数据结构课件哈夫曼树讲解

判定树
设有10000个百分制分数要转换，设学生成绩在5个等
级以上的分布如下：
分数 0-59 60-69 70-79 80-89 90-构100造以分数的分布比例为权值
比例数0.05 0.15 0.40 0.30 0.10
的哈夫曼树
按图的判定过程:
转换一个分数所需的比较次数= 从根到对应结点的路径长度
转换10000个分数所需的
a 60 不及格 a 70
总比较次数= 10000
(0.05 1+0.15 2+0.4 3+0.3 4 +0.1 4）
二叉树的 带权路径长度
及格 a 80
中等 a 90
良好
优秀
3．哈夫曼树的构造
假设有n个权值，则构造出的哈夫曼树有n个叶子结点。 n个 权值分别设为 w1,w2,…,wn,则哈夫曼树的构造规则为：
(1) 将w1,w2,…,wn看成是有n 棵树的森林(每棵树仅有一个 结点)； (2) 在森林中选出两个根结点的权值最小的树合并，作为 一棵新树的左、右子树，且新树的根结点权值为其左、右 子树根结点权值之和；
(3)从森林中删除选取的两棵树，并将新树加入森林；
(4)重复(2)、(3)步，直到森林中只剩一棵树为止，该树即 为我们所求得的哈夫曼树。
WPL=7*3+5*3+2*1+4*2=46 7a
要使二叉树WPL 小,就须在构造
树时, 将权值大的 结点靠近根.
5b
2c
d4
WPL=7*1+5*2+2*3+4*3=35
2 应用举例
在求得某些判定问题时，利用哈夫曼树获得最佳判定算法。 例 编制一个将百分制转换成五分制的程序。
最直观的方法是利用if语句来的实现。
if ( x<60) score=’不及格’;
a 60
else if ( x<70) score=’及格’;
else if ( x<80)
不及格 a 70 及格 a 80
score=’中’; else if ( x<90)
中等 a 90
score=’良’;
良好
优秀
else
score=’优’;
二、构造哈夫曼树
1．哈夫曼树的定义
在一棵二叉树中，若带权路径长度达到最小，称这样的 二叉树为最优二叉树，也称为哈夫曼树(Huffman tree)。
例 有4个结点，权值分别为7，5，2，4，构造有4个叶子结点的二叉树
4d
a 7
n
c
WPL 2
WK LK
k 1
a
bc
d
b
7
52
4
5
WPL=7*2+5*2+2*2+4*2=36
ABACCDA 00010010101100
若将编码设计为长度不等的二进制编码，即让待传字符串中出 现次数较多的字符采用尽可能短的编码，则转换的二进制字符 串便可能减少。
设要传送的字符为：ABACCDA 若编码为： A—0
B—00 C—1 D---01
ABACCDA
但： 0000 AAAA ABA BB
给树的结点附加的这个有 着某种意义的实数，称为 该结点的权（weight）。
结点的带权路径长度为： 从根结点到该结点之间的 路径长度与该结点的权的 乘积。
A
B7
C
5
D
E3
4
F
G
1
2
3．树的带权路径长度
树的带权路径长度规定为所有叶子结点的带权路径长 n
度之和，记为wpl= wili i 1
其中n 为叶子结点数目，wi为第i 个叶子结点的权值， li 为第i 个叶子结点的路径长度。
for(i=1;i<(2*n);i++) { t[i].parent=t[i].lchild=t[i].rchild=-1;
if(i<=n) t[i].weight=w[i];
else t[i].weight=0;}
for(i=1;i<n;i++) { m1=m2=MAX;
x1=x2=0; for(j=1;j<(n+i);j++) { if((t[j].weight<m1)&&(t[j].parent==-1))
重码 000011010
构造哈夫曼树的模拟演示
下面给出哈夫曼树的构造过程，假设给定的叶子结点的 权分别为1,5,7,3，则构造哈夫曼树过程如图所示。
1
5
7
3
5
7
4
(a) 初如森林
1
3
(b) 一次合并后的森林
7
9
4
5
16
7
913来自451
3
(c) 二次合并后的森林
(d) 三合并后的森林
图 哈夫曼树的构造过程
n 个权值构造哈夫曼树需n-1次合并，每次合并，森 林中的树数目减1，最后森林中只剩下一棵树，即 为我们求得的哈夫曼树。
算法与数据结构 6. 树与二叉树
-----6.6 哈夫曼树
6.6 哈夫曼树
一、基本术语
1．路径和路径长度
A
在一棵树中，从一个结点往下
B
C
可以达到的孩子或子孙结点之
间的通路，称为路径。通路中 分支的数目称为路径长度。
D
E
若规定根结点的层数为1，则 从根结点到第L层结点的路径 长度为L-1。
F
G
2．结点的权及带权路径长度
{ m2=m1; x2=x1; m1=t[j].weight; x1=j;}
else if((t[j].weight<m2)&&(t[j].parent==-1))
{ m2=t[j].weight; x2=j; } } k=n+i; t[x1].parent=t[x2].parent=k; t[k].weight=m1+m2; t[k].lchild=x1; t[k].rchild=x2;}}
例：
W（权）={2,4,2,3,3}，叶子结点个数m=5 试设计Huffman树。
哈夫曼树的算法模拟演示
3、哈夫曼树构造程序 一棵有n个叶子结点的Huffman树有2n-1个结点 顺序存储结构—一维结构数组存储结点信息，结点类型定义为：
typedef struct { int weight;
int parent,lchild,rchild; }JD; #define MAX 100 void huffman(int n,int w[],JD t[]) { int i,j,k,x1,x2,m1,m2;
例：
W（权）={2,4,2,3,3}，叶子结点个数,m=5 试设计Huffman树。
14
6
3
3
8
4
4
22
构造的 Huffman树
三、哈夫曼树的应用(哈夫曼编码)
在远程通讯中，要将待传字符转换成由二进制组成 的字符串：
设要传送的字符为： 若编码为：A—00 (等长) B—01
C—10 D---11