动量定理

m1l
2(m1
m2 )l

1 2
(5m1

4m2 )l
例 题1
y vB
B vA
A
ω vE
O φE
vD
D x
y B pBD+pB+pD
A ω pOA O φE
D x
(b)
例题1
第11章 动量定理
是非题：
一小车在力F作用下沿x轴正向运动,其初速度v ＞0.如力F的方向与x轴正向一致,大小随时间 减少,则小车的速度也是随时间逐渐减小的.
30
m1g+m2g
m2
m1 v2
O
x
F
F=F1+F2
t t
t Fdt (m1 m2 )gt m1v1 sin
令F ′为车受到的平均法线约束力， 此力可以看成常力，
t t
Ft t Fdt
Ft (m1 m2)gt m1v1 sin
F

(m1
对上式积分，积分的上下限是：时间取0到t，速度则由v0到v，
可得：
t
mv mv0
Fdt
0
质点动量定理的积分形式。
在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于质点的力 在相同时间内的冲量。
质点系的动量定理
作用于质点系中各质点的力包括外力和内力。
外力：质点系以外的其他物体作用于质点的力。
内力：质点系内各质点之间相互作用的力。

m2
)g

m1v1 sin t

6.38
N
例题
第3章 动量定理
y
A
B
O
α
例 题 3-13
例题
如图所示，在静止的小船上，一人自船头走
第11章 动量定理 到船尾，设人质量为m2，船的质量为m1 ，船长l，
水的阻力不计。求船的位移。
y
a
m2g
O
b m1g
s
m2g m1g
l
解：
xC1

m2a m2

m1b m1
x
xC 2

m2 (a

l s) m1(b m2 m1

s)
x
xC1 xC2
Fy = (m1 + m2)g m2bω2sinωt
例题
第11章 动量定理
v1
m1
30
m2
例题
设一质量m1 =10 kg的邮包从传 递带上以速度v1=3 m·s－1沿斜面落 入一小车内，如图所示。已知车的 质量m2 =50 kg，原处于静止，不计 车与地面的摩擦，求（1）邮包落 入车后，车的速度；（2）设邮包 与车相撞时间Δt=0.3 s，求地面所 受的平均压力。
第十一章
动量定理
质点运动微分方程的直角坐标形式为:
mx my

Fx Fy
mz Fz
与运动特征相关的量——动量、动量矩、动能
与力特征相关的量——冲量、力矩、功
关系
动力学普遍定理
重点研究刚体在 各种运动形式下的
运动微分方程
动量定理 动量矩定理
动能定理
动量
mv 质点的质量与速度的乘积称为质点的动量。
错.
冲量
作用力与作用时间的乘积称为常力的冲量
I Ft
在dt时间间隔内力F的冲量
dI Fdt
元冲量
F是变量
变力F（t）在作用时间t内的冲量。
I Fdt
注意：冲量是矢量
质点的动量定理
d
(mv)
F
dt
d
(mv)

Fdt
质点动量定理的微分形式。
质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量
dPx dt

F (e) x
dPy dt

F (e) y
dPz dt


F (e) z
P
P0
dP

n

i1
0tFi (e)dt
n
P

P0


I (e) i
i1
质点系动量定理的积分形式：
在某一时间间隔内，质点系动量的增量等于在这段时间内 作用于质点系外力冲量的矢量和
锤重Q=300N，从高度H=1.5m处自由落到锻件上，锻件发生 变形，历 时τ=0.01s， 求锤对锻件的平均压力.
m1u m1v I
u m1v1 m1 m2
I

m1m2 m1 m2
v1
F I m1m2 v1 t m1 m2 t
质量中心：
x c
mi xi M
y c
mi yi M
zc
mi zi M
M
mi
质心和重心是两个不同的概念
重心是与重力场相联系的，离开了重力场就没有 意义。而质心是质点系的质量分布情况的一个几何点， 它是客观存在的，与作用力无关。
以人为研究对象.视为质点.
人从飞机上跳下至伞张开:
v1 2gh 29.8100 44.3m s
伞张开至降落速度达到v2=5m/s
mv2 v1 mg FT t
?
FT 1718N
x
质点系动量守恒定律：
n
P

P0

I (e) i
i1
Fi(e) 0
y
t 瞬时
Fx F (m1 m2 )g
Ox轴方向动量守恒
p1x p2x
3 m﹒s－1
30
m2
m1
O
x
m1v1 cos (m1 m2 )v2
邮包落入车后车的速度为
v2

m1v1 cos
m1 m2
0.433
m s－1
例题
y
t+Δt 瞬时
30
m1g+m2g
s m2l m2 m1
动量定理在跳高中的应用:
动量定理在跳高中的应用:
跨越式：一腿向前伸出先过杆，另一腿再过。 翻滚式：身体绕纵轴翻滚，水平过杆。 背越式：身体弯曲，背部过杆。
V0
C
质心为抛物线
V0 C
30cm
横杆高度
V0
C
10cm
C
横杆高度
跨越式：1.8m－0.3m=1.5m
V0
C
10cm
质点系的动量
质点系内各质点动量的矢量和称为质点系
的动量。
p

n

mivi
p

n

mi
vi
i1

mi
dri dt

d dt
miri
p
i1
mvc
rc

miri m
质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积
vc 0

vc
c
c
例题1
第11章 动量定理 画椭圆的机构由匀质的曲柄 OA，规尺 BD 以及 滑块B 和 D 组成，曲柄与规尺的中点 A 铰接。已知规尺长2l ，质 量2m1；两滑块的质量都是m2；曲柄长l，质量m1，并以角速度 ω绕 O 转动。试求当曲柄 OA 与水平成角φ时整个机构的动量。
研究锤，分析受力:
锤由高 H 处自由落下所需时间:
t 2H
Q
g
建投影轴，列动量定理:
Hy
mv2y mv1y I y
v1 0,经过(t )时间,v2 0 ,而 Iy Q(t τ) FNτ

FN

Q(
t τ
1)

16.9kN
质量为75kg的跳伞运动员，从飞机中跳出后铅垂下降，待 降落100m时将伞张开，从这时起经过时间t=3s后降落速度变为 5m/s。求降落伞绳子拉力的合力（平均值）。
M x&&C
M y&&C
其投影式为：
Fx Fy
Macn Fn Mac F
若作用在质点系上的合外力ΣF=0，则 ac=0，VC=常量，即
质系的质心做惯性运动；若初始 vc= 0，则质心保持静止不动。
若作用在质点系上的合外力在某轴上的投影ΣX=0，则 acx=0，
Vcx=常量，即质系的质心在该轴方向做惯性运动；若初始 vcx= 0，
n

d
(mivi
)

n

Fi
(e)dt
n

Fi
( i ) dt
i1
i1
i1
0 质点系动量的增量等于作用于质点系的
外力元冲量的矢量和
质点系动量定理的微分形式：
dp

n

Fi (e)dt

n

dI (e)
i
i1
i1
d dt
P

n

i1
F (e)
i
质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外力的矢量和
设质点系有n个质点，第i个质点的质量为mi，速度为vi，质点系以外的物体
对该质点的作用力为Fi(e)，即外力；质点系内部其他质点对该质点的作用力
为Fi(i)，即内力。
d (mivi )


(
F (e) i

Fi(i) )dt

Fi ( e ) dt

Fi(i)dt
对于该质点系，类似的方程有n个。n个方程相加得：
例题
第11章 动量定理
例题
例题
第11章 动量定理
解：研究邮包和小车组成的质点系，t
瞬时质点系的动量为
p1 m1v1 m2 0
t+Δt 瞬时质点系的动量为 p2 (m1 m2 )v2
动量p1和p2在坐标轴Oxy上的投影为
p1x m1v1 cos p1y m1v1 sin
y vB
B
vA
A
ω
O
φ
D x
vD
例题
第11章 动量定理
解：整个机构的动量
p = pOA + pBD + pB + pD
pOA = m1vE = m1lω/2
因为规尺和两个滑块的公共质心在点A， 它们的动量表示成
p´= pBD + pB + pD = 2(m1 + m2)vA
p

pOA

p

1 2
动画
第11章 动量定理
动画
第11章 动量定理
动画
第11章 动量定理
两人若在地面上拔 河，力气大者必胜。
若质量分别为mA,mB 的宇航员A和B在太 空中拔河，开始时 两人在太空中保持 静止，然后分别抓 住绳子的两端使尽 全力相互对拉。若A 的力气大于B的力气， 拔河赛的胜利属于 谁？
时，电动机所受的总水平力和铅直力。
y
O2
ω
O1
b ωt
x
W2
W1
Fx
Fy
例题
第11章 动量定理
例题
例题
第11章 动量定理
例题
解: 质心 C 的运动微分方程为
y
(m1 m2 )&x&C Fx (m1 m2 )&y&C Fy m1g m2g
xC

m1x1 m1
m2 x2 m2
y
t 瞬时
3 m﹒s－1
30
m2
m1
O
x
p2x (m1 m2 )v2 p2 y 0
例题
y
t+Δt 瞬时
30
m1g+m2g
m2
m1 v2
O
x
F1
F2
例题
第11章 动量定理
质点系水平方向不受外力，铅直方向受重力
m1g+m2g，地面法向约束力的合力为F=F1+F2，
则有
Fx 0
则质心在该轴方向保持不动。也即质心在该轴方向运动守恒。
质心运动守恒定律：
如果作用于质点系的外力主矢恒等于零， 则质心作匀速直线运动；若开始静止，则质 心位置始终保持不变。如果作用于质点系的 所有外力在某轴上投影的代数和恒等于零， 则质心速度在该轴上的投影保持不变；若开 始时速度投影等于零，则质心沿该轴的坐标 保持不变。
机车的质量为m1，车辆的质量为m2，它们是通过相互撞击而 挂钩。若挂钩前，机车的速度为v1，车辆处于静止，如图所示。 求（1）挂钩后的共同速度u；（2）在挂钩过程中相互作用的冲量
和平均撞击力。设挂钩时间为t秒，轨道是光滑和水平的。
以机车和车辆为研究对象
以机车为研究对象
系统的动量在水平方向是守恒的
m1v1 m1 m2 u

P P0 恒矢量
如果作用于质点系的外力主矢在某一坐标 轴上的投影恒等于零，质点系的动量在该坐 标轴上的投影保持不变。
px p0x 恒量
只有外力才能使质点系的动量发生变化， 而内力不能改变整个质系的动量;但是， 内力可以改变质点系内部分质点的动量. 对仅受内力作用的质点系，如果其中某 一部分的动量发生变化，则另一部分的 动量也必然变化.0
p mi vi mvc
dp
dt

d dt
(mvc )
n
Fie
i 1
m dvc dt
n Fi (e)
i1
质心运动定理：
பைடு நூலகம்
mac

n F (e)
i
i1
质点系的质量与质心加速度的乘积等 于作用于质点系外力的矢量和
mac

n F (e)
i
i1

m2 m1 m2
bcos t
yC

m1 y1 m2 y2 m1 m2

m2 m1 m2
bsin t
O2
ω
O1
b ωt
x
W2
W1
Fx Fy
&x&C

m2 m1 m2
b 2
cost
Fx = m2bω2cos ωt
&y&C

m2 m1 m2
b 2
sin t
翻滚式：1.8m－0.1m=1.7m
C
横杆高度
背越式：1.8m＋0.1m=1.9m
例题
第11章 动量定理
例题
电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子的质量是
m1，转子的质量是 m2，转子的轴线通过定子的质心 O1。制造 和安装的误差，使转子的质心 O2对它的轴线有一个很小的偏
心距 b（图中有意夸张）。试求电动机转子以匀角速度 转动
m2
m1 v2
O
x
F
F=F1+F2
例题
第11章 动量定理
y
t 瞬时
3 m﹒s－1
30
m2
m1
O
x
例题
由动量定理有
tt
p2 y p1y t F (m1 m2 )g dt
y
t+Δt 瞬时
t t
0 (m1v1 sin ) t Fdt (m1 m2)gt