到直线的距离，再根据弦长为4，通过勾股定理列出等式即可解出.因为圆心为()()1,0m m <的圆与x 轴相切，所以半径r m =-，圆心到直线20x y -=的距离d =又因为AB 4=，由()2222212||425m AB r d m -⎛⎫=+⇒=+ ⎪⎝⎭，因为0m <，所以7m =-. 故答案为：-7.21．7y x =-+或34y x = 【解析】直线在两坐标轴上的截距相等，有两种情况，斜率为1-，或直线过原点，结合直线过点()4,3P 即可求解，有两种情况因为直线与坐标轴的截距相等，则直线的斜率为1-，或直线过原点，当直线斜率为1-时，因为直线过点()4,3P ，根据点斜式，直线方程为：()34y x -=--，化简得：7y x =-+； 当直线过原点时，34k =，所以直线方程为34y x =故答案为：7y x =-+或3y x =22．15 【解析】设3410t x y =++，即34100x y t ++-=，由直线与圆相切可得t 的范围，即可求解. 设3410t x y =++，则34100x y t ++-=，直线与圆相切时圆心()0,0到直线34100x y t ++-=的距离1d =，1=，解得：5t =或15t =，所以515t ≤≤，所以5341015x y ≤++≤， 所以3410x y ++的最大值为15， 故答案为：15. 23．8 【解析】用点P 的坐标表示出PA ，PB ，再求出PA PB ⋅并借助点P 在圆C 上的条件即可作答. 因点(,)P x y 在圆C 上，即22(2)1x y +-=，则22(1)2x y =--，且13y ≤≤， 而(1,),(1,)P PA x y x y B =--=---，于是得22221(2)44PA x y y y y PB ⋅=-+=--+=-，显然44y -在[1,3]y ∈上单调递增，则当3y =时，max (44)8y -=，即max ()8P PA B ⋅=， 所以PA PB ⋅的最大值为8. 故答案为：824．()22740x y -+=． 【解析】根据题意直接可求出n ，再根据切线的性质可得直线CT 与直线310x y +-=垂直，从而求出m ，进而求得半径，即可得出答案.解：根据题意，圆C 与直线310x y +-=相切于点()1,T n ， 则()1,T n 在直线310x y +-=上，则有310n +-=，解可得2n =-， 又由圆心C 的坐标为(),0m ，直线310x y +-=的斜率为3-， 则有0113n m -=-，解可得7m =，圆的半径r TC == 故圆C 的标准方程是()22740x y -+=； 故答案为：()22740x y -+=． 25．(1,2) 【解析】任取曲线上一点()00,x y ，利用点到直线的距离公式可得d =求出d 取最小值时，01x =，即可得到答案；解：任取曲线上一点()00,x y ，则0021y x =+直线:25,l y x =-即250x y --= 点()00,x y 到直线l的距离为d===()20150y x =-+>在01x =时，min d ==02y =，故答案为：(1,2) 26【解析】根据题意,设原点到直线的距离为d ,将直线变形分析可得直线经过定点(1,2),设M (1,2),分析可得d OM ≤，即可得答案.根据题意，设原点到直线的距离为d .直线()()():1130l m x m y m ++-+-=,即()130m x y x y -+++-=则有1030x y x y -+=⎧⎨+-=⎩,解得12x y =⎧⎨=⎩,即直线l 恒过定点(1,2).设M (1,2),则d OM ≤即原点到直线l故答案为:.27【解析】由复数的几何意义可得满足题意的复数z 对应的点P 到复数1和i 对应点(1,0)A ，(0,1)B 距离相等，即轨迹为线段AB 的垂直平分线,则2i z +-的最小值即可转化为点(2,1)-到垂直平分线的距离求解．如图所示,设复数z ，1，i 对应的点分别为(),P x y ，(1,0)A ，(0,1)B , 由题意1i z z -=-得PA PB =即点P 的轨迹为线段AB 的垂直平分线l ,由平面几何知识可求得垂直平分线l 的方程为:0x y -=, 由|i 2i ||(2)(1)i |2i z x y x y =++-=+-++-,所以2i z +-的最小值即为点(2,1)C -到直线l 的距离,则由d CP ==,即2i z +-的故答案为:本题考查了复数的几何意义,复数模的几何意义及其运算,重点考查了运算能力,属于中档题． 28．4-或28-． 【解析】求出圆心C 到直线l 的距离，利用勾股定理求出弦长，计算ABC 的面积，从而求出直线的斜率与方程．解：直线:(1)(21)30()l m x m y m m R -+++=∈， 直线l 的方程可化为：()(23)0x y m x y -++++=， 可得230y xx y =⎧⎨++=⎩，直线恒过：(1,1)--．圆222(1)(0)x y r r -+=>的圆心(1,0)，半径为：r ． 圆心C 到直线l 的距离为：d ；所以三角形ABC 的面积为211||22ABCS AB d r =⋅⋅≤，2142r =，解得r =2d =．2，解得12m =-或72m =-所以，24mr =-或28-． 故答案为：4-或28-． 29．4 【解析】首先将两圆方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意可得两圆相内切，即可得到31-，从而得到2244a b +=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得；解：因为圆2221:290C x y ax a +++-=和圆2222:4140C x y by b +--+=，所以圆()221:9C x a y ++=和圆()222:21C x y b +-=，圆心分别为()1,0C a -，()20,2C b ，半径分别为3和1，依题意可知两圆31=-，所以2244a b +=，因为a R ∈，b R ∈，且0ab ≠，所以()22222222224416411111884444a b a b a a b b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝+⎝⎭，当且仅当222216b a a b =时，等号成立，所以2241a b +的最小值为4； 故答案为：430．【解析】建立直角坐标系，根据条件将B 点轨迹转化为阿氏圆的问题来解决如上图所示，以AC 的中点为原点，AC 边所在直线为x 轴建立直角坐标系，因为6AC =，所以()30A -,，()3,0C ，设点(),B x y ，因为sin 2sin C A =，由正弦定理可得：2c a =，即2AB BC =， 所以：()()22223434x y x y ++=-+，化简得：()22516x y -+=，且1x ≠，9x ≠， 圆的位置如上图所示，圆心为()5,0，半径4r =，观察可得，三角形底边长AC 不变的情况下，当B 点位于圆心D 的正上方时，高最大， 此时ABC 的面积最大，B 点坐标为()5,4，所以BC ==故答案为：31．（1）40x -=；（2）是定值，理由见解析. 【解析】（1）算出OP k ，然后可算出答案；（2）可得()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，然后表示出直线1AQ ，2AQ 的方程，然后可得0m =n =，然后可算出mn 的值.（1）因为OP k ==O 在点P处的切线斜率为所以圆O在点P处的切线方程为)1y x =-，即40x -= （2）是定值，理由如下解方程组224y x y +-=+=⎪⎩，可得A ， 因为()000,(1)Q x y x ≠±，所以()100,Q x y --，()200,Q x y -，22004x y +=，由10:1)AQ y x -，令0x=，得0m =由20:1)AQ y x -，令0x =，得0n =∴2020004(1)41x mn x --===-． 32．（1）158390x y +-=或1x =；（2）()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭.【解析】（1）由条件求出圆心到直线l 的距离，然后分直线l 的斜率不存在、直线l 的斜率存在两种情况求解即可；（2）设()00,N x y ，(),P x y ，然后由()()2200214x y -++=，中点坐标公式可得答案.（1）因为直线l 被圆C截得的弦长为所以圆心到直线l1=当直线l 的斜率不存在时，其方程为1x =，满足 当直线l 的斜率存在时，则其方程为()13y k x =-+所以1518d k ==⇒=-，此时直线方程为158390x y +-= 综上：直线方程为158390x y +-=或1x = （2）设()00,N x y ，(),P x y 则()()2200214x y -++= 因为P 是MN 中点，则满足000012122332x x x x y y y y +⎧=⎪=-⎧⎪⇒⎨⎨=-+⎩⎪=⎪⎩代入方程得：()223112x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭33．（1）1y x =±；（2）10+【解析】（1）设直线方程为：y x b =+，根据直线与圆相切，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解. （2）易得点P 到直线AB 的距离的最大值为圆心到直线的距离d 与圆的半径之和，即max h d r =+，然后()()max12ABP SAB d r =⨯⨯+求解. （1）设直线方程为：y x b =+， 圆C ：()2214x y ++=， 因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，即21d b ==⇒=±，所以直线l 方程为：1y x =±.（2）AB == 直线AB 的方程为：4y x =-+，圆心到到直线AB 的距离为：d ==所以点P 到直线AB 的距离的最大值为max 2h d r =+，所以()max 12102ABP S⎫=⨯=+⎪⎪⎝⎭.34．2【解析】由题可知，所要求的代数式恰好表示平面直角坐标系中三个距离之和，所以首先要把代数式中三个距离的对应的点找到，再根据题干所述找到相应的费马点，即可得出结果． 根据题意，在平面直角坐标系中，令点(0,1)A ，(0,1)B -，(2,0)C ，(,)x y 到点A 、B 、C 的距离之和，因为ABC 是等腰三角形，AC BC =，所以C '点在x 轴负半轴上，所以CC '与x 轴重合， 令ABC 的费马点为(,)P a b ，则P 在CC '上，则0b =，因为ABC 是锐角三角形，由性质（1）得120APC ∠=︒，所以60APO ∠=︒，所以1a =a =P ⎫∴⎪⎪⎝⎭到A 、B 、C 的距离分别为PA PB =2PC =，,即为费马点P 到点A 、B 、C 的距离之和，则2PA PB PC ++=35．（1）2122k y kx =++；（2）2；（3）-【解析】（1）根据对折的对称性可得，若折叠后A 点落在G 点，则斜率相乘为1-，从而得到G 点的坐标关于k 的表达式，写出折痕所在的直线方程（2）当20k -+≤≤，分析可得折痕交在BC 和y 轴上，求出交点坐标，求出折痕长度关于k 的表达式，结合k 的范围求出最大值（3）当21k -≤≤-时，折痕交在DC 和x 轴上，求出PQ 的表达式，代入求出t 关于k 的表达式，结合k 的范围求出t 的最大值（1）①当0k =时，此时A 点与D 点重合，折痕所在的直线方程12y =； ②当0k ≠时，将矩形折叠后A 点落在线段DC 上的点记为(),1G a ， 所以A 与G 关于折痕所在的直线对称， 有111OG k k k a k a⋅=-⇒⋅=-⇒=-， 故G 点坐标为(),1G k -，从而折痕所在的直线与OG 的交点坐标，即线段OG 的中点为122k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，折痕所在的直线方程122k y k x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，即2122k y kx =++，由①②得折痕所在的直线方程为：2122k y kx =++；（2）当0k =时，折痕的长为2，当折痕刚好经过B 点时，将()2,0代入直线方程得：2410k k ，2k =-+2k =-时，A 点不在线段DC 上，舍）当20k -<时，折痕两个端点一定在BC 和y 轴上，直线交BC 于点212,222k P k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，交y轴于210,2k Q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(22222211||224444732222k k PQ k k ⎡⎤⎛⎫+=+-++=+≤+-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∴2= ，而22>，故折痕长度的最大值为2；()3当21k -≤≤-时，折痕的两个端点一定在DC 和x 轴上，直线交DC 于1,122kP k ⎛⎫-⎪⎝⎭，交x 轴于21,02k Q k ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，2222111||11222k k PQ k k k ⎡⎤+⎛⎫=---+=+⎢ ⎪⎥⎝⎭⎣⎦，22(2||1)t k PQ k k∴=-=+， 21k -≤≤-，2k k∴+≤-当且仅当()21k =--，时取“=”号)，∴当k =t 取最大值，t 的最大值是-本题综合考查了直线方程、函数的最值、均值不等式，考查了数形结合和分类讨论的数学思想，属难题．36．（1）()()22231x y -+-=；（2）1y x =+. 【解析】（1）设圆C 的圆心和半径，根据已知条件用待定系数法列方程求解（2）设设直线方程1y kx =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，则121212OM ON x x y y ⋅=+=，所以需要含参直线与圆联立方程，根据韦达定理进行计算，一个方程求解一个未知数 解：（1）设圆C 的方程为()()222x a y b r -+-=，则依题意，得()()()()22222224,13,10,a b r a b r a b ⎧-+-=⎪⎪-+-=⎨⎪-+=⎪⎩解得2,3,1,a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴圆C 的方程为()()22231x y -+-= （2）设直线l 的方程为1y kx =+，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，将1y kx =+，代入22(2)(3)1x y -+-=并。
第二章 直线与圆的方程复习卷-2021-2022学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
日照神州天立高级中学21—22学年高二上期期中复习题4直线与圆班级:_________ 姓名：_________ 满分：100分分数：_________一、单选题（共12小题，每小题4分，共48分）1.直线√3x−3y−5=0的倾斜角为( )A．π6B．π3C．2π3D．5π62.已知过点A(a,2)，B(−1,4)的直线的斜率为−1，则a=( )A．−2B．−1C．1D．23.两圆x2+y2−4x+2y+1=0与x2+y2+4x−4y−1=0的公切线有( )A．1条B．2条C．3条D．4条4.两平行直线3x−2y−1=0和6x−4y+3=0间的距离是( )A．5√1326B．4√1313C．2√1313D．3√13135.直线3x+4y=b与圆(x−1)2+(y−1)2=1相切，则b的值是( )A．−2或12B．2或−12C．−2或−12D．2或126.已知直线l1:ax+4y−2=0与直线l2:2x−5y+b=0互相垂直，垂足为(1,c)，则a+b+c的值为( )A．20B．−4C．0D．247.方程x=√1−y2表示的图形是( )A．两个半圆B．两个圆C．圆D．半圆8.若圆C:x2+y2=4上的点到直线l:y=x+a的最小距离为2，则a=( )A．±2√2B．±2√2−2C．±4√2−2D．±4√29.点P(2,3)到直线l:ax+y−2a=0的距离为d，则d的最大值为( )A．3B．4C．5D．710.若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相交，则点P(a,b)与圆x2+y2=1的位置关系是()A．在圆上B．在圆外C．在圆内D．以上都有可能11.与圆x2+y2=1及圆x2+y2−8x+12=0都外切的圆的圆心在( )A．一个椭圆上B．双曲线的一支上C．一条抛物线上D．一个圆上12.一辆卡车宽2.7米，要经过一个半径为4.5米的半圆形隧道（双向双车道），则这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过( )A．1.8米B．3米C．3.6米D．4米二、多选题（共2小题，每小题5分，共10分）13.已知圆M的一般方程为x2+y2−8x+6y=0，则下列说法中正确的是( )A．圆M的圆心为(4,−3)B．圆M被x轴截得的弦长为8C．圆M的半径为25D．圆M被y轴截得的弦长为614.若直线l:ax+y+2a=0被圆C:x2+(y−4)2=4截得的弦长为2√2，则a的值为( )A．−7B．−1C．7D．1三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）15.已知A(−1,4)，B(5,−4)，则以AB为直径的圆的标准方程是．16.圆C:x2+y2+2x+4y=0的圆心到直线3x+4y=4的距离d=．17.若点P(1,1)为圆x2+y2−6x=0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为．18.数学家高斯曾经研究过这样一个问题：在一个给定半径的圆内有多少个坐标均为整数的点．该问题被称为著名的高斯圆内整点问题．设圆x2+y2=5，则圆内（包括圆上）的整点有个．四、解答题（共2小题，共22分）19.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x−2)2+(y−3)2=1交于M，N两点．(1) 求k的取值范围；(2) 若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12，其中O为坐标原点，求∣MN∣．20.树林的边界是直线l（如图），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线AC上的点A和点B处，AB=BC=a（a为正实数），若兔子沿AD方向以速度2μ向树林逃跑（D为l上异于C的点），同时狼沿线段BM（M∈AD）方向以速度μ进行追击，若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子．(1) 求兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积S(a)；(2) 若兔子没被狼吃掉，求θ(θ=∠DAC)的取值范围．答案一、选择题（共12题）1. 【答案】A【知识点】直线倾斜角与斜率2. 【答案】C【解析】因为过点A(a,2)，B(−1,4)的直线的斜率为−1，所以k AB=4−2−1−a=−1，解得a=1．【知识点】直线倾斜角与斜率3. 【答案】C【解析】因为圆x2+y2−4x+2y+1=0化为(x−2)2+(y+1)2=4，它的圆心坐标(2,−1)，半径为2；圆x2+y2+4x−4y−1=0化为(x+2)2+(y−2)2=9，它的圆心坐标(−2,2)，半径为3；因为√(2+2)2+(−1−2)2=5=2+3，所以两个圆相外切，所以两个圆的公切线有3条．【知识点】圆与圆的位置关系4. 【答案】A【解析】直线6x−4y+3=0可化为3x−2y+32=0．故两平行直线间的距离d=∣−1−32∣∣√32+(−2)2=5√1326．【知识点】点到直线的距离与两条平行线间的距离5. 【答案】D【解析】由圆的方程(x−1)2+(y−1)2=1，可得圆心C(1,1)，半径r=1，则圆心C(1,1)到直线3x+4y=b的距离d=√32+42=1，解得b=2或b=12．【知识点】圆的切线6. 【答案】B【解析】直线l1的斜率为−a4，直线l2的斜率为25，由两直线垂直，可知−a4⋅25=−1，得a=10．将垂足(1,c)的坐标代入直线l1的方程，得c=−2，将垂足(1,−2)的坐标代入直线l2的方程，得b=−12，所以a+b+c=10−12−2=−4．【知识点】直线与直线的位置关系7. 【答案】D【解析】根据题意，x≥0，再对方程两边同时平方得x2+y2=1，由此确定图形为半圆．【知识点】圆的标准方程8. 【答案】D【解析】圆C的圆心(0,0)到直线x−y+a=0的距离d=√2，圆的半径等于2，所以√2−2=2，解得a=±4√2．【知识点】直线与圆的综合问题9. 【答案】A【解析】解法一：易得直线l:y=−a(x−2)，据此可知直线l恒过定点M(2,0)，当直线l⊥PM时，d有最大值，结合两点间的距离公式，可得d的最大值为√(2−2)2+(3−0)2=3．解法二：由点到直线的距离公式有d=√a2+1=√a2+1≤3．【知识点】点到直线的距离与两条平行线间的距离10. 【答案】B【解析】由题意知√a2+b2<1，所以√a2+b2>1，所以点P在圆外．【知识点】直线与圆的位置关系11. 【答案】B【解析】设动圆的圆心为P，半径为r，而圆x2+y2=1的圆心为O(0,0)，半径为1；圆x2+y2−8x+12=0的圆心为F(4,0)，半径为2，依题意得∣PF∣=2+r，∣PO∣=1+r，则∣PF∣−∣PO∣=(2+r)−(1+r)=1<∣FO∣，所以点P的轨迹是双曲线的一支．故选B．【知识点】圆的标准方程、圆的一般方程12. 【答案】C【解析】以半圆形隧道的直径所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则半圆的方程为x2+y2=4.52(y≥0)．因为卡车宽2.7米，所以不妨设D(2.7,0)，A(2.7,y)，将A点坐标代入半圆的方程得2.72+y2=4.52，解得y=3.6（负值舍去）．因此这辆卡车的平顶车篷篷顶距离地面的高度不得超过 3.6米．故选C．【知识点】圆的标准方程二、不定项选择题（共2题）13. 【答案】A；B；D【解析】圆M的一般方程为x2+y2−8x+6y=0，则(x−4)2+(y+3)2=25．圆的圆心坐标为(4,−3)，半径为5．显然选项C不正确．ABD 均正确．【知识点】圆的一般方程14. 【答案】A；B【解析】圆心为C(0,4)，半径R=2，因为直线l:ax+y+2a=0被圆C:x2+(y−4)2=4截得的弦长为2√2，所以圆心到直线的距离d满足d2=R2−(√2)2=4−2=2，即d=√2=√a2+1，平方整理得a2+8a+7=0，解得a=−1或a=−7.【知识点】直线被圆截得的弦长三、填空题（共4题）15. 【答案】(x−2)2+y2=25【解析】因为∣AB∣=√(5+1)2+(−4−4)2=10，所以r=5，AB的中点坐标为(2,0)，所以所求的圆的标准方程为(x−2)2+y2=25．【知识点】圆的标准方程16. 【答案】3【解析】圆C:x2+y2+2x+4y=0化为(x+1)2(y+2)2=5，可得圆心坐标为(−1,−2)，(−1,−2)到直线3x+4y−4=0距离为√9+16=3．【知识点】直线与圆的综合问题17. 【答案】2x−y−1=0【知识点】直线与圆的位置关系18. 【答案】21【解析】根据题意，画出图形，如图．由图可得，圆x2+y2=5内（包括圆x2+y2=5上）的整点有21个．【知识点】圆的标准方程四、解答题（共2题）19. 【答案】(1) 由题设，可知直线l的方程为y=kx+1．因为l与C交于两点，所以√1+k2<1，解得4−√73<k<4+√73．所以k的取值范围为(4−√73,4+√73)．(2) 将y=kx+1代入方程(x−2)2+(y−3)2=1，整理得(1+k2)x2−4(1+k)x+7=0．设M(x1,y1)，N(x2,y2)，所以x1+x2=4(1+k)1+k2，x1x2=71+k2，OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8.由题设可得OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ON⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4k(1+k)1+k2+8=12，解得k=1，所以l的方程是y=x+1，故圆心C在l上，所以∣MN∣=2．【知识点】直线与圆的位置关系、直线被圆截得的弦长20. 【答案】(1) 建立如图所示的平面直角坐标系．则A(0,2a)，B(0,a)，设M(x,y)．由∣BM∣μ≤∣AM∣2μ得x2+(y−2a3)2≤4a29，所以点M在以(0,2a3)为圆心，2a3为半径的圆（上）及其内部，所以S(a)=4a29π．(2) 设直线l AD:y=kx+2a(k≠0)．由兔子没被狼吃掉可得∣2a−2a3∣∣√1+k2>2a3，解得−√3<k<√3且k≠0，可得0<∠ADC<π3，所以θ∈(π6,π2).【知识点】直线与圆的综合问题。
新人教版高中数学选修一第二单元《直线和圆的方程》测试卷(含答案解析)
一、选择题1．如果实数x 、y 满足22640x y x +-+=，那么yx的最大值是（ ）A ．23B C ．3D 2．一束光线从点()2,3A 射出，经x 轴上一点C 反射后到达圆22(3)(2)2x y ++-=上一点B ，则AC BC +的最小值为（ ）A．B ．C ．D ．3．过点()1,0P 作圆22(2)(2)1x y -+-=的切线，则切线方程为（ ） A ．1x =或3430x y +-= B ．1x =或3430x y --= C ．1y =或4340x y -+=D ．1y =或3430x y --=4．已知圆()221:24C x a y ++=与圆()22:1C x y b +-=有且仅有1条公切线，则2211a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．7C ．8D ．95．圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ）A ．1B ．2CD ．6．直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长等于（ ）A ．4B ．2C ．D7．两圆交于点(1,3)A 和(,1)B m ，两圆的圆心都在直线02cx y -+=上， 则m c += . A ．1B ．2C ．3D ．48．过点()3,1作圆()2211x y -+=的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为（ ）A ．230x y +-=B ．230x y --=C ．430x y --=D ．430x y +-=9．已知圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(2,32⎡-⎣ B ．(2,32⎡-⎣C ．2,32⎡⎡-⎣⎣D ．((2,32-10．若过点(2,1)P 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y -+=的距离是（ ）A．5B．5CD11．曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时，则实数k的取值范围是（ ） A ．50,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．13,34⎛⎫⎪⎝⎭C ．5,12⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．53,12412．若圆()2220x y r r +=>上仅有4个点到直线20x y --=的距离为1，则实数r 的取值范围为（ ）A ．)1,+∞B．)1-C ．()1-D ．()1二、填空题13．设()11,M x y 、()22,N x y 为不同的两点，直线:0l ax by c ++=，1122ax by cax by cδ++=++，以下命题中正确的序号为__________．（1）存在实数δ，使得点N 在直线l 上； （2）若1δ=，则过M 、N 的直线与直线l 平行； （3）若1δ=-，则直线l 经过MN 的中点；（4）若1δ>，则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交； 14．已知点M 是直线l ：22y x =--上的动点，过点M 作圆C ：()()22114x y -+-=的切线MA ，MB ，切点为A ，B ，则当四边形MACB 的面积最小时，直线AB 的方程为______.15．已知点(3,1)A -，点M ､N 分别是x 轴和直线250x y +-=上的两个动点，则AM MN +的最小值等于_________.16．过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为_________．17．与两圆22(2)1x y ++=，22(2)1x y -+=都相切，且半径为3的圆一共有________个18．已知k ∈R ，过定点A 的动直线10kx y +-=和过定点B 的动直线30x ky k --+=交于点P ，则22PA PB +的值为__________.19．直线:20180l x y +-=的倾斜角为__________； 20．已知定点A 到动直线l ：()221420+---=mx m y m （m R ∈）的距离为一常数，则定点A 的坐标为________．三、解答题21．在ABC 中，(2,5)A ，()1,3B （1）求AB 边的垂直平分线所在的直线方程；（2）若BAC ∠的角平分线所在的直线方程为30x y -+=，求AC 所在直线的方程. 22．以点1(),C m m为圆心的圆与x 轴相交于点O ，A ，与y 轴相交于点,O B （O 为坐标原点）.（1）求证OAB 的面积为定值，并求出这个定值；（2）设直线23y x =-+与圆C 相交于点,P Q ，且||||OP OQ =，求圆C 的方程. 23．已知三条直线123121323:20,:20,:210,,,l x y l x l x y l l A l l B l l C -=+=+-=⋂=⋂=⋂=．（1）求ABC 外接圆的方程；（2）若圆22:20D x y ax +-=与ABC 的外接圆相交，求a 的取值范围．24．圆心为C 的圆经过点(4,1)A -和(3,2)B -，且圆心C 在直线:20l x y --=上. （1）求圆心为C 的圆的方程；（2）过点(5,8)P 作圆C 的切线，求切线的方程.25．当实数m 的值为多少时，关于,x y 的方程()()222221220m m x m m y m +-+-+++=表示的图形是一个圆?26．已知圆C 方程222410x y x y +-++= （1）求圆C 的圆心，半径；（2）直线l 经过(2,0)，并且被圆C 截得的弦长为l 的方程.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】本题首先可求出圆的圆心与半径，然后将yx看作圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率，并结合图像得出当过原点的直线与圆相切时斜率最大，最后根据直线与圆相切即可得出结果. 【详解】22640x y x +-+=，即()2235x y -+=，圆心为()3,0yx的几何意义是圆上一点(),x y 与()0,0连线的斜率， 如图，结合题意绘出图像：结合图像易知，当过原点的直线与圆相切时，斜率最大，即yx最大， 令此时直线的倾斜角为α，则5tan 2α=，y x 的最大值为5，故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查直线的斜率的几何意义的应用，考查直线与圆相切的相关性质，能否将yx看作点(),x y 与()0,0连线的斜率是解决本题的关键，考查数形结合思想，是中档题.2．C解析：C 【分析】做出圆22(3)(2)2x y ++-=关于x 轴的对称圆，进而根据图形得AC BC AP r+≥-即可求解. 【详解】解：如图，圆22(3)(2)1x y ++-=的圆心()3,2-，其关于x 轴的对称圆的圆心为()3,2P --， 由图得AC BC AP r +≥-52242=-=.故选：C. 【点睛】解题的关键在于求圆关于x 轴的对称圆圆心P ，进而将问题转化AC BC AP r +≥-求解.3．B解析：B 【分析】按照过点P 的直线斜率是否存在讨论，结合直线与圆相切的性质及点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆22(2)(2)1x y -+-=的圆心为()2,2，半径为1，点P 在圆外，当直线的斜率不存在时，直线方程为1x =，点()2,2到该直线的距离等于1，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为()1y k x =-即kx y k 0--=，1=，解得34k =，所以该切线方程为3430x y --=； 所以切线方程为1x =或3430x y --=. 故选：B. 【点睛】方法点睛：求过圆外一点()00,x y 的圆的切线方程的方法几何法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=.由圆心到直线的距离等于半径，即可求出k 的值，进而写出切线方程;代数法：当斜率存在时，设为k ，则切线方程为00()y y k x x -=-，即00y kx kx y =-+，代入圆的方程，得到一个关于x 的一元二次方程，由0∆=，求得k ，切线方程即可求出.4．D解析：D 【分析】由题意可知，圆2C 内切于圆1C ，由题意可得出2241a b +=，然后将代数式2211a b +与224a b +相乘，展开后利用基本不等式可求得2211a b+的最小值. 【详解】圆()221:24C x a y ++=的圆心为()12,0C a -，半径为12r =，圆()22:1C x y b +-=的圆心为()20,C b ，半径为21r =，由于两圆有且仅有1条公切线，则圆2C 内切于圆1C ，所以12121C C r r ==-=，可得2241a b +=，()2222222222111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=∴++≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当222b a =时，等号成立，因此，2211a b +的最小值为9. 故选：D. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含； （2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切； （3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交； （4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切； （5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.5．C解析：C 【分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 【详解】圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+，所以d == ，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 【点睛】圆上的点到直线的距离的最值的几何求法通常运用圆心到直线的距离加减半径得到.属于基础题.6．A解析：A 【分析】先将圆化成标准方程，求出圆心与半径，再求圆心到直线的距离，然后解弦长即可． 【详解】因为226240x y x y +-++= 所以22(3)(1)6x y -++=，圆心到直线的距离为d ==直线0x y +=被圆226240x y x y +-++=截得的弦长4l =；故选：A ． 【点睛】计算圆的弦长通常使用几何法简捷．也可使用代数法计算.7．C解析：C 【分析】由两圆相交且圆心都在直线02c x y -+=上可知线段AB 中点在02cx y -+=上，代入中点坐标整理即可. 【详解】由题意可知：线段AB 的中点1,22m +⎛⎫⎪⎝⎭在直线02c x y -+=上 代入得：12022m c+-+= 整理可得：3m c +=本题正确选项：C 【点睛】本题考查两圆相交时相交弦与圆心连线之间的关系，属于基础题.8．A解析：A 【分析】求出以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程． 【详解】圆22(1)1x y -+=的圆心为(1,0)C ，半径为1，以(3,1)、(1,0)C 为直径的圆的方程为2215(2)()24x y -+-=，因为过点()3,1圆()2211x y -+=的两条切线切点分别为A ，B ，所以，AB 是两圆的公共弦，将两圆的方程相减可得公共弦AB 的方程230x y +-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及圆和圆的位置关系、圆的切线性质，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．9．D【分析】先判断圆心到直线的距离()1,3d ∈，再利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围. 【详解】圆C ：224x y +=的圆心是()0,0C ，半径2r，而圆C ：224x y +=上恰有两个点到直线l ：0x y m -+=的距离都等于1，所以圆心()0,0C 到直线l ：0x y m -+=的距离()1,3d ∈，即()1,3d ==，解得m -<<m <<.故选：D. 【点睛】本题考查了圆上的点到直线的距离问题和点到直线的距离公式，属于中档题.10．C解析：C 【分析】由题意可知圆心在第一象限，设圆心的坐标为(),,0a a a >，可得圆的半径为a ，写出圆的标准方程，利用点()2,1在圆上，求得实数a 的值，利用点到直线的距离公式可求出圆心到直线230x y -+=的距离. 【详解】由于圆上的点()2,1在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限， 设圆心的坐标为(),a a ，则圆的半径为a ，圆的标准方程为()()222x a y a a -+-=. 由题意可得()()22221a a a -+-=， 可得2650a a -+=，解得1a =或5a =， 所以圆心的坐标为()1,1或()5,5，圆心()1,1到直线230x y -+=的距离均为15d ==圆心()5,5到直线230x y -+=的距离均为25d ==圆心到直线230x y -+=的距离均为5d ==；所以，圆心到直线230x y -+=. 故选：C.关键点点睛：本题考查圆心到直线距离的计算，求出圆的圆心是解题的关键，考查计算能力.11．D解析：D 【分析】 易知曲线214y x 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，然后在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，利用数形结合法求解. 【详解】 曲线214y x 变形为22214141y x x y y 表示以()0,1 为圆心，以2为半径的半圆，直线()24y k x =-+过定点()2,4A ，在同一坐标系中作出直线与半圆的图象，如图所示：当直线()24y k x =-+与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，23221kk -=+，解得512k =，即512AC k ，又413224AB k ， 由图知：当曲线214y x ([]2,2x ∈-)与直线()24y k x =-+有两个公共点时：ACAB k kk ，即53124k <≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12．A解析：A 【分析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两条直线，根据题意可得这两条平行线与222x y r +=有4个公共点，由此利用点到直线的距离公式加以计算，可得r 的取值范围． 【详解】解：作出到直线20x y --=的距离为1的点的轨迹，得到与直线20x y --=平行， 且到直线20x y --=的距离等于1的两条直线， 圆222x y r +=的圆心为原点， 原点到直线20x y --=的距离为22d ==，∴两条平行线中与圆心O 距离较远的一条到原点的距离为21d '=+，又圆222(0)x y r r +=>上有4个点到直线20x y --=的距离为1，∴两条平行线与圆222x y r +=有4个公共点，即它们都与圆222x y r +=相交．由此可得圆的半径r d '>， 即21r >+，实数r 的取值范围是()21,++∞．故选：A ．【点睛】本题给出已知圆上有四点到直线的距离等于半径，求参数的取值范围．着重考查了圆的标准方程、直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题13．②③④【分析】①点在直线上则点的坐标满足直线方程从而得到进而可判断①不正确②若则进而得到根据两直线斜率的关系即可判断②③若即可得到即可判断③④若则或根据点与直线的位置关系即可判定④【详解】解：若点在解析：②③④ 【分析】①点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到220ax bx c ++=，进而可判断①不正确．②若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++，进而得到1221y y ax x b-=--，根据两直线斜率的关系即可判断②．③若1δ=-，即可得到1212()()022x x y y a b c ++++=，即可判断③． ④若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或11220ax by c ax by c ++<++<，根据点与直线的位置关系即可判定④． 【详解】解：若点N 在直线l 上则220ax bx c ++=，∴不存在实数δ，使点N 在直线l 上，故①不正确；若1δ=，则1122ax by c ax by c ++=++， 即1221y y ax x b-=--， MN l k k ∴=， 即过M 、N 两点的直线与直线l 平行，故②正确； 若1δ=-，则11220ax by c ax by c +++++= 即，1212()()022x x y y a b c ++++=， ∴直线l 经过线段MN 的中点，即③正确；若1δ>，则11220ax by c ax by c ++>++>，或12220ax by c ax by c ++<++<， 即点M 、N 在直线l 的同侧，且直线l 与线段MN 不平行．故④正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查两直线的位置关系，点与直线的位置关系，直线的一般式方程等知识的综合应用，若两直线平行则两直线的斜率相等．14．【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB 面积要使四边形MACB 面积最小则需最小此时CM 与直线垂直求得以CM 为直径的圆的方程再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程【详解】由圆的标准方程可知圆 解析：210x y ++=【分析】由已知结合四边形面积公式可得四边形MACB面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，求得以CM 为直径的圆的方程，再与圆C 的方程联立可得AB 所在直线方程. 【详解】由圆的标准方程可知，圆心C (1，1) ，半径r =2.因为四边形MACB的面积2||||2||CAM S S CA AM MA ==⋅==△ 要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直. 直线CM 的方程为11(x 1)2y -=- ，即11.22y x =+联立112222y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=--⎩，解得(1,0)M -则以CM 为直径的圆的方程为2215()24x y +-=， 联立222215(),24(1)(1)4x y x y ⎧+-=⎪⎨⎪-+-=⎩消去二次项可得直线AB 的方程为210x y ++=， 故答案为：210x y ++= 【点睛】关键点点睛：根据四边形的面积表达式可以看出要使四边形MACB 面积最小，则需||CM 最小，此时CM 与直线l 垂直，此时所做圆的直径为CM ，写出圆的方程，两圆方程相减即可求出过AB 的直线方程.15．【分析】利用对称性作点关于轴的对称点利用数形结合求的最小值【详解】作点关于轴的对称点则最小值即为到直线的距离所以的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性作点关于轴的对称点则再利解析：5【分析】利用对称性，作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，||||||||AM MN A M MN '+=+，利用数形结合求AM MN +的最小值.【详解】作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，则||||||||AM MN A M MN '+=+，最小值即为(3,1)A '--到直线250x y +-=的距离，12555d ==，所以||||AM MN +的最小值为55. 125【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用对称性作点(3,1)A -关于x 轴的对称点(3,1)A '--，则AM A N '=，再利用点到直线的距离比其他折线都短，计算||||AM MN +的最小值. 16．x ＋4y －4＝0【分析】设l1与l 的交点为A(a8－2a)求得关于的对称点坐标利用对称点在直线上求得即得点坐标从而得直线方程【详解】设l1与l 的交点为A(a8－2a)则由题意知点A 关于点P 的对称点B解析：x ＋4y －4＝0【分析】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，求得A 关于P 的对称点坐标，利用对称点在直线2l 上求得a ，即得A 点坐标，从而得直线l 方程．【详解】设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4， 即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 故答案为：x ＋4y －4＝0. 【点睛】本题考查求直线方程，解题方法是根据点关于点的对称点求解，直线l 与已知两直线各有一个交点，P 是这两个交点连线段中点，因此可设其中一点坐标，由对称性表示出另一点坐标，代入第二条直线方程可求得交点坐标，从而得直线方程．17．7【分析】根据两圆相离可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个【详解】解：因为两圆是相离的所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个是以原点为圆心即；与两圆都外切的有2个设切点解析：7 【分析】根据两圆相离，可以判定出与两圆都相切且半径为3的圆有7个．【详解】解：因为两圆221:(2)1O x y ++=，222:(2)1O x y -+=是相离的，所以与两圆都相切且半径为3的圆的情况如下：与两圆都内切的有1个，是以原点为圆心，即229x y +=；与两圆都外切的有2个，设切点为(0,)b 4b =⇒=±∴22(9x y +±=，同理，利用圆与圆的圆心距和半径的关系可得：与圆1O 外切于圆2O 内切的圆有2个；与圆1O 内切于圆2O 外切的圆有2个；分别为223()(92x y ++±=和223()(92x y -+=，共7个， 故答案为：7． 【点睛】由圆心距判断两圆的位置关系相离，再利用直观想象可得与两圆都相切的情况，包括内切和外切两类.18．13【分析】由两直线方程可得定点再联立两直线方程解出的坐标然后由两点间距离公式可得进而可以求解【详解】动直线过定点动直线过定点联立方程解得则由两点间距离公式可得：故答案为：13【点睛】本题考查了直线解析：13 【分析】由两直线方程可得定点(0,1)A ，(3,1)B --，再联立两直线方程解出P 的坐标，然后由两点间距离公式可得2PA ，2PB ，进而可以求解． 【详解】动直线10kx y +-=过定点(0,1)A 动直线30x ky k --+=过定点(3,1)B --联立方程1030kx y x ky k +-=⎧⎨--+=⎩，解得223(1k P k -+，2231)1k k k -+++， 则由两点间距离公式可得：PA =PB =2432432222222222224129412991249124()()(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k PA PB k k k k -+-+++++∴+=+++++++422213(21)13(1)k k k ++==+，故答案为：13． 【点睛】本题考查了直线中定点问题以及两点间距离公式，考查了学生的运算能力，属于基础题．19．【分析】把直线的一般方程化为斜截式方程得到斜率即可求出倾斜角【详解】由可得：所以斜率即所以倾斜角为故填【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角属于基础题解析：34π 【分析】 把直线的一般方程化为斜截式方程，得到斜率，即可求出倾斜角. 【详解】由20180x y +-=可得：2008y x =-+ ，所以斜率1k =-，即tan 1α=-，所以倾斜角为34π，故填34π. 【点睛】本题主要考查直线的斜率及倾斜角，属于基础题.20．【解析】【分析】设出定点A 根据点到直线的距离公式求出点到直线l 的距离由距离为常数利用一般到特殊的思想令分析可得定点A 的坐标检验一般性可知动直线l 是以为圆心半径为的圆的切线系即可求出定点A 的坐标为【详 解析：()2,1【解析】 【分析】设出定点A ，根据点到直线的距离公式求出点A 到直线l 的距离，由距离为常数，利用一般到特殊的思想，令0,1,1m =-分析可得，定点A 的坐标，检验一般性可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系,即可求出定点A 的坐标为()2,1. 【详解】设定点A 为(),a b ，所以点A 到直线l 的距离d =无论m R ∈，d 为定值，所以令0m = 可得，2d b =-，令1m = 可得，3d a =-， 令1m =-可得，1d a =- ，由31a a -=- 可得，2a =，即有1b =或3b = ．当定点A 为()2,1 时，22111m d m +===+ ，符合题意； 当定点A 为()2,3时，22131m d m -==+ ，显然d 的值随m 的变化而变化，不符题意，舍去．综上可知，动直线l 是以()2,1 为圆心,半径为1的圆的切线系，所以定点A 为2,1．故答案为：()2,1． 【点睛】本题主要考查直线系方程的识别和应用，点到直线的距离公式的应用，考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）11924y x =-+；（2）280x y -+=. 【分析】（1）设AB 边的垂直平分线为l ，求出12l k =-，即得AB 边的垂直平分线所在的直线方程；（2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ，求出(0,4)M 即得解. 【详解】（1）设AB 边的垂直平分线为l ， 有题可知53221AB k -==-，12lk ， 又可知AB 中点为3,42⎛⎫⎪⎝⎭，∴l 的方程为13422y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即11924y x =-+， （2）设B 关于直线30x y -+=的对称点M 的坐标为(,)a b ；则311133022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得04a b =⎧⎨=⎩，所以(0,4)M ，由题可知A ，M 两点都在直线AC 上，所以直线AC 的斜率为541202-=-，所以直线AC 的方程为14(0)2y x -=-， 所以AC 所在直线方程为280x y -+=.【点睛】方法点睛：求直线方程常用的方法是：待定系数法，先定式（点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式），再定量.22．（1）证明见解析；定值为2；（2）225((2x y -+=. 【分析】（1）由题可得出圆的方程，即可得出,A B 坐标，进而可求出面积； （2）由题可得OC PQ ⊥，利用斜率可求出m . 【详解】解：（1）由已知圆的半径r OC ==， 故圆C 的方程为222211()()x m y m m m-+-=+， 即22220x y mx y m +--=， ∴(2,0)A m ，2(0,)B m， ∴112||||2222OABSOA OB m m=⋅=⨯⋅=， ∴OAB 的面积为定值2.（2）∵||||OP OQ =，||||CP CQ =，∴OC PQ ⊥，而2PQ k =-，∴2112OC k m==，∴m =∴圆C 的方程为225((22x y +-=或225(()22x y +++=当圆C 为225((22x y ++=时，圆心到直线23y x =-+的距离|3|352d --==>， 此时直线与圆相离，故舍去.∴圆C 的方程为225((22x y +-=. 【点睛】关键点睛：本题考查圆中三角形面积的定值问题以及求圆的标准方程，解题的关键是将点A ，B 都用m 表示出来，根据||||OP OQ =得出OC PQ ⊥. 23．（1）22(2)(2)9x y ++-=；（2）11,,210⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【分析】（1）由三条直线得到三交点,,A B C 构成直角三角形，联立方程组，求得,A C 点的坐标，得到圆心坐标和半径，进而求得圆的方程；（2）由两圆相交，得到|3|||43||a a -<<+，即可求得a 的取值范围． 【详解】（1）由题意，三条直线123:20,:20,:210l x y l x l x y -=+=+-=， 可得2l 平行于y 轴，1l 与3l 互相垂直，三交点,,A B C 构成直角三角形， 经过,,A B C 三点的圆就是以AC 为直径的圆． 由方程组2020x y x -=⎧⎨+=⎩，解得21x y =-⎧⎨=-⎩，所以点A 的坐标是(2,1)--．由方程组20210x x y +=⎧⎨+-=⎩，解得25x y =-⎧⎨=⎩，所以点C 的坐标是(2,5)-．可得线段AC 的中点坐标是(2,2)-，又由||6AC =，所以ABC 外接圆的方程为22(2)(2)9x y ++-=．（2）由圆222:()D x a y a -+=与22(2)(2)9x y ++-=相交，所以|3|||43||a a -<<+，化简得6||146||1a a a -+<<+， 当0a <时，12a <-；当0a >时，110a >． 综上可得，a 的取值范围是11,,210⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 【点睛】圆与圆的位置关系问题的解题策略：判断两圆的位置关系时常采用几何法，即利用两圆的圆心之间的距离与两圆的半径间的关系进行判断，一般不采用代数法；若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去22,x y 项得到.24．（1）22(2)25x y ++=；（2）5x =或34170x y -+=. 【分析】（1）联立点A 和B 的中垂线与直线l ，求出圆心坐标，算出圆心与A 距离，写出圆的标准方程即可；（2）讨论斜率存在与不存在，将直线与圆相切转化为d r =，解出k ，代回直线方程化简即可. 【详解】（1）根据题意可得2113(4)AB k -==---，,A B 中点坐标为73(,)22-，所以AB 的中垂线为7322y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，即2y x =--， 联立方程202x y y x --=⎧⎨=--⎩可得圆心坐标(0,2)-，又222(0(3))(22)25r =--+--=， 所以圆C 的方程为22(2)25x y ++=.（2）①过点P 斜率不存在的直线为5x =，与圆C 相切； ②过点P 斜率存在的直线设斜率为k ， 则(5)8y k x =-+，即580kx y k --+= 圆心(0,2)-到切线的距离为5=，解得34k =综上，切线的方程为5x =或34170x y -+=. 【点睛】求圆的方程的两种方法：（1）几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程； （2）待定系数法：①根据题意，选择标准方程与一般方程； ②根据条件列出关于,,a b r 或,,D E F 的方程组； ③解出,,a b r 或,,D E F ，代入标准方程或一般方程.25．3m =-【分析】圆的方程中22,x y 系数需相等，可得22212m m m m +-=-+，解方程即可得答案； 【详解】要使方程()()222221220m m x m m y m +-+-+++=表示的图形是一个圆，需满足22212m m m m +-=-+，得2230m m +-=， 所以3m =-或1m =．①当1m =时，方程为2232x y +=-不合题意，舍去；②当3m =-时，方程为2214141x y +=，即22114x y +=为半径的圆．综上，3m =-满足题意． 【点睛】圆的一般方程形式为2222(4)00x y Dx Ey F D E F ++++=+->，注意方程的特点是求解的关键.26．（1）圆心(1,2)-；半径2；（2）2x =或3460x y --=. 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，直接求圆心和半径；（2）利用弦长公式，得到圆心到直线的距离，分斜率存在和不存在两种情况，求直线方程. 【详解】（1）()()22222410124x y x y x y +-++=⇔-++=圆心(1,2)- 半径2；（2）圆222410x y x y +-++=可化为22(1)(2)4x y -++=.所以圆心到直线的距离为1d ==当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =， 此时直线l被圆C 截得的弦长为当直线l 的斜率k 存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，即20kx y k --=1= 解得34k =∴直线的方程为3460x y --=综上所述，直线l 的方程为2x =或3460x y --=.【点睛】易错点睛：本题第二问，根据弦长求直线方程时，不要忽略过定点直线，其中包含斜率存在和不存在两种情况，否则容易丢根.。
第二章直线和圆的方程章末质量检测试卷 - 高二新教材数学上学期(人教A版2019选择性必修第一册)
第二章直线和圆的方程质量检测卷(时间:120分钟分值:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.1.过点A(3,-4),B(-2,m)的直线l的斜率为-2,则m的值为()A.6B.1C.2D.4解析:由题意知直线l的斜率为-2,则m+4=-2,解得m=6.-2-3答案:A2.过点(-1,2),且斜率为2的直线的方程是()A.2x-y+4=0B.2x+y=0C.2x-y+5=0D.x+2y-3=0解析:因为直线过点(-1,2),且斜率为2,所以该直线方程为y-2=2(x+1),即2x-y+4=0.答案:A3.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=2解析:由题意,知圆的半径r=√12+12=√2,所以圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2.答案:D4.过点(2,0)且与直线2x-4y-1=0平行的直线的方程是()A.x-2y-1=0B.2x+y-4=0C.x-2y-2=0D.x+2y-2=0解析:由题意,知直线2x-4y-1=0的斜率k=1,故所求直线的方程为2(x-2),化简得x-2y-2=0.y-0=12答案:C5.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为()A.√3B.2C.√6D.2√3解析:由题意,知过原点且倾斜角为60°的直线方程为y=√3x.因为圆的方程可化为x2+(y-2)2=4,所以半径r=2,圆心为(0,2),且(0,2)到直线y=√3x的距离d=1,所以弦长为2√22-12=2√3.答案:D6.当点P在圆x2+y2=1上运动时,连接点P与定点Q(3,0),线段PQ 的中点M的轨迹方程是()A.(x+3)2+y2=1B.(x -3)2+y 2=1C.(2x -3)2+4y 2=1D.(2x +3)2+4y 2=1解析:设动点P 的坐标为(x 0,y 0),PQ 的中点M 的坐标为(x ,y ), 可得{x =x 0+32,y =y 02,解得{x 0=2x -3,y 0=2y . 因为点P (x 0,y 0)在圆x 2+y 2=1上, 所以(2x -3)2+(2y )2=1,即(2x -3)2+4y 2=1. 所以点M 的轨迹方程是(2x -3)2+4y 2=1. 答案:C7.已知圆C 的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3x +4y +4=0与圆C 相切,则圆C 的方程为 ( )A.x 2+y 2-2x -3=0B.x 2+y 2+4x =0C.x 2+y 2+2x -3=0D.x 2+y 2-4x =0解析:由题意设圆心坐标为C (a ,0)(a >0).因为圆C 与直线3x +4y +4=0相切,圆C 的半径为2,所以√9+16=2,解得a =2,所以圆心为C (2,0),所以圆C 的方程为(x -2)2+y 2=4,即x 2+y 2-4x =0. 答案:D8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在区域为x 2+y 2≤1,若将军从点A (3,0)处出发,河岸线所在直线方程为x +y =4,并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营,则“将军饮马”的最短总路程为 ( )A.√17-1B.√17-√2C.√17D.3-√2解析:如图所示,设点A 关于直线x +y =4的对称点为A'(a ,b ),军营所在区域的圆心为O ,连接A'O.根据题意,|A'O |-1为最短距离. 所以线段AA'的中点为(a+32,b 2),直线AA'的斜率为1, 所以直线AA'的方程为y =x -3. 根据题意,得{a+32+b2=4,b =a -3,解得{a =4,b =1,所以点A'的坐标为(4,1),所以|A'O |=√42+12=√17, 所以|A'O |-1=√17-1,即“将军饮马”的最短总路程为√17-1.答案:A二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,则实数a 的值为()A.-3B.3C.-1D.1解析:因为A(-2,-4),B(1,5)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等,所以√a2+1=√a2+1,即|2a+3|=|a+6|,解得a=3或a=-3.故选AB.答案:AB10.已知直线l1:x+ay-a=0和直线l2:ax-(2a-3)y-1=0,下列说法正确的是()A.直线l2始终过定点(23,1 3 )B.若l1∥l2,则a=1或a=-3C.若l1⊥l2,则a=0或a=2D.当a>0时,l1始终不过第三象限解析:直线l2:a(x-2y)+3y-1=0始终过定点(23,13),A项正确;当a=1时,l1,l2重合,B项错误;由1×a +a ×(3-2a )=0,得a =0或a =2,C 项正确;直线l 1的方程可化为y =-1a x +1,可知其始终过点(0,1).当a >0时,直线l 1的斜率为负,不会过第三象限,D 项正确.故选ACD . 答案:ACD11.过点P (2,4)引圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,则切线的方程为 ( ) A.x =-2 B.x =2 C.4x -3y +4=0 D.4x +3y -4=0解析:根据题意,知圆(x -1)2+(y -1)2=1的圆心为(1,1),半径r =1. 过点P (2,4)引圆(x -1)2+(y -1)2=1的切线,若切线的斜率不存在,此时切线的方程为x =2,符合题意;若切线的斜率存在,设此时切线的斜率为k ,则其方程为y -4=k (x -2),即kx -y -2k +4=0,所以√k 2+1=1,解得k =43,则切线的方程为4x -3y +4=0.综上所述,切线的方程为x =2或4x -3y +4=0. 故选BC . 答案:BC12.若圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2+2x -4y =0的交点为A ,B ,则有( )A.公共弦AB 所在直线的方程为x -y =0B.线段AB 的垂直平分线的方程为x +y -1=0C.公共弦AB 的长为√22D.P 为圆O 1上一动点,则点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1 解析:已知圆O 1:x 2+y 2-2x =0和圆O 2:x 2+y 2+2x -4y =0的交点为A ,B ,两圆的方程相减可得圆O 1与圆O 2的公共弦AB 所在直线的方程为 x -y =0,故A 项正确;由题意,知O 1(1,0),O 2(-1,2),线段O 1O 2所在直线斜率为-1,线段O 1O 2的中点为(0,1),所以线段AB 的垂直平分线的方程为y -1=-x ,即x +y -1=0,故B 项正确;由题意,知圆O 1:x 2+y 2-2x =0的圆心为O 1(1,0),半径r 1=1,圆心O 1(1,0)到直线x -y =0的距离d =√2=√22,所以点P 到直线AB 的距离的最大值为√22+1,圆O 1与圆O 2的公共弦AB 的长为2√1-12=√2,故C 项错误,D 项正确.故选ABD . 答案:ABD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若直线l 1:ax +y +2a =0与直线l 2:x +ay +3=0互相平行,则实数a =±1.解析:由两直线平行的条件,得{a 2-1=0,3a -2a ≠0,解得a =±1.14.圆C :x 2+y 2-2x -4y +4=0的圆心到直线l :3x +4y +4=0的距离d =3. 解析:由题意,知圆心坐标为(1,2),所以圆心到直线l :3x +4y +4=0的距离d =√32+42=3.15.已知圆C 1:x 2+y 2=1和圆C 2:(x -4)2+(y -3)2=r 2(r >0)外切,则r 的值为4;若点A (x 0,y 0)在圆C 1上,则x 02+y 02-4x 0的最大值为5.(本题第一空2分,第二空3分)解析:由两个圆外切可得圆心距等于两个圆的半径之和, 所以√(4-0)2+(3-0)2=1+r ,解得r =4.因为点A (x 0,y 0)在圆C 1上,所以x 02+y 02=1,且x 0∈[-1,1], 所以x 02+y 02-4x 0=1-4x 0∈[-3,5], 所以x 02+y 02-4x 0的最大值为5.16.在△ABC 中,BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0,角A 的平分线所在直线的方程为y =0,顶点B 的坐标为(1,2),则△ABC 的面积为12.解析:由方程组{x -2y +1=0,y =0,求得点A 的坐标为(-1,0).因为边AB所在直线的斜率为k AB =1,且角A 的平分线所在直线的方程为y =0,所以边AC 所在直线的斜率为-1,其方程为y =-(x +1),即y =-x -1.因为BC 边上的高所在直线的方程为x -2y +1=0,所以边BC 所在直线的斜率为-2,所以边BC 所在直线的方程为y -2=-2(x -1),即y =-2x +4.联立方程,得{y =-2x +4,y =-x -1,解得{x =5,y =-6,即顶点C 的坐标为(5,-6),所以|BC |=4√5,点A 到直线BC 的距离d =√5=√5,所以△ABC 的面积为S =12|BC |·d =12×4√5×√5=12.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在△ABC 中,点A 的坐标为(0,1),AB 边上的高CD 所在直线的方程为x +2y -4=0,AC 边上的中线BE 所在直线的方程为2x +y -3=0.(1)求直线AB 的方程; (2)求直线BC 的方程.解:(1)由已知,得直线AB 的斜率为2, 所以AB 边所在直线的方程为y -1=2(x -0), 即2x -y +1=0.(2)由{2x -y +1=0,2x +y -3=0,得{x =12,y =2, 即点B 的坐标为(12,2).设点C 的坐标为(m ,n ),则由已知条件得{m +2n -4=0,2×m 2+n+12-3=0, 解得{m =2,n =1,所以点C 的坐标为(2,1).所以BC 边所在直线的方程为y -12-1=x -212-2,即2x +3y -7=0.18.(12分)已知直线l 1:mx +8y +n =0和直线l 2:2x +my -1=0,试分别确定满足下列条件的m ,n 的值.(1)l 1与l 2相交于点(m ,-1); (2)l 1∥l 2;(3)l 1⊥l 2,且l 1在y 轴上的截距为-1. 解:(1)因为l 1与l 2相交于点(m ,-1), 所以点(m ,-1)在l 1,l 2上.将点(m ,-1)代入l 2的方程,得2m -m -1=0,解得m =1. 所以交点的坐标为(1,-1).把点(1,-1)的坐标代入l 1的方程,得n =7. 所以m =1,n =7.(2)要使l 1∥l 2,则有{m 2-16=0,m ×(-1)-2n ≠0,解得{m =4,n ≠-2或{m =-4,n ≠2.(3)要使l 1⊥l 2,则有2m +8m =0,解得m =0. 将m =0代入直线l 1的方程,得y =-n8.因为l 1在y 轴上的截距为-1, 所以-n8=-1,解得n =8.所以m =0,n =8.19.(12分)已知直线l :y =kx +3(k >0)与x 轴、y 轴围成的三角形面积为94,圆M 的圆心在直线l 上,与x 轴相切,且在y 轴上截得的弦长为4√6.(1)求直线l 的方程(结果用一般式表示); (2)求圆M 的标准方程.解:(1)在直线方程y =kx +3(k >0)中,令x =0,得y =3;令y =0,得x =-3k . 所以12×3×|-3k |=94. 因为k >0,所以k =2.所以直线l 的方程为2x -y +3=0.(2)设圆M 的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0).由题意可知{2a -b +3=0,|b |=r ,(2√6)2+|a |2=r 2,解得{a =-5,b =-7,r =7或{a =1,b =5,r =5.故圆M 的标准方程为(x +5)2+(y +7)2=49 或(x -1)2+(y -5)2=25.20.(12分)一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降1 m 后,水面宽多少米?解:以圆拱顶点为原点,以过圆拱顶点的竖直直线为y 轴,建立如图所示的平面直角坐标系.设圆拱所在圆的圆心为C ,水面所在弦的端点为A ,B ,则由已知可得A (6,-2).设圆的半径为r ,则C (0,-r),即圆的方程为x 2+(y +r )2=r 2.将点A 的坐标代入可得r =10,所以圆的方程为x 2+(y +10)2=100.当水面下降1 m 后,可设A'(x 0,-3)(x 0>0)在圆上,代入x 2+(y +10)2=100,解得x 0=√51,即当水面下降1 m 后,水面宽为2x 0=2√51 m .21.(12分)在平面直角坐标系Oxy 中,曲线y =x 2-6x +1与坐标轴的交点都在圆C 上.(1)求圆C 的方程;(2)若圆C 与直线x -y +a =0交于A ,B 两点,且OA ⊥OB ,求a 的值. 解:(1)由题意,得曲线y =x 2-6x +1与y 轴的交点为(0,1),与x 轴的交点为(3+2√2,0), (3-2√2,0).故可设圆C 的圆心为(3,t ),则有32+(t -1)2=(2√2)2+t 2,解得t =1, 所以圆C 的半径为√32+(1-1)2=3,所以圆C 的方程为(x -3)2+(y -1)2=9.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则两点的坐标满足方程组{x -y +a =0,(x -3)2+(y -1)2=9.消去y 整理,得2x 2+(2a -8)x +a 2-2a +1=0.由已知可得,判别式Δ=56-16a -4a 2>0,且x 1+x 2=4-a ,x 1x 2=a 2-2a+12.①由于OA ⊥OB ,可得x 1x 2+y 1y 2=0.因为y 1=x 1+a ,y 2=x 2+a ,所以2x 1x 2+a (x 1+x 2)+a 2=0. ②由①②,得a =-1,经检验a =-1满足Δ>0,所以a =-1.22.(12分)已知圆M 与直线x =2相切,圆心M 在直线x +y =0上,且直线x -y -2=0被圆M 截得的弦长为2√2.(1)求圆M 的方程,并判断圆M 与圆N :x 2+y 2-6x +8y +15=0的位置关系.(2)若在x 轴上的截距为-1且不与坐标轴垂直的直线l 与圆M 交于A ,B 两点,在x 轴上是否存在定点Q , 使得k AQ +k BQ =0?若存在,求出Q 点坐标;若不存在,说明理由.解:(1)设圆M 的圆心为M (a ,-a ),半径为r ,则{r =|a -2|,√2=√r 2-(2√22)2,解得{a =0,r =2,即圆心坐标为(0,0),r =2, 所以圆M 的方程为x 2+y 2=4.由题意知,圆N 的圆心为(3,-4),半径R =√10,r +R =2+√10,R -r =√10-2.因为|MN |=5,√10-2<5<√10+2,所以圆M 与圆N 相交.(2)存在.方法一:设l :x =my -1(m ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由{x =my -1,x 2+y 2=4,得(m 2+1)y 2-2my -3=0.由根与系数的关系,得{y 1+y 2=2mm 2+1,y 1y 2=-3m 2+1. 假设存在Q (t ,0)满足条件, 则k AQ =y 1x 1-t =y 1my 1-t -1,k BQ =y 2x 2-t =y 2my 2-t -1,由k AQ +k BQ =0,得y 1my 1-t -1+y 2my 2-t -1=0, 即y 1[my 2-(t+1)]+y 2[my 1-(t+1)](my 1-t -1)(my 2-t -1) =2my 1y 2-(t+1)(y 1+y 2)(my 1-t -1)(my 2-t -1) =-6m -2m (t+1)(m 2+1)(my 1-t -1)(my 2-t -1)=0, 即2m (t +4)=0且m ≠0,所以t =-4. 所以存在Q (-4,0)满足条件. 方法二:设l :y =k (x +1)(k ≠0),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2). 由{y =k (x +1),x 2+y 2=4,得(k 2+1)x 2+2k 2x +k 2-4=0, 则{x 1+x 2=-2k 2k 2+1,x 1x 2=k 2-4k 2+1. 假设存在Q (t ,0)满足条件, 则k AQ +k BQ =y 1x 1-t +y 2x 2-t =k (x 1+1)x 1-t +k (x 2+1)x 2-t =k [(x 1+1)(x 2-t )+(x 2+1)(x 1-t )](x 1-t )(x 2-t ) =k [2x 1x 2-t (x 1+x 2)-2t+x 1+x 2](x 1-t )(x 2-t ) =k [2k 2-8+2k 2t -2k 2t -2t -2k 2](k 2+1)(x 1-t )(x 2-t )=k(-8-2t)=0,(k2+1)(x1-t)(x2-t)解得t=-4.所以存在Q(-4,0)满足条件.。
新教材高考数学第二章直线和圆的方程章末复习练习含解析新人教A版选择性必修第一册
章末复习一、两直线的平行与垂直 1．判断两直线平行、垂直的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2. (2) 若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (讨论两直线平行、垂直不要遗漏直线斜率不存在的情况)2．讨论两直线的平行、垂直关系，可以提升学生的逻辑推理素养． 例1 (1)已知A ⎝⎛⎭⎪⎫1，－a ＋13，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－13，C (2－2a ，1)，D (－a ，0)四点，若直线AB 与直线CD 平行，则a ＝________.答案 3解析 k AB ＝－13＋a ＋130－1＝－a3，当2－2a ＝－a ，即a ＝2时，k AB ＝－23，CD 的斜率不存在．∴AB 和CD 不平行；当a ≠2时，k CD ＝0－1－a －2＋2a ＝12－a.由k AB ＝k CD ，得－a 3＝12－a，即a 2－2a －3＝0.∴a ＝3或a ＝－1.当a ＝3时，k AB ＝－1，k BD ＝0＋13－3＝－19≠k AB ，∴AB 与CD 平行．当a ＝－1时，k AB ＝13，k BC ＝1＋134＝13，k CD ＝1－04－1＝13，∴AB 与CD 重合．∴当a ＝3时，直线AB 和直线CD 平行．(2)若点A (4，－1)在直线l 1：ax －y ＋1＝0上，则l 1与l 2：2x －y －3＝0的位置关系是________． 答案 垂直解析 将点A (4，－1)的坐标代入ax －y ＋1＝0， 得a ＝－12，则12·l l k k ＝－12×2＝－1，∴l 1⊥l 2. 反思感悟 一般式方程下两直线的平行与垂直：已知两直线的方程为l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0(A 1，B 1不同时为0)，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(A 2，B 2不同时为0)，则l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且C 1B 2－C 2B 1≠0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.跟踪训练1 (1)已知直线l 1：ax －3y ＋1＝0，l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0.若l 1⊥l 2，则实数a 的值为________． 答案 －3(2)已知两直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，若l 1∥l 2，则m ＝________. 答案 －1解析 因为直线x ＋my ＋6＝0与(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0平行，所以⎩⎪⎨⎪⎧1×3－m m －2＝0，2m ≠6m －2，解得m ＝－1.二、两直线的交点与距离问题1．两条直线的位置关系的研究以两直线的交点为基础，通过交点与距离涵盖直线的所有问题． 2．两直线的交点与距离问题，培养学生的数学运算的核心素养．例2 (1)若点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，则实数a 的值为( )A ．－1B ．5C ．－1或5D ．－3或3答案 C解析 ∵点(1，a )到直线y ＝x ＋1的距离是322，∴|1－a ＋1|2＝322，即|a －2|＝3，解得a ＝－1或a ＝5，∴实数a 的值为－1或5.(2)过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，求直线l 的方程．解 设l 1与l 的交点为A (a ，8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ，2a －6)在l 2上， 代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0， 解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 反思感悟跟踪训练2 (1)设两条直线的方程分别为x ＋y ＋a ＝0，x ＋y ＋b ＝0，已知a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离为( ) A ．2 3 B. 2 C ．2 2 D.322答案 D解析 根据a ，b 是关于x 的方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，可得a ＋b ＝－1，ab ＝－2， ∴a ＝1，b ＝－2或a ＝－2，b ＝1，∴|a －b |＝3， 故两条直线之间的距离d ＝|a －b |2＝32＝322.(2)已知直线l 过直线l 1：x －2y ＋3＝0与直线l 2：2x ＋3y －8＝0的交点，且点P (0,4)到直线l 的距离为2，则这样的直线l 的条数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 C解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋3＝0，2x ＋3y －8＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即直线l 过点(1,2)．设点Q (1,2)，因为|PQ |＝1－02＋2－42＝5＞2，所以满足条件的直线l 有2条．故选C.方法二 依题意，设经过直线l 1与l 2交点的直线l 的方程为2x ＋3y －8＋λ(x －2y ＋3)＝0(λ∈R )，即(2＋λ)x ＋(3－2λ)y ＋3λ－8＝0.由题意得|12－8λ＋3λ－8|2＋λ2＋3－2λ2＝2，化简得5λ2－8λ－36＝0，解得λ＝－2或185，代入得直线l 的方程为y ＝2或4x －3y ＋2＝0，故选C.三、直线与圆的位置关系 1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离． 2．研究直线与圆的位置关系，集中体现了直观想象和数学运算的核心素养． 例3 已知直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋12y ＋20＝0. (1)m ∈R 时，证明l 与C 总相交；(2)m 取何值时，l 被C 截得的弦长最短？求此弦长． (1)证明 直线的方程可化为y ＋3＝2m (x －4)， 由点斜式可知，直线恒过点P (4，－3)．由于42＋(－3)2－6×4＋12×(－3)＋20＝－15<0， 所以点P 在圆内，故直线l 与圆C 总相交． (2)解 圆的方程可化为(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.如图，当圆心C (3，－6)到直线l 的距离最大时，线段AB 的长度最短．此时PC ⊥l ，又k PC ＝－3－－64－3＝3，所以直线l 的斜率为－13，则2m ＝－13，所以m ＝－16.在Rt△APC 中，|PC |＝10，|AC |＝r ＝5. 所以|AB |＝2|AC |2－|PC |2＝215.故当m ＝－16时，l 被C 截得的弦长最短，最短弦长为215.反思感悟 直线与圆问题的类型(1)求切线方程：可以利用待定系数法结合图形或代数法求得．(2)弦长问题：常用几何法(垂径定理)，也可用代数法结合弦长公式求解． 跟踪训练3 已知圆C 关于直线x ＋y ＋2＝0对称，且过点P (－2, 2)和原点O . (1)求圆C 的方程；(2)相互垂直的两条直线l 1，l 2都过点A (－1, 0)，若l 1，l 2被圆C 所截得的弦长相等，求此时直线l 1的方程．解 (1)由题意知，直线x ＋y ＋2＝0过圆C 的圆心，设圆心C (a ，－a －2)． 由题意，得(a ＋2)2＋(－a －2－2)2＝a 2＋(－a －2)2， 解得a ＝－2.因为圆心C (－2,0)，半径r ＝2， 所以圆C 的方程为(x ＋2)2＋y 2＝4.(2)由题意知，直线l 1，l 2的斜率存在且不为0， 设l 1的斜率为k ，则l 2的斜率为－1k，所以l 1：y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0，l 2：y ＝－1k(x ＋1)，即x ＋ky ＋1＝0.由题意，得圆心C 到直线l 1，l 2的距离相等， 所以|－2k ＋k |k 2＋1＝|－2＋1|k 2＋1，解得k ＝±1， 所以直线l 1的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y ＋1＝0. 四、圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系：一般利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系． 2．圆与圆的位置关系的转化，体现直观想象、逻辑推理的数学核心素养． 例4 已知圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0与圆C 2：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0. (1)证明圆C 1与圆C 2相切，并求过切点的两圆公切线的方程； (2)求过点(2, 3)且与两圆相切于(1)中切点的圆的方程．解 (1)把圆C 1与圆C 2都化为标准方程形式，得(x ＋2)2＋(y －2)2＝13，(x －4)2＋(y ＋2)2＝13.圆心与半径长分别为C 1(－2,2)，r 1＝13；C 2(4，－2)，r 2＝13.因为|C 1C 2|＝－2－42＋2＋22＝213＝r 1＋r 2，所以圆C 1与圆C 2相切．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋4x －4y －5＝0，x 2＋y 2－8x ＋4y ＋7＝0，得12x －8y －12＝0，即3x －2y －3＝0，就是过切点的两圆公切线的方程． (2)由圆系方程，可设所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋λ(3x －2y －3)＝0.点(2, 3)在此圆上，将点坐标代入方程解得λ＝43.所以所求圆的方程为x 2＋y 2＋4x －4y －5＋43(3x －2y －3)＝0，即x 2＋y 2＋8x －203y －9＝0.反思感悟 两圆的公共弦问题(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0. (2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．跟踪训练4 (1)已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A ， B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________． 答案 x ＋y －3＝0解析 AB 的中垂线即为圆C 1、圆C 2的连心线C 1C 2. 又C 1(3,0)，C 2(0,3)， 所以C 1C 2所在直线的方程为x ＋y －3＝0.(2)已知圆C 1：x 2＋y 2－4x ＋2y ＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2y －4＝0. ①求证：两圆相交；②求两圆公共弦所在直线的方程．①证明 圆C 1的方程可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝5，圆C 2的方程可化为x 2＋(y －1)2＝5， ∴C 1(2，－1)，C 2(0,1)，两圆的半径均为5， ∵|C 1C 2|＝2－02＋－1－12＝22∈(0,25)，∴两圆相交．②解 将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在直线的方程， (x 2＋y 2－4x ＋2y )－(x 2＋y 2－2y －4)＝0，即x －y －1＝0.1．(2019·天津改编)设a ∈R ，直线ax －y ＋2＝0和圆x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0相切，则a 的值为________． 答案 34解析 由已知条件可得圆的标准方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4，其圆心为(2,1)，半径为2，由直线和圆相切可得|2a －1＋2|a 2＋1＝2，解得a ＝34. 2．(2017·北京改编)在平面直角坐标系中，点A 在圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0上，点P 的坐标为(1，0)，则||AP 的最小值为________． 答案 1解析 x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0， 即(x －1)2＋(y －2)2＝1， 圆心坐标为C (1,2)，半径长为1. ∵点P 的坐标为(1,0)，∴点P 在圆C 外． 又∵点A 在圆C 上，∴|AP |min ＝|PC |－1＝2－1＝1.3．(2017·天津改编)已知点C 在直线l ：x ＝－1上，点F (1,0)，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A . 若∠FAC ＝120°，则圆的方程为________________． 答案 (x ＋1)2＋(y －3)2＝1解析 由圆心C 在l 上，且圆C 与y 轴正半轴相切，可得点C 的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO ＝90°.又因为∠FAC ＝120°， 所以∠OAF ＝30°，所以|OA |＝3， 所以点C 的纵坐标为 3.所以圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.4．(2019·江苏改编)如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB (AB 是圆O 的直径)．规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA .规划要求：线段PB ，QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径．已知点A ，B 到直线l 的距离分别为AC 和BD (C ，D 为垂足)，测得AB ＝10，AC ＝6，BD ＝12(单位：百米)．(1)若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；(2)在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由． 解 (1)如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H .以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 因为BD ＝12，AC ＝6，所以OH ＝9，直线l 的方程为y ＝9，点A ，B 的纵坐标分别为3，－3. 因为AB 为圆O 的直径，AB ＝10， 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝25.从而A (4,3)，B (－4，－3)，直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为－43，直线PB 的方程为y ＝－43x －253.所以P (－13,9)，|PB |＝－13＋42＋9＋32＝15.所以道路PB 的长为15(百米)．(2)①若P 在D 处，取线段BD 上一点E (－4,0)，则EO ＝4<5， 所以P 选在D 处不满足规划要求．②若Q 在D 处，连接AD ，由(1)知D (－4,9)，又A (4,3)， 所以线段AD ：y ＝－34x ＋6(－4≤x ≤4)．在线段AD 上取点M ⎝⎛⎭⎪⎫3，154，因为|OM |＝32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1542<32＋42＝5，所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径． 因此Q 选在D 处也不满足规划要求． 综上，P 和Q 均不能选在D 处．。
高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程+答案解析(附后)
3ngk2nmn高二数学选一人教A版第二章直线和圆的方程2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.3点到直线的距离公式2.3.4两条平行直线间的距离一、单选题（本大题共5小题，共25分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知，，，则点M到直线NF的距离为( )A. B. C. D.2.点到直线的距离大于3，则实数a的取值范围为( )A. B.C. 或D. 或3.过点，且与点，的距离相等的直线的方程是( )A. B.C. 或D. 或4.点到直线的距离是( )A. 3B.C. 1D.5.直线与直线的距离为( )A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30分）6.点到直线的距离为__________.7.已知点到直线的距离为，则__________.已知点到直线的距离不大于3，则a的取值范围是__________.8.若点到直线的距离等于4，则a的值为__________.9.直线与直线的距离为，则c的值为__________.10.已知动点P在直线上运动，动点Q在直线上运动，且，则的最小值为__________.11.两直线和平行，则它们之间的距离为__________.三、解答题（本大题共7小题，共84分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）12.本小题12分求点到直线的距离的最大值.13.本小题12分已知的顶点为，AB边上的中线CM所在直线的方程为，AC边上的高BH所在直线的方程为求顶点B，C的坐标;求的面积.14.本小题12分已知直线恒过定点若直线l经过点A，且坐标原点到l的距离等于2，求l的方程.15.本小题12分已知两条平行直线与直线，求与间的距离.16.本小题12分已知直线l在两坐标轴上的截距相等且不为零，点到直线l的距离为，求直线l的方程.17.本小题12分如图所示，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的长为3，宽为2，边AB，AD分别在x轴，y轴的正半轴上，点A与坐标原点重合.将该矩形折叠，使点A落在线段DC上，已知折痕EF所在直线的斜率为求折痕EF所在直线的方程;若点P为BC的中点，求的面积.18.本小题12分已知平行四边形ABCD的两条对角线AC，BD交于点，其中，求点D的坐标及AD所在直线的方程;求平行四边形ABCD的面积.答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式，先求出N，F所在直线方程，属于基础题【解答】解析易知直线NF的斜率，故直线NF的方程为，即，所以点M到直线NF的距离为，故选2.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式，列不等式求解即可，属于基础题【解答】根据题意得，即，解得或，故选3.【答案】C【解析】【分析】本题考查点到直线距离公式；根据题意分析直线斜率存在，设出直线方程，结合点到直线的距离公式，进而得到结果。
人教版高中数学选择性必修第一册-第2章-直线和圆的方程-章末测试卷(含解析)
第二章直线和圆的方程章末测试卷（原卷版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－12，则|MN|＝( )A．10 B．180C．63D．652．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝13．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝04．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝05．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A．(－22，22) B．(－2，2)C.(－24，24)D.(－18，18)6．已知圆C1：x2＋y2－kx－y＝0和圆C2：x2＋y2－2ky－1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M，且点M在直线mx＋ny＝2上，则m2＋n2的最小值为( )A.15B.55C.255D.457．已知P，Q分别为圆M：(x－6)2＋(y－3)2＝4与圆N：(x＋4)2＋(y－2)2＝1上的动点，A 为x轴上的动点，则|AP|＋|AQ|的最小值为( )A．55－3 B.101－3C．75－3 D．53－38．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )A．x＋(2－1)y－2＝0 B．(1－2)x－y＋2＝0C．x－(2＋1)y＋2＝0 D．(2－1)x－y＋2＝0二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( ) A．x－y＋1＝0 B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0 D．x－y－1＝010．已知点M(3，1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，过点M的圆C的切线方程可能为( ) A．x－3＝0 B．x－2＝0C．3x－4y－5＝0 D．3x＋4y－5＝011．已知圆C1：x2＋y2＝r2(r>0)，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是( )A．a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0B．2ax1＋2by1＝a2＋b2C．x1＋x2＝a D．y1＋y2＝2b12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2＝16上，点A(4，0)，B(0，2)，则( ) A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝32D．当∠PBA最大时，|PB|＝32三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(a＋1)x＋2y＋1＝0与直线(a2－1)x－ay－1＝0平行，则a的值为________．14．已知圆C：(x＋5)2＋y2＝r2(r>0)和直线l：3x＋y＋5＝0.若圆C与直线l没有公共点，则r的取值范围是__________．15．已知直线l：y＝k(x＋4)与圆(x＋2)2＋y2＝4相交于A，B两点，M是线段AB的中点，则点M的轨迹方程为________；点M到直线3x＋4y－6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，－3)是圆Q的圆心，圆Q过坐标原点O，点L，S均在x轴上，圆L与圆S的半径都等于2，圆S、圆L均与圆Q外切．已知直线l过点O.若直线l截圆L、圆S、圆Q所得弦长均等于d，则d＝________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．(1)若点A(5，0)到直线l的距离为3，求直线l的方程；(2)求点A(5，0)到直线l的距离的最大值．18．(12分)已知①经过直线l1：x－2y＝0与直线l2：2x＋y－1＝0的交点；②圆心在直线2x －y＝0上；③被y轴截得弦长|CD|＝22.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q，使得点A(－2，－1)，B(1，－1)均在圆上？19．(12分)求以圆C1：x2＋y2－12x－2y－13＝0和圆C2：x2＋y2＋12x＋16y－25＝0的公共弦为直径的圆的方程．20．(12分)已知圆心为C的圆经过点A(0，2)和B(1，1)，且圆心C在直线l：x＋y＋5＝0上．(1)求圆C的标准方程；(2)若P (x ，y )是圆C 上的动点，求3x －4y 的最大值与最小值．21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O 处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O 的正东方向有一观测站C ，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC ＝15 km ，观测站C 的观测半径为5 km.现以点O 为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y ＝k x (k >0)．(1)若测得鲸的行进路线上一点A (1，1)，求k 的值；(2)在(1)问的条件下，则：①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C 的观测区域内？(计算结果精确到0.1)②当鲸运动到何处时，离观测站C 最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)(参考数据：41≈6.4，11.3≈3.4，58≈7.6)22．(12分)已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0.(1)求直线l 所过定点A 的坐标；(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；(3)如图，已知点M (－3，4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在一定点N (异于点M )，满足对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．1．已知A (－2，1)，B (1，2)，点C 为直线x －3y ＝0上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．22B ．23C ．25D ．272．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝9B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2D ．(x －2)2＋(y －32)2 ＝93．已知直线l 经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l 的方程为( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0D ．2x －3y ＋1＝04．已知圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1与圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．23 B.94C.32D.625．若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，5)B ．(－5，0)C ．(0，13)D ．(0，5)6．已知在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是( )A.3B ．1＋22C ．1＋33D ．2－227．【多选题】已知两圆方程为x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)，则下列说法正确的是( )A ．若两圆外切，则r ＝1B ．若两圆公共弦所在的直线方程为8x －6y －37＝0，则r ＝2C ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r ＝3D ．若两圆有三条公切线，则r ＝28．【多选题】已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1B ．x 2＋y 2＝37C ．x 2＋y 2＝4D ．x 2＋y 2＝1659．已知过点P (4，1)的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为________．10．曲线y ＝1＋9－x 2与直线y ＝k (x －3)＋5有两个交点，则实数k 的取值范围是________．11．在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．12．已知圆C 的圆心在直线l ：x ＋y ＋1＝0上且经过点A (－1，2)，B (1，0)．(1)求圆C 的方程；(2)若过点D (0，3)的直线l 1被圆C 截得的弦长为23，求直线l 1的方程．13．如图，在平面直角坐标系Oxy 中，过点P (0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D .(1)若|AB |＝372，求CD 的长；(2)若线段CD 的中点为E ，求△ABE 面积的取值范围．14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．(3)求线段AB长度的最小值．第二章直线和圆的方程章末测试卷（解析版）[时间：120分钟 满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知过点M(－2，a)，N(a，4)的直线的斜率为－12，则|MN|＝( )A．10 B．180 C．63D．65答案 D解析 k MN＝a－4－2－a＝－12，解得a＝10，即M(－2，10)，N(10，4)，所以|MN|＝（－2－10）2＋（10－4）2＝65.故选D.2．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为( )A．x2＋(y－2)2＝1B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D．(x－2)2＋(y－3)2＝1答案 A解析 方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（0－1）2＋（b－2）2＝1，解得b＝2，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.方法二(数形结合法)：根据点(1，2)到圆心的距离为1，作图易知圆心为(0，2)，故圆的方程为x2＋(y－2)2＝1.故选A.方法三(验证法)：将点(1，2)代入四个选项中，可排除B、D，又圆心在y轴上，所以排除C.故选A.3．过点P(2，3)，且与x轴的正半轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于12的直线的方程是( )A．3x－2y＋12＝0 B．3x＋2y－12＝0C．2x＋3y－13＝0 D．2x－3y＋13＝0答案 B解析 本题主要考查直线的截距式方程及三角形面积的计算．依题意，设直线方程为xa＋yb＝1(a>0，b>0)，所以{12ab＝12，2a＋3b＝1，所以{a＝4，b＝6，于是所求直线的方程为x4＋y6＝1，即3x＋2y－12＝0.故选B.4．若点P(3，－1)为圆(x－2)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )A．x＋y－2＝0 B．2x－y－7＝0C．2x＋y－5＝0 D．x－y－4＝0答案 D解析 设圆心为C(2，0)，所以k PC＝0＋12－3＝－1，所以k AB＝1，所以l AB：x－y－4＝0.故选D.5．已知直线l过点(－2，0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C.(－24，24)D.(－18，18)答案 C解析 易知圆心坐标是(1，0)，半径是1，直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，由点到直线的距离公式，得|k ＋2k |k 2＋1<1，即k 2<18，解得－24<k <24.6．已知圆C 1：x 2＋y 2－kx －y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2ky －1＝0的公共弦所在的直线恒过定点M ，且点M 在直线mx ＋ny ＝2上，则m 2＋n 2的最小值为( )A.15 B.55C.255 D.45答案 C解析 由圆C 1：x 2＋y 2－kx －y ＝0和圆C 2：x 2＋y 2－2ky －1＝0，可得圆C 1和C 2的公共弦所在的直线方程为k (x －2y )＋(y －1)＝0，联立{x －2y ＝0，y －1＝0，解得{x ＝2，y ＝1.即点M (2，1)，又因为点M 在直线mx ＋ny ＝2上，即2m ＋n ＝2，又由原点到直线2x ＋y ＝2的距离为d ＝222＋12＝255，即m 2＋n 2的最小值为255.7．已知P ，Q 分别为圆M ：(x －6)2＋(y －3)2＝4与圆N ：(x ＋4)2＋(y －2)2＝1上的动点，A 为x 轴上的动点，则|AP |＋|AQ |的最小值为( )A ．55－3 B.101－3C ．75－3D ．53－3答案 A解析 圆N ：(x ＋4)2＋(y －2)2＝1关于x 轴对称的圆N ′：(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝1，则|AP |＋|AQ |的最小值为|MN ′|－1－2＝102＋52－3＝55－3.故选A.8．我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长．先作出圆x 2＋y 2＝2的一个内接正八边形，使该八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为( )A ．x ＋(2－1)y －2＝0 B ．(1－2)x －y ＋2＝0C ．x －(2＋1)y ＋2＝0 D ．(2－1)x －y ＋2＝0答案 C解析 本题在数学文化背景下考查直线方程．如图所示，可知A (2，0)，B (1，1)，C (0，2)，D (－1，1)，E (－2，0)，所以AB ，BC ，CD ，DE 所在直线的方程分别为y ＝1－01－2(x －2)，y ＝(1－2)x ＋2，y ＝(2－1)x ＋2，y ＝12－1(x ＋2)，整理为一般式即x ＋(2－1)y －2＝0，(1－2)x －y ＋2＝0，(2－1)x －y ＋2＝0，x －(2－1)y ＋2＝0.故选C.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0答案 ABC解析 当直线过原点时，设直线的方程为y ＝kx ，把点(1，2)代入，得k ＝2，所以此时直线的方程为2x －y ＝0；当直线斜率k ＝1时，设直线的方程为y ＝x ＋b ，把点(1，2)代入，得b ＝1，所以此时直线的方程为x －y ＋1＝0；当直线斜率k ＝－1时，设直线的方程为y ＝－x ＋b ，把点(1，2)代入，得b ＝3，所以此时直线的方程为x ＋y －3＝0.10．已知点M (3，1)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4，过点M 的圆C 的切线方程可能为( )A ．x －3＝0B ．x －2＝0C ．3x －4y －5＝0D ．3x ＋4y －5＝0答案 AC解析 由题意得圆心为C (1，2)，半径r ＝2.∵(3－1)2＋(1－2)2＝5>4，∴点M 在圆C 外部．当过点M 的直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝3，即x －3＝0.又点C (1，2)到直线x －3＝0的距离d ＝3－1＝2＝r ，∴直线x －3＝0是圆C 的切线；当过点M 的圆C 的切线的斜率存在时，设切线方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0，则圆心C 到切线的距离d ＝|k －2＋1－3k |k 2＋12＝2，解得k ＝34，∴切线方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.综上可得，过点M 的圆C 的切线方程为x －3＝0或3x －4y －5＝0.故选AC.11．已知圆C 1：x 2＋y 2＝r 2(r >0)，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则下列结论正确的是( )A ．a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0B ．2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2C ．x 1＋x 2＝aD ．y 1＋y 2＝2b答案 ABC解析 因为圆C 1：x 2＋y 2＝r 2①，圆C 2：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2②，交于不同的A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，所以①－②得到直线AB 的方程为2ax ＋2by ＝a 2＋b 2，分别把A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点代入直线AB 的方程可得2ax 1＋2by 1＝a 2＋b 2③，2ax 2＋2by 2＝a 2＋b 2④，故B 正确；③－④得到2a (x 1－x 2)＋2b (y 1－y 2)＝0，即a (x 1－x 2)＋b (y 1－y 2)＝0，故A 正确；由圆的性质可知，线段AB 与线段C 1C 2互相平分，所以x 1＋x 22＝0＋a 2，y 1＋y 22＝0＋b2，即x 1＋x 2＝a ，y 1＋y 2＝b ，故C 正确，D 错误．故选ABC.12．(2021·新高考Ⅰ卷)已知点P 在圆(x －5)2＋(y －5)2＝16上，点A (4，0)，B (0，2)，则( )A ．点P 到直线AB 的距离小于10B ．点P 到直线AB 的距离大于2C ．当∠PBA 最小时，|PB |＝32D ．当∠PBA 最大时，|PB |＝32答案 ACD解析 设圆(x －5)2＋(y －5)2＝16的圆心为M (5，5)，由题易知直线AB 的方程为x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0，则圆心M 到直线AB 的距离d ＝|5＋2×5－4|5＝115>4，所以直线AB 与圆M 相离，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为4＋d ＝4＋115，而4＋115<5＋1255＝10，故A 正确．易知点P 到直线AB 的距离的最小值为d －4＝115－4，而115－4<1255－4＝1，故B 不正确．过点B 作圆M 的两条切线，切点分别为N ，Q ，如图所示，连接MB ，MN ，MQ ，则当∠PBA 最小时，点P 与N 重合，此时|PB |＝|MB |2－|MN |2＝52＋（5－2）2－42＝32，当∠PBA 最大时，点P 与Q 重合，此时|PB |＝32，故C 、D 都正确．综上，选ACD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若直线(a ＋1)x ＋2y ＋1＝0与直线(a 2－1)x －ay －1＝0平行，则a 的值为________．答案 23或－1解析 本题主要考查两直线的平行关系．当a ＝－1时，两直线方程分别为2y ＋1＝0，y －1＝0，显然两直线平行；当a ≠－1时，由a 2－1a ＋1＝－a 2≠－11，得a ＝23.故a 的值为23或－1.14．已知圆C ：(x ＋5)2＋y 2＝r 2(r >0)和直线l ：3x ＋y ＋5＝0.若圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是__________．答案 0<r <10解析 因为圆心C (－5，0)到直线l ：3x ＋y ＋5＝0的距离为|－15＋5|32＋12＝1010＝10，所以要使圆C 与直线l 没有公共点，则r 的取值范围是0<r <10.15．已知直线l ：y ＝k (x ＋4)与圆(x ＋2)2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，M 是线段AB 的中点，则点M 的轨迹方程为________；点M 到直线3x ＋4y －6＝0的距离的最小值为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案 (x ＋3)2＋y 2＝1(x ≠－4) 2解析 直线l ：y ＝k (x ＋4)过定点(－4，0)，且点(－4，0)在圆(x ＋2)2＋y 2＝4上，不妨设A (－4，0)，M (x ，y )(x ≠－4)，B (x 1，y 1)，则{x 1＝2x ＋4，y 1＝2y ，将(2x ＋4，2y )代入(x ＋2)2＋y 2＝4，得(x ＋3)2＋y 2＝1(x ≠－4)，所以点M 的轨迹是以(－3，0)为圆心，以1为半径的圆(除去点A (－4，0))，则点M 到直线3x ＋4y －6＝0的距离的最小值为|－3×3－6|5－1＝2.16.2020年是中国传统的农历“鼠年”，有人用3个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q (0，－3)是圆Q 的圆心，圆Q 过坐标原点O ，点L ，S 均在x 轴上，圆L 与圆S 的半径都等于2，圆S 、圆L 均与圆Q 外切．已知直线l 过点O .若直线l 截圆L 、圆S 、圆Q 所得弦长均等于d ，则d ＝________．答案 125解析 由题意圆L 与圆S 关于原点对称，设S (a ，0)，a >0，则a 2＋32＝2＋3，解得a ＝4，即S (4，0)，所以L (－4，0)．由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，则三个圆心到该直线的距离分别为：d 1＝|－4k |1＋k 2，d 2＝|4k |1＋k 2，d 3＝|3|1＋k2，则d 2＝4(4－d 12)＝4(4－d 22)＝4(9－d 32)，即有4－(－4k 1＋k 2)2 ＝4－(4k 1＋k 2)2 ＝9－(31＋k 2)2，解得k 2＝421.则d 2＝4(4－16×4211＋421)＝14425，即d ＝125.四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点．(1)若点A (5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)求点A (5，0)到直线l 的距离的最大值．解析 (1)由{2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0得{x ＝2，y ＝1，所以交点坐标为(2，1)．当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y －1＝k (x －2)，即kx －y ＋1－2k ＝0，则点A 到直线l 的距离为|5k ＋1－2k |k 2＋1＝3，解得k ＝43，所以l 的方程为4x －3y －5＝0；当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝2，符合题意．故直线l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.(2)设直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点为P ，由(1)可知P (2，1)，过点P 任意作直线l (如图所示)，设d 为点A 到直线l 的距离，则d ≤|PA |(当l ⊥PA 时，等号成立)，由两点间的距离公式可知|PA |＝10.即所求的距离的最大值为10.18．(12分)已知①经过直线l 1：x －2y ＝0与直线l 2：2x ＋y －1＝0的交点；②圆心在直线2x－y ＝0上；③被y 轴截得弦长|CD |＝22.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由．问：是否存在满足条件的圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上？思路分析 由点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上，可知圆心在线段AB 的垂直平分线x ＝－12上，设圆心坐标为(－12，b )，半径为r ，若选①，求出直线l 1和l 2的交点为(25，15)，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选②，由已知圆心(－12，－1)，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选③，由弦长|CD |＝22，可得半径及圆心，即可求出圆的方程．解析 因为点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上，又线段AB 的垂直平分线所在直线方程为x ＝－2＋12＝－12，则可设圆心坐标为(－12，b )，圆的半径为r ，若选①，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．由{x －2y ＝0，2x ＋y －1＝0，解得{x ＝25，y ＝15.即直线l 1和l 2的交点为(25，15)，则圆Q 过点(25，15)，所以r 2＝(－12－25)2 ＋(b －15)2＝(－12－1)2＋(b ＋1)2，解得b ＝－1，则r 2＝94.即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.若选②，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．由圆心在直线2x －y ＝0上可得2×(－12)－b ＝0，则b ＝－1，所以r 2＝(－12－1)2 ＋(－1＋1)2＝94，即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.若选③，存在圆Q ，使得点A (－2，－1)，B (1，－1)均在圆上．若圆被y 轴截得弦长|CD |＝22，根据圆的性质可得，r 2＝(12)2＋(|CD |2)2 ＝94，由r 2＝(－12－1)2 ＋(b ＋1)2＝94，解得b ＝－1.即存在圆Q ，且圆Q 的方程为(x ＋12)2＋(y ＋1)2＝94.19．(12分)求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆的方程．解析 因为圆C 1可化为(x －6)2＋(y －1)2＝50，所以C 1的坐标为(6，1)，半径r 1＝52，同理可得C 2的坐标为(－6，－8)，半径r 2＝55.所以C 1，C 2所在的直线方程为3x －4y －14＝0.又因为公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0，由{3x －4y －14＝0，4x ＋3y －2＝0，得{x ＝2，y ＝－2，即所求圆的圆心为C (2，－2)，半径r ＝（52）2－|C 1C |2＝5.所以圆的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.20．(12分)已知圆心为C 的圆经过点A (0，2)和B (1，1)，且圆心C 在直线l ：x ＋y ＋5＝0上．(1)求圆C 的标准方程；(2)若P (x ，y )是圆C 上的动点，求3x －4y 的最大值与最小值．解析 (1)线段AB 的中点为(12，32)，又k AB ＝－1，所以线段AB 的垂直平分线方程为y －32＝1×(x －12)，即x －y ＋1＝0.由{x －y ＋1＝0，x ＋y ＋5＝0解得{x ＝－3，y ＝－2，所以圆心C (－3，－2)．圆C 的半径r ＝|AC |＝（0＋3）2＋（2＋2）2＝5，故圆C 的标准方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.(2)令z ＝3x －4y ，即3x －4y －z ＝0.当直线3x －4y －z ＝0与圆C 相切于点P 时，z 取得最值，圆心C (－3，－2)到直线3x －4y －z ＝0的距离d ＝|－9＋8－z |32＋（－4）2＝5，解得z ＝－26或z ＝24.故3x －4y 的最大值为24，最小值为－26.21．(12分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点O 处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测．在放归点O 的正东方向有一观测站C ，可以对鲸的生活习性进行详细观测．已知OC ＝15 km ，观测站C 的观测半径为5 km.现以点O 为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线y ＝k x (k >0)．(1)若测得鲸的行进路线上一点A (1，1)，求k 的值；(2)在(1)问的条件下，则：①当鲸运动到何处时，开始进入观测站C 的观测区域内？(计算结果精确到0.1)②当鲸运动到何处时，离观测站C 最近(观测最便利)？(计算结果精确到0.1)(参考数据：41≈6.4，11.3≈3.4，58≈7.6)解析 (1)将A (1，1)代入y ＝k x ，可得k ＝1.(2)①以C 为圆心，5为半径的圆的方程为(x －15)2＋y 2＝25，由{y ＝x ，（x －15）2＋y 2＝25，得x 2－29x ＋200＝0，∴x ＝29±412，∴x 1≈11.3，x 2≈17.7，∴当鲸运动到点(11.3，11.3)即(11.3，3.4)处时，开始进入观测站C 的观测区域内．②鲸与点C 的距离为：d ＝（x －15）2＋y 2＝（x －15）2＋x＝x 2－29x ＋225＝(x －292)2＋225－(292)2，∴当x ＝292时d 最小．故当鲸运动到点(292，582)即(14.5，3.8)处时，鲸离观测站C 最近．22．(12分)已知圆C ：x 2＋(y －4)2＝4，直线l ：(3m ＋1)x ＋(1－m )y －4＝0.(1)求直线l 所过定点A 的坐标；(2)求直线l 被圆C 所截得的弦长最短时m 的值及最短弦长；(3)如图，已知点M (－3，4)，在直线MC 上(C 为圆心)，存在一定点N (异于点M )，满足对于圆C 上任一点P ，都有|PM ||PN |为一常数，试求所有满足条件的点N 的坐标及该常数．解析 (1)依题意，得m (3x －y )＋(x ＋y －4)＝0，令{3x －y ＝0，x ＋y －4＝0，解得{x ＝1，y ＝3，∴直线l 过定点A (1，3)．(2)当AC ⊥l 时，所截得的弦长最短．由题知C (0，4)，圆C 的半径r ＝2，∴k AC ＝4－30－1＝－1，∴k l ＝1，∴3m ＋1m －1＝1，∴m ＝－1.∵圆心C 到直线l 的距离为d ＝|AC |＝2，∴最短弦长为2r 2－d 2＝22.(3)由题意知直线MC 的方程为y ＝4.设定点N (t ，4)(t ≠－3)，P (x ，y )，|PM ||PN |＝λ(λ>0)，则|PM |2＝λ2|PN |2，∴(x ＋3)2＋(y －4)2＝λ2(x －t )2＋λ2(y －4)2，∴(x ＋3)2＋4－x 2＝λ2(x －t )2＋λ2(4－x 2)，整理得(6＋2tλ2)x －(λ2t 2＋4λ2－13)＝0，此式对任意的x ∈[－2，2]恒成立，∴{6＋2t λ2＝0，λ2t 2＋4λ2－13＝0，∴{t＝－43，λ＝32或{t ＝－43，λ＝－32(舍去)或{t ＝－3，λ＝±1(舍去)．综上，满足条件的点N 的坐标为(－43，4)，且|PM ||PN |为常数32.1．已知A (－2，1)，B (1，2)，点C 为直线x －3y ＝0上的动点，则|AC |＋|BC |的最小值为( )A ．22B ．23C ．25D ．27答案 C解析 设点A (－2，1)关于直线x －3y ＝0的对称点为D (a ，b )，则{b －1a ＋2＝－3，a －22－3×b ＋12＝0，解得{a ＝－1，b ＝－2，所以D (－1，－2)，所以|AC |＋|BC |＝|DC |＋|BC |，当B ，D ，C 共线时，|AC |＋|BC |取最小值，最小值为|DB |＝（1＋1）2＋（2＋2）2＝25.2．圆心在曲线y ＝3x(x >0)上，且与直线3x ＋4y ＋3＝0相切的面积最小的圆的方程为( )A ．(x －3)2＋(y －3)2＝9B ．(x －3)2＋(y －1)2＝(165)2C ．(x －1)2＋(y －3)2＝(185)2D ．(x －2)2＋(y －32)2＝9答案 D解析 设圆心为(a ，b )，半径为r ，则满足条件的圆面积最小即r 最小，r ＝|3a ＋4b ＋3|32＋42＝|3a ＋4b ＋3|5≥23a ×4b ＋35，因为圆心(a ，b )在y ＝3x (x >0)上，所以b ＝3a ，即ab ＝3，所以r min ＝212×3＋35＝3，当且仅当3a ＝4b ，即a ＝2，b ＝32时取等号，所以此时圆的方程为(x－2)2＋(y －32)2＝9.3．已知直线l 经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，则直线l 的方程为( )A ．－3x ＋2y ＋1＝0 B ．3x －2y ＋1＝0C ．2x ＋3y －5＝0 D ．2x －3y ＋1＝0答案 C解析 方法一：由{x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得{x ＝1，y ＝1，由题意，知直线l 的斜率k ＝－23，所以直线l 的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.故选C.方法二：由题意设直线l ：x ＋y －2＋λ(2x －y －1)＝0(λ∈R )，即(1＋2λ)x ＋(1－λ)y －2－λ＝0，又直线l 的一个方向向量ν＝(－3，2)，所以3(1＋2λ)＝2(1－λ)，解得λ＝－18，所以直线l的方程为2x ＋3y －5＝0.故选C.4．已知圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1与圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．23 B.94C.32D.62答案 B解析 因为圆C 1：(x ＋a )2＋(y －2)2＝1的圆心为C 1(－a ，2)，半径r 1＝1，圆C 2：(x －b )2＋(y －2)2＝4的圆心为C 2(b ，2)，半径r 2＝2，所以|C 1C 2|＝（－a －b ）2＋（2－2）2＝|a ＋b |＝1＋2，所以a 2＋b 2＋2ab ＝9，所以(a －b )2＋4ab ＝9，所以ab ＝94－（a －b ）24≤94，即当a ＝b 时，ab 取得最大值，最大值为94.5．若过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，则实数k 的取值范围是( )A ．(0，5) B ．(－5，0)C ．(0，13) D ．(0，5)答案 A解析 圆C 的方程x 2＋4x ＋y 2－5＝0可化为(x ＋2)2＋y 2＝9，则圆C 与x 轴正半轴交于点A (1，0)，与y 轴正半轴交于点B (0，5)，如图所示，因为过定点M (－1，0)且斜率为k 的直线与圆C ：x 2＋4x ＋y 2－5＝0在第一象限内的部分有交点，所以k MA <k <k MB ，所以0<k <5.6．已知在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别是A (0，3)，B (3，3)，C (2，0)，若直线x ＝a 将△ABC 分割成面积相等的两部分，则实数a 的值是( )A.3 B ．1＋22C ．1＋33D ．2－22答案 A解析 如图所示，易知直线AB 的方程是y ＝3，直线AC 的方程是x2＋y3＝1，即3x ＋2y －6＝0，且直线x ＝a 只与边AB ，AC 相交．设直线x ＝a 与AB 交于点D ，与AC 交于点E ，则点D ，E 的坐标分别为(a ，3)，(a ，6－3a2)，从而|DE |＝3－6－3a 2＝32a ，S △ADE ＝12|AD ||DE |＝12a ×32a ＝34a 2①.又S △ABC ＝12×3×3＝92，所以S △ADE ＝12S △ABC＝94②，由①②得34a 2＝94，解得a ＝3或a ＝－3(舍去)．故选A.7．【多选题】已知两圆方程为x 2＋y 2＝16与(x －4)2＋(y ＋3)2＝r 2(r >0)，则下列说法正确的是( )A ．若两圆外切，则r ＝1B ．若两圆公共弦所在的直线方程为8x －6y －37＝0，则r ＝2C ．若两圆在交点处的切线互相垂直，则r ＝3D ．若两圆有三条公切线，则r ＝2答案 ABC解析 由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0，0)，(4，－3)，半径分别为4，r ，所以圆心距为5，若两圆外切，则4＋r ＝5，即r ＝1，故A 正确；此时两圆有三条公切线，故D 错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为8x －6y －41＋r 2＝0，所以－41＋r 2＝－37，解得r ＝2，故B 正确；因为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距与两圆半径必构成一个直角三角形，故52＝42＋r 2，解得r ＝3，故C 正确．8．【多选题】已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (－2，3)，B (－2，－1)，C (6，－1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＝1 B ．x 2＋y 2＝37C ．x 2＋y 2＝4 D ．x 2＋y 2＝165答案 AB解析 过点A ，C 的直线方程为y ＋13＋1＝x －6－2－6，化为一般式为x ＋2y －4＝0，过点A ，B 的直线方程为x ＝－2，过点B ，C 的直线方程为y ＝－1，所以原点O 到直线x ＋2y －4＝0的距离d AC ＝455，原点O 到直线x ＝－2的距离d AB ＝2，原点O 到直线y ＝－1的距离d BC ＝1，所以d AB >d AC >d BC ，又|OA |＝（－2）2＋32＝13，|OB |＝（－2）2＋（－1）2＝5，且|OC |＝62＋（－1）2＝37.结合图形可知，若以原点为圆心的圆与△ABC 有唯一公共点，则公共点为(0，－1)或(6，－1)，所以圆的半径为1或37.故选AB.9．已知过点P (4，1)的直线l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积最小时，直线l 的方程为________．答案 x ＋4y －8＝0解析 设直线l ：x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，因为直线l 过点P (4，1)，所以4a ＋1b ＝1≥24a ×1b ＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立．所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积S ＝12ab 取得最小值，此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0.10．曲线y ＝1＋9－x 2与直线y ＝k (x －3)＋5有两个交点，则实数k 的取值范围是________．答案 (724，23]解析 由题可知，y ＝1＋9－x 2，即x 2＋(y －1)2＝9(y ≥1)，其图象如图所示：又直线y ＝k (x －3)＋5即kx －y －3k ＋5＝0过定点A (3，5)．当直线与半圆相切时，则|－1－3k ＋5|k 2＋1＝3，解得k ＝724.当直线过点B (－3，1)时，k ＝5－13－（－3）＝23.所以k ∈(724，23].11．在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A (－1，0)，B (5，0)．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P ，使得直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则实数m 的值为________．答案 ±21解析 根据题意，设点P 的坐标为(a ，b )，则直线PA 的方程为y ＝b a ＋1(x ＋1)，其在y 轴上的截距为b a ＋1，直线PB 的方程为y ＝b a －5(x －5)，其在y 轴上的截距为－5ba －5.若点P 满足使直线PA ，PB 在y 轴上的截距之积为5，则有ba ＋1×(－5ba －5)＝5，变形可得b 2＋(a －2)2＝9，则点P 在圆(x －2)2＋y 2＝9上．若圆M ：(x －4)2＋(y －m )2＝4上存在唯一的点P 满足题意，则圆M 与圆(x －2)2＋y 2＝9有且只有一个公共点，即两圆内切或外切．又两圆的圆心距为（4－2）2＋m 2≥2，所以两圆外切，所以4＋m 2＝25，解得m ＝±21.12．已知圆C 的圆心在直线l ：x ＋y ＋1＝0上且经过点A (－1，2)，B (1，0)．(1)求圆C 的方程；(2)若过点D (0，3)的直线l 1被圆C 截得的弦长为23，求直线l 1的方程．解析 (1)由题意得，圆心C 一定在线段AB 的垂直平分线上，k AB ＝0－21－（－1）＝－1，线段AB 中点为(0，1)，所以直线AB 的垂直平分线为x －y ＋1＝0.所以直线l ：x ＋y ＋1＝0与x －y ＋1＝0的交点即为圆心C ，即C 的坐标为(－1，0)，半径r ＝|CA |＝2.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋y 2＝4.(2)当直线l 1斜率不存在时，方程为x ＝0，此时圆心到l 1距离为1，截得的弦长为23，满足题意；当直线l 1斜率存在时，设为k ，则l 1：kx －y ＋3＝0，圆心(－1，0)到l 1的距离d ＝|－k ＋3|k 2＋1＝4－(232)2＝1，所以k ＝43，则直线l 1的方程为4x －3y ＋9＝0.综上，直线l 1的方程为x ＝0或4x －3y ＋9＝0.13．如图，在平面直角坐标系Oxy 中，过点P (0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆O ：x 2＋y 2＝4交于点A ，B ，与圆M ：(x －2)2＋(y －1)2＝1交于点C ，D .(1)若|AB |＝372，求CD 的长；(2)若线段CD 的中点为E ，求△ABE 面积的取值范围．解析 (1)直线AB 的斜率显然存在，设为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx ＋1.因为(|AB |2)2 ＋(1k 2＋1)2＝4，所以|AB |＝24k 2＋3k 2＋1，由24k 2＋3k 2＋1＝372，得k 2＝15，因为直线CD 的方程为y ＝－1kx ＋1，所以(|CD |2)2＝1－(－2k＋1－11＋(－1k)2)2，所以|CD |＝21－4k 2＋1＝21－415＋1＝3.(2)当直线AB 的斜率不存在时，△ABE 的面积S ＝12×4×2＝4；当直线AB 的斜率存在时，设其斜率为k ，则直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，显然k ≠0，则直线CD 的方程为y ＝－1kx ＋1，由|－1k·2－1＋1|(－1k )2＋1<1，得k 2>3，因为(|AB |2)2＋(1k 2＋1)2＝4，所以|AB |＝24k 2＋3k 2＋1，易知E 到直线AB 的距离即M 到AB 的距离，设为d ，则d ＝|2k －1＋1|k 2＋1＝|2k |k 2＋1，所以△ABE 的面积S ＝12|AB |·d ＝2（4k 2＋3）k 2（k 2＋1）2，令k 2＋1＝t >4，则S ＝2（4t －1）（t －1）t 2＝21t 2－5t ＋4＝2(1t －52)2－94，易知1t ∈(0，14)，所以S∈(352，4).综上，△ABE面积的取值范围为(352，4].14．已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M.(1)求圆C的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|＝2|PO|的点P的轨迹方程．解析 (1)圆C：x2＋y2＋2x－4y＋m＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，所以圆C的圆心坐标为(－1，2)．又圆C与y轴相切，所以5－m＝1，即m＝4，故圆C的半径为1.(2)设P(x，y)，则|PM|2＝|PC|2－|MC|2＝(x＋1)2＋(y－2)2－1，|PO|2＝x2＋y2.由于|PM|＝2|PO|，则(x＋1)2＋(y－2)2－1＝4(x2＋y2)，整理得点P的轨迹方程为(x－13)2＋(y＋23)2＝179.15．已知圆M：x2＋(y－4)2＝4，点P是直线l：x－2y＝0上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点分别为A，B.(1)当切线PA的长度为23时，求点P的坐标；(2)若△PAM的外接圆为圆N，试问：当P在直线l上运动时，圆N是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由．(3)求线段AB长度的最小值．解析 由题意知，圆M的半径r＝2，M(0，4)，设P(2b，b)．(1)∵PA是圆M的一条切线，∴∠MAP＝90°，∴|MP|＝（0－2b）2＋（4－b）2＝|AM|2＋|AP|2＝22＋（23）2＝4，解得b＝0或8 5，∴点P的坐标为(0，0)或(165，85).(2)圆N过定点(0，4)，(85，45).理由如下：∵∠MAP＝90°，∴经过A，P，M三点的圆N 以MP为直径，其方程为(x－b)2＋(y－b＋42)2＝4b2＋（b－4）24，即(2x＋y－4)b－(x2＋y2－4y)＝0.由{2x＋y－4＝0，x2＋y2－4y＝0，解得{x＝0，y＝4或{x＝85，y＝45.∴圆N过定点(0，4)，(85，45).(3)由(2)得圆N的方程为(x－b)2＋(y－b＋42)2＝4b2＋（b－4）24，即x2＋y2－2bx－(b＋4)y＋4b＝0，①又圆M：x2＋(y－4)2＝4，即x2＋y2－8y＋12＝0，②②－①，得圆M与圆N的相交弦AB所在直线的方程为2bx＋(b－4)y＋12－4b＝0，∴点M到直线AB的距离d＝45b2－8b＋16，∴|AB|＝24－d2＝41－45b2－8b＋16＝41－45(b－45)2＋645，∴当b＝45时，|AB|有最小值，为11.。
高中数学人教A版(2019)选择性必修第一册《第二章 直线和圆的方程》章节练习(含解析)
人教A版（2019）选择性必修第一册《第二章直线和圆的方程》章节练习一、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）直线l经过两条直线3x+4y−5=0和3x−4y−13=0的交点，且与直线x+ 2y+1=0垂直，则l的方程是()A. 2x+y−7=0B. 2x−y−7=0C. 2x+y+7=0D. 2x−y+7=02.（5分）到直线2x+y+1=0的距离为√55的点的集合是()A. 直线2x+y−2=0B. 直线2x+y=0C. 直线2x+y=0和2x+y−2=0D. 直线2x+y=0和2x+y+2=03.（5分）直线√3x+y−1=0的倾斜角是()A. 30∘B. 60∘C. 120∘D. 150∘4.（5分）过P(2,−2)的直线l与圆(x−1)2+y2=1相切，则直线l的方程为()A. 3x+4y+2=0或y=−2B. 4x+3y−2=0或y=−2C. 3x+4y+2=0或x=2D. 4x+3y−2=0或x=25.（5分）若方程x2+y2−x+y+m=0表示圆，则实数m的取值范围是()A. m<12B. m>12C. m<0D. m⩽126.（5分）直线x+√2y−1=0的斜率是()A. √2B. −√2C. √22D. −√227.（5分）已知直线m过点A(2,−3)，且在两个坐标轴上的截距相等，则直线m的方程是()A. 3x+2y=0B. x+y+1=0C. x+y+1=0或3x+2y=0D. x+y−1=0或3x−2y=08.（5分）直线x+2y+3=0在y轴上的截距为()A. 32B. 3 C. −3 D. −32二、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现“若A、B为平面上相异的两点，则所有满足：|PA||PB|=λ(λ>0,且λ≠1)的点P的轨迹是圆“，后来人们称这个圆为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系xOy中，A(−2,0)，B(4,0)，若λ=12，则下列关于动点P的结论正确的是()A. 点P的轨迹方程为x2+y2+8x=0B. ΔAPB面积的最大值为6C. 在x轴上必存在异于A、B的两定点M、N，使得|PM||PN|=12D. 若点Q(−3,1)，则2|PA|+|PQ|的最小值为5√210.（5分）已知双曲线C：x2−y24=1，则()A. 双曲线C的离心率等于焦距的长B. 双曲线y2−x24=1与双曲线C有相同的渐近线C. 双曲线C的一条准线被圆x2+y2=1截得的弦长为4√55D. 直线y=kx+b(k,b∈R)与双曲线C的公共点个数只可能为0，1，211.（5分）已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0.下列命题正确的有()A. 直线l与圆C可能相切B. y轴被圆C截得的弦长为4√6C. 直线l被圆C截得的最短弦长为2√5D. 直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x−y−5=012.（5分）设有一组圆C k:(x−1)2+(y−k)2=k4(k∈N∗).下列四个命题正确的是()A. 存在k，使圆与x轴相切B. 存在一条直线与所有的圆均相交C. 存在一条直线与所有的圆均不相交D. 所有的圆均不经过原点13.（5分）过点P(-1,1)的直线l与圆x2+y2+4x=0相交于A,B两点，当|AB|取得最值时，直线l的方程是()A. x-y+2=0B. x-y=0C. x-y-2=0D. x+y=0三、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）圆x2+y2+x=0与圆x2+y2−2y=0的公共弦所在的直线方程为______．15.（5分）已知点A(0,2)关于直线l的对称点为B(4,0)，点C(6,3)关于直线l的对称点为D(m,n)，则m+n= ______ ．16.（5分）已知点P(1,3)，点Q(−1,2)，点M为直线x−y+1=0上一动点，则|PM|+|QM|的最小值为______ .17.（5分）设直线l：3x+4y+4=0，圆C：(x−2)2+y2=r2(r>0)，若圆C上存在两点P，Q，直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，则r的取值范围是______.18.（5分）过点P(3,4)且与直线2x−y+1=0平行的直线方程为 ______.四、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）已知线段AB两个端点的坐标为A(2,4)，B(3,2)，点P(x,y)是线段AB上一个动点．(1)求yx 的最大值和最小值． (2)求y−x y+x 的取值范围．20.（12分）已知圆心在原点的圆被直线y =x +1截得的弦长为√14． (1)求圆的方程；(2)设动直线y =k(x −1)(k ≠0)与圆C 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得AN 与直线BN 关于x 轴对称？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．21.（12分）圆心为C 的圆经过点A (0,2)和点B (2,0)，且圆心C 在直线l 1:2x −y −4=0上.(Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅰ)求直线l 2:3x +4y −8=0被圆C 截得的弦的长度.22.（12分）如图，A(m,√3m)和B(n,−√3n)两点分别在射线OS 、OT 上移动，且OA →.OB →=−12，O 为坐标原点，动点P 满足OP →=OA →+OB →． (Ⅰ)求m ⋅n 的值；(Ⅱ)求P 点的轨迹C 的方程，并说明它表示怎样的曲线？(Ⅲ)若直线l 过点E(2,0)交(Ⅱ)中曲线C 于M 、N 两点，且ME →=3EN →，求l 的方程．23.（12分）已知圆M ：x 2+y 2−2x −2y −2=0，直线L 过点P(2,3)且与圆M 交于A ，B 两点，且|AB |=2√3，求直线L 的方程．答案和解析1.【答案】B;【解析】该题考查直线方程的求解，涉及直线的交点和直线的垂直问题，属基础题．先解方程组求出交点，然后利用垂直得到斜率，然后求出方程即可．解：联立方程{3x+4y−5=03x−4y−13=0，解得x=3，y=−1，故所求直线l过点(3,−1)，由直线x+2y+1=0的斜率为−12，可知l的斜率为2，由点斜式方程可得：y+1=2(x−3)，即2x−y−7=0，故选B．2.【答案】D;【解析】设点(x,y)满足条件，则√22+1=√55，整理得2x+y=0和2x+y+2=0，故选D.3.【答案】C;【解析】此题主要考查直线的倾斜角的求法，是基本知识的应用.首先求出直线的斜率，然后求解直线的倾斜角即可.解：设直线的倾斜角为α.因为直线√3x+y−1=0的斜率为−√3，所以tanα=−√3，α=120∘，故选C.4.【答案】D;【解析】解：圆(x−1)2+y2=1的圆心为(1,0)，半径为1，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=2，圆心(1,0)到l的距离为1，满足题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−2)−2，即kx−y−2k−2=0，因为直线l与圆(x−1)2+y2=1相切，所以√k2+1=1，解得k=−34，此时直线l的方程为4x+3y−2=0，综上，直线l的方程为4x+3y−2=0或x=2.故选：D.分直线l的斜率不存在和存在两种情况分类讨论，从而可得直线l的方程．此题主要考查圆的切线方程，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．5.【答案】A;【解析】解：方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m，此方程表示圆时，应有12−m>0，解得m<12，故选：A．方程x2+y2−x+y+m=0即(x−12)2+(y+12)2=12−m，此方程表示圆时，应有12−m>0，由此求得实数m的取值范围．这道题主要考查求圆的标准方程，二元二次方程表示圆的条件，属于基础题．6.【答案】D;【解析】由直线一般式的斜率计算公式即可得出．该题考查了直线的斜率，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．解：直线x+√2y−1=0的斜率k=√2=−√22．故选：D．7.【答案】C;【解析】解：①当直线经过原点时，直线方程为y=−32x，即3x+2y=0；②当直线不经过原点时，设所求的直线方程为x+y=a，则a=2−3=−1，因此所求的直线方程为x+y+1=0．综上所述，直线m的方程是3x+2y=0或x+y+1=0．故选：C．分类讨论：当直线经过原点时，当直线不经过原点时两种情况，求出即可．该题考查了截距式、分类讨论等基础知识，属于基础题．8.【答案】D;【解析】此题主要考查直线方程的截距的概念，属于基础题.利用直线方程的截距的概念，令x=0，则y=−32，即可求解；解：因为直线x +2y +3=0， 令x =0，则y =−32，所以在y 轴上的截距为−32. 故选D.9.【答案】ACD;【解析】解：对于选项A ，设P(x,y)，因为P 满足|PA ||PB |=12，所以√(x+2)2+y 2√(x−4)2+y2=12， 化简得x 2+8x +y 2=0，故A 正确；对于选项B ，由选项A 可知，点P 的轨迹方程为x 2+y 2+8x =0，即(x +4)2+y 2=16，所以点P 的轨迹是以(−4,0)为圆心，4为半径的圆， 又|AB |=6，且点A ，B 在直径上，故当点P 到圆的直径距离最大的时候，ΔPAB 的面积最大值， 因为圆上的点到直径的最大距离为半径，即ΔPAB 的高的最大值为4， 所以ΔPAB 面积的最大值为12×6×4=12，故B 错误；对于选项C ，假设在x 轴上存在异于A ，B 的两定点M ，N ，使得|PM ||PN |=12， 设M(m,0)，N(n,0)， 故√(x−m)2+y 2√(x−n)2+y 2=12，即√(x −n)2+y 2=2√(x −m)2+y 2，化简可得x 2+y 2=8m −2n 3x +4m 2−n 23=0.又点P 的轨迹方程为x 2+y 2+8x =0，可得{−8m −2n3=84m 2−n 23=0，解得{n =−12或{n −4(舍去)，故存在异于A ，B 的两定点M(−6,0)，N(−12,0)，使得|PM ||PN |=12，故C 正确；对于选项D ，因为|PA ||PB |=12，所以2|PA |=|PB |，所以2|PA |+|PQ |=|PB |+|PQ |，又点P 在圆x 2+8x +y 2=0上， 如图所示，所以当P，Q，B三点共线时2|PA|+|PQ|取最小值，此时(2|PA|+|PQ|)min=|BQ|=√[4−(−3)]2+(0−1)2=5√2，故D正确．故选：ACD.设出点P的坐标，根据|PA||PB|=12即可求出点P的轨迹方程，即可判断选项A是否正确；根据点A(−2,0)，B(4,0)的位置关系和圆的性质，即可求出ΔAPB面积的最大值，进而判断选项B是否正确；设M(m,0)，N(n,0)，根据|PM||PV|=12可求出点P的轨迹方程，再与x2+y2+8x=0方程进行对比，根据系数关系，列出方程组，即可求出m，n值，进而判断选项C是否正确；由题意可知2|PA|=PB，所以2|PA|+|PQ|=|PB|+|PQ|，当P，Q，B三点共线时，2|PA|+|PQ|取最小值，最小值为|BQ|，由此即可判断选项D是否正确．此题主要考查了轨迹方程，圆的方程以及与圆有关的最值问题，属于中档题．10.【答案】CD;【解析】此题主要考查双曲线的几何性质，考查直线和圆相交所得弦的弦长，考查直线和双曲线的位置关系，属于中档题.根据双曲线的几何性质，直线和双曲线的位置关系，直线和圆的位置关系等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.解：由双曲线C方程可知，a=1，b=2，c=√5，所以离心率e=ca=c≠2c，故A不正确;双曲线C的渐近线方程为y=±bax=±2x，而双曲线y2−x24=1的焦点在y轴上，渐近线方程为y=±12x，二者渐近线方程不同，所以B错误;圆x2+y2=1的圆心(0,0)到双曲线C的准线y=±a2c =±√55的距离为√55，所以准线被圆x 2+y 2=1截得的弦长为2×√12−(√55)2=2√45=4√55， 故C 正确;由直线与双曲线的位置关系可知直线y =kx +b 与双曲线C 的公共点个数只可能为0，1，2，故D 正确. 故选：CD .11.【答案】BD;【解析】解：将直线l ：(2m +1)x +(m +1)y −7m −4=0整理为(x +y −4)+m(2x +y −7)=0，令{2x +y −7=0，解得{y =1， 故无论m 为何值，直线l 恒过定点D(3,1)， ∵圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25， ∴圆C(1,2)，半径r =5，∵|CD |=√(1−3)2+(2−1)2<5， ∴定点D 在圆内，直线l 与圆相交，故A 错误， ∵圆C ：(x −1)2+(y −2)2=25，∴令x =0，则(y −2)2=24，解得y =2±2√6， 故y 轴被圆C 截得的弦长为4√6，故B 正确， 圆心C(1,2)，r =5，CD =√5，当截得的弦长最短时，l ⊥CD ，k CD =−12，则直线l 的斜率为2，最短弦长为2√52−(√5)2=4√5，故C 错误，故此时直线l 的方程为y −1=2(x −3)，即2x −y −5=0，故D 正确． 故选：BD .先求出直线l 的定点，通过两点之间的距离公式，可判断该定点在圆内，即可求解A 选项，令x =0，则(y −2)2=24，解得y =2±2√6，即可求解B 选择，结合椭圆最短弦的性质，即可求解CD 选项．此题主要考查直线与圆的位置关系，考查最短弦问题，属于中档题．12.【答案】ABD; 【解析】此题主要考查了圆的标准方程和直线与圆的位置关系，考查推理能力和计算能力，属于一般题．当k =1时A 正确；对于B 、存在直线 x =1；由于所有直线与圆都相交，故C 错误；将(0,0)代入即可判断D 错误.解：对于A：存在k，使圆与x轴相切⇔k=k2(k∈N∗)有正整数解⇔k=1，故A正确；对于B：因为圆心(1,k)恒在直线x=1上，故B正确；对于C：当k取无穷大的正数时，半径k2也无穷大，因此所有直线与圆都相交，故C不正确；对于D：将(0,0)代入得1+k2=k4，即1=k2(k2−1)，因为右边是两个相邻整数相乘为偶数，而左边为奇数，故方程恒不成立，故D正确．故选ABD.13.【答案】AD;【解析】此题主要考查了直线与圆的位置关系，属于中档题.分|AB|取得最小值和最大值两种情况，求出直线l的斜率，从而求得直线l的方程.解：圆x2+y2+4x=0即圆(x+2)2+y2=4，是以C(−2,0)为圆心，r=2为半径的圆，k PC=1=1，−1+2过点P(−1,1)的直线l与圆x2+y2+4x=0相交于A,B两点，点P(−1,1)在圆内，当|AB|取得最小值时，AB⊥PC,即k PC.k AB=−1，∴k AB=−1，直线l的方程是y−1=−(x+1)，即x+y=0，当|AB|取得最大值时，直线l经过圆心C，k AB=k PC=1，∴直线l的方程是y−1=x+1，即x−y+2=0，故选AD.14.【答案】x+2y=0;【解析】解：圆x2+y2+x=0与圆x2+y2−2y=0的公共弦所在的直线方程即为两圆方程相减可得：即为x+2y=0．故答案为：x+2y=0．两圆公共弦即为方程相减．该题考查公共弦方程，为基础题．;15.【答案】335【解析】该题考查直线关于点、直线对称的方程，根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n的值，得到答案．解：根据题意，得到折痕为A(0,2)，B(4,0)的对称轴；也是C(6,3)，D(m,n)的对称轴，AB的斜率为k AB=−12，其中点为(2,1)，所以图纸的折痕所在的直线方程为y−1=2(x−2)所以k CD=n−3m−6=−12，①CD的中点为(m+62,n+32)，所以n+32−1=2(m+62−2)②由①②解得m=65，n=275，所以m+n=335．故答案为：335．16.【答案】3;【解析】利用对称思想方法求距离最值问题，考查转化思想和计算能力，属于中档题．由已知可判断P，Q在已知直线的两侧，求出P关于直线的对称点P′的坐标，根据对称性转化为|P′M|+|QM|的最小值的问题，利用两点之间的路程已知线段为最短得到问题的答案．解：设P(1,3)关于直线的对称点的坐标为P′(a,b)，根据PP′与已知直线垂直，并且线段PP′的中点做已知直线上，∴{b−3a−1=−11+a 2−3+b2+1=0，∴a=2，b=2，∴P′(2,2)，由于P′与Q的纵坐标相同，∴|PM|+|QM|=|P′M|+|QM|的最小值为|P′Q|=2+1= 3，故答案为3.17.【答案】[√2,+∞);【解析】此题主要考查直线和圆的位置关系，转化思想是解决问题的关键，属中档题.由切线的对称性和圆的知识将问题转化为MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°即可．解：圆C：(x−2)2+y2=r2，圆心为：(2,0)，半径为r，∵在圆C上存在两点P，Q，在直线l上存在一点M，使得∠PMQ=90°，∴在直线l上存在一点M，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°，∴只需MC⊥l时，使得过M作圆的两条切线，切线夹角大于等于90°即可∵C到直线l：3x+4y+4=0的距离2，则r⩾2×sin45°=√2.故答案为[√2,+∞).18.【答案】2x-y-2=0;【解析】解：设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，由点P(3,4)在直线2x−y+c=0上，可得c=−2，故直线的方程为2x−y−2=0.故答案为：2x−y−2=0.设与直线2x−y+1=0平行的直线的方程为2x−y+c=0，由点P(3,4)在直线2x−y+c=0上，求出c，再确定直线的方程．此题主要考查的知识要点：直线的方程的求法，平行直线系的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)如图所示，其中A(2,4)，B(3,2)，则yx =y−0x−0可看作是直线OP的斜率，由图知，k OB⩽k OP⩽k OA，而k OB=23，k OA=2，所以(yx )max=2，(yx)min=23；(2)因为yx ∈[23,2]，所以y−xy+x=yx−1yx+1=yx+1−2yx+1=1−2yx+1∈[−15,13]，所以y−xy+x 的取值范围是[−15,13].;【解析】此题主要考查直线斜率几何意义的应用，(1)依题意，yx =y−0x−0可看作是直线OP的斜率，由图知，k OB⩽k OP⩽k OA，从而求得最值.(2)由(1)知y x∈[23,2]，所以y−x y+x=1−2y x+1，从而求得结果.20.【答案】解：（1）圆心（0，0）到直线y=x+1的距离为d=√2由圆的性质可得r 2=d 2+（√142）2=4 ∴圆的方程为：x 2+y 2=4．（2）设N （t ，0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）． 由{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得（k 2+1）x 2-2k 2x+k 2-4=0． ∴x 1+x 2=2k 21+k2，x 1x 2=k 2−4k 2+1若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则k AN =-k BN ⇒y 1x 1−t+y 2x 2−t=0⇒k(x 1−1)x 1−t+k(x 2−1)x 2−t=⇒2x 1x 2-（t+1）（x 1+x 2）+2t=0⇒2(k 2−4)k 2+1−2k 2(t+1)k 2+1+2t =0，⇒t=4．∴在x 轴正半轴上存在定点N （4，0），使得AN 与直线BN 关于x 轴对称．; 【解析】(1)圆心(0,0)到直线y =x +1的距离为d =√2由圆的性质可得r 2=d 2+(√142)2=4，即可；(2)设N(t,0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2).由{x 2+y 2=4y =k(x −1)，得(k 2+1)x 2−2k 2x +k 2−4=0．x 1+x 2=2k 21+k 2，x 1x 2=k 2−4k 2+1， 若直线AN 与直线BN 关于x 轴对称，则k AN =−k BN ⇒y 1x 1−t+y 2x 2−t=0⇒k(x 1−1)x 1−t+k(x 2−1)x 2−t=0即可求得t ．该题考查了圆的方程，圆的弦长的计算，定点问题，属于中档题．21.【答案】解：(Ⅰ)设圆C 的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0. 由{4+2E +F =04+2D +F =02×(−D 2)−(−E2)−4=0， 解得：{D =−8E =−8F =12，故所求圆C 的方程为x 2+y 2−8x −8y +12=0.(Ⅰ)圆心到l 2的距离为d =√32+42=4，所以弦长的一半为√20−16=2， 于是直线l 2被圆C 截得的弦的长度为4.; 【解析】此题主要考查圆的方程的求解，以及直线和圆相交时弦长公式的计算，考查学生的运算能力.(Ⅰ)利用待定系数法即可求圆C 的方程；(Ⅰ)根据直线和圆相交的弦长公式进行求解即可．22.【答案】解：（Ⅰ）由已知得 OA →.OB →=(m ，√3m).(n ，−√3n)(1分) =−2mn =−12∴m.n =14（4分）（Ⅱ）设P 点坐标为（x ，y ）（x ＞0），由OP →=OA →+OB →得(x ，y )=(m ，√3m)+(n ，−√3n)=(m +n ，√3(m −n))（5分） ∴{x =m +n y =√3(m −n)消去m ，n 可得x 2−y 23=4mn ，又因mn =14（8分） ∴P 点的轨迹方程为x 2−y 23=1(x ＞0)它表示以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，且实轴长为2，焦距为4的双曲线x 2−y 23=1的右支（9分）（Ⅲ）设直线l 的方程为x=ty+2，将其代入C 的方程得3（ty+2）2-y 2=3 即（3t 2-1）y 2+12ty+9=0易知（3t 2-1）≠0（否则，直线l 的斜率为±√3，它与渐近线平行，不符合题意） 又△=144t 2-36（3t 2-1）=36（t 2+1）＞0设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=−12t3t 2−1，y 1y 2=93t 2−1 ∵l 与C 的两个交点M ，N 在y 轴的右侧 x 1x 2=（t y 1+2）（t y 2+2） =t 2y 1y 2+2t （y 1+y 2）+4 =t 2.93t 2−1+2t .−12t 3t 2−1+4=−3t 2+43t 2−1＞0∴3t 2-1＜0，即0＜t 2＜13又由x 1+x 2＞0同理可得0＜t 2＜13（11分） 由ME →=3EN →得（2-x 1，-y 1）=3（2-x 2，y 2） ∴{2−x 1=3(2−x 2)−y 1=3y 2由y 1+y 2=−3y 2+y 2=−2y 2=−12t3t 2−1得y 2=6t3t 2−1由y 1y 2=(−3y 2)y 2=−3y 22=93t 2−1得y 22=−33t 2−1消去y 2得36t 2(3t 2−1)2=−33t 2−1解之得：t 2=115，满足0＜t 2＜13（13分）故所求直线l 存在，其方程为：√15x −y −2√5=0或√15x +y −2√5=0（14分）; 【解析】(I)由向量数量积OA →.OB →=−12的坐标运算即可求得m ⋅n 的值；(II )欲求P 点的轨迹C 的方程，设点P(x,y)，只须求出其坐标x ，y 的关系式即可，由题意向量关系将x ，y 用m ，n 表示，最后消去m ，n 得到一个关系式，即得点P 的轨迹方程． (III )设直线l 的方程为x =ty +2，将其代入C 的方程得到一个一元二次方程，利用根与系数的关系结合向量运算即可求得t 值，从而求得l 的方程．本小题主要考查曲线与方程，直线和圆锥曲线等基础知识，以及求直线方程的基本技能和综合运用数学知识解决问题的能力．23.【答案】解：当直线L 的斜率存在时，设直线L 的方程为y −3=k(x −2)，即kx −y +3−2k =0，作MC ⊥AB 于C ，在直角三角形MBC 中，BC =√3，MB =2， 所以MC =1，又因为MC =√k 2+1=1，解得k =34，所以直线方程为3x −4y +6=0.当直线斜率不存在时，其方程为x =2，圆心到此直线的距离也为1， 所以也符合题意，综上可知，直线L 的方程为3x −4y +6=0或x =2.; 【解析】分斜率存在和斜率不存在两种情况，分别由条件利用点到直线的距离公式，弦长公式求出斜率，可得直线L 的方程．此题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．。
新教材人教A版高中数学选择性必修第一册 第二章直线和圆的方程 课后练习及章末检测 含解析
第二章直线和圆的方程课后练习及章末检测2.1.1倾斜角与斜率 ........................................................................................................ - 1 -2.1.2两条直线平行和垂直的判定................................................................................. - 6 -2.2.1直线的点斜式方程............................................................................................... - 10 -2.2.2直线的两点式方程............................................................................................... - 14 -2.2.3直线的一般式方程............................................................................................... - 20 -2.3.1 2.3.2两条直线的交点坐标两点间的距离公式............................................... - 25 -2.3.3 2.3.4点到直线的距离公式两条平行直线间的距离....................................... - 30 -2.4.1圆的标准方程 ...................................................................................................... - 35 -2.4.2圆的一般方程 ...................................................................................................... - 40 -2.5.1直线与圆的位置关系........................................................................................... - 44 -2.5.2圆与圆的位置关系............................................................................................... - 50 -2.1.1倾斜角与斜率一、选择题1．过点A(－3，2)与点B(－2，3)的直线的倾斜角为()A．45°B．135°C．45°或135°D．60°A[因为斜率k＝3－2－2－(－3)＝1，所以倾斜角为45°.]2.若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则()A．k1<k2<k3B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1D．k1<k3<k2D[由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大，∴k1<k3<k2.] 3．若点A(－1，－2)，B(4,8)，已知AB的方向向量为(1，k)，则实数k的值为()A ．12B ．－12C ．2D ．－2C [AB 的方向向量坐标为(4＋1,8＋2)，即(5,10)．又(1，k )也是AB 的方向向量，∴k ＝105＝2.]4．设直线l 过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l 绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l 1，那么l 1的倾斜角为( )A ．α＋45°B ．α－135°C ．135°－αD ．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°D [根据题意，画出图形，如图所示．A ，B ，C 未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知：当0°≤α＜135°时，l 1的倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，l 1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.]5．如果直线l 过点(1,2)，且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是( )A ．[0,1]B ．[0,2]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12D ．(0,3]B [如图，经过(1,2)和(0,0)的斜率k ＝2，若l 不通过第四象限，则0≤k ≤2.故选B.]二、填空题6．设P为x轴上的一点，A(－3,8)，B(2,14)，若直线P A的斜率k P A是直线PB 的斜率k PB的2倍，则点P的坐标为________．(－5,0)[设P(x,0)，由条件k P A＝2k PB，则8－3－x＝2×142－x，解得x＝－5，故P(－5,0)．]7．已知点A(1,2)，若在坐标轴上有一点P，使直线P A的倾斜角为135°，则点P的坐标为________．(3,0)或(0,3)[由题意知k P A＝－1，若P点在x轴上，则设P(m,0)，则0－2 m－1＝－1，解得m＝3；若P点在y轴上，则设P(0，n)，则n－20－1＝－1，解得n＝3，故P点的坐标为(3,0)或(0,3)．]8．若经过点P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．(－∞，－2)∪(1，＋∞)[由k＝2a－(1＋a)3－(1－a)＝a－1a＋2＞0得a＞1或a＜－2.]三、解答题9．求证：A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)三点共线．[证明]∵A(1，－1)，B(－2，－7)，C(0，－3)，∴k AB＝－7－(－1)－2－1＝2，k AC＝－3－(－1)0－1＝2.∴k AB＝k AC.∵直线AB与直线AC的倾斜角相同且过同一点A，∴直线AB与直线AC为同一直线．故A，B，C三点共线．10．已知直线l的倾斜角α的范围是45°≤α≤135°，求直线l的斜率k的范围．[解]分类讨论：当α＝90°时，l的斜率不存在；当45°≤α＜90°时，l的斜率k＝tan α∈[1，＋∞)；当90°＜α≤135°时，l的斜率k＝tan α∈(－∞，－1]．∴l的斜率不存在或斜率k∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．11．(多选题)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是()A ．若α1＜α2，则两直线的斜率：k 1＜k 2B ．若α1＝α2，则两直线的斜率：k 1＝k 2C ．若两直线的斜率：k 1＜k 2，则α1＜α2D ．若两直线的斜率：k 1＝k 2，则α1＝α2ABC [当α1＝30°，α2＝120°，满足α1＜α2，但是两直线的斜率k 1＞k 2，选项A 说法错误；当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，无法满足k 1＝k 2，选项B 说法错误；若直线的斜率k 1＝－1，k 2＝1，满足k 1＜k 2，但是α1＝135°，α2＝45°，不满足α1＜α2，选项C 说法错误；若k 1＝k 2说明斜率一定存在，则必有α1＝α2，选项D 正确．]12．将直线l 向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为( )A ．54B ．45C ．－54D ．－45C [设点P (a ，b )是直线l 上的任意一点，当直线l 按题中要求平移后，点P 也做同样的平移，平移后的坐标为(a ＋4，b －5)，由题意知，这两点都在直线l 上，∴直线l 的斜率为k ＝b －5－b a ＋4－a＝－54.] 13．(一题两空)直线l 经过点(－1,0)，倾斜角为150°，若将直线l 绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，得到直线l ′，则直线l ′的倾斜角为________，斜率为________．30° 33 [如图所示．∵直线l 的倾斜角为150°，∴绕点(－1,0)逆时针旋转60°后，所得直线l ′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°， 斜率k ＝tan α＝tan 30°＝33.]14．已知两点A (－3,4)，B (3,2)，过点P (2，－1)的直线l 与线段AB 有公共点，则l 的斜率的取值范围为________．(－∞，－1]∪[3，＋∞) [如图，要使l 与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角介于直线PB 与直线P A 的倾斜角之间．当直线l 的倾斜角为钝角时，∵直线P A 的斜率为－1－42＋3＝－1，∴k ∈(－∞，－1]，当l 的倾斜角为锐角时，又直线PB 的斜率为－1－22－3＝3，∴k ∈[3，＋∞)．故k ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．]15．已知坐标平面内三点A (－1,1)，B (1,1)，C (2，3＋1)．(1)求直线AB ，BC ，AC 的斜率和倾斜角；(2)若D 为△ABC 的边AB 上一动点，求直线CD 斜率k 的取值范围．[解] (1)由斜率公式得k AB ＝1－11－(－1)＝0， k BC ＝3＋1－12－1＝3，k AC ＝3＋1－12－(－1)＝33. 倾斜角的取值在区间[0°，180°)范围内，∵tan 0°＝0，∴直线AB 的倾斜角为0°.∵tan 60°＝3，∴直线BC 的倾斜角为60°.∵tan 30°＝33，∴直线AC 的倾斜角为30°.(2)如图，当斜率k 变化时，直线CD 绕点C 旋转，当直线CD 由CA 逆时针转到CB 时，直线CD 与AB 恒有交点，即D 在线段AB 上，此时k 由k CA 增大到k CB ，所以k 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，3.2.1.2两条直线平行和垂直的判定 一、选择题 1．直线l 1，l 2的斜率是方程x 2－3x －1＝0的两根，则l 1与l 2的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．相交但不垂直D ．垂直D [设l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2，则有k 1·k 2＝－1，从而直线l 1与l 2垂直．]2．若过点A (2，－2)，B (5,0)的直线与过点P (2m,1)，Q (－1，m )的直线平行，则m 的值为( )A ．－1B ．17C ．2D ．12B [k AB ＝0－(－2)5－2＝23，∵AB ∥PQ ，∴m －1－1－2m＝23， 解得m ＝17.]3．已知直线l 1和l 2互相垂直，且都过点A (1,1)，若l 1过原点O (0,0)，则l 2与y 轴交点的坐标为( )A ．(2,0)B ．(0,2)C ．(0,1)D ．(1,0)B [由条件知，k l 1＝1－01－0＝1，∵l 1⊥l 2，∴k l 2＝－1.∴l 2的方程为y －1＝－1×(x －1)，令x ＝0，y ＝2.故l 2与y 轴交点坐标为(0,2)．]4．以A (－1,1)，B (2，－1)，C (1,4)为顶点的三角形是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 点为直角顶点的直角三角形D ．以B 点为直角顶点的直角三角形C [如图所示，易知k AB ＝－1－12－(－1)＝－23，k AC ＝4－11－(－1)＝32，由k AB ·k AC ＝－1，知三角形是以A 点为直角顶点的直角三角形．]5．已知点A (2,3)，B (－2,6)，C (6,6)，D (10,3)，则以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形是( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形B [先画出四边形ABCD 的大致图形，如图所示，由斜率公式得k BC ＝k AD ＝0，k AB ＝k CD ＝－34，所以四边形ABCD 为平行四边形．]二、填空题6．已知直线l 1的倾斜角为60°，直线l 2的斜率k 2＝m 2＋3－4，若l 1∥l 2，则m 的值为________．±2 [由题意得m 2＋3－4＝tan 60°，解得m ＝±2.]7．已知△ABC 中，A (0,3)，B (2，－1)，E ，F 分别是AC 、BC 的中点，则直线EF 的斜率为________．－2 [根据三角形的中位线定理，得EF ∥AB ，∴k EF ＝k AB ＝3－(－1)0－2＝－2.] 8．已知A (2,3)，B (1，－1)，C (－1，－2)，点D 在x 轴上，则当点D 坐标为________时，AB ⊥CD .(－9,0) [设点D (x,0)，因为k AB ＝－1－31－2＝4≠0， 所以直线CD 的斜率存在．则由AB ⊥CD 知，k AB ·k CD ＝－1，所以4·－2－0－1－x＝－1，解得x ＝－9.] 三、解答题9.如图，在▱OABC 中，O 为坐标原点，点C (1,3)．(1)求OC 所在直线的斜率；(2)过点C 作CD ⊥AB 于点D ，求直线CD 的斜率．[解] (1)由斜率公式得k OC ＝3－01－0＝3.∴OC 所在直线的斜率为3. (2)因为OC ∥AB ，∴k OC ＝k AB .又CD ⊥AB ，∴k CD ·k AB ＝3k CD ＝－1.∴k CD ＝－13.故直线CD 的斜率为－13.10．已知在▱ABCD 中，A (1,2)，B (5,0)，C (3,4)．(1)求点D 的坐标；(2)试判定▱ABCD 是否为菱形？[解] (1)设点D 坐标为(a ，b )，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0－25－1＝b －4a －3，b －2a －1＝4－03－5，解得⎩⎨⎧ a ＝－1，b ＝6，所以D (－1,6)． (2)因为k AC ＝4－23－1＝1，k BD ＝6－0－1－5＝－1， 所以k AC ·k BD ＝－1，所以AC ⊥BD ，所以▱ABCD 为菱形．11．(多选题)下列说法正确的有( )A ．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行B ．若l 1∥l 2，则k 1＝k 2C ．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直D ．若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行AD [根据平行的判断，A 正确，但B 不一定正确，因为有可能斜率均不存在；根据垂直的判断，当一条直线斜率不存在，另一条斜率为零时，两直线才垂直，故C 不正确，D 正确．]12．已知直线l 1，l 2，l 3的斜率分别是k 1，k 2，k 3，其中l 1∥l 2，且k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，则k 1＋k 2＋k 3的值是( )A ．1B ．32C ．72D ．1或72D [由k 1，k 3是方程2x 2－3x －2＝0的两根，解方程得⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝－12，k 3＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ k 1＝2，k 3＝－12.又l 1∥l 2，所以k 1＝k 2，所以k 1＋k 2＋k 3＝1或72.]13．(一题两空)已知直线l 1经过点A (3，a )，B (a －1,2)，直线l 2经过点C (1,2)，D (－2，a ＋2)，若l 1∥l 2时，a 的值为________，若l 1⊥l 2时，a 的值为________．1或6 3或－4 [l 1∥l 2时，2－a a －1－3＝a ＋2－2－2－1， 解得a ＝1或a ＝6，经验证均符合题意，当l 1⊥l 2时，2－a a －4×a －3＝－1，解得a ＝3或a ＝－4，经验证均符合题意．]14．若A (－4,2)，B (6，－4)，C (12,6)，D (2,12)，给出下面四个结论：①AB ∥CD ；②AB ⊥CD ；③AC ∥BD ；④AC ⊥BD .其中正确的是________．(把正确选项的序号填在横线上)①④ [∵k AB ＝－35，k CD ＝－35，k AC ＝14，k BD ＝－4，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD .故①④正确．]15．某矩形花园ABCD 内需要铺两条笔直的小路，已知AD ＝50 m ，AB ＝30 m ，其中一条小路定为AC ，另一条小路过点D ，则在线段BC 上找到一点M ，使得两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直．[解] 如图所示，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系．由AD ＝50 m ，AB ＝30 m ，可得C (50,0)，D (50,30)，A (0,30)．设点M 的坐标为(x,0)，因为AC ⊥DM ，且直线AC ，DM 的斜率均存在，所以k AC ·k DM ＝－1，所以30－00－50·30－050－x＝－1，解得x ＝32，即BM ＝32 m 时，两条小路所在直线AC 与DM 相互垂直．2.2.1直线的点斜式方程一、选择题1．直线y －2＝－3(x ＋1)的倾斜角及在y 轴上的截距分别为( )A ．60°，2B ．120°，2－ 3C ．60°，2－ 3D ．120°，2B [由方程y －2＝－3(x ＋1)得y ＝－3x ＋2－3，∴斜率k ＝－3，在y 轴上的截距为2－3，倾斜角为120°.]2．已知两条直线y ＝ax －2和y ＝(2－a )x ＋1互相平行，则a 等于( )A ．2B ．1C ．0D ．－1B [由于两条直线平行，∴a ＝2－a ，解得a ＝1，验证知适合条件．]3．在同一直角坐标系中，表示直线y ＝ax 与y ＝x ＋a 正确的是( )A B C DC [A 中，y ＝ax ，a ＞0，y ＝x ＋a 的图象错误；B 中，y ＝ax ，a ＞0，y ＝x ＋a 的图象错误；D 中，y ＝ax ，a ＜0，y ＝x ＋a 的图象错误．]4．经过点(0，－1)且与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线方程为( )A ．2x ＋3y ＋3＝0B ．2x ＋3y －3＝0C ．2x ＋3y ＋2＝0D ．3x －2y －2＝0A [∵直线2x ＋3y －4＝0的斜率为－23，与直线2x ＋3y －4＝0平行的直线的斜率也为－23，∴经过点(0，－1)且斜率为－23的直线，其斜截式方程为y ＝－23x －1，整理得2x ＋3y ＋3＝0，故选A.]5．直线y ＝2x ＋1绕着其上一点(3,4)，逆时针旋转90°后得到直线l ，则直线l 的点斜式方程为( )A ．y －4＝2(x －3)B ．y －4＝12(x －3) C ．y －4＝－12(x －3)D ．y －4＝－2(x －3)C [逆时针旋转90°即与y ＝2x ＋1垂直，由于y ＝2x ＋1的斜率为2，则所求直线的斜率为－12，又因过点(3,4)，故直线方程为y －4＝－12(x －3)．]二、填空题6．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________．y ＝－3x ＋2 [∵直线y ＝－3x －4的斜率为－3，所求直线与此直线平行，∴斜率为－3.又截距为2，∴由斜截式方程可得y ＝－3x ＋2.]7．直线l 的方向向量为(1,3)，且在y 轴上的截距为－2的斜截式方程为________．y ＝3x －2 [由于直线l 的方向向量为(1,3)，也就是直线的斜率为k ＝3，又因直线在y 轴上的截距为－2，故方程为y ＝3x －2.]8．一条直线经过点A (2，－3)，并且它的倾斜角等于直线y ＝13x 的倾斜角的2倍，则这条直线的点斜式方程是________．y －(－3)＝3(x －2) [∵直线y ＝13x 的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k ＝tan 60°＝ 3. 又该直线过点A (2，－3)，故所求直线为y －(－3)＝3(x －2)．] 三、解答题9．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且分别满足下列条件的直线方程．(1)经过点(3，－1)；(2)在y轴上的截距是－5.[解]∵直线y＝－3x＋1的斜率k＝－3，∴其倾斜角α＝120°，由题意，得所求直线的倾斜角α1＝14α＝30°，故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝3 3.(1)∵所求直线经过点(3，－1)，斜率为3 3，∴所求直线方程是y＋1＝33(x－3)．(2)∵所求直线的斜率是33，在y轴上的截距为－5，∴所求直线的方程为y＝33x－5.10．根据条件写出下列直线方程的斜截式．(1)经过点A(3,4)，在x轴上的截距为2；(2)斜率与直线x＋y＝0相同，在y轴的截距与直线y＝2x＋3的相同．[解](1)法一：易知直线的斜率存在，设直线方程为y＝k(x－2)，∵点A(3,4)在直线上，∴k＝4，∴y＝4×(x－2)＝4x－8，∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.法二：由于直线过点A(3,4)和点(2,0)，则直线的斜率k＝4－03－2＝4，由直线的点斜式方程得y－0＝4×(x－2)＝4x－8，∴所求直线方程的斜截式为y＝4x－8.(2)因为直线x＋y＝0的方程可化为y＝－x，斜率为－1，又直线y＝2x＋3在y轴上的截距为3，所以所求直线方程的斜截式为y ＝－x ＋3. 11．(多选题)下列说法正确的有( )A ．若直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则(k ，b )在第二象限B ．直线y ＝ax －3a ＋2过定点(3,2)C ．过点(2，－1)斜率为－3的点斜式方程为y ＋1＝－3(x －2)D ．斜率为－2，在y 轴截距为3的直线方程为y ＝－2x ±3.ABC [A 中，直线y ＝kx ＋b 经过第一、二、四象限，则k ＜0，b ＞0，∴(k ，b )在第二象限，正确．B 中，直线可写为y －2＝a (x －3)，所以直线过定点(3,2)，正确．C 中根据点斜式方程知正确．D 中，由斜截式方程得y ＝－2x ＋3，故D 错误．]12．在等腰三角形AOB 中，|AO |＝|AB |，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)D [由条件知，直线AO 与AB 的倾斜角互补，斜率互为相反数，∴k AO ＝3，k AB ＝－3，由点斜式方程得y －3＝－3(x －1)．]13．(一题两空)若直线l ：y ＝kx ＋2k ＋1，那么直线过定点________，若当－3＜x ＜3时，直线l 上的点都在x 轴上方，则实数k 的取值范围是________．(－2,1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1 [由y ＝kx ＋2k ＋1得y －1＝k (x ＋2)，由直线的斜截式方程知，直线过定点(－2,1)．又设函数f (x )＝kx ＋2k ＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)， 若－3＜x ＜3，直线l 上的点都在x 轴上方， 则需满足⎩⎨⎧ f (－3)≥0，f (3)≥0，即⎩⎨⎧－3k ＋2k ＋1≥0，3k ＋2k ＋1≥0，解得－15≤k ≤1.所以实数k 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－15，1.]14．与直线2x ＋3y ＋5＝0平行，且与x ，y 轴交点的横、纵坐标之和为56的直线l 的方程为________．y ＝－23x ＋13 [由题意知，直线l 的斜率为－23，设其方程为y ＝－23x ＋b ，分别令x ＝0，y ＝0，得直线在y ，x 轴上的截距分别为b ，32b ，则b ＋32b ＝56， 解得b ＝13，故直线l 的方程为y ＝－23x ＋13.]15．已知直线l 过点(1,0)，且与直线y ＝3(x －1)的夹角为30°，求直线l 的方程．[解] ∵直线y ＝3(x －1)的斜率为3，∴其倾斜角为60°，且过点(1,0)．又直线l 与直线y ＝3(x －1)的夹角为30°，且过点(1,0)，由图可知，直线l 的倾斜角为30°或90°.故直线的方程为x ＝1或y ＝33(x －1).2.2.2直线的两点式方程一、选择题1．已知点A (1,1)，B (3,5)，若点C (―2，y )在直线AB 上，则y 的值是( ) A ．―5B ．2.5C ．5D ．―2.5A [点A (1,1)，B (3,5)，直线AB 的方程为：y －1＝5－13－1(x －1)， 即2x ―y ―1＝0，点C (―2，y )在直线AB 上，得―4―y ―1＝0，解得y ＝―5. 故选A.]2．已知△ABC 三顶点A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0A [点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x ＋y －8＝0.]3．两条直线x m －y n ＝1与x n －ym ＝1在同一平面直角坐标系中的图象是下图中的( )A B C DB [x m －y n ＝1在两轴上的截距分别为m ，－n ；直线x n －ym ＝1在两轴上的截距分别为n ，－m ；所以符合题意的就是B.]4．过点P (1,3)，且与x 、y 轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )A ．3x ＋y －6＝0B ．x ＋3y －10＝0C ．3x －y ＝0D ．x －3y ＋8＝0A [设方程为x a ＋yb ＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧12ab ＝6，1a ＋3b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝6.故所求的直线方程为：3x ＋y －6＝0.]5．已知两点A (3,0)，B (0,4)，动点P (x ，y )在线段AB 上运动，则xy ( ) A ．无最小值，且无最大值 B ．无最小值，但有最大值 C ．有最小值，但无最大值 D ．有最小值，且有最大值D [线段AB 的方程为x 3＋y 4＝1(0≤x ≤3)，∴y ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 3，∴xy ＝4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 3＝－43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋3.∴当x ＝32时，xy 取最大值3；当x ＝0或x ＝3时，xy 取最小值0.] 二、填空题6．直线x 4－y3＝－1在两坐标轴上的截距之和为________．－1 [方程可化为x －4＋y3＝1，∴在x 轴和y 轴上的截距分别为－4和3，故－4＋3＝－1.]7．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________． 3x ＋2y －6＝0 [因为过点(0,3)，所以直线在y 轴上的截距为3，又截距之和为5，即在x 轴上的截距为2，由截距式方程得x 2＋y3＝1即3x ＋2y －6＝0.]8．直线l 过点P (－1,2)，分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________．2x －y ＋4＝0[设A (x,0)，B (0，y )．由P (－1,2)为AB 的中点，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋02＝－1，0＋y2＝2，∴⎩⎨⎧x ＝－2，y ＝4.由截距式方程得l 的方程为x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0.] 三、解答题9．已知在△ABC 中，A ，B 的坐标分别为(－1,2)，(4,3)，AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上．(1)求点C 的坐标； (2)求直线MN 的方程．[解] (1)设C (x ，y )，∵A (－1,2)，B (4,3) ∴AC 的中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，y ＋22BC 的中点坐标为N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋42，y ＋32，又AC 中点在y 轴上且BC 中点在x 轴上， ∴x ＝1，y ＝－3，故C (1，－3)． (2)由(1)可知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，由截距式方程得x 52＋y－12＝1，整理得MN 的方程为2x －10y －5＝0.10．求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行，且在两坐标轴上的截距之和为73的直线l 的方程．[解] 法一：由题意，设直线l 的方程为3x ＋4y ＋m ＝0(m ≠1)，令x ＝0，得y ＝－m 4；令y ＝0，得x ＝－m 3，所以－m 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 4＝73，解得m ＝－4.所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0.法二：由题意，直线l 不过原点，则在两坐标轴上的截距都不为0.可设l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ≠0，b ≠0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－34，a ＋b ＝73，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，所以直线l 的方程为3x ＋4y －4＝0. 11．(多选题)下列说法正确的是( ) A ．不经过原点的直线都可以表示为x a ＋yb ＝1B．若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4,1)则直线l的方程为x8＋y2＝1C．过点(1,1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2D．直线3x－2y＝4的截距式方程为x43＋y－2＝1BCD[A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4,1)，那么A(8,0)，B(0,2)的直线方程为x8＋y2＝1，故B对；C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为x 4 3＋y－2＝1，故D对．]12.已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图所示，则()A．若c＞0，则a＞0，b＞0B．若c＞0，则a＜0，b＞0C．若c＜0，则a＞0，b＜0D．若c＜0，则a＞0，b＞0D[由ax＋by＋c＝0，得斜率k＝－ab，直线在x，y轴上的截距分别为－ca，－cb.由题图，k＜0，即－ab＜0，∴ab＞0.∵－ca＞0，－cb＞0，∴ac＜0，bc＜0.若c＜0，则a＞0，b＞0；若c＞0，则a＜0，b＜0.]13．(一题两空)若A(2,5)，B(4,1)，则直线AB的方程为________；设直线AB 与两坐标轴的交点为A、B且点P(x，y)在线段AB上，则xy的最大值为________．2x＋y－9＝0818[由两点式得y－15－1＝x－42－4整理为2x＋y－9＝0.又P(x，y)在AB上，∴x＞0，y＞0，∴xy＝12(2x)·y≤12⎝⎛⎭⎪⎫2x＋y22＝12⎝⎛⎭⎪⎫922＝818，所以xy的最大值为81 8.]14．垂直于直线3x－4y－7＝0，且与两坐标轴围成的三角形的面积为6的直线在x轴上的截距是________．3或－3[设直线方程为4x＋3y＋d＝0，分别令x＝0和y＝0，得直线与两坐标轴的截距分别是－d3，－d4，依题意得，12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d3×⎪⎪⎪⎪⎪⎪－d4＝6，∴d＝±12.故直线在x轴上的截距为3或－3.]15．已知直线l过点P(4,1)，(1)若直线l过点Q(－1,6)，求直线l的方程；(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．[解](1)l过点P(4,1)，Q(－1,6)．由两点式可得y－16－1＝x－4－1－4，整理得x＋y－5＝0，这就是直线l的方程．(2)当在两轴上的截距均为0时，l的方程为y＝14x即x－4y＝0.当直线l在两轴上的截距均不为零时，根据条件可设为xa＋y2a＝1，把(4,1)代入4a＋12a＝1，解得a＝9 2.∴l的方程为2x＋y－9＝0.综上可知，直线l的方程为2x＋y－9＝0或x－4y＝0.2.2.3直线的一般式方程一、选择题1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角为( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6D [直线x ＋3y ＋1＝0的斜率k ＝－33，所以直线倾斜角为5π6.] 2．直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为( ) A ．y ＝－43x ＋4 B ．y ＝－43(x －3) C ．4x ＋3y －12＝0D ．4x ＋3y ＝12C [直线x 3＋y4＝1化成一般式方程为4x ＋3y －12＝0.]3．若直线l 1：ax ＋2y ＋2＝0与直线l 2：x ＋(a －1)y ＋1＝0平行，则实数a 的值是( )A ．2B ．－1或2C ．－1D ．0C [∵已知两直线平行，∴a (a －1)－2＝0，解得a ＝－1或a ＝2，当a ＝2时，两直线重合，舍去，当a ＝－1时两直线平行．故选C.]4．如果A ·B ＞0且B ·C ＜0，那么直线Ax ＋By ＋C ＝0不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由A ·B ＞0且B ·C ＜0，可得直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为－A B ＜0，直线在y 轴上的截距－CB ＞0，故直线不经过第三象限，故选C.]5．坐标原点在直线l 上的射影为点(2,1)，直线l 的方程是( ) A ．x ＋2y －5＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．2x ＋3y －7＝0D ．3x ＋2y －8＝0B [∵原点在直线l 上的射影为点(2,1)，∴直线l 的斜率为k ＝－21＝－2.又点(2,1)在直线l 上，∴所求的直线方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.]二、填空题6．使直线(2a ＋1)x ＋ay ＋1＝0和直线ax －3y ＋3＝0垂直的实数a 的值为________．0或1 [由(2a ＋1)a －3a ＝0解得a ＝0或1.]7．已知直线l 的斜率是直线2x －3y ＋12＝0的斜率的12，l 在y 轴上的截距是直线2x －3y ＋12＝0在y 轴上的截距的2倍，则直线l 的方程为________．x －3y ＋24＝0 [由2x －3y ＋12＝0知，斜率为23，在y 轴上截距为4.根据题意，直线l 的斜率为13，在y 轴上截距为8，所以直线l 的方程为x －3y ＋24＝0.]8．已知直线l 的倾斜角为α，sin α＝35，且这条直线l 经过点P (3,5)，则直线l的一般式方程为________．3x －4y ＋11＝0或3x ＋4y －29＝0 [因为sin α＝35，所以cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以直线l 的斜率为k ＝tan α＝±34，又因为直线l 经过点P (3,5)，所以直线l的方程为y －5＝34(x －3)或y －5＝－34(x －3)，所以直线l 的一般式方程为3x －4y ＋11＝0或3x ＋4y －29＝0.]三、解答题9.如图所示，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在的直线方程为2x －y －2＝0，点C (2,0)．(1)求直线CD 的方程；(2)求AB 边上的高CE 所在的直线方程．[解] (1)因为四边形ABCD 为平行四边形，所以AB ∥CD ，设直线CD 的方程为2x －y ＋m ＝0，将点C (2,0)代入上式得m ＝－4，所以直线CD 的方程为2x －y －4＝0.(2)设直线CE 的方程为x ＋2y ＋n ＝0，将点C (2,0)代入上式得n ＝－2.所以直线CE 的方程为x ＋2y －2＝0.10．设直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＝2m －6，根据下列条件分别求m 的值．(1)在x 轴上的截距为1；(2)斜率为1；(3)经过定点P (－1，－1)．[解] (1)∵直线过点P ′(1,0)，∴m 2－2m －3＝2m －6.解得m ＝3或m ＝1.又∵m ＝3时，直线l 的方程为y ＝0，不符合题意，∴m ＝1.(2)由斜率为1，得⎩⎨⎧ －m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，2m 2＋m －1≠0，解得m ＝43. (3)直线过定点P (－1，－1)，则－(m 2－2m －3)－(2m 2＋m －1)＝2m －6，解得m ＝53或m ＝－2.11．(多选题)下列命题正确的是( )A ．当B ≠0时，直线一般式方程可化为斜截式方程B ．当C ≠0时，直线的一般式方程可化为截距式方程C ．两直线mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0互相平行的条件是⎩⎨⎧ m ＝1n ≠－1或⎩⎨⎧m ＝－1n ≠1D ．直线ax ＋(1－a )y ＝3与直线(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＝2互相垂直的条件是a ＝1或a ＝－3.ACD [A 中，B ≠0时，Ax ＋By ＋C ＝0可化为y ＝－A B x －C B ，故A 正确；B中，C ≠0时，Ax ＋By ＋C ＝0可化为x －C A ＋y －C B＝1，但A 、B ≠0时是不可能的，故B 错误；C 中，若mx ＋y －n ＝0与x ＋my ＋1＝0平行，则m 2＝1即m ＝±1，而m ＝1时n ≠－1，否则重合；m ＝－1时n ≠1，否则也重合，故C 正确；D 中，由垂直条件可知，a (a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0解得a ＝1或a ＝－3.故D 正确．故ACD 正确．]12．直线l ：mx ＋(2m －1)y －6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m 的值为( )A ．2B ．－32C ．3D ．2或－32D [在mx ＋(2m －1)y －6＝0中令x ＝0，得y ＝62m －1，令y ＝0，得x ＝6m ，即交点分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫6m ，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，62m －1，据题意：12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪6m ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪62m －1＝3，解得m ＝2或m ＝－32.] 13．(一题两空)设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|P A |＝|PB |，若直线P A 的斜率为12，那么直线PB 的斜率为________；若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程为________．－12 x ＋y －5＝0 [由条件可知P A 与PB 两直线的倾斜角互补，故k PB ＝－k P A＝－12；又因为P A 的直线为x －y ＋1＝0，∴k PB ＝－1，由x ＝2时，y ＝3，即直线PB 过(2,3)，故PB 的方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0.]14．已知直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，且A －2B ＋3C ＝0，则直线的方程是________．15x －3y －7＝0 [因为直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率为5，所以B ≠0，且－A B ＝5，即A ＝－5B ，又A －2B ＋3C ＝0，所以－5B －2B ＋3C ＝0，即C ＝73B .此时直线的方程化为－5Bx ＋By ＋73B ＝0.即－5x ＋y ＋73＝0，故所求直线的方程为15x －3y －7＝0.]15．一河流同侧有两个村庄A 、B ，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A 、B 两村到河边的垂直距离分别为300 m 和700 m ，且两村相距500 m ，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？[解] 如图，以河流所在直线为x 轴，y 轴通过点A ，建立直角坐标系，则点A (0,300)，B (x,700)，设B 点在y 轴上的射影为H ，则x ＝|BH |＝AB 2－AH 2＝300，故点B (300,700)，设点A 关于x 轴的对称点A ′(0，－300)，则直线A ′B 的斜率k ＝103，直线A ′B 的方程为y ＝103x －300.令y ＝0得x ＝90，得点P (90,0)，故水电站建在河边P (90,0)处电线用料最省．2.3.1 2.3.2两条直线的交点坐标两点间的距离公式一、选择题1．到点A (1,3)，B (－5,1)的距离相等的动点P 满足的方程是( )A ．3x －y －8＝0B ．3x ＋y ＋4＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y ＋2＝0B [设P (x ，y )，由条件知(x －1)2＋(y －3)2＝(x ＋5)2＋(y －1)2整理得3x ＋y ＋4＝0.]2．已知点A 与点B (1,2)关于直线x ＋y ＋3＝0对称，则点A 的坐标为( )A ．(3,4)B ．(4,5)C ．(－4，－3)D ．(－5，－4)D [设A (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋12＋y ＋22＋3＝0，y －2x －1·(－1)＝－1，∴⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝－4，选D.] 3．直线l 经过原点，且经过另两条直线2x ＋3y ＋8＝0，x －y －1＝0的交点，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y ＝0B ．2x －y ＝0C ．x ＋2y ＝0D ．x －2y ＝0 B [设所求直线方程为2x ＋3y ＋8＋λ(x －y －1)＝0，即(2＋λ)x ＋(3－λ)y ＋8－λ＝0，因为l 过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x －y ＝0.]4．已知点M (0，－1)，点N 在直线x －y ＋1＝0上，若直线MN 垂直于直线x ＋2y －3＝0，则N 点的坐标是( )A ．(2,3)B ．(－2，－1)C ．(－4，－3)D ．(0,1)A [由题意知，直线MN 过点M (0，－1)且与直线x ＋2y －3＝0垂直，其方程为2x －y －1＝0. 直线MN 与直线x －y ＋1＝0的交点为N ，联立方程组⎩⎨⎧ 2x －y －1＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即N 点坐标为(2,3)．] 5．直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，垂足为(1，c )，则a ＋b ＋c ＝( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8 B [∵直线ax ＋4y －2＝0与直线2x －5y ＋b ＝0垂直，∴－a 4×25＝－1，∴a ＝10，∴直线ax ＋4y －2＝0方程即为5x ＋2y －1＝0.将点(1，c )的坐标代入上式可得5＋2c －1＝0，解得c ＝－2.将点(1，－2)的坐标代入方程2x －5y ＋b ＝0得2－5×(－2)＋b ＝0，解得b ＝－12.∴a ＋b ＋c ＝10－12－2＝－4.]二、填空题6．过点A (4，a )和B (5，b )的直线和直线y ＝x ＋m 平行，则|AB |＝________.2 [因为k AB ＝b －a 5－4＝b －a ＝1， 所以|AB |＝(5－4)2＋(b －a )2＝ 2.]7．点P 在直线2x －y ＝0上，若M (4，－2)且|PM |＝5，则点P 的坐标为________． (1,2)或(－1，－2) [设P (x,2x )，由两点间距离公式得(x －4)2＋(2x ＋2)2＝5解得x ＝1或－1，故P (1,2)或(－1，－2)．]8．经过点P (1,0)和两直线l 1：x ＋2y －2＝0，l 2：3x －2y ＋2＝0交点的直线的一般式方程为________．x ＋y －1＝0 [由⎩⎨⎧ x ＋2y －2＝03x －2y ＋2＝0的交点(0,1)，所以所求方程为x 1＋y 1＝1，即x ＋y －1＝0.]三、解答题9．求过直线2x －y ＋2＝0和x ＋y ＋1＝0的交点，且斜率为3的直线方程．[解] 法一：解方程组⎩⎨⎧ 2x －y ＋2＝0，x ＋y ＋1＝0，得⎩⎨⎧ x ＝－1，y ＝0，所以两条直线的交点坐标为(－1,0)．又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为y －0＝3[x －(－1)]，即3x －y ＋3＝0.法二：设所求直线为l ，因为l 过已知两条直线的交点，所以直线l 的方程可设为2x －y ＋2＋λ(x ＋y ＋1)＝0(其中λ为常数)，即(λ＋2)x ＋(λ－1)y ＋λ＋2＝0①，又直线l 的斜率为3，所以－λ＋2λ－1＝3，解得λ＝14， 将λ＝14代入①，整理得3x －y ＋3＝0.10．分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0；(2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.[解] 解方程组⎩⎨⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)， (1)若直线与l 1平行，∵k 1＝2，∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0.(2)若直线与l 2垂直，∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23， ∴所求直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.11．(多选题)已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的可能取值为( )A ．－43B ．43C ．23D ．－23 ACD [因为三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，所以直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点，直线mx －y －1＝0与2x －3y＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0分别平行时，m ＝23，或－43，直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23，所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23，故选ACD.]12．已知点A (3,0)，B (0,3)，M (1,0)，O 为坐标原点，P ，Q 分别在线段AB ，BO 上运动，则△MPQ 的周长的最小值为( )A ．4B ．5C ．2 5D ．34C [过A (3,0)，B (0,3)两点的直线方程为x ＋y －3＝0，设M (1,0)关于直线x ＋y －3＝0对称的点N (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ y x －1＝1x ＋12＋12y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝2，即N (3,2)， 同理可求M (1,0)关于O 对称的点E (－1,0)，当N ，P ，Q ，E 共线时，△MPQ 的周长MQ ＋PQ ＋PM ＝NP ＋EQ ＋PQ ，取得最小值为NE ＝(3＋1)2＋4＝2 5.]13．(一题两空)已知函数y ＝2x 的图象与y 轴交于点A ，函数y ＝lg x 的图象与x 轴交于点B ，则|AB |＝________，若点P 在直线AB 上移动，点Q (0，－2)，则|PQ |的最小值为________．2 322 [易知A (0,1)，B (1,0)，∴|AB |＝(1－0)2＋(0－1)2＝2， 所以直线AB ：y ＝1－x .又Q (0，－2)，设P (x 0，y 0)，则y 0＝1－x 0，所以|PQ |＝(x 0－0)2＋(y 0＋2)2＝x 20＋(3－x 0)2＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－322＋92≥92＝322(当且仅当x 0＝32时等号成立)，所以|PQ |的最小值为322.] 14．无论m 取何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过一定点________．(9，－4) [当m ＝1时，直线方程为y ＝－4；当m ＝12时，直线方程为x ＝9.这两条直线的交点为(9，－4)．又当x ＝9，y ＝－4时，9(m －1)－4(2m －1)＝m －5，即点(9，－4)在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上，故无论m 取何值，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过定点(9，－4)．]15．过点M (0,1)作直线，使它被两直线l 1：x －3y ＋10＝0，l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线方程．[解] 法一：过点M 且与x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y ＝kx ＋1.设所求直线与已知直线l 1，l 2分别交于A ，B 两点．由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，得A 的横坐标x A ＝73k －1. 由⎩⎨⎧ y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，得B 的横坐标x B ＝7k ＋2. ∵点M 平分线段AB ，∴73k －1＋7k ＋2＝0，解得k ＝－14.故所求的直线方程为x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线与l 1，l 2分别交于A ，B 两点，且设A (3m －10，m )，B (a,8－2a )．∵M 为线段AB 的中点，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m －10＋a 2＝0，m ＋8－2a 2＝1，解得⎩⎨⎧a ＝4，m ＝2，∴A (－4,2)，B (4,0)， ∴直线AB 即所求直线的方程为x ＋4y －4＝0.2.3.3 2.3.4点到直线的距离公式两条平行直线间的距离一、选择题1．动点P 在直线x ＋y －4＝0上，O 为原点，则|OP |的最小值为( )A ．10B ．2 2C ． 6D ．2B [设原点O 到直线x ＋y －4＝0的距离为d ，由点到直线距离的性质知d ＝|OP |min ，因此，|OP |min ＝|0＋0－4|12＋12＝22，故选B.] 2．已知两条直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：4x ＋2y ＋2＝0，则l 1，l 2的距离为( )A ．255B ．355C ． 5D ．2 5A [因为两直线l 1：2x ＋y －1＝0，l 2：4x ＋2y ＋2＝0平行，则它们之间的距离即为l 1：2x ＋y －1＝0与l 2：4x ＋2y ＋2＝0之间的距离为：d ＝|－2－2|16＋4＝425＝255.] 3．已知点P (1＋t,1＋3t )到直线l ：y ＝2x －1的距离为55，则点P 的坐标为( )A ．(0，－2)B ．(2,4)C ．(0，－2)或(2,4)D ．(1,1)C [直线l ：y ＝2x －1可化为2x －y －1＝0，依题意得|2(1＋t )－(1＋3t )－1|22＋(－1)2＝55，整理得|t |＝1，所以t ＝1或－1.当t ＝1时，点P 的坐标为(2,4)；当t ＝－1时，点P 的坐标为(0，－2)，故选C.]4．与直线x ＋y ＝0平行，且它们之间的距离为2的直线方程为( )A ．x ＋y ＋2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0或x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋1＝0或x ＋y －1＝0C [依题意设所求直线方程为x ＋y ＋c ＝0(c ≠0)，则|c －0|12＋12＝2⇒|c |＝2，故c ＝±2.因此所求直线方程为x ＋y ±2＝0，故选C.] 5．在平面直角坐标系中，点A (1,2)，点B (3,1)到直线l 的距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为( )A ．3B ．2C ．4D ．1B [由点A (1,2)，点B (3,1)可得|AB |＝4＋1＝5＜1＋2，所以不存在与线段AB 相交的符合题意的直线，故存在两条符合题意的直线，这两条直线在线段AB 的两侧，如图，故选B.] 二、填空题6．△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (2,1)，B (3,4)，C (－2，－1)，则△ABC 的面积为________．5 [由两点式得AB 的直线方程为y －14－1＝x －23－2， 即3x －y －5＝0.再由点到直线距离公式得点C 到直线AB 的距离为d ＝|－6＋1－5|32＋(－1)2＝10.又|AB |＝(3－2)2＋(4－1)2＝10.∴S △ABC ＝12×10×10＝5.] 7．已知直线3x ＋4y －3＝0与6x ＋my ＋14＝0相互平行，则它们之间的距离是________．2 [因为直线3x ＋4y －3＝0与6x ＋my ＋14＝0平行，所以3m －4×6＝0， 解得m ＝8，所以6x ＋my ＋14＝0，即是3x ＋4y ＋7＝0，由两条平行线间的距离公式可得d ＝|7＋3|32＋42＝2.] 8．P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋6＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为________．3[直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，由此可知两条直线平行，它们的距离d＝|－12－3|32＋42＝3，∴|PQ|min＝3.] 三、解答题9．已知直线l的斜率为－34，且直线l经过直线kx－y＋2k＋5＝0所过的定点P.(1)求直线l的方程；(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．[解](1)kx－y＋2k＋5＝0，即k(x＋2)＋(5－y)＝0，所以过定点P(－2,5)，又直线l的斜率为－3 4.因此其方程为y－5＝－34(x＋2)，即l：3x＋4y－14＝0.(2)设直线m：y＝－34x＋b，则3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪34×(－2)＋5－b916＋1⇒b＝－14或294.∴直线m为：y＝－34x－14，或y＝－34x＋294.10.如图，已知直线l1：x＋y－1＝0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，求l2的方程．[解]设l2的方程为y＝－x＋b(b>1)，则A(1,0)，D(0,1)，B(b,0)，C(0，b)，∴|AD|＝2，|BC|＝2b.梯形的高h就是A点到直线l2的距离，故h＝|1＋0－b|2＝|b－1|2＝b－12(b>1)，由梯形面积公式得2＋2b2×b－12＝4，∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.从而得到直线l2的方程是x＋y－3＝0.11．(多选题)两条平行线分别经过点A(6,2)，B(－3，－1)，下列可能是这两条平行线间的距离的是()A．4 B．7C．9 D．11ABC[当两直线的斜率不存在时，两直线方程分别为x＝6，x＝－3，则d＝9.当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为y－2＝k(x－6)与y＋1＝k(x＋3)，即kx－y＋2－6k＝0，kx－y＋3k－1＝0，∴d＝|2－6k－3k＋1|k2＋1＝|9k－3|k2＋1.由此可得(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.当81－d2＝0，即d＝9时，k＝－43，∴d＝9成立．当d≠9时，由k∈R，可得Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，即d4－90d2≤0，∴0＜d≤310且d≠9.综上所述，d∈(0,310]．故应选ABC.]12．(多选题)下列过(2,2)的直线l中，到两点A(0，－2)，B(8,2)的距离相等的是()A．x＋y－4＝0 B．x＝2C．2x＋y－6＝0 D．x－2y＋2＝0AD[显然斜率不存在时x＝2不合适，设l：y－2＝k(x－2)即kx－y＋2－2k＝0，由条件可知|4－2k|k2＋1＝|6k|k2＋1，解得k＝12或－1.当k＝12时，l∥AB，方程为x－2y＋2＝0，当k＝－1时，l过AB中点，方程为x＋y－4＝0.]13．(一题两空)已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P ，若点A (5,0)到直线l 的距离为3，则直线l 的方程为________，点A (5,0)到直线l 的距离的最大值是________．4x －3y －5＝0或x ＝210 [经过两已知直线交点的直线方程为(2x ＋y －5)＋λ(x －2y )＝0，即(2＋λ)x ＋(1－2λ)y －5＝0， ∴|5(2＋λ)－5|(2＋λ)2＋(1－2λ)2＝3， 即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或12，∴l 的方程为4x －3y －5＝0或x ＝2.由⎩⎨⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0，解得交点P (2,1)，过点P 任意作直线l (图略)，设d 为点A 到l 的距离，则d ≤|P A |(当l ⊥P A 时等号成立)，∴d max ＝|P A |＝10.]14．若两平行直线3x －2y －1＝0和6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离是21313，则c ＋2a的值为________．±1 [由两平行直线得3a ＋12＝0，解得a ＝－4.方程3x －2y －1＝0可化为6x－4y －2＝0，利用平行线间的距离公式得|c ＋2|62＋42＝21313，解得|c ＋2|＝4，所以c ＋2a ＝±4－4＝±1.] 15．已知点A (3,1)，在直线y ＝x 和y ＝0上各找一点M 和N ，使△AMN 的周长最短，并求出最短周长．[解] 由点A (3,1)及直线y ＝x ，可求得点A 关于直线y ＝x 的对称点为B (1,3)，同样可求得点A 关于直线y ＝0的对称点为C (3，－1)，如图所示．。
新教材高中数学第二章直线和圆的方程章末检测二含解析新人教A版选择性必修第一册
章末检测（二） 直线和圆的方程A 卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知圆C 以点(2,－3)为圆心,半径等于5,则点M (5,－7)与圆C 的位置关系是( ) A ．在圆内 B ．在圆上 C ．在圆外D ．无法判断解析：选B 点M (5,－7)到圆心(2,－3)的距离d ＝5－22＋－7＋32＝5,故点M 在圆C 上．2．已知过点M (－2,a ),N (a,4)的直线的斜率为－12,则|MN |＝( )A ．10B ．180C ．6 3D ．6 5解析：选 D 由k MN ＝a －4－2－a ＝－12,解得a ＝10,即M (－2,10),N (10,4),所以|MN |＝－2－102＋10－42＝65,故选D.3．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3,且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍,则( )A ．m ＝－3,n ＝1B ．m ＝－3,n ＝－3C ．m ＝3,n ＝－3D ．m ＝3,n ＝1解析：选D 依题意得：直线3x －y ＝33的斜率为3,∴其倾斜角为60°.∴－3n＝－3,－m n＝tan 120°＝－3,得m ＝3,n ＝1.4．经过点M (2,1)作圆x 2＋y 2＝5的切线,则切线方程为( ) A.2x ＋y －5＝0 B.2x ＋y ＋5＝0 C ．2x ＋y －5＝0D ．2x ＋y ＋5＝0解析：选C ∵M (2,1)在圆上,∴切线与MO 垂直． ∵k MO ＝12,∴切线斜率为－2.又过点M (2,1),∴y －1＝－2(x －2),即2x ＋y －5＝0.5．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远,那么l 的方程为( )A ．3x －y －13＝0B ．3x －y ＋13＝0C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知,l 是过A 且与AB 垂直的直线,∵k AB ＝2－4－3－3＝13,∴k l ＝－3,由点斜式得,y －4＝－3(x －3),即3x ＋y －13＝0.6．若直线l ：y ＝kx ＋1(k ＜0)与圆C ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝2相切,则直线l 与圆D ：(x －2)2＋y 2＝3的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定解析：选A 依题意,直线l 与圆C 相切,则|－2k －1＋1|k 2＋1＝2,解得k ＝±1.又k ＜0,所以k ＝－1,于是直线l 的方程为x ＋y －1＝0.圆心D (2,0)到直线l 的距离d ＝|2＋0－1|2＝22＜3,所以直线l 与圆D 相交,故选A. 7．已知圆C ：x 2＋y 2－2x －2my ＋m 2－3＝0关于直线l ：x －y ＋1＝0对称,则直线x ＝－1与圆C 的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不能确定解析：选A 由已知得C ：(x －1)2＋(y －m )2＝4,即圆心C (1,m ),半径r ＝2,因为圆C 关于直线l ：x －y ＋1＝0对称,所以圆心(1,m )在直线l ：x －y ＋1＝0上,所以m ＝2.由圆心C (1,2)到直线x ＝－1的距离d ＝1＋1＝2＝r 知,直线x ＝－1与圆C 相切．故选A.8．已知在平面直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为x 2＋y 2＝－2y ＋3,直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直,若直线l 与圆C 交于A ,B 两点,则△OAB 的面积为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选A 由题意,得圆C 的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4,圆心为(0,－1),半径r ＝2.因为直线l 经过点(1,0)且与直线x －y ＋1＝0垂直,所以直线l 的斜率为－1,方程为y －0＝－(x －1),即为x ＋y －1＝0.又圆心(0,－1)到直线l 的距离d ＝|0－1－1|2＝2,所以弦长|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2.又坐标原点O 到弦AB 的距离为|0＋0－1|2＝12,所以△OAB的面积为12×22×12＝1.故选A.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9．过点A (1,2)的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程可能为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x ＋y －3＝0 C ．2x －y ＝0D ．x －y －1＝0解析：选AC 当直线过原点时,可得斜率为2－01－0＝2,故直线方程为y ＝2x ,即2x －y ＝0；当直线不过原点时,设直线方程为x a ＋y －a ＝1,代入点(1,2),可得1a －2a＝1,解得a ＝－1,直线方程为x －y ＋1＝0,故所求直线方程为2x －y ＝0或x －y ＋1＝0.故选A 、C.10．直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点的充分不必要条件可以是( )A ．0＜m ＜1B ．m ＜1C ．－2＜m ＜1D ．－3＜m ＜1解析：选AC 圆x 2＋y 2－2x －1＝0的圆心为(1,0),半径为 2.因为直线x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －1＝0有两个不同的交点,所以直线与圆相交,因此圆心到直线的距离d ＝|1＋m |1＋1＜2,所以|1＋m |＜2,解得－3＜m ＜1,求其充分条件,即求其子集,故由选项易得A 、C 符合．故选A 、C.11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72,若直线l ：x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则直线l 的方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y －4＝0C ．x ＋y －8＝0D ．x ＋y －10＝0解析：选AD 根据题意,圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝72,其圆心C (3,3),半径r ＝62,若直线l ：x ＋y －m ＝0垂直于圆C 的一条直径,且经过这条直径的一个三等分点,则圆心到直线的距离为22,则有d ＝|6－m |1＋1＝22,变形可得|6－m |＝4,解得m ＝2或10,即l 的方程为x＋y －2＝0或x ＋y －10＝0.12．已知直线l 1：x －y －1＝0,动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R),则下列结论正确的是( )A ．存在k ,使得l 2的倾斜角为90°B ．对任意的k ,l 1与l 2都有公共点C ．对任意的k ,l 1与l 2都不重合D ．对任意的k ,l 1与l 2都不垂直解析：选ABD 对于动直线l 2：(k ＋1)x ＋ky ＋k ＝0(k ∈R),当k ＝0时,斜率不存在,倾斜角为90°,故A 正确；由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，k ＋1x ＋ky ＋k ＝0，可得(2k ＋1)x ＝0,对任意的k ,此方程有解,可得l 1与l 2有交点,故B 正确；因为当k ＝－12时,k ＋11＝k －1＝k－1成立,此时l 1与l 2重合,故C 错误；由于直线l 1：x －y －1＝0的斜率为1,动直线l 2的斜率为k ＋1－k＝－1－1k≠－1,故对任意的k ,l 1与l 2都不垂直,故D 正确．第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上) 13．若过点P (1－a,1＋a )与点Q (3,2a )的直线的倾斜角是钝角,则实数a 的取值范围是________．解析：k ＝2a －1＋a 3－1－a ＝a －1a ＋2<0,得－2<a <1.答案：(－2,1)14．若两平行直线3x －2y －1＝0,6x ＋ay ＋c ＝0之间的距离为21313,则c ＋2a的值为________．解析：由题意,得63＝a －2≠c－1,所以a ＝－4,c ≠－2.所以直线6x ＋ay ＋c ＝0的方程可化为3x －2y ＋c2＝0.由两平行线间的距离公式,得⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113＝21313,即⎪⎪⎪⎪⎪⎪c2＋1＝2,解得c ＝2或－6,所以c ＋2a＝－1或1. 答案：－1或115．若圆O ：x 2＋y 2＝5与圆O 1：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R)相交于A ,B 两点,且两圆在点A 处的切线互相垂直,则线段AB 的长为________．解析：连接OO 1,记AB 与OO 1的交点为C ,如图所示,在 Rt △OO 1A 中,|OA |＝5,|O 1A |＝25,∴|OO 1|＝5,∴|AC |＝5×255＝2,∴|AB |＝4.答案：416．已知直线l ：mx －y ＝1,若直线l 与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直,则m 的值为________；动直线l ：mx －y ＝1被圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0截得的最短弦长为________．解析：因为直线mx －y ＝1与直线x ＋m (m －1)y ＝2垂直,所以m ×1＋(－1)×m (m －1)＝0.解得m ＝0或m ＝2.动直线l ：mx －y ＝1过定点(0,－1),圆C ：x 2－2x ＋y 2－8＝0化为(x －1)2＋y 2＝9,圆心(1,0)到直线mx －y －1＝0的距离的最大值为0－12＋－1－02＝2,所以动直线l被圆C 截得的最短弦长为29－22＝27.答案：0或2 27四、解答题(本大题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 经过点P (－2,1),且与直线x ＋y ＝0垂直． (1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与直线l 平行且点P 到直线m 的距离为2,求直线m 的方程． 解：(1)由题意得直线l 的斜率为1,故直线l 的方程为y －1＝x ＋2,即x －y ＋3＝0. (2)由直线m 与直线l 平行, 可设直线m 的方程为x －y ＋c ＝0,由点到直线的距离公式得|－2－1＋c |2＝2,即|c －3|＝2,解得c ＝1或c ＝5.故直线m 的方程为x －y ＋1＝0或x －y ＋5＝0.18．(本小题满分12分)已知从圆外一点P (4,6)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线,切点分别为A ,B .(1)求以OP 为直径的圆的方程； (2)求直线AB 的方程．解：(1)∵所求圆的圆心为线段OP 的中点(2,3), 半径为12|OP |＝ 124－02＋6－02＝13,∴以OP 为直径的圆的方程为(x －2)2＋(y －3)2＝13. (2)∵PA ,PB 是圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线, ∴OA ⊥PA ,OB ⊥PB ,∴A ,B 两点都在以OP 为直径的圆上．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x －22＋y －32＝13，得直线AB 的方程为4x ＋6y －1＝0.19．(本小题满分12分)如图,已知点A (2,3),B (4,1),△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形,点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知,E 为AB 的中点, ∴E (3,2),且k CE ＝－1k AB＝1,∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3,即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3),∴|AC |＝|BC |＝2,AC ⊥BC ,∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.20．(本小题满分12分)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ,N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若OM ―→·ON ―→＝12,其中O 为坐标原点,求|MN |. 解：(1)由题设可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1. 因为直线l 与圆C 交于两点, 所以|2k －3＋1|1＋k 2＜1. 解得4－73＜k ＜4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1, 整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝41＋k 1＋k 2,x 1x 2＝71＋k2.OM ―→·ON ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k 1＋k1＋k2＋8. 由题设可得4k 1＋k1＋k 2＋8＝12,解得k ＝1, 所以直线l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在直线l 上,所以|MN |＝2.21．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,曲线y ＝x 2＋mx －2与x 轴交于A ,B 两点,点C 的坐标为(0,1),当m 变化时,解答下列问题：(1)能否出现AC ⊥BC 的情况？说明理由；(2)证明过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值． 解：(1)不能出现AC ⊥BC 的情况,理由如下： 设A (x 1,0),B (x 2,0),则x 1,x 2满足x 2＋mx －2＝0, 所以x 1x 2＝－2. 又C 的坐标为(0,1),故AC 的斜率与BC 的斜率之积为－1x 1·－1x 2＝－12,所以不能出现AC ⊥BC 的情况．(2)证明：由(1)知BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22，12, 可得BC 的中垂线方程为y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22. 由(1)可得x 1＋x 2＝－m , 所以AB 的中垂线方程为x ＝－m2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y －12＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22，x 22＋mx 2－2＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－m 2，y ＝－12.所以过A ,B ,C 三点的圆的圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－m 2，－12,半径r ＝m 2＋92.故圆在y 轴上截得的弦长为2r 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22＝3,即过A ,B ,C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．22．(本小题满分12分)已知圆M ：x 2＋(y －4)2＝4,P 是直线l ：x －2y ＝0上的动点,过点P 作圆M 的切线PA ,切点为A .(1)当切线PA 的长度为23时,求点P 的坐标．(2)若△PAM 的外接圆为圆N ,试问：当点P 运动时,圆N 是否过定点？若过定点,求出所有的定点的坐标；若不过定点,请说明理由．解：(1)由题可知圆M 的圆心为M (0,4),半径r ＝2. 设P (2b ,b ),因为PA 是圆M 的一条切线,所以∠MAP ＝90°.在Rt △MAP 中,|MP |2＝|AM |2＋|AP |2,故|MP |＝22＋232＝4.又|MP |＝0－2b2＋4－b2＝ 5b 2－8b ＋16,所以 5b 2－8b ＋16＝4,解得b ＝0或85.所以点P 的坐标为(0,0)或⎝ ⎛⎭⎪⎫165，85. (2)设点P 的坐标为(2b ,b )．因为∠MAP ＝90°,所以△PAM 的外接圆圆N 是以MP 为直径的圆, 且MP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫b ，b ＋42, 所以圆N 的方程为(x －b )2＋⎝⎛⎭⎪⎫y －b ＋422＝4b 2＋b －424,即(2x ＋y －4)b －(x 2＋y 2－4y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －4＝0，x 2＋y 2－4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝85，y ＝45，所以圆N 过定点(0,4)和⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. B 卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,满分150分,考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．已知直线l 1：ax ＋3y ＋1＝0,l 2：2x ＋(a ＋1)y ＋1＝0互相平行,则a 的值是( ) A ．－3 B ．2 C ．－3或2D ．3或－2解析：选A 由直线l 1与l 2平行,可得⎩⎪⎨⎪⎧a a ＋1＝2×3，a ×1≠2，解得a ＝－3.2．直线l 过点(－3,0),且与直线y ＝2x －3垂直,则直线l 的方程为( ) A ．y ＝－12(x －3)B ．y ＝－12(x ＋3)C ．y ＝12(x －3)D ．y ＝12(x ＋3)解析：选B 因为直线y ＝2x －3的斜率为2,所以直线l 的斜率为－12.又直线l 过点(－3,0),故所求直线的方程为y ＝－12(x ＋3),选B.3．已知P ,Q 分别是直线3x ＋4y －5＝0与6x ＋8y ＋5＝0上的动点,则|PQ |的最小值为( )A ．3 B.32 C.32D. 3解析：选B 由于所给的两条直线平行,所以|PQ |的最小值就是这两条平行直线间的距离．由两条平行直线间的距离公式,得d ＝|－10－5|62＋82＝32,即|PQ |的最小值为32. 4．半径长为6的圆与x 轴相切,且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切,则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切,设圆心坐标为(a ,b ),则b ＝6.再由a 2＋32＝5,可以解得a ＝±4,故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.5．直线l 1与直线l 2：3x ＋2y －12＝0的交点在x 轴上,且l 1⊥l 2,则直线l 1在y 轴上的截距是( )A ．－4B ．4C ．－83D.83解析：选C 设直线l 1的斜率为k 1,直线l 2的斜率为k 2,则k 2＝－32.∵l 1⊥l 2,∴k 1k 2＝－1,∴k 1＝－1k 2＝－1－32＝23.设直线l 1的方程为y ＝23x ＋b ,直线l 2与x 轴的交点为(4,0)．将点(4,0)代入l 1方程,得b ＝－83.6．在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中,BA ⊥CA ,A 1A ＝BA ＝CA ,点M ,N 分别是AC ,AB 的中点,过点C 作平面α,使得α∥A 1M ,α∥B 1N ,若α∩B 1C 1＝P ,则C 1PPB 1的值为( ) A.12 B.13 C.14D.15解析：选B 因为AB ,AC ,AA 1两两垂直, 所以以A 为原点,以AB ,AC ,AA 1为x ,y ,z 轴,建立空间直角坐标系(图略),设AB ＝2,则A 1M ―→＝(0,1,－2),B 1N ―→＝(－1,0,－2), 设C 1P PB 1＝μ,则CP ―→＝CC 1―→＋C 1P ―→ ＝(0,0,2)＋μ1＋μ(2,－2,0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2μ1＋μ，－2μ1＋μ，2,因为α∥ A 1M ,α∥B 1N ,所以存在实数x ,y , 使得CP ―→＝x A 1M ―→＋y B 1N ―→,由向量相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2μ1＋μ＝－y ，－2μ1＋μ＝x ，2＝－2x －2y ，消去x ,y 得4μ1＋μ＋4μ1＋μ＝2,所以μ＝13,即C 1P PB 1＝13.7．二面角的棱上有A ,B 两点,直线AC ,BD 分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB .已知AB ＝4,AC ＝6,BD ＝8,CD ＝217,则该二面角的大小为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120°解析：选C 因为CA ―→·AB ―→＝0,AB ―→·BD ―→＝0, 所以由CD ―→＝CA ―→＋AB ―→＋BD ―→,两边平方得,CD ―→2＝CA ―→2＋AB ―→2＋BD ―→2＋2(CA ―→·AB ―→＋AB ―→·BD ―→＋CA ―→·BD ―→), 所以(217)2＝62＋42＋82＋2×6×8cos〈CA ―→,BD ―→〉, 所以cos 〈CA ―→,BD ―→〉＝－12,所以〈CA ―→,BD ―→〉＝120°,因为二面角的大小为锐角,所以该二面角的大小为60°.8．已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1,圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9,M ,N 分别是圆C 1,C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM |＋|PN |的最小值为( )A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2D.17解析：选A 圆C 1,C 2的图象如图所示．设P 是x 轴上任意一点,则|PM |的最小值为|PC 1|－1,同理|PN |的最小值为|PC 2|－3,则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C ′1(2,－3),连接C ′1C 2,与x 轴交于点P ,连接PC 1,可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C ′1C 2|＝3－22＋4＋32＝52,则|PM |＋|PN |的最小值为52－4.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．在每小题给出的四个选项中,有多个选项是符合题目要求的,全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9．以下四组向量是平面α,β的法向量,则能判断α,β平行的是( ) A ．a ＝(1,2,1),b ＝(1,－2,3) B ．a ＝(8,4,－6),b ＝(4,2,－3) C ．a ＝(0,1,－1),b ＝(0,－3,3) D ．a ＝(18,19,20),b ＝(1,－2,1)解析：选BC 因为在选项B 中a ＝2b ,所以a ∥b ,所以α∥β,选项C 中－3a ＝b ,所以α∥β,而选项A 、D 中 a 不平行于b ,所以α不平行于β,所以只有选项B 、C 能判断α,β平行．10．在同一平面直角坐标系中,直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0不可能是( )解析：选ACD 由题意l 1：y ＝－ax －b ,l 2：y ＝－bx －a ,当a ,b 同号时,l 1与l 2的斜率与截距也同号,此时选项A 、C 不可能正确,选项B 正确；当a ,b 异号时,l 1与l 2的斜率与截距也异号,此时选项D 不可能正确．11．实数x ,y 满足x 2＋y 2＋2x ＝0,则下列关于yx －1的判断正确的是( )A.y x －1的最大值为 3B.y x －1的最小值为－ 3C.yx －1的最大值为33D.yx －1的最小值为－33解析：选CD 由x 2＋y 2＋2x ＝0得(x －1)2＋y 2＝1,表示以(－1,0)为圆心、1为半径的圆,yx －1表示圆上的点(x ,y )与点(1,0)连线的斜率,易知,y x －1最大值为33,最小值为－33. 12．已知正方体ABCD A 1B 1C 1D 1的棱长为1,则下列命题中正确的是( ) A ．异面直线AD 1与BD 所成角的正弦值为12B ．直线AD 1与平面BDC 1平行C ．正方体外接球的表面积为3πD ．B 1C 1与平面BDC 1所成角的正弦值为33解析：选BCD 如图所示,在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,连接AB 1,B 1D 1,BD ,AD 1,BC 1,A 1C ,因为BD ∥B 1D 1,所以∠AD 1B 1就是异面直线AD 1与BD 所成角． 又∠AD 1B 1＝60°,所以异面直线AD 1与BD 所成角的正弦值为32,A 错误． 因为AD 1∥BC 1,AD 1⊄平面BDC 1,BC 1⊂平面BDC 1, 所以AD 1∥平面BDC 1,B 正确． 正方体外接球的直径为2R ＝3, 所以R ＝32,S ＝4πR 2＝3π,C 正确． 以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则C (0,1,0),A 1(1,0,1),B 1(1,1,1),C 1(0,1,1)．所以CA 1―→＝(1,－1,1),B 1C 1―→＝(－1,0,0)． 因为CA 1⊥平面BDC 1,所以CA 1―→为平面BDC 1的法向量,B 1C 1―→与CA 1―→夹角的余弦值的绝对值即为B 1C 1与平面BDC 1所成角的正弦值|cos 〈CA 1―→,B 1C 1―→〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪CA 1―→·C 1B 1―→|CA 1―→||C 1B 1―→|＝13＝33,D 正确． 第Ⅱ卷(非选择题,共90分)三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分．把答案填在题中横线上) 13．在平面直角坐标系中,若圆Q ：x 2＋y 2－4ax ＋2ay ＋5a 2－1＝0上所有的点都在第二象限内,则实数a 的取值范围是________．解析：依题意,圆Q 的方程可化为(x －2a )2＋(y ＋a )2＝1,圆心为Q (2a ,－a ),半径为r ＝1.若圆Q 上所有的点都在第二象限内,则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＜－1，－a ＞1，解得a ＜－1.答案：(－∞,－1)14．已知空间直角坐标系中三点A ,B ,M ,点A 与点B 关于点M 对称,且已知A 点的坐标为(3,2,1),M 点的坐标为(4,3,1),则B 点的坐标为______________．解析：设B 点的坐标为(x ,y ,z ),则有x ＋32＝4,y ＋22＝3,z ＋12＝1,解得x ＝5,y ＝4,z ＝1,故B 点的坐标为(5,4,1)． 答案：(5,4,1)15．在长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中,AD ＝AA 1＝1,AB ＝2,点E 在棱AB 上移动,则直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是________,若D 1E ⊥EC ,则AE ＝________.解析：长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中以D 为原点,DA 为x 轴,DC 为y 轴,DD 1为z 轴,建立空间直角坐标系,又AD ＝AA 1＝1,AB ＝2,点E 在棱AB 上移动,则D (0,0,0),D 1(0,0,1),A (1,0,0),A 1(1,0,1),C (0,2,0),设E (1,m,0),0≤m ≤2,则D 1E ―→＝(1,m ,－1),A 1D ―→＝(－1,0,－1),所以D 1E ―→·A 1D ―→＝－1＋0＋1＝0,所以直线D 1E 与A 1D 所成角的大小是90°,因为D 1E ―→＝(1,m ,－1),EC ―→＝(－1,2－m,0),D 1E ⊥EC , 所以D 1E ―→·EC ―→＝－1＋m (2－m )＋0＝0, 解得m ＝1,所以AE ＝1. 答案：90° 116．设点M (x 0,1),若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ,使得∠OMN ＝45°,则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动,设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求；当x 0≠0时,过M 作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN ＝45°,只需∠OMP ≥45°.特别地,当∠OMP ＝45°时,有x 0＝±1.结合图形可知,符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]四、解答题(本大题共6小题,共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直线l 的倾斜角为135°,且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标． 解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1, ∴l ：y －1＝－(x －1),即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ,b ),则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×－1＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2,b ＝－1,∴A ′的坐标为(－2,－1)．18．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个顶点A (－1,0),B (1,0),C (3,2),其外接圆为圆H .(1)求圆H 的标准方程；(2)若直线l 过点C ,且被圆H 截得的弦长为2,求直线l 的方程． 解：(1)设圆H 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0), 则由题意,可知⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝0，1＋D ＋F ＝0，9＋4＋3D ＋2E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝0，E ＝－6，F ＝－1，所以圆H 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝10.(2)设圆心到直线l 的距离为d ,则1＋d 2＝10,所以d ＝3.若直线l 的斜率不存在,即l ⊥x 轴时,则直线方程为x ＝3,满足题意； 若直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y ＝k (x －3)＋2, 圆心到直线l 的距离为d ＝|－3k －1|－12＋k2＝3,解得k ＝43, 所以直线l 的方程为4x －3y －6＝0.综上可知,直线l 的方程为x ＝3或4x －3y －6＝0.19．(本小题满分12分)已知三棱柱ABC A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等,A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心．(1)求异面直线AA 1与BC 的夹角；(2)求侧棱AB 1与底面ABC 所成角的正弦值．解：设O 是A 1在底面ABC 内的射影,选AB ―→,AC ―→,AA 1―→作为基向量．由已知可得AB ―→,AC ―→,AA 1―→两两间的夹角均为60°,设棱长均为a .(1)AA 1―→·BC ―→＝AA 1―→·(AC ―→－AB ―→)＝AA 1―→·AC ―→－AA 1―→·AB ―→ ＝|AA 1―→||AC ―→|cos 60°－|AA 1―→||AB ―→|cos 60° ＝12a 2－12a 2＝0. 所以〈AA 1―→,BC ―→〉＝90°,所以异面直线AA 1与BC 的夹角为90°.(2)易知平面ABC 的一个法向量为OA 1―→,且OA 1―→＝AA 1―→－13AB ―→－13AC ―→,AB 1―→＝AB ―→＋AA 1―→,所以OA 1―→·AB 1―→＝23a 2,易求得|OA 1―→|＝63a ,|AB 1―→|＝3a .所以侧棱AB 1与底面ABC 所成角的正弦值为 |cos 〈AB 1―→,OA 1―→〉|＝|OA 1―→·AB 1―→||OA 1―→||AB 1―→|＝23.20．(本小题满分12分)已知圆H 被直线x －y －1＝0,x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分,且截x 轴所得线段的长为2.(1)求圆H 的方程；(2)若存在过点P (a,0)的直线与圆H 相交于M ,N 两点,且|PM |＝|MN |,求实数a 的取值范围．解：(1)设圆H 的方程为(x －m )2＋(y －n )2＝r 2(r ＞0),因为圆H 被直线x －y －1＝0,x ＋y －3＝0分成面积相等的四部分,所以圆心H (m ,n )一定是两互相垂直的直线x －y －1＝0,x ＋y －3＝0的交点,易得交点坐标为(2,1),所以m ＝2,n ＝1.又圆H 截x 轴所得线段的长为2,所以r 2＝12＋n 2＝2. 所以圆H 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝2. (2)设N (x 0,y 0),由题意易知点M 是PN 的中点, 所以M ⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2，y 02.因为M ,N 两点均在圆H 上,所以(x 0－2)2＋(y 0－1)2＝2,①⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋a 2－22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 02－12＝2,即(x 0＋a －4)2＋(y 0－2)2＝8,② 设圆I ：(x ＋a －4)2＋(y －2)2＝8, 由①②知圆H 与圆I 有公共点,从而22－2≤|HI |≤22＋2, 即2≤a －22＋1－22≤32,整理可得2≤a 2－4a ＋5≤18,解得2－17≤a ≤1或3≤a ≤2＋17,所以实数a 的取值范围是[2－17,1]∪[3,2＋17]．21．(本小题满分12分)已知圆C: x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0,O 为坐标原点,动点P 在圆C 外,过P 作圆C 的切线,设切点为M .(1)若点P 运动到(1,3)处,求此时切线l 的方程； (2)求满足条件|PM |＝|PO |的点P 的轨迹方程． 解：把圆C 的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4, ∴圆心为C (－1,2),半径r ＝2.(1)当l 的斜率不存在时,此时l 的方程为x ＝1,C 到l 的距离d ＝2＝r ,满足条件． 当l 的斜率存在时,设斜率为k ,得l 的方程为y －3＝k (x －1),即kx －y ＋3－k ＝0, 则|－k －2＋3－k |1＋k2＝2,解得k ＝－34. ∴l 的方程为y －3＝－34(x －1),即3x ＋4y －15＝0.综上,满足条件的切线l 的方程为x ＝1或3x ＋4y －15＝0.(2)设P (x ,y ),则|PM |2＝|PC |2－|MC |2＝(x ＋1)2＋(y －2)2－4,|PO |2＝x 2＋y 2. ∵|PM |＝|PO |,∴(x ＋1)2＋(y －2)2－4＝x 2＋y 2, 整理,得2x －4y ＋1＝0,∴点P 的轨迹方程为2x －4y ＋1＝0.22．(本小题满分12分)如图,四棱锥S ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的2倍,P 为侧棱SD 上的点．(1)求证：AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ,求二面角P AC D 的大小；(3)在(2)的条件下,侧棱SC 上是否存在一点E ,使得BE ∥平面PAC ？若存在,求SE ∶EC 的值；若不存在,试说明理由．解：(1)证明：连接BD ,设AC 交BD 于点O ,由题意知SO ⊥平面ABCD ,以O 点为坐标原点,OB ―→,OC ―→,OS ―→分别为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系如图所示．设底面边长为a ,则SO ＝62a . 则S ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ,D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0,C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0,B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0, 所以OC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0,SD ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ,∴OC ―→·SD ―→＝0,∴OC ⊥SD , 即AC ⊥SD .(2)由题意知,平面PAC 的一个法向量为DS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ,平面DAC 的一个法向量为OS ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫0，0，62a ,二面角ΡAC D 的大小为θ,易知θ为锐角, 则cos θ＝OS ―→·DS ―→|OS ―→||DS ―→|＝32,故所求二面角P AC D 的大小为30°. (3)在棱SC 上存在一点E ,使BE ∥平面PAC . 由(2)知DS ―→是平面PAC 的一个法向量,且DS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ,CS ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－22a ，62a ,BC ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22a ，0,设CE ―→＝t CS ―→(0≤t ≤1), 则BE ―→＝BC ―→＋CE ―→＝BC ―→＋t CS ―→ ＝⎝⎛⎭⎪⎫－22a ，22a 1－t ，62at . 由BE ―→·DS ―→＝0,得t ＝13,即当SE ∶EC ＝2∶1时,BE ―→⊥DS ―→, 而BE 不在平面PAC 内,故BE ∥平面PAC .。
2022秋高中数学第二章直线和圆的方程测评试题新人教A版选择性必修第一册
第二章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2021北京通州区校级月考)直线x+√3y+m=0(m∈R)的倾斜角为()A.30°B.60°C.150°D.120°2.已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,则“a=-4”是“l1∥l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.(2021广东广州期中)已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在直线的方程为()A.5x+3y-6=0B.3x-5y+15=0C.x+13y+5=0D.3x+8y+15=04.已知正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0,另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c1=0和4x-6y+c2=0,则|c1-c2|=()A.32B.3√1313C.6√1313D.65.已知圆C经过两点A(0,2),B(4,6),且圆心C在直线l:2x-y-3=0上,则圆C的方程为()A.x2+y2-6y-16=0B.x2+y2-2x+2y-8=0C.x2+y2-6x-6y+8=0D.x2+y2-2x+2y-56=06.(2021安徽宿州期中)若圆x2+(y-a)2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则实数a的取值范围是()A.(1,3)B.[1,3]C.(-3,-1)∪(1,3)D.[-3,-1]∪[1,3]7.两圆x 2+y 2=1与x 2+y 2-2√a x-2√b y+a+b=4有且只有一条公切线,那么1a +2b 的最小值为( ) A.1 B.3+2√2C.5D.4√28.(2021山西太原模拟)已知圆M :(x-a )2+(y-b )2=3(a ,b ∈R )与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,且|AB|=√3,则下列错误的结论是( )A.MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是定值B.四边形OAMB 的面积是定值C.a+b 的最小值为-√2D.a ·b 的最大值为2二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.(2021福建三明期中)已知直线5x-12y+a=0与圆(x-1)2+y 2=1相切,则实数a 的值可能为 ( ) A.-8B.8C.-18D.1810.已知直线l 1:x-ay+2=0,l 2:ax+y-2=0,a ∈R ,以下结论正确的是( ) A.不论a 为何值时,l 1与l 2都互相垂直B.当a 变化时,l 1与l 2分别经过定点A (-2,0)和B (0,2)C.不论a 为何值时,l 1与l 2都关于直线x+y=0对称D.设O 为坐标原点,如果l 1与l 2交于点M ,则|MO|的最大值是2√211.(2021辽宁沈阳检测)已知实数x ,y 满足方程x 2+y 2-2x-4y+1=0,则下列说法正确的是 ( )A.x 2+y 2的最大值为2+√5B.(x+2)2+(y+1)2的最大值为22+12√2 C.x+y 的最大值为3+2√2 D.4x-3y 的最大值为812.已知圆C :(x-2)2+y 2=1,点P 是直线l :x+y=0上一动点,过点P 作圆C 的切线PA ,PB ,切点分别是A 和B ,下列说法正确的为( )A.圆C 上恰有一个点到直线l 的距离为12B.切线长PA 的最小值为1C.四边形ACBP 面积的最小值为2D.直线AB 恒过定点32,-12三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.光线沿直线7x-y-3=0入射到直线2x-y+2=0后反射,则反射光线所在直线的方程为 .14.当平面内一点P (3,2)到直线l :mx-y+1-2m=0的距离最大时,m 的值为 .15.(2021安徽黄山期中)如图,菱形OBCD 的顶点O 与坐标原点重合,边长为2,一边在x 轴的正半轴上,∠BOD=60°,则菱形的内切圆方程为 .16.(2021江苏南京期中)如图,点P 是圆O :x 2+y 2=1上一动点,过点P 的圆O 的切线l 与☉O 1:(x-a )2+(y-2)2=16始终交于A ,B 两点.(1)实数a 的取值范围是 ; (2)若a=32,|O 1P|=√392,则△O 1AB 的面积是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)(2021浙江温州期中)已知点A (2,1),直线l :(a-1)x+y+2+a=0(a ∈R ).不论a 取何值,直线l 过定点P.(1)求点P 的坐标,及点A (2,1)到直线l 距离的最大值;(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等,求a的值.18.(12分)求符合下列条件圆的方程.(1)圆心为点(-1,2),面积为9π;(2)与圆x2+y2-2x-2y+1=0关于y轴对称.19.(12分)(2021江苏连云港期中)已知直线l经过两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点,且,若直线m与直线l关于点(1,0)对称,求直线m的方程.(注:试从以下两个条件中任选一个补充在上面的问题中,完成解答,若选择多个条件分别解答,按照第一个解答计分.).①与直线3x+2y+8=0垂直;②在y轴上的截距为1220.(12分)已知圆M:x2+y2-2ax+10ay-24=0,圆N:x2+y2+2x+2y-8=0,且圆M上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M上.(1)求圆M的方程;(2)证明圆M和圆N相交,并求两圆公共弦的长度l.21.(12分)(2021江苏南通期中)已知方程x 2+y 2-2x+4y+4m=0. (1)若此方程表示圆,求实数m 的取值范围;(2)若m 的值为(1)中能取到的最大整数,则得到的圆设为圆E ,若圆E 与圆F 关于y 轴对称,求圆F 的一般方程.22.(12分)(2021安徽黄山期中)已知圆C :(x-1)2+(y-3)2=9,线段RQ 的端点Q 的坐标是(4,3),端点R 在圆C 上运动,且点T 满足线段RT ⃗⃗⃗⃗⃗ =2TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,记T 点的轨迹为曲线Γ. (1)求曲线Γ的方程.(2)过点A (0,3)斜率为k 的直线l 与曲线Γ交于M ,N 两点,试探究:①设O 为坐标原点,若OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26,这样的直线l 是否存在?若存在,求出|MN|;若不存在,说明理由. ②求线段MN 的中点D 的轨迹方程.第二章测评1.C 直线x+√3y+m=0(m ∈R )的斜率为-√33, 直线倾斜角的范围是[0°,180°),所以所求直线倾斜角为150°.2.C 直线l 1:ax+2y-1=0,直线l 2:8x+ay+2-a=0,∵a=-4时,a8=2a≠-12-a,∴l 1∥l 2,当l 1∥l 2时,a 8=2a≠-12-a,解得a=-4,∴“a=-4”是“l 1∥l 2”的充要条件.3.C 三角形三个顶点A (-5,0),B (3,-3),C (0,2),BC 的中点坐标为32,-12, ∴BC 边上中线所在直线方程是yx+5=-1232+5,整理得x+13y+5=0.4.D 正方形的一组对边所在的直线方程分别为3x+2y+1=0和3x+2y+4=0, 另一组对边所在的直线方程分别为4x-6y+c 1=0和4x-6y+c 2=0, 根据正方形的两组对边间的距离相等,可得√32+22=12√42+62,则|c 1-c 2|=6.5.C 因为圆心C 在直线l :2x-y-3=0上, 设圆心C (a ,2a-3),又圆C 经过两点A (0,2),B (4,6), 所以|CA|=|CB|,故√a 2+(2a -5)2=√(a -4)2+(2a -9)2, 解得a=3,所以圆心C (3,3),半径r=|CA|=√32+12=√10, 则圆的方程为(x-3)2+(y-3)2=10, 化为一般方程为x 2+y 2-6x-6y+8=0.6.C 根据题意,到坐标原点的距离为1的点的轨迹方程为x 2+y 2=1,是圆心为(0,0),半径r=1的圆, 若圆x 2+(y-a )2=4上总存在两个点到坐标原点的距离为1,则圆x 2+(y-a )2=4与圆x 2+y 2=1相交, 圆x 2+(y-a )2=4,圆心为(0,a ),半径R=2,则有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解可得-3<a<-1或1<a<3, 即a 的取值范围为(-3,-1)∪(1,3).7.B 根据题意,圆x 2+y 2=1,其圆心为(0,0),半径r=1,圆x 2+y 2-2√a x-2√b y+a+b=4,即(x-√a )2+(y-√b )2=4,其圆心为(√a,√b ),半径为2,若两圆有且只有一条公切线,则两圆内切,则有√a +b =2-1=1,变形可得a+b=1, 则1a +2b =1a+2b (a+b )=3+b a +2a b,又a>0,b>0,则ba+2a b ≥2√b a ×2a b=2√2,当且仅当b=√2a 时等号成立,故1a +2b ≥3+2√2,即1a +2b 的最小值为3+2√2.8.C 圆M 的圆心M (a ,b ),半径r=√3,则△MAB 为边长为√3的等边三角形,对于A,∵MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos60°=√3×√3×12=32,∴A 正确;对于B,∵OA=OB=1,AB=√3,△OAB 的高h=12, ∴S △ABO =12×12×√3=√34,∵S △MAB =√34×(√3)2=3√34, ∴S 四边形OAMB =√34+3√34=√3,∴B 正确;对于C,由B 知S 四边形OAMB =12×OM ×AB ,∴OM=√3√3=2,即√a 2+b 2=2,∴a 2+b 2=4,∵2(a 2+b 2)≥(a+b )2,∴(a+b )2≤8,∴-2√2≤a+b ≤2√2,当且仅当a=b 时取等号,∴a+b 的最小值为-2√2,∴C 错误; 对于D,由C 得,∵a 2+b 2=4≥2ab ,∴ab ≤2,当且仅当a=b 时取等号,∴ab 的最大值为2,∴D 正确. 9.BC 圆(x-1)2+y 2=1的圆心为(1,0),半径为1, ∵直线5x-12y+a=0与圆(x-1)2+y 2=1相切, ∴√52+(-12)2=1,解得a=8或a=-18.故选BC .10.ABD 直线l 1:x-ay+2=0,l 2:ax+y-2=0,a ∈R ,对于A,∵1×a-a ×1=0,∴不论a 为何值时,l 1与l 2都互相垂直,故A 正确; 对于B,当a 变化时,l 1与l 2分别经过定点A (-2,0)和B (0,2),故B 正确; 对于C,设直线l 1:x-ay+2=0上任意一点P (x ,y ), 则点P 关于直线x+y=0的对称点为P'(-y ,-x ),将点P'(-y ,-x )代入直线l 2:ax+y-2=0,可得x+ay+2=0,与不论a 取何值时,点P 恒在直线l 1上矛盾,故C 错误;对于D,联立方程组{x -ay +2=0,ax +y -2=0, 解得{x =2a -2a 2+1,y =2a+2a 2+1,故M2a -2a 2+1,2a+2a 2+1,则|MO|=√(2a -2a 2+1) 2+(2a+2a 2+1) 2=√8a 2+1≤2√2, 所以|MO|的最大值是2√2,故D 正确. 故选ABD .11.BCD 由x 2+y 2-2x-4y+1=0,知(x-1)2+(y-2)2=4, 表示圆心为M (1,2),半径为r=2的圆,对于A 选项,x 2+y 2的几何意义为圆上的点与原点距离的平方和,其最大值为(|OM|+r )2=(2+√5)2,故A 错误;对于B 选项,(x+2)2+(y+1)2的几何意义为圆上的点与点(-2,-1)距离的平方和,其最大值为(2+3√2)2=22+12√2,故B 正确;对于C 选项,设x+y=k ,则直线x+y-k=0与圆有公共点, 所以√2≤2,解得3-2√2≤k ≤3+2√2,所以x+y 的最大值为3+2√2,故C 正确;对于D 选项,设4x-3y=t ,则直线4x-3y-t=0与圆有公共点, 所以√42+(-3)2=|t+2|5≤2,解得-12≤t ≤8.所以4x-3y 的最大值为8,故D 正确.故选BCD .12.BD 对于A,∵圆C :(x-2)2+y 2=1,∴圆心C (2,0),半径r=1,∴圆心C 到直线l :x+y=0的距离为√2=√2,而√2-1<12<√2+1,故A 错误; 对于B,由圆的性质,切线长|PA|=√|PC|2-r 2=√|PC|2-1,当|PC|最小时,|PA|有最小值, 又|PC|min =√2,则|PA|min =1,故B 正确.对于C,四边形ACBP 的面积为|PA||CA|=|PA|,故四边形ACBP 的面积最小值为1,故C 错误; 对于D,设P (t ,-t ),由题意知A ,B 在以PC 为直径的圆上,又C (2,0), ∴(x-t )(x-2)+(y+t )(y-0)=0,即x 2+y 2-(t+2)x+ty+2t=0,又圆C :(x-2)2+y 2=1,即x 2+y 2-4x+3=0,故直线AB 的方程为(2-t )x+ty-3+2t=0,即2x-3-t (x-y-2)=0, 由{2x -3=0,x -y -2=0,解得x=32,y=-12, 即直线AB 恒过定点32,-12,故D 正确. 故选BD .13.x-y+3=0 由{7x -y -3=0,2x -y +2=0,得{x =1,y =4,故入射光线与反射轴的交点为A (1,4),在入射光线上再取一点B (0,-3),则点B 关于反射轴2x-y+2=0的对称点C (m ,n )在反射光线上,{2·m 2-n -32+2=0,2·n+3m =-1,解得m=-4,n=-1,故C (-4,-1).根据A ,C 两点的坐标,求得反射光线的方程为y-4=4+11+4(x-1),即x-y+3=0. 14.-1 直线l :mx-y+1-2m=0可化为m (x-2)+1-y=0, 令{x -2=0,1-y =0,解得x=2,y=1. 所以直线l 过定点M (2,1).当PM ⊥l 时,点P (3,2)到直线l :mx-y+1-2m=0的距离最大,如图所示,所以k PM ·k l =-1, 即2-13-2·m=-1,解得m=-1. 15.x-322+y-√322=34 设对角线OC ,BD 的交点为M ,菱形的对角线互相垂直,又∠BOD=60°,所以在Rt △OMB 中,∠BOC=30°,OB=2, 则OM=2×cos30°=√3,设点M (x ,y ),则y=OM ×sin30°=√32,x=OM ×cos30°=32, 所以圆心M32,√32,半径r=√32,所以菱形内切圆的方程为x-322+y-√322=34.16.(1)(-√5,√5) (2)45√716(1)根据题意,点P 是圆O :x 2+y 2=1上一动点,过点P 的圆O 的切线l 与圆O 1:(x-a )2+(y-2)2=16始终相交,则圆O 必定在圆O 1的内部,圆O :x 2+y 2=1,圆心为(0,0),半径为1,圆O 1:(x-a )2+(y-2)2=16,圆心为(a ,2),半径r=4,则有√a 2+4<4-1=3,解得-√5<a<√5,故a 的取值范围为(-√5,√5).(2)根据题意,设P 的坐标为(m ,n ),则直线AB 的方程为mx+ny=1, 若a=32,则圆O 1:x-322+(y-2)2=16,其圆心为32,2,半径r=4,又由|O 1P|=√392,即32-m 2+(2-n )2=394,变形可得m 2+n 2-3m-4n=72,即3m+4n=-52;圆心O 1到直线AB 的距离d=|3m2+2n -1|√m 2+n 2=94,|AB|=2×√r 2-d 2=2√16-8116=5√72,故△O 1AB 的面积S=12|AB|×d=45√716. 17.解(1)直线l :(a-1)x+y+2+a=0(a ∈R ),化为a (x+1)+(-x+y+2)=0, 由{x +1=0,-x +y +2=0,解得{x =-1,y =-3.∴不论a 取何值,直线l 恒过定点P (-1,-3).分析易知点A (2,1)到直线l 的距离的最大值|PA|=√9+16=5. (2)令y=0,则x=-a -2a -1(a ≠1),令x=0,则y=-a-2,由题意可知-a -2a -1=-a-2, 解得a=±2.当a=1时,易知不满足条件,所以a=±218.解(1)圆心为点(-1,2),面积为9π,所以圆的半径为3,圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=9. (2)圆x 2+y 2-2x-2y+1=0的圆心(1,1),半径为1, 此圆关于y 轴对称圆的圆心为(-1,1),半径为1. 对称圆的方程为(x+1)2+(y-1)2=1.19.解因为方程组{2x +3y +8=0,x -y -1=0的解为{x =-1,y =-2,所以两条直线2x+3y+8=0和x-y-1=0的交点为(-1,-2). 若选①,可设直线l 的方程为2x-3y+c=0,将点(-1,-2)代入方程2x-3y+c=0,可得-2+6+c=0,解得c=-4, 即有直线l 的方程为2x-3y-4=0. 在直线l 上取两点(-1,-2)和(2,0),点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点坐标为(3,2), 点(2,0)关于点(1,0)对称的点坐标为(0,0),所以直线m 的方程为2x-3y=0. 若选②,可得直线l 的斜率为k=12-(-2)0-(-1)=52,所以直线l 的方程为y=52x+12.在直线l 上取两点(1,3)和(-1,-2),点(-1,-2)关于点(1,0)对称的点坐标为(3,2), 点(1,3)关于点(1,0)对称的点坐标为(1,-3), 所以直线m 的方程为5x-2y-11=0.20.(1)解圆M :x 2+y 2-2ax+10ay-24=0的圆心M (a ,-5a ),因为圆M 上任意一点关于直线x+y+4=0的对称点都在圆M 上,所以直线x+y+4=0经过点M ,可得a-5a+4=0,解得a=1,则圆M 的方程为x 2+y 2-2x+10y-24=0. (2)证明因为圆M 的圆心M (1,-5),半径r 1=5√2,圆N 的圆心N (-1,-1),半径r 2=√10, 所以|MN|=√(1+1)2+(-5+1)2=2√5. 因为5√2−√10<2√5<5√2+√10, 所以圆M 和圆N 相交.由{x 2+y 2-2x +10y -24=0,x 2+y 2+2x +2y -8=0,两式相减可得公共弦的直线方程为x-2y+4=0, M 到直线的距离为d=√5=3√5,所以l 22=r 12-d 2=50-45=5,解得l=2√5,则两圆公共弦的长度l=2√5.21.解(1)若此方程表示圆,则(-2)2+42-4×4m>0,m<54, 即实数m 的取值范围是-∞,54.(2)由(1)可知m=1,此时圆E :x 2+y 2-2x+4y+4=0,圆心坐标为E (1,-2),半径为1, 因为圆F 和圆E 关于y 轴对称, 所以圆F 圆心坐标是(-1,-2),半径是1, 故圆F 方程为(x+1)2+(y+2)2=1,化为一般方程为x 2+y 2+2x+4y+4=0. 22.解(1)设r (x 0,y 0),则(x 0-1)2+(y 0-3)2=9, 设T (x ,y ),因为RT⃗⃗⃗⃗⃗ =2TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以{x 0=3x -8,y 0=3y -6, 则(3x-8-1)2+(3y-6-3)2=9, 即曲线Γ的方程为(x-3)2+(y-3)2=1. (2)设直线方程为y=kx+3,M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),联立{y =kx +3,(x -3)2+(y -3)2=1,可得(1+k 2)x 2-6x+8=0,则Δ=36-32(1+k 2)>0,解得k 2<18,且有x 1+x 2=61+k 2,x 1x 2=81+k 2,所以y 1y 2=(kx 1+3)(kx 2+3)=k 2x 1x 2+3k (x 1+x 2)+9=17k 2+18k+91+k 2,①OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x 1x 2+y 1y 2=81+k2+17k 2+18k+91+k 2=17k 2+18k+171+k 2=26,解得k=1,与k 2<18不符,故不存在这样的直线l ,使得OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =26; ②MN 中点坐标为x 1+x 22,y 1+y 220<k 2<18,则x 1+x 22=31+k 2,y 1+y 22=3k1+k 2+3, 即D 点坐标为31+k 2,3k1+k 2+3,又因为y D -3x D=k ,所以x D =31+k 2=31+(y D -3x D) 2,整理可得x D -322+(y D -3)2=94,即点D 的轨迹方程为x-322+(y-3)2=94.。
第二章 直线和圆的方程单元检测卷(知识达标卷)2022高二数学(选择性必修第一册)
第二章 直线和圆的方程（知识达标卷）一、单选题1．方程(0,0)y kx b k b k =++=≠表示的直线可能是（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知直线21:20l x y t ++=和直线2:24230l x y t ++-=，则当1l 与2l 间的距离最短时，t的值为（ ） A ．1B ．12C ．13D ．23．下列关于倾斜角的说法中正确的是（ ）． A ．任意一条直线有唯一的倾斜角 B ．一直线的倾斜角可以为π6-C ．若直线的倾斜角为0，则该直线与x 轴重合D ．若直的倾斜角为α，则()sin 0,1α∈4．已知点()1,2M -、(),2N m ，若线段MN 的垂直平分线的方程是12xy +=，则实数m 的值是（ ） A ．2- B ．7- C ．3D ．15．如果0AC <且0BC <，那么直线0Ax By C ++=不经过（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限6．已知三角形的三个顶点()2,4A ，()3,6B -，()5,2C ，则BC 边上中线的长为（ ）A B ．C ．D ．7．方程222220x y ax y a a ++-++=表示圆，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1aB ．1a <C ．1a >D ．01a <<8．过点(4,2)P 作圆224x y +=两条切线，切点分别为A 、B ，O 为坐标原点，则OAB 的外接圆方程是（ ） A ．22(2)(1)5x y -+-= B ．22(4)(2)20x y -+-= C ．22(2)(1)5x y +++=D ．22(4)(2)20x y +++=二、多选题9．已知点()(),0M a b ab ≠是圆()2220x y r r +=>内一点，直线g 是以M 为中点的弦所在的直线，直线l 的方程为20ax by r ++=，则（ ） A ．//l gB ．l g ⊥C ．l 与圆相交D ．l 与圆相离10．已知圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0与直线x －y ＝1，则（ ） A ．圆心坐标为(1，－2)B C ．直线与圆相交D11．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()4,0B ，点P 满足12PA PB =．设点P 的轨迹为C ，则（ ）． A ．轨迹C 的方程为()2249x y ++=B ．在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE= C ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是APB ∠的角平分线 D ．在C 上存在点M ，使得2MO MA =12．已知直线:10l x my m -+-=，则下列说法正确的是（ ）． A ．直线l 的斜率可以等于0B ．若直线l 与y 轴的夹角为30°，则m =或m =C ．直线l 恒过点()2,1D ．若直线l 在两坐标轴上的截距相等，则1m =或1m =-三、填空题13．将直线1:l y =x 轴的交点逆时针旋转90︒后得到直线2l ，则2l 在y 轴上的截距为________．14．函数y 的最小值为____________．15．由方程2221(1)02x y x m y m +++-+=所确定的圆中，最大的面积是_________.16．直线()20y kx k =+>被圆224x y +=截得的弦长为________． 四、解答题17．已知直线1:20()l ax y a R ++=∈．（1）若直线1l 在x 轴上的截距为2-，求实数a 的值；（2）若直线1l 与直线2:210l x y -+=平行，求两平行直线1l 与2l 之间的距离．18．求满足下列条件的直线方程：（1）已知()1,2A 、()1,4B -、()5,2C ，求ABC 的边AB 上的中线所在的直线方程； （2）过点()2,3P ，在两坐标轴上截距相等的直线方程.19．已知圆C 过点()6,0A ，()1,5B ，且圆心在直线:2780l x y -+=上． （1）求圆C 的标准方程；（2）将圆C 向上平移1个单位长度后得到圆1C ，求圆1C 的标准方程．20．在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点的坐标分别是()1,2A ，()1,3B n -，()1,3C n --．（1）若A ∠是直角，求实数n 的值；（2）求过坐标原点，且与ABC 的高AD 垂直的直线l 的方程．21．已知ABC 的内切圆的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为1，直线210x y +-=截圆M 所（1）求圆M 方程；（2）若点C 的坐标为()2,4，求直线AC 和BC 的斜率；（3）若A ，B 两点在x 轴上移动，且AB 4=，求ABC 面积的最小值.22．实数x ，y 滿足222410x y x y ++-+=， 求（1）4yx -的最大值和最小值； （2）2x y +的最大值和最小值.参考答案1．B 【分析】直接判断出直线经过点(1,0)，对照四个选项，即可求解. 【详解】因为0k b +=，所以k b =-，代入直线方程，可得y bx b =-+，即(1)y b x =--． 所以直线过点(1,0)，故选：B ． 2．B 【分析】利用平行线之间的距离公式可求出d 关于t 的二次函数解析式，再利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】 解：∵直线2:24230l x y t ++-=即为直线23202t x y -++=，∵直线1//l 直线2l ． ∵1l 与2l间的距离21554t d ⎛⎫-+⎪==，当且仅当12t =时取等号．∵当1l 与2l 间的距离最短时，t 的值为12． 故答案选：B【分析】根据直线倾斜角的定义，对四个选项逐一分析，即可得出答案. 【详解】任意一条直线都有唯一的倾斜角，选项A 正确；直线倾斜角α的取值范围是[)0,π，所以直线的倾斜角不可以为π6-，故选项B 错误； 若直线的倾斜角为0，则该直线与x 轴重合或平行，故选项C 错误； 因为直线的倾斜角α的取值范围是[)0,π，所以[]sin 0,1α∈，故选项D 错误. 故选：A ． 4．C 【分析】分析可知，直线MN 的斜率为2，且线段MN 的中点在直线12xy +=上，可列出关于实数m的等式组，由此可得出关于实数m 的值. 【详解】由中点坐标公式，得线段MN 的中点坐标为1,02m +⎛⎫⎪⎝⎭， 直线12x y +=的斜率为12-，由题意知，直线MN 的斜率为421MN k m ==-， 所以，114421m m +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-⎩，解得3m =.故选：C. 5．C 【分析】根据0AC <且0BC <，得0B ≠，则直线方程可化为斜截式A C y x B B =--，再根据,A CB B--的符号，即可得出结论. 【详解】解：易知0B ≠，所以直线方程可化为A Cy x B B=--． 因为0,0AC BC <<，所以A 、B 同号，B 、C 异号，从而有0,0A CB B-<->， 所以直线的斜率为负，且在y 轴上的截距为正，所以直线不经过第三象限． 故选：C ．【分析】根据中点坐标公式求解出BC 中点D 的坐标，结合两点间距离公式求解出BC 边上中线的长. 【详解】设边BC 的中点为(),D x y . 因为()3,6B -，()5,2C ，所以3542x +==，6222y -+==-，即()4,2D -，所以AD ==故选：B. 7．B 【分析】根据圆的一般方程所需满足的条件得到不等式，解之即可求出结果. 【详解】由2240D E F +->，得222(2)(2)4()0a a a +--+>，即440a ->，解得1a <. 故选：B. 8．A 【分析】由切线性质得O 、A 、B 、P 四点共圆，OP 为直径，求得圆心坐标和半径可得圆方程即为所求． 【详解】由题意知O 、A 、B 、P 四点共圆，从而OP 的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，1||2OP =所求圆的半径，所以所求圆的方程为22(2)(1)5x y -+-=. 故选：A. 9．AD 【分析】由圆心到直线l 距离d r 可确定l 与圆相离；根据直线g 的方程，可判断出两直线平行.【详解】点M 在圆内，∴222a b r +<. 圆心()0,0到直线l 的距离2d r =>，∴直线l 与圆相离.又直线g 的方程为()ay b x a b-=--，即220ax by a b +--=， ∴//l g .10．AD 【分析】根据圆的方程，先求圆心和半径，再依次判断选项. 【详解】把圆的方程化为标准形式得(x －1)2＋(y ＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)以圆心到直线x －y ＝1的距离为d，直线与圆相切． 故选：AD 11．BC 【分析】根据两点间的距离公式计算化简，逐一判断选项即可. 【详解】A ：在平面直角坐标系xOy 中，()20A -，，()40B ，，点P 满足12PA PB =， 设()P x y ，12=，化简得2280x y x ++=， 即()22416x y ++=，所以A 错误；B ：假设在x 轴上存在异于A ，B 的两点D ，E ，使得12PD PE=， 设()0D m，，()0En ，=化简得()2222338240x y m n x m n +--+-=，由轨迹C 的方程为2280x y x ++=，可得8224m n -=-，2240m n -=， 解得6m =-，12n =-或2m =-，4n =（舍去），所以B 正确； C ：当A ，B ，P 三点不共线时，12OA PAOBPB==， 可得射线PO 是APB ∠的角平分线，所以C 正确；D ：若在C 上存在点M ，使得2MO MA=，可设()M xy ，， =221616033x y x +++=， 与2280x y x ++=联立，方程组无解，故不存在点M ，所以D 错误． 故选：BC ． 12．BD讨论0m =和0m ≠时直线的斜率和截距情况，判断AD 的正误；利用倾斜角和斜率的关系判断B 的正误；将方程化为()()110x m y ---=判断直线过定点，判断C 的正误. 【详解】当0m =时，直线:1l x =，斜率不存在， 当0m ≠时，直线l 的斜率为1m，不可能等于0，故A 选项错误； ∵直线l 与y 轴的夹角角为30°，∵直线l 的倾斜角为60°或120°，而直线l 的斜率为1m，∵1tan 60m =︒=1tan120m =︒=∵m =或m =B 选项正确； 直线l 的方程可化为()()110x m y ---=，所以直线l 过定点()1,1，故C 选项错误； 当0m =时，直线:1l x =，在y 轴上的截距不存在， 当0m ≠时，令0x =，得1m y m-=，令0y =，得1x m =-， 令11m m m-=-，得1m =±，故D 选项正确． 故选：BD ．13．【分析】根据1l 的方程可以求出1l 的倾斜角，及1l 与x 轴的交点坐标，根据1l 与2l 倾斜角的关系确定2l 的倾斜角，利用直线点斜式写出2l 方程即可判断直线2l 在y 轴上的截距. 【详解】易知1l 的倾斜角为60︒，所以2l 的倾斜角为9060150︒+︒=︒，又由题意知2l 过点(1,0)-，所以2l的方程为0tan150(1)y x -=︒⋅+，即y =2l 在y 轴上的截距为故答案为：14【分析】首先根据题意得到y 表示点(),0P x 到点()0,2A 和()3,3B --的距离之和，从而得到当点P 为线段AB 与x 轴的交点时，y 取得最小值，再求AB 即可. 【详解】y=y表示点(),0P x到点()0,2A和()3,3B--的距离之和.当点P为线段AB与x轴的交点时，y取得最小值.miny AB==.15．34π【分析】由方程求出圆半径的最大值后可得最大面积．【详解】圆的半径12r=则222211(1)422244m m m mr+--⨯--+==，所以当1m=-时，2max34r=，所以max34Sπ=.故答案为：34π．16．60【分析】由已知求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k，然后利用斜率等于倾斜角的正切值求解．【详解】直线()20y kx k=+>被圆224xy+=截得的弦长为所以，圆心()0,0O到直线20kx y-+=的距离1d==，1=，解得)0k k=>．设直线的倾斜角为()0180θθ≤<，则tanθ=60θ=．因此，直线()20y kx k=+>的倾斜角为60．故答案为：60．17．（1）1a=；（2．【分析】（1）由题意利用直线在坐标轴上的截距的定义，求得a 的值．（2）利用两条直线平行的性质求得a 的值，再利用两条平行直线间的距离公式，计算求得结果． 【详解】（1）若直线1:20l ax y ++=，令0y =，求得1l 在x 轴上的截距为22a-=-， ∴实数1a =．（2）若直线1:20l ax y ++=与直线2:210l x y -+=平行， 则12211a =≠-，求得2a =-，故1:220l x y -++=，即220x y --=，求两平行直线1l 与2l18．（1）5150x y +-=；（2）320x y -=或50x y +-=. 【分析】（1）先计算AB 中点的坐标，再利用两点式写出直线方程，即得结果；（2）分类讨论直线是否过原点两种情况，分别设直线方程，再将点P 代入计算，即得结果. 【详解】解：（1）由题意可知，AB 的中点坐标为()0,3，又点()5,2C ， 所以ABC 的边AB 上的中线所在的直线方程为：253205y x --=--， 即5150x y +-=；（2）当直线过原点时，设方程为y kx =， ∵过点()2,3P ，∵直线方程为32y x =，即320x y -=； 当直线不过原点时，设方程为1x ya a+=，∵过点()2,3P ，∵5a =，∵直线方程为155x y+=，即50x y +-=.故所求直线的方程为320x y -=或50x y +-=.19．（1） ()()223213x y -+-=；（2） ()()223313x y -+-=． 【分析】（1）先求线段AB 的垂直平分线，再联立直线l 求解即可； （2）分析C 向上平移1个单位长度后的圆心和半径即可 【详解】（1）因为直线AB 的斜率为50116-=--，所以线段AB 的垂直平分线m 的斜率为1．又易知线段AB 的中点坐标为75,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以直线m 的方程为57122y x ⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，即10x y --=． 因为圆心在直线l 上，所以圆心是直线m 与直线l 的交点．由102780x y x y --=⎧⎨-+=⎩，解得32x y =⎧⎨=⎩．所以圆心为()3,2C ，半径r CA =所以圆C 的标准方程是()()223213x y -+-=．（2）由（1），知圆C 的圆心坐标为()3,2，将点()3,2向上平移1个单位长度后得到点()3,3，故圆1C 的圆心坐标为()3,3故圆1C 的标准方程为()()223313x y -+-=．20．（1）53n =；（2）0x y -=．【分析】（1）根据A ∠是直角可知2n ≠且1A AB C k k ⋅=-，由此构造方程求得n ；（2）易知直线l 与直线BC 平行或重合，知直线l 的斜率1BC k k ==，结合直线过坐标原点可得结果.【详解】（1）当2n =时，A ∠不是直角，不合题意；当2n ≠时，A ∠是直角，1AB AC k k ∴⋅=-， 即323211111n n ---⋅=-----，解得：53n =； 综上所述：53n =.（2）直线l 与ABC 的高AD 垂直，∴直线l 与直线BC 平行或重合，,B C 不重合，0n ∴≠，∴直线l 的斜率()()33111BC n k k n --===---， 又直线l 过坐标原点，∴直线l 的方程为0x y -=．21．（1）22(1)1y x +-=；（2）2（3）163. 【分析】（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,M b ，先求得圆心到直线210x y +-=的距离，再根据直线截圆M（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，易知不成立；当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，然后由圆心到直线的距离等于半径求解； （3）根据AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，进而得到直线AC 和直线 BC 的斜率，写出直线AC 和BC 的方程，联立求得点C 的坐标，进而得到坐标系的最小值求解.【详解】（1）设ABC 的内切圆的圆心()0,,0M b b >，圆心到直线210x y +-=的距离为d =又因为直线截圆M所以221+=⎝⎭， 解得1b =，所以圆M 方程()2211x y +-=；（2）当直线AC 和BC 的斜率不存在时，设直线方程为2x =，则圆心到直线的距离 0221d r =-=≠=，不成立，当直线AC 和BC 的斜率存在时，设直线方程为()42y k x -=-，即 240kx y k --+=，圆心到直线的距离1d =，解得2k = （3）因为AB 4=，设()()(),0,4,040A t B t t +-<<，所以直线AC 的斜率为：2222tan 2111ACt t k MAO t t -=∠==---， 同理直线BC 的斜率为： ()()222241411BC t t k t t --+==+-- ， 所以直线AC 的方程为：()221t y x t t =---，直线BC 的方程为：()()()224441t y x t t -+=--+- ， 由()()()()222124441t y x t t t y x t t ⎧=--⎪-⎪⎨-+⎪=--⎪+-⎩，解得 22224412841t x t t t t y t t +⎧=⎪⎪++⎨+⎪=⎪++⎩， 即2222428,4141t t t C t t t t ⎛⎫++ ⎪++++⎝⎭， 又 ()2222282222414123t t y t t t t t +==-=-+++++-， 当2t =-时，点C 的纵坐标取得最小值83， 所以ABC 面积的最小值.18164233ABC S =⨯⨯=. 22．（1）最大值为0，最小值为2021-；（2）最大值为- 【分析】先求出所给的圆的圆心和半径， （1）4y x - 表示圆上的点（x y ）与点A （4，0）连线的斜率 k ．设出过点A 的圆的切线方程，根据圆心C 到切线的距离等于半径，求得k 的值，可得k 的最大值和最小值． （2）将条件进行化简，转化为点和圆的位置关系进行求解即可.【详解】（1）4y x -表示圆上的点(),x y 与点()4,0A 连线的斜率，设圆的切线斜率为k ，圆的切线方程为()04y k x -=-，即40kx y k --=，由2，0k =或2021-， 结合图形知，4y x -的最大值为0，最小值为2021-. （2）令2x y t +=，t 表示过圆上的点且斜率等于2-的直线在y 轴上的截距， 当直线2x y t +=和圆相切时，有2=，∵t =±故2x y +的最大值为-。
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第二章 直线和圆的方程专题测试注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）1．（2020·福建高二学业考试）已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，若12//l l ，则实数k =（ ） A ．－2 B ．－1C ．0D ．1【答案】D【解析】已知直线1l ：2y x =-，2l ：y kx =，因为12//l l ，所以1k =故选：D2．（2020·洮南市第一中学高一月考）直线()()1:2140l a x a y -+++=与()2:190l a x ay ++-=互相垂直，则a 的值是（ ）. A ．-0.25 B ．1C ．-1D ．1或-1【答案】D【解析】当10a +=时，1a =-，此时14:3l x =，2:9l y =-，显然两直线垂直， 当0a =时，此时1:240l x y -++=，2:9l x =，显然两直线不垂直， 当10a +≠且0a ≠时，因为12l l ⊥，所以()()()2110a a a a -+++=，解得：1a =，综上可知：1a =或1-.故选D.3．（2020·江苏省海头高级中学高一月考）直线:l (1)230m x my m ---+=（m R ∈）过定点A ，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,1)- B ．(3,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)--【答案】B【解析】根据直线(1)230m x my m ---+=得()230m x y x ---+=， 故直线过定点为直线20x y --=和30x -+=的交点，联立方程得2030x y x --=⎧⎨-+=⎩，解得31x y =⎧⎨=⎩ ，所以定点A 的坐标为()3,1A .故选：B. 4．（2020·广东高二期末）设a R ∈，则“a =1”是“直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件,【答案】C【解析】若直线ax+y -1=0与直线x+ay+1=0平行，则21a =,且11a-≠解得1a =故选C 5．（2020·黑龙江高一期末）若曲线y与直线y ＝k （x ﹣2）+4有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎤⎥⎝⎦B ．3,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．（1，+∞）D ．（1，3]【答案】A【解析】作出曲线y的图像，直线y ＝k （x ﹣2）+4恒过定点()2,4，当直线与曲线相切时，原点到直线240kx y k --+=的距离等于22=，解得34k =，由图可知， ()3401422k -<≤=--，故选：A 6．（2020·浙江柯城。
衢州二中高三其他）已知直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，则()4t t -的最大值为（ ）A ．4B ．289C ．329D ．327【答案】C【解析】因为()2222x y t tt R +=-∈表示圆，所以220->t t ，解得02t <<，因为直线x y t +=与圆()2222x y t tt R +=-∈有公共点，所以圆心到直线的距离d r ≤，即≤403t ≤≤，此时403t ≤≤， 因为()()()224424=-=-+=--+f t t t t t t ，在40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，所以()4t t -的最大值34329⎛⎫= ⎪⎝⎭f .故选：C7．（2020·广东高一期末）若两平行直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=则m +n ＝（ ） A ．0 B ．1C ．1-D ．2-【答案】A【解析】由直线20,(0)x y m m ++=>与30x ny --=平行可得2n -=即2n =-， 则直线20,(0)x y m m ++=>与230x y +-==2m =或8m =-（舍去），所以()220m n +=+-=.故选：A.8．（2020·北京市第五中学高三其他）过直线y ＝x 上的一点作圆22(5)(1)2x y -+-=的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】C【解析】如图所示，过圆心C 作CP 垂直直线y x =于点P ，直线,PA PB 分别与圆:C 22(5)(1)2x y -+-=相切，切点分别为,A B ，根据几何知识可知，直线12,l l 也关于直线CP 对称，所以直线12,l l 的夹角为APB ∠（或其补角）． 在Rt CBP中，BC =CP ==所以1sin 2BPC ∠=，而BPC ∠为锐角，即有30BPC ∠=，60APB ∠=．故选：C ．二、多选题（每题不止有一个选项为正确答案，每题5分，共20分）9．（2020·江苏省苏州第十中学校高一期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -= B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦ABD ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB1+ 【答案】ABD【解析】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确； 对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==1r =所以AB ==，故C 不正确；对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d =，半径1r =，即P 到直线AB 1，故D 正确.故选：ABD10．（2020·江苏徐州.高一期末）已知直线12:10,:(2)330l x my l m x y +-=-++=，则下列说法正确的是（ ）A ．若12l l //，则m =-1或m =3B ．若12l l //，则m =3C ．若12l l ⊥，则12m =- D ．若12l l ⊥，则12m =【答案】BD【解析】直线12l l //，则3(2)0m m --=，解得3m =或1m =-，但1m =-时，两直线方程分别为10x y --=，3330x y -++=即30x y --=，两直线重合，只有3m =时两直线平行，A 错，B 正确；12l l ⊥，则230m m -+=，12m =，C 错，D 正确． 故选：BD ．11．（2020·江苏扬州.高一期末）已知直线l 与圆22:240C x y x y a ++-+=相交于,A B 两点，弦AB 的中点为()0,1M ，则实数a 的取值可为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】AB【解析】圆C 的标准方程为：()()22125x y a ++-=-，故5a <. 又因为弦AB 的中点为()0,1M ，故M 点在圆内，所以()()2201125a ++-<-即3a <. 综上，3a <. 故选：AB.12．（2020·江苏省江阴高级中学高一期中）下列说法正确的是（ ） A ．直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)B ．直线32y x =-在y 轴上的截距为2- C10y ++=的倾斜角为60°D ．过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线方程为20x y += 【答案】ABD【解析】32()y ax a a R =-+∈可化为()23y a x -=-，则直线32()y ax a a R =-+∈必过定点(3,2)，故A 正确；令0x =，则2y =-，即直线32y x =-在y 轴上的截距为2-，故B 正确；10y ++=可化为1y =-，则该直线的斜率为，即倾斜角为120︒，故C 错误；设过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的斜率为k 因为直线230x y -+=的斜率为12，所以112k ⋅=-，解得2k =- 则过点(1,2)-且垂直于直线230x y -+=的直线的方程为22(1)y x -=-+，即20x y +=，故D 正确； 故选：ABD第II 卷（非选择题）三、填空题(每题5分，共20分）13．（2020·湖南张家界。
高一期末）圆C 的圆心为(21),-，且圆C 与直线3450x y --=相切，则圆C 的方程为_________________. 【答案】22(2)(1)1x y -++=【解析】圆C 的圆心为(2,1)-，与直线:3450l x y --=相切， 圆心到直线的距离等于半径，即1r d ===，∴圆C 的方程为22(2)(1)1x y -++=．故答案为：22(2)(1)1x y -++=．14．（2020·勃利县高级中学高一期末）经过点P （2，1）作直线l 分别交x 轴、y 轴的正半轴于A 、B 两点，当△AOB 面积最小时，直线l 的方程为_____. 【答案】x +2y ﹣4＝0；【解析】由题意可知，直线的斜率一定存在，故设直线方程y ﹣1＝k （x ﹣2），k ＜0， 令x ＝0可得，y ＝1﹣2k ，令y ＝0可得x ＝2﹣1k， 则11121222AOBSOA OB k k =⋅=⨯--＝()1114444422k k ⎛⎫--+≥+= ⎪⎝⎭， 当且仅当﹣4k ＝﹣1k即k ＝﹣12时取等号，此时直线方程y ﹣1＝﹣12（x ﹣2）,即x +2y ﹣4＝0． 故答案为：x +2y ﹣4＝0．15．（2020·包头市田家炳中学高二期中）在圆22420x y x y +-+=内，过点1,0（）M 的最短弦的弦长为_____；【答案】【解析】圆22420x y x y +-+=化简得：()()22215x y -++=，点M 在圆内部，记圆心为()2,1C -，根据几何性质知过M 且与OM 垂直的弦最短，CM =由垂径定理得弦长为==故答案为：16．（2019·浙江拱墅。