高中数学双曲线导学案及答案

高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制： 审阅：

第二讲 双曲线（2课时） 班级 姓名

【考试说明】1.了双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、）2.

理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用.

【知识聚焦】（必须清楚、必须牢记）

1．双曲线定义

平面内与两个定点F 1，F 2的____________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做_____________，两焦点间的距离叫做_______________.集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0.(1)当______________时，P 点的轨迹是双曲线；(2)当_____________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当_____________时，P 点不存在． 2．双曲线的标准方程和几何性质

3实轴和_________相等的双曲线叫做等轴双曲线.离心率e ＝2是双曲线为等轴双曲线的充要条件，且等轴双曲线两条渐近线互相垂直.一般可设其方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0).

4.巧设双曲线方程 (1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2

b 2＝t (t ≠0)．

(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2

n

＝1 (mn <0)．

【链接教材】（打好基础，奠基成长）

1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )

A. 5 B ．5 C. 2 D ．2

2．(2015·安徽)下列双曲线中，渐近线方程为y ＝±2x 的是( )

A ．x 2－y 24＝1 B.x 24－y 2＝1 C ．x 2

－y 2

2

＝1

D.x 22

－y 2

＝1 高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制： 审阅：

3．(2014·广东)若实数k 满足0

9＝1的( )

A ．焦距相等

B ．实半轴长相等

C ．虚半轴长相等

D ．离心率相等

4．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为________． 5．(教材改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为_______.

6. 设双曲线x 2a 2－y 2

9

＝1(a ＞0)的渐近线方程为3x ±2y ＝0，则a 的值为( )

A.4

B.3

C.2

D.1

7 (2013·湖北)已知0<θ<π4，则双曲线C 1：x 2cos 2θ－y 2sin 2θ＝1与C 2：y 2sin 2θ－x 2

sin 2θtan 2θ

＝1的( )

A.实轴长相等 B .虚轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等

8. 已知曲线方程x 2λ＋2－y

2λ＋1

＝1，若方程表示双曲线，则λ的取值范围是________________.

【课堂考点探究】

探究点一 双曲线定义的应用

例1 1.已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 2. 设P 是双曲线2

2

116

20

y x

-

=上的一点，F1F2

分别是双曲线的左右焦点，若为

1

29PF

PF ==则( )

A.1

B.17

C.1或17

D.以上答案均不对 [总结反思]

探究点二 双曲线的标准方程的求法

例2 1.根据下列条件，求双曲线的标准方程：

(1)虚轴长为12，离心率为5

4

；(2)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)．

2 .(2014·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l

上，则双曲线的方程为( ) A.x 25－y 220＝1 B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y 2100＝1 D.3x 2100－3y 2

25＝1

[总结反思]

变式题 (1)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1

2x ，则该双曲线的标准方程为__________________．

(2)设椭圆C 1的离心率为5

13

，焦点在x 轴上且长轴长为26，若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对

值等于8，则曲线C 2的标准方程为________．

探究点三 双曲线的几何性质

例3 (1)过双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为点A ，与另一条渐近线交于点B ，

若FB →＝2F A →

，则此双曲线的离心率为( )

A. 2

B. 3 C ．2 D.5

高三理科数学 导学案 平面解析几何 编制： 审阅：

(2)(2015·山东)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点

O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．

[总结反思]

变式题(1)(2015·重庆)设双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点是F ，左，右顶点分别是A 1，A 2，过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若A 1B ⊥A 2C ，则该双曲线的渐近线的斜率为( ) A ．±12 B ．±2

2

C ．±1

D ．±2

(2)(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )

A ．对任意的a ，b ，e 1

B ．当a >b 时，e 1e 2

C ．对任意的a ，b ，e 1>e 2

D ．当a >b 时，e 1>e 2；当a

探究点四 直线与双曲线的综合问题

例4 (1)(2015·四川)过双曲线

x 2－

y 2

3

＝1的右焦点且与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于( ) A.43

3

B ．2 3

C ．6

D ．43

(2)若双曲线E ：x 2a 2－y 2

＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．

①求k 的取值范围；

②若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →

)，求k ，m 的值．