八年级数学上册第14章勾股定理本章总结提升练习(新版)华东师大版

勾股定理
本章总结提升
问题1 勾股定理
直角三角形三边的长有什么特殊的关系？
例1 已知一个直角三角形的两条边长分别为5，13，则第三条边长为________．
【归纳总结】当题目中已知直角三角形的两条不相等的边长，并且未表明直角边和斜边时，一定要分类讨论，防止漏解．若题目中已知直角三角形的两条相等的边长，则这两条边一定是直角边．
问题2 用拼图证明勾股定理
勾股定理的证明方法有哪些？赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法？
例 2 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪灵感．他惊喜地发现：当两个全等的直角三角形如图14－T－1①或②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小聪利用图①证明勾股定理的过程：
① ②
图14－T －1
将两个全等的直角三角形按图①所示摆放，其中∠DAB ＝90°，求证：a 2＋b 2＝c 2
. 证明：连结DB ，DC ，过点D 作BC 边上的高DF ，DF ＝EC ＝b －a . ∵S 四边形ADCB ＝S △ACD ＋S △ABC ＝12b 2＋1
2
ab ，
S 四边形ADCB ＝S △ADB ＋S △DCB ＝1
2c 2＋12
a (
b －a )，
∴12b 2＋12ab ＝12c 2＋1
2a (b －a )． ∴a 2
＋b 2
＝c 2
.
请参照上述证法，利用图②完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中∠DAB ＝90°. 求证：a 2
＋b 2
＝c 2
.
【归纳总结】 把图形进行“割”或“补”，这两种方法体现的是同一种思想——化归思想．
问题3 勾股定理的应用
勾股定理有哪些应用？运用勾股定理解决实际问题的关键是什么？
例3 如图14－T －2所示，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在一堵竖直的墙AO 上，这时梯脚B 到墙底端O 的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙垂直下滑0.4米，那么梯脚将外移多少米？
图14－T－2
问题4 勾股定理与方程思想的综合运用
已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形？你判断的依据是什么？证明勾股定理的逆定理运用了什么方法？
例4 如图14－T－3，在一棵树的10米高B处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘C，而另一只爬到树顶D后直扑池塘C，结果两只猴子经过的路程相等，则这棵树有多高？
图14－T－3
【归纳总结】利用勾股定理建立方程是解决此类问题的关键．
例5 如图14－T－4是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高均分别为5 dm、3 dm 和1 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，点A有一只蚂蚁，想到点B去吃可口的食物．请你想一想，这只蚂蚁从点A出发，沿着台阶上表面爬到点B的最短路程是______dm.
图14－T－4
【归纳总结】将立体图形展开为平面图形，构造直角三角形，利用勾股定理求线段的长度．
例6 如图14－T－5所示，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，求这只蚂蚁要爬行的最短路程．
图14－T－5
【归纳总结】确定立体图形表面上两点之间的最短路程问题，解题思路是将立体图形展开，转化为平面图形，并借助勾股定理解决．当长方体的长、宽、高不同时，不同表面上两点之间的距离分三种情况讨论，展开方式不同，两点间的距离也可能不同．
例7 如图14－T－6，在四边形ABCD中，已知AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，且∠B＝90°，试求∠DAB的度数．
图14－T－6
详解详析
【整合提升】 例1 12或194
例2 证明：证法一：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a.
∵S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABE ＋S △AED ＝12ab ＋12b 2＋1
2ab ，
S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝12ab ＋12c 2＋1
2a(b －a)，
∴12ab ＋12b 2＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋1
2a(b －a)， ∴a 2
＋b 2
＝c 2
.
证法二：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b －a. ∵S 五边形ACBED ＝S 梯形ACBE ＋S △AED ＝12b(a ＋b)＋1
2ab ，
S 五边形ACBED ＝S △ACB ＋S △ABD ＋S △BDE ＝12ab ＋12c 2＋1
2a(b －a)，
∴12b(a ＋b)＋12ab ＝12ab ＋12c 2＋1
2a(b －a)． ∴a 2
＋b 2
＝c 2
.
例3 [解析] 如图，AB ＝CD ＝2.5米，BO ＝0.7米，由勾股定理求得AO ＝2.4米．因此，OC ＝2.4－0.4＝2(米)．再由勾股定理求出OD 的长度，则可求出BD 的长度，即梯脚外移的距离．
解：如图，在Rt △OAB 中，
AO＝AB2－OB2＝ 2.52－0.72＝2.4(米)，OC＝2.4－0.4＝2(米)．
在Rt△COD中，
OD＝CD2－OC2＝ 2.52－22＝1.5(米)，
∴BD＝OD－OB＝1.5－0.7＝0.8(米)．
即梯脚将外移0.8米．
例4解：设BD＝x米，则AD＝(10＋x)米，CD＝(30－x)米．
根据题意，得(30－x)2－(10＋x)2＝202，解得x＝5.
即树的高度是10＋5＝15(米)．
例5[答案] 13
[解析] 将台阶上表面展开，如图，
因为AC＝3×3＋1×3＝12，BC＝5，
所以AB2＝AC2＋BC2＝169，
所以AB＝13dm，
所以蚂蚁爬行的最短路程为13 dm.
例6[解析] 沿长方体表面从点A爬到点B，考虑路线最短的问题有三种途径：(1)从右侧面和前面走；(2)从右侧面和上底面走；(3)从后侧面和上底面走．
解：沿长方体的表面从点A爬到点B的走法有三种：
(1)沿右侧面和前面走时，如图①所示，由勾股定理，得AB＝152＋202＝625＝25，即路线长l1＝25.
(2)沿右侧面和上底面走时，如图②所示，由勾股定理，得AB＝（20＋5）2＋102＝725，即路线长l2＝725.
(3)沿后侧面和上底面走时，如图③所示，由勾股定理，得AB＝52＋302＝925，即路线长l3＝925.
因为l1＜l2＜l3，故这只蚂蚁要爬行的最短路程为25.
例7解：如图，连结AC.
在Rt△ABC中，∠B＝90°，且AB＝BC，
所以∠BAC＝45°.
由AB∶BC∶CD∶DA＝2∶2∶3∶1，
设AB＝BC＝2x，CD＝3x，DA＝x.
因为∠B＝90°，
所以AC2＝AB2＋BC2＝8x2，
所以AC2＋AD2＝8x2＋x2＝9x2＝CD2，
故∠DAC＝90°，
所以∠DAB＝∠BAC＋∠DAC＝135°.。