二倍角正弦_余弦_正切公式的几何证明
二倍角正弦宗弦正切公式的几何解释
二倍角正弦宗弦正切公式的几何解释二倍角公式是用来求解角的正弦、余弦和正切的值的公式。
在几何上，可以通过图形的旋转和镜像来解释这些公式。
首先，我们先来解释二倍角正弦的几何解释。
假设有一个角θ，它的终边与单位圆的交点为点P(x,y)，其中x表示P点的横坐标，y表示P点的纵坐标。
根据正弦的定义，我们知道正弦值等于纵坐标除以半径，所以sinθ=y/1=y。
现在我们要求解的是二倍角的正弦值，也就是sin(2θ)。
为了求解sin(2θ)，我们可以考虑角2θ的几何解释。
现在我们将角θ进行镜像，得到一个新的角θ'，θ'的终边与单位圆的交点为点P'(-x,y)。
根据正弦的定义，我们可以得到sinθ'的值为y/1=y。
然后，我们将角θ'向逆时针方向旋转90度，得到一个角2θ，终边与单位圆的交点为点Q(-y,x)。
综上所述，二倍角正弦的几何解释是：sin(2θ)=2sinθ。
接下来，我们来解释二倍角余弦的几何解释。
同样假设有一个角θ，它的终边与单位圆的交点为点P(x,y)。
根据余弦的定义，我们知道余弦值等于横坐标除以半径，所以cosθ=x/1=x。
现在我们要求解的是二倍角的余弦值，也就是cos(2θ)。
我们可以继续使用之前的几何构造，将角θ进行镜像，得到角θ'，θ'的终边与单位圆的交点为点P'(-x,y)。
然后，我们将角θ'向逆时针方向旋转90度，得到角2θ，终边与单位圆的交点为点Q(-y,x)。
综上所述，二倍角余弦的几何解释是：cos(2θ)=2cos^2θ-1最后，我们来解释二倍角正切的几何解释。
同样假设有一个角θ，它的终边与单位圆的交点为点P(x,y)。
根据正切的定义，我们知道正切值等于纵坐标除以横坐标，所以tanθ=y/x。
现在我们要求解的是二倍角的正切值，也就是tan(2θ)。
同样，我们进行之前的几何构造，将角θ进行镜像，得到角θ'，θ'的终边与单位圆的交点为点P'(-x,y)。
二倍角的正弦余弦正切公式
cos2α＝cos2α－sin2α
(C2 α)
tan tan
∵ tan(α + β)＝ 1 tan tan
∴ 当α＝β时, tan2α ＝
tan
2
2 tan 1 tan2
.
(T2 α )
利用sin2α+cos2α=1, 公式C2α还可以变形为： cos2α=2cos2α–1=1 –2sin2α.
引例
把下列各式化为一个角的三角函数形式
(1) 3 sin 1 cos
(2)s2in
2
cos
(3)a sin x b cos x
化asin x bcos x 为一个角的三角
函数形式
asin x bcos x
a2
b2
a
sin x
a2 b2
a
令
况，还可以运用于诸如将4α 作为2α 的2倍，将
α 作为 的2倍，将 α 作为 的2倍，将3α 作为3
2
的2倍等等.
2
4
2
例1.已知sinα ＝ 5 ，α ∈( ,π )，求sin2α ，
cos2α ，tan2α 的1值3 .
2
解：∵sinα＝ 5 ，α∈（ , π ),
13
2
∴cosα ＝－ 1 sin2 1 ( 5 )2 12.
3
2
例3 利用三角公式化简 sin 50 (1 3 tan10 ).
例4 若sin( ) 1 ,求sin( 2 ).
解：（2
）6（
3
2）
6
6.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式
C.2
B. −
C.−
D.
）
A.
B.
C.
D.
例：在△ABC中， = ， = ，求( + )的值.
解法一：在△ABC中， 由 = ， < < ，得 = − = .
∴ = ( + ) = −
综上：二倍角的正弦、余弦、正切公式如下表
三角函数
正弦
公式
公式的逆用
简记
=
① =
② =
③ =
∴ ( + ) = [( + )] = −(+) =
课后作业：
1.求下列各式的值:
（1）
（2） −
（3）
−
2.求下列各式的值：
（1）
3.已知( − ) =
（1）若 = 求x的值
.
（2）设函数() = ∙ ，求()的最大值.
11.已知( − ) = ，且是锐角，则( − ) 、 ( − ) 、 ( − )分别等于多少？
12.若( + ) = ( < < )，则 等于多少？
3.升幂和降幂公式：
二倍角正弦余弦正切的公式
二倍角正弦余弦正切的公式sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)二倍角余弦公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) = 2cos²(θ) - 1 = 1 -2sin²(θ)二倍角正切公式：tan(2θ) = (2tan(θ))/(1 - tan²(θ))这些公式是三角函数中的重要定理，可以用于求解各种三角函数的问题。
下面将对这些公式进行推导和证明。
首先，我们先推导二倍角正弦公式。
假设有一个角θ，那么其二倍角为2θ。
可以通过三角函数的和差化积公式推导出二倍角正弦公式。
根据三角函数的和差化积公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)令A=θ，B=θ，则有：sin(2θ) = sin(θ + θ) = sin(θ)cos(θ) + cos(θ)sin(θ) = 2sin(θ)cos(θ)因此，得到二倍角正弦公式：sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)接下来，我们推导二倍角余弦公式。
同样地，我们仍然使用三角函数的和差化积公式。
根据三角函数的和差化积公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)令A=θ，B=θ，则有：cos(2θ) = cos(θ + θ) = cos(θ)cos(θ) - sin(θ)sin(θ) = cos²(θ) - sin²(θ)又根据三角恒等式sin²(θ) + cos²(θ) = 1，我们可以将上式进一步变形：cos(2θ) = cos²(θ) - (1 - cos²(θ)) = 2cos²(θ) - 1因此，得到二倍角余弦公式：cos(2θ) = cos²(θ) - sin²(θ) =2cos²(θ) - 1 = 1 - 2sin²(θ)最后，我们推导二倍角正切公式。
两倍角的正弦余弦正切公式
两倍角的正弦余弦正切公式正弦、余弦和正切是三角函数中最基本的函数之一，它们在数学和物理中有着广泛的应用。
而两倍角的正弦、余弦和正切公式则是在解决复杂问题时经常用到的重要工具。
本文将详细介绍两倍角的正弦、余弦和正切公式及其应用。
一、两倍角的正弦公式在解决一些三角函数的复杂问题时，经常会遇到求两倍角正弦值的情况。
根据两倍角的正弦公式，我们可以用已知的角的正弦值来求解两倍角的正弦值。
两倍角的正弦公式如下：sin(2θ) = 2sinθcosθ其中，θ为已知角的角度。
例如，已知角θ的正弦值为0.6，我们可以利用两倍角的正弦公式求解sin(2θ)。
根据公式，sin(2θ) = 2sinθcosθ，代入已知值，则有sin(2θ) = 2 × 0.6 × cosθ。
二、两倍角的余弦公式与两倍角的正弦公式类似，两倍角的余弦公式也是求解复杂问题中常用的工具。
根据两倍角的余弦公式，我们可以用已知角的余弦值来求解两倍角的余弦值。
两倍角的余弦公式如下：cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ同样，θ为已知角的角度。
例如，已知角θ的余弦值为0.8，我们可以利用两倍角的余弦公式求解cos(2θ)。
根据公式，cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ，代入已知值，则有cos(2θ) = 0.8^2 - (1 - 0.8^2)。
三、两倍角的正切公式两倍角的正切公式在解决复杂问题时也非常有用。
根据两倍角的正切公式，我们可以用已知角的正切值来求解两倍角的正切值。
两倍角的正切公式如下：tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)同样，θ为已知角的角度。
例如，已知角θ的正切值为1.5，我们可以利用两倍角的正切公式求解tan(2θ)。
根据公式，tan(2θ) = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)，代入已知值，则有tan(2θ) = (2 × 1.5) / (1 - 1.5^2)。
二倍角的正弦、余弦、正切公式 课件
(5)降幂扩角变换： cos2α＝12(1＋cos 2α)； sin2α＝12(1－cos 2α)； sin αcos α＝12sin 2α. 2．解决给值求值问题的一般思路：一是先化简(变形)三 角式，再代入求值；二是由已知变形，获得所求解的式子．其
关键是找出条件和结论两者之间的关系．
＝2sin（π4c＋osx（）π4·＋coxs（）π4＋x）＝2sin(π4＋x)．
∵sin(π4－x)＝cos(π4＋x)＝153，且 0＜x＜π4，
∴π4＋x∈(π4，π2)，
∴sin(π4＋x)＝ 1－cos2（π4＋x）＝1123， ∴原式＝2×1123＝2143.
[一点通] 这类三角函数求值问题常有两种解题途径：一是对 题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数 名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条 件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论，即解题过程 既要结合已知条件，又要增强目标意识．
cos 2α＝ cos2α－sin2α
二倍角的余弦 ＝ 2cos2α－1
＝ 1－2sin2α
2tan α 二倍角的正切 tan 2α＝ 1－tan2α
记法 S2α C2α
T2α
1．二倍角公式给出了倍角 2α 与单角 α 之间的关
系．对于“二倍角”应该有广义的理解，不仅限于 2α 是 α 的二倍形式，其他如 4α 是 2α 的二倍角，α 是α2的二倍角， 2α＋π2是 α＋π4的二倍角．
80°＝4. 80°
[例 2] 已知 sin(π4－x)＝153，0＜x＜π4，求cos（coπs4＋2xx）的值． [思路点拨] 注意角的关系(π4＋x)＋(π4－x)＝π2，注意诱导 公式的应用 cos 2x＝sin(π2＋2x)，利用倍角公式解题．
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正切公式的应用
在三角函数求值中的应用
01
利用二倍角的正切公式，可以求出一些特殊角的三角函数值。
在三角函数化简中的应用
02
在化简一些三角函数式时，可以利用二倍角的正切公式将式子
化简为更简单的形式。
在解三角形中的应用
03
在解三角形时，可以利用二倍角的正切公式来求出一些未知角
度或边长。
06
结论
总结二倍角的正弦余弦正切公式
正弦公式
$\sin(2A) = 2\sin Aห้องสมุดไป่ตู้cos A$
余弦公式
$\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A$
正切公式
$\tan(2A) = \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}$
对三角函数学习的意义
01
02
03
深入理解三角函数的性 质和关系
掌握三角函数在数学和 实际生活中的应用
为后续学习三角函数和 相关学科打下基础
对后续学习的作用
为学习三角函数和解析几何等学科打 下基础
为学习物理、工程、经济等领域中的三角 函数应用提供支持
为进一步学习数学分析、微积分等 高级数学课程打下基础
THANKS
感谢观看
应用举例
在解三角函数方程时，通过使用二倍角的余弦公式可以 将方程化简，从而方便求解。例如，在求解 $\sin(x+60^\circ)$ 时，可以使用二倍角的余弦公式 将 $\sin(x+60^\circ)$ 化为 $\frac{1}{2}\sqrt{3}\sin x + \frac{1}{2}\cos x$，从而简化计算。
互余关系
$\sin(π - α) = \sin α$，$\cos(π α) = - \cos α$，$\tan(π - α) = \tan α$
二倍角的正弦、余弦、正切公式
5 2 12 所以 cos 2 1 sin 2 1 ( ) 13 13
2
sin4 sin[ (2 )] 2 sin2 cos2 2
5 12 120 2 ( ) 13 13 169
理解公式的推导方法
S(α+β)
β＝α
S2α
C2α
作 商
C(α+β)
作 商
T(α+β) β＝α
T2α
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作业
教材P137面习题3.1 A组14、15、
18、19（2）（4）题
tan 2的值.
例5. 已知 tan 2, 求 sin 2 , cos 2 ,
tan 2的值.
2 tan sin 一般地： 2 1 tan2 2 1 tan cos 2 2 1 tan
万能公式 2 tan tan 2 2 1 tan
公式中角有什么特点？
cos 1 sin
2 2
cos2 cos sin
2 2
(1 sin ) sin
2 2
公式左端的角是右端 角的二倍
1 2 sin
2
灵活运用公式
sin 2 2 sin cos
cos2 cos2 sin 2 2 1 2sin 2 2cos 1
两倍角的正弦、余弦、 正切公式
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin tan tan tan 1 tan tan
二倍角正弦余弦正切的公式
二倍角正弦余弦正切的公式二倍角公式是指将一个角的两倍角的正弦、余弦和正切表示为该角的正弦、余弦和正切的形式。
二倍角公式在三角函数的计算和证明中非常有用。
下面将详细介绍二倍角公式的推导和应用。
首先，我们先来看二倍角的定义。
对于一个角θ，它的两倍角是2θ。
也就是说，如果我们将角θ扩大2倍，得到的角度就是2θ。
接下来，我们来推导二倍角公式。
我们先从三角函数的角和公式开始。
三角函数的角和公式是指，当两个角的正弦、余弦和正切已知时，可以通过这个公式计算出这两个角的和的正弦、余弦和正切。
设角α和角β的正弦、余弦和正切分别为sinα、sinβ、cosα、cosβ、tanα和tanβ，则有以下关系式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβtan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)我们将角α和角β分别设为相同角θ，即α = β = θ，则上述公式可以简化为：sin(2θ) = sinθcosθ + cosθsinθ = 2sinθcosθcos(2θ) = cosθcosθ - sinθsinθ = cos^2θ - sin^2θ = 1 - 2sin^2θ = 2cos^2θ - 1tan(2θ) = (tanθ + tanθ) / (1 - tanθtanθ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)这就是二倍角公式的三种形式。
其中，sin(2θ) = 2sinθcosθ是二倍角正弦的公式，cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ = 1 -2sin^2θ = 2cos^2θ - 1是二倍角余弦的公式，tan(2θ) = 2tanθ / (1 - tan^2θ)是二倍角正切的公式。
二倍角公式的应用非常广泛，下面将介绍一些常见的应用场景。
1. 角的加倍：通过二倍角公式可以将一个角的两倍角表示为该角的正弦、余弦和正切的形式。
二倍角的正弦、余弦、正切公式
135
1， 3,
探究：你能用以上公式推导出 sin 2， cos 2， tan 2 的公式吗？ 分析：令 = ，代入上述三式可得.
二倍角正弦、余弦、正切公式的推导
sin （ +） sin cos cos sin
2sin cos
即sin 2 2sin cos .
tan 6 tan 1 0，
2
tan 3 10
2
tan 3 10.
1 1 4.已知tan , tan , 求 tan （ +2 ）的值. 7 3 3 提示:先求出tan2 = , 4 1 3 tan +tan2 再利用 tan （ +2） = 7 4 1. 1-tan tan2 1 1 3 7 4
S2 sin 2 2sin cos
2 2 C 2 cos 2 cos sin =1-2sin 2 =2cos2 -1
T2
2 tan tan 2 2 1 tan
这里的“倍角”专指“二倍角”，遇到 “三倍角”等名词时，“三”字等不能省 去.
cos2 sin 2
cos 2 1 cos 2
2cos2 1
cos 2 cos （ ) cos2 sin 2
1 sin 2 sin 2
1 2sin 2
二倍角的余弦公式. 简记为 C2 .
cos 4 2cos2 2 1
1.已知 cos
4 ,8 12, 求 sin ,cos , tan 的值. 8 5 4 4 4
3 4 ， cos , 8 2 8 5
数学二倍角公式有哪些
数学二倍角公式有哪些数学中的二倍角公式是指将一个角度的度数加倍后得到的角度，可以用于简化求解三角函数、三角方程等各种数学问题。
以下是数学中常用的二倍角公式及其推导过程。
1. 正弦函数的二倍角公式sin 2θ = 2 sin θ cos θ该公式表示一个角度的正弦值的二倍等于该角度的正弦值的两倍角（即sin 2θ），等于该角度的正弦值与余弦值的积的两倍（即2 sin θ cos θ）。
可以通过以下步骤推导出该公式：根据正弦函数的定义，sin θ = 对边 / 斜边，即 sin θ = a / c。
则有：sin 2θ = sin (θ + θ)用三角恒等式sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β，将sin 2θ 分解成两个角度的正弦值乘积之和，即: sin 2θ = sin (θ + θ) = sin θ cos θ + cos θ sin θ = 2 sin θ cos θ2. 余弦函数的二倍角公式cos 2θ = cos² θ - sin² θ该公式表示一个角度的余弦值的二倍等于该角度的余弦值的平方减去正弦值的平方（即cos 2θ），等于1减去2倍该角度正弦值的平方（即cos 2θ=1-2sin² θ）。
可以通过以下步骤推导出该公式：根据余弦函数的定义，cos θ = 邻边 / 斜边，即 cos θ = b / c。
则有：cos 2θ = cos (θ + θ)用三角恒等式cos (α + β) = cos α cos β - sin αsin β，将cos 2θ 分解成两个角度的余弦值乘积之差，即：cos 2θ = cos (θ + θ) = cos ²θ − sin ²θ3. 正切函数的二倍角公式tan 2θ = (2 tan θ) / (1 - tan² θ)该公式表示一个角度的正切值的二倍等于2倍该角度的正切值除以1减去该角度的正切值的平方（即tan 2θ=2tanθ / (1-tan² θ)）。
4-二倍角的正弦、余弦、正切公式
1 3 解析：∵cos α＋sin α＝－ ＜0，∴α∈( π，π)， 3 4 1 8 又(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝ ，∴2sin αcos α＝－ ， 9 9 ∴sin α－cos α＝ 故选 A.
10
17 17 2 2 1－2sin αcos α＝ ，∴cos 2α＝cos α－sin α＝ ， 3 9
∴cos θ－sin θ＝－ cos θ－sin θ2 7 ＝－ 1－2cos θsin θ＝－ .故选 A. 5
π 4 练习．已知 x∈(－ ，0)，cos x＝ ，则 tan 2x＝______. 2 5
π 4 3 解析：∵x∈(－ ，0)，cos x＝ ，∴sin x＝－ ， 2 5 5 3 2tan x 24 ∴tan x＝－ ，∴tan 2x＝ ＝－ . 2 4 7 1－tan x
二、倍角公式
sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin tan tan tan( ) 1 tan tan sin 2 2 sin cos 即： S 2
2 tan 原式＝ tan 2 2 1 tan
解: 原式＝ 1 2 cos 2 2 cos 2 1 2
小结：
1、二倍角正弦、余弦、正切公式的推导 2、熟记二倍角正弦、余弦、正切公式 3、注意二倍角正弦、余弦、正切公式的正向 和逆向运用 4、注意二倍角正弦、余弦、正切公式变形的 运用
二倍角的 正弦、余弦、正切公式
1
一、回顾和角公式
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
5.5.1 第4课时 二倍角的正弦、余弦、正切公式
第4课时二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1．会用两角和(差)的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的三角恒等变换并能灵活地将公式变形运用．知识点二倍角公式公式简记正弦sin 2α＝□12sin_αcos_αS2α余弦cos 2α＝cos2α－sin2α＝□22cos2α－1＝□31－2sin2αC2α正切tan 2α＝□42tan α1－tan2αT2α(1)倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况，还可运用于4α作为2α的二倍，α作为α2的二倍，3α作为3α2的二倍，α＋β作为α＋β2的二倍等情况，这里蕴含着换元的思想；(2)常见二倍角公式的变形：cos 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)；1±sin 2α＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2；降幂公式：sin αcos α＝12sin 2α；cos2α＝1＋cos 2α2；sin2α＝1－cos 2α2.[微练1]计算1－2sin222.5°的结果等于()A．12B．22C．33D．32答案：B[微练2]已知tan α＝43，则tan 2α＝________．答案：－24 7[微练3]已知sin α＋cos α＝13，则sin 2α＝________．答案：－8 9题型一给角求值(链接教材P223练习T5)求下列各式的值．(1)sin π8cosπ8；(2)cos2π6－sin 2π6；(3)2tan 150°1－tan2150°；(4)cos π5cos2π5cos45πcos85π[解](1)sin π8cosπ8＝12×2sinπ8cosπ8＝12×sinπ4＝12×22＝24.(2)cos2π6－sin 2π6＝cos(2×π6)＝cosπ3＝12.(3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.(4)原式＝2sinπ5cosπ5cos2π5cos45πcos85π2sinπ5＝sin2π5cos2π5cos45πcos85π2sinπ5＝sin45πcos45πcos85π4sinπ5＝sin85πcos85π8sinπ5＝sin165π16sinπ5＝－116.给角求值问题的两类解法(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式进行转化，一般可以化为特殊角．(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式．1．求下列各式的值．(1)tan 30°1－tan230°；(2)1sin 10°－3cos 10°.解：(1)tan 30°1－tan230°＝12×2tan 30°1－tan230°＝12tan 60°＝32.(2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2（12cos 10°－32sin 10°）sin 10°cos 10°＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin（30°－10°）sin（2×10°）＝4sin 20°sin 20°＝4.题型二给值求值(1)已知α∈(0，π2)，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝()A．15B．55C．33D．255(2)若cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝()A ．725B ．15C ．－15D ．－725(3)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－15 C ．15D ．45[解析] (1)由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin 2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin 2α.因为α∈(0，π2)，所以2sin α＝cos α，与sin 2α＋cos 2α＝1联立，解得sin α＝55.(2)法一：因为cos (π4－α)＝cos π4cos α＋sin π4sin α＝22(sin α＋cos α)＝35，所以sin α＋cos α＝325，所以1＋sin 2α＝1825，所以sin 2α＝－725.法二：因为2(π4－α)＝π2－2α，所以sin 2α＝cos (π2－2α)＝2cos 2(π4－α)－1＝－725. (3)法一：由tan θ＝－13，cos 2θ＋sin 2θ＝1，得sin 2θ＝110，cos 2θ＝910， 所以cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝45.法二：cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝1－（－13）21＋（－13）2＝45. [答案] (1)B (2)D (3)D解决给值求值问题的方法(1)给值求值问题，注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向： ①有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；②寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系．(2)注意几种公式的灵活应用，如： ①sin 2x ＝cos(π2－2x )＝cos[2(π4－x )] ＝2cos 2(π4－x )－1＝1－2sin 2(π4－x )； ②cos 2x ＝sin(π2－2x )＝sin[2(π4－x )] ＝2sin(π4－x )cos(π4－x )．2．(1)已知sin (x ＋π6)＝m ，则cos (2x －2π3)＝( ) A ．1－2m 2 B ．2m 2－1 C ．mD ．2m －1(2)已知tan (α－π3)＝33，则tan 2α＝( ) A ．－4 3 B ．－32 C ．4 3D ．32解析：(1)B cos (2x －2π3)＝cos [2(x ＋π6)－π]＝－cos 2(x ＋π6)＝2sin 2(x ＋π6)－1 ＝2m 2－1.(2)A 已知tan (α－π3)＝tan α－tan π31＋tan αtan π3＝33，解得tan α＝－32，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－4 3.题型三 化简与证明问题(1)化简：11－tan θ－11＋tan θ；(2)求证：3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ．[解] (1)原式＝（1＋tan θ）－（1－tan θ）（1－tan θ）（1＋tan θ）＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ.(2)证明：因为左边＝3－4cos 2A ＋2cos 22A －13＋4cos 2A ＋2cos 22A －1＝(1－cos 2A 1＋cos 2A )2＝(2sin 2A 2cos 2A )2＝(tan 2A )2 ＝tan 4A ＝右边， 所以3－4cos 2A ＋cos 4A3＋4cos 2A ＋cos 4A＝tan 4A ．1．化简问题的解题策略(1)着手点：从“幂”的差异、“名”的差异、“角”的差异这三个方面，结合所给“形”的特征入手解决．(2)化简方法：①弦切互化，异名化同名，异角化同角；②降幂或升幂；③一个重要结论：(sin θ±cos θ)2＝1±sin 2θ.2．证明三角恒等式的方法(1)从复杂的一边入手，证明一边等于另一边； (2)比较法，左边－右边＝0，左边右边＝1；(3)分析法，从要证明的等式出发，一步步寻找等式成立的条件．3．(1)设α∈(2π，3π)，2＋2＋2cos α的化简结果为________． 解析：∵α∈(2π，3π)，∴π＜α2＜3π2，π2＜α4＜3π4， ∴cos α2＜0，sin α4＞0， ∴ 2＋2＋2cos α＝ 2＋2（1＋cos α） ＝ 2＋2×2cos 2α2＝2（1－cos α2）＝2×2sin 2α4＝2sin α4.答案：2sin α4(2)求证：cos 2(A ＋B )－sin 2(A －B )＝cos 2A cos 2B ．证明：左边＝1＋cos （2A ＋2B ）2－1－cos （2A －2B ）2＝cos （2A ＋2B ）＋cos （2A －2B ）2＝12(cos 2A cos 2B －sin 2A sin 2B ＋cos 2A ·cos 2B ＋sin 2A sin 2B )＝cos 2A cos 2B ＝右边，∴原等式成立．1.知识网络2．特别提醒(1)二倍角的余弦公式的三种形式容易混淆，尤其是后两种．若对后两种形式不确定，可以记住第一种，再结合同角三角函数的平方关系推导出后两种．(2)一般情况下，sin 2α≠2sin α，cos 2α≠2cos α，tan 2α≠2tan α.课时规范训练 A 基础巩固练1.sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°＝( )A ．－12 B ．12 C ．32D ．－32解析：B 原式＝cos 20°sin 20°cos 310°＝12sin 40°cos 50°＝12×sin 40°sin 40°＝12.2．已知sin(π4－x )＝35，则cos(π2－2x )的值为( ) A ．1925 B ．1625 C ．1425D ．725解析：D 因为sin(π4－x )＝35， 所以cos(π2－2x )＝cos[2(π4－x )] ＝1－2sin 2(π4－x )＝725.3．已知α∈(0，π)，且3cos 2α－8cos α＝5，则sin α＝( ) A ．53 B ．23 C ．13D ．59解析：A 因为3cos 2α－8cos α＝5，所以3(2cos 2α－1)－8cos α＝5，所以6cos 2α－8cos α－8＝0，所以3cos 2α－4cos α－4＝0，解得cos α＝2(舍去)或cos α＝－23，因为α∈(0，π)，所以sin α＝1－cos 2α＝53.故选A ．4．设－3π<α<－5π2，化简1－cos （α－π）2的结果是( )A ．sin α2 B ．cos α2 C ．－cos α2D ．－sin α2解析：C 因为－3π<α<－5π2，－3π2<α2<－5π4，所以1－cos （α－π）2＝1＋cos α2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2. 5．(多选题)下列式子的值为－32的是( ) A ．2sin 15°cos 15° B ．sin 215°－cos 215° C ．2sin 215°－1D ．1－2cos 215°解析：BCD 2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝12，A 不正确，B 、C 、D 项所得值都是－cos 30°＝－32.6．(多选题)函数y ＝2cos 2(x －π4)－1( )A．最小正周期为πB．最小正周期为π2C．是奇函数D．是偶函数解析：AC y＝2cos2(x－π4)－1＝cos 2(x－π4)＝cos(2x－π2)＝sin 2x，故T＝π，且为奇函数．故选AC．7.4tanπ81－tan2π8＝________．解析：原式＝2×2tanπ81－tan2π8＝2tan(2×π8)＝2tan π4＝2.答案：28.1－2sin 20°cos 20°2cos210°－1－cos2160°－1＝________．解析：1－2sin 20°cos 20°2cos210°－1－cos2160°－1＝（cos 20°－sin 20°）2 cos 20°－sin 20°＝cos 20°－sin 20°cos 20°－sin 20°＝1.答案：19．已知α为第二象限角，且sin α＝154，求sin（α＋π4）sin 2α＋cos 2α＋1的值．解：原式＝22（sin α＋cos α）2sin αcos α＋2cos2α＝2（sin α＋cos α）4cos α（sin α＋cos α）. 因为α为第二象限角，且sin α＝154， 所以sin α＋cos α≠0，cos α＝－14. 所以原式＝24cos α＝－ 2.B 能力进阶练10．函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是( ) A ．32 B ．1 C ．1＋32D ．1＋ 3解析：A f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝12＋sin(2x －π6)．∵π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤5π6， ∴f (x )max ＝12＋1＝32.11．(多选题)已知函数f (x )＝cos 2x －1sin 2x ，则下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 B ．函数f (x )的图象关于点(π2，0)对称 C ．函数f (x )是奇函数 D ．函数f (x )的最小正周期为π解析：BCD 因为f (x )＝cos 2x －1sin 2x ＝－2sin 2x 2sin x cos x ＝－tan x (x ≠k π2(k ∈Z ))， 所以函数f (x )是周期为π的奇函数，图象关于点(π2，0)对称，故选BCD ．12．若α∈(0，π)，cos α，sin α是一元二次方程x2＋13x－49＝0的两个实根，则cos 2α等于()A．179B．±179C．－179D．173解析：A∵cos α，sin α是一元二次方程x2＋13x－49＝0的两个实根，∴cos α＋sin α＝－1 3，cos α·sin α＝－4 9.又α∈(0，π)，cos α·sin α＝－49<0，∴sin α>0，cos α<0，∴cos α－sin α<0，∴cos α－sin α＝－（cos α－sin α）2＝－（cos α＋sin α）2－4cos α·sin α＝－（－13）2－4×（－49）＝－173，∴cos 2α＝cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(－13)×(－173)＝179.13．已知sin θ2＋cosθ2＝233，那么sinθ＝________，cos 2θ＝________．解析：因为sin θ2＋cosθ2＝233，所以(sin θ2＋cosθ2)2＝43，即1＋2sin θ2cosθ2＝43，所以sin θ＝1 3，所以cos 2θ＝1－2sin 2θ＝1－2×(13)2＝79. 答案：13 7914．已知sin x 2－2cos x 2＝0.(1)求tan x 的值；(2)求cos 2xcos （5π4＋x ）sin （π＋x ）的值． 解：(1)由sin x 2－2cos x 2＝0，知cos x 2≠0，所以tan x 2＝2，所以tan x ＝2tan x 21－tan 2x 2＝2×21－22＝－43. (2)由(1)知tan x ＝－43，所以cos 2x cos （5π4＋x ）sin （π＋x ）＝cos 2x －cos （π4＋x ）（－sin x ）＝cos 2x －sin 2x （22cos x －22sin x ）sin x＝（cos x －sin x ）（cos x ＋sin x ）22（cos x －sin x ）sin x＝2·cos x ＋sin x sin x＝2·1＋tan x tan x＝24.C探索创新练15．数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛，0.618就是黄金分割比m＝5－12的近似值，黄金分割比还可以表示成2sin 18°，则m4－m22cos227°－1等于()A．4 B．5＋1 C．2 D．5－1解析：C由题意可知2sin 18°＝m＝5－1 2，所以m2＝4sin218°，则m4－m22cos227°－1＝2sin 18°4－4sin218°2cos227°－1＝2sin 18°·2cos 18°cos 54°＝2sin 36°cos 54°＝2.。
二倍角公式大全及推导过程
二倍角公式大全及推导过程二倍角公式是通过角α的三角函数值的一些变换关系来表示其二倍角2α的三角函数值，接下来分享二倍角公式大全及推导过程。
Sin2a=2Sina*Cosa；Cos2a=Cosa^2-Sina^2=1-2Sina^2=2Cosa^2-1；tan2a=(2tana)/(1-tana^2)。
二倍角公式大全及推导过程三角函数的二倍角公式Sin2a=2Sina*CosaCos2a=Cosa^2-Sina^2=1-2Sina^2=2Cosa^2-1tan2a=(2tana)/(1-tana^2)二倍角公式推导过程①正弦二倍角公式：sin2α=2cosαsinα推导：sin2a=sin(a+a)=sinacosa+cosasina=2sinacosa拓展公式：sin2a=2sinacosa=2tanacosa^2=2tana/[1+tana^2] 1+sin2a=(sina+cosa)^2②余弦二倍角公式：余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价：1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2]2.Cos2a=1-2Sina^23.Cos2a=2Cosa^2-1推导：cos2a=cos(a+a)=cosacosa-sinasina=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2。
③正切二倍角公式：tan2α=2tanα/[1-(tanα)^2]推导：tan2a=tan(a+a)=(tana+tana)/(1-tanatana)=2tana/[1-(tana)^2]。
三角函数的半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/((1+cosα))二倍角公式推导过程在二角和的公式中令两个角相等（B=A），就得到二倍角公式。
二倍角的正弦余弦正切公式
二倍角的正弦余弦正切公式二倍角的正弦、余弦和正切公式是通过将角度加倍而获得的三角函数公式。
具体而言，对于角度θ，其二倍角的正弦、余弦和正切可以分别表示为sin(2θ)、cos(2θ)和tan(2θ)。
在本文中，我们将详细介绍二倍角的正弦、余弦和正切公式。
一、二倍角的正弦公式二倍角的正弦公式可以通过三角函数的和差公式来推导。
首先，我们知道sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B。
将A和B都设置为θ，我们有sin(θ + θ) = sin θ cos θ + cos θ sin θ，即sin(2θ)= 2 sin θ cos θ。
根据双角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，我们可以用cos^2θ替换上述公式中的1 - sin^2θ，得到sin(2θ) = 2 sin θ √(1 -sin^2θ)。
二、二倍角的余弦公式二倍角的余弦公式也可以通过三角函数的和差公式进行推导。
同样地，我们有cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B。
将A和B都设置为θ，我们有cos(θ + θ) = cos θ cos θ - sin θ sin θ，即cos(2θ) = cos^2θ - sin^2θ。
根据双角恒等式sin^2θ + cos^2θ = 1，我们还可以用1 -cos^2θ替换上述公式中的sin^2θ，得到cos(2θ) = cos^2θ - (1 - cos^2θ) = 2cos^2θ - 1三、二倍角的正切公式二倍角的正切公式是由正弦和余弦的二倍角公式得出的。
我们知道tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)，因此tan(2θ) = sin(2θ) / cos(2θ)。
将上述推导出的sin(2θ)和cos(2θ)代入该公式中，我们可以得到tan(2θ) = 2 sin θ cos θ / (2cos^2θ - 1)。
需要注意的是，当2θ为90度的倍数时，由于cos(90°) = 0，上述公式的分母将为0，因此tan(2θ)将不存在。
正弦、余弦、正切的二倍角公式
的二倍角; 2
公式巩固训练
（1）sin = 2sin(
（2）cos 6 = cos2(
)cos( ); 1
)-si3n2(
2
) 3
= 2cos2( )-1 3
= 1-2sin2( ); 3
(3) sin( )
2 sin
c os
.
4
8
8
二倍角公式(正用)
sin2α 2sinαcosα
cos2α cos2α sin2α
24 24 12
12 12
62
练习2 化简：
1 (sin 5 cos 5 )(sin 5 cos 5 )
12
12
12
12
原式＝sin 2 5 cos2 5 cos 5 3
2 cos4 sin 4 12
12
62
22Βιβλιοθήκη 原式＝ ( cos 2sin
2
)(cos 2
sin 2
tan2α
2tanα 1 tan2α
根据公式口答下列各题：
(1)2sin15 cos15
(2)cos2π sin2π
6
6
(3)
1
2tan30 tan230
11
22 3
二倍角公式(逆用)
1、sin150 cos150
2、sin 2 cos2
8
8
3、 1
tan 22.5 tan2 22.5
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
问题一
利用 sin(+) cos(+)
tan( )
推出 sin2 cos2 tan2的公式吗？
二倍角的正弦余弦正切课件
利用直角三角形中的边角关系，证明二倍角正切公式的正确 性。
二倍角正切公式的应用
解决二倍角问题的求解，例如求解三角形中的角度问题。 在三角函数的应用中，利用二倍角正切公式进行信号处理、振动分析等应用。
举例说明二倍角正切公式的应用
以求解三角形角度为例，说明如何使用二倍角正切公式进 行求解。
通过具体例子，展示二倍角正切公式在三角函数应用中的 重要性。
05
特殊角的二倍角公式及应 用
特殊角的二倍角公式推导
推导方法一
利用三角函数的基本恒等式进 行推导。
推导方法二
利用三角函数的和差恒等式进 行推导。
推导方法三
利用三角函数的倍角公式进行 推导。
特殊角的二倍角公式应用
应用一
求解一个具体角度的正弦、余弦、正切值。
应用二
用于三角函数的化简和求值。
应用三
用于证明一些三角恒等式。
解三角形问题的应用示例
已知三角形面积为1/2，一边边长为1，求另一边边长的 问题中，可以使用二倍角正弦公式求出该边的正弦值， 进而求出该边的长度
利用二倍角正弦公式将正弦函数的图像进行二倍角变换 ，得到周期为原来一半的图像
已知三角形的一个角为30度，其对边边长为1，求另两 边边长的问题中，可以使用二倍角正弦公式求出另一角 的正弦值，进而求出另一边边长
二倍角的正弦余弦正切课件
2023-11-06
目录
• 二倍角公式概述 • 二倍角正弦公式及应用 • 二倍角余弦公式及应用 • 二倍角正切公式及应用 • 特殊角的二倍角公式及应用 • 二倍角公式总结及记忆方法建议Leabharlann 01二倍角公式概述
二倍角公式的定义
二倍角公式是三角函数中非常重要的公式之 一，它描述了角经过二倍伸缩后，其正弦、 余弦和正切值与原来角的关系。具体地，对 于任意角α，二倍角公式可以表示为： sin2α=2sinαcosα，cos2α=cos²α-sin²α ，tan2α=(2tanα)/(1-tan²α)。
二倍角的正弦余弦正切公式推导
二倍角的正弦余弦正切公式推导
二倍角的正弦余弦正切公式推导
二倍角的正弦余弦正切公式的推导是解决一些角的正弦余弦正切函数的数学问题的有用工具。
基本正弦余弦正切公式的基本原理，就是一个角（θ）的正弦余弦正切函数的值就是这个角的正余切值。
但是，有时我们需要解决一些复杂的角度问题，而不是解决单一角度。
因此，我们借助于有关角度关系原理，来推导二倍角的正弦余弦正切公式。
假定某一角θ，那么它的倍角2θ的正弦值就等于某一角正弦值的平方；同理，它的倍角2θ的余弦值就等于某一角余弦值的平方；SQL倍角2θ的正切值就等于某一角余弦值和正弦值之和的平方根。
根据以上原理，可以推出二倍角之正弦余弦正切：
二倍角之正弦θ：sin2θ = sinθ*sinθ；
二倍角之余弦θ：cos2θ = cosθ*cosθ；
二倍角之正切θ：tan2θ = (sinθ*sinθ + cosθ*cosθ)^1/2；
以上就是二倍角的正弦余弦正切公式的推导。
通过这些公式，可以计算任意角度的正弦余弦正切的准确并较为简便的方法。
它们为计算机程序提供了参考，为工程技术提供了方便。
另外，二倍角的正弦余弦正切公式也可以被应用到三角函数概念中，提供给学生和数学爱好者一种新的思维，有益于更深入地理解三角函数的数学原理。
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（１）ｓｉｎ２θ＝ＯＣＣＤ
＝２２××ＡＡＣＯＣＣＤＣ
＝
２ｓｉｎθ ＡＢ ＡＣ
＝
２ｓｉｎθ １
ｃｏｓθ
ห้องสมุดไป่ตู้
＝２ｓｉｎθｃｏｓθ．
（２）ｃｏｓ２θ＝ＯＯＣＤ＝ＡＤＯ－ＣＡＯ＝ＯＡＣＤ－１
ＡＤ
＝
ＡＣ ＯＣ
－１＝
ｃｏｓθ ＡＢ
－１＝
ｃｏｓθ １
－１＝２ｃｏｓ２θ－１．
ＡＣ
２ＡＣ
２ｃｏｓθ
（３）∵ ＣＤ２ ＝ＡＤ·ＤＢ，
∴ ｔａｎ２θ＝ＯＣＤＤ ＝ＡＯ＋ＯＤ２－ＣＤ（ＡＯ－ＯＤ）＝
２ＣＤ ＡＤ－ＢＤ
＝
２ＣＤ·ＡＤ ＡＤ２－ＢＤ·ＡＤ
＝
２ＣＤ·ＡＤ ＡＤ２－ＣＤ２
＝
２×ＡＣＤＤ １－ＣＡＤＤ２２
＝１２－ｔｔａａｎｎθ２θ．
（责 审 梁 宇 学 ）
檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪檪
（２ｋ＋２）ｘ＋ｋ２－１，则
Δ＞０
且
ｇ（－
１ ２
）≥０
且
ｋ
＋１＞－１２，解得ｋ＞－１．又 槡２ｘ＋１＝ｘ－ｋ≥０
在［－
１２ ，＋
∞ ）上
恒
成
立 ，故
ｋ≤
－
１ ２
．综
上
所
述 ，－１＜ｋ≤ － １２ ．
解法２ 由解 法 １ 知：
像得截距－ｋ＜１，即ｋ＞ －１．综上所述，－１＜ｋ
≤ － １２ ．
课外练习
有两个不 同 的 交 点．如 图 对 于 直 线 ｍ，应 有 截
距ｋ≤－１２．另直线ｎ 与曲线相切，故由判别式
２．设ｆ（ｘ）＝ 槡ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａ＜０）的 定 义
域为 Ｄ，若所有 的 点 （ｓ，ｆ（ｔ））（ｓ，ｔ∈Ｄ）构 成 一
个正方形区域，则实数ａ 的值为（ ）．
（Ａ）－２
（Ｂ）－４
（Ｃ）－８
间 ”的 函 数 有 （ ）．
（Ａ）（１），（２） （Ｂ）（２），（３）
（Ｃ）（３），（４）
（Ｄ）（２），（４）
已 知 问 题 等 价 于 槡２ｘ＋１
＝ｘ－ｋ
在
［－
１ ２
，＋
∞
）上
有 两 个 不 等 实 根 ，即 为 ｙ＝
槡２ｘ＋１和ｙ＝ｘ－ｋ 的 图 像 在 ［－ ２１，＋ ∞ ）上
（上 接 第 ４８ 页 ）
或导数求 得 直 线ｎ 的 方 程 为ｙ＝ｘ＋１，结 合 图
故ｆ（ａ）＝ａ 且ｆ（ｂ）＝ｂ，即 ｆ（ｘ）＝ｘ 在
［－１２，＋∞）上 有 两 个 不 等 实 根，即 槡２ｘ＋１＝
ｘ－ｋ
在
［－
１ ２
，＋
∞
）上
有
两
个
不
等
实
根
．化
简
得ｘ２－（２ｋ＋２）ｘ＋ｋ２ －１＝０，令 ｇ（ｘ）＝ｘ２ －
（Ｄ）不 能 确 定
参 考 答 案 １．（Ｄ）；２．（Ｂ）．
（责 审 梁 宇 学 ）
中 学 生 习 作
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中 学 生 数 学 ·２０１４ 年 ３ 月 上 · 第 ４８５ 期 （高 中 ）
江 苏 省 连 云 港 市 锦 屏 高 级 中 学 （２２２０２１）高 二 （８） 黄 苍 胤 指导教师 殷长征
如 图：△ＡＢＣ 是 圆 Ｏ
的 内 接 三 角 形，连 结 ＯＣ，
ＣＤ ⊥ＡＢ，设 ∠Ａ ＝θ，则
∠ＢＯＣ＝２θ．
１．对于函数ｆ（ｘ），若 存 在 区 间 Ｍ ＝ ［ａ，ｂ］
（ａ＜ｂ），使得｛ｙ｜ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ∈Ｍ｝＝Ｍ，则 称 区
间 Ｍ 为函数ｆ（ｘ）的 一 个 “稳 定 区 间”．现 有 四
个 函 数 ：（１）ｆ（ｘ）＝ｅｘ ；（２）ｆ（ｘ）＝ｘ２ ；（３）ｆ（ｘ）
＝ｓｉｎπ２ｘ；（４）ｆ（ｘ）＝ｌｎｘ．则 其 中 存 在 “稳 定 区