连续小波变换

小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸 缩，当a逐渐增大时，基函数的时间窗口也 逐渐增大，而其对应的频域窗口逐渐减小； 反之亦然。
Haar小波
1
(t)
1
0
0 t 1/2 1/2 t 1
其它
1 (t)
01
1
2
1
ˆ () i 4 ei/2 sin2 / 4
定量分析-时域
➢ 假定小波母函数窗口宽度为△t，窗
表征的是在 位置处，时间段at 上包含在中心频率为0 、带宽为
a
a
频窗内的频率分量大小。随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率0 、
a
窗口宽度 也发生变化。
a
STFT：窗口固定不变（即不随 的变化而变化）。 二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。低 频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。
WTx (a, ) ，且 y1(t) 的 CWT 为WTy (a, ) ，则 z(t) k1x1(t) k2 y1(t) 的 CWT 为
WTz (a, ) k1WTx (a, ) k2WTy (a, )
（2.12）
（2）时移不变性 设 x(t) 的 CWT 为WTx (a, ) ，则 x(t t0) 的 CWT 为WTx (a, t0 ) ，即延时后的信号的 x(t t0) 的小波系数可将原信号 x(t) 的小波系数在 轴上进行同样时移得到。
➢ 将小波母函数 (t) 进行伸缩和平移，就可 以得到函数：
a, (t)
1 (t ), a, R; a 0
aa
➢ 小波函数基，它们是由同一母函数 (t) 经伸
缩和平移后得到的一组函数序列。
伸缩和平移的含义
1.尺度伸缩 2. 时间平移
由于小波基函数在时间、频率域都具有有 限或近似有限的定义域，显然，经过伸缩 平移后的函数在时、频域仍是局部性的。
➢ （3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积
保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是
相互制约的，不可能同时得到提高。
➢
（4）品质因素
Q
0
不随尺度变化而变化。
“恒Q性质”：
假设(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； ()的中 心为0，有效宽度为D；则a,b(t)提取的是f(t)在 窗口[b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应 地从频域上说a,b()提取地是F()在窗口[0/aD/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质，因此对于小波 来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为 DtD。
2.4 几种常用的连续小波基函数与 常用信号的连续小波变换
与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即 小波函数 (t)具有多样性。但小波分析在工程应用中的一个十分重要的问题是最 优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的 结果。目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来 判定小波基的好坏，并由此选定小波基。
p3
4q22 q2 2 8q2
q0 1 2q2
1
q1
~
2
pn 2 hn , qn 2hn
h
1 2
1 8
,
1 2
,
3 4
,
1 2
,
1 8
h%
1 2
3 16
,
3 4
,5 16
,
5 2
,5 16
,
3 4
,
3 16
常用于图形学中。其中尺度函数是一 个三次B样条。
常用的基本小波
（2）称WT f a, 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处： （1） 小波基具有尺度和平移两个参数。 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺 度相平面上。
若令
1
a 2
t
a
a,
(t)
g(t
)e
jt
则 CWT 可视作 STFT。
CWT：任意函数在某一尺度a 、平移点 上的小波变换系数，实质上
4. Morlet小波
(t) et2 / e2 i0t
ˆ () 2 e(0)2 /2
Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑.
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
t2 1 2 2 e 2 1/ 4
t g t eit
1, 5
Gabor 小波
Morlet小波
口中心为t0，则相应可求出连续小波
a, (t)
1 (t )
aa
的窗口中心为at0+τ，窗
口宽度为a·△t。
即信号限制在时间窗内：[at0+τ△t ·a/2, at0+τ+△t ·a/2]
定量分析-频域
➢ 同样，对于小波母函数的频域变换，其频域 窗口中心为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的 连续小波的傅立叶变换为：
da 0 a2
WTx (a, ) a, (t)d
1 C
0
da a2
WTx
(a,
)a
1
2
t
a
d
其中 C
0
(a) 2 da
a
，对 (t) 提出的容许条件。
（2.20）
2.3.2 重建核方程（再生核方程）
尺度及位移均连续变化的连续小波基是一种过度完全基，再生核公式
（2.11）描述了连续半平面(a, ) （其中 a 0 ）上的两个不同点(a, ) 和(a, ) 之
式（2.22）称为重建核方程。
（2.22）
由重建核方程可知： （1） 任意一个随机信号，其连续小波变换系数在小波相平面上都有一
定的相关关系。这说明连续小波变换是一种冗余度很高的基。 （2） 由重建核方程可知，任意函数的小波变换系数在 a 域都必须满足
重建核方程。因此，并不是a 域的任意函数F(a, ) 都可看作是某一 函数 f (t) 的小波变换系数WT f (a, ) 。
2.3 连续小波变换的逆变换
2.3.1 连续小波变换的逆变换（ICWT）
任何变换都必须存在逆变换（反变换）才有实际意义。对小波变换而言，
我们可证明，若采用的小波满足可容许性条件（公式 2.1），则其逆变换存在。
即根据信号的小波变换系数可以精确的恢复原信号，并满足下述连续小波变
换的逆变换公式：
x(t) 1 C
间的 CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指
由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其
结构取决于小波选取。
2.2.2 连续小波变换的一些性质
连续小波变换是一种线性变换，它具有以下几方面的性质：
（1）叠加性
设 x1(t), y1(t) L2 (R) 空间， k1,k2 为任意常数，且 x1(t) 的 CWT 为
WTx1 (a, ) x1(t), a, (t) WTx2 (a, ) x2 (t), a, (t)
则有 Moyal 定理：
其中
WTx1 (a, ),WTx2 (a, ) C x1(t), x2 (t)
（2.14）
() 2
C
0
d
当 x1(t) x2(t) x(t) 时，由 Moyal 公式可推出：
间的 CWT 系数的相关关系。由于任意信号小波变换的值在(a, )(a R, R) 半
平面上是相关的，因此某一点(a0, 0 ) 处的小波变换值WTx (a0,0) 可以表示成半平
面上其他各处小波变换系数的总贡献，即
WTx (a0,0)
da 0 a2
WTx (a, )K (a0,0;a, )d
（3）尺度转换（伸缩共变性）
设
x(t)
的
CWT
为WTx
(a,
)
，则
x( t
)
的
CWT
为
WTx
(
a
,
),
0
（2.13）
此性质表明，当信号在时域作某一倍数的伸缩时，其小波变换在a, 轴上也作同
一倍数的伸缩，形状不变。
（4）内积定理 设 x1(t), x2 (t) L2 (R) 空间，它们的 CWT 分别为WTx1 (a, ) ，WTx2 (a, ) ， 即
常用的基本小波
5. 高斯小波 t 1 tet2 /2
2
ˆ ie2 /2
(t)
ˆ ()
这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。
a
➢ 可见：连续小波基函数的窗口面积不随参
数的变化而变化。
几点结论：
➢ （1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信 号。
➢ （2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω（或a）的变化而变化。 与短时傅立叶变换中的基 g, (t) g(t )e jt 不同。
举例说明。
信号 f (t) sin(2 500t) sin(2 1000t) 1.5 (t 165) 1.5 (t 207) ，在不同时窗
下的 STFT 和 CWT 的展开系数图，如图 2.1 所示。
时域波形 2
1
0
-1
-2
0
0.005 0.01
STFT大 时 窗
0.015 0.02 0.025 STFT中 时 窗
Leabharlann Baidu
0.03 0.035 0.04 STFT小 时 窗
4000
400
400
Frequency Frequency Frequency
2000
200
200
0
0
0.01
Time
0 0 0.05 0.1 0.15 Time
0 0 0.05 0.1 0.15 Time
与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-1
0
1
2
3
D6尺度函数与小波
常用的基本小波
3、双正交小波
双正交B样条小波（5-3）、 （9-7）小波滤波器 bior2.2, bior4.4
（7-5）小波滤波器:
p0
4q2 8q2
3 2
p1
4q22 5q2 1 8q2 2
p2
4q2 16q2
1 4
(t)和(t)
但在众多小波基函数(也称核函数)的家族中，有一些小波函数被实践证明是非常 有用的。我们可以通过 waveinfo 函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小 波函数 和尺度函数 可以通过 wavefun 函数计算，滤波器可以通过 wfilters 函 数产生。在本节中，我们主要介绍一下 MATLAB 中常用到的小波函数。
da
0a
WTx
(a,
)
2d
C
x(t) 2dt
（2.19）
由于小波变换幅度平方的积分同信号的能量成正比，我们又称式（2.14）为
能量关系。
（5）自相关性：对应不同尺度参数 a 和不同平移参数 b 的连续小波变换之间是 自相关的。 （6）冗余性：连续小波变换把一维信号变换到二维空间，因此在连续小波变换 中存在信息表述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公式不是唯一的。
正交的过度完全基。这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用 K (a, ;a, ) 描述两个基函数 a, (t) 和 a, (t) 的相关度的大小，则
K (a, ;a, ) C1
R
a,
(t
)
a,
(t)dt
（2.11）
K 表征了连续尺度、时移半平面(a, ) (由于 a 0 所以称半平面)的两个不同点之
第二章 连续小波变换
2.1连续小波基函数
➢ 小波，即小区域的波，是一种特殊的长度 有限、平均值为零的波形。
➢ 小波的可容许条件：
^
C
| () |2 R | |
小波特点：
➢ （一）“小”。即在时域都具有紧 支集或近似紧支集。
➢ （二）正负交替的“波动性”。即 直流分量为零。
➢ 信号可分解为一系列由同一个母小 波函数经平移与尺度伸缩得到的小 波函数的叠加。
a,
()
a
1 2
e
j
(a)
➢ ➢
其频域窗口中心为： a, 窗口宽度为： 1
1 a
0
a
➢
信号在频域窗内：[
1 a
0
1 2a
,
1 a
0
1 2a
]
➢ 从上面的时频域的讨论可见，连续小波的
时频域窗口中心及其宽度都随a的变化而伸
缩，如果我们称△t·△ ω为窗口函数的窗口
面积，则：
ta,
a,
a t 1
2.2 连续小波变换的概念与性质
2.2. l 连续小波变换的概念
将任意 L2 (R) 空间中的函数 f (t) 在小波基下进行展开，称这种展开
为函数 f (t) 的连续小波变换（CWT），其表达式为
WTf a,
f (t), a, (t)
a1/ 2 f (t) t dt
R
a
（2.9）
由 CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处： （1） 一种积分变换。
常用的基本小波
1. Haar小波
1
(t)
1
0
0 t 1/2 1/2 t 1
其它
1 (t)
01
1
2
1
ˆ () i 4 ei/2 sin2 / 4
常用的基本小波
2. Daubechies小波
D4尺度函数与小波
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
5
2
1.5