4 欧拉定理
四点共圆证法
四点共圆证法
四点共圆证法，又称为共圆定理或欧拉定理，是数学几何中的一个重要定理，也是圆的性质之一。
它表明如果在平面上给定四个不共线的点，并且这四个点可以构成一个不是直线的四边形，那么存在一个唯一的圆，此圆可以通过这四个点。
以下是四点共圆证法的步骤：
步骤1：首先，我们需要确定是否给定的四个点构成了一个四边形，而不是一个直线。
这可以通过计算四个点的坐标，确保它们不共线来判断。
步骤2：如果四个点构成了一个四边形，接下来我们需要找到四边形的任意一条对角线，即连接两个不相邻的点的线段。
步骤3：然后，我们需要找到对角线的中点，即将对角线平分的点。
对角线中点可以通过计算对角线两个端点的横纵坐标的平均值得到。
步骤4：最后，我们需要找到两条不相邻边的中垂线。
中垂线是与边垂直且通过边的中点的直线。
通过计算不相邻两条边的中点和斜率，我们可以得到中垂线的方程。
如果中垂线相交于步骤3中的对角线中点，那么这四个点共圆。
因为对于一个圆来说，它的任意一条直径的中点都在圆上，而中垂线的交点就是对角线中点，这样就证明了这
四个点是共圆的。
需要注意的是，四点共圆定理仅对于平面几何中的四边形成立，如果给定的四个点共线，那么它们显然不能构成一个不是直线的四边形，因此也不满足四点共圆的条件。
欧拉的定理
欧拉定理是数学中的一个重要定理，得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。
在数论中，欧拉定理是关于同余的性质，也称为费马-欧拉定理或欧拉函数定理。
复数中的欧拉定理也称为欧拉公式，被认为是数学世界中最美妙的定理之一。
具体来说，对于任何自然数n和实数x，有φ(n)=n(1−1/2+1/3−1/4+1/5−...+(-1)^(r)(r+1)/r)，其中φ(n)表示欧拉函数，即小于n且与n互质的正整数的个数。
这个公式可以用来计算φ(n)的值。
此外，在平面几何中，欧拉定理表述的是给定一个简单多边形的顶点数和边数时，其内部点的数目等于边数和顶点数之差加二再除以二。
这个定理可以用于计算多边形的内角和、外角和等。
此外，还有多面体欧拉定理，它表述的是在任意一个凸多面体中，顶点数、棱边数和面数之间存在一个恒定的关系，即顶点数-棱边数+面数=2。
这个定理可以用于计算多面体的各种性质，如外角和、内角和等。
在组合数学中，欧拉定理可以用于求解一些组合问题，例如计算组合数的性质和公式。
在图论中，欧拉定理可以用于求解图的边数和顶点数之间的恒定关系。
此外，欧拉定理还可以用于求解一些物理问题，例如弹性力学和流体动力学中的问题。
在经济学中，欧拉定理可以用于求解一些最优化的数学问题，例如最优价格设置和资源分配等问题。
此外，欧拉定理还有一些有趣的延申和推广。
例如，在复数域中，欧拉定理可以推广为欧拉公式，即e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)，其中i是虚数单位。
这个公式可以用于求解一些复数问题，例如求解复数函数的积分和微分等。
另外，欧拉定理还可以推广到一些更复杂的数学结构和物理现象中，例如量子力学和相对论中的时空结构。
在这些领域中，欧拉定理的一些性质和结论可以用于描述和解释一些非常抽象和复杂的现象和规律。
总之，欧拉定理是一个非常重要的数学定理，具有广泛的应用价值，同时也有很多有趣的延申和推广。
无论是在数学还是物理等领域中，欧拉定理都是一个重要的工具，可以帮助我们求解一些复杂的问题和探索一些抽象的规律。
四个欧拉公式范文
四个欧拉公式范文1. 欧拉公式（Euler's formula）是一项与数学中的复数、指数函数和三角函数相关的重要公式。
它可以通过以下等式表示：e^ix = cos(x) + i * sin(x)这个公式的一个重要推论是欧拉等式（Euler's identity）：e^iπ+1=0也被称为欧拉等式（Euler's equation），它涵盖了五个重要的数学常数：0、1、π、e和i。
欧拉等式被广泛认为是数学中最美丽的公式之一，并被描述为“数学的黄金标准”。
2. 欧拉多面体公式（Euler's polyhedron formula）是描述平面图形中的多面体、棱和顶点之间的关系的公式。
它由欧拉于1750年发现，被称为欧拉的F + V - E = 2公式。
对于一个多面体，F表示面的数量，V表示顶点的数量，E表示边的数量。
根据这个公式，一个拥有F个面、V个顶点和E个边的多面体，满足F+V-E=2、这个公式在数学和物理学领域被广泛应用，并且证明了它的正确性。
欧拉多面体公式也可以扩展到二维平面图形，即V=E-F+2、这个公式描述了连通平面图形中顶点、边和面的关系。
3. 欧拉积分公式（Euler's integral formula）是由欧拉发现的，用于表示复变函数与实变函数之间的关系。
它可以用以下等式表示：e^(ix) = cos(x) + i * sin(x)这个公式在复分析和实分析中有广泛应用，可用于求解微分方程、傅里叶级数等，提供了一种将指数函数与三角函数相互转换的方法。
4. 欧拉回路和欧拉路径（Eulerian circuit and Eulerian path）是图论中与连通图中边的走法相关的概念。
它们由欧拉在18世纪提出，并被称为欧拉定理（Euler's theorem）。
欧拉回路是一个简单回路，它通过图中的每条边一次且仅一次，且最终回到起始点。
欧拉路径是一条在图中经过每条边一次且仅一次的路径，但不一定需要回到起始点。
数论 欧拉定理
数论欧拉定理欧拉定理（euler theorem），也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理，是一个关于同余的性质，得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉。
该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一，在西方经济学中又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。
欧拉定理指出：如果产品市场和要素市场都是完全竞争的，而且厂商生产的规模报酬不变，那么在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品。
该定理又叫做边际生产力分配理论，还被称为产品分配净尽定理。
如上所述，要素的价格是由于要素的市场供给和市场需求共同决定。
在完全竞争的条件下，厂商和消费者都被动地接受市场形成的价格。
定理推论在完全竞争的条件下，厂商使用要素的原则是：要素的边际产品价值等于要素价格。
即:p*mpl=w (1)p*mpk=r (2)由式1和2只须：mpl=w/p (3)mpk=r/p(4p为产品的价格，w/p和r/p分别表示了劳动和资本的实际报酬。
因为在完全竞争的条件下，单位劳动、单位资本的实际报酬分别等于劳动、资本的边际产量。
假定整个社会的劳动总量和资本总量为l和k，而社会总产品为q,由在市场均衡的条件下，所有生产要素实际所取得的报酬总量正好等于社会所生产的总产品,得:q=l*mpl+k*mpk(5)式5称为欧拉分配定理。
它是由于该定理的证明使用了数学上的欧拉定理而得名。
定理证明假设生产函数为：q=f(l.k)(即q为齐次生产函数),定义人均资本k=k/l方法1:根据齐次生产函数中相同类型的生产函数展开分类探讨(1)线性齐次生产函数n=1,规模报酬维持不变,因此存有:q/l=f(l/l,k/l)=f(1,k)=g(k)k为人均资本，q/l为人均产量，人均产量就是人均资本k的函数。
让q对l和k求偏导数,有:由上面两式，即可得欧拉分配定理：(2)非线性齐次生产函数1.当n〉1时，规模报酬递减，如果按照边际生产力分配，则产品比较分配给各个生产要素，即为：2.当n\uc1时，规模报酬递减，如果按边际生产力进行分配，则产品在分配给各个生产要素之后还有剩余，即：方法2：设立一个通常的齐次生产函数q=f(l,k)为n齐次（即n任一的齐次生产函数，既可以就是线性的，也可以就是非线性的），则存有：q=l *g(k)将该函数对k，对l谋略偏导数，得：综合上述两式，有：当n=1时，规模报酬维持不变，该式即为欧拉分配定理当n〉1时，规模报酬递增，故有：当n\uc1时，规模报酬递增，故存有：实例在技术经济学中，欧拉定理属一次齐次函数的一个关键性质，它就是说道一次齐次函数的数值都可以则表示为各自变量和因变量对适当自变量一阶偏导的乘积之和。
欧拉公式
欧拉公式欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。
其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式--将复数、指数函数与三角函数联系起来；拓扑学中的欧拉多面体公式；初等数论中的欧拉函数公式。
此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等。
简介(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，分散在各个数学分支之中。
分式a^r/(a-b)(a-c)+b^r/(b-c)(b-a)+c^r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c复变函数e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
e^ix=cosx+isinx的证明：因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……在e^x的展开式中把x换成±ix.(±i)^2=-1, (±i)^3=∓i, (±i)^4=1 ……e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!∓ix^3/3!+x^4/4!……=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)所以e^±ix=cosx±isinx将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到：e^iπ+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率π，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。
欧拉定理
欧拉定理在数学和许多分支中可以看到以欧拉命名的许多常数，公式和定理。
在数论中，Euler定理（也称为Fermat Euler定理或Euler 函数定理）是关于同余的性质。
欧拉定理以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的名字命名，被认为是数学界最精彩的定理之一。
欧拉定理实际上是费马小定理的推广。
此外，在平面几何中有欧拉定理，在多面体上有欧拉定理（在凸多面体中，顶点数-边数+面数= 2，即V-E + F = 2）。
在西方经济学中，欧拉定理也称为产出分配的净耗竭定理，这意味着在完全竞争的条件下，假设规模收益长期保持不变，则所有产品都足以分配给每个产品因子。
还有欧拉公式。
在数论中，欧拉定理,（也称费马-欧拉定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理表明，若n,a为正整数，且n,a互质，则:证明将1~n中与n互质的数按顺序排布：x1,x2……xφ(n) （显然，共有φ(n)个数）我们考虑这么一些数：m1=a*x1;m2=a*x2;m3=a*x3……mφ(n)=a*xφ(n)1）这些数中的任意两个都不模n同余，因为如果有mS≡mR (mod n) （这里假定mS更大一些），就有：mS-mR=a(xS-xR)=qn，即n能整除a(xS-xR)。
但是a与n互质，a 与n的最大公因子是1，而xS-xR<n，因而左式不可能被n整除。
也就是说这些数中的任意两个都不模n同余，φ(n)个数有φ(n)种余数。
2）这些数除n的余数都与n互质，因为如果余数与n有公因子r，那么a*xi=pn+qr=r(……)，a*xi与n不互质，而这是不可能的。
(因为a*xi=pn+qr=r(……)，说明a*xi含有因子r，又因为前面假设n 含有因子r，所以a*xi和n含有公因子r，因此a*xi与n不互质)那么这些数除n的余数，都在x1,x2,x3……xφ(n)中，因为这是1~n中与n互质的所有数，而余数又小于n.由1）和2）可知，数m1,m2,m3……mφ(n)（如果将其次序重新排列）必须相应地同余于x1,x2,x3……xφ(n).故得出：m1*m2*m3……mφ(n)≡x1*x2*x3……xφ(n) (mod n)或者说a^[φ(n)]*(x1*x2*x3......xφ(n))≡x1*x2*x3......xφ(n)(mod n) 或者为了方便：K{a^[φ(n)]-1}≡0 ( mod n ) 这里K=x1*x2*x3 (x)φ(n)。
解析几何中的欧拉定理
解析几何中的欧拉定理欧拉定理（Euler's Theorem）是数学中的一个重要定理，源于欧拉的研究。
该定理是描述三维空间中点、线、面三种基本几何对象之间的关系的公式，也称为多面体公式。
欧拉定理被广泛应用于几何学、拓扑学、物理学等领域，是研究空间几何结构的一个基础定理。
欧拉定理的正式陈述是：一个立体图形的顶点数与面数的差再加上边数等于2。
即：V - E + F = 2，其中V代表立体图形的顶点数，E代表立体图形的边数，F代表立体图形的面数。
该定理适用于所有的多面体，包括正则多面体、不规则多面体以及任意多面体。
为了理解欧拉定理，我们需要先了解一些基本的几何概念。
在三维空间中，点、线、面是最基本的几何对象。
点是空间中最基本的单位，没有形状、大小等特征；线是由两个点之间的直线连接而成的，具有长度但没有宽度和高度；面是由至少三个非共线点连接而成的平面几何图形，具有面积和形状。
欧拉定理可以通过一个简单的例子来进行解释。
我们考虑一个正四面体，即一个具有四个等大的面，每个面都是一个正三角形的立体图形。
这个正四面体有4个顶点、6条边和4个面。
插入这些数字后，欧拉定理的方程变为：4 - 6 + 4 = 2。
这个式子成立，证明欧拉定理在这种情况下成立。
我们可以通过把这个正四面体的一个顶点通过线段连接到另一个顶点的方式来创造一个新的多面体。
新多面体的顶点数是原来的顶点数加1，即5个。
新多面体的边数是原来的边数加4，即10条。
新多面体的面数是原来的面数加4，即8个。
把这些数字带入欧拉定理的方程中，得到：5 - 10 + 8 = 2。
这个式子同样成立，证明欧拉定理适用于新创建的多面体。
欧拉定理的证明是一项相对简单的数学运算，但是定理本身具有非常广泛的应用范围。
它可以用于计算多面体的面积、体积、对称性等各种基本性质。
在几何学中，欧拉定理是刻画空间多面体拓扑结构的基础工具。
在物理学中，欧拉定理被应用于描述空间物体的运动状态。
4 欧拉定理
§4 欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用欧拉定理及费马定理是数论中非常重要的两个定理，它们在数论中的应用非常广泛。
本节应用简化剩余系的理论，推出欧拉定理，再由欧拉定理，推出费马定理。
最后还要把欧拉定理应用于循环小数。
定理1（欧拉定理） 设()1,,1m a m >=，则()()1mod .m am ϕ≡证 设()12,,,m r r r ϕ是模m 的一个简化剩余系，因(),1a m =，故()12,,,m ar ar ar ϕ也是模m 的一个简化剩余系. 于是，()()()()()()()()()()()()12121212mod ,mod ,1mod .mm m m m m ar ar ar r rr m a r r r r r r m a m ϕϕϕϕϕϕ≡≡≡推论（费马定理）若p 是质数，则对任意整数a ，总有()mod .p a a p ≡证 因p 为质数，故(),1a p =或.p a 若(),1,a p =则由()1p p ϕ=-及欧拉定理得 ()()11mod ,mod .p p ap a a p -≡≡若p a ，则显然有()mod .pa a p ≡以上两个定理对数论的应用是非常多的。
下面仅说明欧拉定理对无限循环小数的应用。
任何一个有理数都可以表示为ab，这里,a b 都为整数，且0a >。
由带余除法，存在整数(),0q r r b ≤<使得b aq r =+，故,0 1.a bq r r r b b b b b+==+≤< 故以下只讨论开区间()0,1中的分数与小数互化。
若对无限小数120.,n a a a （i a 是0,1,,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有n n t a a +=，则该无限小数可以写为1212120.s s s s t s s s ta a a a a a a a a ++++++定义 若对无限小数120.,na a a （i a 是0,1,,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有n n t a a +=，则称这一无限小数为循环小数，并把该无限小数简写为 120.s a a a 1s a +.s t a +对于循环小数来说，满足上述性质的,s t 不唯一。
欧拉公式
欧拉定理（1）背景：欧拉公式的背后是一门新的几何学，这种新的几何学只研究图形各部分位置的相对次序，而不考虑图形尺寸大小，这就是由莱布尼兹和欧拉共同奠基的“橡皮膜上的几何学”（位置几何学），如今这门学科已经发展成数学的一个重要的分支——拓扑学。
（2）历史：有关凸多面体最有趣的定理之一是欧拉公式“V-E+F=2”，其实大约在1635年笛卡尔就早已发现了它。
欧拉在1750年独立地发现了这个公式，并于1752年发表了它。
由于笛卡尔的研究到1860年才被人们发现，所以这个定理就称为欧拉公式而不是笛卡尔公式。
欧拉,出生在瑞士的巴塞尔（Basel）城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748年）的精心指导．欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。
欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数V、棱数E、面数F之间总有V-E+F=2这个关系。
V-E+F被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概念。
以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见,与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。
欧拉还创设了许多数学符号，例如π（1736年），i（1777年），e（1748年），sin和cos（1748年），tg（1753年），△x（1755年），∑（1755年），f(x)（1734年)等。
1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授．1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了．然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁．欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的．欧拉公式有4条（1）分式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复数由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到：sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2icosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2（3）三角形设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）多面体设v为顶点数，e为棱数，是面数，则v-e+f=2-2pp为欧拉示性数，例如p=0的多面体叫第零类多面体p=1的多面体叫第一类多面体等等其实欧拉公式是有4个的，上面说的都是多面体的公式。
euler's rule 公式
Euler's rule（欧拉定理）是数学中一个非常重要的公式，它建立了对于复数的指数函数与三角函数之间的联系。
这个公式的内容相当深远，因此需要我们以一种由浅入深的方式来进行探讨。
1. 复数我们需要了解复数的概念。
复数是由实部和虚部组成的数，一般形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部。
当然，这种表达方式也可以是r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为辐角。
复数的指数形式通常写作e^(iθ)，即欧拉公式中的指数形式。
2. 欧拉公式的表述欧拉公式表示为e^(iθ) = cosθ + isinθ。
这个公式在数学中具有非常重要的地位，它揭示了复数与三角函数之间紧密的联系。
在欧拉公式中，e表示自然对数的底，i表示虚数单位，θ表示复数的辐角。
3. 欧拉公式的意义欧拉公式的意义非常深远。
它揭示了复数与三角函数之间的关系，使得我们能够用指数函数来表示三角函数，进而扩展了我们对数学世界的认识。
通过欧拉公式，我们可以将复数进行分解，将三角函数与指数函数相联系，从而更深刻地理解数学的抽象概念。
4. 欧拉公式的应用欧拉公式在物理学、工程学、计算机科学等领域都有着广泛的应用。
在量子力学中，欧拉公式被用来描述波函数；在信号处理中，欧拉公式被用来分析振荡信号。
其在控制理论、图像处理等领域的应用也是举足轻重的。
5. 个人观点欧拉公式作为数学中的经典公式，对于我来说具有非常重要的意义。
它不仅揭示了数学世界中复数与三角函数之间奇妙的联系，而且在我的学习和工作中也有着广泛的应用。
我认为，通过深入学习和理解欧拉公式，我能够更好地理解数学的内涵，提升自己的学术水平。
总结：欧拉公式作为数学中的经典之作，通过它我们能够更深刻地认识复数与三角函数的联系，发现数学世界中的奥秘。
其在物理学、工程学、计算机科学等领域的广泛应用也使得它具有着极其重要的地位。
通过对欧拉公式的深入探讨，我们能够提升自己的学术水平，更好地应用于实际工作和学习中。
欧拉公式计算
欧拉公式计算
摘要：
1.欧拉公式的概述
2.欧拉公式的计算方法
3.欧拉公式的应用案例
4.总结
正文：
1.欧拉公式的概述
欧拉公式，又称为欧拉- 费马定理，是由瑞士数学家欧拉和法国数学家费马分别于18 世纪和17 世纪提出的一个著名数学公式。
该公式描述了复指数函数e^(ix) 与三角函数有直接关系，即：e^(ix) = cos(x) + i*sin(x)。
欧拉公式将实数、虚数、指数函数和三角函数紧密联系在一起，被认为是数学史上最伟大的公式之一。
2.欧拉公式的计算方法
欧拉公式的推导过程相对简单。
首先，将复指数函数e^(ix) 展开，得到：e^(ix) = (e^i)^x = (cos(1) + i*sin(1))^x。
然后，利用二项式定理将(cos(1) + i*sin(1))^x 展开，可以发现，展开后的各项系数分别为cos(x) 和sin(x) 的组合。
具体来说，实部系数为cos(x)，虚部系数为sin(x)。
因此，欧拉公式得证。
3.欧拉公式的应用案例
欧拉公式在数学、物理和工程领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应
用案例：
（1）在复分析中，欧拉公式提供了将复指数函数表示为三角函数的途径，有助于更好地理解复数的性质和运算。
（2）在信号与系统中，欧拉公式可以用于表示周期性信号，有助于分析信号的频谱特性。
（3）在控制系统中，欧拉公式可以用于描述系统的稳定性和相位特性，有助于设计稳定可靠的控制系统。
4.总结
欧拉公式是数学史上的一个重要公式，它将指数函数、三角函数和复数联系在一起，具有广泛的应用。
欧拉公式
编辑词条欧拉公式[编辑本段]欧拉公式(Euler公式)在数学历史上有很多公式都是欧拉（Leonhard Euler 公元1707-1783年)发现的，它们都叫做欧拉公式，它们分散在各个数学分支之中。
（1）分式里的欧拉公式：a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b)当r=0,1时式子的值为0当r=2时值为1当r=3时值为a+b+c（2）复变函数论里的欧拉公式：e^ix=cosx+isinx，e是自然对数的底，i是虚数单位。
它将三角函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位。
将公式里的x换成-x，得到：e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.这两个也叫做欧拉公式。
将e^ix=cosx+isinx中的x取作∏就得到：e^i∏+1=0.这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数学联系到了一起：两个超越数：自然对数的底e，圆周率∏，两个单位：虚数单位i和自然数的单位1，以及数学里常见的0。
数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看它而不能理解它。
（3）三角形中的欧拉公式：设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：d＾2=R＾2-2Rr（4）拓扑学里的欧拉公式：V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P 的棱的条数,X(P)是多面体P的欧拉示性数。
如果P可以同胚于一个球面（可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上），那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。
X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。
（5）初等数论里的欧拉公式：欧拉φ函数：φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。
四面体的欧拉公式
四面体的欧拉公式四面体是一种由四个面和四条边所构成的立体图形，它是立体几何学中的一个基本图形。
欧拉公式是数学家欧拉在18世纪提出的一条基本公式，揭示了凸多面体的面数、边数和顶点数之间的关系。
对于四面体而言，欧拉公式可以表示为：面数+顶点数=边数+2在推导四面体的欧拉公式之前，让我们首先了解一下四面体的性质。
四面体的性质与命名：四面体的特点是四个面，每个面都是一个三角形。
四面体的四个顶点两两不在同一平面上，四个面两两相交于一个共同的边。
四面体有许多特殊的性质和命名：1.顶点：四面体中的顶点是立体图形的顶点，共有四个，用A、B、C、D等字母表示。
2.边：四面体的边是由两个顶点间的连线所形成，共有六条，用AB、AC、AD、BC、BD、CD等字母表示。
3.三角面：四面体的四个面都是三角形。
以面ABC为例，顶点A、B、C是该面的三个顶点，分别用字母A、B、C表示。
4.高：对于四面体的三个脚点和与之相对的面，可以得到三条高。
这些高线相交于一个点，称为四面体的垂心。
5.侧面：以边AB为底边的高位与侧边CD所成的面称为四面体的一个侧面，用ABC表示。
现在我们来证明四面体的欧拉公式。
证明四面体的欧拉公式：首先，我们假设四面体的面数为F，边数为E，顶点数为V。
由于四面体有四个面，所以F=4、边数等于四个面的边的总数，即E=6接下来，我们来计算顶点数V。
对于四面体而言，每个面都是一个三角形，所以四个面总共有12条边。
每个顶点是三个面的顶点，所以每个顶点对应3条边。
因此，顶点数V可以通过E/3计算得到，即V=6/3=2现在我们将F、E和V的值代入欧拉公式中：F+V=E+2由于F=4、E=6和V=2，所以4+2=6+2，即6=8我们可以看到，当代入四面体的面数、边数和顶点数时，等式的结果不一致。
这是因为欧拉公式仅适用于凸多面体，而四面体是凸多面体的一种。
如果我们将四面体的一个面切割，形成一个新的面与旧的面相交，我们可以得到一个新的多面体，它是一个正四面体。
人教版B版高中数学选修4-6：欧拉定理_课件1
因而通项为3n的数列的项的最小非负剩余构成周期为5的 周期数列：3，9，5，4，1，3，9，5，4，1，……… 类似地，经过计算可得7n的数列的项的最小非负剩余构 成周期为10的周期数列： 7，5，2，3，10，4，6，9，8，1，……… 于是由上两式可知通项为3n+7n+4的数列的项的最小非负 剩余，构成周期为10（即上两式周期的最小公倍数）的 周期数列：3，7，0，0，4，0，8，7，5，6，………
既然这样，那么（a × x1 × a × x2×...×a × xφ(n)） (mod n) = （a × x1(mod n) × a × x2(mod n) × ... × a × xφ(n)(mod n)）(mod n) = （x1 × x2 × ... × xφ(n)） (mod n) 考虑上面等式左边和右边, 左边等于(a × （ x1 × x2 × ... × xφ(n) ）) (mod n) 右边等于(x1 × x2 × ... × xφ(n) ）(mod n) 而(x1 × x2 × ... × xφ(n) ) (mod n)和n互质 根据消去律，可以从等式两边约去，就得到：
例2 试求不大于100，且使11丨(3n+ 7n+4)成立 的自然数n的和。
解：通过逐次计算，可求出3n关于mod11的最小非 负剩余（即为被11除所得的余数）为： 3 ≡ 3（mod 11），32≡ 9（mod 11）， 33≡ 5 （mod 11）， 34≡ 5×3≡ 4（mod 11），35≡ 4×3≡ 1（mod 11）.
这就表明，当1≤n≤10时，当且仅当n=3，4，6时， 3n + 7n + 4 ≡ 0（mod 11），即11丨(3n + 7n + 4) ； 又由于数列的周期性，故当10k+1≤n≤10(k+1)时， 满足要求的n只有三个，即n=10k+3, 10k+4, 10k+6, 从而当1≤n≤100时，满足要求的n的和为：
欧拉定理
欧拉定理编辑讨论上传视频在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理。
在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。
欧拉定理得名于瑞士数学家莱昂哈德·欧拉，该定理被认为是数学世界中最美妙的定理之一。
欧拉定理实际上是费马小定理的推广。
此外还有平面几何中的欧拉定理、多面体欧拉定理(在一凸多面体中，顶点数-棱边数+面数=2，即V-E+F=2)。
西方经济学中欧拉定理又称为产量分配净尽定理，指在完全竞争的条件下，假设长期中规模收益不变，则全部产品正好足够分配给各个要素。
另有欧拉公式。
中文名欧拉定理外文名Euler Theorem别称费马-欧拉定理类别定律应用学科数学目录1 莱昂哈德·欧拉2 数论定理▪内容▪证明▪应用3 几何定理▪内容▪证明4 拓扑公式5 图论定理▪内容▪证明6 经济学▪定理推导▪定理证明▪实例7 复变函数8 意义9 证明应用▪利用几何画板▪公式应用10 运用方法▪分式▪复数▪三角形▪多面体▪多边形莱昂哈德·欧拉编辑莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler ，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士数学家，13岁进巴塞尔大学读书，得到著名数学家贝努利的精心指导．欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，他从19岁开始发表论文，直到76岁，他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中在世时发表了700多篇论文。
彼得堡科学院为了整理他的著作，整整用了47年。
欧拉著作惊人的高产并不是偶然的。
他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，可以使他在任何不良的环境中工作：他常常抱着孩子在膝盖上完成论文。
即使在他双目失明后的17年间，也没有停止对数学的研究，口述了好几本书和400余篇的论文。
当他写出了计算天王星轨道的计算要领后离开了人世。
欧拉永远是我们可敬的老师。
欧拉研究论著几乎涉及到所有数学分支，对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等是以欧拉名字命名的。
欧拉定理初中几何
欧拉定理初中几何欧拉定理，也被称为多面体定理，是描述多面体的一个重要性质。
它是数学家欧拉在18世纪提出的，是几何学与拓扑学的基本定理之一。
欧拉定理是关于多面体的顶点数（V）、边数（E）和面数（F）之间的关系。
它的表述为：对于任何一个拓扑上等于球面的有封闭界限的立体体，其顶点数、边数和面数满足一个简单的关系VE+F=2。
初中阶段，学生主要学习的是简单多面体，如正方体、正四面体等。
这些多面体都是拓扑上等于球面（是封闭的）的，因此也满足欧拉定理。
下面以正方体为例来说明。
正方体是一个具有六个面、八个顶点和十二条边的多面体。
根据欧拉定理，我们有VE+F=2，代入正方体的数据，可以得到812+6=2。
这个等式成立，证明了欧拉定理在正方体上成立。
除了正方体，其他的简单多面体也都能满足欧拉定理。
比如，正四面体有四个面、四个顶点和六条边，代入欧拉定理得到46+4=2；正八面体有八个面、六个顶点和十二条边，代入欧拉定理得到612+8=2，依此类推。
通过欧拉定理，我们可以发现简单多面体的顶点数、边数和面数之间存在的一个固定关系。
这个关系不仅适用于简单多面体，也适用于更复杂的多面体。
所以欧拉定理是研究多面体的一个非常重要的工具。
总结一下，欧拉定理是多面体的一个基本性质，它描述了多面体的顶点数、边数和面数之间的关系。
在初中几何中，我们主要研究简单多面体，如正方体、正四面体等，它们都满足欧拉定理。
欧拉定理的表述是VE+F=2，其中V表示顶点数，E 表示边数，F表示面数。
通过欧拉定理，我们可以推导得到多面体的一些性质，这对于我们理解多面体的结构和性质有很大帮助。
欧拉定理与费马小定理
欧拉定理与费马小定理嘿，朋友们，今儿咱们聊聊数学里的两大明星定理——欧拉定理和费马小定理。
别一听数学就头疼，这俩定理可不是那种让人摸不着头脑的难题，相反，它们像是数学王国里的魔法，充满了神秘与魅力。
咱们先说说欧拉定理。
想象一下，你有个大盒子，里面装满了各种大小不同的齿轮，这些齿轮相互咬合，一旦你启动其中一个，其他的齿轮也跟着转起来，这就是欧拉定理的精髓所在。
不过，咱们的数学齿轮可不是物理上的，而是数字与数字之间的关系。
欧拉大神告诉我们，如果你有两个数，一个叫a，一个叫n，a和n得是那种“井水不犯河水”的互质关系，也就是说它们之间除了1没有其他公约数。
这时候，你把a放到n的“魔法圈”里转几圈，也就是算a的(n-1)次方，然后再对n取个余数，嘿，结果居然和a一开始在n的“魔法圈”外面的样子一模一样！这就像是你把一个齿轮在盒子里转了几圈，拿出来一看，嘿，它还是原来的那个齿轮，一点没变！这个定理厉害就厉害在，它不仅仅是一个简单的数学规律，它在密码学、计算机科学里都有着举足轻重的地位。
就像是你手里的那把万能钥匙，能打开许多看似复杂的大门。
再来说说费马小定理，这可是个“小字辈”的定理，但别看它小，威力可不小。
费马大神说，如果你有个数p，它是那种“特立独行”的质数，也就是只能被1和它自己整除的数。
然后你再找个数a，不管a是老是少，是老是新，只要a不是p的倍数，那么你把a放到p的“小魔法圈”里转一圈，也就是算a乘以(p-1)，然后再对p取个余数，结果你猜怎么着？居然还是a！这就像是你把一件衣服放到洗衣机里洗了一圈，拿出来一看，嘿，衣服上的污渍没了，衣服还是原来的那件衣服！费马小定理虽然简单，但它在数学界可是个宝贝，很多数学难题的解决都离不开它的帮助。
就像是你手里的那块万能橡皮擦，能擦掉许多看似棘手的难题。
你可能会问，这两个定理到底有什么用呢？这么说吧，它们就像是数学世界里的“超能力”，让数学家们能够解决一些看似不可能的问题。
四项式定理
四项式定理四项式定理，又被称为欧拉定理，是欧拉于1735发表的一项数学定理，它宣称：任意正整数立方和的一种分法可以分解为两个之和的立方的和。
即：对于任何正整数 n，都存在整数 x、y、z 使得n3 = x3 + y3 + z3.四项式定理的发现源于欧拉的一个神秘的想法，他猜想所有的正整数都可以表示为两个立方数的和。
即：对于任何正整数 n，都存在整数 x、y 使得n3 = x3 + y3。
于是欧拉先加入定理一，经过两年的研究，他最终确定了定理二，四项式定理可以表达为一个更简洁的公式：n3=x3+y3+z3，即：任何一个正整数都可以表示为三个立方数之和，这就是四项式定理所表达的定理。
四项式定理有着重要的意义，它为许多其他数学理论的发展提供了基础。
它的发现推动了数学方法的发展，如定理论的推导，证明的应用等。
此外，四项式定理提供了许多有趣的应用，如四项式定理的拓展，可以用来解决复杂的数学问题，如解多项式方程组的问题，计算两个数的最大公约数等。
四项式定理有许多变种，如拉格朗日定理，拉格朗日恒等式，卡塔尔定理等。
拉格朗日定理推广了四项式定理：它表明，任何正整数立方和的一种分法可以分解为四个之和的立方的和。
拉格朗日恒等式改进了四项式定理，它表明：任意正整数立方和的一种分法可以分解为五个之和的立方的和，而这五个立方数之和不能再被拆分。
卡塔尔定理，也叫正三角定理，是一种类似于四项式定理的内容。
它表明：任意正整数可以表示为两个整数的平方和的和，这两个整数不能再被拆分。
四项式定理有很多研究成果，但其本质仍然有待研究。
数学家们努力证明这一定理的真实性，并寻求更严格的证明，以期能更精确地描述这一数学定理的真实性。
总的来说，四项式定理是一项重要的数学定理，推动了许多其他数学理论的发展，具有重要的严格证明价值，以及很多有趣的应用。
因此，它是一个值得研究和深入研究的数学定理。
欧拉分配定理
欧拉分配定理欧拉分配定理(Euler's partition theorem)又称奇怪的硬币问题，这个问题起源于欧拉在研究数论时提出。
它给出了一个整数n可以被表示为一系列整数之和的不同方式数目。
例如，n=4时，可以表示为4,3+1,2+2,2+1+1,1+1+1+1五种不同的方式。
而n=5时，可以表示为5,4+1,3+2,3+1+1,2+2+1,2+1+1+1,1+1+1+1+1七种不同的方式。
欧拉分配定理的表达式如下：p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+p(n-12)+p(n-15)-⋯其中p(n)表示将n拆分成一些整数的和的方式数。
这个式子看起来非常奇怪，但它说的是一件很有用的事情：将n拆分成一些整数的和有多少种不同的方式。
它将这个问题变为了一个递归问题：p(n)可以由前面的p(n-1),p(n-2),p(n-5),p(n-7)...推导出来。
举个例子，当n=6时，我们有：p(6)=p(5)+p(4)-p(1)-p(-1)=p(5)+p(4)-p(1)=p(5)+p(3)+p(2)-p(1)=p(5)+p(3)+p(1)+p(0)-p(1)=p(5)+p(3)+p(0)=p(4)+p(2)+p(1)+p(0)=p(4)+p(2)+2=5+2+2=9因此，当n=6时，将其拆分成一些整数的和有9种不同的方式。
欧拉分配定理的复杂度是O(n^2)。
目前还没有找到O(n log n)或O(n)的解法，因此当n比较大时，计算可能会很慢。
总的来说，欧拉分配定理是一个非常有用的数学工具，它可以用于解决一系列计数问题。
然而，它的复杂度较高，需要谨慎使用。
在实际应用中，我们可以考虑使用近似算法或其他更高效的计算技术来解决一些计数问题。
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§4 欧拉定理·费马定理及其对循环小数的应用欧拉定理及费马定理是数论中非常重要的两个定理，它们在数论中的应用非常广泛。
本节应用简化剩余系的理论，推出欧拉定理，再由欧拉定理，推出费马定理。
最后还要把欧拉定理应用于循环小数。
定理1（欧拉定理） 设()1,,1m a m >=，则()()1mod .m a m ϕ≡证 设()12,,,m r r r ϕ是模m 的一个简化剩余系，因(),1a m =，故()12,,,m ar ar ar ϕ也是模m 的一个简化剩余系. 于是，()()()()()()()()()()()()12121212mod ,mod ,1mod .mm m m m m ar ar ar r rr m a r r r r r r m a m ϕϕϕϕϕϕ≡≡≡推论（费马定理）若p 是质数，则对任意整数a ，总有()mod .p a a p ≡证 因p 为质数，故(),1a p =或.p a 若(),1,a p =则由()1p p ϕ=-及欧拉定理得 ()()11mod ,mod .p p ap a a p -≡≡若p a ，则显然有()mod .pa a p ≡以上两个定理对数论的应用是非常多的。
下面仅说明欧拉定理对无限循环小数的应用。
任何一个有理数都可以表示为ab，这里,a b 都为整数，且0a >。
由带余除法，存在整数(),0q r r b ≤<使得b aq r =+，故,0 1.a bq r r r b b b b b+==+≤< 故以下只讨论开区间()0,1中的分数与小数互化。
若对无限小数120.,n a a a （i a 是0,1,,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有n n t a a +=，则该无限小数可以写为1212120.s s s s t s s s ta a a a a a a a a ++++++定义 若对无限小数120.,n a a a （i a 是0,1,,9中的一个数码，1,2,,i =并且从任何一位以后不全是0）来说，存在非负整数s 及正整数t 使得，对任意正整数1n s ≥+，都有n n t a a +=，则称这一无限小数为循环小数，并把该无限小数简写为 120.s a a a 1s a +.s t a +对于循环小数来说，满足上述性质的,s t 不唯一。
如对于循环小数0.3214139139139，可取4,3s t ==，则该循环小数可简写为0.3214139，也可以取5,6s t ==，则该循环小数可以简写为0.32141391391，等等。
如t 是最小的，则称12,,,s s s t a a a +++为循环节，而把t 称为循环节的长度；若最小的0s =，则称该循环小数为纯循环小数，否则称为混循环小数。
如循环小数0.3214139139139最小的3t =，其循环节是1,3,9。
最小的4s =，故该循环小数是混循环小数。
又如循环小数0.139087713908771390877最小的0s =，故该循环小数是纯循环小数。
定理2 有理数()()0,,1aa b a b b<<=可以表示为纯循环小数的充分必要条件是(),10 1.b =证 （ⅰ）若()()0,,1aa b a b b<<=可以表示为纯循环小数，设 0.ab=12a a ,t a则1212101010tt t t aa a a b--=++++0.12a a t a ,0.aq q b=+>故(),101.101t t a q a bq b =-=- 但(),1a b =，故()()()()101,101mod ,10,10,1, 1.t t t b b b b b -≡===注：也可根据101t b -及反证法证明(),10 1.b =（ⅱ）若(),101b =，则由欧拉定理，()()101mod .b b ϕ≡令(),t b ϕ=则t 为正整数，且10 1.t b -从而存在正整数q '使得101,10.t t bq a bq a a ''-==+令q q a '=，则()1110,01011010101101,110,.1010t t t t t t t t t a a b a qb a q b b b b a a a q a q b b b b -⎛⎫=+<=-<≤=-<- ⎪⎝⎭=+=+⋅ 由带余除法，11211232211110+,010,10,010,10,010,10,010,t t t t t t t t q q a a q q a a q q a a q q a a -----=≤<=+≤<=+≤<=+≤< 则1212110101010.t t t t t t q q a a a a ---=+++++易知q 为正整数，故12,,,t q q q 都为非负整数。
若1t q ≥，则10t q ≥，这与101t q <-矛盾。
故121210,101010,t t t t t q q a a a a ---==++++从而1210..10t t aaa a a bb=+⋅ 反复应用上式，即得 0.ab=12a a .t a定理 3 若a b是有理数，其中()()1110,,1,25,,101,1,a b a b b b b b αβ<<===>其中,αβ都为非负整数，但不全为零，则ab可以表示为循环小数，其中不循环的位数是()max ,.μαβ=证 我们只证明βα≥的情形，至于βα≥的情形，可类似证明。
若βα≥，则.μβ=故121010.a a a b b b βαμβ-==因()1,1,,a b b b =故()1, 1.a b =又()1,101,b =故()()11,21,,21.b b βα-==故1b 不整除2a βα-。
由带余除法，存在整数1,M a 使得11112,0.a b M a a b βα-=+<<因此1110.a aM b b μ=+ 易知()()()11111010,,2,2, 1.M a b a Mb b a b μμαμα--≤<=-==由定理2，可以把11a b 表示为循环小数：110.a b =1c .t c设()111009M m m m μμμ-=++≤≤则10.am m bμ=1c .t c下证不循环的位数不能小于μ。
假设ab还可以表示为 10.vam m b''=()1,,sc c v μ''< 则由定理2，11110100.,vvsa a a c cb b b '⎡⎤''-==⎢⎥'⎣⎦其中()1,10 1.b '=令1110,va a ab b ⎡⎤''=+⎢⎥⎣⎦则 110.v ab a b ''=上式右边可被55βμ=整除，而左边a 及1b '都与5互质，故510,55.v v μμ这与v μ>矛盾。
习题1. 如果今天是星期一，问从今天起再过101010天是星期几？ 解 由欧拉定理得()6101m o d 7.≡ 下求1010被6除所得的余数。
()()()10510551024223224mod 6.≡-=≡-=-=≡-≡故101064q =+，其中q 是一个正整数。
于是()()10106464442210101010103924mod 7.qq +==⋅≡≡=≡=因此，如果今天是星期一，那么从今天起再过101010天是星期五。
2. 求()28561237134+被111除的余数。
解一 因()1237150mod111≡故()5656282814147733123715025005833643411564646211646746343461016mod111.≡=≡=≡=≡=⋅≡⋅=⋅≡⋅≡()()()2828562814147733123713416345025005833643434115634461564211610770mod111.+≡+==≡≡≡≡⨯=⨯≡⨯≡⨯=解二 用模幂算法模幂算法的一个例子：求185被33除所得的余数。
解法如下。
因1829,9241,422,221,1201=⨯=⨯+=⨯=⨯=⨯+ 故()()()()()()()()()()210122122422294121218925555mod33,55525mod33,552531mod33,555315489520mod33,55204mod33.=⨯≡==≡=≡≡=⨯≡⨯=≡=≡≡ 因56228,28214,1427,7231,3211,1201,=⨯=⨯=⨯=⨯+=⨯+=⨯+故()()()()()()()()()()()()210123112273122147222814225628212371123711237150mod111,123711237112371505014mod111,123711237112371145032mod111,12371123713225mod111,12371123712570mod111,12371123717016mod111.=⨯≡=⨯≡⨯≡=⨯≡⨯≡=≡≡=≡≡=≡≡于是()()()282856281237134163450mod111.+≡+=又因()()()()()()()()()()210123112273122147222814250505050mod111,505050505014mod111,505050145032mod111,50503225mod111,50502570mod111,=⨯≡=⨯≡⨯≡=⨯≡⨯≡=≡≡=≡≡故()()2856123713470mod111.+≡3. （ⅰ）证明下列事实但不许用定里1的推论：若p 是质数，12,,,a h h h 是整数，则 ()()1212+m o d .pp p pa ah h h h h h p +++≡++（ⅱ）由（ⅰ）证明定理1的推论，然后再由定理1推论证明定理1.证明 （ⅰ）对a 数学归纳法。
当1a =时，结论显然成立。
假设结论对()11a a ->成立，下面由此证明结论对a 也成立。
由二项式定理及归纳假设得，()()()()()()()11212112122112112112112121+mod .pp p a a a ap p pa a a a a pp p p p a a a p h h h h h h h h h h p p h h h h h h h h h p h h h h h h h p --------⎛⎫+++≡+++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++++++++++ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭≡++++≡++（ⅱ）若a 为正整数，则在（ⅰ）中令121a h h h ===，得、()m o d .p a a p ≡ 若a 为负整数，令1a a =-，这里1a 为正整数，则 ()11mod .p p a a a a p =-≡-= 又因()00mod ,p p ≡故对任意整数a ，总有()m o d .p a a p ≡ 这就证明了费马定理。