专题十三 推理与证明第三十八讲 推理与证明

5 -1专题十三推理与证明2019 年第三十八讲推理与证明2019 年8.（2019 全国I 理 4）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（2≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如2此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5 -1．若某人满2足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190 cm8 解析头顶至脖子下端的长度为26cm，说明头顶到咽喉的长度小于26cm，由头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比是5-1≈ 0.618 ，226可得咽喉至肚脐的长度小于0.618≈ 42 ，由头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5-1，可得肚脐至足底的长度小242+26=110 ，0.618即有该人的身高小于110 + 68 = 178cm ，又肚脐至足底的长度大于105cm，可得头顶至肚脐的长度大于105×0.618≈65cm，即该人的身高大于65+105=170cm.综上可得身高在170cm-178cm 之间．故选B．9. （2019 全国II 理4）2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面5 -13M 2 = 3α + 3α + α ≈ α 31 软着陆，我国航天事业取得又一重大成就.实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿 着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行． L 2 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为 M １，月球质量为 M ２，地月距离为 R ，L 2 点到月球的距离为 r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M 1+M 2= (R + r ) M1 .(R + r )2r2R 3α =rα3α 3 + 3α 4 + α 5≈ α 3设，由于 R的值很小，因此在近似计算中(1+ α )2B ，则 r 的近似值为9 解析 解 法 一 （ 直 接 代 换 运 算 ） ： 由M 1+M 2= (R + r ) M1 及 α = r 可得M 1+M 2= (1+ α ) M1 ，(R + r )2r2R 3 R(1+ α )2R2r2R 2MM M[(1+ α )3 -1]M (3α + 3α 2 + α 3 )M2 = (1+ α ) 1 - 1 = 1 = 1 . r 2 R 2 (1+ α )2 R 2 (1+ α )2 R 2 (1+ α )2 R 23α 3 + 3α 4 + α 5M M 3r 3M r 3M R 3因为≈ 3α 3 ，所以 2 ≈ 1 ⋅ = 1 ，则r ≈ 2 ， r ≈ .(1+ α )2r 2 R 2 R R 33M 1故选 D.解法二（由选项结构特征入手）：因为α = r R，所以r = R α ，M 1r 满足方程：+M 2= (R + r )M 1．(R + r )2r 2 R 33 45 3 所以 M (1+ α)2，D C A，所以r = α R 故选 D .2010-2018 年一、选择题1．(2018 浙江)已知a 1 ，a 2 ，a 3 ，a 4 成等比数列，且a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = ln(a 1 + a 2 + a 3 ) ．若a 1 > 1，则A ． a 1 < a 3 ， a 2 < a 4C ． a 1 < a 3 ， a 2 > a 4B ． a 1 > a 3 ， a 2 < a 4D ． a 1 > a 3 ， a 2 > a 42．(2018 北京)设集合 A = {(x , y ) | x - y ≥1, ax + y > 4, x - ay ≤ 2}, 则A ．对任意实数a ， (2,1) ∈ AC ．当且仅当a < 0 时， (2,1) ∉ AB ．对任意实数a ， (2,1) ∉ A D ．当且仅当a ≤ 3时， (2,1) ∉ A23．（2017 新课标Ⅱ）甲、乙、丙、丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则 A ．乙可以知道四人的成绩 B ．丁可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩4．（2017 浙江）如图，已知正四面体 D - ABC （所有棱长均相等的三棱锥）， P ， Q ，R 分别为 AB ，BC ，CA 上的点，AP = PB BQ = CR= 2 ，分别记二面角 D - PR - Q ，QCRAD - PQ - R ， D - QR - P 的平面角为α ， β ， γ ，则DA CR QPBA．γ<α< βB．α< γ< βC．α< β< γD．β< γ<α 5．(2016 北京)某学校运动会的立定跳远和30 秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10 名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊.在这10 名学生中，进入立定跳远决赛的有8 人，同时进入立定跳远决赛和30 秒跳绳决赛的有6 人，则A．2 号学生进入30 秒跳绳决赛B．5 号学生进入30 秒跳绳决赛C．8 号学生进入30 秒跳绳决赛D．9 号学生进入30 秒跳绳决赛6．(2015 广东)若集合Ε= {(p, q, r, s)0 ≤p <s ≤4, 0 ≤q <s ≤4, 0 ≤r <s ≤4 ，且p, q, r, s ∈N} ，F ={(t, u, v, w)0 ≤t <u ≤4, 0 ≤v <w ≤4且t, u, v, w ∈N}，用card (Χ)表示集合Χ中的元素个数，则card (Ε)+card (F )=A．200 B．150 C．100 D．507．（2014 北京）学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”三种．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”，如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两个学生，那么这组学生最多有A．2 人B．3 人C．4 人D．5 人8．（2014 ft东）用反证法证明命题“设a,b为实数，则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是A．方程x3 +ax +b = 0 没有实根B．方程x3 +ax +b = 0 至多有一个实根C．方程x3 +ax +b = 0 至多有两个实根D．方程x3 +ax +b = 0 恰好有两个实根9．（2011 江西）观察下列各式: 55 = 3125 ，56 =15 625 ，57 = 78 125 ，⋅⋅⋅，则52011 的末四位数字为A．3125 B．5625 C．0625 D．812510．（2010 ft东）观察(x2)'=2x，(x4)'=4x3，(cos x)'=-sin x，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数f (x) 满足f (-x) =f (x) ，记g(x) 为f (x) 的导函数，则g (-x) = A．f (x) B．-f (x) C．g(x) D．-g(x)二、填空题11．(2018 江苏)已知集合A = {x | x = 2n - 1, n ∈N*} ，B = {x | x = 2n, n ∈N*} ．将A U B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{an} ．记S n 为数列{a n } 的前n 项和，则使得S n > 12an+1成立的n 的最小值为．12．（2017 北京）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i 名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i 名工人下午的工作时间和加工的零件数，i =1，2，3．①记Qi 为第i 名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_ ．②记pi 为第i 名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是．13．(2016 新课标Ⅱ)有三张卡片，分别写有1 和2，1 和3，2 和3．甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是．14．（2016 ft东）观察下列等式：(sin π)-2 + (sin2π)-2 =4⨯1⨯ 2 ；3 3 3(sin π)-2 + (sin2π)-2 + (sin3π)-2 + (sin4π)-2 =4⨯ 2 ⨯3 ；5 5 5 5 3(sin π)-2 + (sin2π)-2 + (sin3π)-2 +⋅⋅⋅+ (sin6π)-2 =4⨯ 3⨯ 4 ；7 7 7 7 3(sin π)-2 + (sin2π)-2 + (sin3π)-2 +⋅⋅⋅+ (sin8π)-2 =4⨯ 4⨯ 5 ；9 9 9 9 3……照此规律，(sinπ)-2 + (sin2π)-2 + (sin3π)-2 +⋅⋅⋅+ (sin2nπ)-2 =．2n +1 2n +1 2n +1 2n +115．（2015 陕西）观察下列等式：1－1=1 2 21－1+1-1=1+1 2 3 4 3 41－1+1-1+1-1=1+1+1 2 3 4 5 6 4 5 6……据此规律，第n 个等式可为．A 2A 4 13 35 5 5 7 7 7 7 16．（2015 ft 东）观察下列各式：C 0= 40 ；C 0 + C 1 = 41 ；C 0 + C 1 + C 2 = 42 C 0 + C 1 + C 2 + C 3 = 43……照此规律，当n ∈ N *时，C 0+ C 1+ C 2 + ⋅⋅⋅ + C n -1 = ．2n -12n -12n -12n -117．（2014 安徽）如图，在等腰直角三角形 ABC 中，斜边 BC = 2 2 ，过点 A 作 BC 的垂线，垂足为 A 1 ；过点 A 1 作 AC 的垂线，垂足为 A 2 ；过点 A 2 作 A 1C 的垂线，垂足为A 3 ；…，依此类推，设 BA = a 1 ， AA 1 = a 2 ， A 1 A 2 = a 3 ，…， A 5 A 6 = a 7 ，则a 7 = ．AB1318．(2014 福建)若集合{a , b , c , d } = {1,2,3,4}, 且下列四个关系：① a = 1 ；② b ≠ 1；③ c = 2 ；④ d ≠ 4 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a , b , c , d ) 的个数是 ．19．(2014 北京)顾客请一位工艺师把 A 、 B 两件玉石原料各制成一件工艺品，工艺师带一位徒弟完成这项任务，每件原料先由徒弟完成粗加工，再由工艺师进行精加工完成制作， 两件工艺品都完成后交付顾客，两件原料每道工序所需时间（单位：工作日）如下：工序时间原料粗加工精加工原料 A 915 原料 B621则最短交货期为个工作日．20．(2014 陕西)已知 f (x ) = x1+ x, x ≥ 0 ，若 f 1 (x ) = f (x ), fn +1 (x ) = f ( f n (x )), n ∈ N + ，则f 2014 (x ) 的表达式为．21．(2014 陕西)观察分析下表中的数据：猜想一般凸多面体中， F ，V ，E 所满足的等式是．22．(2013 陕西)观察下列等式:12 = 112 - 22 = -312 - 22 + 32 = 612 - 22 + 32 - 42 = -10…照此规律, 第n 个等式可为．23．(2013 湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数．如三角形数 1，3，6，10，…，第n 个三角形数为 n(n + 1) = 1 n 2+ 1n ．记第n 个k 边形数为 2 2 2N (n , k ) (k ≥ 3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数正方形数五边形数六边形数 N (n , 3) = 1 n 2 + 1n2 2 N (n ,4) = n 2N (n ,5) = 3 n 2 - 1n2 2 N (n , 6) = 2n 2 - n……可以推测 N (n , k )的表达式，由此计算 N (10, 24) = ．24．(2012 陕西)观察下列不等式1 21+ 1 < 3 22 2 1+ 1 + 1 < 5 ，22 33 31 1 1 7 1 + + + < ，22 32 42 4……照此规律，第．五．个．不等式为 ．25．(2012 湖南)设 N = 2n (n ∈ N *, n …2) ，将 N 个数 x , x ,⋅⋅⋅, x 依次放入编号为 1,2，…，N 的 N 个位置，得到排列 P 0 = x 1 x 2 ⋅⋅⋅ x N ．将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数N N 取 出 ， 并 按 原 顺 序 依 次 放 入 对 应 的 前和后22个 位 置 ， 得 到 排 列P = x x ⋅⋅⋅ x x x ⋅⋅⋅ x ，将此操作称为 C 变换，将 P 分成两段，每段 N个数，并 1 1 3 N -1 2 4 N 1 2对每段作 C 变换，得到 P ；当2 剟i n - 2 时，将 P 分成2i 段，每段 N个数，并对2 i 2i每段 C 变换，得到 P i +1 ，例如，当 N =8 时， P 2 = x 1 x 5 x 3 x 7 x 2 x 6 x 4 x 8 ，此时 x 7 位于 P 2 中的第 4 个位置.（1）当 N =16 时， x 7 位于 P 2 中的第个位置；（2）当 N = 2n（ n …8 ）时， x 位于 P 中的第个位置.173426．(2011 陕西)观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为．27．(2010 浙江)设n ≥ 2, n ∈ N , (2x + 1)n- (3x + 1)n = a + a x + a x 2 + ⋅⋅⋅ + a x n，将230 1 2 na (0 ≤ k ≤ n ) 的最小值记为T ，则T = 0,T = 1 - 1 ,T = 0,T = 1 - 1,⋅⋅⋅, k n 2 3 23 33 4 5 25 35T n ,⋅⋅⋅ 其中T n =．28．(2010 福建)观察下列等式：N① cos2α =2 cos 2α - 1；② cos4α =8 cos 4 α - 8 cos 2α + 1；③ cos6α =32 cos 6 α - 48 cos 4 α + 18 cos 2α - 1；④ cos8α =128 cos 8 α - 256 cos 6 α + 160 cos 4 α - 32 cos 2α + 1； ⑤ cos10α = m cos 10 α - 1280 cos 8 α + 1120 cos 6 α + n cos 4 α + p cos 2α -1． 可以推测， m - n + p = ．三、解答题29．（2018北京）设n 为正整数，集合A ={α | α = (t 1, t 2 ,L, t n ), t k ∈{0,1}, k = 1, 2,L, n }．对于集合 A 中的任意元素α = (x 1, x 2 ,L , x n ) 和 β = ( y 1, y 2 ,L 1, y n ) ，记 M (α , β ) =[(x + y - | x - y |) + (x + y - | x - y |) +L 21 1 1 12 2 2 2 + (x n + y n - | x n - y n|)] ．(1)当 n = 3 时，若α = (1,1, 0) ， β = (0,1,1) ，求 M (α ,α ) 和 M (α , β ) 的值；(2)当 n = 4 时，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意元素α , β ，当α , β 相同时，M (α , β ) 是奇数；当α , β 不同时， M (α , β ) 是偶数．求集合 B 中元素个数的最大值；(3)给定不小于 2 的 n ，设 B 是 A 的子集，且满足：对于 B 中的任意两个不同的元素α , β ， M (α , β ) = 0 ．写出一个集合 B ，使其元素个数最多，并说明理由．30．(2018 江苏)设n ∈ N * ，对 1，2，··· ，n 的一个排列i i L i ，如果当 s < t 时，有i > i ，1 2ns t则称(i s , i t ) 是排列i 1i 2 L i n 的一个逆序，排列i 1i 2 L i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2．记 f n (k ) 为 1，2，·· ，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数． (1)求 f 3 (2), f 4 (2) 的值；(2)求 f n (2)(n ≥ 5) 的表达式(用n 表示)．31．（2017 江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n } 满足*a n -k + a n -k +1 + ⋅⋅⋅ + a n -1 + a n +1 + ⋅⋅⋅ + a n +k -1 + a n +k = 2ka n对任意正整数n (n > k ) 总成立，则称数列{a n } 是“ P (k ) 数列”． （1）证明：等差数列{a n } 是“ P (3) 数列”；（2）若数列{a n } 既是“ P (2) 数列”，又是“ P (3) 数列”，证明：{a n } 是等差数列．32．（2017 北京）设{a n } 和{b n } 是两个等差数列，记c n = max{b 1 - a 1n , b 2 - a 2n ,⋅⋅⋅, b n - a n n } (n = 1, 2, 3,⋅⋅⋅) ，其中max{x 1 , x 2 ,⋅⋅⋅, x s } 表示 x 1 , x 2 ,⋅⋅⋅, x s 这 s 个数中最大的数．（Ⅰ）若a n = n ， b n = 2n -1，求c 1 , c 2 , c 3 的值，并证明{c n } 是等差数列；（Ⅱ）证明：或者对任意正数 M ，存在正整数m ，当n ≥ m 时， c n n> M ；或者存在正整数m ，使得c m , c m +1 , c m +2 ,⋅⋅⋅ 是等差数列．33．(2016 江苏)记U = {1, 2,L ,100} ．对数列{a n }（ n ∈ N ）和U 的子集T ，若T =∅ ，定义S T = 0 ； 若 T = {t 1, t 2 ,L , t k } ， 定义 S T = a t + a t + L + a t ．例如： T = {1, 3, 66} 时 ，12kS = a + a + a ．现设{a }（ n ∈ N * ）是公比为3 的等比数列，且当T = {2, 4} 时，S = 30 ．T1366nT(1)求数列{a n }的通项公式；(2)对任意正整数k （1≤ k ≤100 ），若T ⊆ {1, 2,L , k } ，求证： S T < a k +1 ；(3)设C ⊆ U ， D ⊆ U ， S C ≥ S D ，求证： S C + S C I D ≥ 2S D ．34．(2016 浙江)设函数 f (x ) = x 3+(1) f (x ) ≥1- x + x 2； (2) 3 < f (x ) ≤ 3．4 211+ x， x ∈[0,1] ．证明： 35．(2015 湖北)已知数列{a } 的各项均为正数， b = n (1 + 1 )na (n ∈ N ) ，e 为自然对数的n底数．n n n+(1)求函数 f (x ) = 1 + x - e x 的单调区间，并比较(1 + 1)n 与 e 的大小；nni (2)计算 b 1 ， b 1b 2 ， b 1b 2b 3 ，由此推测计算 b 1b 2 L bn 的公式，并给出证明；a 1 a 1a 2 a 1a 2 a 3 a 1a 2 L a n1(3)令c n = (a 1a 2 L a n )n ，数列{a n } ，{c n } 的前n 项和分别记为 S n , T n , 证明： T n < e S n ．36．(2015 江苏)已知集合 X = {1, 2, 3},Y n = {1, 2, 3,....., n }(n ∈ N * ) ，设 S = {(a , b ) | a 整除b 或b 除a , a ∈ X , b ∈Y n }，令 f (n ) 表示集合 S n 所含元素的个数．(1)写出 f (6) 的值；(2)当 n ≥ 6 时，写出 f (n ) 的表达式，并用数学归纳法证明．37．(2014 天津)已知q 和 n 均为给定的大于 1 的自然数.设集合 M = {0,1, 2,L , q - 1} ，集合 A = {x x = x 1 + x 2q + L + x q n - 1, x ? M , i 1, 2,L , n } .(1)当 q = 2 ， n = 3 时，用列举法表示集合 A ；(2)设 s ,t Î A ， s = a + a q + L + a qn - 1， t = b + b q + L + b qn - 1 ，其中a ，12n12nib i ∈ M ， i = 1, 2,⋅⋅⋅, n ．证明：若a n < b n ，则 s < t ．38．(2013 江苏)设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠ 0) ， S n 是其前n 项和. 记b n = nSn n 2 + c， n ∈ N * ，其中c 为实数.(1)若c = 0 ，且b ， b ， b 成等比数列，证明：S = n 2 S (k ,n ∈ N *) ； 124nkk(2)若{b n }是等差数列，证明： c = 0 ．n。