连续小波变换
第二章-连续小波变换
2.2 连续小波变换的概念与性质2.2. l 连续小波变换的概念将任意)(2R L 空间中的函数)(t f 在小波基下进行展开，称这种展开为函数)(t f 的连续小波变换（CWT ），其表达式为 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-==-R 2/1,d )()(),(,t a t t f a t t f a WT a f τψψττ （2.9）由CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处：（1） 一种积分变换。
（2） 称()τ,a WT f 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处：（1） 小波基具有尺度和平移两个参数。
（2） 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺度相平面上。
由于小波基本身所具有的特点，将函数投影到小波变换域后，有利于提取函数的某些本质特征。
从时频分析角度来看，小波变换具有如下特点：若令tj a e t g t a t a ωττψτψ)()(,21-==⎪⎭⎫ ⎝⎛--则CWT 可视作STFT 。
CWT ：任意函数在某一尺度a 、平移点τ上的小波变换系数，实质上表征的是在τ位置处，时间段t a ∆上包含在中心频率为a0ω、带宽为aω∆频窗内的频率分量大小。
随着尺度a 的变化，对应窗口中心频率a0ω、窗口宽度aω∆也发生变化（根据式（2.6），（2.7））。
STFT ：窗口固定不变（即不随ω的变化而变化）。
二者不同之处：CWT 是一种变分辨率的时频联合分析方法。
低频（大尺度），对应大时窗；高频（小尺度），对应小时窗。
举例说明。
信号)207(5.1)165(5.1)10002sin()5002sin()(-+-+⨯+⨯=t t t t t f δδππ，在不同时窗下的STFT 和CWT 的展开系数图，如图2.1所示。
与傅里叶基不同，尺度和位移均连续变化的连续小波基函数形成了一组非正交的过度完全基。
这意味着其任意函数的小波展开系数之间有一个相关关系。
若用),;,(ττψ''a a K 描述两个基函数)(,t a τψ和)(,t a τψ''的相关度的大小，则dt t t C a a K a Ra )()(),;,(,,1ττψψψψττ''-⎰⋅='' （2.11）ψK 表征了连续尺度、时移半平面),(τa (由于0>a 所以称半平面)的两个不同点之间的CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其结构取决于小波选取。
连续小波变换的概念
连续小波变换的概念swt,cwt,dwt1。
连续小波的概念。
就是把一个可以称作小波的函数（从负无穷到正无穷积分为零）在某个尺度下与待处理信号卷积。
改变小波函数的尺度，也就改变了滤波器的带通范围，相应每一尺度下的小波系数也就反映了对应通带的信息。
本质上，连续小波也就是一组可控制通带范围的多尺度滤波器。
2。
连续小波是尺度可连续取值的小波，里面的a一般取整数，而不像二进小波a取2的整数幂。
从连续小波到二进小波再到正交离散小波，其实就是a、b都连续，a不连续、b连续，a、b都不连续的过程。
操作他们的快速算法也就是卷积(快速傅里叶)，多孔(a trous)，MALLAT。
在MATLAB里，也就是CWT，SWT，DWT。
SWT称平稳小波变换、二进小波变换、或者非抽取小波变换。
3。
从冗余性上：CWT>SWT>DWT，前面两个都冗余，后面的离散小波变换不冗余。
4。
从应用上：CWT适合相似性检测、奇异性分析；SWT适合消噪，模极大值分析；DWT适合压缩。
5。
操作。
就是在某个尺度上得到小波的离散值和原信号卷积，再改变尺度重新得到小波的离散值和原信号卷积。
每一个尺度得到一个行向量存储这个尺度下的小波系数，多个尺度就是一个矩阵，这个矩阵就是我们要显示的时间-尺度图。
6。
显示。
“不要认为工程很简单”。
我的一个老师说过的话。
小波系数的显示还是有技巧的。
很多人画出的图形“一片乌黑”就是个例子。
第一步，一般将所有尺度下的小波系数取模；第二步，将每个尺度下的小波系数范围作映射，映射到你指定MAP的范围，比如如果是GRAY，你就映射到0-255；第三步，用IMAGE命令画图；第四步，设置时间和尺度坐标。
MATLAB是个很专业的软件，它把这些做的很好，但也就使我们懒惰和糊涂，我是个好奇心重的人就研究了下。
里面有个巧妙的函数把我说的(1,2)两个步骤封装在了一起，就是WCODEMAT，有兴趣的同学可以看看。
希望大家深入研究小波。
第三章连续小波变换和离散小波变换解读
R (t t0 )2 | (t) |2dt
= [ ]
1 || ˆ || 2
R ( 0 )2 |ˆ () |2d
1 2
则 a,b (t) 的窗口中心为 ta,b=at0+b，宽度为 ta,b=a t，ˆa,b () 的
窗口中心为
a,b=
1 a
0
，宽度为 a,b
1 da
f(t)= C 0 a2 WT f (a,b) a,b (t)db
小波分析中的尺度参数的倒数类似于地图上的比例尺。 我国的地形图比例尺有八种（即八种基本比例尺）：1:5000 ，1:10000，1:25000，1:50000，1:100000，1:250000 ，1:500000，1:1000000。其中比例尺大于 1:10000 的 是大比例尺（一般小于 1:500），比例尺在 1:25000 和 1:100000 之间的是中比例尺，比例尺小于 1:250000 的 是小比例尺（一般小于 1:100 万）。
则 称 ψ 为 一 个 基 本 小 波 或 小 波 母 函 数 (mother
wavelet)。以上条件称为允许性条件，常数 C 称为允许
性常数。
小波这个词中的“小”指的是该函数是有限宽度的，它 们在时域都具有紧支集或近似紧支集。原则上，任何满足允 许性条件的函数都可以作为小波母函数，但实际上常选取时 域具有紧支集或近似紧支集（具有时域局部性）的具有正则 性（具有频域局部性）的函数作为小波母函数，以使小波母 函数在时—频两域都有较好的局部性。“波”指的是该函数 是振荡的，图像具有正负交替的波动性。因为
=
1 a
。
注：作为一种数学变换，伸缩变换用于膨胀或紧缩一个信号 。大尺度因子对应于信号的膨胀，而小尺度因子对应于信号 的紧缩。
小波分析连续小波变换
小波分析连续小波变换小波分析是一种用于信号处理和数据分析的强大工具，可以在时频域上对信号进行局部化分析。
连续小波变换是小波分析的一种常用方法，它将信号分解成不同频率和尺度的小波成分，从而揭示出信号的时间和频率特征。
在本文中，我们将介绍连续小波变换的原理、方法和应用，并对其进行详细分析。
连续小波变换的原理可以用数学公式表示为：CWT(a,b) = \int f(t)\psi_{a,b}(t)dt\]其中，\(CWT(a,b)\)表示连续小波变换的系数，\(f(t)\)表示原始信号，\(\psi_{a,b}(t)\)表示小波基函数。
小波基函数可以由母小波函数进行缩放和平移得到，其中缩放因子\(a\)控制小波的频率，平移因子\(b\)控制小波的相位。
连续小波变换有许多不同的小波基函数可供选择，常用的有Morlet 小波、Haar小波、Daubechies小波等。
每种小波基函数都有自己的频率和尺度特性，适用于不同类型的信号分析。
连续小波变换方法的基本步骤如下：1.选择合适的小波基函数和尺度范围。
2.将原始信号进行滤波和下采样，得到不同尺度的近似信号。
3.将原始信号与小波基函数进行卷积，得到不同频率和尺度的细节信号。
4.重复步骤2和步骤3，直到得到满足要求的小波系数。
连续小波变换的应用十分广泛，包括信号分析、图像处理、模式识别等领域。
下面我们将以信号分析为例，详细介绍连续小波变换的应用。
在信号分析中，连续小波变换可以用来检测信号中的瞬时特征、变化点和周期变化。
通过对信号进行小波变换，可以得到不同尺度的频谱信息，从而揭示出信号的时频特征。
例如，在生物医学信号分析中，连续小波变换可以用来检测心电图中的心跳和呼吸节律，从而帮助医生对心脏和呼吸系统的功能进行评估和诊断。
同时，连续小波变换还可以用于脑电图分析、肌电图分析等领域。
在工程领域，连续小波变换也有重要的应用。
例如，在机械故障诊断中，连续小波变换可以用来分析振动信号，从而检测机械设备中的故障和异常。
cwt函数
cwt函数CWT（连续小波变换）是一种在时间及频域中同时进行的信号分析方法。
在CWT函数中，使用小波函数来分析非平稳信号，因为在满足时域上的局部化和频域变化分辨率的要求时，小波函数可以使整个分析过程更加简单和准确。
以下是有关CWT函数的详细介绍。
CWT是一种使用连续小波来分解非平稳信号的数学工具，通过对信号进行小波变换，将时间域和频率域的信息融合在一起。
常见的小波函数包括Morlet小波、Mexican Hat小波、Haar小波等，每个小波函数都有其独特的性质，可以用于不同类型的信号分析。
CWT函数的定义：cwt(signal,scales,wavelet)其中，signal表示输入的时域信号；scales表示尺度，即小波函数的压缩/扩张倍数。
尺度越小，小波函数的频率越高，分辨率越高；尺度越大，小波函数的频率越低，分辨率越低。
wavelet表示所使用的小波函数，在Python的CWT库中有多种小波函数供选择。
CWT函数的基本用法：1. 导入CWT库：from scipy import signal2. 生成信号：import numpy as npt = np.linspace(-1, 1, 200, endpoint=False) signal = np.cos(2 * np.pi * 7 * t) +signal.gausspulse(t - 0.4, fc=2) # 生成的信号包括了一个频率为7的余弦波和一个高斯脉冲信号3. 进行小波变换：import matplotlib.pyplot as pltwidths = np.arange(1, 31) cwtmatr =signal.cwt(signal, signal.ricker, widths) # 在这个例子中，使用了Ricker小波函数4. 显示结果：plt.imshow(cwtmatr, extent=[-1, 1, 1, 31], cmap='PRGn', aspect='auto',vmax=abs(cwtmatr).max(), vmin=-abs(cwtmatr).max()) # 将显示的结果限制在[-abs(cwtmatr).max(),abs(cwtmatr).max()]的范围内plt.colorbar() plt.show()CWT函数的参数1. signal: 一维数组，长度为N。
离散小波变换和连续小波变换的区别
离散小波变换和连续小波变换的区别下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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连续小波变换定义式
连续小波变换定义式连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种特殊的信号处理技术，用于在时间和频率域中分析信号。
它通过将信号与一组母小波进行卷积运算来捕捉信号在不同频率上的变化情况。
本文将详细介绍连续小波变换的定义式和其中的基本理论。
1. 连续小波变换的基本概念连续小波变换通过使用不同尺度的小波函数对信号进行分析，以便能够有效地捕捉到不同频率成分的变化情况。
在连续小波变换中，我们需要选取合适的小波函数作为基函数来进行卷积运算。
常用的小波函数包括Morlet小波函数、Haar小波函数、Daubechies小波函数等。
这些小波函数都具有一定的局部化特性，可以在时域和频域上实现信号的局部分析。
2. 连续小波变换的计算方法连续小波变换的定义式如下所示：$$ C(a, b) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x(t) \\frac{1}{\\sqrt{a}}\\psi^*\\left(\\frac{t-b}{a}\\right) dt $$其中，x(t)是原始信号，C(a,b)是连续小波系数，a和b分别表示尺度和平移参数。
$\\psi(t)$为小波函数，∗表示复共轭。
在计算连续小波变换时，我们需要将信号与不同尺度尺度和平移参数的小波函数进行卷积运算，并对结果进行积分。
这样可以得到一组连续小波系数，用来描述信号在不同频率上的变化情况。
3. 连续小波变换的性质连续小波变换具有许多重要的性质，下面介绍其中几个常用的性质：3.1 平移不变性连续小波变换具有平移不变性，即对信号进行平移操作后，其连续小波系数也相应地进行平移。
$$ C(a, b) = \\int_{-\\infty}^{\\infty} x(t-t_0) \\frac{1}{\\sqrt{a}}\\psi^*\\left(\\frac{t-t_0-b}{a}\\right) dt $$3.2 尺度伸缩性连续小波变换具有尺度伸缩性，即改变小波函数的尺度参数a，可以得到不同频率范围内的连续小波系数。
连续小波变换和梅尔倒谱系数
连续小波变换和梅尔倒谱系数连续小波变换和梅尔倒谱系数随着科技的不断发展，信号处理作为一门实用的学科越来越受到人们的关注。
在信号处理中，频谱分析是非常重要的一环，而在频谱分析中，连续小波变换和梅尔倒谱系数是两个非常常见的概念。
在本文中，我们将深入了解这两个概念和它们的应用。
一、连续小波变换1.1 原理连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种基于小波（Wavelet）理论的信号分析方法，它可以在时间和频率上同时对信号进行分析。
在CWT中，小波和原信号进行卷积，并通过平移和缩放小波，来分析原信号的局部频谱。
CWT具有多分辨率的特性，使得信号在时间和频率上的信息都可以得到准确的分析。
1.2 应用CWT广泛应用于信号处理、图像处理、生物医学工程等领域中。
其中在语音信号处理中，CWT被用于寻找语音信号的关键时刻。
二、梅尔倒谱系数2.1 原理梅尔倒谱系数（Mel-Frequency Cepstral Coefficients，MFCC）是一种将频率变换为人耳可以感知的方式，并用于语音识别的技术。
在MFCC算法中，将人类听觉感知到的声音频率划分成若干个区间，每个区间对应不同的滤波器。
在频域上，将滤波器输出结果进行离散余弦变换，得到MFCC。
2.2 应用MFCC广泛应用于语音信号处理、流派识别、音乐推荐等领域中。
在语音信号处理中，MFCC被用于将语音信号进行处理和特征提取，用于语音识别。
三、连续小波变换和梅尔倒谱系数的应用3.1 语音信号分析在语音信号的分析中，CWT可以对信号的局部频率进行分析，可用于语音信号打包、压缩，使得语音数据变得更加容易传输。
而MFCC则可对语音信号进行特征提取和降维，用于语音识别。
3.2 音乐分析在音乐分析中，CWT可以用于时间和频率上的分析，可获取音乐信号的时域信息、频域信息和相位信息。
而MFCC则可用于流派识别和音乐推荐，用于比较和匹配不同音频之间的差异性。
小波变换的数学模型及其实现方法
小波变换的数学模型及其实现方法引言：小波变换作为一种信号处理方法，在多个领域中得到了广泛的应用。
它可以将信号分解成不同频率的成分，并提供了一种有效的方式来分析信号的时频特性。
本文将介绍小波变换的数学模型以及实现方法。
一、小波变换的数学模型小波变换是一种基于时间频率局部性的信号分析方法。
它使用一组基函数（小波函数）来表示信号，并通过对信号进行连续或离散的变换来获取信号的时频信息。
1.1 连续小波变换（CWT）连续小波变换使用连续的小波函数对信号进行变换。
其数学模型可以表示为：CWT(f)(a,b) = ∫f(t)ψ((t-b)/a)dt其中，f(t)为原始信号，ψ为小波函数，a和b分别表示尺度和平移参数。
通过改变尺度和平移参数，可以得到不同尺度和位置上的小波变换系数。
1.2 离散小波变换（DWT）离散小波变换是连续小波变换的离散化形式。
它使用离散的小波函数对信号进行变换，并通过多级分解和重构来获取信号的时频信息。
其数学模型可以表示为：DWT(x)(n,k) = (1/√N) * ∑x(m)h(n-2m) * W(k-m)其中，x(n)为原始信号，h(n)为低通滤波器，W(k)为小波函数，N为信号的长度。
通过多级分解，可以得到不同尺度和位置上的小波变换系数。
二、小波变换的实现方法小波变换的实现可以通过不同的算法和工具来完成。
以下将介绍两种常用的实现方法。
2.1 基于快速傅里叶变换的实现方法通过将小波函数进行傅里叶变换，可以将小波变换转化为快速傅里叶变换（FFT）的计算问题。
这种方法在计算效率上具有优势，适用于连续小波变换和离散小波变换。
2.2 基于滤波器组的实现方法通过设计一组滤波器，可以实现小波变换的离散化计算。
这种方法适用于离散小波变换，通过多级分解和重构的方式来获取小波变换系数。
结论：小波变换作为一种信号处理方法，具有较好的时频局部性，能够有效地分析信号的时频特性。
本文介绍了小波变换的数学模型及其实现方法，包括连续小波变换和离散小波变换。
第十一章--连续小波变换
尺度小时，可以观察被分析信号的细节或局部
11．2连续小波变换
连续小波变换的定义
信号 x(t ) L (R)
2
时域和频域局域化特性的分析窗（小波）函数 ( t ) 小波函数尺度伸缩与平移 CWT变换
* C W T a , ) xt () , t xt () td t x( a , () a ()
2 0
正则性 小波函数的阶原点距
CWTx (a, ) 1 1
k M * ( t)d t k t
a
x(t ) * (
t )dt a
(k ) (t )k * t )dt x ( ) ( k ! a a k 0 1 x(k ) ( ) t (t )k * ( )dt a a k 0 k !
t
a
) d t
1
t * xt ()* ( ) a a
1 * t ˆ I F T x ( ) F T ( ) a a * t * t e j t * j a u * F T ( ) ( ) d t a ( u ) ed u a () a a t a u a
常见小波函数
Morlet小波
() t e e
2 t t 0 T j
5 0
2 ˆ ( ) T e ( ) 0
T 4
1 () t Haar小波 1
2
c x ( t ) , x ( t ) W T ( a ,) , W T ( a ,) 1 2 x x 1 2
现代信号处理第6章连续小波变换
小波
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
设离散信号 是n维欧氏空间Rn上的闭集。将Rn划分成尽可能细的Δ网格，若是网格宽度N Δ为Δ的离散空间上集合X的网格计数。盒维数定义为 :
由于离散信号的最高分辩率为采样间隔Δ t，所以上式的极限是无法按其定义Δ→0求出。实际计算时一般采用近似方法，即将Δ网格视为最小网格，然后逐步放大为kΔ网格，k∈Z+，令
6.1.5 谐波小波应用
小波分形技术原理与离散信号盒维数的计算
分形的自相似仿射算子r与小波变换的伸缩因子a是作用相同，小波变换从低分辨到高分辨的过渡原则与分形过程的从总体向局部、从宏观向微观深化分析原则是一致的，小波和分形都具有自相似性，两者结合是可行的。 小波分形技术原理是应用小波包变换将机械振动信号分解到正交的、独立的频带内，然后分别计算出每个频带信号的盒维数， 用盒维数衡量小波包分解每个频带信号的复杂程度 由于一维离散信号的盒维数是介于1和2之间的一个实数，信号越复杂维数越大
谐波小波滤波能够在低频频带和高频频带内都具有足够的数据点数。
6.1.4 谐波小波滤波
6.1.4 谐波小波滤波
谐波小波实际上是一个完全理想的带通滤波器 ，可以用下面的方法定义谐波小波
其中m, n决定了谐波小波变换的尺度（j），且n = 2m，当m = 0时，n = 1。
谐波小波的光滑性，“盒形”谱特性，零相移特性以及明显的数学表达式，使得我们可构造出不同尺度下各频段序列数据点数不变、采样频率不变的算法，最终成功应用于转子轴心轨迹分析
谐波小波的定义及正交性
谐波小波的定义及正交性
实偶函数we(t)和实奇函数wo(t) , 它们的傅里叶变换分别为
谐波小波的定义及正交性
连续小波变换的定义
连续小波变换的定义连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是一种数学工具，用于在时域和频域之间转换信号。
它通过将信号与母小波进行卷积来分析信号的频率成分和时域特征。
连续小波变换在诸多领域中得到广泛应用，如信号处理、图像处理、模式识别等。
一、母小波母小波是连续小波变换中的基函数，用于分析信号的局部特征。
母小波必须满足一定的数学条件，其中最重要的是零平均性和正交性。
零平均性要求母小波的积分为零，这样可以排除信号的直流成分。
正交性要求母小波与不同尺度和平移的版本之间具有正交性，以便在不同频率和时间上分析信号。
一些常用的母小波包括Morlet小波、Haar小波以及高斯小波。
每种母小波都有其特定的频率响应和时域特性，适用于不同类型的信号分析。
二、连续小波变换的计算步骤连续小波变换可以通过以下步骤进行计算：1.选择合适的母小波函数。
根据信号的特征选择适合的母小波函数，例如需要较好的时域分辨率时可以选择Morlet小波。
2.对母小波函数进行尺度变换和平移变换。
通过缩放和平移母小波函数，生成在不同时间尺度下的小波函数。
3.将信号与小波函数进行卷积。
对信号和不同尺度下的小波函数进行卷积运算，得到连续小波系数。
4.可选的信号重建。
根据需要，可以通过反向连续小波变换将小波系数重构为原始信号。
三、连续小波变换的特点连续小波变换相比于离散小波变换具有以下特点：1.连续性：连续小波变换可以在时间域上连续地变换信号，不需要进行离散化处理。
这使得连续小波变换对信号的时域特征更加敏感。
2.尺度可调性：连续小波变换可以通过改变母小波的尺度来分析不同频率成分的信号。
不同尺度的小波函数可以捕捉信号在不同频率范围内的变化。
3.多分辨率分析：连续小波变换可以提供多个尺度下的频谱信息，从而实现对信号的多尺度分析。
这有助于对信号中的局部特征进行更详细的分析和处理。
4.良好的时-频局部化特性：连续小波变换可以在时-频平面上对信号进行局部化分析，对信号的瞬时频率和局部时域特征进行更准确的刻画。
第十一章连续小波变换介绍
第十一章连续小波变换介绍
一、简介
连续小波变换(Continuous Wavelet Transform)，是一种处理时间序列信号的数学方法，由发明者Marcel Grossman和Jean Morlet于1986年提出。
它是理想小波变换的推广，也是时频分析的一种技术。
连续小波变换基于一种称为小波函数的正弦余弦函数，可以将一个时间信号分解为由不同频率和频带组成的一系列复合信号。
二、连续小波变换的基本原理
连续小波变换 (Continuous WaveletTransform,CWT)是一种将信号的时间序列变换为小波指数系数的一种变换。
它可以使用单点操作来将一个时间上连续的信号变换为时间上不连续的信号。
信号中的高频分量被窄带保留，而低频分量则被底带宽度突出发挥。
可以使用不同尺度的小波滤波器对信号进行分解和重建，确定信号各分量的能量分布。
三、连续小波变换的应用
(1)音频处理：连续小波变换可以用来处理声音信号，分析和处理噪声，增加音质，增强音量，去掉噪音，等等。
(2)运动控制：连续小波变换可以用来处理运动控制的信号，可以用来控制自动测量装置的稳定性，减少步进电机的抖动，改善舵机控制系统的表现等。
(3)数字图像处理：连续小波变换可以应用于数字图像处理方面，可以用来完成图像质量改善，图像去噪，以及实现视觉特征提取等任务。
连续小波变换公式
连续小波变换公式连续小波变换（Continuous Wavelet Transform，CWT）是信号处理中一种用于分析非平稳信号的方法。
它是由子带滤波技术发展而来, 相对于传统的傅里叶变换更适用于分析时域变化的信号。
连续小波变换公式描述了如何通过小波函数对信号进行分解和重构。
CWT(a, b) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \cdot \psi_{a,b}(t) dt\]其中，\(f(t)\) 表示输入信号，\(\psi_{a,b}(t)\) 是小波函数，\(a\) 和 \(b\) 是小波函数的尺度和平移参数。
小波函数是一种可以自适应调整尺度和平移的函数。
在连续小波变换中，小波函数的尺度参数\(a\)控制着小波函数的频率，而平移参数\(b\)控制着小波函数相对于时间轴的位置。
通过调整尺度和平移参数，可以对不同频率和时域位置的信号成分进行分析。
在连续小波变换中，小波函数通常选择为母小波（mother wavelet），它是一个能够完备描述信号的特征的函数。
常用的母小波包括Morlet小波、Haar小波、Daubechies小波等。
不同的小波函数具有不同的频率和时域分辨率特性，适用于不同类型的信号分析。
为了实现小波变换，通常采用数值方法进行离散化计算。
离散小波变换（Discrete Wavelet Transform，DWT）是连续小波变换的一种离散近似方法，通过对连续小波变换公式进行离散采样和求和来表示信号的小波变换。
DWT是一种非常高效的信号分析方法，被广泛应用于图像处理、信号压缩和模式识别等领域。
除了连续小波变换和离散小波变换，还有一种相对较新的小波变换方法，称为连续小波包变换（Continuous Wavelet Packet Transform，CWPT）。
连续小波包变换是连续小波变换的扩展，通过对小波系数进行进一步的分解，可以获得更高分辨率的小波变换结果。
小波变换课件 第6章 连续小波变换
第6章 连续小波变换6.1 小波及连续小波变换● 定义6.1 设函数12()()()t L R L R ψ∈ ，并且ˆ(0)0ψ=，既()0t dtψ+∞-∞=⎰，则称为一个基本小波或母小波。
对母小波()t ψ做伸缩平移得,()a b t b t a ψ-⎛⎫=⎪⎝⎭（6-1） 称为,()a b t ψ小波函数，简称小波。
其中0a ≠,b 、t 均为连续变量：1） a 为尺度因子，b 为平移因子。
变量a 反映了函数的宽度，b 反映了小波在t 轴上的平移位置，小波函数,()a b t ψ是基本小波函数()t ψ先b 做移位再由a 做伸缩，,a b 不断变化产生的一组函数，又称作小波基函数，或小波基。
2） 母小波的能量集中在原点，小波函数,()a b t ψ的能量集中在b 点。
3）一般，尺度因子0a >，作用是使小波()t ψ做伸缩，a 越大，()t aψ越宽，既小波的持续时间随aa 变化时保持小波,()ab t ψ的能量相等，既2,()a b t ψ2()t ψ=（保范性质）。
● 定义 6.2 设12()()()t L R L R ψ∈ ，且满足条件2ˆ()c d ψψωωω+∞-∞=<∞⎰（6-2） 则称()t ψ为允许小波，上式为允许条件。
由c ψ<+∞知，ˆ(0)0ψ=，既()0t dt ψ+∞-∞=⎰，因此允许小波一定是基本小波；反之，若()t ψ满足1()(1)(0)t c t εψε--≤+>，且ˆ(0)0ψ=，其中c 是一个常数，则式（6-2）成立。
这表明允许条件与()0t dt ψ+∞-∞=⎰几乎是等价的。
从小波的定义知，小波要求由振荡性，既包含着某些频率特征，还要求具有一定的局部性，既它在一定的区间上恒等于零或很快收敛到零。
● 设()t ψ是一个基本小波，,()b a t ψ是连续小波函数，对于()f t 2()L R ∈，其连续小波变换定义为(,)f WT ab ()*t b f t dt a ψ+∞-∞-⎛⎫=⎪⎝⎭,,a b f ψ= （6-3）其中，0a ≠,b 、t 均为连续变量，*()t ψ表示()t ψ的共轭。
连续小波变换 4个参数
连续小波变换 4个参数连续小波变换（CWT）是一种在信号处理和图像处理中常用的分析工具。
它通过将信号与一系列不同尺度的小波函数进行卷积，来获取信号在不同频率和时间尺度上的分布情况。
CWT的主要参数包括小波基函数、尺度范围、尺度步长和边界处理方式。
1. 小波基函数：小波基函数是CWT中最重要的参数之一，它决定了CWT对信号的分析能力。
常用的小波基函数有Morlet小波、Mexican Hat小波、Haar小波等。
不同的小波基函数适用于不同类型的信号。
例如，Morlet小波适用于分析具有周期性成分的信号，Mexican Hat小波适用于分析具有脉冲特性的信号。
2. 尺度范围：尺度范围是指进行CWT时所选择的小波函数尺度的范围。
尺度越大，对应的频率越低，可以捕捉到信号的低频成分；尺度越小，对应的频率越高，可以捕捉到信号的高频成分。
选择合适的尺度范围可以更全面地分析信号的频率特性。
3. 尺度步长：尺度步长是指在尺度范围内选择小波函数尺度的间隔。
较小的尺度步长可以提高分析的精度，但同时也会增加计算量。
较大的尺度步长可以减少计算量，但可能会导致分析结果的精度降低。
根据具体需求，需要权衡精度和计算效率来选择合适的尺度步长。
4. 边界处理方式：CWT对信号的边界处理方式也是一个重要的参数。
边界处理方式决定了CWT在信号两端的分析结果。
常用的边界处理方式有零填充、对称填充和周期延拓等。
选择合适的边界处理方式可以避免边界效应对分析结果的影响。
CWT的应用非常广泛。
在信号处理领域，CWT可以用于信号的时频分析，可以提取出信号的瞬态特征和频率变化特征，对于识别和分类信号非常有用。
在图像处理领域，CWT可以用于图像的纹理分析、边缘检测和目标提取等。
此外，CWT还可以用于音频处理、生物医学信号分析、地震信号处理等领域。
连续小波变换是一种强大的信号处理和图像处理工具，通过调整小波基函数、尺度范围、尺度步长和边界处理方式等参数，可以实现对信号在不同频率和时间尺度上的分析。
连续小波变换及其应用
连续小波变换及其应用连续小波变换及其应用小波变换（Wavelet Transform）是一种信号处理的重要方法，在信号处理、图像处理、模式识别等领域广泛应用。
连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）是一种连续域的小波变换方法，具有多尺度分析的特点。
本文将介绍连续小波变换的基本原理及其在各领域中的应用。
一、连续小波变换的基本原理连续小波变换是将被分析的信号与一组母小波进行卷积，得到不同尺度下的小波系数，从而实现对信号的频率分解和时频分析。
连续小波变换的基本原理是将信号通过与小波函数的卷积操作，实现对信号在时间和频率上的分析。
连续小波变换的数学表达式如下：\[ C(a,b) = \frac{1}{\sqrt{a}} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \psi\left(\frac{t-b}{a}\right)dt \]其中，\[ a \in R^{+} \]为尺度参数，\[ b \in R \]为平移参数，\[ x(t) \]为原始信号，\[ \psi(t) \]为小波函数。
连续小波变换的特点是可以同时观察信号的时域和频域信息，提供了一种更加完备的分析手段。
相较于傅里叶变换，连续小波变换具有多尺度分析的能力，可以在不同尺度上对信号进行分解，对于瞬态信号和非平稳信号具有更好的适应性。
二、连续小波变换的应用1. 信号处理领域连续小波变换在信号处理领域中有着广泛的应用。
在信号分析中，连续小波变换可以对信号的时频信息进行分析，可以用来检测信号的瞬态特征、识别信号的频率成分等。
同时，连续小波变换还可以用于信号去噪、信号压缩、信号特征提取等方面。
2. 图像处理领域连续小波变换在图像处理领域中也具有重要的应用价值。
图像是二维信号，连续小波变换可以对图像的空间域和频率域信息进行分析，可以用于图像的边缘检测、纹理分析、图像增强等方面。
同时，连续小波变换还可以实现图像的压缩和去噪等操作。
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2.3 连续小波变换的逆变换
2.3.1 连续小波变换的逆变换（ICWT）
任何变换都必须存在逆变换（反变换）才有实际意义。对小波变换而言，
我们可证明，若采用的小波满足可容许性条件（公式 2.1），则其逆变换存在。
即根据信号的小波变换系数可以精确的恢复原信号，并满足下述连续小波变
换的逆变换公式：
x(t) 1 C
a
➢ 可见：连续小波基函数的窗口面积不随参
数的变化而变化。
几点结论：
➢ （1）尺度的倒数1/a在一定意义上对应于频 率ω。即尺度越小，对应的频率越高。如果 我们将尺度理解为时间窗口的话，则小尺度 信号为短时间信号，大尺度信号为长时间信 号。
➢ （2）在任何τ值上，小波的时频窗口大小△t 和△ ω都随频率ω（或a）的变化而变化。 与短时傅立叶变换中的基 g, (t) g(t )e jt 不同。
da 0 a2
WTx (a, ) a, (t)d
1 C
0
da a2
WTx
(a,
)a
1
2
t
a
d
其中 C
0
(a) 2 da
a
，对 (t) 提出的容许条件。
（2.20）
2.3.2 重建核方程（再生核方程）
尺度及位移均连续变化的连续小波基是一种过度完全基，再生核公式
（2.11）描述了连续半平面(a, ) （其中 a 0 ）上的两个不同点(a, ) 和(a, ) 之
举例说明。
信号 f (t) sin(2 500t) sin(2 1000t) 1.5 (t 165) 1.5 (t 207) ，在不同时窗
下的 STFT 和 CWT 的展开系数图，如图 2.1 所示。
时域波形 2
1
0
-1
-2
0
0.005 0.01
STFT大 时 窗
0.015 0.02 0.025 STFT中 时 窗
2.4 几种常用的连续小波基函数与 常用信号的连续小波变换
与标准傅里叶变换相比，小波分析中所用到的小波函数具有不唯一性，即 小波函数 (t)具有多样性。但小波分析在工程应用中的一个十分重要的问题是最 优小波基的选择问题，这是因为用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的 结果。目前，主要是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来 判定小波基的好坏，并由此选定小波基。
常用的基本小波
5. 高斯小波 t 1 tet2 /2
2
ˆ ie2 /2
(t)
ˆ ()
这是高斯函数的一阶导数，在信号与图象的边缘提取中具有重要的应用。
（2）称WT f a, 为小波变换系数。
小波变换与傅里叶变换的不同之处： （1） 小波基具有尺度和平移两个参数。 函数在小波基下展开，意味着将一个时间函数投影到二维的时间—尺 度相平面上。
若令
1
a 2
t
a
a,
(t)
g(t
)e
jt
则 CWT 可视作 STFT。
CWT：任意函数在某一尺度a 、平移点 上的小波变换系数，实质上
间的 CWT 系数的相关关系。由于任意信号小波变换的值在(a, )(a R, R) 半
平面上是相关的，因此某一点(a0, 0 ) 处的小波变换值WTx (a0,0) 可以表示成半平
面上其他各处小波变换系数的总贡献，即
WTx (a0,0)
da 0 a2
WTx (a, )K (a0,0;a, )d
p3
4q22 q2 2 8q2
q0 1 2q2
1
q1
~
2
pn 2 hn , qn 2hn
h
1 2
1 8
,
1 2
,
3 4
,
1 2
,
1 8
h%
1 2
3 16
,
3 4
,5 16
,
5 2
,5 16
,
3 4
,
3 16
常用于图形学中。其中尺度函数是一 个三次B样条。
常用的基本小波
da
0a
WTx
(a,
)
2d
C
x(t) 2dt
（2.19）
由于小波变换幅度平方的积分同信号的能量成正比，我们又称式（2.14）为
能量关系。
（5）自相关性：对应不同尺度参数 a 和不同平移参数 b 的连续小波变换之间是 自相关的。 （6）冗余性：连续小波变换把一维信号变换到二维空间，因此在连续小波变换 中存在信息表述的冗余度(redundancy)。小波变换的逆变换公式不是唯一的。
➢ （3）在任何尺度a，时间点τ上，窗口面积
保持不变，也可以说时间、尺度分辨率是
相互制约的，不可能同时得到提高。
➢
（4）品质因素
Q
0
不随尺度变化而变化。
“恒Q性质”：
假设(t)的中心为t0，有效宽度为Dt； ()的中 心为0，有效宽度为D；则a,b(t)提取的是f(t)在 窗口[b+at0-aDt/2, b+at0+aDt/2]|中的性质，相应 地从频域上说a,b()提取地是F()在窗口[0/aD/(2a), 0/a+D/(2a)]中的性质，因此对于小波 来说时域窗口宽度和频域窗口宽度的乘积始终为 DtD。
➢ 将小波母函数 (t) 进行伸缩和平移，就可 以得到函数：
a, (t)
1 (t ), a, R; a 0
aa
➢ 小波函数基，它们是由同一母函数 (t) 经伸
缩和平移后得到的一组函数序列。
伸缩和平移的含义
1.尺度伸缩 2. 时间平移
由于小波基函数在时间、频率域都具有有 限或近似有限的定义域，显然，经过伸缩 平移后的函数在时、频域仍是局部性的。
4. Morlet小波
(t) et2 / e2 i0t
ˆ () 2 e(0)2 /2
Morlet小波不存在尺度函数; 快速衰减但非紧支撑.
Morlet小波是Gabor 小波的特例。
g
t
t2 1 2 2 e 2 1/ 4
t g t eit
1, 5
Gabor 小波
Morlet小波
2.2 连续小波变换的概念与性质
2.2. l 连续小波变换的概念
将任意 L2 (R) 空间中的函数 f (t) 在小波基下进行展开，称这种展开
为函数 f (t) 的连续小波变换（CWT），其表达式为
WTf a,
f (t), a, (t)
a1/ 2 f (t) t dt
R
a
（2.9）
由 CWT 定义可知，小波变换与傅里叶变换的相同之处： （1） 一种积分变换。
(t)和(t)
但在众多小波基函数(也称核函数)的家族中，有一些小波函数被实践证明是非常 有用的。我们可以通过 waveinfo 函数获得工具箱中的小波函数的主要性质，小 波函数 和尺度函数 可以通过 wavefun 函数计算，滤波器可以通过 wfilters 函 数产生。在本节中，我们主要介绍一下 MATLAB 中常用到的小波函数。
WTx (a, ) ，且 y1(t) 的 CWT 为WTy (a, ) ，则 z(t) k1x1(t) k2 y1(t) 的 CWT 为
WTz (a, ) k1WTx (a, ) k2WTy (a, )
（2.12）
（2）时移不变性 设 x(t) 的 CWT 为WTx (a, ) ，则 x(t t0) 的 CWT 为WTx (a, t0 ) ，即延时后的信号的 x(t t0) 的小波系数可将原信号 x(t) 的小波系数在 轴上进行同样时移得到。
间的 CWT 系数的相关关系，也称它为再生核或重建核（再生和重建的含义是指
由尺度—平移相平面上的已知点，根据再生核公式可再生和重构出某一点），其
结构取决于小波选取。
2.2.2 连续小波变换的一些性质
连续小波变换是一种线性变换，它具有以下几方面的性质：
（1）叠加性
设 x1(t), y1(t) L2 (R) 空间， k1,k2 为任意常数，且 x1(t) 的 CWT 为
小波基函数的窗口随尺度因子的不同而伸 缩，当a逐渐增大时，基函数的时间窗口也 逐渐增大，而其对应的频域窗口逐渐减小； 反之亦然。
Haar小波
1
(t)
1
0
0 t 1/2 1/2 t 1
其它
1 (t)
01
1
2
1
ˆ () i 4 ei/2 sin2 / 4
定量分析-时域
➢ 假定小波母函数窗口宽度为△t，窗
（3）尺度转换（伸缩共变性）
设
x(t)
的
CWT
为WTx
(a,
)
，则
x( t
)
的
CWT
为
WTx
(
a
,
),
0
（2.13）
此性质表明，当信号在时域作某一倍数的伸缩时，其小波变换在a, 轴上也作同
一倍数的伸缩，形状不变。
（4）内积定理 设 x1(t), x2 (t) L2 (R) 空间，它们的 CWT 分别为WTx1 (a, ) ，WTx2 (a, ) ， 即
口中心为t0，则相应可求出连续小波
a, (t)
1 (t )
aa
的窗口中心为at0+τ，窗
口宽度为a·△t。
即信号限制在时间窗内：[at0+τ△t ·a/2, at0+τ+△t ·a/2]
定量分析-频域
➢ 同样，对于小波母函数的频域变换，其频域 窗口中心为ω0，窗口宽度为△ ω，则相应的 连续小波的傅立叶变换为：
表征的是在 位置处，时间段at 上包含在中心频率为0 、带宽为
a