必修五人教版数列知识点(经典)

数列概念与等差数列1. 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列．注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列；⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现．2. 数列的项数列中的每一个数都叫做这个数列的项．各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，,，第n项，,．3. 数列的一般形式，或简记为，其中是数列的第n项下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？如：项↓↓↓↓↓序号 1 2 3 4 5这个数的第一项与这一项的序号可用一个公式：来表示其对应关系即：只要依次用1，2，3,代替公式中的n，就可以求出该数列相应的各项，结合上述其他例子，练习找其对应关系4. 数列的通项公式如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式．注意：⑴并不是所有数列都能写出其通项公式；⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，,它的通项公式可以是，也可以是．⑶数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项．数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第n项，又是这个数列中所有各项的一般表示．通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系，给了数列的通项公式，这个数列便确定了，代入项数就可求出数列的每一项．15. 数列与函数的关系数列可以看成以正整数集N*（或它的有限子集{1，2，3，,，n}）为定义域的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．反过来，对于函数y=f(x)，如果f(i)（i=1、2、3、4,）有意义，那么我们可以得到一个数列f(1)、f(2)、f(3)、f(4),，f(n)，,6. 数列的分类1）根据数列项数的多少分：有穷数列：项数有限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6．是有穷数列无穷数列：项数无限的数列．例如数列1，2，3，4，5，6,是无穷数列递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项），且任一项与它的前一项（或前n项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式递推公式也是给出数列的一种方法．2）类比函数的单调性数列可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．数列的单调性可通过函数的单调性获得，还可以考察相邻项的大小，即的符号．学习中注意与函数的联系与差别．7. 等差数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示）．⑴公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求；⑵对于数列{ }，若－=d (与n无关的数或字母)，n≥2，n∈N ，则此数列是等差数列，d为公差．8. 等差数列的通项公式【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得．若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：即：即：,,由此归纳等差数列的通项公式可得：2∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项由上述关系还可得：即：则：=即等差数列的第二通项公式∴d=①公式特征（通式）等差数列的通项公式是关于的一次（或零次）多项式，一次项系数为公差②几何意义点共线（直线的斜率为）变形：．当时，增；当时，减；当时，常数列注：等差数列公差d的不同表示方法：①d= －②d= ③d= ．3、等差数列性质：①（通项公式的推广）②若，则特别地，③若项数（下标）成等差，则对应项也成等差④若，成等差，则也成等差9. 等差数列前n项和公式（1）运用倒序相加的方法推导公式（1）又（2）由（1）+（2）得：3，将代入得：．（2）运用通项公式和求和公式，准确计算：在中，熟练运用方程思想, “知三求二” ．（3）应用二次函数的性质研究等差数列的前n项和问题．（4）会处理已知求的一般性问题．本周典型例题：一、数列概念1. 根据数列前4项，写出它的通项公式：（1）1，－1，1，－1，1，－1 ；（2）1，4，7，10，13，16（3）；（4）（5）1，0，1，0，1，0 ；（6）0，．分析：[1]求通项公式即找出与间的函数关系；[2] 归纳法：从特殊到一般；[3] 联想学过的基本数列．解：（1）1 2 3 4 56：1 －11－11－1 ；（2） 1 2 3 4 56： 1 4 7 101316 ．（3）[法1] 先看分母，再看分子，联想常用数列，符号单独处理．1 23 45的分母：9 25 49 81121的分子：8 24 4880120 或；得到通项公式为；[法2]先不看符号，把每一项拆开，拆为两数的差，找出规律．（略）基本方法：[1] 分子分母可分别看；[2]系数单独处理；[3] 因式分解；[4] 常用数列．4注意：将（3）发展：①分母的因式变为不同因式；②分子与分母不相关；（4） 1 2 3 45的分母： 1 3 92781 ，的分子：通项公式为：．（5） 1 2 3 45：1 ．另解：，类似于函数的分段表达式．发展为：1，3，1，3，1，3 ；发展为：．（6） 1 2 3 4 56的分母： 1 2 4 8 1632的分子：0 5 8 17 2437分段表达：．点评：每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求．2. 数列中，已知，（1）写出，，；（2）是否是数列中的项？若是，是第几项？解析：（1）∵，∴，5，；（2）令，解方程得，∵，∴，即为该数列的第15项．点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属．二、数列的递推公式3. 如图，一粒子在区域上运动，在第一秒内它从原点运动到点，接着按图中箭头所示方向在x轴、y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度．（1）设粒子从原点到达点时，所经过的时间分别为，试写出的通项公式；（2）求粒子从原点运动到点时所需的时间；（3）粒子从原点开始运动，求经过2004秒后，它所处的坐标．解析：（1）由图形可设，当粒子从原点到达时，明显有6, ,∴＝，．，．，，即．（2）有图形知，粒子从原点运动到点时所需的时间是到达点所经过得时间再加（44－16）＝28 秒，所以秒．（3）由2004，解得，取最大得n=44，经计算，得＝1980<2004，从而粒子从原点开始运动，经过1980秒后到达点，再向左运行24秒所到达的点的坐标为（20，44）．点评：从起始项入手，逐步展开解题思维．由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所在．4．（1）已知数列适合：，，写出前五项并写出其通项公式；（2）用上面的数列，通过等式构造新数列，写出，并写出的前 5 项．7解：（1），，，，，,,，；（2），，，，，．点评：会根据数列的前几项写出数列的一个通项公式，了解递推公式是给出数列的又一种重要方法，能根据递推公式写出数列的前几项．三、数列的单调性和最值5．已知数列的通项公式是，判断此数列是递增、递减还是摆动数列？发展：试分析这个数列有没有最大项？如果有，求出这个最大项．答案：当时，是递增数列；当时，，当时，是递减数列．6．（1）数列的通项公式为，若数列是递增的，则实数的取值范围是．（2）数列的通项公式为，则取到最大值时，．解：（1）（2）当时，且单调递增，8当时，，，则当时，取到最大值为．点评：数列去最大值问题，借鉴函数思想，判断变化趋势（结合单调性）．四、等差数列的概念、通项公式及性质7．（1）等差数列中，若，求的值；（2）．（3）等差数列中，，公差，若前6项均为正数，第7项起为负数求其公差分析（1）基本思想：化简！下标和性质；（也可以回归到关于的方程）．解：（1）180；（2）33（3），，8．为等差数列，且，求．一般地，为等差数列，且，求．解：（法1）设首项为，公差为．由已知：（法2）由性质1入手解决．；（法3）（看作的一次函数，利用三点共线求出．）（法4）99.设S n是数列{a n}的前n项和，且S=n2，则{a n}是（）nA．等比数列，但不是等差数列B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列D．既非等比数列又非等差数列答案：B；解法一：a n=∴a n=2 n－1（n∈N）又a n+1－a n=2为常数，≠常数∴{ a n } 是等差数列，但不是等比数列．解法二：如果一个数列的和是一个常数项为零的关于n的二次函数，则这个数列一定是等差数列．点评：本题主要考查等差数列、等比数列的概念和基本知识，以及灵活运用递推式a n=S n －S n－1的推理能力．但不要忽略a1，解法一紧扣定义，解法二较为灵活．10.在数列中，，．设．证明：数列是等差数列；证明：（法1），又，则对于都成立，则数列是等差数列．（法2）．11.数列中，，，又数列为等差数列，则．解析：12．设是公差为正数的等差数列，若，，则（）A．B．C．D．10解析：，，将代入，得，从而．选B．点评：应用等差数列的通项公式将因式转化为只含首项和公差的式子，变元减少，因式就容易处理了．13．已知数列为等差数列，且（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）证明解析：（1）（I）解：设等差数列的公差为d．由即d=1．所以即（II）证明因为，所以点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律．五、等差数列的性质及变形公式14．（1）设｛a n｝（n∈N*）是等差数列，S n是其前n 项的和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7＝0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值（2）等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）11A ．130B ．170C ．210D ．260解析：（ 1）答案： C ；由S 5<S 6得a 1+a 2+a 3+, +a 5<a 1+a 2+, +a 5+a 6，∴a 6>0，又S 6=S 7，∴a 1+a 2+,+a 6=a 1+a 2+,+a 6 +a 7，∴a 7=0，由S 7>S 8，得a 8<0，而C 选项S 9>S 5，即a 6+a 7+a 8+a 9>0 2（a 7+a 8）>0，由题设 a 7=0， a 8<0，显然 C 选项是错误的．（2）答案： C解法一：由题意得方程组，视m 为已知数，解得，∴项之和为 b 3，．解法二：设前m 项的和为b 1，第m+1到2m 项之和为b 2， 第 2m+1 到3m则 b 1，b 2， b 3也成等差数列．于是 b 1=30， b 2=100－ 30=70，公差 d=70－ 30=40． ∴b 3 =b 2+d=70+40=110∴前 3m 项之和 S 3m =b 1+b 2+b 3=210．解法三：取 m=1，则a 1=S 1=30，a 2=S 2－S 1=70，从而d=a 2－a 1=40． 于是a 3=a 2+d=70+40=110．∴S 3=a 1+a 2+a 3=210．点评：本题考查等差数列的基本知识， 及灵活运用等差数列解决问题的能力， 解法二中是利用构造新数列研究问题， 等比数列也有类似性质． 解法三中，从题给选择支获得的信息可知，对任意变化的自然数m ，题给数列前 3m 项的和是与m 无关的不变量，在含有某种变化过程的数学问题，利用不变量的思想求解，立竿见影．六、等差数列的前n 项和公式15．（1）若一个等差数列前3项的和为 34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有（） A ．13项B ．12项C ．11项D ．10 项（2）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为 12，前三项的积为48，则它的首项是 （ ）A ．1B ．2C ．4D ．6（3）设S n 是等差数列｛ a n ｝的前n 项和，若＝ ，则 ＝（ ）12A．B．C．D．解析：（1）答案： A设这个数列有n项∵∴∴n＝13（2）答案：B前三项和为12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝＝4a1·a2·a3＝48，∵a2＝4，∴a1·a3＝12，a1＋a3＝8，把a1，a3作为方程的两根且a1＜a3，∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴ a1＝2，a3＝6，∴选B．（3）答案为A．点评：本题考查了数列等差数列的前n项和公式的运用和考生分析问题、解决问题的能力．16．设｛a n｝为等差数列，S n为数列｛a n｝的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，T n为数列｛｝的前n项和，求T n．解析：设等差数列｛a n｝的公差为d，则S n=na1＋n（n－1）d．∴S7＝7，S15＝75，∴即解得a1＝－2，d＝1．∴＝a1＋（n－1）d＝－2＋（n－1）．∵，∴数列｛｝是等差数列，其首项为－2，公差为，13∴T n＝n．n2－14等比数列及其前n项和1.定义：（“比”蕴含：，进而）2.几何意义及与函数的联系：对正项等比数列，位于一条指数型曲线上。