相似三角形经典题型

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则AD 2=BD ·DC ，AB 2=BD ·BC ，AC 2=CD ·BC 。 知识点8 相似三角形常见的图形

1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：

（1）如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图）

(2) 如图：其中∠1=∠2，则△ADE ∽△ABC 称为“斜交型”的相似三角形。（有“反A 共角型”、

“反A 共角共边型”、 “蝶型”）

A

B

C

D E

12A

A

B B

C

C

D

D

E

E

124

1

2

(1)

E

A

B

C

D

(3)

D

B

C

A

E

(2)

C

D

E

A

B

注：

（1）位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.

（2）位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.

（3）位似图形的对应边互相平行或共线.

位似图形的性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.

注：位似图形具有相似图形的所有性质.

画位似图形的一般步骤：

（1）确定位似中心（位似中心可以是平面中任意一点）

（2）分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长（或截取）.

（3）根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.

（4）顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形. ①②③④⑤

注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，

或在图形上（图形边上或顶点上）。

②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）

③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）

（5）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k（k>0）,原图形上点的坐标为（x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky), 反向位似图形对应点的坐标为

(-kx,-ky),

经典例题透析

类型一、相似三角形的概念

1．判断对错：

(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？

(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？

(3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？

(4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？

(5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？

思路点拨：要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.

解：(1)不一定相似.反例

直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.

(2)不一定相似.反例

等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.

(3)一定相似.

在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中

设AB=a，A′B′=b，则BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′= b

∴

∴ABC∽A′B′C′

(4)一定相似.

因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.

(5)一定相似.

全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1.

举一反三

【变式1】两个相似比为1的相似三角形全等吗？

解析：全等.因为这两个三角形相似，所以对应角相等.又相似比为1，所以对应边相等.

因此这两个三角形全等.

总结升华：由上可知，在特殊的三角形中，有的相似，有的不一定相似.

(1)两个直角三角形，两个等腰三角形不一定相似.

(2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形一定相似.

(3)两个全等三角形一定相似，且相似比为1；相似比为1的两个相似三角形全等.

【变式2】下列能够相似的一组三角形为( )

A.所有的直角三角形

B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形

D.所有的一边和这边上的高相等的三角形

解析：根据相似三角形的概念，判定三角形是否相似，一定要满足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其他的角是否对应相等不可知；B中什么条件都不满足；D中只有一条对应边的比相等；C中所有三角形都是由90°、45°、45°角组成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.

类型二、相似三角形的判定

2．如图所示，已知中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线找相似三角形.

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AD∥BC，

∴△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.

∴△BEF∽△CDF∽△AED.

∴当△BEF∽△CDF时，相似比；当△BEF∽△AED时，相似比；

当△CDF∽△AED时，相似比.

总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相似，共构成三对相似三角形.求相似比不仅要找准对应边，还需注意两个三角形的先后次序，若次序颠倒，则相似比成为原来的倒数.

3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？为什么？

思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边是否对应成比例.

解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.

由勾股定理得.

在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.

由勾股定理，得.

在△ABC和△EDF中，，，，

∴，

∴△ABC∽△EDF(三边对应成比例，两三角形相似).

总结升华：

(1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不成比例就判定两三角形不相似.利用三边判定两三角形相似，应看三角形的三边是否对应成比例，而不是两边.

(2)本题也可以只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判定两三角形相似.

4．如图所示，点D在△ABC的边AB上，满足怎样的条件时，△ACD与△ABC相似？试分别加以列举.

思路点拨：此题属于探索问题，由相似三角形的识别方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，