人教版四边形总复习

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人教版八年级下册第十八章：四边形全章复习(特色班)

四边形全章复习【课题】：四边形全章复习【教学目标】：1．通过复习使学生进一步理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，了解它们之间的关系。

2．进一步运用平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的性质和判定进行简单的证明和计算；3．进一步提高学生的逻辑推理能力和逻辑表达能力，使学生掌握几何证明中的分析、综合、转化、分类等数学思想；进一步渗透数学的形式美和内涵美、抽象美和逻辑美，提高学生数学美的鉴赏能力。

【教学重点】：平行四边形的概念、性质和判定及与其它图形之间的联系。

【教学难点】：思维能力、推理能力的的提高。

【教学突破点】：用框架图使本章知识条理化、系统化.【教法、学法设计】： 1.教法：引导复习法，指导归纳总结法，综合练习法。

2.学法：主动归纳总结复习法，反思学习法，主动练习法。

【课前准备】：课件【教学过程设计】：课后练习：1．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边形共有（）A ．2对；B ．3对；C ．4对；D ．5对．2．已知△ABC 中，AB ＝8，AC ＝6，AD 是中线，则AD 的取值范围是（） A ．68AD << B ．17AD << C ．34AD << D ．214AD <<3．等腰梯形各边中点的连线组成的四边形为（） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形4．已知菱形的周长为，面积为16，则这个菱形较短的对角线长为（） A ．4B ．8C ．D ．105．如图，面积为16的平行边形ABCD 的两条对角线AC 、BD 交于点O ，EF 经过点O ，且与AB 、CD 分别交于点E 、点F ，则图中阴影部分的面积为___________B6．如图，已知图中每个小正方形方格的边长为1，则点C 到AB 所在直线的距离等于_______7．如图，点P 是边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 上一动点，M 、N 分别为AB 、BC 的中点，则MP ＋NP 的最小值为____________8．如图，在梯形纸片ABCD 中，AD ∥BC ，AD > CD ，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C ′处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C ’E （1）求证：四边形CDC ’E 是菱形；（2）若BC = CD + AD ，试判断四边形ABED 的形状，并加以证明.C'EDCBA答案：1．D 2．B 3．B 4．A 5．4 6．2 8．（1）证明：根据题意，可知：CD = C ’D ，∠C ’DE =∠CDE ，CE = C ’E ， ∵ AD ∥BC ， ∴ ∠C ’DE =∠CED. ∴ ∠CDE =∠CED. ∴ CD = CE. ∴ CD = C ’D = C ’E = CE. ∴ 四边形CDC ’E 为菱形.（2）答：当BC = CD + AD 时，四边形ABED 是平行四边形. 证明：由（1）知CE = CD. ∵ BC = CD + AD ， ∴ AD = BE. 又∵ AD ∥BE ， ∴ 四边形ABED 为平行四边形.A BCDPM N26．（1）①S 阴影=()224ab π-②连结PP ′，证△PBP ′为等腰直角三角形，从而PC=6;（2）将△PAB 绕点B 顺时针旋转90°到△P ′CB 的位置，由勾股逆定理证出∠P ′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P 在对角线AC 上.。

人教初中数学八下 18 平行四边形总复习课件【经典初中数学课件汇编】

b3
h
2
5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
被开方数
二次根号
a 读作“根号 ”
形如 a ( a 0 ) 的式子叫做二次根式 .
1.表示a的算术平方, a ≥0 ( 双重非负性) 5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
(5) (1 2)2 ( 21)2
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1 ( -1<x<3 )
思考：若m(m m 24)82 m 416m4, 则m的取值范围是 _________
1.若 (1x)2 1x ,则x的取值范围为 A
((A) x)≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数
2
7 _____;
1 22_____.
一般地,二次根式有下面的性质:
2
a aa0
面积 a a
a
2
2
1
32______,2
2 7
______,3
213
________,
4
52________,5
232________.
? 一般地,二次根式有下面的性质:
性质1: a 2a (a0) 1149a765
例题讲解
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) x 5 (2) 1 x2 (3) 1 x 3 x
例2 当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。 x5
练习、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x1
(2) 3x
(3)4x2 1
(4)x1
(5) x3

人教版三年级上册数学第七单元复习四边形课件

两副同样的三角尺，分别拼成一个长方形和一个正方形。
①
②
③
④
用两副同样的三角尺，分别拼成一个长方形和一个正方形。
两两副副两可同三副能样角同拼的尺样成三一的一角定三个尺能角正一拼尺方定成可形能一能。拼个拼成长成一方一个形个长。长方方形形。，也
周长
封闭图形一周的长度，是它的周长。
思考2：要算正方形的边长知道些什么条件？你能算吗？
探究1.用16厘米的铁丝围成一个长是5 厘米的长方形，问宽是多少厘米？
5厘米
16-5-5=6（厘米） 6÷2=3（厘米）
5厘米
探究1.用16厘米的铁丝围成一个宽是3 厘米的长方形，问长是多少厘米？
16-3-3=10（厘米）
3厘米
3厘米
10÷2=5（厘米）
正方方形形5的+的5周+边5长+长5==边是2长多0（+少边厘。长米+）边长+边长
5正×方4形= 的20周（长厘=米边）长×4
长+长+宽+宽
长+宽+长+宽
长×2+宽×2
（长+宽）×2
你认为哪一种计算方法更简便？
思考1：算长方形的长，要知道些什么条件？你能算吗？算长方形的宽，要知道些什么条件？你能算吗？
我们用到了哪些工具可以得到周长？软尺绳子化曲为直直尺、三角尺
组合图形的周长
沿着这个组合图形边缘一周的长度。
下面每组图形的周长一样吗？你是怎样想的？
一样
平移不一样
.下图的长方形纸片被分成了两个部分，哪个部分的周长长？
一样长
6 厘长米
4 厘宽米
长思方考形：和正要方算形长的方周形长的周长必须6 厘要米知道4 厘些米什么6 厘条米件？4 厘米

九年级数学第九章四边形人教版知识精讲

九年级数学第九章四边形人教版【同步教育信息】一. 本周教学内容：第九章四边形［复习目标］1. 掌握多边形的有关概念，多边形的内角和、外角和定理；2. 掌握四边形的内角和、外角和性质并会应用；3. 掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念，及它们的判定定理，性质定理及它们之间的区别与联系；4. 掌握梯形、等腰梯形、直角梯形的概念，及它们的判定定理，性质定理及应用。

5. 掌握平行线等分线段定理及三角形、梯形中位线定理。

6. 掌握中心对称和中心对称图形概念，并会作中心对称图形。

［知识回顾］（一）知识归纳：四边形—平行四边形—矩形菱形—正方形—中心对称梯形—等腰梯形直角梯形—平行线等分线段—中位线⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎩⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪（二）几种特殊四边形的判定：1. 平行四边形：（1）两组对边分别平行；（2）两组对边分别相等；（3）一组对边平行且相等；（4）对角线互相平分；（5）两组对角分别相等。

2. 矩形：（1）有一个角是直角的平行四边形；（2）对角线相等的平行四边形；（3）有三个角是直角的四边形。

3. 菱形：（1）四条边都相等的四边形；（2）一组邻边相等的平行四边形；（3）对角线互相垂直的平行四边形。

4. 正方形：（1）一组邻边相等，一个角是直角的平行四边形；（2）对角线互相垂直且相等的平行四边形。

5. 等腰梯形：（1）两腰相等的梯形；（2）在同一底上的两个角相等的梯形。

（四）与四边形有关的其它重要定理：（1）多边形内角和：（n －2）×180° 外角和：360°()四边形内角和：°，有条对角线。

360n n -32（2）平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等。

推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰。

推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。

（3）三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

人教版中考数学考点系统复习第五章四边形微专题(四) 矩形的折叠问题

EA′＝EA
拓展折法：如图⑤，当点B′恰好落在CD边上时，设A′B′交AD
于点P.
图⑤：过点E作 EG⊥BC，则
△EFG∽△BB′C △A′EP∽△DB′P △CFB′∽△DB′P △BB′F为等腰三角形
4．★如图，将边长为9的正方形纸片ABCD沿MN折叠，使点A落在BC边上的点A′处，点D的对应点为点D′.若A′B＝3，则DM＝2 2 .
4 B.3
3 C.2 D.53
类型三：折痕过两边
基本折法
结论
如图④，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，图④：△ABE≌△A′B
BC上，沿EF将四边形ABFE折叠得到四边形A′B
′E
′FE，点B′恰好落在AD边上．
四边形BFB′E是菱形
△B′EF为等腰三角形
∠B′FE＝∠BFE
FB′＝FB，
基本折法
结论图②：△DBC∽△PDE △BDA∽△PDE △BPE≌△BPA
基本折法
结论
图③：△GCB∽△GEF △GEF∽△PDF △BPE≌△BPA
3．★(2021·遂宁)如图，在矩形ABCD中ห้องสมุดไป่ตู้AB＝5，AD＝3，点E为BC上一
点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的点F处，则CE的长（ D ） A．1
微专题(四) 矩形的折叠问题
类型一：折痕过对角线基本折法
如图，点P是矩形ABCD边AD上一点，当点P与点D重合时，将△ABP沿BP折
叠得到△EBP，BE交CD于点H.
结论
△BPE≌△BPA； △BCH≌△DEH； △DEH是直角三角形； △BHD是等腰三角形
1．如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在点E处，AE交DC于点O，若AO＝5 cm，则AC的长为4 5 cm，S△COE＝ 66 cm2.

人教版小学数学几何知识点精讲：平行四边形

专题二平面图形类型三平行四边形【知识讲解】1.定义两组对边分别平行且相等，两组对角分别相等，用端点大写字母按顺或逆时针顺序表示，如：平行四边形ABCD（如图1）2.基本公式:平行四边形的周长=2X（长+宽）平行四边形的面积=底乂高3.底和高注意:诈言时委帛三角除上的直角.底土的小方桓表示宜肓.戏;门遷常九它小股凳.只要是宜角既一走要录小枣巽=C2）底利言是一一就应於！艺帚的小視巽畝在邱条边上，它裁是这条边为底时的对应盒；〔幻国d丰.医是DC边的藝应壽，宪对不能说挂是担过並意）【典例精讲】（如图）请回忆老师引导你推导平行四边形面积公式的情境，给（1）、（2）填空；（3）计算。

1A（1）以将平行四边形转化为长方形来推导平行四边形的面积公式，把平行四边形转化成长方形采用的方法是：（2）观察转化前的平行四边形与转化后的长方形，你发现了什么？（请写在下面的横线上，至少写三条）（3）计算上面平行四边形的面积。

（先动手在图中量出计算时需要的数据，再算出它的面积）【答案】（1）剪拼法；（2）长方形的长就是平行四边形的底、长方形的高就是平行四边形的高、长方形的面积等于平行四边形的面积.（3）平行四边形的底是2厘米，高是1厘米，平行四边形的面积=2x1=2（平方厘米）。

答：平行四边形的面积是2平方厘米。

【解析】（1）从左边沿平行四边形的高剪下一个直角三角形，拼到平行四边形的右侧，就形成了一个长方形，从而利用剪拼法就可以推导出平行四边形的面积计算公式。

（2）观察转化前的平行四边形与转化后的长方形，发现：长方形的长等于平行四边形的底、长方形的高等于平行四边形的高、长方形的面积等于平行四边形的面积；（3）分别量出平行四边形的底和高，就可以计算其面积。

【巩固练习】一、选择题。

1.在一个平行四边形里，其中两条边的长度分别是8厘米和5厘米.这个平行四边形的周长是（）。

2.—个平行四边形的一组邻边分别长8厘米和12厘米，平行四边形的一条高A.13厘米B.40厘米C.26厘米是10厘米，这个平行四边形的面积是（）。

人教版新课标八年级数学下册《四边形全章复习》课件

O
C
矩
形
D O
定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。性质：矩形具有平行四边形的一切性质。 A 1。矩形的四个角都是直角。 2。矩形的对角线相等。（互相平分） 3。轴对称、中心对称 B
判定：定义判定法：有一个角是直角的平行四边形是矩形 1、对角线相等的平行四边形是矩形。 2、有三个角是直角的四边形是矩形。知识联系：1。等腰三角形 2。直角三角形
角
对角相等四个角都是直角
对角线
两条对角线互相平分两条对角线互相平分且相等
对称性
中心对称轴对称中心对称
菱形对边平行，四
条边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，轴对称每条对角线平分一组对角中心对称
两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角两条对角线相等
正方形
对边平行，四条边都相等
A
D
O B C
知识联系：等腰直角三角形
等腰梯形
A
O
B
性质：
1）两底并行，两腰相等。
D 2）同一底上的两个角相等。
C
3）两条对角线相等。 4）轴对称。判定方法： 1）是梯形，并且同一底上的两个角相等。 2）是梯形，并且两条对角线相等。
二、几种特殊四边形的性质边
平行四边形矩形
对边平行且相等对边平行且相等
3.菱形的对角线互相垂直平分；（
4.有一个角是直角且邻边相等的平行四边形是正方形；（ 5.一组对边平行的四边形是梯形；（）
6.有两个角相等的梯形是等腰梯形；（
）
）
7.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（ 8.对角线相等的四边形是矩形；（）

新人教版四年级数学上册《总复习平行四边形和梯形复习课》教案表格式教案集体备课教案

备教师
执教教师
单元章节
第五单元
课题
平行四边形和梯形复习课
教
学
目
标
知识与技能
通过观察、操作等活动，使学生理解平行与垂直。
过程与方法
使学生经历动手操作和自主探究的过程。
情感态度与价值观
通过分类比较、归纳等多种方式，理解平行四边形、梯形、正方形、长方形之间的关系。
重点难点
重点
理解平行于垂直的关系。
12.梯形的底、高和腰：从梯形上底上的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高，梯形有无数条高。但是从底的一个顶点向另一个底只能画一条高。
梯形的底是固定的两条边——上底和下底（互相平行的一组对边分别叫做梯形的上底和下底）；不平行的一组对边叫做梯形的腰。
特殊的梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。等腰梯形不可能是直角梯形，直角梯形也不可能是等腰梯形。
难点
理解平行四边、梯形等之间的关系。
教法与学法
教师
归纳总结、讲解法
学生
小组合作、独立练习
教学准备
教师
学生
教学活动组织流程
修订与补充
一、回顾整理
1.同一平面内两条直线的位置关系：相交和不相交两种。
2.平行：在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
3.垂直：如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
12.集合图：用集合图来表示四边形之间的关系
四边形包括平行四边形和梯形。长方形和正方形是特殊的平行四边形。因为它们具有平行四边形的特征。正方形又是特殊的长方形。
14.四边形内角和：四边形的内角和都是360°。

人教版三年级数学上册教案总复习《平行四边形和菱形》

人教版三年级数学上册教案总复习《平行四边形和菱形》引言本教案总复主要讲解了人教版三年级数学上册中关于平行四边形和菱形的内容。

通过本节课的研究，学生将掌握平行四边形和菱形的定义、性质以及相关的应用。

教学目标通过本节课的研究，学生将能够：- 理解平行四边形的定义；- 辨别并描述平行四边形的特征；- 理解菱形的定义、性质和判定方法；- 运用所学知识解决与平行四边形和菱形相关的问题。

教学内容1. 平行四边形- 平行四边形的定义：具有两对对边平行的四边形；- 平行四边形的特征：- 对边平行；- 对角线互相平分；- 相邻角互补；- 平行四边形的判定方法：- 两组对边相等；- 其他特征（如相邻角、对角线）满足。

2. 菱形- 菱形的定义：具有四条边相等的四边形；- 菱形的特征：- 所有边相等；- 对角线互相垂直；- 对角线互相平分；- 菱形的判定方法：- 全部边相等；- 对角线互相垂直。

教学步骤1. 复：通过回顾前几节课的内容，引导学生复平行四边形和菱形的定义。

2. 讲解：教师对平行四边形和菱形的特征及判定方法进行讲解和示范。

3. 练：学生进行练，比较判断给定的图形是否为平行四边形或菱形。

4. 课堂讨论：教师带领学生讨论平行四边形和菱形的性质及应用。

5. 拓展：教师提供一些拓展题目，要求学生运用所学知识解决问题。

6. 小结：教师对本节课的重点内容进行小结，并与学生共同总结研究成果。

教学评价教师通过观察学生的研究情况、参与度和练的正确率等，对学生的掌握程度进行评价。

扩展活动- 让学生自己设计一个平行四边形或菱形的图形，并求解其面积和周长。

- 让学生在日常生活中寻找平行四边形和菱形的实际应用，并进行展示。

参考资料- 人教版三年级数学上册- 相关练习题集。

人教版初中数学中考总复习：特殊的四边形--知识讲解(基础)

第十九讲特殊的四边形【考纲要求】1. 会识别矩形、菱形、正方形以及梯形；2.掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质，会用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决问题．3.掌握梯形的概念以及了解等腰梯形、直角梯形的性质和判定，会用性质和判定解决实际问题．【知识网络】【考点梳理】考点一、几种特殊四边形性质、判定四边形性质判定边角对角线矩形对边平行且相等四个角是直角相等且互相平分1、有一个角是直角的平行四边形是矩形；2、有三个角是直角的四边形是矩形；3、对角线相等的平行四边形是矩形中心、轴对称图形菱形四条边相等对角相等，邻角互补垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角1、有一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、四条边都相等的四边形是菱形；3、对角线互相垂直的平行四边形是菱中心、轴对称图形.形正方形四条边相等四个角是直角相等、垂直、平分，并且每一条对角线平分一组对角1、邻边相等的矩形是正方形2、对角线垂直的矩形是正方形3、有一个角是直角的菱形是正方形4、对角线相等的菱形是正方形中心、轴对称图形等腰梯形两底平行，两腰相等同一底上的两个角相等相等1、两腰相等的梯形是等腰梯形；2、在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形；3、对角线相等的梯形是等腰梯形.轴对称图形【要点诠释】矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们具有平行四边形的一切性质.考点二、梯形1．解决梯形问题常用的方法：（1）“平移腰”：把梯形分成一个平行四边形和一个三角形（图1）；（2）“作高”：使两腰在两个直角三角形中（图2）；（3）“平移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中（图3）；（4）“延腰”：构造具有公共角的两个三角形（图4）；（5）“等积变形”，连结梯形上底一端点和另一腰中点，并延长与下底延长线交于一点，构成三角形（图5）．图1 图2 图3 图4 图5【要点诠释】解决梯形问题的基本思想和方法就是通过添加适当的辅助线，把梯形问题转化为已经熟悉的平行四边形和三角形问题来解决．在学习时注意它们的作用，掌握这些辅助线的使用对于学好梯形内容很有帮助．2.特殊的梯形1）等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．性质：（1）等腰梯形的同一底边上的两个角相等；等腰梯形的两条对角线相等．（2）同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形．（3）等腰梯形是轴对称图形，它的对称轴是经过两底中点的一条直线．2）直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．考点三、中点四边形相关问题1.中点四边形的概念：把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．2.若中点四边形为矩形，则原四边形满足条件对角线互相垂直；若中点四边形为菱形，则原四边形满足条件对角线相等；若中点四边形为正方形，则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等．【要点诠释】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【典型例题】类型一、特殊的平行四边形的应用1. 在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，过点O作直线EF、GH，分别交平行四边形的四条边于E、G、F、H四点，连结EG、GF、FH、HE.（1）如图①，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF⊥GH时，四边形EGFH的形状是；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC=BD，四边形EGFH的形状是；（4）如图④，在（3）的条件下，若AC⊥BD，试判断四边形EGFH的形状，并说明理由.【思路点拨】中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定．【答案与解析】（1）四边形EGFH是平行四边形；证明：∵平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∴点O是平行四边形ABCD的对称中心；∴EO=FO，GO=HO；∴四边形EGFH是平行四边形；（2）菱形；（提示：菱形的对角线垂直平分）（3）菱形；（提示：当AC=BD时，对四边形EGFH的形状不会产生影响，故结论同（2））（4）四边形EGFH是正方形；证明：∵AC=BD，∴平行四边形ABCD是矩形；又∵AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是正方形，∴∠BOC=90°，∠GBO=∠FCO=45°，OB=OC；∵EF⊥GH，∴∠GOF=90°；∴∠BOG=∠COF；∴△BOG≌△COF（ASA）；∴OG=OF，∴GH=EF；由（3）知四边形EGFH是菱形，又EF=GH，∴四边形EGFH是正方形．【总结升华】主要考查了平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定和性质以及全等三角形的判定和性质；熟练掌握各特殊四边形的联系和区别是解答此类题目的关键．2．动手操作：在一张长12cm、宽5cm的矩形纸片内，要折出一个菱形．小颖同学按照取两组对边中点的方法折出菱形EFGH（见方案一），小明同学沿矩形的对角线AC折出∠CAE=∠CAD，∠ACF=∠ACB 的方法得到菱形AECF（见方案二）．（1）你能说出小颖、小明所折出的菱形的理由吗？（2）请你通过计算，比较小颖和小明同学的折法中，哪种菱形面积较大？【思路点拨】（1）、要证所折图形是菱形，只需证四边相等即可．（2）、按照图形用面积公式计算S=30和S=35.21，可知方案二小明同学所折的菱形面积较大．【答案与解析】（1）小颖的理由：依次连接矩形各边的中点所得到的四边形是菱形，小明的理由：∵ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，则∠DAC=∠ACB ，又∵∠CAE=∠CAD ，∠ACF=∠ACB ， ∴∠CAE=∠CAD=∠ACF=∠ACB ， ∴AE=EC=CF=FA ， ∴四边形AECF 是菱形．（2）方案一：S 菱形=S 矩形-4S △AEH =12×5-4×12×6×52=30（cm ）2，方案二：设BE=x ，则CE=12-x ， ∴AE=22BE AB +=225x +由AECF 是菱形，则AE 2=CE 2∴x 2+25=（12-x ）2， ∴x=11924， S 菱形=S 矩形-2S △ABE =12×5-2×12×5×11924≈35.21（cm ）2，比较可知，方案二小明同学所折的菱形面积较大．【总结升华】本题考查了矩形的性质和菱形的判定，以及图形面积的计算与比较．举一反三：【变式】如图，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC=3，则折痕CE 的长为（）.A.B．C．4 D．5【答案】A.类型二、梯形的应用3.（•黄州区校级模拟）如图，△ABC中，∠BAC=90°，延长BA至D，使AD=AB，点E、F分别是边BC、AC的中点．（1）判断四边形DBEF的形状并证明；（2）过点A作AG∥BC交DF于G，求证：AG=DG．【思路点拨】（1）利用梯形的判定首先得出四边形DBEF为梯形，进而得出四边形HFEB是平行四边形，得出BE=FD进而得出答案；（2）利用四边形DBEF为等腰梯形，得出∠B=∠D，利用AG∥BG，∠B=∠DAG，得出答案．【答案与解析】（1）解：四边形DBEF为等腰梯形，理由如下：如图，过点F作FH∥BC，交AB于点H，∵FH∥BC，点F是AC的中点，点E是BC的中点，∴AH=BH=AB，EF∥AB，显然EF＜AB＜AD，∴EF≠AD，∴四边形DBEF为梯形，∵AD=AB，∴AD=AH，∴CA是DH的中垂线，∴DF=FH，∵FH∥BC，EF∥AB，∴四边形HFEB是平行四边形，∴FH=BE，∴BE=FD，故四边形DBEF为等腰梯形；（2）证明：∵四边形DBEF为等腰梯形，∴∠B=∠D，∵AG∥BG，∠B=∠DAG，∴∠D=∠DAG，∴AG=D G．【总结升华】此题主要考查了等腰梯形的判定以及其性质和平行四边形的判定与性质等知识，得出BE=FD 是解题关键．举一反三：【变式】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，AE=BE，点F是CD的中点，且AF⊥AB，若AD=2.7，AF=4，AB=6，则CE的长为（）.C. 2.5D.2.3A.22B. 231类型三、特殊四边形与其他知识结合的综合运用4. （•北京）在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．【思路点拨】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE 是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；（2）根据平行线的性质，可得∠DFA=∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF=∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．【答案与解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四边形BFDE是平行四边形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四边形BFDE是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【总结升华】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF=∠DFA是解题关键．5．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．【思路点拨】（1）根据菱形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠ACD，所以∠ACD=∠2，根据等角对等边的性质可得CM=DM，再根据等腰三角形三线合一的性质可得CE=DE，然后求出CD的长度，即为菱形的边长BC的长度；（2）先利用“边角边”证明△CEM和△CFM全等，根据全等三角形对应边相等可得ME=MF，延长AB交DF于点G，然后证明∠1=∠G，根据等角对等边的性质可得AM=GM，再利用“角角边”证明△CDF和△BGF 全等，根据全等三角形对应边相等可得GF=DF，最后结合图形GM=GF+MF即可得证．【答案与解析】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=12BC，∴CF=CE，在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，在△CEM和△CFM中，∵CE CFACB ACDCM CM=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CEM≌△CFM（SAS），∴ME=MF，延长AB交DF于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵2GBFG CFDBF CF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．【总结升华】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等角对等边的性质，作出辅助线构造出全等三角形是解题的关键．6 . 如图，己知ABC的顶点B、C为定点，A为动点(不在直线BC上)．是点B关于直线AC的对称点，是点C关于直线AB的对称点．连结、、、．(1)猜想线段与'的数量关系，并证明你的结论；(2)当点A运动到怎样的位置时，四边形为菱形?这样的位置有几个?请用语言对这样的位置进行描述；(不用证明)(3)当点A在线段BC的垂直平分线l(BC的中点及到BC的距离为的点除外)上运动时，判断以点B、C、、为顶点的四边形的形状，画出相应的示意图．(不用证明)【思路点拨】本题考查轴对称的基本性质，综合考查菱形、正方形、等腰梯形的判定．在运动变化过程中，认识图形之间的内在联系．【答案与解析】（1）猜想：BC′=CB′∵B′是点B关于直线AC的对称点∴AC垂直平分B B′∴BC= CB′同理BC= BC′∴B C′=C B′（2）要使BCB′C′是菱形,根据菱形的性质，对角线互相垂直平分∵B′是点B关于直线AC的对称点，C′是点C关于直线AB的对称点∴AC垂直平分B B′,AB垂直平分C C′,∴B B′、C C′应该同时过A点∴∠BAC=90°∴只要AB⊥AC即可满足要求，这样的位置有无数个.（3）如图，当A是BC的中点时，没有形成四边形；当A到BC时,∵l是BC的垂直平分线,∴∠ACB=∠ABC=30°,∴∠BAC=120°,∴∠BOC=60°,∴BC=C B′= B′C′=B C′.∴BC B′C′为菱形,当BC的中点及到BC BC的点除外时,∵∠BOC= B′O C′,OB=OC O B′=O C′,∴∠OBC=∠OCB=∠O B′C′=∠O C′B′,∴BC∥B′C′.∵B C′不平行C B′，B C′=C B′,四边形BC B′ C′为等腰梯形．【总结升华】本题可以很好的培养观察推理能力，按照要求画出图形可以更清楚的解题．举一反三：【变式】（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又∵EA=ED，∴∠EAD=∠EDA，∴∠DEC=∠AEB，又∵EB=EC，∴△DEC≌△AEB，∴AB=CD，∴梯形ABCD是等腰梯形．（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．∴AB=ED，∵AB⊥AC，∴AE=BE=EC，∴四边形AECD是菱形．过A作AG⊥BE于点G，∵AE=BE=AB=2，∴△ABE是等边三角形，∴∠AEB=60°，∴AG=3，∴S菱形AECD=EC•AG=2×3=23.第十九讲特殊的四边形一、选择题1.（•天水）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，若AB=1，BC=2，则△ABE和BC′F的周长之和为（）A．3 B．4 C．6 D．82.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则△CEF面积为( )．A．4 B．6 C．8 D．103．如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的一点，PE⊥AC，垂足为E，PF⊥BD，垂足为F，则PE+PF的值为( )．A．B．C．2 D．第3题第4题4.如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD四条边的中点，要使EFGH为矩形，四边形应该具备的条件是（）.A．一组对边平行而另一组对边不平行B．对角线相等C．对角线相互垂直 D．对角线互相平分5.如图，正方形ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，过O点作OE⊥OF分别交AB、BC于E、F，若AE=4，CF=3，则EF等于（）.A.7B.5C.4D.3第5题第6题6.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）.A．15° B．18° C．36° D．54°二、填空题7.（春•西城区期末）直角△ABC中，∠BAC=90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= ．8. 如图，菱形ABCD中，于E，于F，，则等于___________．9. 正方形ABCD中，E为BC上一点，BE=，CE=，P在BD上，则PE+PC的最小值可能为__________．10.如图，M为正方形ABCD中BC边的中点，将正方形折起，使点A与M重合，设折痕为EF，若正方形的面积为64，则△AEM的面积为____________．11.如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC=4，BC=3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC 于F，则线段EF长度的最小值是_______________.第10题第11题第12题12.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，∠C=60°，BC=2AD=23，点E是BC边的中点，△DEF是等边三角形，DF交AB于点G，则△BFG的周长为________．三、解答题13．如图1，图2，四边形ABCD是正方形，M是AB延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F．(1)如图1，当点E在AB边的中点位置时：①猜想DE与EF满足的数量关系是__________；②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是__________；③请证明你的上述两个猜想．(2)如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，进而猜想此时 DE 与EF有怎样的数量关系．14. 如图，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=CD=3cm，∠A=120°，BD⊥CD，(1)求BC、AD的长度；(2)若点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度运动，点Q从点C开始沿CD边向点D以1cm/秒的速度运动，当P、Q分别从B、C同时出发时，写出五边形ABPQD的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出t的取值范围(不包含点P在B、C两点的情况)；(3)在(2)的前提下，是否存在某一时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．15. （•青岛模拟）已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别作直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F．（1）如图1，当P点在线段AB上时，PE+PF的值是否为定值？如果是，请求出它的值；如果不是，请加以说明．（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PE﹣PF的值．16.如图，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．【答案与解析】一．选择题1．【答案】C．【解析】将矩形纸片ABCD折叠，使点D与点B重合，点C落在C′处，折痕为EF，由折叠特性可得，CD=BC′=AB，∠FC′B=∠EAB=90°，∠EBC′=∠ABC=90°，∵∠ABE+∠EBF=∠C′BF+∠EBF=90°∴∠ABE=∠C′BF在△BAE和△BC′F中，∴△BAE≌△BC′F（ASA），∵△ABE的周长=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3，△ABE和△BC′F的周长=2△ABE的周长=2×3=6．故选：C．2．【答案】C.3．【答案】A.4．【答案】C.5．【答案】B.【解析】可证△OEB≌△OFC，则EB=FC=3，AE=BF=4，32346．【答案】B.【解析】由题意∠ADE=54°，∠CDE＝36°，∠DCE=54°，∠BDE=54°-36°=18°.二．填空题7．【答案】3．【解析】如图，∵在直角△ABC中，∠BAC=90°，D、F分别为AB、AC的中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC．又∵点E是直角△ABC斜边BC的中点，∴AE=BC，∵DF=3，∴DF=AE．故填：3．8．【答案】60°.9．【答案】.10．【答案】10.【解析】提示：设AE=x=EM ,BE=8-x,MB=4,在Rt△BEM中由勾股定理解得x=5,从而算出面积.11.【答案】125.【解析】连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC=∠PFC=∠C=90°；又∵∠ACB=90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF=PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∴12AC•BC=12AB•PC，∴PC=125．∴线段EF长的最小值为125；故答案是：125．12．【答案】3+3.【解析】首先由已知AD∥BC，∠ABC=90°点E是BC边的中点，推出四边形ABED是矩形，所以得到直角三角形CED，所以能求出CD和DE，又由△DEF是等边三角形，得出DF，由直角三角形AGD可求出AG、DG，进而求得FG，再证△AGD≌△BGF，得到BF=AD，从而求出△BFG的周长．三.综合题13．【解析】（1）①DE=EF；②NE=BF；③∵四边形ABCD为正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=90°，∵N，E分别为AD，AB中点，∴AN=DN=12AD，AE=EB=12AB，∴DN=BE，AN=AE，∵∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEB=90°，又∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠FEB=∠ADE，又∵AN=AE，∴∠ANE=∠AEN，又∵∠A=90°，∴∠ANE=45°，∴∠DNE=180°-∠ANE=135°，又∵∠CBM=90°，BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∠EBF=135°，∴△DNE≌△EBF（ASA），∴DE=EF，NE=BF．（2）在DA上截取DN=EB（或截取AN=AE），连接NE，则点N可使得NE=BF．此时DE=EF．证明方法同（1），证△DNE≌△EBF．14．【解析】（1）在Rt△BCD中，CD=3cm，∠C=60°, ∴∠DBC=30°,∴BC=2CD=6cm.由已知得：梯形ABCD是等腰梯形,∴∠ABC=∠C=60°,∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=30°.∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°,∴∠ABD=∠ADB,∴AD=AB=3cm.（2）当P、Q分别从B、C同时出发运动t秒时，BP=2t，CQ=t, ∴PC=6-2t,过Q作QE⊥BC于E，则QE=CQsin60°=32t,∴S梯形ABCD-S△PCQ=2734-34（6-2t）t=34（2t2-6t+27）（0＜t＜3）.（3）存在时刻t，使线段PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5.∵S梯形ABCD=2734，S△ABD=12×3×32×3,∴S△ABD=13×S梯形ABCD,∴五边形ABPQD的面积不可能是梯形ABCD面积的16.∴S△PCQ：S五边形ABPQD=1：5，即S五边形ABPQD=56S梯形ABCD∴34（2t2-6t+27）=56×2734,整理得：4t2-12t+9=0,∴t=32，即当t=32秒时，PQ把梯形ABCD分成两部分的面积比为1：5．15．【解析】解：（1）是定值，∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE+PF=OF+FB=OB=acos45°=a．（2）∵四边形ABCD为正方形，∴AC⊥BD．∵PF⊥BD，∴PF∥AC，同理PE∥BD．∴四边形PFOE为矩形，故PE=OF．又∵∠PBF=45°，∴PF=BF．∴PE﹣PF=OF﹣BF=OB=acos45°=a．16.【解析】已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x及5x-2y+z．因矩形对边相等，所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z．化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y，消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．。

人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结

人教版八年级数学下册第18章平行四边形知识要点总结第18章平行四边形复习平行四边形知识点一、平行四边形定义：二、平行四边形的性质边：1.两组对边互相平行且相等；符号语言：角：2.两组对角分别相等；符号语言：对角线：3.对角线互相平分。

符号语言：对称性：中心对称图形但不一定是轴对称图形平行线之间的距离：平行线间的距离都相等符号语言：∵AE∥BF且AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF∴AB＝CD＝EF三、平行四边形的判定边：1. 两组对边分别平行．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：2. 两组对边分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：3. 一组对边平行且相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：角：4. 两组对角分别相等．．．．．．的四边形是平行四边形；符号语言：对角线：5.对角线互相平分的四边形是平行四边形；符号语言：四、平行四边形的面积公式S□ABCD=ah(a是边,h是这个边的高）；五、与三角形有关的知识点1.三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段．．叫做三角形的中位线。

2.三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半符号语言：3.取值范围：利用三角形的性质：两边之和大于第三边；两边之差小于第三边如：已知□ABCD 两对角线的长分别为6和8，则较短边长x 的取值范围为1<x<7.4.直角三角形性质定理（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且AD ＝CD∴ BD=AD=CD（2）直角三角形中，30°角所对应的直角边等于斜边的一半.符号语言：∵在Rt △ABC 中，且∠A=30°∴BC=12AC 或 2BC=AC特殊的平行四边形知识点—矩形一、矩形的定义：二、矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的四个角都是直角；符号语言：3.矩形的对角线平分且相等。

符号语言：三、矩形判定1.有一个角是直角的平行四边形．．．．．叫做矩形。

人教版初中数学图形的性质四边形知识点总结归纳完整版

(每日一练)人教版初中数学图形的性质四边形知识点总结归纳完整版单选题1、如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD=3cm，则△ABC的面积是（）cm2．A．30B．27C．24D．21答案：B解析：过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA，由角平分线的性质可得：OE=OF=OD=3cm，根据S△ABC= S△OBC+S△OAB+S△OAC即可求得△ABC的面积．过点O分别作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，连接OA，如图所示∵BO平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB∴OE=OD=3cm同理：OF=OD=3cm∴OE=OF=OD=3cm∵S△ABC=S△OBC+S△OAB+S△OAC=12BC·OD+12AB·OE+12AC·OF=12(BC+AB+AC)×3=12×18×3=27故选：B．小提示：本题考查了角平分线性质定理，注意的是：运用此定理时，除了平分角这个条件外，还要有两个垂直的条件，有时候缺少一个或两个垂直，就要作一个或两个垂直．2、如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=40°，将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，其中，E，F是点B，C旋转后的对应点，BE，CF相交于点D．当旋转到AF//BE时，∠CAE的大小是（）A．90°B．75°C．60°D．45°答案：C解析：由旋转的性质可得∠EAF＝∠BAC＝40°，AB＝AE，由平行线的性质可求∠FAE＝∠AEB＝40°，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求∠BAE的度数，进而即可求解．解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转得△AEF，∴∠EAF＝∠BAC＝40°，AB＝AE，∵AF∥BE，∴∠FAE＝∠AEB＝40°，∵AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB＝40°，∴∠BAE＝180°−40°−40°＝100°，∴∠CAE＝100°-40°=60°，故选：C．小提示：本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，求出∠AEB的度数是本题的关键．3、在△ABC中，若tanA=1，cosB=√2，则下列判断最确切的是（）2A．△ABC是等腰三角形B．△ABC是等腰直角三角形C．△ABC是直角三角形D．△ABC是一般锐角三角形答案：B解析：先根据正切值、余弦值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形的内角和定理可得∠C的度数，然后根据等腰直角三角形的定义即可得．∵∠A、∠B是△ABC的内角，且tanA=1，cosB=√2，2∴∠A =45°，∠B =45°，∴∠C =180°−∠A −∠B =90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，故选：B ．小提示：本题考查了特殊角的正切值与余弦值、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义，熟记特殊角的正切值与余弦值是解题关键．4、如图，Rt △ABC 中，∠C =90° ，点D 在AC 上，∠DBC =∠A ．若AC =4,cosA =45，则BD 的长度为（）A ．94B ．125C ．154D ．4答案：C解析：先根据AC =4，cosA =45，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据∠DBC =∠A ，即可得cos ∠DBC=cosA=45，即可求出BD ．∵∠C=90°，∴cosA =AC AB ，∵AC =4，cosA =45，∴AB=5，根据勾股定理可得BC=√AB 2−AC 2=3，∵∠DBC=∠A，∴cos∠DBC=cosA=45，∴cos∠DBC=BCBD =45，即3BD=45∴BD=154，故选：C．小提示：本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．5、如图，四边形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，BC＝13cm，CD＝12cm，且∠A＝90°，则四边形ABCD的面积为（）A．12cm2B．18cm2C．22cm2D．36cm2答案：D解析：首先连接BD，再利用勾股定理计算出BD的长，再根据勾股定理逆定理计算出∠D=90°，然后计算出直角三角形ABD和直角三角形BDC的面积，即可算出答案．解：如图，连接BD，∵∠A =90°，AB =3cm ，AD =4cm ，∴BD =√AB 2+AD 2=√32+42=5（cm ），∵BC =13cm ，CD =12cm ，52+122=132， ∴BD 2+CD 2=CB 2， ∴∠BDC =90°，∴S △DBC =12×DB ×CD =12×5×12=30（cm 2）， S △ABD =12×3×4=6（cm 2），∴四边形ABCD 的面积为30+6=36（cm 2），故选：D ．小提示：本题主要考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，解决此题的关键是算出BD 的长，证明△BDC 是直角三角形．6、已知某条传送带和地面所成斜坡的坡度为1：2，如果它把一物体从地面送到离地面9米高的地方，那么该物体所经过的路程是( )A ．18米B ．4.5米C ．9√3米D ．9√5米．答案：D解析：如图，斜坡AB 的坡度为1：2，可求出AC 的长，再利用勾股定理求解即可.∵斜坡AB 的坡度为1：2，∴AC =2BC=18米，∴AB =√92+182=9√5米.故选D.小提示：此题主要考查坡度的意义，需注意的是坡度是坡角的正切值，是铅直高度h和水平宽l的比，我们把斜坡面与水平面的夹角叫做坡角，若用α表示坡角，可知坡度与坡角的关系是i=ℎl =tanα．。

(名师整理)最新中考数学专题复习《四边形及相似形》精品教案

中考数学人教版专题复习：四边形及相似形一、教学内容四边形及相似形二、重点、难点（一）四边形1.多边形在平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.多边形的性质：（1）n边形的内角和等于；（2）任意多边形的外角和等于360°；※（3）n边形的对角线的条数等于.2.四边形的分类3.平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质：1（1）两组对边分别平行且相等；（2）两组对角分别相等；（3）两条对角线互相平分；（4）平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心.平行四边形的判定：（1）根据平行四边形的定义判定；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.4.矩形有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.矩形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四个角都是直角；（3）两条对角线相等；（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，它有两条对称轴，即过每组对边中点的直线.矩形的判定：（1）根据矩形的定义判定；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）两条对角线相等的平行四边形是矩形.5.菱形有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2菱形的性质：（1）具有平行四边形的所有性质；（2）四条边都相等；（3）两条对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形，它的两条对称轴是两条对角线所在的直线.菱形的判定：（1）根据菱形的定义判定；（2）四条边都相等的四边形是菱形；（3）两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形.6.正方形有一个角是直角，并且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形.正方形的性质：具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.既是中心对称图形，又是轴对称图形，它有四条对称轴.正方形的判定：（1）有一组邻边相等的矩形是正方形；（2）有一个角是直角的菱形是正方形.7.梯形及等腰梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形.平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底、较长的底叫做下底），不平行的两边叫做梯形的腰，两底的距离叫做梯形的高.连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形的性质：3（1）同一底上的两角相等；（2）两条对角线相等.等腰梯形的判定：（1）依据等腰梯形的定义判定；（2）同一底上两角相等的梯形是等腰梯形.※（3）对角线相等的梯形是等腰梯形.8.中心对称与中心对称图形把一个图形绕着一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称.这个点叫做对称中心.两个图形关于点对称也称中心对称.这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点.把一个图形绕它的某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心.中心对称的性质：（1）关于中心对称的两个图形是全等形；（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；由中心对称的性质可以认识中心对称图形的性质.9.平行线等分线段定理及其推论.平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等.推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线必平分另一腰.推论2：经过三角形一边中点与另一边平行的直线必平分第三边.10.简单平面图形的面积（1）三角形的面积公式三角形的面积等于它的底与高的积的一半.等底等高的两个三角形等积；等高的两个三角形的面积比等于相应底边的比；等底的两4个三角形的面积比等于相应高的比.（2）平行四边形的面积等于一边与这边上的高的积.（3）矩形的面积等于两条邻边的乘积.（4）菱形的面积等于一边与这边上的高的积，也等于两条对角线乘积的一半.（5）正方形的面积等于边长的平方，也等于对角线平方的一半.（6）梯形的面积等于两底之和与高的乘积的一半；或等于梯形中位线与高的积.（7）多边形的面积等于它被分割的若干个三角形面积的和.11.几何作图（1）作一图形关于某一点的对称图形；（2）任意等分已知线段；（3）依据已知条件，求作平行四边形、矩形、菱形、正方形及梯形.（二）相似形比例线段：1.成比例线段用同一长度单位度量两条线段所得量数的比叫做这两条线段的比.如果线段a和b的比等于线段c和d的比，那么线段a、b、c、d叫做成比例线段，记作，其中叫做比的前项，b、d叫做比的后项，b、c叫做比例内项，a、d叫做比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项.若，则称b是a、c的比例中项.2.比例的性质成比例的数具有下面的性质：5（1）基本性质：；（2）反比性质：；（3）更比性质：；（4）合比性质：；（5）等比性质：，k为正整数，且，.3.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.推论：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.4.平行线分线段成比例定理推论的逆定理：如果一条直线截三角线两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角线的第三边.5.平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例.相似三角形：1.相似三角形对应角相等、对应边成比例的三角形，叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比.2.三角形相似的判定（除相似三角形的定义外）（1）平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.（2）判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，即“两角对应相等，两三角形相似”.6（3）判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.即“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”.（4）判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.即“三边对应成比例，两三角形相似”.对于直角三角形相似，还有如下判定定理：（5）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.（6）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似.3.相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角相等；（2）相似三角形的对应边成比例；（3）相似三角形的对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；（4）相似三角形的周长比等于相似比；※（5）相似三角形的面积的比等于相似比的平方.（注：新教材删去）4.直角三角形中的成比例线段在则（1）；（2）；（注：用时要证明.）（3）；（注：用时要证明.）（4）※5.相似多边形（注：“人教社”新教材删去.）如果两个边数相同的多边形的对应角相等、对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形的对应边的比叫做相似比.相似多边形的性质：7（1）相似多边形的对应角相等；（2）相似多边形的对应边成比例；（3）相似多边形的对应对角线的比等于相似比；（4）相似多边形周长的比等于相似比；（5）相似多边形面积的比等于相似比的平方（6）相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比.【典型例题】例1.如图所示，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD边上的点，且BE=DF，EF 交AC于点O.求证：AC、EF互相平分于O点.分析：若连结AE、CF，只要证四边形AECF是平行四边形即证：.而它可由推出.例2.如图所示，在△ABC中，，D、E分别是AC、AB的中点，点F在BC 的延长线上，.（1）求证：四边形DECF是平行四边形；8（2）若，四边形EBFD的周长为22，求DE的长.分析：（1）由已知，不难得出，因此，关键是证，只要证出ED垂直平分AC于D，便可推出，从而有.就可根据平行四边形的定义证四边形ECFD是平行四边形.（2）可推出四边形EBFD为等腰梯形.因为所以可设可推出有解得：例3.如图所示，矩形ABCD中，，P是AD上的动点，，，试问的值是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由.解：的值为定值9例4.如图所示，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD=BF，以AD为边作等边三角形ADE.求证：（1）；（2）四边形CDEF为平行四边形.证明：（1）∵△ABC为等边三角形（2）∵△AED为等边三角形10∴四边形CDEF为平行四边形.例5.如图所示，已知菱形ABCD中，对角线，边长，BC边上的高，菱形面积=S，若，求a，h及.略解：在Rt△AOB中，AO=5，BO=12由勾股定理可得：AB=13，即a=13说明：此例强调了菱形的两个面积公式的互相转化，强调了菱形中的线段与角之间的内在11联系.例6.如图所示，在矩形纸片ABCD的AB边上取一点E，使BE：EA=5：3，，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD上，设这个点为F，求AB、BC的长.解：由已知，，可得设在例7.如图所示，在梯形ABCD中，AB//CD，中位线EF=7cm，对角线，，求梯形的面积.12分析：欲求此梯形的面积，只要求它的高.作交CD延长线于K.由已知可得，则，而说明：在解决有关梯形的问题时，要注意常用辅助线的作法.已知梯形对角线垂直时，常过梯形一顶点平移一条对角线.例8.如图1所示，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O图113（1）在AC上取一点E，作于G，交BD于F，求证：；（2）若在AC的延长线上取一点E，作直线BE于G，交DB延长线于F（如图2所示），这时结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请作图并给出证明，如果不成立，请说明理由.图2分析：（1）欲证OE=OF，只要证.因为四边形ABCD为正方形所以∠=∠==∠=-∠=∠9090°，，°AOB BOE AO BO AFO FAO BEO由此可证出可得.（2）若E点在AC的延长线上，这个结论仍能成立.也可由证出.例9.已知：，求.解：由已知再由等比性质得即例10.已知：的值.14解：设，则解得：例11.如图所示，BD、CE是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点，BC=8，求GH的长.解：∵BD、CE分别是△ABC的中线，G、H分别是BE、CD的中点想一想：如图所示，若连结ED，如何求GH？15例12.如图所示，△ABC中，AD是角平分线，求证：.分析：为了构造平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，可视C点为△ABD 的BD边延长线上一点.作CE//AB，交AD延长线于E，则，.又，得，推出.说明：此题介绍了三角形内角平分线的一个性质，即“三角形的内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例.例13.如图所示，△ABC中，BD是角平分线，DE//AB，AB=5，BE=3，求BC的值.解：16例14.如图所示，在△ABC中，，E为AC边中点，ED、AB 的延长线交于点F.求证：（1）AB：AC=BD：AD；（2）；（3）.分析：（1）由（2）因是△FAD和△FDB的公共角，欲证，只要证.这可由中，、E是AC的中点推出，即（3）由（2）中的，得17由（1）中的，可推出.说明：对于待证的四条成比例线段，首先要看它们所在的两个三角形能否相似，如果不能相似，需通过“中间比”进行等量代换.利用两组角对应相等，是证明两个三角形相似首选的基本方法.例15.如图所示，已知中，AB=AC，AD是BC边上的中线，，BF交AD 于P，交AC于E点求证：.分析：为了把共线的三条线段BP、PE、PF转化为不共线的，可利用等腰三角形是轴对称图形这一性质.连结PC，因为AD是等腰△ABC底边上的中线，所以它也垂直平分BC，可推出PC=PB、.由CF//BA，又可得到所以，而立即推出从而，即18例16.如图所示，△ABC中，，求证：.分析：欲证，只要证.而是这两个三角形的公共角，只需证.在中，则.同理可证：可得即，从而问题解决.例17.如图所示，在正方形ABCD中，P是CD上一动点（与C、D不重合），使三角尺的直角顶点与点P重合，并且一条直角边始终经过点B，另一直角边与正方形的某一边所在19直线交于点E.探究：①观察操作结果，哪一个三角形与△BPC相似？并证明你的结论；②当点P位于CD的中点时，你找到的三角形与△BPC的周长比是多少？解：可分成三种情形分别作答：（1）如图1所示，若另一条直角边与AD交于点E，则.图1证明：当点P位于CD的中点时，如图2所示，则.图220又∴△PDE与△BCP的周长比是1：2.（2）如图3所示，若另一条直角边与BC的延长线交于点E，同理可证或.图3当点P位于CD的中点时，如图4所示，△PCE与△BCP的周长比是1：2；图4由于，因此△BPE与△BCP的周长比是.（3）如图5所示，若另一条直角边与BA的延长线交于E点，同理可证：.图521当点P位于CD的中点时，如图6所示，由于，因此△EPB与△BCP的周长比为.图6说明：根据需要对研究对象进行分类，然后对划分的每一类分别求解，综合后即得问题的答案.在复习中要充分重视“分类讨论”这一数学思想方法的运用.解答问题时，要考虑到可能出现的各种情况.为此，请想一想下面这个问题应怎么解？已知：矩形ABCD中，M是BC的三等分点，若，求D点到AM 的距离.【模拟试题】（答题时间：80分钟）【自我检测1】一、填空题1.两条对角线互相平分的四边形是____________________；2.两条对角线_________________的四边形是菱形；3.两条对角线_________________的四边形是矩形；4.两条对角线_________________的四边形是正方形；5.顺次连结四边形各边的中点，所得的四边形是_________________；6.顺次连结对角线互相垂直的四边形各边中点，所得的四边形是_____________；227.顺次连结对角线相等的四边形各边中点，所得的四边形是_________________；8.四边形四个内角的比是1：2：3：4，那么这四个角的度数分别是___________；9.一个多边形的每一个内角都等于144°，那么这个多边形是______________；10.平行四边形两邻边长分别为6cm和8cm，夹角为60°，它的面积为_________；11.一个平行四边形被分成面积为的四个小平行四边形（如图所示），当CD沿AB自左向右在平行四边形内平行滑动时，与的大小关系为_____；12.如图所示，△ABC中有菱形AMPN，如果，则____________.13.矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所交锐角的度数为_________；【自我检测2】一、判断题（1）有一个锐角相等的两个Rt△相似.（）（2）有一个角相等的两个等腰三角形相似.（）（3）顺次连结三角形各边中点所得的三角形与原三角形相似.（）（4）一个等腰三角形的两边和另一个等腰三角形的两边成比例，则这两个三角形相似.（）23（5）两边长分别是3、4的Rt△ABC与两边长分别是6、8的Rt△DEF相似.（）（6）斜边和一条直角边分别是2和的与斜边和一条直角边长分别是和的相似.（）二、填空题（1）如图所示，已知，若再增加一个条件就能使结论“AB·DE=AD·BC”成立，则这个条件可以是_____________________.※（2）在方格纸中，每个小方格的顶点称为格点.以格点为顶点的三角形叫做格点三角形，在如图所示的5×5的方格纸中，作以A、B、C为顶点的格点三角形和△OAB相似（相似比不能为1），则C点的坐标是________________.※（3）如图所示，由边长为1的25个小正方形组成的正方形网格上有一个△ABC，若在此网格内画出一个与△ABC相似且面积最大的三角形，则的面积是___________.24（4）如图所示，△ABC中，若AB=AC，BD平分，则AD=______=_______，__________，___________.当AC=10时，BC=__________.（5）如图所示，△ABC中，则∽_______∽______，AD：_______=________：BC，_________，AD·DC=________，____________，AC·BD=___________.若AD=5，BC=6，则CD=_______.（6）已知：如图所示，△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，且∠1=∠2=∠3，则图中有_________对相似三角形.三、解答题1.如图所示，平行四边形ABCD中，E是AB延长线上一点，DE交BC于F.求证：BC·CD=CF·AE.252.如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，DEFG是△ABC的内接正方形.求证：EF2=AE·FB.3.如图所示，△ABC中，D是BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB于F.求证：AE：ED=2AF：FB.4.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB中点，过D作AB的垂线交CB于E，交AC的延长线于F.求证：CD2=DE·DF.5.如图所示，在平行四边形ABCD中，过点B作BE⊥CD，垂足为E，连结AE.F为AE 上一点，且∠BFE=∠C.（1）求证：△ABF∽△EAD；（2）若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长；26（3）在（1）、（2）的条件下，若AD=3，求BF的长.（计算结果可含根号）6.如图所示，延长正方形ABCD的AB边至E，连结EC、DE，DE交BC于F，FM//BE交EC于M，求证：FB=FM.7.正方形ABCD中，边长AB=2，E是BC的中点，DF⊥AE，F是垂足.（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）求△DFA的面积S1和四边形CDFE的面积S2.8.如图所示，菱形ABCD中，E、M分别是AB、CD边的中点，F是BC上一点，且BF：FC=1：3.（1）求EF：AM；（2）若菱形ABCD的面积为S，求△EBF的面积.27【试题答案】【自我检测1】一、填空题1.平行四边形2.互相垂直平分3.互相平分且相等4.互相垂直平分且相等5.平行四边形6.矩形7.菱形8. 36°、72°、108°、144°9.十10.11.12.13. 80°【自我检测2】一、判断题（1）√（2）× （3）√（4）× （5）× （6）√二、填空题（1）或或；28（2）（4，4）或（5，2）（3）的面积是5（平方单位）；（4）BD、BC，△BCD，DC·AC，；（5）△BDC、△ABC，AB、DB，AD·AC，BD2，BC2，AB·BC，4；（6）4对.三、解答题1.提示：由得，而可推出2.提示：由得，即而，可得.3.提示：过D点作DK//BA，交EC于K4.提示：证5.（1）略；（2）；（3）6.提示：由已知可得，推出7.（1）略；（2）（平方单位），（平方单位）298.提示：（1）先证得；（2）.30。

人教版中考数学考点系统复习第五章四边形第四节正方形

下列说法中正确的有
( C)
①图中的三角形都是等腰直角三角形； ②四边形MPEB是菱形；
1 ③四边形PFDM的面积占正方形ABCD面积的4.
A．只有①
B．①②
C．①③
D．②③
9．★(2020·孝感第15题3分)如图①，四个全等的直角三角形围成一个
大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀
算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段
得到如图②的图案，记阴影部分的面积为S1 ，空白部分的面积为S2.大
n
3－1
正方形的边长为m，小正方形的边长为n，若S1＝S2，则m的值为为 2 .
10．★(2021·襄阳第16题3分)如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC上，点F在CB的延长线上，∠EAF＝45°，AE交BD于点G，tan ∠BAE＝12，BF＝2，则FG＝2 2 5 .
线AC上与点A，C不重合的一个动点．过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点
G，连接DE，FG.下列结论：
①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ ADE; ④FG的最小值为3，其中正确
结论的个数有
( C)
A. 1个
B. 2个
C．3个
D. 4个
7．★(2021·随州第7题3分)如图，从一个大正方形中截去面积为3 cm2
则线段AE的长度为
(D)
A．6
B．8
C．10
D．12
5．(2020·恩施州第11题3分)如图，正方形ABCD的边长为4.点E在AB上且BE＝1.F为对角线AC上一动点，则△BFE周长的最小值为 ( B ) A．5 B．6 C．7 D．8
6．★(2021·仙桃第10题3分)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角

人教版四年级上册数学几何图形整理和复习 (课件)

线段射线直线（同一平面内）
角
相交
画角锐角
直角
量角钝角
分平类行四边形周平角角
长方形
垂直
平行林林
平行四边形梯形梯形
正方形
长方形正方形
线段射线直线
画角
角量角
分类
相交
锐角直角钝角平角周角
垂直
平行
平行四边形梯形
长方形正方形
线段射线直线
画角
角量角
分类
相交
锐角直角钝角平角周角
直角
角量角钝角
锐角
分类＜直角
平角
＜周角钝角
＜
小于90°
等于90°
大于90° 小于180°
平角＜周角
等于180° 等于360° 1平角=2直角 1周角=2平角=4直角
线段
画角锐角
直角
b
A
射线角 a 量角钝角
分类
平角周角
a
o 垂足
o
直线（同一平面内）
相交 b
垂直
a//b
a⊥b
平行
垂直
平行
平行四边形梯形
长方形正方形
四边形
线段射线直线
画角
角量角
分类高相交
底平行
锐角
直角
钝角
平角
周角
高
垂直
平行四边形梯形
高
底长方形
正方形
线段射线直线
画角
角量角
分类
相交
锐角直角钝角平角周角
垂直
平行
平行四边形梯形
高

2023年中考数学(人教版)总复习训练：四边形综合问题

2023年中考数学(人教版)总复习训练：四边形综合问题一、选择题（本大题共10道小题）1. [2021·无锡]下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360°B.对角线互相平分C.对角线相等D.对角线互相垂直2. (2020•丹东)顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点,所得图形一定是()A.正方形B.矩形C.菱形D.梯形3. (2021·无锡中考)如图,D,E,F分别是△ABC各边中点,则以下说法错误的是( )A.△BDE和△DCF的面积相等B.四边形AEDF是平行四边形C.若AB＝BC,则四边形AEDF是菱形D.若∠A＝90°,则四边形AEDF是矩形4. (2020•台州)下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;③它是一个矩形.下列推理过程正确的是()A.由②推出③,由③推出①B.由①推出②,由②推出③C.由③推出①,由①推出②D.由①推出③,由③推出②5. (2022·湖北襄阳)如图,▱ABCD的对角线AC和BD相交于点O,下列说法正确的是()A.若OB＝OD,则▱ABCD是菱形B.若AC＝BD,则▱ABCD是菱形C.若OA＝OD,则▱ABCD是菱形D.若AC⊥BD,则▱ABCD是菱形6. (2021•安徽模拟)如图,Rt△ABC≌Rt△DCB,其中∠ABC＝90°,AB＝3,BC＝4,M为BC中点,EF 过点M交AC、BD于点E、F,连接BE、CF,则下列结论错误的是()A.四边形BECF为平行四边形B.当BF＝3.5时,四边形BECF为矩形C.当BF＝2.5时,四边形BECF为菱形D.四边形BECF不可能为正方形7. (2020秋•魏县月考)如图,在任意四边形ABCD中,AC,BD是对角线,E,F,G,H分别是线段AB,BC,CD,AD上的点,对于四边形EFGH的形状,某班的学生在一次数学活动课中,通过动手实践,探索出如下结论,其中错误的是()A.当E,F,G,H是各条线段的中点时,四边形EFGH为平行四边形B.当E,F,G,H不是各条线段的中点时,四边形EFGH可以为平行四边形C.当E,F,G,H是各条线段的中点时,且AC＝BD,四边形EFGH为菱形D.当E,F,G,H不是各条线段的中点时,四边形EFGH不可能为菱形8. (2020•盐田区二模)如图,在正方形ABCD中,点M是AB上一动点,点E是CM的中点,AE 绕点E顺时针旋转90o得到EF,连接DE,DF.给出结论:①DE=EF;②∠CDF=45o;③=;④若正方形的边长为2,则点M在射线AB上运动时,CF有最小值2.其中结论正确的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④9. (2020•庆云县一模)如图,Rt△ABE中,∠B=90o,AB=BE,将△ABE绕点A逆时针旋转45o,得到△AHD,过D作DC⊥BE交BE的延长线于点C,连接BH并延长交DC于点F,连接DE交BF 于点O.下列结论:①DE平分∠HDC;②DO=OE;③H是BF的中点;④BC-CF=2CE;⑤CD=HF,其中正确的有( )A.5个B.4个C.3个D.2个10. (2020·四川眉山中考)如图,正方形ABCD中,点F是BC边上一点,连接AF,以AF为对角线作正方形AEFG,边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H,连接DG.以下四个结论:①∠EAB=∠GAD;②△AFC∽△AGD;③2AE2=AH•AC;④DG⊥AC其中正确的个数为( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共8道小题）11. (2021•济南)如图,正方形AMNP的边AM在正五边形ABCDE的边AB上,则∠PAE＝.12. (2020•道里区二模)在平行四边形ABCD中,∠A=30o,AD=2,BD=,则平行四边形ABCD的面积为___.13. (2022春•西城区校级期中)如图,已知四边形ABCD满足AB＝CD＝1,AB⊥CD,E、F分别为AD和BC的中点,则EF＝.14. (2020·四川中考真题)如图,在平行四边形ABCD中,BE平分∠ABC,CF⊥BE,连接AE,G是AB的中点,连接GF,若AE＝4,则GF＝_____.15. (2020•温州模拟)如图,四边形ABCD,CEFG均为菱形,A F∠=∠,连结BE,EG,EG//BC,EB⊥BC,若sin∠EGD=,菱形ABCD的周长为12,则菱形CEFG的周长为__________.16. (2020•顺德区三模)如图,分别以△ABC的边AB、AC为一边向外做正方形ABDE和正方形ACFG,连结CE、BG交于点P,连结AP和EG.在不添加任何辅助线和字母的前提下,写出四个不同类型的结论__________.17. (2020•安徽)在数学探究活动中,敏敏进行了如下操作:如图,将四边形纸片ABCD沿过点A 的直线折叠,使得点B落在CD上的点Q处.折痕为AP;再将△PCQ,△ADQ分别沿PQ,AQ折叠,此时点C,D落在AP上的同一点R处.请完成下列探究:(1)∠PAQ的大小为°;(2)当四边形APCD是平行四边形时,的值为.18. (2020·江苏连云港·中考真题)如图,正六边形A1A2A3A4A5A6内部有一个正五形B1B2B3B4B5,且A3A4//B3B4,直线l经过B2、B3,则直线l与A1A2的夹角a=________ .三、解答题（本大题共6道小题）19. (2020秋•肇源县期末)如图,四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H,顺次连接EF、FG、GH、HE,得到四边形EFGH.求证:四边形EFGH是平行四边形.20. (2020春•秦淮区期末)如图,四边形ABCD是菱形,E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点,连接EF、FG、GH、HE.求证:四边形EFGH是矩形.21. (2022·贵州铜仁)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,连接BD,点E在BD上,连接CE,若∠1=∠2,AB=ED.(1)求证:BD=CD.(2)若∠A=150°,∠BDC=2∠1,求∠DBC的度数.22. (2020春•阳西县期末)如图,在矩形ABCD中,AD＝6,DC＝8,菱形EFGH的三个顶点E,G,H 分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH＝2,DG＝2.求证:四边形EFGH为正方形.23. (2020春•海陵区)如图,O为∠BAC内一点,E、F、G、H分别为AB,AC,OC,OB的中点.(1)求证:四边形EFGH为平行四边形;(2)当AB＝AC,AO平分∠BAC时,求证:四边形EFGH为矩形.24. (2020年湖北省中考数学模拟题)如图1,AD∥BC,AB ⊥BC于B,∠DCB=75°,以CD为边的等边△DCE的另一顶点E在线段AB上．(1)填空:∠ADE=____;(2)求证:AB=BC;的值．(3)如图2所示,若F为线段CD上一点,∠FBC=30°,求AEEC。

八年级数学四边形复习题(专题五无答案) 人教版

专题五：四边形中的面积问题一、解决问题主要思想方法平面几何学的产生起源于人们对土地面积的测量，面积是平面几何中一个重要的概念，联系着几何图形中的重要元素边与角。

计算图形的面积是几何问题中一种常见问题，求面积的基本方法有： 1、直接法：根据面积公式和性质直接进行运算。

2、割补法：通过分割或补形，把不规则图形或不易求解的问题转化为规则图形或易于求解的问题。

3、等积法：根据面积的等积性质进行转化求解，常见的有同底等高、同高等底和全等的等积转化。

4、等比法：将面积比转化为对应线段的比。

熟悉以下基本图形中常见的面积关系：S 4S 3S 3S 2S 2S 2S 4S 3S 1S 1S 1S 2S 1二、四边形的面积公式平行四边形、矩形、菱形、正方形的面积都可以用公式：S=底×高来计算，对于特殊的平行四边形，如矩形可用长×宽求面积，菱形可用两条对角线乘积的一半求面积，正方形即可用两条对角线乘积的一半求面积，也可用边长的平方求面积。

思考：对于对角线互相垂直的四边形，也可用两条对角线乘积的一半求其面积吗？如果能请说明理由。

三、例题讲解例1、如图，在梯形A B CD 中，A D ∥BC ，E 为CD 的中点，E F ⊥AB于F ，则有S 梯形ABCD =A B ·EF ，请说明理由。

例2、如图1―4―16，菱形A B CD 的对角线的长分别为2和5，P 是对角线AC 上任一点（点P 不与点A 、C 重合）且PE ∥BC 交AB 于 E ，PF ∥CD 交AD 于F ，则阴影部分的面积是___FE DCB A例3、如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果将该矩形沿对角线BD折叠，那么图中阴影部分的面积是_________例4、探究规律：如图2－6－4所示，已知：直线m∥n，A、B为直线n上两点，C、P为直线m上两点．（1）请写出图2－6－4中，面积相等的各对三角形；（2）如果A、B、C为三个定点，点P在m上移动，那么，无论P点移动到任何位置，总有________与△ABC的面积相等．理由是：_________________.解决问题：如图 2－6－5所示，五边形 ABCDE是X大爷十年前承包的一块土地的示意图，经过多年开垦荒地，现已变成如图2－6－6所示的形状，但承包土地与开垦荒地的分界小路（2－6－6中折线CDE）还保留着；X大爷想过E点修一条直路，直路修好后，要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多，右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多．请你用有关的几何知识，按X大爷的要求设计出修路方案（不计分界小路与直路的占地面积）．（1）写出设计方案．并画出相应的图形；（2）说明方案设计理由．例5、如图甲，AB 、CD 是两条线段，M 是AB 的中点，S △DMC 、S △DAC 、S △DBC 分别表示△DMC 、△DAC 、△DBC 的面积，当A B ∥CD 时，有2DAC DBCS S DMC S +=△△△。

平行四边形与梯形知识点总复习(课件)人教版四年级上册数学(共31张PPT)

A.线段②长
B.线段④长
C．同样长
【某区真题】操作题。
娜娜要从B点划船到小河对岸，请你帮她把最近的路线画出来。
考点四画长方形
考点四：画长方形
画出一个长3厘米，宽2厘米的长方形。（1）画两条分别为3厘米和2厘米的垂直线段作为长方形的长和宽。（2）过垂足以外的另两个端点画出已知长和宽的垂线段。
考点二：画平行线与垂线
2. 过已知点画垂线的方法：
（1）边线重合
（2）平移到点
（3）画垂线标垂足
A
【某区真题】操作题。
做一做：你能分别过下面的点，画出相应直线的垂线吗？
考点三垂直线段与距离
考点三：垂直线段与距离
从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。平行线之间的距离处处相等。
思考：小和尚去河边打水，有3条路可以走，走哪一条路最近呢？
【某区真题】选择题。
1. 如右图，b∥c，从A点向直线c分别画了3条线段。
（1）这3条线段中，最短的是( B )。
A. ①
B. ②
C. ③
（2）最短的这条线段是直线c的（ A ）。
A. 垂线
B. 平行线
C. 射线
2. 如右图，b∥c，比较线段②和线段④的长度，是( C )。
平行四边形与梯形知识点总复习
垂直与平行画平行线与垂线垂直线段与距离
目录
画长方形
四边形的分类
平行四边形的特点和画高
梯形的高
考点一垂直与平行
考点一：垂直与平行
1. 在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。
上图中a与b互相平行，记作a∥b，读作a平行于b。

人教版小学四年级平行四边形知识点

1、垂直与平行：（1）在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。

如下图一：“直线A和直线B是平行线；直线A的平行线是直线B”（2）如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。

如下图二：“直线A和直线B相互垂直；直线A是直线B的垂线；点C是垂足。

”2、画垂线：（1）过直线上一点画这条直线的垂线方法？把三角尺的一条直角边靠近直线，三角尺上的直角顶点靠近直线上的点，然后用笔沿另一条直角边画出直线就可以了。

（2）过直线外一点画这条直线的垂线方法？把三角尺的一条直角边靠近直线，三角尺上的另一条边靠近直线外的点，然后用笔沿这条边画直线就可以了。

注意事项1.一定利用三角板上的直角边。

2.两条直线相交处一定要直。

3.画完不要忘了标上垂直符号。

（3）把直线外一点A与直线上任意一点连接，所画线段哪个最短？小结：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。

即“点A到直线所画的垂直线段最短；点A到这条直线的距离是10厘米”3、画平行线：（1）：怎样画平行线？可以用直尺和三角尺来画平行线，先把三角尺的一条直角边紧靠直线，再把直尺紧靠三角尺的另一条直角边，这时沿直尺平移三角尺，再画一条直线就可以了。

（2）：在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段，这些线段的长度特点？小结：两条平行线之间的距离是相等的。

下图中，直线AB和直线CD平行，123三条线段垂直于AB，CD，则123条线段相等。

1、平行四边形：两组对边都平行的四边形叫平行四边形从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。

垂足所在的边叫做平行四边形的底。

小结：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；四个角都是直角的四边形叫长方形。

四个角都是直角，并且四条边都相等的四边形叫正方形。

平行四边形容易变形，它不具有稳定性。