《数列的概念与简单表示法》导学案(人教A版)
福建长乐一中学高中数学《数列的概念与简单表示法一》教案新人教A版
福建省长乐第一中学高中数学必修五《2.1.1 数列的概念与简单表示法（一）》教案第一课时 2.1.1 数列的概念与简单表示法（一）教学要求：理解数列及其有关概念；了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项的特征写出它的一个通项公式.教学重点：数列及其有关概念，通项公式及其应用.教学难点：根据一些数列的前几项，抽象、归纳出数列的通项公式.教学过程：一、复习准备：1. 在必修①课本中，我们在讲利用二分法求方程的近似解时，曾跟大家说过这样一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，即如果将初始量看成“1”，取其一半剩“12”，再取一半还剩“14”，、、、、、、，如此下去，即得到1，12，14，18，、、、、、、 2. 生活中的三角形数、正方形数.二、讲授新课：1. 教学数列及其有关概念：① 数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.② 数列中排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项、、、、、、排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.③ 数列的一般形式可以写成123,,,,,n a a a a ，简记为{}n a .④ 数列的分类：有穷数列与无穷数列，递增数列、递减数列、常数列与摆动数列.2. 教学数列的表示方法：① 讨论下列数列中的每一项与序号的关系：1，12，14，18，、、、；1,3,6,10，、、、；1,4,9,16，、、、. （数列的每一项都与序号有关，即数列可以看成是项数与项之间的函数.）② 数列的通项公式：如果数列的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式. （作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.）③ 数列的表示方法：列表法、图象法、通项公式法.3. 例题讲解：例、写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：①0.5，0.5，0.5，、、、②1，－1,1，－1，、、、（可用分段函数表示）③－1，12，－14，18，、、、 思考：是不是所有的数列都存在通项公式？根据数列的前几项写出的通项公式是唯一的吗？4. 小结：数列及其基本概念，数列通项公式及其应用.三、巩固练习：1. 练习：、根据下面数列的前几项的值，写出数列的一个通项公式：(1) 3, 5, 7, 9, 11,……；(2) 32, 154, 356, 638, 9910, ……；(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……；(4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……；(5) 2, －6, 18, －54, 162, …….2. 作业：教材P38页 第1①②、2题。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案一、教学目标1. 了解数列的定义及其特点2. 掌握数列的表示方法，包括通项公式和前n项和公式3. 能够运用数列的概念和表示法解决实际问题二、教学内容1. 数列的定义与特点2. 数列的表示方法a. 通项公式b. 前n项和公式三、教学重点与难点1. 重点：数列的概念、特点及表示方法2. 难点：通项公式和前n项和公式的运用四、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的概念、特点及表示方法2. 利用例题，引导学生运用数列的知识解决问题3. 小组讨论，探讨数列在实际问题中的应用五、教学过程1. 引入数列的概念，讲解数列的定义和特点2. 介绍数列的表示方法，包括通项公式和前n项和公式3. 举例说明数列的表示方法在实际问题中的应用4. 课堂练习，让学生巩固数列的概念和表示法教案仅供参考，具体实施时可根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评估1. 课后作业：布置有关数列概念和表示法的练习题，要求学生在规定时间内完成。
2. 课堂练习：课堂上设置一些数列相关的问题，让学生现场解答，以检验他们对数列概念和表示法的掌握程度。
3. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享他们在实际问题中运用数列知识的心得，从而提高他们的合作能力和解决问题的能力。
七、教学拓展1. 数列的性质：介绍数列的单调性、周期性等性质，引导学生深入研究数列的特点。
2. 数列的分类：讲解等差数列、等比数列等常见数列的定义和性质，让学生了解数列的多样性。
八、教学反思在教学过程中，要及时关注学生的学习反馈，调整教学节奏和难度，确保学生能够跟上课程进度。
针对学生的薄弱环节，要加强针对性训练，提高他们的数列知识水平。
注重培养学生的数学思维能力和实际应用能力，使他们能够将所学知识运用到实际问题中。
九、课后作业1. 复习数列的概念和表示法，整理课堂笔记。
2. 完成课后练习题，加深对数列知识的理解。
3. 选择一个实际问题，尝试运用数列的知识解决，并将解题过程和答案提交给本节课主要讲解了数列的概念和简单表示法，学生通过学习掌握了数列的基本知识，能够运用通项公式和前n项和公式解决一些实际问题。
高中数学_2.1_数列的概念与简单表示法导学案_新人教A版必修5
§ 2.1数列的概念与简单表示法(1)1 - 学习目标1. 理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；2. 了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项;3. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式7学习过程一、课前准备(预习教材P28 ~ F30，找出疑惑之处)复习1:函数y 3x，当x依次取1, 2, 3,…时，其函数值有什么特点?复习2：函数y=7x+9，当x依次取1, 2, 3,…时，其函数值有什么特点?二、新课导学探学习探究探究任务：数列的概念1. __________________________________ 数列的定义：的一列数叫做数列.2. __________________________________ 数列的项：数列中的都叫做这个数列的项. 反思：⑴如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们是相同的数列?⑵ 同一个数在数列中可以重复出现吗?3. 数列的一般形式：印耳舄丄,a n,L，或简记为务，其中a.是数列的第—项.4. 数列的通项公式：如果数列a n的第n项a n与n之间的关系可以用 ________________________ 来表示，那么就叫做这个数列的通项公式.反思：⑴所有数列都能写出其通项公式？⑵一个数列的通项公式是唯一?⑶数列与函数有关系吗？如果有关，是什么关系?用心爱心专心12008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d25. 数列的分类：1）根据数列项数的多少分 ______ 数列和 ____ 数列; 2）根据数列中项的大小变化情况分为 _______ 数列, _____ 数列， _______ 数列和 _________ 数列. 探典型例题例1写出下面数列的一个通项公式，使它的前⑵ 1 , 0 , 1 , 0.变式：写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4项分别是下列各数:⑴ 1 4 ；2 5 10 17 ⑵ 1 , —1, 1，- 1；小结：要由数列的若干项写出数列的一个通项公式, 项数的函数关系•例2已知数列2, - , 2，…的通项公式为 a n4只需观察分析数列中的项的构成规律，将项表示为2 ban——，求这个数列的第四项和第五项 •cn4项分别是下列各数:用心 爱心 专心 3变式：已知数列,5 , 11 , 17 , 23 , 29，…，则5、. 5是它的第 _____ 项.小结：已知数列的通项公式，只要将数列中的项代入通项公式，就可以求出项数和项写出下面数列的一个通项公式，使它的前 4项分别是下列各数:1 1 1 ；3 5 7 2， 3，2 .练2.写出数列｛n 2 n ｝的第20项，第n + 1项.1. 对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式;2. 会用通项公式写出数列的任意一项 . %知识拓展数列可以看作是定义域为正整数集的特殊函数 思考：设 f (n)=1+ 1 + 1+…+ 1( n N* )那么 f(n 1) f (n)等于2 33n 1 A 1B. 1 1 3n 23n 3n 1C11D.1 1 13n 1 3n 23n 3n 1 3n 2-W !'学习评价%自我评价你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差%当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分： 1. 下列说法正确的是（）.A. 数列中不能重复出现同一个数B. 1 , 2, 3, 4 与 4, 3, 2, 1 是同一数列C. 1 , 1, 1, 1…不是数列D. 两个数列的每一项相同，则数列相同 2. 下列四个数中，哪个是数列 ｛n （n 1）｝中的一项（ ）A. 380B. 392C. 321D. 232%动练1. ⑴1 ,⑵1 ,2008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d43. 在横线上填上适当的数：3, 8, 15, ____ , 35, 48.n(n 1)4. 数列｛( 1)^｝的第4项是 .5. 写出数列丄，丄，丄，丄的一个通项公式2 1 2 2 23 2 4课后作业1. 写出数列｛ 2n ｝的前5项.2 942 2 _ ■--- 1■i 12. (1)写出数列21, 3 1 41, 5 1的一个通项公式为 2 34 5■ 11(2)已知数列.3 , - 7 , 11 , 15 ,: - ■ • • : ■ 1§ 2.1数列的概念与简单表示法(2)1. 了解数列的递推公式，明确递推公式与通项公式的异同；2. 会由递推公式写出数列的前几项，并掌握求简单数列的通项公式的方法.学习过程一、课前准备(预习教材P 31 ~ Pi 4，找出疑惑之处) 复习1：什么是数列？什么是数列的通项公式？复习2:数列如何分类?用心爱心专心52008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d6二、新课导学 探学习探究 探究任务：数列的表示方法1. 通项公式法2. 图象法:数列的图形是 ______________________ ，因为横坐标为 _数，所以这些点都在 y 轴的_侧，而点的个 数取决于数列的 ______ •从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势 3. 递推公式法：递推公式：如果已知数列 a n 的第1项（或前几项），且任一项a n 与它的前一项a ni （或前n 项）间的关 系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式 试试：上图中相邻两层的钢管数 a n 与a n 1之间关系的一个递推公式是 ___________ . ________4. 列表法：试试：上图中每层的钢管数 a n 与层数n 之间关系的用列表法如何表示?反思：所有数列都能有四种表示方法吗?a i 11 写出这个数列的前五项1 （n 1）. a n 1问题：观察钢管堆放示意图,找每层的钢管数 a n 与层数n 之间有何关系?试试：上图中每层的钢管数a n 与层数n 之间关系的一个通项公式是例1设数列a n 满足a n变式：已知a 1 2 , a n 12a n ，写出前5项，并猜想通项公式a n用心 爱心 专心 7小结：由递推公式求数列的项，只要让 n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项:例2已知数列a n 满足a i 0， a . i a . 2n ,那么a 20°7（）A.2003 X 2004B.2004 X 2005C. 2007 X 2006D. 20042I小结：由递推公式求数列的通项公式，适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法%动手试试2练 1.已知数列a n 满足耳 1 ,a 2 一，且 a n i ga^ a .^ni2a . i ga . i 0 ( n 2)，求 a 3,3练2. (2005年湖南)已知数列 a n 满足a i 0 ,a n/ *a . i --------------------------- (n N )，贝V a 20( ).3a n i A . 0 B. - 3 C. 3 D.2练3.在数列a .中，a i 2,如 66，通项公式是项数变式：已知数列a n 满足 ai 0 , a n 1a n 2n ，求 a nn 的一次函数2008年下学期♦高二月日班级：姓名：第二章数列」⑴求数列a.的通项公式；⑵88是否是数列a n中的项.8用心 爱心 专心 9二、总结提升 探学习小结 1. 数列的表示方法; 2. 数列的递推公式 探知识拓展 n 刀最多能将比萨饼切成几块？ 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜 现一刀能将饼切成两块，两刀最多能 他算算看，四刀最多能将饼切成多少 解析：将比萨饼抽象成一个圆，每 欢将比萨饼切成形状各异的小块，以便出售 •他发 切成4块，而三刀最多能切成 7块（如图）.请你帮 块？ n 刀呢？一刀的切痕看成圆的一条弦.因为任意两条弦最多只能有一个交点，所以第 n 刀最多与前n —1刀的切痕都各有一个不同的交点，因此第 n 刀的切痕最多被 前n -1刀分成n 段，而每一段则将相应的一块饼分成两块 .也就是说n 刀切下去最多能使饼增加 n 块.记 刀数为1时，饼的块数最多为a i , ，刀数为n 时，饼的块数最多为 a n ，所以a n =a n1 n . 由此可求得a n =1+ n （n 1）- 2 y 学习评价 .---... 探自我评价你完成本节导学案的情况为（ ） A.很好B. 较好 C. 一般 D . 较差 探当堂检测（时量： 5分钟满分：10分）计分： 1.已知数列a n 1 a n 3 0,则数列 a n 是（ ）• A.递增数列B. 递减数列C.摆动数列D.常数列2.数列a n 中， a n 2n 29n 3, 则此数列最大项的值是 A. 3 B. 13 C .13 1D. 12 83. 数列a n 满足a 1 1 , a n 1 a n2 （ n 》1）,则该数列的通项 A. n(n 1) B. n(n 1)C . n(n 1) D. n(n 1) 2 24. 已知数列 a n 满足 1 a 1 3 a n (1)n g2a n 1 ( n 》2),则5. 已知数列 a n 满足 1 a 1a n 1 1 1( n 》2),2a n则; a 6 .a n■■ 7课后作业1.数列a n 中,印=0, a n 1 = a n + （2n — 1） （ n € N ），写出前五项，并归纳出通项公式2008年下学期♦高二月日班级：姓名：第二章数列」2. 数列a n满足a i 1 , a n1竺（n N），写出前5项，并猜想通项公式a n.a n 2§ 2.2等差数列（1）一一选垃—学习目标1. 理解等差数列的概念，了解公差的概念，明确一个数列是等差数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等差数列；2. 探索并掌握等差数列的通项公式；3. 正确认识使用等差数列的各种表示法，能灵活运用通项公式求等差数列的首项、公差、项数、指定的项.学习过程一、课前准备（预习教材P36 ~ F39，找出疑惑之处）复习1：什么是数列？复习2：数列有几种表示方法？分别是哪几种方法?二、新课导学探学习探究探究任务一：等差数列的概念问题1：请同学们仔细观察，看看以下四个数列有什么共同特征?①0, 5, 10, 15, 20, 25,…②48, 53, 58, 63③18 , 15.5 , 13, 10.5 , 8, 5.5④10072 , 10144, 10216, 10288, 10366新知：1. 等差数列：一般地，如果一个数列从第—项起，每一项与它一项的______ 等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的________________ ,常用字母 ______ 表示.2. 等差中项：由三个数a, A, b组成的等差数列，10这时数 _叫做数 _和_的等差中项，用等式表示为 A _________________探究任务二：等差数列的通项公式问题2:数列①、②、③、④的通项公式存在吗？如果存在，分别是什么?若一等差数列a n的首项是a1，公差是d,则据其定义可得a?，即：a2印a3 a2,即: a3 a2 d a1a4 a3，即：a4 a3 d a1由此归纳等差数列的通项公式可得：a n_______•••已知一数列为等差数列，则只要知其首项a1和公差d,便可求得其通项a n.探典型例题例1⑴求等差数列8, 5, 2…的第20项；⑵一401是不是等差数列-5 , -9 , -13…的项？如果是，是第几项?变式：(1)求等差数列3, 7, 11,……的第10项.(2) 100是不是等差数列2, 9, 16,……的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由小结：要求出数列中的项，关键是求出通项公式；要想判断一数是否为某一数列的其中一项，则关键是要看是否存在一正整数n值，使得a n等于这一数.例2已知数列｛ a n｝的通项公式a n pn q，其中p、q是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是多少？用心爱心专心112008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d 12变式：已知数列的通项公式为 a n 6n 1，问这个数列是否一定是等差数列？若是，首项与公差分别是什 么？ 小结：要判定 a n 是不是等差数列，只要看 a n a n 1(n 》2)是不是一个与 n 无关的常数- ■ « I%动手试试练1.等差数列1,— 3,— 7,— 11，…，求它的通项公式和第 20项.练2.在等差数列a n 的首项是a 5 10, a 12 31 , 求数列的首项与公差%学习小结1. 等差数列定义： ％ a p 1 d ( n 》2)；2. 等差数列通项公式：a na 1 (n 1)d ( n 》1). %知识拓展1. 等差数列通项公式为 a n a 1(n 1)d 或a . a m (n m)d .分析等差数列的通项公式，可知其为一次 函数，图象上表现为直线 y a 1 (x 1)d 上的一些间隔均匀的孤立点 .2. 若三个数成等差数列，且已知和时，可设这三个数为a d ,a,a d .若四个数成等差数列，可设这四 个数为 a 3d ,a d, a d, a 3d .1 学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）• A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 等差数列1,- 1, - 3，…，一89的项数是（）.A. 92B. 47C. 46D. 452. 数列a n的通项公式a n 2n 5，则此数列是（）.A.公差为2的等差数列B.公差为5的等差数列C.首项为2的等差数列D.公差为n的等差数列3. 等差数列的第1项是7,第7项是一1,则它的第5项是（）.A. 2B. 3C. 4D. 64. 在厶ABC中，三个内角A, B, C成等差数列，则/ B= .5. 等差数列的相邻4项是a+1, a+3, b, a+b，那么a = _________ , b= .“课后作业1. 在等差数列a n中,⑴已知a1 2 , d= 3, n= 10,求a n ；⑵已知a1 3, a n 21 , d= 2，求n；⑶已知a1 12 , a6 27，求d;1⑷已知d=- - , a78，求a1.32. 一个木制梯形架的上下底边分别为33cm 75cm,把梯形的两腰各6等分，用平行木条连接各分点，构成梯形架的各级，试计算梯形架中间各级的宽度§ 2.2等差数列（2）用心爱心专心132008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列d■-> 1学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式；2. 灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题土…学习过程一、课前准备（预习教材P39 ~ F40,找出疑惑之处）复习1：什么叫等差数列？复习2:等差数列的通项公式是什么?二、新课导学探学习探究探究任务：等差数列的性质1. 在等差数列a n中，d为公差，3m与a n有何关系?B2. 在等差数列a n中，d为公差，若m,n, p, q N且m n p q，则a m，a n，a p，a q有何关系?探典型例题例1在等差数列a n中，已知a510，a i2 31，求首项a i与公差d .变式：在等差数列a n中，若逐6，a8 15，求公差d及知.14小结: 在等差数列{%} 中, 公差d可以由数列中任意两项a m与a n通过公式a m a n d求出m n例2在等差数列a n 中, 02a3 a i0 a i1 36，求a5a8和a6 a7・小结：在等差数列中，若m+n=p+q，则a m a n a p aq，可以使得计算简化.%动手试试练1.在等差数列a n中，a i a4 a? 39,a2 a5 a8 33，求a3 a6 a9的值.变式：在等差数列a n 中，已知a2 O B a434,且比抄52，求公差d.用心爱心专心152008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列L'-r 练2.已知两个等差数列5, 8, 11,…和3, 7, 11,…都有100项，问它们有多少个相同项?I、总结提升探学习小结1. 在等差数列中，若m+n=p+q,则a m a n a p a q注意：a m a n a m n，左右两边项数一定要相同才能用上述性质2. 在等差数列中，公差d am冇.m n探知识拓展判别一个数列是否等差数列的三种方法，即:(1)a n 1 a n d ;(2)a n pn q (p 0);(3)S n an2 bn.学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为(16A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 一个等差数列中，盹33, a?5 66，则a35 （）A. 99B. 49.5C. 48D. 492.等差数列a n中a7a9 16，a4 1，则a12 的值为（）.A . 15 B.30 C.31 D. 643.等差数列a n中, a3，2a10是方程x 3x 50，则a5 a6 =( ).A.3B. 5 C-3 D. —54.等差数列a n中, a25，a6 11，则公差 d =5.若48，a，b，c，—12是等差数列中连续五项，贝U a= ，b= ，c=课后作业1. 若a1 a2 L a530，a6 a7 L2. 成等差数列的三个数和为9,三数的平方和为35,求这三个数a i0 80，求a11 a i2 L用心爱心专心17§ 2.3等差数列的前n项和(1)一心鈔学习目标1. 掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；2. 会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题7学习过程一、课前准备(预习教材P42 ~ F44,找出疑惑之处)复习1：什么是等差数列？等差数列的通项公式是什么?复习2:等差数列有哪些性质?探究：等差数列的前n项和公式问题：1. 计算1+2+ …+100=?2. 如何求1+2+…+n=?新知：数列｛a n｝的前n项的和：一般地，称____________ 为数列｛a n｝的前n项的和，用S n表示，即S n _____________________________________________ 反思：① 如何求首项为a1，第n项为a n的等差数列｛务｝的前n项的和？② 如何求首项为ai，公差为d的等差数列｛a n｝的前n项的和？试试：根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛a n｝的前n项和S n.用心爱心专心172008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d 18 ⑴ a 1 4,比 18, n 8;⑵ a i 14.5，d 0.7，n 15.小结：1 •用S n n(ai an)，必须具备三个条件：22.用S n na 1旦£卫！，必须已知三个条件：2探典型例题例1 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的统治》 .某市据此提出了 实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网 .据测算, 2001年该市用于“校校通”工程的经费为 500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都 比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？小结：解实际问题的注意：① 从问题中提取有用的信息，构建等差数列模型；② 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解. 例2已知一个等差数列｛a n ｝前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列 的前n 项和的公式吗？变式：等差数列｛a n ｝中，已知a io 30 , a 20 50 , S n 242，求n .小结：等差数列前n项和公式就是一个关于a.、Q、n或者a i、n、d的方程，已知几个量，通过解方程, 得出其余的未知量• 探动手试试120°，公差为5°,那么这个多边形的边数n 练1. 一个凸多边形内角成等差数列，其中最小的内角为为（）•A. 12B. 16C. 9D. 16 或91. 等差数列前n项和公式的两种形式；2. 两个公式适用条件，并能灵活运用；3. 等差数列中的“知三求二”问题，即：已知等差数列之a1,a n,q,n,S n五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个.探知识拓展1. 若数列｛a n｝的前n项的和S n An2 Bn （A 0，A、B是与n无关的常数），则数列｛%｝是等差数列.2. 已知数列a n ,是公差为d的等差数列，S是其前n项和，设k N ,S k,S2k S k,S a< S2k也成等差数列, 公差为k2gd .二*_.学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在等差数列｛a n｝中，00 120，那么a1 a10 （）.A. 12B. 24C. 36D. 482. 在50和350之间，所有末位数字是1的整数之和是（）.A. 5880B. 5684C. 4877D. 45663. 已知等差数列的前4项和为21,末4项和为67，前n项和为286，则项数门为（）2008年下学期♦高二月日班级：姓名：第二章数列d■->■A. 24B. 26C. 27D. 284. 在等差数列｛a.｝中，a i 2 , d 1，则S& .5. 在等差数列｛a n｝中，a1 25，a5 33，则S6__________ . ___1 - 课后作业1. 数列｛a.｝是等差数列，公差为3, a. = 11,前n和S. = 14，求n和a a.2. 在小于100的正整数中共有多少个数被3除余2?这些数的和是多少?§ 2.3等差数列的前n项和⑵…迭/….学习目标1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；2. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；3. 会利用等差数列通项公式与前n项和的公式研究S n的最大（小）值.（预习教材P45 ~ F46,找出疑惑之处）复习1:等差数列｛a n｝中，a4= —15,公差d= 3,求S5.2008年下学期♦高二 月 日 班级： 姓名: 第二章数列 d复习2：等差数列｛%｝中，已知a 3 1 , a 5 11，求a .和S *.二、新课导学 探学习探究 问题：如果一个数列a .的前n 项和为S n pn 2 qn r ，其中p 、q 、r 为常数，且p 0 ,那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？探典型例题例1已知数列｛a n ｝的前n 项为S n n 2丄n ，求这个数列的通项公式•这个数列是等差数列吗？如果是,2它的首项与公差分别是什么？小结：数列通项a n 和前n 项和S n 关系为例2已知等差数列5, 4-, 3-，....的前n 项和为S n ，求使得S n 最大的序号n 的值.7 7变式：已知数列｛a n ｝的前n 项为S n 丄n 2422n 3，求这个数列的通项公式 3S 1 (n 1)S n S n 1 (n2），由此可由〈求a n变式：等差数列｛%｝中，a4 = - 15,公差d= 3,求数列｛a.｝的前n项和S.的最小值.小结：等差数列前项和的最大(小)值的求法•(1)利用a.:当a. >0, d<0,前n项和有最大值，可由a. >0，且a. 1 < 0,求得n的值；当a.<0, d>0,前n项和有最小值，可由a. < 0，且a. i > 0,求得门的值-(2)利用S n :由S n d n2 (a i d)n，利用二次函数配方法求得最大(小)值时n的值.2 2探动手试试练1.已知S. 3n2 2n，求数列的通项a..练2.有两个等差数列2, 6, 10,…，190及2, 8, 14,…200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一2008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列d探学习小结1. 数列通项a n和前n项和S n关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.探知识拓展等差数列奇数项与偶数项的性质如下：1 °若项数为偶数2n,则S偶- S<=nd ; |奇=电5 2）；耳禺a n 12°若项数为奇数2n+1,则S奇-S s=a n i ；S偶na n 1 ；务=（n 1）a n 1 ；S偶—nS奇n 1 •学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）•A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 下列数列是等差数列的是（）•A. a n nB. S n 2n 1C. S n 2n2 1D. S n 2n2 n2. 等差数列｛ a n｝中，已知$5 90，那么a8 （）.A. 3B. 4C. 6D. 123. 等差数列｛ a n｝的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为（）.A. 70B. 130C. 140D. 1704. 在小于100的正整数中共有________ 个数被7除余2,这些数的和为5. 在等差数列中，公差d= 1, S00 145 ,2贝V 印a3 a5 ... a99 _________ . ___…课后作业1. 在项数为2n+1的等差数列中，所有奇数项和为165，所有偶数项和为150,求n的值.2. 等差数列{a.} , a i 0 , S9氐，该数列前多少项的和最小?§ 2.4等比数列（1）"7学习目标1理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式、性质；2. 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，提高数学建模能力;3. 体会等比数列与指数函数的关系.学习过程r - l mrrf .~L~vrrr—ll .-s.-一、课前准备（预习教材P48 ~ F5i，找出疑惑之处）复习1:等差数列的定义？复习2：等差数列的通项公式a n 等差数列的性质有：2008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列d 二、新课导学探学习探究观察: ①1 24, 8, 16,②1, 1—1—?1—?1, 24816③1, 20, 220 ,203420 ,思考以上四个数列有什么共同特征? 新知：1. 等比数列定义：一般地，如果一个数列从第_项起，_一项与它的 _一项的 _等于_________________ 那么这个数列就叫做等比数列•这个常数叫做等比数列的_________ ，通常用字母 _表示(0), 即:(0)2. 等比数列的通项公式：a2 a i_ ；a3 a2q (ae)q a i_;a4 a3q (aQ2)q a“_ ； ..............二a n a n i q a i ________________ 等式成立的条件_______3. 等比数列中任意两项a.与a m的关系是：探典型例题例1 (1) 一个等比数列的第9项是-，公比是一丄，求它的第1项；9 3(2) 一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项.常数，a n =a n 1小结：关于等比数列的问题首先应想到它的通项公式a n a1q n1.例2已知数列｛ a n｝中，lg a. 3n 5，试用定义证明数列｛ a n｝是等比数列小结：要证明一个数列是等比数列，只需证明对于任意正整数■滋动手试试n，葩是一个不为练1.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的衰期为多长（精确到1年）？0的常数就行了•84%.这种物质的半练2. 一个各项均正的等比数列，其每一项都等于它后面的相邻两项之和，则公比A. —B. 3 5C. —1D.—-2 2 2 22008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列d1. 等比数列定义；2. 等比数列的通项公式和任意两项a n与a m的关系.探知识拓展在等比数列｛a n｝中，⑴ 当a i 0，q >1时，数列｛a n｝是递增数列；⑵当a i 0，0 q 1，数列｛a n｝是递增数列；⑶当a i 0，0 q 1时，数列｛ a n｝是递减数列；⑷ 当a1 0，q >1时，数列｛a n｝是递减数列；⑸当q 0时，数列｛a n｝是摆动数列；⑹ 当q 1时，数列｛a n｝是常数列.W学习评价探自我评价你完成本节导学案的情况为（）•A.很好B. 较好C. 一般D. 较差探当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 在a n为等比数列，印12，a2 24，则a3 （）.A. 36B. 48C. 60D. 722. 等比数列的首项为9，末项为1,公比为2，这个数列的项数n=（）.8 3 3A. 3B. 4C. 5D. 63. 已知数列a, a （1 —a）, a（1 a）2，…是等比数列，则实数a的取值范围是（）A. a* 1B. a* 0 且a* 1C. a* 0D. a* 0 或a* 14. 设a1, a2 , a3, a4成等比数列，公比为2，贝U =______ . __2a3 a45. 在等比数列｛a n｝中，2a4 a6 ，则公比q= .课后作业在等比数列｛a n｝中，⑴ a4 27 , q= —3,求a7 ；⑵ a2 18 , a4 8，求a i 和q；⑶ a4 4，a? 6，求a：；⑷ a5 a1 15,比a2 6，求a3.§ 2.4等比数列（2）*:二土…学习目标1. 灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；2. 熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法■ j古学习过程一、课前准备（预习教材P51 ~ F54，找出疑惑之处）复习1：等比数列的通项公式a n= ______公比q满足的条件是_______________复习2：等差数列有何性质？问题1：如果在a与b中间插入一个数G,使a，G, b成等比数列，则G - G2ab G _________________________a G新知1：等比中项定义如果在a与b中间插入一个数G,使a，G, b成等比数列，那么称这个数G称为a与b的等比中项.即G= ____ （a，b 同号）.:■I试试：数4和6的等比中项是.问题2:1.在等比数列｛ a n｝中，a52 a3a7是否成立呢?2. a2 a n i a n i(n 1)是否成立？你据此能得到什么结论?3. a2 a. k a n k(n k 0)是否成立？你又能得到什么结论?新知2：等比数列的性质在等比数列中，若m+n=p+q,则a m a, a p a k.2008年下学期♦高二月日班级：姓名: 第二章数列d试试：在等比数列a n ，已知a i 5,玄9印。
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》教案 新人教A版必修5
随着对折数面积依次为 , , , ,…, ,….
生对折8次以后，纸的厚度为原来的256倍，其面积为原来的1/256，再折下去太困难了.
师说得很好，随数学水平的提高，我们的思维会更加理性化.请同学们观察上面我们列出的这一列一列的数，看它们有何共同特点？
无穷多个数1排成一列数：1，1，1，1，….
生一些分数排成的一列数： ， ， ， ， ，….
二、新课学习：折纸问题
师请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试
生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了.
师你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折的次数，它的厚度和每层纸的面积依次怎样？
【教具】多媒体电脑、实物投影仪、电子白板。
【学习方法】诱思探究法
【学习过程】
一、复习引入：
师课本图2.1-1中的三角形数分别是多少？
生1，3，6，10，….
师图2.1-2中的正方形数呢？
生1，4，9，16，25，….
师像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？
生-1的正整数次幂：-1，1，-1，1，…;
2.数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项(或首项)，第2项，…，第n项，….同学们能举例说明吗？
生例如，上述例子均是数列，其中①中，“2”是这个数列的第1项(或首项)，“16”是这个数列中的第4项.
3.数列的分类：
1)根据数列项数的多少分：
有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列.
4，5，6，7，8，9，10…;②1, , , ,…③的图象.
高中数学新人教版A版精品教案《数列的概念与简单表示法》8
《数列的概念与简单表示法》教学设计高中数学，普遍反映“学生学得辛苦，老师教得累”，课堂容易陷入沉闷和满堂灌的尴尬境地，课后收效不大，如何改变这种局面，实现数学有有效教学呢？有什么好的教学模式呢？带着这些疑问，我研读了有效教学相关理论，并精心设计了《数列的概念与简单表示法》，探索出“学案的辅助教学老师的启发式教学学生的积极参与探讨”的教学模式,很好地实现了课堂的有效教学。
一、教材分析：本课时是数列的起始课，主要内容是数列和通项公式的定义，及通项公式应用和求法。
本课是在学习映射、函数知识基础上研究数列，既是对函数进一步巩固理解，又为今后研究等差数列、等比数列打下基础，起着承前启后的重要作用。
二、学情分析：在学习中会遇到下列障碍：1对数列定义中的关键词“按一定次序”的理解有些模糊；2对数列与函数的关系认识不清；3 对数列的通项公式可以不只一个觉得不可思议；4 由数列的前几项写不出数列的通项公式。
三、教学目标：1知识与能力：①了解数列及其有关概念，数列和数集的区别，初步了解数列与函数的关系；②掌握数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；③对于比较简单的数列，会根据数列前几项写出它的一个通项公式；④培养学生的观察、分析、归纳能力。
2过程与方法：教学中采取学生回答、讨论等形式，培养学生发现问题、探究知识、建构知识的学习习惯及合作化学习的方法。
渗透函数思想，培养探索、创新精神。
3情感态度：激发学生学习数列兴趣，感受数列的形式美，增强民族自豪感，牢固树立为祖国之崛起而努力读书的目标。
四、教学重点：数列及其有关概念，通项公式的应用与求法。
五、教学难点：根据一些数列的前几项，归纳数列的通项公式。
六、教学准备：1根据教学重难点，编写学案，内容包括：课前导航、热身题、例题、例题小结、巩固练习、课时总结、课后作业、学海串珠。
学案与教案不同，教案是教师上课所用，通常不具公开性；学案是提前公开给学生本节课的重难点、主要内容，有效指导了部分学生盲目的课前预习、课堂学习及课后作业等。
高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习教案数列的概念与简单表示法1
第一节 数列的概念与简单表示法数列的概念及表示方法(1)了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)． (2)了解数列是自变量为正整数的一类函数． 知识点一 数列的概念 1．数列的定义按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫作这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫作首项)．2．数列的分类分类原则 类型 满足条件 按项数有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限按项与项 间的大小 关系递增数列a n ＋1≥a n 其中n ∈N ＋递减数列 a n ＋1≤a n 常数列a n ＋1＝a n ,摇摆数列 从第2项起有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项易误提醒1．由前n 项写通项、数列的通项并不唯一．2．易混项与项数两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．[自测练习]1．数列{a n }：1，－58，715，－924，…，的一个通项公式是( )A ．a n ＝(－1)n ＋12n －1n 2＋n(n ∈N ＋) B ．a n ＝(－1)n －12n ＋1n 3＋3n (n ∈N ＋) C ．a n ＝(－1)n＋12n －1n 2＋2n(n ∈N ＋)D ．a n ＝(－1)n－12n ＋1n 2＋2n(n ∈N ＋) 解析：观察数列{a n }各项，可写成：31×3，－52×4，73×5，－94×6，故选D.答案：D2．已知数列的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项 B ．只是数列{a n }中的第2项 C ．只是数列{a n }中的第6项 D ．是数列{a n }中的第2项或第6项解析：令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项．答案：D知识点二 数列与函数关系及递推公式 1．数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看作定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集)的函数，当自变量从小到大依次取值时，该函数对应的一列函数值就是这个数列．2．数列的递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(n ≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数列的递推公式．必记结论 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.[自测练习]3．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝2a n －1＋1，则a 5的值为( ) A ．30 B ．31 C ．32D ．33解析：a 5＝2a 4＋1＝2(2a 3＋1)＋1＝22a 3＋2＋1＝23a 2＋22＋2＋1＝24a 1＋23＋22＋2＋1＝31.答案：B4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式是________． 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2－3＝－1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －3)－(2n －1－3)＝2n －2n －1＝2n －1.故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝12n －1，n ≥2考点一 由数列的前几项求数列的通项公式|1．下列公式可作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2 D ．a n ＝(－1)n －1＋32解析：由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…. 答案：C2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式： (1)4,6,8,10，…； (2)－11×2，12×3，－13×4，14×5，…； (3)a ，b ，a ，b ，a ，b ，…(其中a ，b 为实数)； (4)9,99,999,9 999，….解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以通项公式a n ＝2(n ＋1)(n ∈N ＋)．(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式a n ＝(－1)n ×1n (n ＋1).(3)这是一个摆动数列，奇数项是a ，偶数项是b ，所以此数列的一个通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，b ，n 为偶数. (4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1，1 000－1,10 000－1，所以它的一个通项公式a n ＝10n －1.用观察法求数列的通项公式的两个技巧(1)根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．(2)对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．考点二 由a n 与S n 的关系求通项a n |已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式： (1)S n ＝2n 2－3n ；(2)S n ＝3n ＋b . [解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5. (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式． ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.已知S n 求a n 的三个步骤(1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和满足S n >1，且6S n ＝(a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N ＋，求{a n }的通项公式．解：由a 1＝S 1＝16(a 1＋1)(a 1＋2)，解得a 1＝1或a 1＝2，由已知a 1＝S 1>1，因此a 1＝2.又由a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝16(a n ＋1＋1)(a n ＋1＋2)－16(a n ＋1)(a n ＋2)，得a n ＋1－a n －3＝0或a n ＋1＝－a n . 因为a n >0，故a n ＋1＝－a n 不成立，舍去． 因此a n ＋1－a n －3＝0.即a n ＋1－a n ＝3，从而{a n }是以公差为3，首项为2的等差数列，故{a n }的通项公式为a n＝3n －1.考点三 由递推关系式求数列的通项公式|递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．归纳起来常见的探究角度有： 1．形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n . 2．形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，求a n .3．形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)，求a n . 4．形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C (A ，B ，C 为常数)，求a n .探究一 形如a n ＋1＝a n f (n )，求a n .1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)．解：因为a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，所以a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.由累乘法可得a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n (n ≥2)．又a 1＝1符合上式，∴a n ＝1n .探究二 形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n . 2．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2.解：因为a n ＋1－a n ＝3n ＋2，所以a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，所以a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝2＝12×(3×1＋1)，符合上式，所以a n ＝32n 2＋n2.探究三 形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1)求a n . 3．在数列{a n }中a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2.解：因为a n ＋1＝3a n ＋2，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3，所以数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.探究四 形如a n ＋1＝Aa nBa n ＋C(A ，B ，C 为常数)，求a n .4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a na n ＋2，求数列{a n }的通项公式．解：∵a n ＋1＝2a na n ＋2，a 1＝1，∴a n ≠0，∴1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12，又a 1＝1，则1a 1＝1，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)．已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解． 1．形如a n ＝a n －1＋f (n )(n ≥2，n ∈N *)时，用累加法求解． 2．形如a na n －1＝f (n )(a n －1≠0，n ≥2，n ∈N *)时，用累乘法求解．3．形如a n ＝a n －1＋m (n ≥2，n ∈N *)时，构造等差数列求解；形如a n ＝xa n －1＋y (n ≥2，n ∈N *)时，构造等比数列求解．16.函数思想在数列中的应用 【典例】 已知数列{a n }． (1)若a n ＝n 2－5n ＋4. ①数列中有多少项是负数？②n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n 成立．求实数k 的取值范围． [思路点拨] (1)求使a n <0的n 值；从二次函数看a n 的最小值．(2)数列是一类特殊函数，通项公式可以看作相应的解析式f (n )＝n 2＋kn ＋4.f (n )在N *上单调递增，但自变量不连续．从二次函数的对称轴研究单调性．[解] (1)①由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N *，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数，即为a 2，a 3. ②∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， ∴对称轴方程为n ＝52.又n ∈N *，∴n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2. (2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， 所以(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4>n 2＋kn ＋4， 即k >－1－2n ，又n ∈N *，所以k >－3. [方法点评]1．本题给出的数列通项公式可以看作是一个定义在正整数集上的二次函数，因此可以利用二次函数的对称轴来研究其单调性，得到实数k 的取值范围，使问题得到解决．2．本题易错答案为k >－2.原因是忽略了数列作为函数的特殊性，即自变量是正整数． 3．在利用二次函数的观点解决该题时，一定要注意二次函数对称轴位置的选取． [跟踪练习] 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n，试问该数列中有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由．解：法一：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11，当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ； 当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， ∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.法二：根据题意，令⎩⎪⎨⎪⎧a n －1≤a n ，a n ≥a n ＋1(n ≥2)，即⎩⎨⎧n ×⎝⎛⎭⎫1011n －1≤(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n≥(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1，解得9≤n ≤10.又n ∈N *， ∴n ＝9或n ＝10，∴该数列中有最大项，为第9、10项， 且a 9＝a 10＝10×⎝⎛⎭⎫10119.A 组 考点能力演练1．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1，则a 13＝( ) A ．143 B ．156 C ．168D ．195解析：由a n ＋1＝a n ＋2a n ＋1＋1得a n ＋1＋1＝(a n ＋1＋1)2，所以a n ＋1＋1－a n ＋1＝1，又a 1＝0，则a n ＋1＝n ，a n ＝n 2－1，则a 13＝132－1＝168.答案：C2．(2015·杭州质检)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，则a 20＝( ) A ．0 B ．－ 3 C. 3D.32解析：本题由数列递推关系式，推得数列{a n }是周期变化的，找出规律，再求a 20.由a 1＝0，a n ＋1＝a n －33a n ＋1(n ∈N *)，得a 2＝－3，a 3＝3，a 4＝0，…由此可知：数列{a n }是周期变化的，且三个一循环，所以可得a 20＝a 2＝－3，故选B.答案：B3．在数列{a n }中，a 3＝8，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋2(n 为奇数)，2a n(n 为偶数)，则a 5等于( )A ．12B ．14C ．20D ．22解析：本题考查数列的基本性质．代入得a4＝a3＋2＝10，a5＝2a4＝20.答案：C4．在数列{a n}中，有a n＋a n＋1＋a n＋2(n∈N*)为定值，且a7＝2，a9＝3，a98＝4，则此数列{a n}的前100项的和S100＝()A．200 B．300C．298 D．299解析：由题意，知a n＋a n＋1＋a n＋2＝a n＋1＋a n＋2＋a n＋3，则a n＝a n＋3，所以数列{a n}是周期为3的周期数列，则a1＝a4＝a7＝…＝a97＝a100＝2，a2＝a5＝…＝a98＝4，a3＝a6＝a9＝…＝a99＝3，所以数列的前100项和为(a1＋a2＋a3)×33＋a100＝299，故选D.答案：D5．已知在数列{a n}中，a1＝2，a2＝7，若a n＋2等于a n a n＋1(n∈N*)的个位数，则a2 016的值为()A．8 B．6C．4 D．2解析：因为a1a2＝2×7＝14，所以a3＝4；因为a2a3＝7×4＝28，所以a4＝8；因为a3a4＝4×8＝32，所以a5＝2；因为a4a5＝8×2＝16，所以a6＝6；因为a5a6＝2×6＝12，所以a7＝2；因为a6a7＝6×2＝12，所以a8＝2；依次计算得a9＝4，a10＝8，a11＝2，a12＝6，所以从第3项起，数列{a n}成周期数列，周期为6，因为2 016＝2＋335×6＋4，所以a2 016＝6.答案：B6．已知在数列{a n}中，a1＝1，a2＝0，若对任意的正整数n，m(n>m)，有a2n－a2m＝a n－a n＋m，则a2 015＝________.m解析：令n＝2，m＝1，则a22－a21＝a1a3，得a3＝－1；令n＝3，m＝2，则a23－a22＝a1a5，得a5＝1；令n＝5，m＝2，则a25－a22＝a3a7，得a7＝－1，所以猜想当n为奇数时，{a n}为1，－1,1，－1，…，所以a2 015＝－1.答案：－17．若数列{(n－a)2}是递增数列，则实数a的取值范围是________．解析：由题意得，对任意的n∈N*.(n＋1－a)2>(n－a)2恒成立，即2a<2n＋1恒成立，所以2a<(2n＋1)min＝3，则a<32.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，32 8．(2016·蚌埠检查)已知数列{a n }满足：a 1为正整数，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n 2， a n 为偶数，3a n ＋1， a n 为奇数，如果a 1＝1，则a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝________.解析：由题意知a 1＝1，a 2＝3×1＋1＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝4，a 6＝2，…，所以{a n }的周期为3，因为2 014＝3×671＋1，所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(1＋4＋2)×671＋1＝4 698.答案：4 6989．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝－n ＋p ，数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －5，设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，a n ≤b n ，b n ，a n >b n .若在数列{c n }中，c 8>c n (n ∈N *，n ≠8)，求实数p 的取值范围． 解：由题意得，c 8是数列{c n}中的最大项，所以⎩⎪⎨⎪⎧－7＋p >22，－9＋p ≤24，－8＋p >4，23>－9＋p ，解得12<p <17.10．已知数列{a n }中，a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)．(1)若a ＝－7，求数列{a n }中的最大项和最小项的值； (2)若对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，求a 的取值范围．解：(1)∵a n ＝1＋1a ＋2(n －1)(n ∈N *，a ∈R ，且a ≠0)，又∵a ＝－7，∴a n ＝1＋12n －9.结合函数f (x )＝1＋12x －9的单调性，可知1>a 1>a 2>a 3>a 4， a 5>a 6>a 7>…>a n >1(n ∈N *)．∴数列{a n }中的最大项为a 5＝2，最小项为a 4＝0.(2)a n ＝1＋1a ＋2(n －1)＝1＋12n －2－a 2. ∵对任意的n ∈N *，都有a n ≤a 6成立，结合函数f (x )＝1＋12x －2－a 2的单调性， 知5<2－a 2<6，∴－10<a <－8. 故a 的取值范围为(－10，－8)．B 组 高考题型专练1．(2012·高考大纲全国卷)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝( )A ．2n －1B.⎝⎛⎭⎫32n －1C.⎝⎛⎭⎫23n －1D.12n －1 解析：由已知S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n ＋1－S n )，即2S n ＋1＝3S n ，S n ＋1S n ＝32，而S 1＝a 1＝1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫32n －1，故选B.答案：B2．(2011·高考四川卷)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a 6＝( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1解析：法一：a 1＝1，a 2＝3S 1＝3，a 3＝3S 2＝12＝3×41，a 4＝3S 3＝48＝3×42，a 5＝3S 4＝3×43，a 6＝3S 5＝3×44.故选A.法二：当n ≥1时，a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列，又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，3×4n －2 (n ≥2)，∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.答案：A3．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ)数列{a n }满足a n ＋1＝11－a n ，a 8＝2，则a 1＝________. 解析：由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1，∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12， a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…， ∴{a n }是以3为周期的数列，∴a 1＝a 7＝12. 答案：124．(2012·高考上海卷)已知f (x )＝11＋x.各项均为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2＝f (a n )．若a 2 010＝a 2 012，则a 20＋a 11的值是________．解析：∵a n ＋2＝11＋a n，a 1＝1，∴a 3＝12， a 5＝11＋12＝23，a 7＝11＋23＝35，a 9＝11＋35＝58，a 11＝11＋58＝813，又a 2 010＝a 2 012， 即a 2 010＝11＋a 2 010⇒a 22 010＋a 2 010－1＝0， ∴a 2 010＝5－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2 010＝－5－12舍去. 又a 2 010＝11＋a 2 008＝5－12， ∴1＋a 2 008＝25－1＝5＋12，即a 2 008＝5－12，依次类推可得a 2 006＝a 2 004＝…＝a 20＝5－12，故a 20＋a 11＝5－12＋813＝135＋326. 答案：135＋3265．(2015·高考江苏卷)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．解析：由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111 ＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 答案：2011。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案第一章：数列的概念1.1 数列的定义引导学生理解数列是由按照一定顺序排列的一列数。
强调数列的有序性，即数列中每个数的位置是固定的。
1.2 数列的项解释数列中的每一个数称为数列的项。
举例说明数列的项与数列的关系。
1.3 数列的表示方法介绍数列的表示方法，包括顺序列举法和通项公式法。
举例说明如何用通项公式表示数列。
第二章：数列的通项公式2.1 通项公式的定义引导学生理解通项公式是用来表示数列中任意一项的公式。
强调通项公式中变量的含义和作用。
2.2 常见数列的通项公式举例讲解等差数列和等比数列的通项公式。
引导学生通过观察数列的特点来确定通项公式。
2.3 通项公式的应用解释如何利用通项公式来求解数列中的特定项。
举例说明通项公式在解决数列问题中的应用。
第三章：数列的性质3.1 数列的项数解释数列的项数是指数列中项的个数。
引导学生理解项数与数列的定义和表示方法的关系。
3.2 数列的单调性讲解数列的单调性，包括递增和递减。
举例说明如何判断数列的单调性。
3.3 数列的周期性解释数列的周期性是指数列中存在重复的项的模式。
举例说明如何判断数列的周期性。
第四章：数列的求和4.1 数列的求和公式引导学生理解数列的求和是指将数列中所有项相加得到的结果。
讲解数列的求和公式，包括等差数列和等比数列的求和公式。
4.2 数列的求和应用解释如何利用数列的求和公式来求解数列的和。
举例说明数列的求和公式在解决数列问题中的应用。
4.3 数列的求和性质讲解数列的求和性质，包括数列的错位相减法和分组求和法。
举例说明如何利用数列的求和性质来简化计算。
第五章：数列的综合应用5.1 数列的极限引导学生理解数列的极限是指数列项趋近于某个值的过程。
讲解数列的极限的定义和性质。
5.2 数列的极限应用解释如何利用数列的极限来解决数列问题。
举例说明数列的极限在数学分析中的应用。
5.3 数列的实际应用讲解数列在实际问题中的应用，包括数列在物理学和经济学中的例子。
人教版高中数学全套教案导学案1.数列概念教案1
教师课时教案备课人授课时间课题 2.1数列的概念与简单表示法（1）课标要求理解数列及其有关概念，掌握通项公式及其应用教学目标知识目标理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，技能目标会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。
情感态度价值观体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。
重点数列及其有关概念，通项公式及其应用难点根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动Ⅰ.课题导入三角形数：1，3，6，10，…正方形数：1，4，9，16，25，…Ⅱ.讲授新课⒈数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列.注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现.⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式：,,,,,321naaaa，或简记为{}n a，其中na是数列的第n项结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义.②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31”是这个数列的第“3”项，等等下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序是否有一定的对应关系？这一关系可否用一个公式表示？（引导学生进一步理解数列与项的定义，从而发现数列的通项公式）对于上面的数列②，第一项与这一项的序有这样的对应关系：项151413121↓↓↓↓↓序 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序可用一个公式：nan1=来表示学生阅读理解概念老师评价讲解1教师课时教案教学过程及方法问题与情境及教师活动学生活动⒋数列的通项公式：如果数列{}n a的第n项n a与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式，如上述数列④；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…它的通项公式可以是2)1(11+-+=nna，也可以是|21cos|π+=nan.⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项.数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．5.数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）为定义域的函数()na f n=，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(2)(含答案)
2.1数列的概念与简单表示法(二)自主学习知识梳理1．数列可以看作是一个定义域为________________(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列________．2．一般地，一个数列{a n}，如果从________起，每一项都大于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递增数列．如果从________起，每一项都小于它的前一项，即____________，那么这个数列叫做递减数列．如果数列{a n}的各项________，那么这个数列叫做常数列．3．数列的最大、最小项问题，可以通过研究数列的单调性加以解决，若求最大项a n，n的值可通过解不等式组________________来确定；若求最小项a n，n的值可通过解不等式组________________来确定．自主探究已知数列{a n}中，a1＝1，a2＝2，a n＋2＝a n＋1－a n，试写出a3，a4，a5，a6，a7，a8，你发现数列{a n}具有怎样的规律？你能否求出该数列中的第2 011项是多少？对点讲练知识点一利用函数的性质判断数列的单调性例1已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2n2＋1.求证：数列{a n}为递增数列．总结数列是一种特殊的函数，因此可用研究函数单调性的方法来研究数列的单调性．变式训练1在数列{a n}中，a n＝n3－an，若数列{a n}为递增数列，试确定实数a的取值范围．知识点二 求数列的最大最小项例2 已知a n ＝9n (n ＋1)10n (n ∈N *)，试问数列{a n }中有没有最大项？如果有，求出这个最大项；如果没有，说明理由．总结 先考虑{a n }的单调性，再利用单调性求其最值．变式训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4 (n ∈N *)，则(1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值．知识点三 由递推公式求通项公式例3 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋1n (n －1)(n ≥2)，写出该数列的前五项及它的一个通项公式．总结 已知递推关系求通项公式这类问题要求不高，主要掌握由a 1和递推关系先求出前几项，再归纳、猜想a n 的方法，以及累加：a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1；累乘：a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1等方法． 变式训练3 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n a n －1＝a n －1－a n ，求数列{a n }的通项公式．函数与数列的联系与区别一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线，因此在解决问题时，要充分利用这一特殊性，如研究单调性时，由数列的图象可知，只要这些点每个比它前面相邻的一个高(即a n >a n －1)，则图象呈上升趋势，即数列递增，即{a n }递增⇔a n ＋1>a n 对任意的n (n ∈N *)都成立．类似地，有{a n }递减⇔a n ＋1<a n 对任意的n (n ∈N *)都成立.课时作业一、选择题1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数项D ．不能确定2．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列第4项是( ) A ．1 B.12 C.34 D.583．若a 1＝1，a n ＋1＝a n 3a n ＋1，给出的数列{a n }的第34项是( ) A.34103 B ．100 C.1100 D.11044．已知a n ＝32n －11(n ∈N *)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值为( )A ．10B ．11C ．12D ．135．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ⎝⎛⎭⎫0≤a n <12，2a n －1 ⎝⎛⎭⎫12≤a n <1.若a 1＝67，则a 2 010的值为( ) A.67 B.57C.37D.17题 号1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．已知数列{a n }满足：a 1＝a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋1＋a n ，(n ∈N *)，则使a n >100的n 的最小值是________．7．设a n ＝－n 2＋10n ＋11，则数列{a n }从首项到第m 项的和最大，则m 的值是________．8．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n ，则a 2 009＝________.三、解答题9．已知函数f (x )＝2x －2－x ，数列{a n }满足f (log 2 a n )＝－2n .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：数列{a n }是递减数列．10．在数列{a n }中，a 1＝12，a n ＝1－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)． (1)求证：a n ＋3＝a n ； (2)求a 2 010.§2.1 数列的概念与简单表示法(二)知识梳理1．正整数集N * 函数值2．第二项 a n ＋1>a n 第二项 a n ＋1<a n 都相同 3.⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1a n ≥a n ＋1 ⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n －1a n ≤a n ＋1自主探究解 a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝－1，a 5＝－2， a 6＝－1，a 7＝1，a 8＝2，….发现：a n ＋6＝a n ，数列{a n }具有周期性，周期T ＝6， 证明如下：∵a n ＋2＝a n ＋1－a n ，∴a n ＋3＝a n ＋2－a n ＋1＝(a n ＋1－a n )－a n ＋1＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴数列{a n }是周期数列，且T ＝6.∴a 2 011＝a 335×6＋1＝a 1＝1.对点讲练例1 证明 ∵a n ＝n 2n 2＋1＝1－1n 2＋1a n ＋1－a n ＝1n 2＋1－1(n ＋1)2＋1＝[(n ＋1)2＋1]－(n 2＋1)(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]＝2n ＋1(n 2＋1)[(n ＋1)2＋1]. 由n ∈N *，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n .∴数列{a n }为递增数列．变式训练1 解 若{a n }为递增数列，则a n ＋1－a n ≥0.即(n ＋1)3－a (n ＋1)－n 3＋an ≥0恒成立． 即a ≤(n ＋1)3－n 3＝3n 2＋3n ＋1恒成立， 即a ≤(3n 2＋3n ＋1)min ，∵n ∈N *，∴3n 2＋3n ＋1的最小值为7.∴a 的取值范围为a ≤7.例2 解 因为a n ＋1－a n ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·(n ＋2)－⎝⎛⎭⎫910n ·(n ＋1)＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·⎣⎡⎦⎤(n ＋2)－109(n ＋1) ＝⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9，则当n ≤7时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9>0，当n ＝8时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9＝0，当n ≥9时，⎝⎛⎭⎫910n ＋1·8－n 9<0，所以a 1<a 2<a 3<…<a 7<a 8＝a 9>a 10>a 11>a 12>…，故数列{a n }存在最大项，最大项为a 8＝a 9＝99108. 变式训练2 解 (1)a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94， 当n ＝2,3时，a n <0.∴数列中有两项是负数．(2)∵a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，可知对称轴方程为n ＝52＝2.5. 又因n ∈N *，故n ＝2或3时，a n 有最小值，其最小值为－2.例3 解 由递推公式得a 1＝1，a 2＝1＋12×1＝32，a 3＝32＋13×2＝53， a 4＝53＋14×3＝74，a 5＝74＋15×4＝95. 故数列的前五项分别为1，32，53，74，95. ∴通项公式为a n ＝2n －1n ＝2－1n(n ∈N *)． 变式训练3 解 ∵a n a n －1＝a n －1－a n ， ∴1a n －1a n －1＝1.∴1a n ＝1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 2－1a 1＋⎝⎛⎭⎫1a 3－1a 2＋…＋⎝⎛⎭⎫1a n －1a n －1＝2＋1＋1＋…＋1(n －1)个1 ＝n ＋1. ∴1a n ＝n ＋1，∴a n ＝1n ＋1(n ∈N *)． 课时作业1．A2．B [∵a 1＝1，∴a 2＝12＋12＝1，a 3＝12＋14＝34，a 4＝12×34＋18＝12.] 3．C [a 2＝a 13a 1＋1＝13＋1＝14，a 3＝a 23a 2＋1＝1434＋1＝17，a 4＝a 33a 3＋1＝1737＋1＝110， 猜想a n ＝13(n －1)＋1， ∴a 34＝13×(34－1)＋1＝1100.] 4．B [∵－a 1＝a 10，－a 2＝a 9，－a 3＝a 8，－a 4＝a 7，－a 5＝a 6， ∴S 11>0，则当n ≥11时，S n >0，故n 最小为11.]5．C [计算得a 2＝57，a 3＝37，a 4＝67，故数列{a n }是以3为周期的周期数列， 又知2 010除以3能整除，所以a 2 010＝a 3＝37.] 6．127．10或11解析 令a n ＝－n 2＋10n ＋11≥0，则n ≤11. ∴a 1>0，a 2>0，…，a 10>0，a 11＝0.∴S 10＝S 11且为S n 的最大值．8．2 017 036解析 由a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋n 得a n ＝a n －1＋n －1，a n －1＝a n －2＋n －2，⋮a 2＝a 1＋1，a 1＝0，累加可得a n ＝0＋1＋2＋…＋n －1＝n (n －1)2， ∴a 2 009＝2 009×2 0082＝2 017 036. 9．(1)解 因为f (x )＝2x －2－x ，f (log 2 a n )＝－2n ，所以2log 2 a n －2－log 2a n ＝－2n ，a n －1a n＝－2n ， 所以a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1.因为a n >0，所以a n ＝n 2＋1－n .(2)证明 a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n (n ＋1)2＋1＋(n ＋1)<1. 又因为a n >0，所以a n ＋1<a n ，所以数列{a n }是递减数列．10．(1)证明 a n ＋3＝1－1a n ＋2＝1－11－1a n ＋1＝1－11－11－1a n ＝1－11－1a n －1a n＝1－11－a n a n －1＝1－1a n －1－a n a n －1＝1－1－1a n －1＝1－(1－a n )＝a n .∴a n ＋3＝a n .(2)解 由(1)知数列{a n }的周期T ＝3，a 1＝12，a 2＝－1，a 3＝2. ∴a 2 010＝a 3×670＝a 3＝2.。
《数列的概念与简单表示法》教案
《数列的概念与简单表示法》教案章节一：数列的概念1.1 学习目标：理解数列的定义掌握数列的基本性质1.2 教学内容：数列的定义数列的项、公差、公比数列的性质1.3 教学活动：1. 引入数列的概念，引导学生思考数列的定义。
2. 通过示例，让学生理解数列的项、公差、公比的概念。
3. 引导学生探索数列的性质，如单调性、周期性等。
1.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的概念和性质。
章节二：数列的表示法2.1 学习目标：掌握数列的常见表示法理解数列的图像表示法2.2 教学内容：数列的列举表示法数列的公式表示法数列的图像表示法2.3 教学活动：1. 引导学生学习数列的列举表示法，通过示例让学生理解其应用。
2. 讲解数列的公式表示法，让学生能够根据公式写出数列的项。
3. 引入数列的图像表示法，让学生通过图像理解数列的性质。
2.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的表示法。
章节三：数列的通项公式3.1 学习目标：掌握数列的通项公式的求法能够运用通项公式解决问题3.2 教学内容：数列的通项公式的定义求数列的通项公式的方法通项公式的应用3.3 教学活动：1. 引入数列的通项公式的概念，让学生理解其意义。
2. 讲解求数列的通项公式的方法，通过示例让学生掌握。
3. 引导学生运用通项公式解决实际问题。
3.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的通项公式的求法和应用。
章节四：数列的前n项和4.1 学习目标：理解数列的前n项和的概念掌握数列的前n项和的求法4.2 教学内容：数列的前n项和的定义数列的前n项和的求法数列的前n项和的性质4.3 教学活动：1. 引入数列的前n项和的概念，让学生理解其意义。
2. 讲解数列的前n项和的求法，通过示例让学生掌握。
3. 引导学生探索数列的前n项和的性质。
4.4 练习与作业：完成练习题，巩固数列的前n项和的概念和求法。
章节五：数列的单调性5.1 学习目标：理解数列的单调性的概念能够判断数列的单调性5.2 教学内容：数列的单调性的定义数列的单调性的判断方法数列的单调性的性质5.3 教学活动：1. 引入数列的单调性的概念，让学生理解其意义。
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》导学案 新人教A版必修5
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》导学案新人教A版必修5高中数学《2.1数列的概念与简单表示法》导学案新人教a版必修5第二章顺序2．1数列的概念与简单表示法[学习目标]1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2.通过三角形和正方形的数量引入序列的概念；通过类比函数的思想，了解序列的几种简单表示方法（列表、图像和通项公式）；3、体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
【研讨互动问题生成】1.数列的概念2.数列的记法3.数列的通项公式4.数列的本质5.数列的分类6.递推公式[合作探索和问题解决]1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数:(1)1,3,5,722? 132? 142? 152? 1,,,(2)23452. 根据下列序列{an}的一般术语公式写出前五项n(1)an?N1（2）安？（？1）n？N(3)an?2【关注教师范例的巩固和改进】例1在数列{an}中,a1?3,a10?21,通项公式是项数的一次函数.(1)求数列{an}的通项公式,并求a2021;(2)若bn?a2n,求数列{bn}的通项公式.例2已知序列{an}的通项公式是？？2n2？9n？3.（1）2是序列{an}中的一项吗？(2)求数列{an}的最大项;(3)若an?0,求n.例3已知序列{an}的第一项A1？1，还有一个？1.例4已知序列{an}的递推公式是？21（n？1），写出这个序列的前五项？1.3安？1.2An和A1？1，a2？3.要求：n?1n?1(1)a5;(2)127是这个数列中的第几项?sn？sn？1a？例5如果数字序列{an}的前n项之和为Sn，尝试证明n？？S1变体：已知序列{an}的前n项之和是Sn？2n2？n、寻求【要点归纳反思总结】.（1）数列的概念，认识数列是反映自然规律的基本数学模型；（2）知道如何使用列表、图像、通项公式、递归公式等方法来表示序列；它可以找出数列定律，并找出可能的通项公式。
人教a版必修5学案：2.1数列的概念与简单表示法(含答案)
第二章 数 列§2.1 数列的概念与简单表示法材拓展1．从函数的观点看数列一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的知识、函数的观点、函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．例如，类比单调函数的定义得出单调数列的判断方法．即：数列{a n }单调递增⇔a n ＋1>a n 对任意n (n ∈N *)都成立；数列{a n }单调递减⇔a n ＋1<a n 对任意n (n ∈N *)都成立．另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，由于它的定义域是N *或它的子集{1,2，…，n }，因而它的图象是一系列孤立的点，而不像我们前面所研究过的初等函数一般都是连续的曲线．例如：已知a n ＝n －98n －99，则这个数列的前30项中最大项和最小项分别是( ) A ．a 1，a 30 B ．a 1，a 9C ．a 10，a 9D ．a 10，a 30解析 ∵a n ＝n －99＋(99－98)n －99＝99－98n －99＋1 ∴点(n ，a n )在函数y ＝99－98x －99＋1的图象上． 在直角坐标系中作出函数y ＝99－98x －99＋1的图象．由图象易知当x ∈(0，99)时，函数单调递减．∴a 9<a 8<a 7<…<a 1<1，当x ∈(99，＋∞)时，函数单调递减．∴a 10>a 11>…>a 30>1.所以，数列{a n }的前30项中最大的项是a 10，最小的项是a 9.答案 C2．了解一点周期数列的知识类比周期函数的概念可以得出周期数列的定义：对于数列{a n }，若存在一个大于1的自然数T (T 为常数)，使a n ＋T ＝a n ，对一切n ∈N *恒成立，则称数列{a n }为周期数列，T 就是它的一个周期．易知，若T 是{a n }的一个周期，则kT (k ∈N *)也是它的周期，周期最小的那个值叫最小正周期．例如：已知数列{a n }中，a 1＝a (a 为正常数)，a n ＋1＝－1a n ＋1(n ＝1,2,3，…)，则下列能使a n ＝a 的n 的数值是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析 a 1＝a ，a 2＝－1a ＋1， a 3＝－1a 2＋1＝－1－1a ＋1＋1＝－a －1a ， a 4＝－1a 3＋1＝－1－a －1a＋1＝a ， a 5＝－1a 4＋1＝－1a ＋1，……. ∴a 4＝a 1，a 5＝a 2，…依次类推可得：a n ＋3＝a n ，∴{a n }为周期数列，周期为3.∵a 1＝a ，∴a 3k ＋1＝a 1＝a .答案 B3．数列的前n 项和S n 与a n 的关系对所有数列都有：S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋a n ，S n －1＝a 1＋a 2＋…＋a n －1 (n ≥2)．因此，当n ≥2时，有：a n ＝S n －S n －1.当n ＝1时，有：a 1＝S 1.所以a n 与S n 的关系为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1S n －S n －1， n ≥2.注意这一关系适用于所有数列． 例如：已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)·2n ＋1，则a n ＝________.解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝[(n －1)·2n ＋1]－[(n －2)·2n －1＋1]＝(n －1)·2n －(n －2)·2n －1＝n ·2n －1.所以通项公式可以统一为a n ＝n ·2n －1.答案 n ·2n －14．由简单的递推公式求通项公式(1)形如a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求和，采用累加法求a n .即：a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋…＋f (n －1) ＝a 1＋∑n －1i ＝1f (i ) (2)形如a n ＋1＝f (n )·a n ，且f (1)·f (2)…f (n )可化简，采用累乘法求a n .即a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝a 1·f (1)·f (2)·…·f (n －1)＝a 1·Πn －1i ＝1f (i ) (注：∑为连加求和符号，Π为连乘求积符号)(3)形如a n ＋1＝Aa n ＋B (AB ≠0且A ≠1)．设a n ＋1－x ＝A (a n －x )，则：a n ＋1＝Aa n ＋(1－A )x由(1－A )x ＝B ，∴x ＝B 1－A∴a n ＋1－B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －B 1－A ∴a n －B 1－A＝A ⎝⎛⎭⎫a n －1－B 1－A ＝A 2⎝⎛⎭⎫a n －2－B 1－A ＝…＝A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ∴a n ＝B 1－A＋A n －1⎝⎛⎭⎫a 1－B 1－A ＝(1－A n －1)·B 1－A＋A n －1a 1.法突破一、观察法写数列的通项公式方法链接：根据数列前几项，要写出它的一个通项公式，其关键在于观察、分析数列的前几项的特征、特点，找到数列的一个构成规律．根据此规律便可写出一个相应的通项公式．注意以下几点：(1)为了突出显现数列的构成规律，可把序号1,2,3，…标在相应项上，这样便于突出第n 项a n 与项数n 的关系，即a n 如何用n 表示．(2)由于给出的数列的前几项是一些特殊值，必然进行了化简，因此我们要观察出它的构成规律，就必须要对它进行还原工作．如数列的前几项中均用分数表示，但其中有几项分子或分母相同，不妨把这几项的分子或分母都统一起来试一试．(3)当一个数列出现“＋”、“－”相间时，应先把符号分离出来，即用(－1)n 或(－1)n －1表示，然后再考虑各项绝对值的规律．(4)熟记一些基本数列的前几项以及它们的变化规律(如增减速度)，有利于我们写出它的通项公式．例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)45，12，411，27，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)1,3,6,10,15，…； (4)7,77,777，…；(5)0,3,8,15,24，…； (6)1，13，17，113，121，…. 解 (1)注意前四项中有两项的分子为4，不妨把分子统一为4，即为45，48，411，414，…，于是它们的分母相差3，因而有a n ＝43n ＋2. (2)把分母统一为2，则有：12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22. (3)注意6＝2×3,10＝2×5,15＝3×5，规律还不明显，再把各项的分子和分母都乘以2，即1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…，因而有a n ＝n (n ＋1)2. (4)把各项除以7，得1,11,111，…，再乘以9，得9,99,999，….因而有a n ＝79(10n －1)． (5)观察数列递增速度较快，有点像成平方地递增，不妨用平方数列对照看一看，即1,22,32,42,52，…，则有a n ＝n 2－1.(6)显然各项的分子均为1，其关键在于分母，而分母的规律不是很明显，注意到分母组成的数列1,3,7,13,21，…，递增速度也有点像平方数列，不妨从每一项对应减去平方数列的项组成数列0,1,2,3,4，…，其规律也就明显了．故a n ＝1n 2－n ＋1. 二、数列的单调性及最值方法链接：数列是一种特殊的函数，因此可用函数的单调性的研究方法来研究数列的单调性．例2 在数列{a n }中，a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)． 试问数列{a n }的最大项是第几项？解 方法一 ∵a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ∈N *)， ∴a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ·(9－n )11.当n ≤8时，a n <a n ＋1，{a n }递增，即a 1<a 2<…<a 8<a 9.当n ＝9时，a 9＝a 10.当n ≥10时，a n >a n ＋1，{a n }递减，即a 10>a 11>a 12>….又a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }的最大项是第9项和第10项．方法二 令a n a n －1≥1 (n ≥2)， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n n ⎝⎛⎭⎫1011n －1≥1. 整理得n ＋1n ≥1110.解得n ≤10. 令a n a n ＋1≥1， 即(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n (n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1≥1. 整理得n ＋1n ＋2≥1011，解得n ≥9. 所以从第1项到第9项递增，从第10项起递减．因此数列{a n }先递增，后递减．∴a 1<a 2<…<a 9，a 10>a 11>a 12>…，且a 9＝a 10＝1010119. ∴数列{a n }中的最大项是第9项和第10项．三、数列的周期性及运用方法链接：通俗地讲，数列中的项按一定规律重复出现，这样的数列就应考虑是否具有周期性，其周期性往往隐藏于数列的递推公式中，解周期数列问题的关键在于利用递推公式算出前若干项或由递推公式发现规律，得出周期而获解．例3 已知数列{a n }，a 1＝1，a 2＝3，a n ＝a n －1－a n －2 (n ≥3)，那么a 2 010与S 2 009依次是( )A ．1,3B ．3,1C ．－2,2D ．2，－2解析 ∵a n ＝a n －1－a n －2，∴a n ＋1＝a n －a n －1＝(a n －1－a n －2)－a n －1＝－a n －2.由a n ＋1＝－a n －2，∴a n ＋3＝－a n .∴a n ＋6＝－a n ＋3＝－(－a n )＝a n .∴{a n }为周期数列，且周期T ＝6.∴a 2 010＝a 6＝－a 3＝a 1－a 2＝－2.∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝(a 1＋a 4)＋(a 2＋a 5)＋(a 3＋a 6)＝0＋0＋0＝0，且2 010是6的倍数，∴S 2 010＝0.∴S 2 009＝S 2 010－a 2 010＝0－a 2 010＝0－(－2)＝2.答案 C四、已知前n 项和S n ，求通项a n方法链接：已知数列{a n }的前n 项和S n ，求a n ，先由n ＝1时，a 1＝S 1，求出a 1，再由a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)求出a n ，最后验证a 1与a n 能否统一，若能统一要统一成一个代数式，否则分段表示．例4 已知下列各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式．(1)S n ＝(－1)n ＋1 n ；(2)S n ＝3n －2.解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－1)n ·(－n )－(－1)n ·(n －1)＝(－1)n ·(－2n ＋1)．由于a 1也适合此等式，因此a n ＝(－1)n ·(－2n ＋1) (n ∈N *)．(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·3n －1.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)，2·3n －1 (n ≥2). 五、由递推公式求通项a n方法链接：由递推公式求通项公式主要观察递推公式的特征，合理选择方法．需要理解一点，对a n －a n －1＝n (n ≥2)不仅仅是一个式子而是对任意的n ≥2恒成立的无数个式子，正是因为这一点，在已知递推公式求通项公式的题目中如何将无数个式子转化为a n ，就是解题的关键所在．另外递推公式具有递推性，故由a 1再加上递推公式可以递推到a n .例5 由下列数列{a n }的递推公式求数列{a n }的通项公式：(1)a 1＝1，a n －a n －1＝n (n ≥2)；(2)a 1＝1，a n a n －1＝n －1n (n ≥2)． 解 (1)由题意得，当n ≥2时，a n －a n －1＝n ，a n －1－a n －2＝n －1，…，a 3－a 2＝3，a 2－a 1＝2.将上述各式累加得，a n －a 1＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2，即a n ＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2＋1＝n (n ＋1)2， 由于a 1也适合此等式．故a n ＝n (n ＋1)2. (2)由题意得，当n ≥2时，a n a n －1＝n －1n ，a n －1a n －2＝n －2n －1，…，a 3a 2＝23，a 2a 1＝12， 将上述各式累乘得，a n a 1＝1n ，即a n ＝1n. 由于a 1也适合此等式，故a n ＝1n. 六、数列在日常生活中的初步应用方法链接：数列知识在日常生活中有着广泛的应用．构建递推关系是其中重要的方法之一，利用递推方法解决实际问题常分为三个环节：(1)求初始值；(2)建立递推关系；(3)利用递推关系分析解决问题．其中构建递推关系是关键．例6 某商店的橱窗里按照下图的方式摆着第二十九届北京奥运会吉祥物“福娃迎迎”，如图(1)、(2)、(3)、(4)分别有1个、5个、13个、25个．如果按照同样的方式接着摆下去，记第n 个图需用f (n )个“福娃迎迎”，那么f (n ＋1)－f (n )＝________；f (6)＝________.解析 ∵f (1)＝1，f (2)＝5，f (3)＝13，f (4)＝25，…，∴f (2)－f (1)＝4，f (3)－f (2)＝8，f (4)－f (3)＝12，…∴f (n ＋1)－f (n )＝4n .∴f (6)＝f (1)＋[f (2)－f (1)]＋[f (3)－f (2)]＋[f (4)－f (3)]＋[f (5)－f (4)]＋[f (6)－f (5)]＝1＋4＋8＋12＋16＋20＝61.答案 4n 61区突破1．对数列的概念理解不准而致错例1 已知数列{a n }是递增数列，且对于任意的n ∈N *，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．[错解] 因为a n ＝n 2＋λn 是关于n 的二次函数，且n ≥1，所以－λ2≤1，解得λ≥－2. [点拨] 数列是以正整数N *(或它的有限子集{1,2，…，n })为定义域的函数，因此它的图象只是一些孤立的点．[正解1] 因为a n ＝n 2＋λn ，其图象的对称轴为n ＝－λ2，由数列{a n }是单调递增数列有－λ2≤1，得λ≥－2；如图所示，当2－⎝⎛⎭⎫－λ2>－λ2－1，即λ>－3时，数列{a n }也是单调递增的． 故λ的取值范围为{λ|λ≥－2}∪{λ|λ>－3}＝{λ|λ>－3}．即λ>－3为所求的范围．[正解2] 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n >0 (n ∈N *)恒成立．又a n ＝n 2＋λn (n ∈N *)，所以(n ＋1)2＋λ(n ＋1)－(n 2＋λn )>0恒成立，即2n ＋1＋λ>0.所以λ>－(2n ＋1) (n ∈N *)恒成立．而n ∈N *时，－(2n ＋1)的最大值为－3(n ＝1时)，所以λ>－3即为所求的范围．2．对公式使用条件考虑不周而致错例2 已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋2n ＋1，求a n .[错解] a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.[点拨] 公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ a 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)是分段的，因为n ＝1时，S n －1无意义．在上述解答中，应加上限制条件n ≥2，然后验证n ＝1时的值是否适合n ≥2时的表达式．[正解] a 1＝S 1＝6；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋2n ＋1)－[3n －1＋2(n －1)＋1]＝2·3n －1＋2.由于a 1不适合此式，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 (n ＝1)2·3n －1＋2 (n ≥2).题多解 例 设{a n }是首项为1的正项数列且(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1·a n ＝0 (n ∈N *)，求a n . 分析 先求出相邻两项a n ＋1与a n 的关系，再选择适当的方法求a n .解 方法一 (累乘法)由(n ＋1)a 2n ＋1－na 2n ＋a n ＋1a n ＝0.得(a n ＋1＋a n )(na n ＋1－na n ＋a n ＋1)＝0.由于a n ＋1＋a n >0，∴(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0.∴a n ＋1a n ＝n n ＋1. ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a n a n －1＝1×12×23×34×…×n －1n ＝1n. 方法二 (换元法)由已知得(n ＋1)a n ＋1－na n ＝0，设b n ＝na n ，则b n ＋1－b n ＝0.∴{b n }是常数列．∴b n ＝b 1＝1×a 1＝1，即na n ＝1.∴a n ＝1n.题赏析1．(2009·北京)已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝______，a 2 014＝______.解析 a 2 009＝a 4×503－3＝1，a 2 014＝a 1 007＝a 252×4－1＝0.答案 1 0赏析 题目小而灵活，考查了充分利用所给条件灵活处理问题的能力．2．(2009·湖北八市调研)由1,3,5，…，2n －1，…构成数列{a n }，数列{b n }满足b 1＝2，当n ≥2时，b n ＝ab n －1，则b 6的值是( )A ．9B ．17C ．33D ．65解析 ∵b n ＝ab n －1，∴b 2＝ab 1＝a 2＝3，b 3＝ab 2＝a 3＝5，b 4＝ab 3＝a 5＝9，b 5＝ab 4＝a 9＝17，b 6＝ab 5＝a 17＝33.答案 C 赏析 题目新颖别致，考查了对新情境题目的审题能力．。
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》导学案 新人教A版必修5
高中数学《2.1 数列的概念与简单表示法》导学案新人教A版必修5第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法【学习目标】1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；了解数列是一种特殊的函数；2、通过三角形数与正方形数引入数列的概念；通过类比函数的思想了解数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；3、体会数列是一种特殊的函数；借助函数的背景和研究方法来研究有关数列的问题，可以进一步让学生体会数学知识间的联系，培养用已知去研究未知的能力。
【研讨互动问题生成】1.数列的概念2.数列的记法3.数列的通项公式4.数列的本质5.数列的分类6.递推公式【合作探究问题解决】1.写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列个数:基本数学模型；（2）了解用列表、图象、通项公式、递推公式等方法表示数列；能发现数列规律找出可能的通项公式。
（3）了解数列是一种特殊的函数。
【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价:学科长评价: 学术助理评价: 【课后训练】1.下列说法正确的是( )A. 数列7,5,3,1可以表示为}7,5,3,1{B. 数列2,1,0,1--与数列1,0,1,2--是相同的数列C. 数列}1{nn +的第k 项为k 11+ D. 数列0, 2, 4 , 6, 8……可记为}2{n2.设数列0.3,0.33,0.333,0.3333……的通项公式是( )A. )110(91-nB.)1011(31n- C.)110(92-nD.)110(103-n3.已知数列}{na 中,)3(1,3,12121≥+===--n a a a a an n n ,则5a 等于( ) A. 1255B. 313C. 4D. 54.已知数列}{na 的首项11=a且)2(211≥-=-n a an n,则4a 等于( )A. 1-B. 21C. 2417D. 81- 5.已知数列}{na 满足211+=+n n a a,则数列}{na 是( )A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 常数列6.已知数列}{na 满足nn n a a a +=++12,若8,151==a a ,则3a 等于( )A. 1-B. 2C. 1D. 37.数列}{n a 满足2)3(log 22-+=n a n ,则3log 2是这个数列的第____项.8.数列}{na 的前n 项的积为2n ,则这个数列的第3项与第5项的和是________.9.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,且)1(2-=nn a S ,则=2a _________.10.数列}{n a 满足3,221==a a ,)1(2312≥-=++n a a a nn n ,写出数列的前6项.11.已知数列}{n a 的通项公式为1-+=dn cn a n,且23,2342==a a ,求n a 和10a . 14.(1)已知数列}{n a 的前n 项和n n S n322+=,求n a . (2)已知数列}{na 的前n 项和23-=nnS,求na .。
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2.1《数列的概念与简单表示法》导学案【学习目标】1. 理解数列的概念；2. 掌握数列简单的几种表示方法；3. 了解数列是一种特殊的函数.【学习新课】1.战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》引用过一句话：一尺之棰日取其半万世不竭.2.某地9月1日至9月8日的日最高气温3.我国在1988年汉城以后奥运会上的金牌数：4. 1- 的1次幂，2次幂，3次幂，…排列成一列数. 新授课阶段从上面的三个例子我们得到了如下四列数： 1.2. 23, 21, 18, 20, 20, 22, 21, 193. 5, 16, 16, 28, 32, 51,384. 1,1,1,1,1,---•••请观察以上四组数据，找到它们的共同特征？答案： . 1．数列的概念：按照一定 排列着的一列数叫做数列，其中构成该组数的每一个数叫做 ，数列中的每一个数，我们以后把其称为数列的项，各项依次叫做数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，….那么，数列一般可表示为a 1，a 2，a 3，…，a n ，….其中数列的第n 项用a n 来表示.数列还可简记作{a n }.数列{a n }的第n 项a n 与项数n 有一定的关系吗？ 2.数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 .数列与数的集合都是具有某种共同属性的数的全体. {a n }与a n 又有何区别和联系？1111124816，，，，，…{a n }表示数列；a n 表示数列的项.具体地说，{a n }表示数列a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n ，…，而a n 只表示这个数列的第n 项.其中n 表示项的位置序号，如：a 1，a 2，a 3，a n 分别表示数列的第1项，第2项，第3项及第n 项.数列是否都有通项公式？数列的通项公式是否是惟一的？从映射、函数的观点来看，数列也可看作是一个定义域为正整数集N *(或它们的有限子集{1，2，3，…，n }）的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，数列的通项公式就是相应函数的解析式.例1 数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为 （ ）A.a n ＝1＋(－1)n－1B.a n ＝1＋(－1)nC.a n ＝1＋(－1)n +1D.a n ＝2sin nπ2解析：3.递推公式递推公式：如果已知数列{a n }的第1项(或前n 项)，且任一项a n 与它的前一项a n －1(或前n 项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的 .说明：数列的递推公式揭示了数列的任一项a n 与它的前一项a n －1（或前n 项）的关系，也是给出数列的一种重要方法.下面，我们结合例子来体会一下数列的递推公式.例2 已知数列{a n }的第1项是1，以后的各项由公式a n ＝1＋1a n －1给出，写出这个数列的前5项.分析： 解：例3 已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，a n ＝3a n －1＋a n －2(n ≥3)，试写出数列的前4项.解：例4 写出下面数列{a n}的前5项.⑴a1＝5，a n＝a n－1＋3(n≥2)⑵a1＝2，a n＝2a n－1(n≥2)⑶.a1＝1，a n＝a n－1＋1a n－1(n≥2)解：课堂小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1.2.作业课后作业课本P32习题4，5，6拓展提升1．把自然数的前五个数①排成1，2，3，4，5；②排成5，4，3，2，1；③排成3，1，4，2，5；④排成2，3，1，4，5，那么可以叫做数列的有个A.1B.2C.3D.42．已知数列的{a n}的前四项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列{a n}的通项公式的个数有 （ ） ①a n ＝12[1＋（－1）n +1]；②a n ＝sin 2nπ2 ；(注n 为奇数时，sin 2nπ2 ＝1；n 为偶数时，sin 2nπ2 ＝0.)；③a n ＝12[1＋(－1)n +1]＋(n －1)(n －2)；④a n ＝1－cos nπ2，(n ∈N *)(注：n 为奇数时，cos nπ＝－1，n 为偶数时，cos nπ＝1)；⑤a n ＝⎩⎨⎧1 （n 为正偶数）0 （n 为正奇数）A.1个B.2个C.3个D.4个3．数列－1，85 ，－157 ，249，…的一个通项公式a n 是 （ ）A.(－1)nn 22n ＋1B.(－1)n n （n ＋2） n ＋1C.(－1)n（n ＋1）2－12（n ＋1） D.(－1)n n （n ＋2）2n ＋14．数列0，2，0，2，0，2，……的一个通项公式为 （ ）A.a n ＝1＋(－1)n－1B.a n ＝1＋(－1)nC.a n ＝1＋(－1)n +1D.a n ＝2sin nπ25．以下四个数中是数列{n (n ＋1)}中的一项的是 （ ）A.17B.32C.39D.3806．数列2，5，11，20，x ，47，……中的x 等于 （ ）A.28B.32C.33D.277．数列1，2，1，2，1，2的一个通项公式是 . 8．求数列25 ，215 ，235，…的通项公式.9．根据下列各数列的首项和递推公式，分别写出它的前五项，并归纳出通项公式：（1）a 1＝0，a n +1＝a n ＋(2n －1)(n ∈N *)；(2)a 1＝1，a n +1＝2a na n ＋2(n ∈N *)10．若a1＝2，a2＝4，a n＝lo g2(a n－1·a n－2)(n≥3)，写出{a n}的前4项.11．若a1＝3，a n＝a n－1＋2a n－1(n≥2)，b n＝1a n，写出b n的前3项.参考答案新授课阶段都是一列数，都是按照一定顺序.1．数列的概念：顺序；数列的项，2.数列的通项公式通项公式.例1．解析：根据数列的特征，可以得到该数列的一个通项公式为1(1)nna=+-. 答案：B3.递推公式递推公式例2分析：题中已给出{a n }的第1项即a 1＝1，递推公式：a n ＝1＋1a n －1解：据题意可知：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1 ＝2，a 3＝1＋1a 2 ＝32 ，a 4＝1＋1a 3 ＝53 ，a 5＝85 .例3解：由已知得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝3a 2＋a 1＝7，a 4＝3a 3＋a 2＝23 例4解：⑴解法一：a 1＝5；a 2＝a 1＋3＝8； a 3＝a 2＋3＝11；a 4＝a 3＋3＝14； a 5＝a 4＋3＝17.解法二：由a n ＝a n －1＋3(n ≥2)，得a n －a n －1＝3则a 2－a 1＝3，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝3，a 5－a 4＝3，……，a n －1－a n －2＝3，a n －a n －1＝3 将上述n －1个式子左右两边分别相加，便可得a n －a 1＝3(n －1)，即a n ＝3n ＋2(n ≥2) 又由a 1＝5满足上式，∴a n ＝3n ＋2(n ≥1)为此数列的通项公式. ⑵ 解法一：由a 1＝2与a n ＝2a n －1(n ≥2)得：a 1＝2，a 2＝2a 1＝4，a 3＝2a 2＝8，a 4＝2a 3＝16，a 5＝2a 4＝32. 解法二：由a n ＝2a n －1(n ≥2)，得a na n －1 ＝2(n ≥2)，且a 1＝2则：a 2a 1 ＝2，a 3a 2 ＝2，a 4a 3 ＝2，……a n －1a n －2 ＝2， a na n －1 ＝2若将上述n －1个式子左右两边分别相乘，便可得 a n a 1＝2n －1 即：a n ＝2n (n ≥2)，又由a 1＝2满足上式 ∴a n ＝2n (n ≥1)为此数列的通项公式.∴a 2＝22＝4，a 3＝23＝8，a 4＝24＝16，a 5＝25＝32. ⑶ 解：由a 1＝1，a n ＝a n －1＋1a n －1 (n ≥2),得a 1＝1，a 2＝a 1＋1a 1 ＝2,a 3＝a 2＋1a 2 ＝52,a 4＝a 3＋1a 3 ＝52 ＋25 ＝2910 ,a 5＝a 4＋1a 4 ＝2910 ＋1029 ＝941290课堂小结这节课我们主要学习了数列的另一种给出方法，即递推公式及其用法，课后注意理解.另外，还要注意它与通项公式的区别在于：1.通项公式反映的是项与项数之间的关系，而递推公式反映的是相邻两项(或n 项)之间的关系.2.对于通项公式，只要将公式中的n 依次取1，2，3…即可得到相应的项.而递推公式则要已知首项(或前n 项)，才可依次求出其他的项. 拓展提升1．D 【解析】数列的定义中所说的“一定次序”不是要求按自然数次序，所以①②③④这四种排法都可叫做数列.2．C 【解析】对于③，将n ＝3代入，a 3＝3≠1，故③不是{a n }的通项公式；由三角公式知；②和④实质上是一样的，不难验证，它们是已知数列1，0，1，0的通项公式；对于⑤，易看出，它不是数列{a n }的通项公式；①显然是数列{a n }的通项公式.综上可知，数列{a n }的通项公式有三个，即有三种表示形式. 3．D 4．B 5．D6．B 【解析】∵5＝2＋3×1，11＝5＋3×2，20＝11＋3×3，∴x ＝20＋3×4＝32.【点评】用观察归纳法写出数列的一个通项公式，体现了由特殊到一般的思维规律、观察、分析问题的特点是最重要的，观察要有目的，要能观察出特点，观察出项与项数之间的关系、规律，这类问题就是要观察各项与项数之间的联系，利用我们熟知的一些基本数列（如自然数列、奇偶数列、自然数的前n 项和数列、自然数的平方数列、简单的指数数列，…），建立合理的联想、转换而达到问题的解决. 7．a n ＝1＋12[1＋（－1）n ].8．分析：可通过观察、分析直接写出其通项公式，也可利用待定系数法求通项公式.解：通过观察与分析，不难写出其三个分数中分母5，15，35，…的一个通项公式10·2n －1－5.故所求数列的通项公式为：a n ＝210·2n －1－5. 9．解：（1）a 1＝0；a 2＝a 1＋1＝1；a 3＝a 2＋3＝4；a 4＝a 3＋5＝9；a 5＝a 4＋7＝16；a 1＝02；a 2＝12；a 3＝22；a 4＝32；a 5＝42.可归纳出a n ＝(n －1)2.(2)a 1＝1，a 2＝2a 1a 1＋2 ＝23 ，a 3＝2a 2a 2＋2＝12 ，a 4＝2a 3a 3＋2 ＝25 ，a 5＝2a 4a 4＋2 ＝13 ，a 1＝1＝22 ；a 2＝23 ；a 3＝12 ＝24 ；a 4＝25 ；a 5＝13 ＝26 ；由此可见：a n ＝2n ＋1 .【评述】适当配凑是本题进行归纳的前提，从整体上把握一件事情是现代数学的重要手段，加强类比是探索某些规律的常用方法之一. 10． 解：∵a 1＝2，a 2＝4，a n ＝lo g 2(a n －1·a n －2)(n ≥3)∴a 3＝lo g 2(a 2·a 1)＝lo g 2(2×4)＝3，a 4＝lo g 2(a 3·a 2)＝lo g 212＝2＋lo g 23. 11． 解：∵a 1＝3，a n ＝a n －1＋2a n －1 (n ≥2)， ∴a 2＝a 1＋2a 1 ＝3＋23 ＝113 .a 3＝a 2＋2a 2 ＝113 ＋2 113＝113 ＋611 ＝13933.∵b n ＝1a n , ∴b 1＝1a 1 ＝13 ，b 2＝1a 2 ＝311 ，b 3＝1a 3 ＝33139 .。