双曲线渐近线求方程问题 .doc
共渐近线的双曲线方程例题
共渐近线的双曲线方程例题
双曲线是一种曲线，它的曲线形状与椭圆形类似，但它的两个焦点不在同一条直线上。
双曲线的方程可以用一般式来表示：
$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$$
其中，a和b是双曲线的两个焦点距离的一半。
双曲线的一个重要性质是它的渐近线，即双曲线的曲线两端的直线。
渐近线的方程可以用一般式来表示：
$$\frac{x}{a}-\frac{y}{b}=1$$
双曲线的渐近线是一条直线，它的斜率是$\frac{b}{a}$，且两个焦点到渐近线的距离都是$\frac{ab}{a+b}$。
例如，若双曲线的两个焦点分别为$(2,0)$和$(0,3)$，则双曲线的方程为：
$$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$$
而双曲线的渐近线方程为：
$$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}=1$$
双曲线的渐近线斜率为$\frac{3}{2}$，且两个焦点到渐近线的距离都是$\frac{6}{5}$。
双曲线的渐近线是双曲线的一个重要性质，它可以帮助我们更好地理解双曲线的特性，并且可以用来解决一些实际问题。
双曲线 渐近线方程公式推导方法
双曲线渐近线方程公式推导方法双曲线是一种经典的曲线形状，在数学和几何学中具有重要的应用。
它有两个焦点和一个变量距离的特点，可以用渐近线方程来描述。
下面将介绍双曲线的渐近线方程公式推导方法。
首先，我们需要了解双曲线的基本定义和性质。
双曲线的标准方程是：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$。
其中，$a$和$b$分别代表双曲线在$x$轴和$y$轴上的半轴长度。
双曲线的渐近线是指当距离双曲线足够远时，曲线与一条直线逼近的趋势。
双曲线有两组渐近线，分别是与$x$轴和$y$轴平行的直线。
接下来，我们将推导双曲线的与$x$轴平行的渐近线方程。
假设这条直线的方程为$y = mx + c$，其中$m$和$c$分别代表直线的斜率和截距。
将直线方程代入双曲线的标准方程中得到：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{(mx + c)^2}{b^2} = 1$通过化简和整理可得：$x^2b^2 - (mx + c)^2a^2 = a^2b^2$继续展开等式并进行整理，得到：$(b^2 - a^2m^2)x^2 - 2a^2mcx - a^2c^2 + a^2b^2 = 0$这是一个二次方程，当$x$趋近于正无穷或负无穷时，我们只需要考虑二次方程中的$x^2$的系数。
如果$b^2 - a^2m^2 \neq 0$，则直线与双曲线将交于两个点，即双曲线没有$x$轴平行的渐近线。
但如果$b^2 - a^2m^2 = 0$，那么直线与双曲线将相切或重合于一点。
这时，双曲线将有一个$x$轴平行的渐近线，其方程为$y = mx + c$。
而$c$的取值可通过将直线方程代入双曲线方程进行求解得到。
对于双曲线的与$y$轴平行的渐近线方程，可以使用类似的方法进行推导。
只需要交换$x$和$y$的位置，并得到与$y$轴平行的直线方程。
综上所述，我们可以通过将直线方程代入双曲线的标准方程，通过推导和求解二次方程来得到双曲线的渐近线方程。
2 双曲线渐近线有关问题 讲义及练习
讲次2.双曲线渐近线有关问题-教师版一.综述在双曲线的几何性质中,渐近线是双曲线所特有的性质,因此学好双曲线的渐近线对学习双曲线的几何性质有很大的帮助.过双曲线实轴的两个端点与虚轴的两个端点分别作对称轴的平行线，它们围成一个矩形，其两条对角线所在直线即为双曲线的渐近线.画双曲线时,应先画出它的渐近线.理解“渐进”两字的含义,当双曲线的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近,接近的程度是无限的.掌握根据双曲线的标准方程求出它的渐近线方程的方法.最简单且实用的方法是：把双曲线标准方程中等号右边的1改成0，就得到了此双曲线的渐近线方程.即:(1)已知双曲线方程求渐近线:(2)已知渐近线设双曲线标准方程在考题中,常结合双曲线方程和离心率进行考查,只要抓住渐近线斜率与离心率可以通过的关系进行相互转化即可.几何性质中我们除了要掌握对称性,还需要熟记焦点到渐近线的距离为. 二.例题精讲 破解规律例 1. 已知双曲线（）的一条渐近线被圆截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为( ) A . B .C .D . 分析:双曲线渐近线为过原点的两条相交直线,且斜率分别为.由已知条件根据直线与圆的位置关系可以求出其中一条渐近线的斜率然后再利用求出离心率. 解析: 由题意得圆方程即为，故圆心为（3,0），半径为2.双曲线的一条渐近线为，即，故圆心到渐近线的距离为。
∵渐近线被圆截得的弦长为2,∴，整理得. ∴选D. 答案：D .点评: 双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率是双曲线的重要性质，求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a 、b 、c 的方程或不等式，利用和转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的22221x y a b -=22220x y by x a b a-=⇒=±y mx =222m x y λ-=222a b c +=b 22221x y a b-=0,0a b >>22650x y x +-+=2ba±222a b c +=22(3)4x y -+=by x a=0bx ay -=d ==22212⎛⎫+=2212b a =c e a =====222a b c +=e=ca值或取值范围．规律总结:相关渐近线斜率k 与离心率e 的问题,由,可以得到进行相互转化.现学现用1: 已知焦点在x 轴上双曲线的离心率为2，则双曲线的渐近线方程为（ ） A .B .C .D . 解析: ∵双曲线的离心率为2∴，即∵∴，即∴双曲线的渐近线方程为故选D例2. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线与N ,若,则双曲线的渐近线方程为 .分析:题目中给出的向量表达式,从代数的角度讲就是给出向量坐标的比例关系,通过这个比例关系,列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而求出渐近线方程.从几何的角度讲,就是给出点M 分线段NF 的比例,再利用渐近线的对称性结合三角函数知识进而解决问题. 解析: (解法一)如下图所示:由对称性,令,渐近线的斜率为.易知, 故, 所以①; 由已知得:; 在和中,易得② 由①②得: 解得;所以渐近线方程为: 222a b c +=2221k e +=C 3y x =±y =2y x =±y =2222:1(0,0)x y Ca b a b -=>>2c a=224c a =222c a b =+223b a =ba=2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>y =2222:1x y C a b-=73FM FN =73FM FN =2,MOF NOF MON αβ∠=∠=∠=1l tan k α=2αβπ+=()222tan 2tan tan 2tan 21tan 1kkαβπααα=-=-=-=---222tan 21tan 1kk k k βα--==--73FM FN =43MN MF=MOF Rt #MON Rt #tan 4tan 3MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭22413k -=-2k =±2y x =±(解法二) 由题意得双曲线的右焦点F (c ,0)，设一渐近线OM 的方程为，则另一渐近线ON 的方程为．设，∵，∴， ∴，解得．∴点M 的坐标为， 又，∴，整理得，∴双曲线的渐近线方程为答案:. 点评: 本题主要考查双曲线及渐近线,解法一利用对称性与三角函数列方程找出a 、b 、c 的关系式,从而解出k .解法二代数法列方程求出坐标,再利用垂直关系,解出k规律总结:关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用渐近线的对称性结合三角方法来处理.现学现用2: 点在双曲线的右支上，其左、右焦点分别为、，直线与以坐标原点为圆心、为半径的圆相切于点，线段的垂直平分线恰好过点，则该双曲线的渐近线的斜率为__________． 答案: 解析:如图,是切点,是的中点,因为,所以,又,所以,,又,根据双曲线的定义,有,即，两边平方并化简得，所以， 因此.by x a=b y x a =-,,,bm bn M m N n a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭73FM FN =7,3,bm bn m c n c a a ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()73 73m c n c bm bn a a -⎧=-=-⎪⎨⎪⎩27 23c m c n ⎧⎪⎪⎨==-⎪⎪⎩22,77c bc a ⎛⎫ ⎪⎝⎭OM FM ⊥27127OM FMbc b a k k c a c ⋅=⨯=--2252b a=b y x a =±=y x =P 22221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F 1PF O a A 1PF 2F 43±A B 1PF OA a =22BF a =122F F c =12BF b =24PF b =2122PF F F c ==122PF PF a -=422b c a -=223250c ac a --=53c a=43b a ==例3: 已知双曲线过其左焦点 作斜率为的直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为A 、 ，若 ，则双曲线的两条渐近线方程为 A .B .C .D .分析:答案:C解析:由题意设直线 的直线的方程为.与两条渐近线联立.，得 ;，得 若，则，解得 ，故双曲线的两条渐近线方程为故选C .点评:本题给出直线的斜率,较适宜列方程解出坐标.再利用转化为坐标的比例关系.规律总结: 关于直线与双曲线渐近线交点问题,可以利用解析法求出交点坐标,利用坐标的关系解答问题.现学现用3: 已知双曲线的中心为原点， 是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A .B .C .D . 解析:设双曲线的标准方程为，由题意知c =3,a 2+b 2=9，设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)，则有:, C ()3,0F C F l C A B AB ()12,15N --y x =y x =y =2y x =±()222210,0x y a b a b-=>>2211222222221 1x y a b x y a b ⎧⎪⎪⎨-=-=⎪⎪⎩两式作差得： ，又AB 的斜率是，所以将4b 2=5a 2代入a 2+b 2=9得：a 2=4,b 2=5.则双曲线的渐近线方程为. 本题选择A 选项.三.课堂练习 强化技巧1. 已知以原点为中心，实轴在轴上的双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为（ ）A .B .C .D .答案:C解析:∵双曲线的一条渐近线方程是，∴∴c =10.∵c 2=a 2+b 2∴a 2=64 b 2=36∴双曲线方程为=1故答案为.2.已知双曲线， 为双曲线的左右顶点，若点在双曲线上，且满足为一个顶角为的等腰三角形，则双曲线的渐近线方程是（ ） A . B .C .D . 答案:A解析:由题意，设，则，则，即双曲线的方程为，其渐近线方程为；故选A .22212122221212124155y y x x b b b x x a y y a a-+-=⨯=⨯=-+-1501123--=--2y x =±x 34y x =221169x y -=221916x y -=2216436x y -=2213664x y -=34y x =34b a =610c =⇒=226436x y -C 22221(00)x y a b a b-=>>，,A B M ABM ∆120︒=y x ±=y ±=2y x ±=y x ±()()(),0,,0,,A a B a M x y -tan30tan60AM BMy k x ay k x a ==︒+=⎧⎪︒-⎨=⎪⎪⎪⎩2221y x a =-222x y a -=y x =±3. 已知双曲线的右焦点为F ,过点F 向双曲线的一条渐近线引垂线,垂足为M ,交另一条渐近线于N ,若,则双曲线的渐近线方程为 . 解析:如下图所示:令,渐近线的斜率为. 由对称性知,故,所以①; 由已知得:; 在和中,易得②由①②得:解得;所以渐近线方程为:四.课后作业 巩固内化 1.已知双曲线过点，渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（ ）A .B .C .D .答案:B解析:设双曲线的标准方程 ,选B2. 已知双曲线，其一渐近线被圆所截得的弦长等于 ，2222:1x y C a b-=2MF FN =,MOF MON αβ∠=∠=1l tan k α=2βα=222tan 2tan tan 21tan 1kk αβαα===--222tan 21tan 1kk k kβα-==-2MF FN =31MN MF =MOF Rt #MON Rt #tan 3tan 1MN OM MN MF MF OM βα⎛⎫⎪⎝⎭===⎛⎫ ⎪⎝⎭2231k =-k =y =()1,2y =2212x y -=2212y x -=2213y x -=2213x y -=2222242212y y x x λλ-=∴=-=∴-=则 的离心率为( ) A .B .C .或 D .或 答案:D解析: 的渐近线为渐近线被 截得的弦长为或或。
由渐近线求双曲线方程
问题 求双曲线22
1164
x y -=的渐近线方程.
求双曲线22
182
x y -=的渐近线方程.
例 求与椭圆x 2＋5y 2＝5共焦点且一条渐近线方程为y －3x ＝0的双曲线方程.
例 求中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (2，－1)，渐近线方程是y ＝±3x 的双曲线方程.
小结 由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法.当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，若已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，可以将方程设为x 2a 2－y 2
b 2＝λ (λ≠0)，避免讨论焦点的位置.
【巩固练习】 （2015新课标1）已知双曲线过点，且渐近线方程为，则该双曲线的标准方程为 ．
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，故可设双曲线的方程为 22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点
，所以2
244
λ-=，所以1λ=， 故双曲线的方程为2
214
x y -=．
)3,4(x y 21±=x y 2
1±=)3,4(
（2014北京）设双曲线C 经过点()2,2，且与2
214
y x -=具有相同渐近线，则C 的方程为________；渐近线方程为________． 【解析】设与2214y x -=具有相同渐近线的双曲线C 的方程为2
24
y x k -=，将点()2,2代入C 的方程中，得3k =-．∴双曲线的方程为22
1312
x y -=，渐近线方程为2y x =±．。
双曲线渐近线方程讲解
双曲线渐近线方程讲解
双曲线的渐近线方程是描述双曲线无限接近但不相交的直线的方程。
具体来说，对于双曲线上的任意一点P，其到渐近线的距离是无限的，但永远不会相交。
对于焦点在x轴上的双曲线，其标准方程为 $\frac{x^2}{a^2} -
\frac{y^2}{b^2} = 1$ ，其渐近线方程为 $y = \pm \frac{b}{a}x$ 。
对于焦点在y轴上的双曲线，其标准方程为 $\frac{y^2}{a^2} -
\frac{x^2}{b^2} = 1$ ，其渐近线方程为 $y = \pm \frac{a}{b}x$ 。
这些渐近线方程是基于双曲线的标准方程，通过将等式右边的常数项设为0，然后将等式两边同时除以该常数项来得到的。
渐近线方程在几何和解析几何中非常重要，特别是在解决与双曲线和直线相交的问题时。
此外，它们还在物理学、工程学和其他领域中有广泛应用。
例如，在光学中，光线经过透镜后将沿着渐近线方向传播。
渐近线方程求双曲线
渐近线方程求双曲线全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：双曲线是解析几何学中的一个重要概念，它是平面上的一个曲线，具有许多有趣的性质和特点。
在数学中，我们经常需要求解双曲线的各种参数和方程，其中渐近线方程是一个非常重要的内容。
渐近线是双曲线的特殊直线，它和双曲线的曲线在无穷远处相交，并且在这个交点处双曲线的斜率趋于无穷大。
由于双曲线的特殊形态，它的渐近线方程的求解相对比较复杂。
在本文中，我们将详细介绍如何通过双曲线的方程求解渐近线方程的方法。
我们来看一个简单的双曲线方程：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1，其中a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的半轴长度。
这个双曲线的渐近线方程与x轴和y轴分别平行。
双曲线的渐近线方程过双曲线的左右焦点，并且与双曲线在这两个点处相切。
要求解双曲线的渐近线方程，我们首先需要找到双曲线的左右焦点的坐标。
根据双曲线的标准方程，我们可以得到左右焦点的坐标分别为(-\sqrt{a^2+b^2},0)和(\sqrt{a^2+b^2},0)。
接下来，我们需要求解这两个点处双曲线的斜率。
在双曲线上任意一点(x,y)处，双曲线的斜率可以表示为\frac{dy}{dx}=\frac{b^2y}{a^2x}。
然后我们将x代入双曲线的标准方程中，得到y=\pm\frac{b}{a}\sqrt{x^2-a^2}。
将y代入到双曲线的斜率公式中，我们可以得到双曲线在左右焦点处的斜率分别为-b/a和b/a。
根据斜率和双曲线的焦点信息，我们可以求解双曲线的渐近线方程。
渐近线的方程可以表示为y=mx+b，其中m为渐近线的斜率，b 为截距。
对于双曲线的左右焦点，我们可以根据焦点坐标和斜率得到下面的两个方程：y=-\frac{b}{a}x+b_1其中b_1和b_2分别为渐近线的左右斜率。
带入焦点坐标，我们可以得到下面的方程：\frac{b}{a}\sqrt{a^2+b^2}+b_2=0解上面的方程组，我们可以得到b_1=-\frac{b^2}{a\sqrt{a^2+b^2}}和b_2=\frac{b^2}{a\sqrt{a^2+b^2}}。
双曲线渐近线方程
双曲线渐近线方程标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。
双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。
渐近线特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
当上一点M沿曲线无限远离时，如果M到一条的于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线 x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程 - ＝1与 - ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线 - ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为 - ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为 - ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆， b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线 - ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a是怎样得出来的直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A2、A1作y轴的平行线x＝±a，经过B2、B1作x轴的平行线y ＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4； (2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即 A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论一、概述在数学中，双曲线是一种经常出现的曲线形式，它是一种重要的几何概念。
而双曲线的渐近线方程则是另外一种与双曲线密切相关的数学概念。
本文将从双曲线方程与其渐近线方程之间的关系入手，深入探讨这两者之间的通联和作用。
二、双曲线方程的基本形式双曲线的一般方程形式为：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$，其中$a$和$b$分别为双曲线在$x$轴和$y$轴上的定点。
通过对双曲线方程进行适当的平移和旋转操作，可以得到不同形式的双曲线方程，如横坐标和纵坐标对调的双曲线方程等。
三、双曲线的渐近线方程双曲线的渐近线方程可以通过双曲线方程中的参数$a$和$b$来确定。
对于双曲线$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$，其渐近线方程可以表示为$x=\pm\frac{a}{b}y$。
这意味着，双曲线方程中的参数$a$和$b$可以直接决定双曲线的渐近线方程。
四、双曲线方程和渐近线方程的关系双曲线方程和其渐近线方程之间存在着密切的关系。
从双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}=1$的形式中可以直接得到其渐近线方程$x=\pm\frac{a}{b}y$。
这说明双曲线方程和其渐近线方程是密切相关的，可以互相推导和确定。
另通过双曲线方程和其渐近线方程之间的关系，可以进一步推导出双曲线曲线的性质和特点。
根据双曲线方程和其渐近线方程的关系，可以得到双曲线在无穷远点附近的性态和渐进行为。
这进一步丰富了我们对双曲线的理解和认识。
五、个人观点对于双曲线方程与其渐近线方程之间的关系，我个人认为这种关系不仅能够帮助我们更深入地理解双曲线本身的特性，还可以为我们在数学建模和科学研究中提供重要的数学工具和方法。
通过深入研究和理解双曲线方程和渐近线方程之间的关系，我们可以更好地应用双曲线来描述现实世界中复杂的变化和规律。
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【最新整理，下载后即可编辑】双曲线渐近线方程百科名片双曲线渐近线方程双曲线渐近线方程，是一种几何图形的算法，这种主要解决实际中建筑物在建筑的时候的一些数据的处理。
双曲线的主要特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
是一种根据实际的生活需求研究出的一种算法。
渐近线特点：无限接近，但不可以相交。
分为铅直渐近线、水平渐近线和斜渐近线。
当曲线上一点M沿曲线无限远离原点时，如果M到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
需要注意的是：并不是所有的曲线都有渐近线，渐近线反映了某些曲线在无线延伸时的变化情况。
根据渐近线的位置，可将渐近线分为三类：水平渐近线、垂直渐近线、斜渐近线。
y=k/x(k≠0)是反比例函数，其图象关于原点对称，x=0，y=0为其渐近线方程当焦点在x轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)b/a]x 当焦点在y轴上时双曲线渐近线的方程是y=[+(-)a/b]x双曲线的简单几何性质1.双曲线x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1的简单几何性质(1)范围：｜x｜≥a,y∈R.(2)对称性：双曲线的对称性与椭圆完全相同，关于x轴、y轴及原点中心对称.(3)顶点：两个顶点A1(-a,0),A2(a,0)，两顶点间的线段为实轴，长为2a，虚轴长为2b，且c2＝a2+b2.与椭圆不同.(4)渐近线：双曲线特有的性质，方程y＝±b/ax，或令双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2 ＝1中的1为零即得渐近线方程.(5)离心率e≥1，随着e的增大，双曲线张口逐渐变得开阔.(6)等轴双曲线(等边双曲线)：x2-y2＝a2(a≠0),它的渐近线方程为y＝±b/ax,离心率e＝c/a=√2(7)共轭双曲线：方程- ＝1与- ＝-1表示的双曲线共轭，有共同的渐近线和相等的焦距，但需注重方程的表达形式.注重：1.与双曲线- ＝1共渐近线的双曲线系方程可表示为- ＝λ(λ≠0且λ为待定常数)2.与椭圆＝1(a＞b＞0)共焦点的曲线系方程可表示为- ＝1(λ＜a2,其中b2-λ＞0时为椭圆，b2＜λ＜a2时为双曲线)2.双曲线的第二定义平面内到定点F(c,0)的距离和到定直线l:x＝+(-)a2/c 的距离之比等于常数e＝c/a (c＞a＞0)的点的轨迹是双曲线，定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，焦准距(焦参数)p ＝，与椭圆相同.3.焦半径( - ＝1,F1(-c,0)、F2(c,0))，点p(x0,y0)在双曲线- ＝1的右支上时，｜pF1｜＝ex0 a,｜pF2｜＝ex0-a;P在左支上时，则｜PF1｜=ex1+a ｜PF2｜＝ex1-a.本节学习要求：学习双曲线的几何性质，可以用类比思想，即象讨论椭圆的几何性质一样去研究双曲线的标准方程，从而得出双曲线的几何性质，将双曲线的两种标准方程、图形、几何性质列表对比，便于把握.双曲线的几何性质与代数中的方程、平面几何的知识联系密切；直线与双曲线的交点问题、弦长间问题都离不开一元二次方程的判别式，韦达定理等；渐近线的夹角问题与直线的夹角公式.三角函数中的相关知识，是高考的主要内容.通过本节内容的学习，培养同学们良好的个性品质和科学态度，培养同学们的良好的学习习惯和创新精神，进行辩证唯物主义世界观教育.双曲线的渐近线教案教学目的(1)正确理解双曲线的渐近线的定义，能利用双曲线的渐近线来画双曲线的图形．(2)掌握由双曲线求其渐近线和由渐近线求双曲线的方法，并能作初步的应用，从而提高分析问题和解决问题的能力．教学过程一、揭示课题师：给出双曲线的方程，我们能把双曲线画出来吗？生(众)：能画出来．师：能画得比较精确点吗？(学生默然．)其附近的点，比较精确地画出来．但双曲线向何处伸展就不很清楚了．在画其他曲线时，也有同样的问题．如曲线我们可以比较精确地画出整个曲线．因为我们知道，当曲线伸向远处时，它逐渐地越的趋向，我们是清楚的，它逐渐地在x轴负方向上越来越接近x轴，即x轴为y＝2x的一条渐近线，但它的另一端则不然，它伸向何处是不够清楚的．所以双曲线和其他曲线一样，当它向远处伸展时，它的趋向如何，是需要研究的问题．今天这堂课，我们就来讨论一下“双曲线向何处去”这样一个问题．(板书课题：双曲线的渐近线．)二、讲述定义师：前一课我们讨论了双曲线的范围、对称性和顶点，我们回忆一下，双曲线的范围x≤－a，x≥a 是怎样得出来的？直线x＝－a和x＝a的外侧．我们能不能把双曲线的范围再缩小一点？我们先看看双曲线在第一象限的情况．设M(x，y)是双曲线上在第一象限内的点，则考察一下y变化的范围：因为x2－a2＜x2，所以这个不等式意味着什么？(稍停，学生思考．)平面区域．之间(含x 轴部分)．这样，我们就进一步缩小了双曲线所在区域的范围．为此，我们考虑下列问题：经过A 2、A 1作y 轴的平行线x ＝±a，经过B 2、B 1作x 轴的平行线y ＝±b，以看出，双曲线的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近．下面，我们来证明这个事实．双曲线在第一象限内的方程可写成设M(x，y)是它上面的点，N(x，Y)是直线上与M有相同横坐标的点，则设|MQ|是点M到直线的距离，则|MQ|＜|MN|．当x逐渐增大时，|MN|逐渐减小，x无限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是说，双曲线在第一象限的部分从射线ON的下方逐渐接近于射线ON．在其他象限内也可以证明类似的情况．我们把两条直线叫做双曲线的渐近线．现在来看看实轴在y轴上的双曲线的渐近线方程是怎样的？由于实轴在y轴上的双曲线方程是由实轴在x轴上的双曲线方程，将x、y字母对调所得到，自然，前者这样，我们就完满地解决了画双曲线远处趋向的问题，从而可比较精确地画出双手画出比较精确的双曲线．[提出问题，解决问题，善始善终．]三、初步练习(根据由双曲线求出它的渐近线方程与由渐近线求出相应的双曲线方程这两要求，出四个小题让学生练习．)1．求下列双曲线的渐近线方程(写成直线方程的一般式)，并画出双曲线：(1) 4x2－y2＝4；(2) 4x2－y2＝－4．2．已知双曲线的渐近线方程为x±2y＝0，且双曲线过点：求双曲线方程并画出双曲线．(练习毕，由学生回答，教师总结．)解题的主要步骤：第1题：(1)把双曲线方程化为标准方程；(2)求得a、b；(3)根据定义写出渐近线方程．第2题：(1)判断何种双曲线，设出相应的标准方程；(2)写出渐近线方程，从而得到关于a、b的一个关系式；(3)将点M代入标准方程，得到关于a、b的另一个关系式；(4)解a、b的方程组，求得a、b，写出双曲线方程．师：这是两个关于双曲线渐近线的最基本的练习．一个是由双曲线求渐近线，比较简单；一个是由渐近线求双曲线，却比较复杂．这是因为，一个是正向思考和运算，另一个是逆向思考和运算，有一定的难度．同时，因为一条双曲线有两条确定的渐近线，而两条渐近线对应有许多双曲线，因此，求双曲线方程还必须具有另一个条件，两个条件的综合显然比较困难．我们要特别注意对逆向问题的分析，提高解决逆向问题的能力．[问题虽然简单，但确是基础，不仅掌握基本知识，同时有利于正、逆两方面思考问题的训练．]四、建立法则师：仔细分析一下上述练习的结果：双曲线方程：4x2－y2＝4；渐近线方程：2x±y＝0．双曲线方程：4x2－y2＝－4；渐近线方程：2x±y ＝0．双曲线方程：x2－4y2＝4；渐近线方程：x±2y＝0．双曲线方程：x2－4y2＝－4；渐近线方程：x±2y ＝0．可以发现，双曲线与其渐近线的方程之间似乎存在某种规律．(启发学生讨论、归纳．)生甲：每项开平方，中间用正负号连结起来，常数项改为零，就得到渐近线方程．生乙：以各项系数绝对值的算术平方根为x、y 的系数，且用正负号连结起来等于零，就是渐近线方程．生丙：如果两个双曲线方程的二次项相同，那么渐近线方程就相同，与常数项无关．生丁：反过来，渐近线的方程相同，双曲线方程的二次项就相同，常数可以不同．生戊：应该说二次项系数成比例．师：大家揭示了其中的规律．但是，大家的回答，还不够严格，也不够简洁，是否可以归纳出一种方法，把双曲线方程处理一下，就得到渐近线方程？把双曲线方程中常数项改成零，会怎样呢？点适合这个方程，适合这个方程的点在渐近线上．就是两渐近线的方程．实际上，两条渐近线也可看作二次曲线，是特殊的双曲线．同样，b2x2－a2y2＝0，即bx±ay＝0；b2y2－a2x2＝0，即by±ax＝0．所以把双曲线方程的常数项改为零，就得到其渐近线方程．这具有一般性吗？也就是说对任意双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)它的渐近线方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．分情况证明一下：C＞0，A2x2－B2y2＝C，故渐近线方程为也可以化成Ax±By＝0，即A2x2－B2y2＝0．其他情况，同学们可以自己去证明．反之，渐近线方程为Ax±By＝0的双曲线方程是什么？可以证明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，实轴在x轴上；C＜0，实轴在y 轴上．因此，我们得到下列法则：(1)双曲线A2x2－B2y2＝C(C≠0)的渐近线方程是A2x2－B2y2＝0；(2)渐近线方程是Ax±By＝0的双曲线方程是A2x2－B2y2＝C(C≠0的待定常数)．现在谁能把上面的练习第2题再解答一下？生：因为渐近线方程是x±2y＝0，所以双曲线方程为x2－4y2＝C．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝4．∴ 双曲线方程为x2－4y2＝－4．[建立解题法则，既使解题比较方便，又使学生得到解题能力的培养．]五、巩固应用师：前面我们讲述了双曲线渐近线的定义和法则，下面大家使用定义或者法则再做两个练习．2．证明：双曲线上任一点到两渐近线的距离之积是个常数．(练习毕，由学生回答，教师总结解题步骤．)师：解练习1的方法有两种．一是直接运用定义．由双曲线求渐近线：由渐近线求双曲线：二是直接运用法则．练习2的解法如下：六、布置作业课本练习；略．教案说明(1)本课教材内容不难接受，但教学中如何引出渐近线以致不感到突然，我采取了进一步缩小双曲线所在范围的方法，引出了渐近线．至于课题的引出，也是顺应认识的需要，为了对双曲线作深入的研究．我认为这些做法都是比较自然的．(2)本课的基础内容，一是定义和法则，二是双曲线与其渐近线的互求的方法．本教案既注意狠抓基础，也注意综合提高．(3)本教案建立了一个法则，作为定义的补充，也是为了解题的方便，建立法则的过程，也是学生提高观察能力、归纳总结能力的一种训练．。
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论
双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论双曲线方程与其渐近线方程之间关系的讨论一、引言在数学中，双曲线是一种常见的曲线形式，具有独特的性质和特点。
而双曲线的渐近线方程则是与双曲线密切相关的另一个重要概念。
本文将探讨双曲线方程与其渐近线方程之间的关系，通过深入分析和讨论，以便读者能够更全面、深入地理解这一主题。
二、双曲线方程的基本形式双曲线通常具有如下的标准方程形式：$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标距离。
双曲线的性质和特点令人着迷，它在几何和代数上都有着重要的应用，因此对双曲线的理解至关重要。
三、渐近线方程的定义和性质双曲线的渐近线方程是指双曲线的渐近线所满足的方程形式。
渐近线通常由直线构成，而双曲线有两组渐近线。
根据双曲线的不同方程形式和性质，其对应的渐近线方程也有所不同。
对于标准双曲线方程$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$，其渐近线方程可以表示为y = ±(b/a)x。
这意味着双曲线在无穷远处与直线y = ±(b/a)x趋于平行，这是双曲线与其渐近线方程之间紧密联系的体现。
四、双曲线方程与渐近线方程的关系分析通过以上对双曲线方程和渐近线方程的介绍，我们可以发现它们之间存在着密切的关系。
双曲线的渐近线方程不仅能够帮助我们更好地理解双曲线的性质，还可以为我们在实际问题中应用双曲线提供便利。
双曲线方程和渐近线方程之间的关系可以从几个方面进行深入讨论：1. 几何性质：双曲线的渐近线方程决定了双曲线在无穷远处的走向，从几何角度出发，渐近线方程可以帮助我们更好地理解双曲线的形状和特点。
2. 代数性质：双曲线方程可以通过与其渐近线方程的关系，来解决一些涉及双曲线的代数问题，例如求解交点坐标、渐近线与双曲线的夹角等问题。
3. 实际应用：在物理学、工程学等领域，双曲线和其渐近线方程的关系也有着重要的应用。
渐近线方程求双曲线
求双曲线的标准方程，已知其渐近线方程为y = ±(√3/3)x，并且该双曲线过点(3, √2)。
首先，根据双曲线的渐近线方程y = ±(b/a)x，可以得到b/a = √3/3，即b = (√3/3)a。
接下来，由于双曲线过点(3, √2)，将这个点的坐标代入双曲线的标准方程x²/a² - y²/b² = 1 中，可以得到：\(9/a² - 2/b² = 1\)现在利用之前得到的关系b = (√3/3)a，代入上述方程中，得到：(9/a² - 2/((√3/3)²a²) = 1\)简化后得到：\(9/a² - 18/a² = 1\)合并同类项，得到：\(-9/a² = 1\)解得\(a² = -9\)这里产生了一个问题，a² 不能为负数，这表明前面的计算出现了错误。
我们重新审视之前的步骤，发现在代入点(3, √2) 到双曲线标准方程时，应该得到的方程是：\(9/a² - 2/b² = 1\)利用b = (√3/3)a 的关系，我们有：\(9/a² - 2/((√3/3)²a²) = 1\)化简得到：\(9/a² - 18/(3a²) = 1\)进一步化简：\(9/a² - 6/a² = 1\)合并同类项：\(3/a² = 1\)解得\(a² = 3\)因此，b² = (√3/3)²a² = (√3/3)² 3 = 1最终，双曲线的标准方程为：\(x²/3 - y²/1 = 1\)。
双曲线的渐近线公式推导
双曲线的渐近线公式推导双曲线是一种常见的二次曲线，它有两条渐近线。
下面我将从多个角度来推导双曲线的渐近线公式。
首先，我们先来定义双曲线。
双曲线的一般方程可以表示为：\[ \frac{x^2}{a^2} \frac{y^2}{b^2} = 1 \]其中，a和b是双曲线的两个参数。
接下来，我们来推导双曲线的渐近线公式。
1. 水平渐近线：当y趋近于正无穷或负无穷时，双曲线的x趋近于a或-a。
因此，我们可以得到两条水平渐近线的方程：\[ y = \pm \frac{b}{a} \cdot x \]2. 垂直渐近线：当x趋近于正无穷或负无穷时，双曲线的y趋近于b或-b。
因此，我们可以得到两条垂直渐近线的方程：\[ x = \pm \frac{a}{b} \cdot y \]3. 斜渐近线：斜渐近线是双曲线的一条特殊的渐近线，它的斜率不等于0或无穷大。
我们可以通过以下步骤推导斜渐近线的方程：首先，将双曲线的一般方程改写为：\[ y^2 = \frac{b^2}{a^2} \cdot x^2 b^2 \]然后，我们取y为bx，代入上式得到：\[ (bx)^2 = \frac{b^2}{a^2} \cdot x^2 b^2 \]化简得：\[ (b^2 a^2) \cdot x^2 b^2 \cdot a^2 = 0 \]这是一个二次方程，解它可以得到两个x的值，记为x1和x2。
接下来，我们可以求出对应的y值，即y1和y2。
这样，我们就得到了两个点(x1, y1)和(x2, y2)。
然后，我们可以计算斜率k：\[ k = \frac{y2 y1}{x2 x1} \]最后，我们可以得到斜渐近线的方程：\[ y = kx + c \]其中c为常数，可以通过将斜渐近线的方程代入双曲线的一般方程求解得到。
综上所述，我们从水平渐近线、垂直渐近线和斜渐近线三个角度推导了双曲线的渐近线公式。
专题5双曲线的渐近线-学生版
专题5双曲线的渐近线说明：双曲线的渐近线是双曲线所特有的，要掌握渐近线与双曲线方程的联系，另外重点掌握双曲线特有性质，对于解题非常方便。
秒杀题型一：由双曲线的方程求渐近线:秒杀思路：①已知双曲线方程求渐近线方程:22mx ny λ-=220mx ny ⇒-=; ②若焦点在x 轴上，渐近线为x aby ±=； 若焦点在y 轴上，渐近线为x ba y ±=。
秒杀题型二：有共同渐近线双曲线方程的设法：秒杀思路：222222221x y x y a b a bλ-=⇒-=。
秒杀题型三：已知渐近线方程设双曲线方程： 秒杀思路：220()()ax by ax by λ±=⇒-=。
秒杀题型四：双曲线的焦点到渐近线的距离：秒杀思路：双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长()b 。
秒杀公式：焦点到渐近线的距离与顶点到渐近线的距离之比等于双曲线的离心率。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．一、单选题 1．双曲线x 24−y 29=1的渐近线方程是（ ）A ．y =±23xB ．y =±49xC ．y =±94xD ．y =±32x2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，则C 的渐近线方程为（ ）A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =±D ．y x =±3．若双曲线22221x y a b-= ）A ．y=±2xB ．y=C ．12y x =±D ．2y x =±4．已知双曲线的对称轴为坐标轴，一条渐近线为20x y -=，则双曲线的离心率为（ ）A ．5或54B C D ．5或535．双曲线x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0, b >0)的离心率为√3，则其渐近线方程为A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y =±√22xD ．y =±√32x6．已知0a b >>，椭圆1C 的方程22221x y a b +=，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C和2C 2C 的渐近线方程为（ ）A ．0x ±=B 0y ±=C ．20x y ±=D ．20x y ±=7．已知双曲线C:222210,0x y abab ,以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( )A B 2 C ．a D ．b8．双曲线x 26−y 23=1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．√3B ．2C ．3D ．69．以双曲线221916x y -=的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（ ）A ．221090x y x +-+=B ．2210160x y x +-+=C ．2210160x y x +++=D ．221090x y x +++=10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22136x y -=D ．22163-=x y11．双曲线2214x y -=的顶点到渐近线的距离等于（ ）A B ．45C ．25D 12．双曲线x 24−y 212=1的焦点到渐近线的距离为( )A ．2√3B ．2C ．√3D ．113．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A B ．3C mD ．3m14．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线y 2=12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于A B ．C ．3D ．515．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d += 则双曲线的方程为A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=16．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3C ．D ．417．设1F ,2F 是双曲线2222:1x y C a b-=（）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为A B C ．2D二、填空题18．设双曲线经过点（2,2），且与2214y x -=具有相同渐近线，则的方程为 ；渐近线方程为 .19．已知双曲线过点，且渐近线方程为12y x =±，则该双曲线的标准方程为____________________.20．若双曲线的渐近线方程为3y x =±，它的一个焦点的坐标为，则该双曲线的标准方程为 .21．已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2，焦点到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为 .22．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点(c,0)F 到一，则其离心率的值是________． 23．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________.三、解答题24．求与双曲线221916x y -=有共同渐近线，且过点(-3，的双曲线方程.本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
秒杀题型双曲线的渐近线(双曲线)
5 3 - = > > - = 说明：双曲线的渐近线是双曲线所特有的，要掌握渐近线与双曲线方程的联系，另外重点掌握双曲线特有 性质，对于解题非常方便。
秒杀题型一：由双曲线的方程求渐近线:秒杀思路：①已知双曲线方程求渐近线方程: mx 2- ny 2= λ⇒ mx 2- ny 2= 0 ;b②若焦点在 x 轴上，渐近线为 y = ±x ；a若焦点在 y 轴上，渐近线为 y = ± ax 。
b 1.(高考题)双曲线 x4y 2 9= 1的渐近线方程是 ()A. y = ± 2x 3【解析】：选 C 。
B. y = ± 4x9 C. y = ± 3x2 D. y = ± 9x42.(2013 年新课标全国卷 I4)已知双曲线C : x a 2 y 2 1( a 0,b 0 )的离心率为 b 2,则C 的渐近线方程为2( )A. y = ± 1x4B. y = ± 1x3C. y = ± 1x2D. y = ± x【解析】：由e = c= 5 ，得 b = 1 ，选 C 。
a2a23.(高考题)若双曲线 x a 2 y 21的离心率为 b 2,则其渐近线方程为 ()A. y = ±2xB. y = ± 2xC. y = ± 1x2D. y = ±2 x2【解析】：由e = c=a，得 b= a，选 B 。
〖母题 2〗已知双曲线的对称轴为坐标轴,一条渐近线为 2x - y = 0 ,则双曲线的离心率为 ()5 A.5 或45 B. 或23 C. 或25 D.5 或35 3 3 2 22 2a 2 -b 23 〖母题 1〗求与双曲线 x - y= 1有公共的渐近线,且经过点 A (- )- = λ x - = 【解析】：若焦点在 x 轴上，则有 b = 2 ， e = a ；若焦点在 y 轴上，则有 a = 2 ， e =b5 ；选 B 。
巧用不同方法破解双曲线渐近线相关
巧用不同方法破解双曲线渐近线相关问题俞㊀纲(云南省昆明市第三中学㊀６５００００)摘㊀要:文章通过举例剖析解决双曲线渐进线相关问题的策略ꎬ代数上运用二次方程的运算技巧ꎬ几何上运用特征三角形㊁角平分线等几何性质.关键词:双曲线渐近线ꎻ代数计算ꎻ几何问题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０１－０００７－０５收稿日期:２０２２－１０－０５作者简介:俞纲ꎬ高级教师ꎬ从事高中数学解题研究.㊀㊀渐进线是双曲线的重要性质ꎬ在历年高考的选择题㊁填空题中多次出现ꎬ而且基础题和难题都有涉及ꎬ如何针对性地选择适当方法来巧妙解决相关问题ꎬ尽量避免复杂的代数计算值得我们研究.１用二次方程解决双曲线渐近线的代数计算㊀㊀渐近线方程与双曲线的位置有关ꎬ由于双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的两条渐近线方程ｙ＝ʃｂａｘ可写为(ｙ＋ｂａｘ)(ｙ－ｂａｘ)＝０ꎬ可以看作ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０因式分解所得ꎻｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝１的两条渐近线方程ｙ＝ʃａｂｘ恰好可以看作ｙ２ａ２－ｘ２ｂ２＝０因式分解所得ꎬ因此双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)的两条渐近线方程可等价于二次方程Ａｘ２－Ｂｙ２＝０ꎬ对于与渐近线有关的一些代数计算ꎬ可以借助该二次方程进行方便计算.１.１双曲线方程与渐近线方程的相互转化例１㊀(２０１３年高考江苏卷第３题)双曲线ｘ２１６－ｙ２９＝１的两条渐近线的方程为.分析㊀不用单独求出ａꎬｂ后再代入渐近线方程ꎬ直接由ｘ２１６－ｙ２９＝０因式分解可得渐近线方程为ｙ＝ʃ３４ｘ.㊀例２㊀(２０１５年高考全国Ⅱ卷第１５题)已知双曲线过点(４ꎬ３)ꎬ且渐近线方程为ｙ＝ʃ１２ｘꎬ则该双曲线的标准方程为.分析㊀虽然不知道双曲线焦点位置ꎬ但不用分类设双曲线方程ꎬ把两渐近线方程可写为(ｙ＋１２ｘ) (ｙ－１２ｘ)＝０ꎬ即ｙ２－ｘ２４＝０ꎬ从而双曲线方程可以设为ｙ２－１４ｘ２＝λꎬ把点Ｍ(４ꎬ３)代入ꎬ解得λ＝－１ꎬ该双曲线的方程为ｘ２４－ｙ２＝１.例３㊀(２０１４年高考北京卷第１１题)设双曲线Ｃ经过点(２ꎬ２)ꎬ且与ｙ２４－ｘ２＝１具有相同渐近线ꎬ７则Ｃ的方程为ꎬ渐近线方程为.分析㊀与ｙ２４－ｘ２＝１共渐近线的双曲线可设为ｙ２４－ｘ２＝λꎬ把点(２ꎬ２)代入得λ＝－３ꎬ则Ｃ的方程为ｘ２３－ｙ２１２＝１.令ｙ２４－ｘ２＝０ꎬ得渐近线方程为ｙ＝ʃ２ｘ.小结㊀上述三题都属于基础中等题ꎬ通过方程的代数特征直接设双曲线渐近线的方程进行研究ꎬ避免了对两种位置的双曲线分别研究的麻烦.当然ꎬ不是所有条件都适合代数方法直接设方程ꎬ归纳言之ꎬ以下三个代数结论可直接运用:双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)的渐近线方程可直接由Ａｘ２－Ｂｙ２＝０因式分解得到ꎻ以ｙ＝ｋｘ为一条渐近线的双曲线方程必定可以写为(ｙ＋ｋｘ) (ｙ－ｋｘ)＝λ(λʂ０)ꎬ即ｙ２－ｋ２ｘ２＝λ(λʂ０)的形式ꎻ与双曲线Ａｘ２－Ｂｙ２＝１(Ａ Ｂ>０)有相同渐近线的双曲线方程必定可以写为Ａｘ２－Ｂｙ２＝λ的形式.１.２直线与双曲线的两渐近线相交的问题一条直线与双曲线两渐近线交于两点的问题ꎬ一般需要把该直线分别与两条渐进线方程联立ꎬ通过解两个二元一次方程组ꎬ得到两个交点坐标后再进行相应的表示与计算ꎬ如果把两条渐进线看作一个整体ꎬ借助二次方程来表示它ꎬ则可以借助直线与二次曲线位置关系的研究方法ꎬ运用 设而不求 的思想进行整体计算ꎬ避免直接表示交点坐标ꎬ达到事半功倍的效果.例４㊀过点Ｍ(３ꎬ１)作斜率为２的直线ꎬ与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的两条渐近线分别交于ＡꎬＢ两点ꎬ若Ｍ恰好为ＡＢ的中点ꎬ则双曲线的离心率为.分析㊀此题可以把直线方程写出ꎬ再与两渐近线分别联立得到ＡꎬＢ两点的坐标ꎬ运用中点坐标公式得到等量关系ꎬ但计算相对繁琐ꎬ运用二次方程理论则能简化运算.双曲线两渐近线方程设为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)为其上两点ꎬ由点差法ꎬ得ｘ２１ａ２－ｙ２１ｂ２＝０ꎬｘ２２ａ２－ｙ２２ｂ２＝０ꎬìîíïïïï即(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)ａ２＝(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)ｂ２.则２ｘＭ２ｙＭ＝ａ２ｂ２ ｋＡＢ.所以３２＝ａ２ｂ２.从而ｅ＝ｃａ＝１５３例５㊀(２０１４年高考浙江卷第１６题)设直线ｘ－３ｙ＋ｍ＝０(ｍʂ０)与双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)两条渐近线分别交于ＡꎬＢ两点ꎬ若点Ｐ(ｍꎬ０)满足｜ＰＡ｜＝｜ＰＢ｜ꎬ则该双曲线的离心率是.解析㊀设双曲线两渐近线方程为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬ直线ｌ与其交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ由ｘɪ－１ꎬ１[]ꎬ得(ｘ１－ｍ)２＋ｙ２１＝(ｘ２－ｍ)２＋ｙ２２.整理ꎬ得ｘ１＋ｘ２－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)ｙ２－ｙ１ｘ１－ｘ２.即ｘ１＋ｘ２－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)(－ｋＡＢ).亦即３ｙ１－ｍ＋３ｙ２－ｍ－２ｍ＝(ｙ１＋ｙ２)(－１３).即１０(ｙ１＋ｙ２)＝１２ｍ.由ｘ＝３ｙ－ｍꎬｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬìîíïïï联立得(９ｂ２－ａ２)ｙ２－６ｂ２ｍｙ＋ｂ２ｍ２＝０.由韦达定理ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝６ｂ２ｍ９ｂ２－ａ２.代入１０(ｙ１＋ｙ２)＝１２ｍꎬ得ａ２＝４ｂ２.则ｅ＝５２.小结㊀由于双曲线及渐近线都含有未知字母ꎬ８直线与两条渐近线联立两次分别表示出两交点坐标再计算相对繁琐ꎬ若能借助韦达定理巧用 设而不求 的思想进行整体转化ꎬ则能简化运算.例６㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２４－ｙ２３＝１ꎬ过点Ｐ(２ꎬ１)作直线ｌ交双曲线的两渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝４ꎬ求此时直线的斜率.解析㊀设直线的倾斜角为αꎬ参数方程为ｘ＝２＋ｔｃｏｓαｙ＝１＋ｔｓｉｎα{(ｔ为参数)ꎬ双曲线的渐进线方程为ｘ２４－ｙ２３＝０ꎬ把直线参数方程代入化简ꎬ得(３ｃｏｓ２α－４ｓｉｎ２α)ｔ２＋(１２ｃｏｓα－８ｓｉｎα)ｔ＋８＝０.由韦达定理ꎬ得ｔ１ｔ２＝８７ｃｏｓ２α－４.则｜ＰＡ｜ ｜ＰＢ｜＝｜ｔ１ｔ２｜＝８｜７ｃｏｓ２α－４｜＝４.得ｃｏｓ２α＝６７或２７.则ｓｉｎ２α＝１７或５７.从而ｋ＝ʃ６６或ʃ１０２.２用几何性质解决双曲线渐近线的几何问题双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａꎬｂ>０)的渐进线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ其几何含义可直观体现在如下两个直角三角形中:如图１ꎬ过焦点Ｆ作渐近线的垂线ＦＭꎬ垂足为点Ｍꎬ过顶点Ａ作实轴垂线ＡＮꎬ交渐近线于点Ｎ.记øＦＯＭ＝θꎬ在ＲｔәＯＦＭ中ꎬ｜ＯＦ｜＝ｃꎬ｜ＭＦ｜＝ｂꎬ｜ＯＭ｜＝ａꎬｔａｎθ＝ｂａꎬｓｉｎθ＝ｂｃꎬｃｏｓθ＝ａｃ.在ＲｔәＯＡＮ中ꎬ｜ＯＡ｜＝ａꎬ｜ＡＮ｜＝ｂꎬ｜ＯＮ｜＝ｃ.借助这两个直角三角形ꎬ可以更直观地理解渐近线斜率的几何意义ꎬ并且可以得到一些常用结论ꎬ如:焦点到渐近线的距离为ｂꎻ以Ｏ为圆心ꎬ实轴长２ａ为直径的圆与渐近线相交ꎬ交点与焦点的连线恰好与渐近线垂直ꎻ以Ｏ为圆心ꎬ焦距长２ｃ为直径的图１圆与渐近线相交ꎬ交点与顶点的连线恰好与实轴垂直ꎻ两渐近线的夹角被坐标轴平分等性质ꎬ运用这些几何性质ꎬ可以灵活解决一些相关的问题.例７㊀(２０１８年高考全国新课标卷第１１题)已知双曲线Ｃ:ｘ２３－ｙ２＝１ꎬＯ为坐标原点ꎬＦ为Ｃ的右焦点ꎬ过点Ｆ的直线与两渐近线交于ＭꎬＮ两点ꎬ若әＯＭＮ为直角三角形ꎬ则｜ＭＮ｜＝(㊀㊀).Ａ.３２㊀㊀Ｂ.３㊀㊀Ｃ.２３㊀㊀Ｄ.４分析㊀由题意得ꎬＯＭʅＭＮꎬ即直线ＭＮ与渐近线垂直ꎬ从而可以写出直线ＭＮ的方程ꎬ再分别与两渐近线方程联立就得ＭꎬＮ两点坐标ꎬ最后借助两点间距离公式求出｜ＭＮ｜ꎬ但显然求出交点再算距离的代数运算相对复杂ꎬ用几何方法则可简化运算.由题意ꎬＯＭʅＭＦꎬ则根据性质可知｜ＦＭ｜＝ｂ＝１ꎬ｜ＯＭ｜＝ａ＝３.又由øＭＯＮ＝２θ＝π３ꎬ则在ＲｔәＭＯＮ中ꎬ｜ＭＮ｜＝｜ＯＭ｜ ｔａｎπ３＝３ꎬ故选Ｂ.例８㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的右焦点关于一条渐近线的对称点恰好在另一条渐近线上ꎬ则双曲线的离心率为.图２分析㊀如图２ꎬ根据题意ꎬ可以求出焦点Ｆ关于９渐进线ｙ＝ｂａｘ的对称点Ｐ的坐标ꎬ再代入另一条渐近线方程ｙ＝－ｂａｘ中ꎬ但求对称点的代数运算相对复杂ꎬ会导致此题 小题大做 .若能运用几何性质ꎬ根据点Ｆ与点Ｐ关于渐近线对称ꎬ则øＰＯＨ＝øＦＯＨꎬ再由两渐近线关于ｘ轴对称ꎬ则øＦＯＨ＝π３ꎬ则ｋ＝３ꎬ即ｂａ＝３ꎬ所以ｅ＝２ꎬ题目实现 秒杀 .例９㊀双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１的右焦点为Ｆ２ꎬ点ＭꎬＮ在双曲线的同一条渐近线上ꎬＯ为坐标原点.若直线Ｆ２Ｍ平行于另一条渐近线ꎬ且ＯＦ２ʅＦ２Ｎꎬ｜Ｆ２Ｍ｜＝５２｜Ｆ２Ｎ｜ꎬ则双曲线的渐近线方程为.图３分析㊀根据题意ꎬ可以求出ＭꎬＮ两点的坐标ꎬ进而表示出｜Ｆ２Ｍ｜与｜Ｆ２Ｎ｜的长度ꎬ再列式求解ꎬ但计算比较复杂.若用几何方法ꎬ如图３ꎬ根据两渐近线与ｘ轴夹角相同且Ｆ２Ｍ平行于另一条渐近线ꎬ可得øＦ２ＯＭ＝øＭＦ２Ｏꎬ即әＭＯＦ２为等腰三角形ꎬ过点Ｍ作ＭＥʅＯＦ２于点Ｅꎬ则点Ｅ为ＯＦ２中点且ＮＦ２ʊＭＥꎬ则｜ＮＦ２｜＝２｜ＭＥ｜.从而根据｜Ｆ２Ｍ｜＝５２｜Ｆ２Ｎ｜可得到｜ＯＭ｜＝５｜ＭＥ｜ꎬ即ｔａｎøＭＯＥ＝１２ꎬ渐近线方程为ｙ＝ʃ１２ｘꎬ问题得到巧妙化简.例１０㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左焦点为Ｆꎬ过Ｆ作一条渐近线的垂线ꎬ与两渐近线交于点ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＦң＝２ＦＢңꎬ则双曲线Ｃ的离心率ｅ为.分析㊀根据题意ꎬ由ＡＦң＝２ＦＢңꎬ可得到ｙ１＝－２ｙ２ꎬ可以由直线与两条渐近线方程联立ꎬ求出两点的纵坐标后再列式求解ꎬ但显然求交点的代数运算相对复杂.用几何方法ꎬ由性质可知ꎬ｜ＦＢ｜＝ｂꎬ｜ＯＢ｜＝ａꎬ由于ＯＦ是øＢＯＡ的平分线ꎬ根据角平分线性质ꎬ则｜ＦＢ｜｜ＦＡ｜＝｜ＯＢ｜｜ＯＡ｜ꎬ从而在ＲｔәＡＯＢ中ꎬ｜ＡＢ｜＝３ｂꎬ｜ＯＡ｜＝２ａꎬ｜ＯＢ｜＝ａꎬ由勾股定理可得４ａ２＝９ｂ２＋ａ２ꎬ从而ｅ＝２３３ꎬ问题得到巧妙解答.３根据题目特点选择合适的方法进行求解例１１㊀已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()的左焦点为Ｆꎬ过点Ｆ作斜率为１的直线交双曲线的渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＦң＝２ＦＢңꎬ则双曲线Ｃ的离心率ｅ为.分析㊀此题为例１０变式ꎬ我们分别用三种方法求解ꎬ对比运算复杂程度的差异.方法１㊀(直接求交点法)双曲线两渐近线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ直线ＡＢ方程为ｙ＝ｘ－ｃꎬ由ａ>ｂ>０可知ꎬＡꎬＢ位于ｘ轴两侧ꎬ则由ＡＦＢＦ＝２１得ｙＡ＝－２ｙＢ.由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｙ＝ｂａｘꎬìîíïïï解得ｙ＝ｂｃａ－ｂ.由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｙ＝－ｂａｘꎬìîíïïï解得ｙ＝－ｂｃａ＋ｂ.根据ｙＡ＝－２ｙＢꎬ得ｂｃａ－ｂ＝２ｂｃａ＋ｂ.从而得到ａ＝３ｂꎬ则ｅ＝１０３.方法２㊀(韦达定理整体化简)设双曲线两渐近线方程设为ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝０ꎬ直线方程为ｙ＝ｘ－ｃꎬ直线与其交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ由题得ｙ１＝－２ｙ２.０１由ｘ＝ｙ＋ｃꎬｂ２ｘ２－ａ２ｙ２＝０ꎬ{联立得(ｂ２－ａ２)ｙ２－２ｂｃ２ｙ＋ｂ２ｃ２＝０.由韦达定理ꎬ得ｙ１＋ｙ２＝２ｂ２ｃｂ２－ａ２ꎬｙ１ｙ２＝ｂ２ｃ２ｂ２－ａ２ꎬìîíïïïï根据ｙ１＝－２ｙ２ꎬ得－ｙ２＝２ｂ２ｃｂ２－ａ２ꎬ－２ｙ２２＝ｂ２ｃ２ｂ２－ａ２.ìîíïïïï从而得到ａ２＝９ｂ２.则ｅ＝１０３.图４方法３㊀(几何法)如图４ꎬ作点Ｂ关于ｘ轴的对称点Ｄꎬ则ＦＢ＝ＦＤꎬøＢＦＯ＝øＤＦＯ＝π４.由此øＡＦＤ＝π２.在ＲｔәＡＦＤ中ꎬＡＦ＝２ＦＤꎬ则ｔａｎøＦＡＤ＝１２.而øＦＯＤ＝π４－øＦＡＤꎬ则ｔａｎøＦＯＤ＝１３.则ｂａ＝１３.从而ｅ＝ｃａ＝１０３.小结㊀第一种方法因为直线的方程比较简单ꎬ所以其与两渐近线联立求交点运算不太复杂ꎻ第二种方法二次方程根与系数关系式法由于韦达定理表示ｙ１㊁ｙ２的不对称式较麻烦ꎬ所以计算没有优势ꎻ用几何法通过转化运算相对较少ꎬ同时在求解过程中我们还可以发现ꎬ点Ｆ的位置没有实质的影响ꎬ由此我们可以得到该问题的一般化描述:已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１ａ>ｂ>０()ꎬＭ为ｘ轴上一点ꎬ过点Ｍ作斜率为ｋ的直线交双曲线的渐近线于ＡꎬＢ两点ꎬ若ＡＭＢＭ＝λꎬ求双曲线Ｃ的离心率ｅ.显然当直线的倾斜角不是特殊角时ꎬ几何方法的运算也将变得复杂ꎬ这时三种方法的复杂程度差别不大ꎬ则方法１的思路更简单直接一些.例１２㊀已知Ｐ为双曲线Ｃ:ｘ２３－ｙ２１＝１上一动点ꎬ点Ｐ到双曲线两渐近线的距离分别为ｍꎬｎꎬ则ｍ＋ｎ的最小值为.分析㊀此题几何法不方便解决ꎬ回归到坐标法进行一般化的研究ꎬ设Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)为双曲线ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１上的一个动点ꎬ其两条渐近线方程分别为ｙ＝ʃｂａｘꎬ即ｂｘʃａｙ＝０ꎬ则Ｐ(ｘ０ꎬｙ０)到两渐近线的距离分别为ｍ＝｜ｂｘ０－ａｙ０｜ａ２＋ｂ２ꎬｎ＝｜ｂｘ０＋ａｙ０｜ａ２＋ｂ２ꎬ可以发现ｍ ｎ＝｜ｂ２ｘ２０－ａ２ｙ２０｜ａ２＋ｂ２＝ａ２ｂ２ａ２＋ｂ２ꎬ则ｍ＋ｎȡ２ｍｎ＝２ａｂａ２＋ｂ２ꎬ当ｍ＝ｎ时取等号ꎬ则ｍ＋ｎ的最小值为２ａｂａ２＋ｂ２ꎬ此题答案为３.渐近线作为双曲线的重要性质ꎬ其相关问题蕴含了丰富的数形结合㊁等价转化的思想ꎬ对数学运算也有较高的要求ꎬ这就需要我们一方面要锻炼运算能力ꎬ总结运算技巧ꎻ另一方面要多对比一个问题的代数思路与几何思路的差异ꎬ关注不同方法运算复杂程度的区别ꎬ选择合适的方法来针对性解决相关问题.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准(２０１７年版２０２０年修订)[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]１１。
双曲线渐近线求方程问题 2
渐近线求双曲线方程问题
1.已知双曲线的渐近线方程是2
x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 答案：152022=-y x 或120522=-x y
2.以抛物线x y 382
=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为
答案：13922=-y x
3.焦点为（0，6），且与双曲线
12
22=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是
答案：1241222=-x y
4.过点（-6，3）且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线的双曲线方程为
答案》19182
2=-y x
5.过点)2,2(-且与双曲线12
22
=-y x 有公共渐近线的双曲线方程是
答案：14
22
2=-x y
6.已知双曲线M 过点)2
6,
4(P ，且它的渐近线方程是02=±y x 。
求双曲线M 的方程
答案：125
1022=-y x
7.求与双曲线11692
2=-y x 有共同的渐近线，并且过点A （6，28）的双曲线方程
答案：1366422
=-x y
8.求以032=±y x 为渐近线，且经过点（1,2）的双曲线方程 答案：1893222=-x y。
双曲线的渐近线和离心率问题
第30练双曲线的渐近线和离心率问题[题型分析·高考展望]双曲线作为圆锥曲线三大题型之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.常考题型精析题型一双曲线的渐近线问题例1(1)(2015·重庆)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左，右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________.(2)(2014·江西)如图，已知双曲线C：x2a2－y2＝1(a>0)的右焦点为F.点A，B分别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点).①求双曲线C 的方程；②过C 上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)的直线l ：x 0x a 2－y 0y ＝1与直线AF 相交于点M ，与直线x ＝32相交于点N .证明：当点P 在C 上移动时，MF NF恒为定值，并求此定值. 点评(1)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由y ＝±b a x ⇔x a ±y b ＝0⇔x 2a 2－y 2b 2＝0，所以可以把标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.(2)已知双曲线渐近线方程：y ＝b ax ，可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ (λ≠0)，求出λ即得双曲线方程. 变式训练1(2014·山东改编)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为______________________.题型二双曲线的离心率问题例2(1)(2015·湖北改编)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则下列命题正确的是________.①对任意的a，b，e1>e2；②当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2；③对任意的a，b，e1<e2；④当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2.(2)已知O为坐标原点，双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，以OF为直径作圆交双曲线的渐近线于异于原点的两点A、B，若(AO→＋AF→)·OF→＝0，则双曲线的离心率e为________.点评在研究双曲线的性质时，实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e>1.同时注意双曲线方程中x，y的范围问题.变式训练2(2014·湖南)如图，O为坐标原点，椭圆C1：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e1；双曲线C2：x2a2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F3、F4，离心率为e2.已知e1e2＝32，且F2F4＝3－1.(1)求C1，C2的方程；(2)过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值.题型三双曲线的渐近线与离心率的综合问题例3(2014·福建)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别为l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求双曲线E的离心率；(2)如图，O为坐标原点，动直线l分别交直线l1，l2于A，B两点(A，B分别在第一、四象限)，且△OAB的面积恒为8.试探究：是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E？若存在，求出双曲线E的方程；若不存在，请说明理由.点评解决此类问题：一是利用离心率公式，渐近线方程，斜率关系等列方程组.二是数形结合，由图形中的位置关系，确定相关参数的范围.变式训练3(2014·浙江)设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，B .若点P (m,0)满足PA ＝PB ，则该双曲线的离心率是________.高考题型精练1.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是__________. 2.(2015·镇江模拟)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2sin 2θtan 2θ＝1的________相等.(填序号)①实轴长；②虚轴长；③离心率；④焦距. 3.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为______________.4.以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y216＝1的渐近线相切的圆的方程是________________.5.已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)以及双曲线y2a2－x2b2＝1的渐近线将第一象限三等分，则双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为________.6.(2015·镇江模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过F2作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为H，若F2H的中点M在双曲线C上，则双曲线C的离心率为________.7.已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________.8.已知双曲线C的中心在原点，且左，右焦点分别为F1，F2，以F1F2为底边作正三角形，若双曲线C与该正三角形两腰的交点恰为两腰的中点，则双曲线C的离心率为________.9.已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左，右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是____________.10.过双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的左焦点F作圆x2＋y2＝14a2的切线，切点为E，直线EF交双曲线右支于点P，若OE→＝12(OF→＋OP→)，则双曲线的离心率是______.11.已知双曲线y2a2－x2b2＝1 (a>0，b>0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为25 5.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→＝PB→，求△AOB的面积.12.(2015·盐城模拟)已知双曲线x2a2－y2b2＝1 (a>0，b>0)的右焦点为F(c,0).(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率.答案精析第30练 双曲线的渐近线和离心率问题常考题型典例剖析例1(1)±1解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右焦点F (c,0)，左，右顶点分别为A 1(－a ，0)，A 2(a,0)，易求B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ，b 2a ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ，－b 2a ，则 kA 2C ＝b 2a a －c ，kA 1B ＝b 2a a ＋c，又A 1B 与A 2C 垂直， 则有kA 1B ·kA 2C ＝－1，即b 2a a ＋c ·b 2a a －c＝－1， ∴b 4a 2c 2－a 2＝1，∴a 2＝b 2，即a ＝b ， ∴渐近线斜率k ＝±b a＝±1. (2)解①设F (c,0)，因为b ＝1，所以c ＝a 2＋1，直线OB 的方程为y ＝－1a x ， 直线BF 的方程为y ＝1a(x －c )， 解得B (c 2，－c 2a)． 又直线OA 的方程为y ＝1ax ， 则A (c ，c a )，k AB ＝c a －－c 2a c －c 2＝3a . 又因为AB ⊥OB ，所以3a ·(－1a)＝－1， 解得a 2＝3，故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1. ②由①知a ＝3，则直线l 的方程为 x 0x 3－y 0y ＝1(y 0≠0)，即y ＝x 0x －33y 0. 因为直线AF 的方程为x ＝2，所以直线l 与AF 的交点为M (2，2x 0－33y 0)； 直线l 与直线x ＝32的交点为N (32，32x 0－33y 0)．则MF2NF2＝2x0－323y0214＋32x0－323y02＝2x0－329y204＋94x0－22＝43·2x0－323y20＋3x0－22.因为P(x0，y0)是C上一点，则x203－y20＝1，代入上式得MF2NF2＝43·2x0－32x20－3＋3x0－22＝43·2x0－324x20－12x0＋9＝43，即所求定值为MFNF＝23＝233.变式训练1x±2y＝0解析由题意知e1＝c1a，e2＝c2a，∴e1·e2＝c1a·c2a＝c1c2a2＝32.又∵a2＝b2＋c21，c22＝a2＋b2，∴c21＝a2－b2，∴c21c22a4＝a4－b4a4＝1－(ba)4，即1－(ba)4＝34，解得b a ＝±22，∴b a ＝22.令x 2a 2－y 2b2＝0，解得bx ±ay ＝0， ∴x ±2y ＝0. 例2(1)④(2)2 解析(1)由题意e 1＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ，离心率e 2＝a ＋m2＋b ＋m 2a ＋m 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋m a ＋m 2.因为b ＋m a ＋m －b a ＝m a －ba a ＋m ，且a >0，b >0，m >0，a ≠b ，所以当a >b 时，m a －b a a ＋m >0，即b ＋m a ＋m >ba .又b ＋m a ＋m >0，ba>0， 所以由不等式的性质依次可得⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋m a ＋m 2>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2,1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2，所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫b a 2，即e 2>e 1；同理，当a <b 时，m a －ba a ＋m<0，可推得e 2<e 1.综上，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2. (2)如图，设OF 的中点为T ，由(AO →＋AF→)·OF →＝0可知AT ⊥OF ，又A 在以OF 为直径的圆上，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 2，c 2， 又A 在直线y ＝bax 上，∴a ＝b ，∴e ＝ 2.变式训练2解(1)因为e 1e 2＝32，所以a 2－b 2a ·a 2＋b 2a ＝32，即a 4－b 4＝34a 4，因此a 2＝2b 2，从而F 2(b,0)，F 4(3b,0)，于是3b －b ＝F 2F 4＝3－1，所以b ＝1，a 2＝2.故C 1，C 2的方程分别为x 22＋y 2＝1，x 22－y 2＝1.(2)因AB 不垂直于y 轴，且过点F 1(－1,0)， 故可设直线AB 的方程为x ＝my －1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 22＋y 2＝1得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0.易知此方程的判别式大于0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1，y 2是上述方程的两个实根， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2.因此x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)－2＝－4m 2＋2，于是AB 的中点为M (－2m 2＋2，mm 2＋2)，故直线PQ 的斜率为－m2，PQ 的方程为y ＝－m2x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m2x ，x22－y 2＝1得(2－m 2)x 2＝4，所以2－m 2>0，且x 2＝42－m 2，y 2＝m 22－m 2，从而PQ ＝2x 2＋y 2＝2m 2＋42－m 2.设点A 到直线PQ 的距离为d ， 则点B 到直线PQ 的距离也为d ， 所以2d ＝|mx 1＋2y 1|＋|mx 2＋2y 2|m 2＋4.因为点A ，B 在直线mx ＋2y ＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)<0，于是|mx1＋2y1|＋|mx2＋2y2|＝|mx1＋2y1－mx2－2y2|，从而2d＝m2＋2|y1－y2|m2＋4.又因为|y1－y2|＝y1＋y22－4y1y2＝22·1＋m2m2＋2，所以2d＝22·1＋m2m2＋4.故四边形APBQ的面积S＝12·PQ·2d＝22·1＋m22－m2＝22·－1＋32－m2.而0<2－m2≤2，故当m＝0时，S取得最小值2.综上所述，四边形APBQ面积的最小值为2.例3解(1)因为双曲线E的渐近线分别为y＝2x，y＝－2x，所以ba＝2，所以c2－a2a＝2，故c＝5a，从而双曲线E的离心率e＝ca＝ 5.(2)方法一由(1)知，双曲线E的方程为x2a2－y24a2＝1.设直线l与x轴相交于点C.当l⊥x轴时，若直线l与双曲线E有且只有一个公共点，则OC＝a，AB＝4a.又因为△OAB的面积为8，所以12·OC·AB＝8，因此12a·4a＝8，解得a＝2，此时双曲线E的方程为x24－y216＝1.若存在满足条件的双曲线E，则E的方程只能为x24－y216＝1.以下证明：当直线l不与x轴垂直时，双曲线E：x24－y216＝1也满足条件．设直线l的方程为y＝kx＋m，依题意，得k>2或k<－2，则C(－mk，0)．记A(x1，y1)，B(x2，y2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y ＝2x ，得y 1＝2m 2－k ，同理，得y 2＝2m2＋k.由S △OAB ＝12|OC |·|y 1－y 2|，得12|－m k |·|2m 2－k －2m 2＋k |＝8， 即m 2＝4|4－k 2|＝4(k 2－4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y216＝1，得(4－k 2)x 2－2kmx －m 2－16＝0. 因为4－k 2<0，所以Δ＝4k 2m 2＋4(4－k 2)(m 2＋16) ＝－16(4k 2－m 2－16)． 又因为m 2＝4(k 2－4)，所以Δ＝0，即l 与双曲线E 有且只有一个公共点． 因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.方法二由(1)知，双曲线E 的方程为x 2a 2－y 24a2＝1.设直线l 的方程为x ＝my ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．依题意得－12<m <12.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，y ＝2x ，得y 1＝2t1－2m，同理，得y 2＝－2t1＋2m.设直线l 与x 轴相交于点C ，则C (t,0)． 由S △OAB ＝12·OC ·|y 1－y 2|＝8，得12|t |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪2t 1－2m ＋2t 1＋2m ＝8. 所以t 2＝4|1－4m 2|＝4(1－4m 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋t ，x 2a 2－y 24a 2＝1，得(4m 2－1)y 2＋8mty ＋4(t 2－a 2)＝0.因为4m 2－1<0，直线l 与双曲线E 有且只有一个公共点当且仅当Δ＝64m 2t 2－16(4m 2－1)(t 2－a 2)＝0， 即4m 2a 2＋t 2－a 2＝0，即4m 2a 2＋4(1－4m 2)－a 2＝0， 即(1－4m 2)(a 2－4)＝0， 所以a 2＝4，因此，存在总与l 有且只有一个公共点的双曲线E ，且E 的方程为x 24－y 216＝1.变式训练352解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b a x ，x －3y ＋m ＝0得A (am 3b －a ，bm 3b －a)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，x －3y ＋m ＝0得B (－am a ＋3b ，bma ＋3b)，所以AB 的中点C 的坐标为(a 2m 9b 2－a 2，3b 2m 9b 2－a2)．设直线l ：x －3y ＋m ＝0(m ≠0)， 因为PA ＝PB ，所以PC ⊥l ， 所以k PC ＝－3，化简得a 2＝4b 2. 在双曲线中，c 2＝a 2＋b 2＝5b 2，所以e ＝c a ＝52.常考题型精练1.⎝⎛⎭⎪⎪⎫－33，33 解析由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20，∴2＋2y 2－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.2．③解析双曲线C 1：e 21＝sin 2θ＋cos 2θcos 2θ＝1cos 2θ，双曲线C 2：e 22＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θsin 2θ＝1＋tan 2θ＝1cos 2θ，∴C 1，C 2的离心率相等． 3.x 25－y 24＝1解析∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆心为C (3,0)．又渐近线方程与圆C 相切， 即直线bx －ay ＝0与圆C 相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2(a2＋b2，0)为圆心C(3,0)，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.4．x2＋y2－10x＋9＝0解析由于右焦点(5,0)到渐近线4x－3y＝0的距离d＝205＝4，所以所求的圆是圆心坐标为(5,0)，半径为4的圆．即圆的方程为x2＋y2－10x＋9＝0.5.233或2解析由题意，可知双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线的倾斜角为30°或60°，则ba＝33或 3.则e＝ca＝c2a2＝a2＋b2a2＝1＋ba2＝233或2.6.2解析取双曲线的渐近线y ＝ba x ，则过F 2与渐近线垂直的直线方程为y ＝－ab(x －c )，可解得点H 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2c ，ab c ，则F 2H 的中点M的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋c 22c ，ab 2c ，代入双曲线方程x 2a 2－y 2b 2＝1可得a 2＋c 224a 2c 2－a 2b 24c 2b2＝1，整理得c 2＝2a 2，即可得e ＝ca＝ 2.7．x 2－y 23＝1解析由y 2＝8x,2p ＝8，p ＝4，∴其准线方程为x ＝－2，即双曲线的左焦点为(－2,0)，c ＝2， 又e ＝2，∴a ＝1，b 2＝c 2－a 2＝3， 故双曲线的方程为x 2－y 23＝1.8.3＋1解析设以F 1F 2为底边的正三角形与双曲线C 的右支交于点M ，则在Rt△MF 1F 2中，可得F 1F 2＝2c ，MF 1＝3c ，MF 2＝c ，由双曲线的定义有MF 1－MF 2＝2a ，即3c －c ＝2a ，所以双曲线C 的离心率e ＝ca＝23－1＝3＋1. 9．(2，＋∞)解析双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程为y＝±b a x ，设直线方程为y ＝b a (x －c )，与y ＝－bax 联立求得M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫c 2，－bc 2a ，因为M 在圆外，所以满足MF 1→·MF 2→>0，可得－34c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫bc 2a 2>0，解得e ＝c a >2.10.102解析设双曲线的右焦点为F 1，连结PF 1. 由OE →＝12(OF →＋OP →)知，E 是FP 的中点． 又O 是FF 1的中点，∴OE ∥PF 1，且OE ＝12PF 1，易知OE ⊥FP ，∴PF 1⊥FP ，∴PF 2＋PF 21＝FF 21，PF 1＝a ，PF ＝2a ＋PF 1＝3a ，∴9a 2＋a 2＝(2c )2，∴c a ＝102.11．解(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m,2m )，B (－n,2n )，其中m >0，n >0，由AP →＝PB →得点P的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫m －n 2，m ＋n . 将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，∵tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫π2－θ＝2， 则tan θ＝12，从而sin2θ＝45.又OA ＝5m ，OB ＝5n ，∴S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin2θ＝2mn ＝2.12．解(1)∵双曲线的渐近线为y ＝±bax ，∴a ＝b ，∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2，∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1，∴x 0＝3y 0.①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫32c ，c 2，代入双曲线方程得 34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c 2－14a 2c 2＝a 2b 2.② 又∵a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式，整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c a 2＋4＝0， ∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0.∵e >1，∴e ＝2， ∴双曲线的离心率为 2.。
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渐近线求双曲线方程问题
1.已知双曲线的渐近线方程是2
x y ±=，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为 答案：152022=-y x 或120522=-x y
2.以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为
答案：1392
2=-y x
3.焦点为（0，6），且与双曲线
12
22=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是
答案：1241222=-x y
4.过点（-6，3）且和双曲线x 2-2y 2=2有相同的渐近线的双曲线方程为
答案》19182
2=-y x
5.过点)2,2(-且与双曲线12
22
=-y x 有公共渐近线的双曲线方程是
答案：14222
=-x y
6.已知双曲线M 过点)2
6,
4(P ，且它的渐近线方程是02=±y x 。
求双曲线M 的方程
答案：125
1022=-y x
7.求与双曲线11692
2=-y x 有共同的渐近线，并且过点A （6，28）的双曲线方程
答案：1366422
=-x y
8.求以032=±y
x 为渐近线，且经过点（1,2）的双曲线方程 答案：189
3222=-x y。