计算方法第3章复习(05)
数值计算方法 第3章复习
1 第3章 插值法与数据拟合一、考核知识点拉格朗日插值法及其余项、牛顿插值、最小二乘法、超定方程组。
二、考核要求：1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。
2．掌握牛顿插值。
3．了解最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与超定方程组最小二乘解的方法。
三、重、难点分析例1 已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。
解 取插值节点x 0= 4,x 1= 9，两个插值基函数分别为)9(51)(1010--=--=x x x x x x l )4(51)(0101-=--=x x x x x x l 故有 565)4(53)9(52)()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25655)5()5(1=+=≈L f 误差为 )(2)95)(45(!2)()5(2ξξf f R ''-=--''=例2 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式。
解:由Lagrange 插值公式又0120120,1,2;1,2,3x x x y y y ======故例3已知f(0)=8, f(1)= -7.5, f(2)= -18;用牛顿插值法求f(x)在[0,2]之间的近似零点。
0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x ------=++------2(1)(2)(0)(2)(0)(1)()123(01)(02)(10)(12)(20)(21)1x x x x x x L xx ------=⨯+⨯+⨯------=+2例4求下列超定方程组的最小二乘解。
⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x1 解 令 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-+=-+=2724213212211x x u x x u x x u23222121u u u x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x解得 7231=x 7112=x所以最小二乘解为 7231=x 7112=x2 解 方程组写成矩阵形式为 正规方程组为即解得12114127112x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12114111111127121121112x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1232132616x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦122311,77x x ==。
计算机网络谢希仁第七版第三章课后答案完全版
第三章数据链路层嵌入18-1杜国龙20180307008 3-01数据链路(即逻辑链路)与链路{即物理链路)有何区别?“电路接通了”与"数据链路接通了”的区别何在?答:数据链路与链路的区别在于数据链路出链路外，还必须有一一些必要的规程来控制数据的传输，因此，数据链路比链路多了实现通信规程所需要的硬件和软件。
“电路接通了”表示链路两端的结点交换机已经开机，物理连接已经能够传送比特流了，但是，数据传输并不可靠，在物理连接基础上，再建立数据链路连接，才是"数据链路接通了”，此后，由于数据链路连接具有检测、确认和重传功能，才使不太可靠的物理链路变成可靠的数据链路，进行可靠的数据传输当数据链路断开连接时，物理电路连接不- -定跟着断开连接。
3-02数据链路层中的链路控制包括哪些功能?试讨论收据链路层做成可靠的链路层有哪些优点和缺点.答:链路管理帧定界流量控制差错控制将数据和控制信息区分开透明传输寻址可靠的链路层的优点和缺点取决于所应用的环境:对于干扰严重的信道，可靠的链路层可以将重传范围约束在局部链路，防止全网络的传输效率受损:对于优质信道，采用可靠的链路层会增大资源开销，影响传输效率。
3-03网络适配器的作用是什么?网络适配器工作在哪- -层?答:适配器(即网卡)来实现数据链路层和物理层这两层的协议的硬件和软件网络适配器工作在TCP/IP协议中的网络接口层(OSI 中的数据链里层和物理层)3-04数据链路层的3三个基本问(帧定界、透明传轴和差错检测)为什么都必须加以解决? 答:帧定界是分组交换的必然要求透明传输避免消息符号与帧定界符号相混淆差错检测防止合差错的无效数据帧浪费后续路由上的传输和处理资源3-05如果在数据链路层不进行帧定界,会发生什么问题?答:无法区分分组与分组无法确定分组的控制域和数据域无法将差错更正的范围限定在确切的局部3-06 PPP协议的主特点是什么?为什么PPP不使用帧的编号? PPP适用于什么情况?为什么PPP协议不能使数据链路层实现可靠传输?答:简单，提供不可靠的数据报服务，检错，无纠错不使用序号和确认机制地址字段A只置为0xFF.地址字段实际上并不起作用。
精品课件-计算物理学(郭立新)-第3章
write(1,*)N,y1
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
write(*,*)N,y1
！
method 2：
y2=0.0
do 20 j=0,N
x2=a
x2=x2+float(j)*(b-a)/float(N)
If(j.eq.0.or.j.eq.N) then
y2=y2+0.5*f(x2)*(b-a)/float(N)
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
3.1 定积分基本数值算法及其应用 3.2 龙贝格法及其应用 3.3 高斯求积法 习题三
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
3.1 定积分基本数值算法及其应用
3.1.1 矩形法、 梯形法和抛物线法(辛普森法) 1． 已知定积分 bf(x)dx，被积函数为f(x)，积分区间为［a，
2
f
( x2
)
4
f
(
x3
)
2
f
(
x4
)
2 f (xN 2 ) 4 f (xN 1) f (xN )]
N
Ci f (xi )x
i0
(3.5)
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
其中 (3.6)
1
3
,
Ci
4
3
,
2 3
,
i 0, N i 1,3, i 2, 4,
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
需要说明的是，被积函数有时并未写成y=f(x)的形式， 给出的被积函数是一组离散的数据点(xi，yi)，此时三种基本 数值方法仍然适用，只需将公式中的f(xi)替换为yi
【例3.1】 将区间(0，π/2)二等分，分别利用矩形法、 梯形法、 抛物线法计算积分
清单05 二次根式 全章复习(3个考点梳理+11种题型+10类型)(解析版)
清单05二次根式全章复习（3个考点梳理+10种题型+10类型）考点一二次根式的相关概念二次根式的概念：一般地，我们把形如（≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义.最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）；②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式.【考试题型1】二次根式有意义的条件1．（20-21九年级上·吉林长春·在实数范围内有意义的条件是．x的值．2．（2023·浙江杭州·1．（22-23七年级下·广东汕头·m的最小值是（）A．2B．3C．8D．11∴12m -是完全平方数，当120m -=时，即12m =，当121m -=时，即11m =，当124m -=时，即8m =，当129m -=时，即3m =，综上所述，自然数m 的值可以是3、8、11、12，所以m 的最小值是3，故答案选：B ．【点睛】本题考查了二次根式的化简及自然数的定义，掌握二次根式的化简法则及自然数是指大于等于0的整数是解答本题的关键．2．（22-23八年级下·福建莆田·开学考试）若实数a ，b 4b +，则a b -=．3．（20-21七年级下·广东广州·期中）若()230a -+=，则a b -的立方根是．【点睛】本题考查平方、二次根式的非负性以及求立方根，得到30a -=，50b +=是解题的关键．4．（20-21八年级上·四川达州·期中）已知a ，b 0b =（1）a=_______，b=______（2）把a ，b 的值代下以下方程并求解关于x 的方程()221a xb a ++=-1．（23-24八年级上·上海青浦·）ABC D2．（23-24八年级上·山东滨州·期末）下列各式化成最简二次根式正确的是（）A=B =C =D 10=（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个4．（22-23八年级下·海南省直辖县级单位·是同类二次根式，则=a ．【答案】5-【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键，化成最简二1．（23-24九年级上·四川宜宾·a 的值可能是（）A ．16B ．0C ．2D ．任意实数2．（22-23九年级上·四川遂宁·是同类二次根式，则m 的值为（）A ．4m =B ．3m =C ．5m =D ．6m =3．（22-23八年级下·山东泰安·是最简二次根式，则m，n的值为（）A．0，1-B．1-，0C．1，1-D．0，04．（21-22八年级下·江西赣州·期中）若考点二二次根式的性质与化简二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．a =•（≥0，≥0）（≥0，＞0）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【考试题型5】利用二次根式的性质化简【类型一】数形结合法1．（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）已知实数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简2a b b c --+．【答案】a-【分析】本题考查了数轴的定义、二次根式的运算、绝对值运算．观察数轴可得0c b a <<<，从而得到0,0,0a b c a b c ->-<+<，再根据二次根式的运算、绝对值运算计算即可．【详解】解：观察数轴得：0c b a <<<，2．（23-24八年级上·重庆万州·阶段练习）已知实数x 、y 、z 在数轴上的对应点如图所示：(1)若5x =-，y =x 对应的点与z 对应的点恰好关于y 对应的点对称，求z 的值．(2)2+3．（23-24八年级上·湖北襄阳·开学考试）已知实数x ，y ，z 在数轴上的对应点如图所示，试化简：．【类型二】估值法方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围.1．（2023·重庆·(最接近的整数是（）A ．7B ．8C ．9D ．10A ．5m <-B ．54m -<<-C ．43m -<<-D ．3m >-3．（23-24九年级上·四川宜宾·阶段练习）若a ，则a 的值所在的范围为（）A ．2a ≥B ．2a >C ．12a <<D ．01a <<【类型三】公式法方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解.1．（23-24九年级上·河南周口·阶段练习）已知2M=，2N，则M与N的关系为（）A．相等B．绝对值相等C．互为相反数D．互为倒数2．（23-24八年级上·云南文山·阶段练习）计算题：；(2)【类型四】换元法方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解.1．（19-20八年级上·福建泉州·期中）若ab＝1，我们称a与b1与1互为倒数：方法一：∵)22111211+-=-=-=1+1互为倒数．()2211111211⋅--====--111互为倒数．(1)互为倒数；(2)若()21x x -=，求21x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(3)利用“换元法”求((101022⨯的值．＝1．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质是，选择合适的解题途径，往往能事半功倍．【类型五】拆项法【类型六】整体代入法方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入.1．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知x =2(8x x -+的值．2．（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）已知33a b ==-求下列各式的值：(1)a b +和ab ；(2)22a ab b ++．22(1)223x xy y ++(2)x y y x +【类型七】因式分解法【类型八】配方法1．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料：材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）1===-．材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：(2222311x x x++=+++=+，(20x+≥，(211x∴+≥，即231x++≥．23x∴++的最小值为1．阅读上述材料解决下面问题：_______=______；(2)求211x++的最值；(3)2-2．阅读材料：材料一:数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层(或多层)根号,1材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式,利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．如：2222321(x 1x x x ++=+++=+∵2(0x ≥，∴2(11x ++≥，即231x ++≥∴23x ++的最小值为1阅读上述材料解决下面问题：（1=，=；（2）求211x ++的最值；（3）已知x =221(41)54x y xy -++-的最值．【类型九】辅元法【类型十】先判断后化解解题的关键．【考试题型6】分母有理化1．（新疆维吾尔自治区克孜勒苏柯尔克孜自治州2023-2024学年八年级下学期4月期中考试数学试题）在进样的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简：行二次根式化简时，我们有时会碰上如1==；====．以上这种化简的方法叫做分母有理化，通过观察请利用分母有理化解答下列问题：(1)利用你观察到的规律，化简L(2)2．（23-24八年级下·山东济宁·期中）【阅读材料】（材料一）细心观察图形，认真分析各式，总结其中蕴含的规律．22212OA =+=，112S =（1S 是12RtA A O △的面积）；22313OA =+=，22S =（2S 是23Rt A A O △的面积）；22414OA =+=，32S =（3S 是34Rt A A O △的面积）；．==【问题解决】利用你总结的规律，解答下面的问题：(1)填空：100S =_________，11OA =_________；(2)求11111S S S S S S S S S S +++++++++的值．3．（23-24七年级下·上海嘉定·期中）阅读下列解题过程：1⨯-()()221⨯===-请回答下列问题：(1)=______()2n≥．(2)利用上面所提供的解法，请化简：+(3)模仿上面所提供的解法，试一试化简：+考点三二次根式的运算乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：a =•（≥0，≥0）.除法法则：=加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】==2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.==混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)．【考试题型7】二次根式的乘除运算1．（2024·陕西西安·三模）计算：)()02252π---2．（23-24八年级下·安徽铜陵·00)b ⎛÷⨯>> ，3．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：(1)÷；()0,0x y ⎫÷>>⎪⎪⎭．1．（23-24八年级下·吉林松原·期中）计算：((-．2．（23-24八年级下·广东阳江·期中）已知b=-，求22a=+，11a b+的值．3．（23-24八年级下·北京海淀·这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中就应用了黄金分割数．设a=b=(1)直接写出a b+和ab的值：a b+=______，ab=______；(2)求1111sa b=+的值．2．（23-24九年级下·山东烟台·期中）计算：(2)3．（23-24八年级下·辽宁营口·期中）（1）先化简，再求值：111a a -⎛⎫-÷⎪--⎝⎭，其中，2a =．1．（23-24八年级下·浙江金华·的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化()22==；()()2232++====+--．类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化21===()222111+-==．根据上述知识，请你解答下列问题：(1)(2)的大小，并说明理由．2．（23-24八年级下·福建福州·期中）如图，正方形A，B的面积分别为25cm和27cm，现将正方形A的边长分别增加2cm和3cm得到矩形甲；将正方形B的边长都增加2cm得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小．【答案】矩形甲的面积小于矩形乙的面积．【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到3．（23-24八年级下·江苏扬州·阶段练习）观察下列等式：1==-；==；==；……像)221-=()0a a =≥，)()1110b b -=-≥，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．11，与-答下列问题：(1)化简：(2)=___________（n为正整数）．(3)计算：)1+ =___________；(4)已知a==b试比较a、b的大小，则a___________b．（填“<”“>”或“=”）1．（23-24八年级下·甘肃庆阳·期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足t=（不考虑风速的影响）．(1)从30m高处抛下的物体落地所需的时间1t=s；从60m高处抛下的物体落地所需的时间2t=s(2)2t是1t的多少倍？(3)若从高空抛下的物体经过4s落地，则该物体下落的高度是多少？2．（23-24八年级下·江西宜春·阶段练习）有一块长方形木板，木工师傅采用如图所示的方式，在木板上截出面积分别为218dm 和232dm 的两块正方形木板．(1)截出的两块正方形木板的边长分别为______dm ，______dm ；(2)求剩余木板的面积；(3)如果木工师傅想从剩余的木板中截出长为1.5dm 、宽为1.2dm 的长方形木条，最多能截出______个这样的木条． 1.414≈）3．（23-24八年级下·广东东莞·期中）小乐是一个善于思考的学生，学习完“二次根式”和“勾股定理”后，他发现可以有多种方法求三角形的面积，以下是他的数学笔记，请认真阅读并完成任务，的面积；(1)请根据思路1的公式，求ABC(2)请你结合思路2，在如图所示的网格中（正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点），完成下列任务，，要求三个顶点都在格点上；①画出ABC面积的计算过程．②结合图形，写出ABC②过点A 作AD CB ⊥∴4．（23-24八年级下·广西南宁·期中）安全问题，时刻警醒．高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见小物件，一旦高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及．经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间t （单位：s ）和高度h （单位：m ）近似满足公式t 10N /kg g ≈）(1)求从45m 高空抛物到落地的时间；(2)已知高空拋物动能（单位：J ）10=（单位：N /kg ）⨯物体质量（单位:kg ）⨯高度（单位：m ），某质量为0.2kg 的玩具在高空被抛出后经过4s 后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确．（注：伤害无防护人体只需要65J 的动能）5．（23-24八年级下·安徽铜陵·期中）铜陵市各小区都有“禁止高空抛物”的宣传标语，高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，从高度为h（单位：m）的高空抛出的物体下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式t=（不考虑风速的影响）．(1)从50m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间1t，从100m高空抛出的物体从抛出到落地所需时间2t，那么2t是1t的多少倍？(2)从足够高的高空抛出物体，经过1.5s，所抛物体下落的高度是多少？6．（23-24八年级下·湖北孝感·期中）学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题：(1)具体运算，发现规律：131711122236=+==+=⨯⨯11313412=+=⨯，…计算：=(2)观察归纳，写出结论=（1n ≥且n 为正整数）(3)灵活运用，提升能力请利用你所发现的规律，。
数值计算方法思考题和习题
(4) 北京理工大学函大2004-2005学年第1学期计算机科学与技术专业专升本数值计算方法思考题和习题教科书：《科学与工程计算》廖晓钟赖汝编国防工业出版社 2003年版第1 章思考题p26 1,2,3,4,5第1 章习题pp26-27 1,3,4,5,6,11第2 章思考题p66 1,3,6,7,8,9,12.13第2 章习题pp67-68 2,3,4,5,7,11,12,13,14,17,18第3 章思考题p119 1,3,4，5，6,10,18,19第3 章习题pp119-121 1，2,3,4,5,12,13第4 章思考题p144 1,2,3,4,5,7,8第4 章习题pp144-146 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13第5 章思考题p207 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12.13第5 章习题pp208-209 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15第6 章思考题p257 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12.14第6 章习题pp257-259 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15,16,17,18第7 章思考题p292 1,2,3,4,5,6,8,9第7 章习题pp293-295 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,20作业题第1 章习题pp26-27 1(1),(2),3(3),5,6第2 章习题pp67-68 2,4,5,11,13,17第3 章习题pp119-121 1(1),2(1),5(2),12第4 章习题pp144-146 1(1),2,10,11,12,13第5 章习题pp208-209 1,3,4,7,10,13,,15第6 章习题pp257-259 1(2),3,6（1）,12,16第7 章习题pp293-295 1,3,6,11,20数值计算方法复习题第1 章绪论1.说明数值算法的意义，计算机解题步骤和数值算法的特点。
第三章 设计变量05-01
L、xi、hL
绝热闪蒸也有三股物流但与前面讲的情况不同， 此三股物流均有相的变化，与外界无热量，所以对 立变量总数为：
NV=3(C+2)=3C+6
独立方程式名称 方程式数 物料平衡式 C 热焓衡算式 1 相平衡关系式 C 温度等式 1 压力等式 1 独立方程式数 NE=2C+3 ND=NV-NE=(3C+6)-(2C+3)=C+3
8). 带有热量传递、进料物流和侧线的平衡 V出 L入 级
F
平衡级 V入 L出
S
Q
有六股物流和一股热量，所以独立变量总 数为： NV=6(C+2)+1 =6C+13
Wj
yi,j, Hj, Tj, pj
Vj
Lj-1
xi,j-1, hj-1, Tj-1, pj-1
Fj
zi,j, HF,j, TF,j, pF,j yi,j+1, Hj+1, Tj+1, pj+1
独立方程式名称 物料平衡式 热焓衡算式
相平衡关系式
温度等式 压力等式
方程式数 C 1
C 1 1 NE=2C+3
ND=NV-NE=(3C+7)-(2C+3)=C+4
设计变量指定： 进料组成、温度、压力 、流量 C+2
系统压力 Pout 1个
系统温度 Tout 1个 • 也可指定气液比V/L 1个 • 和操作压力 1个
设备的设计变量总数由构成设备的各个单元的设计变 量数之和。若是一个单元被重复使用，应增加一个变 量数，表示单元重复使用的变量数称重复变量。且必 有一股或几股物流从一单元流出而进入那一单元，联 结的单元之间有新的约束关系式 N （ C+2). 设备的设计 变量数： NDU=
粤教版普通高中信息技术必修1《数据与计算》第三章《算法基础》
规划
工具与方法
预期成果
思维导图，”头脑风暴” 搜索技术 数据构造方法
可视化设计报告
究
根据项目学习规划的安排，通过案例分析、文献阅读和网上资料搜索，开展“设计分别可以 买6元、5元、4元的笔记本的组合方案”项目学习探究活动，如表所示：
探究活动 体验人工与计算机 解决问题的过程
探究计算机解决问 题的算法
了解计算机解决问 题的程序
学习内容
设计“分别可以买6元、 5元、4元的笔记本的组 合方案”问题分析。
人工解决问题的过程。 计算机解决问题的过程。
设 计 “分别可以买6元、 5元、4元的笔记本的组 合方案”问题的算法。
算法的概念与特征。 算法描述方法。
编 写 分别可以买6元、5 元、4元的笔记本的组合 方案”问题的程序。
这堂课，让我们见证了坚强硬核的中国力量！ 这堂课，向我们传递了恢宏美好的人性光辉！ 这堂课，给我们展示了先进强大的知识力量！
项目范例 设计分别可以买6元、5元、4元的笔记本的组合方案
学期结束时，老师打算花50 元 购买一些笔记本奖励表现优秀的同学，请班长小明帮忙，小明 决定买三种单价分别为6元、5元、4元的笔记本，并且刚好用完50元，请问可以买多少本？
for y in range(1,11): for z in range(1,13): if x*6+y*5+z*4==50: {t=t+1； 输出解的个数t和三个整数x，y，z}
根据“项目活动评价表”，对项目范 例的学习过程和学习成果在小组或班 级上进行交流，开展项目学习活动评 价。
How to cooperate with others
请欣赏：《盲人摸象》
这个故事对你有何启示？ 谈谈他们要真正弄明白大象是什么样子，该怎么办？
计算方法第三章
2
k 2
k
0
k
k
0
k
0 0
1 1
n 1 n1
0
k 0
0
k 1 1 1
k n1 n1 n1
•
~ 由于 v k 各分量的绝对值不断增大而造成运算 ~ 进行规格化。即用 溢出。因此，有必要对 v k ~ ~~ u k = A v k 1 ，k＝0，1，… • ~ u ~ v ~ || • || u ~ ~ ~v ~ || ( u ) ( u ) v A • 来代替 = 。其中|| u 。
k k k 2
~ ~ ~v v A 在用式 k = k 1进行递推计算过程中，可能会
k
k 1
k
2
(k ) 0
2
(k ) n 1
2
~ ~ • 显然有 A v ~ v ~ ~ || A v || • • 从而得到 ~ ~ A v ~ ~ Av ~ u ~ ~ • || A v || • 其中 ~ k 1~ k 1 ~ k 1 ~ k 1 ~ A v x x 0 0 0 0 1 1 1 n 1 n1 xn1 • ~ ~ ~ x • = x x ~k ~ k~ k ~ ~ • A v0 0 k x x 0 0 1 1 1 n1 n1 xn1 ~ ~ • = ~ x x x
第3章 矩阵的特征值与特征向量
3.1 关于矩阵特征值与特征向量的基本概念
• 在有平凡解的情况下，系数矩阵 是非奇异 的。如果 奇异，则解是非平凡的，但存在 无穷多个解，因为 的秩小于未知数的个数 。一个特殊类型的齐次方程组是 ~~ ~ x A • = x • 或 ~ ~) ~ = ~ • (A - I x 0 ~ 是数量. • 其中， I 是单位矩阵，
05第三章 电子衍射(TEM)1101
第二十八页，课件共有53页
电子衍射示意图
θ= λ/2d， θ≈ 10-2弧度 入射束近似平行（hkl） K =1/ λ 远比 d大，
倒易面（与反射球相交处）近似平面
λ= 2dsin θ =dR/L K= λL
d= K/R
R (L)g Kg
Rhkl g hkl
第二十九页，课件共有53页
第四节 多晶电子衍射花样及其标定
体心立方 ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨ ∨
N=h2+k2+l2
18
20 22 24 26
{hkl} 411,330 420 332 422 510
体心立方
∨
∨∨∨∨
第二十六页，课件共有53页
（不消光的N值）
第二十七页，课件共有53页
第三节 相机常数公式
（电子衍射“放大”公式）
1. Rhkl Kg hkl
2、消光定律： （考虑不消光的晶面）
满足Fhkl≠0的（hkl）
3、晶带轴定理：
hu+kv+lw=0
第二页，课件共有53页
电子衍射
多晶衍射:一组同心圆环 单晶衍射:周期性规则排列的斑点
第三页，课件共有53页
电子衍射简介1
• 金属和其它晶体物质是由原子，离子或原子集团在三维空间内周期性地有规 则排列的质点对具有适当波长的辐射波（如X射线、电子或中子）的弹性相干散 射，将产生衍射现象，在某些确定的方向上；散射波因位相相同而彼此加强，而 在其它方向上散射波的强度很弱或等于零。电子显微镜的照明系统提供了一束波 长恒定的单色平面波，因而自然地具备着用它对晶体样品进行电子衍射分析的条 件。
• 傅立叶变换： • F(x)=a0+a1x1+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+.…+
第3章_流体及其混合物热力学性质计算
第3章 流体热力学性质计算利用这些可测得的量P 、V 、T 和流体的热容数据，可计算其它不能直接从实验测得的热力学性质，如焓H 、熵、热力学能(内能)U 、Gibbs 自由焓G 等。
热力学性质的推算是化工热力学课程的核心内容与最根本任务和应用之一，它是建立在经典热力学原理基础之上，结合反映实际系统特征的数学模型(如状态方程)，实现用一个状态方程和气体热容数据模型，如理想气体热容ig P C ，来计算所有其它的热力学性质。
本章学习要求热力学性质是系统在平衡状态下所表现出来的，平衡状态可以是均相的纯物质或混合物，也可以是非均相的纯物质或混合物。
本章要求学生理解和学会使用一些有用的热力学性质表达成P-V-T(x)的普遍化函数，并结合状态方程来推算其它热力学性质的具体方法，内容包括：(1) 从均相封闭系统的热力学基本方程出发，建立热力学函数(如U 、H 、S 、A 、G 、pC 和V C 等)与P-V-T(x)之间的普遍化依赖关系；(2) 应用P-V-T 对应状态原理，计算其它热力学性质的方法； (3) 定义逸度和逸度系数，解决其计算问题； (4) 会使用热力学性质图或表进行计算。
重点与难点3.1 热力学基本方程与Maxwell 关系封闭系统的热力学基本方程为：dU TdS PdV =-(2-1) dH TdS VdP =+(2-2) dA SdT PdV =-- (2-3) dG SdT VdP =-+(2-4)其中H 、A 、G 的定义为：H U PV =+；A U TS =-；G H TS A PV =-=+。
这些热力学基本关系式，适用于只有体积功存在的封闭系统Maxwell 关系是联系U 、H 、S 、A 、G 等函数与P-V-T 性质的数学手段。
3.2 热力学性质的计算方法热力学性质的计算方法有：(1) 对热力学函数的偏微分关系进行积分计算； 2)以理想气体为参考态的剩余性质法； (3) 状态方程法；(4) 普遍化对应状态原理法(或查图、查表法)等。
数值计算方法复习资料
《数值计算方法》复习资料(总20页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
22三例题例1设x*= =…近似值x=＝×101,即m=1，它的绝对误差是－ 592 6…，有即n=3，故x=有3位有效数字.x=准确到小数点后第2位.又近似值x=，它的绝对误差是…，有即m=1,n＝5，x=有5位有效数字.而近似值x=，它的绝对误差是…，有即m=1,n＝4，x=有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：4 － 00 9 000 9解因为x1= 4＝ 04×101, 它的绝对误差限 05=×10 1―5，即m=1,n=5,故x= 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限33x=－ 00，绝对误差限 005，因为m=－2，n=3，x2=－ 00有3位有效2数字. a1=2，相对误差限r== 5x=9 000，绝对误差限为×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有效数3字，a=9，相对误差限r＝＝ 056x=9 ，绝对误差限，因为m=4，n=6，x4=9 有6位有效数字，相对误4差限为r＝＝ 000 56由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例3ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝,故至少要保留小数点后三位才可以。
第三章 数值计算方法
x0 ，按某种算法产生一个近似解序列，该序列 收敛于精确解x*
x0 , x1, x2 , x3 ,, xn
计算机在稀土工程中的应用
2. 二分法
设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，且 f (a) f (b) 0 ，
采用二分法求解可按下列步骤进行：
如前面的例子可改写为：
(309016 0.005608 T 2 501182 T 1) /177 .5 T
计算机在稀土工程中的应用
简单迭代的误差与收敛
xk1 g(xk )
x* g(x*)
两式相减，并由中值定理有：
x * xk1 g(x*) g(xk ) g'()( x * xk )
入炉物料显热 铜锍显热 (k1 k2T (k3 k4T )[Cu]m ) Wm
化学反应热 重油燃烧热
炉渣显热 (k5 k6T ) Ws
N
烟气显热 ni ( Ai BiT CiT 1 DiT 2 ) i1
塔散热 经验数据
通过求解方程：热收入+热支出=0，即可求得温度T。 现已知某生产时期热平衡方程如下，求温度T：
由此可见，该递推算法随n的增大，误差传播迅速增大， 是不稳定算法。
计算机在稀土工程中的应用
算法2: 逆向递推
由：In 1 nIn1
有：In1 (1 In ) / n
按In估计式：
e1
1
n 1 In n 1
取：
I 30
e1 ( 30
1) 1
/
2
0.0221
30 0.0102
按 s30 0.0221 sn1 (1 sn ) / n 逆向递推
第3章 物料衡算和能量衡算
上例中，m=2, n=4 ∴ 独立反应数： N反应= 4-2=2
1. 2.
对有化学反应的过程，应写独立的反应方程 式或独立反应数。例如碳与氧的燃烧过程 ：
C O2 CO2 1 C O2 CO 2 1 CO O2 CO2 2 CO2 C 2CO
①
②
③ ④
这4个反应是否是独立的呢？如何判断呢？
10
反应过程中，若有m种元素和n个组分参与反应 时，独立反应数为： N反应=n-m
设计过程中各种计算通常以小时或是以设备为单位进 行，而设计任务却是指定年产量，此时应注意计算基 准。 12
例3-1 设计一个年产量为10000t（吨）的间歇本 体法聚丙烯设备装置，由二个反应釜并联操作， 反应釜的操作时间表如下 置换 进料 聚合反应 0.5h 0.5h 5.0h
z kg H N O 3 0.90 H 2 O 0.10 y kg H 2 S O 4 0.93 0.07 H2O
废酸
x kg
混合过程
混合酸
H NO 3 0.27 H 2 S O 4 0.60 H2O 0.13
H N O 3 0.23 H 2 S O 4 0.57 H 2 O 0.20
23
2)、选择基准
a）稳定操作过程（即稳流过程）： （3-2） （3-3） b）系统内无化学反应：
( ) ( Fi FiFo )FoW W
第3章 勾股定理全章复习与测试(解析版)-八年级数学
第3章勾股定理全章复习与测试1.掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．2.掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．3.熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．4.掌握勾股定理的逆定理及其应用．理解原命题与其逆命题，原定理与其逆定理的概念及它们之间的关系．5.能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形.6.能够理解勾股定理及逆定理的区别与联系，掌握它们的应用范围.一．直角三角形的性质（1）有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性质外，具有一些特殊的性质：性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）．性质2：在直角三角形中，两个锐角互余．性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．（即直角三角形的外心位于斜边的中点）性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．性质5：在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半；在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．三．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．四．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．五．勾股数勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．说明：①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数．②一组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数．③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…六．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．一．直角三角形的性质（共1小题）1．（2020秋•苏州期中）在△ABC中，有下列条件：①∠A+∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③∠A＝2∠B＝3∠C；④∠A＝∠B＝∠C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据三角形内角和定理来判断．【解答】解：①由∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：2∠C＝180°，则∠C＝90°，所以△ABC 是直角三角形；②设∠A＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，∠A+∠B+∠C＝180°得到：6x＝180°，则x＝30°，∠C＝3x＝90°，所以△ABC是直角三角形；③由∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+∠A＝180°，则∠A＝（）°，所以△ABC不是直角三角形；④∠A＝∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°得到：∠A+∠A+2∠A＝180°，则∠A＝45°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；综上所述，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个．故选：C．【点评】本题主要考查了直角三角形的性质，解题的关键是掌握三角形内角和是180度．二．勾股定理（共10小题）2．（2022秋•南京期末）如图，已知点P是射线OM上一动点（P不与O重合），∠AOM＝45°，OA＝2，当OP＝或2或2时，△OAP是等腰三角形．【分析】分三种情况，当OP＝AP，OA＝AP，OA＝OP时，由等腰三角形的性质可求出答案．【解答】解：当△AOP为等腰三角形时，分三种情况：①如图，OP＝AP，∴∠O＝∠OAP，∵∠AOM＝45°，∴∠APO＝90°，∴OP＝；②如图，OA＝OP＝2；③如图，OA＝AP，∴∠O＝∠APO＝45°，∴∠A＝90°，∴OP＝＝＝2．综上所述，OP的长为或2或2．故答案为：或2或2．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．3．（2021秋•新吴区校级期中）已知一直角三角形的两条直角边长分别为5和12，则第三边的长为13．【分析】直接根据勾股定理求解即可．【解答】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12，∴第三边的长＝＝13．故答案为：13．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．4．（2022秋•句容市期末）如图，点C是线段AB上的一点，分别以AC、BC为边向两侧作正方形．设AB＝6，两个正方形的面积和S1+S2＝20，则图中△BCD的面积为4．【分析】设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，再根据完全平方公式的变式a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，即可求出ab的值，根据直角三角形的面积计算方法即可得出答案．【解答】解：设AC＝a，BC＝b，由题意得：a+b＝6，a2+b2＝20，∵a2+b2＝（a+b）2﹣2ab，∴20＝62﹣2ab，∴ab＝8，∴△BCD的面积＝ab＝×8＝4．图中△BCD的面积为4．故答案为：4．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．5．（2022秋•邳州市期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝13cm，AC＝12cm，那么点D到直线AB的距离是5cm．【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得出DE＝CD，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵AD平分∠CAB，AC⊥CD，DE⊥AB，∴DE＝CD，在Rt△ACD中，由勾股定理得：CD＝＝5，∴DE＝5cm，故答案为：5．【点评】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质以及勾股定理是解题的关键．6．（2022秋•海陵区校级期末）我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，绘制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图所示．在图2中，若正方形ABCD的边长为14，正方形IJKL的边长为2，且IJ∥AB，则正方形EFGH的边长为10．【分析】设AH＝a，则HD＝14﹣a，根据图2可知，EK＝HD，由已知条件正方形IJKL的边长为2，可得JK＝2，即可得出AH＝EJ＝EK﹣JK＝14﹣a﹣2＝12﹣a，即可列出等式a＝12﹣a，求出a的值即可得出HD ＝AE的长度，再根据勾股定理即可得出答案．【解答】解：设AH＝a，则HD＝14﹣a，由图可得，EK＝HD，JK＝2，∵AH＝EJ＝EK﹣JK＝14﹣a﹣2＝12﹣a，∴a＝12﹣a，∴a＝6，在Rt△AEH中，∵AH＝6，HD＝AE＝14﹣6＝8，∴HE＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了勾股定理，正确理解题目所给图形勾股定理进行求解是解决本题的关键．7．（2023•盱眙县模拟）在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，连接AC，点E为AC的中点，连接BE，DE．若，BC＝12，则△ABE的周长为18．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一边得到AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，再利用勾股定理求出AB＝5即可得到答案．【解答】解：∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E为AC的中点，∴AC＝2BE＝2DE＝2AE＝13，∵BC＝12，∴，∴△ABE的周长为，故答案为：18．【点评】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．8．（2022秋•广陵区校级期末）直角三角形纸片ABC中，∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，AD是∠BAC的角平分线，则BD＝．【分析】根据勾股定理得到BC＝＝6，过D作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质得到CD＝DE，根据全等三角形的性质得到AE＝AC＝8，求得BE＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：∵∠C＝Rt∠，AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，过D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的角平分线，∴CD＝DE，在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AE＝AC＝8，∴BE＝2，∵DE2+BE2＝BD2，∴（6﹣BD）2+22＝BD2，∴BD＝，故答案为：．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．9．（2022秋•广陵区校级期末）已知△ABC中，AB＝17，AC＝10，BC边上的高AD＝8．则边BC的长为9或21．【分析】高线AD可能在三角形的内部也可能在三角形的外部，本题应分两种情况进行讨论．分别依据勾股定理即可求解．【解答】解：如图所示，在Rt△ABD中，∵AB＝17，AD＝8，∴BD＝＝15；在Rt△ACD中，∵AC＝10，AD＝8，∴CD＝＝6，∴当AD在三角形的内部时，BC＝15+6＝21；当AD在三角形的外部时，BC＝15﹣6＝9．∴BC的长是21或9．故答案为：21或9．【点评】本题考查的是勾股定理，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．10．（2022秋•太仓市期末）已知直角三角形的两条直角边长分别为1，2，则这个直角三角形的斜边的长为．【分析】根据勾股定理计算即可．【解答】解：由勾股定理得，这个直角三角形的斜边的长＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．11．（2022秋•亭湖区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到AB的距离是．【分析】首先根据勾股定理求出斜边AB的长，再根据三角形的面积为定值即可求出则点C到AB的距离．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则有AC2+BC2＝AB2，∵BC＝4，AC＝3，∴AB＝＝5，设AB边上的高为h，＝AC•BC＝AB•h，则S△ABC∴h＝，故答案为：【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的应用，解本题的关键是正确的运用勾股定理，确定AB为斜边．三．勾股定理的证明（共1小题）12．（2022秋•阜宁县期中）勾股定理是数学史上非常重要的一个定理，古今中外已有几百种证明方法．2002年世界数学家大会在中国北京举行，大会的会标选用验证勾股定理的“弦图”，它标志着我国古代数学的成就．“弦图”由4个全等的直角三角形拼成大正方形（如下图示）设直角三角形的两直角边分别为a、b （a＜b），斜边为c，请你利用“弦图”验证勾股定理．【分析】用等面积法，大的正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和，列等式化简即可证明．【解答】解：根据题意有，大正方形面积：c2，小正方形面积：（b﹣a）2，4个直角三角形面积之和：4×a×b×＝2ab，∵大正方形面积等于小正方形的面积与4个直角三角形面积之和，∴（b﹣a）2+2ab＝c2，∴a2+b2＝c2．【点评】本题考查了勾股定理的证明，用等面积法列出等式，并化简是解本题的关键，综合性较强，难度适中．四．勾股定理的逆定理（共15小题）13．（2022秋•工业园区校级期中）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，下列所给数据中，不能判断△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90°B．∠A：∠B：∠C＝5：12：13C．a2+b2＝c2D．a：b：c＝3：4：5【分析】根据三角形内角和定理可得A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．【解答】解：A、∵∠A+∠B＝90°，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝90°，故△ABC是直角三角形；B、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，且∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠C＝180°×＝78°，故△ABC不是直角三角形；C、∵a2+b2＝c2，∴△ABC为直角三角形；D、∵a：b：c＝3：4：5，∴可设a＝3k，则b＝4k，c＝5k，那么a2+b2＝c2，故△ABC为直角三角形．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．也考查了三角形内角和定理．14．（2022秋•溧阳市期中）如图，在由单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A．AB，CD，EF B．AB，CD，GH C．AB，EF，GH D．CD，EF，GH【分析】设出正方形的边长，利用勾股定理，解出AB、CD、EF、GH各自的长度，再由勾股定理的逆定理分别验算，看哪三条边能够成直角三角形．【解答】解：设小正方形的边长为1，则AB2＝32+42＝25，CD2＝22+12＝5，EF2＝42+22＝20，GH2＝22+32＝13．因为CD2+EF2＝AB2，所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、CD、EF．故选：A．【点评】本题考查勾股定理的逆定理的应用．掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．也考查了勾股定理．15．（2022秋•东台市期中）在△ABC的三边分别是a、b、c，且a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，判断△ABC 的形状，证明你的结论．【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【解答】解：△ABC是直角三角形，理由：∵a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，∴a2+b2＝（n2﹣1）2+（2n）2＝（n2+1）2，c2＝（n2+1）2，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．16．（2022秋•徐州期中）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝6，BC＝8，点D是AB的中点，连接CD．（1）若∠B＝50°，求∠DCA度数；（2）若点E是AB上的一个动点，则线段CE的最小值为 4.8．【分析】（1）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC是直角三角形，从而可得∠ACB＝90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得CD＝DB，从而利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠DCB＝50°，最后进行计算即可解答；（2）根据垂线段最短可得：当CE⊥AB时，线段CE有最小值，然后利用面积法进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵AB＝10，AC＝6，BC＝8，∴AC2+BC2＝62+82＝100，AB2＝102＝100，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴∠ACB＝90°，∵点D是AB的中点，∴CD＝DB＝AB，∴∠B＝∠DCB＝50°，∴∠DCA＝∠ACB﹣∠DCB＝40°，∴∠DCA度数为40°；（2）当CE⊥AB时，线段CE有最小值，∵△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴AB•CE＝AC•BC，∴10CE＝6×8，∴CE＝4.8，∴线段CE的最小值为4.8，故答案为：4.8．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线性质，垂线段最短，熟练掌握勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键．17．（2022秋•兴化市期中）如图，在7×7网格中，每个小正方形的边长都为1．（1）求△ABC的面积；（2）△ABC是直角三角形吗？请说明理由．【分析】（1）利用矩形的面积减去三个直角三角形的面积求解；（2）先利用勾股定理求出三边AB，BC，AC的长，再利用勾股定理的逆定理即可作出判断．＝4×4﹣×4×2﹣×3×4﹣×1×2【解答】解：（1）S△ABC＝16﹣4﹣6﹣1＝5；（2）∵AC2＝22+12＝5，BC2＝22+42＝20，AB2＝42+32＝25，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是求边长AB，BC，AC．18．（2022秋•无锡期末）下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）A．4，5，6B．5，7，9C．6，8，10D．7，8，9【分析】求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+52≠62，不能组成直角三角形，不符合题意；B、52+72≠92，不能组成直角三角形，不符合题意；C、62+82＝102，能组成直角三角形，符合题意；D、72+82≠92，不能组成直角三角形，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断是解答此题的关键．19．（2022秋•建湖县期中）以下四组代数式作为△ABC的三边：①3n，4n，5n（n为正整数）；②n，n+1，n+2（n为正整数）；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数）；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n 为正整数）．其中能使△ABC为直角三角形的有（）A．0组B．1组C．2组D．3组【分析】先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，最后看看是否相等即可．【解答】解：①3n，4n，5n（n为正整数），（3n）2+（4n）2＝（5n）2，能构成直角三角形；②n，n+1，n+2（n为正整数），n2+（n+1）2≠（n+2）2，不能构成直角三角形；③n2﹣1，2n，n2+1（n≥2，n为正整数），（n2﹣1）2+（n2+1）2＝（2n）2，能构成直角三角形；④m2﹣n2，2mn，m2+n2（m＞n，m，n为正整数），（m2﹣n2）2+（2mn）2＝（m2+n2）2，能构成直角三角形．故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．20．（2022秋•邗江区期中）如图，五根小木棒，其长度分别为5，9，12，13，15，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据图中所给出的数，找出组成三角形的三边，并判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方，每一个图判断两次即可．【解答】解：∵52＝25，122＝144，92＝81，152＝225，132＝169，∴52+122＝132，52+92≠122，92+122＝152，52+132≠152，∴A错误，B错误，C正确，D错误．故选：C．【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是注意是判断较小两边的平方和是否等于最大边的平方．21．（2022秋•高新区校级月考）如图，四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）判断∠D是否是直角，并说明理由．（2）求四边形ABCD的面积．【分析】（1）连接AC，根据勾股定理可知AC2＝BA2+BC2，再根据AC2＝DA2+DC2即可得出结论；＝S△ABC+S△ADC即可得出结论．（2）根据S四边形ABCD【解答】（1）解：∠D是直角．理由：连接AC，∵∠B＝90°，∴AC2＝BA2+BC2＝400+225＝625，∵DA2+CD2＝242+72＝625，∴AC2＝DA2+DC2，∴△ADC是直角三角形，即∠D是直角；＝S△ABC+S△ADC，（2）解：∵S四边形ABCD＝AB•BC+AD•CD，∴S四边形ABCD＝，＝234．【点评】本题考查的是勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．22．（2021秋•沭阳县期末）如图，在四边形ABCD地块中，AB＝6，AD＝8，BC＝26，CD＝24，∠A＝90°，求该四边形ABCD地块的面积．【分析】连接BD，先根据勾股定理求出BD的长，再根据勾股定理的逆定理推出△CBD是直角三角形，然后将两个直角三角形的面积相加即可．【解答】解：连接BD，在Rt△BAD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝＝10，在△CBD中，CD2＝BD2+BC2，∴△CBD是直角三角形．+S△CBD∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＝AD•AB+BD•BC＝×6×8+×10×24＝24+120＝144．故四边形ABCD的面积为144．【点评】此题主要考查学生对勾股定理和勾股定理的逆定理的理解和掌握，解答此题的关键是利用勾股定理的逆定理推出△CBD是直角三角形，然后即可得出答案．23．（2022秋•邗江区期中）已知△ABC中，∠A、∠B、∠C所对边长分别为a、b、c，请解决下列问题．（1）若∠C＝90°，，求b；（2）若a、b、c三边满足|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，试判断△ABC的形状．【分析】（1）根据勾股定理即可求解；（2）根据绝对值的非负性可得a﹣9＝0，b﹣12＝0，c﹣15＝0，从而可得a＝9，b＝12，c＝15，然后利用勾股定理的逆定理进行计算即可解答．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，，∴b＝＝＝2；（2）△ABC是直角三角形，理由：∵|a﹣9|+|b﹣12|+|c﹣15|＝0，∴a﹣9＝0，b﹣12＝0，c﹣15＝0，∴a＝9，b＝12，c＝15，∵a2+b2＝92+122＝225，c2＝152＝225，∴a2+b2＝c2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了绝对值的非负性，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键．24．（2022秋•建湖县期中）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，AC及BC的延长线于点D，E，F，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求证：∠ACB＝90°；（2）若AC＝12，BC＝9，求CE的长．【分析】（1）根据垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理可以判断△BEC的形状，从而可以得到∠ACB＝90°；（2）根据（1）中的结果和勾股定理，可以计算出CE的长．【解答】（1）证明：连接BE，如图所示，∵ED垂直平分AB，∴AE＝BE，∵CB2＝AE2﹣CE2，∴CB2＝BE2﹣CE2，∴CB2+CE2＝BE2，∴△BEC是直角三角形，∴∠ACB＝90°；（2）解：设CE＝x，则AE＝12﹣x，∵BE＝AE，∴BE＝12﹣x，∵∠ECB＝90°，BC＝9，∴CB2+CE2＝BE2，∴92+x2＝（12﹣x）2，解得x＝，即CE＝．【点评】本题考查勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．25．（2022秋•南京期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝20，AD＝15，CD＝7，BC＝24，∠A＝90°．求证：∠C＝90°．【分析】连接BD，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，然后再利用勾股定理的逆定理证明△BCD 是直角三角形，即可解答．【解答】证明：连接BD，∵AB＝20，AD＝15，∠A＝90°，∴BD＝＝＝25，在△BCD中，BC2+CD2＝242+72＝625，BD2＝252＝625，∴BD2＝BC2+CD2，∴△BCD是直角三角形，∴∠C＝90°．【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理，以及勾股定理的逆定理是解题的关键．26．（2022秋•邗江区校级月考）如图，在三角形ABC中，AB＝10，BC＝12，AD为BC边上的中线，且AD＝8，过点D作DE⊥AC于点E．请求出线段DE的长．【分析】求出BD，求出AD2+BD2＝AB2，根据勾股定理的逆定理得出∠ADB＝90°即可；求出AC＝AB＝10，根据三角形的面积公式求出DE即可．【解答】解：∵BC＝12，AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC＝6，∵AD＝8，AB＝10，∴BD2+AD2＝AB2，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC；∵AD⊥BC，AD为BC边上的中线，∴AB＝AC，∵AB＝10，∴AC＝10，∵△ADC的面积S＝AD•DC＝AC•DE∴＝，解得：DE＝4.8．【点评】本题考查了等腰三角形的判定和勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键．27．（2022秋•滨海县期中）如图所示的一块土地，测量得AB＝3m，BC＝4m，CD＝13m，AD＝12m，∠ABC＝90°，求这块土地的面积．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出△CAD是直角三角形，再分别求出△CAD和△CBA的面积即可．【解答】解：连接AC，∵AB＝3m，BC＝4m，∠ABC＝90°∴AC2＝BC2+AB2＝25，∴AC＝5m，∵CD＝13m，AD＝12m，∴AC2+AD2＝CD2，∴△CAD是直角三角形，即∠CAD＝90°，﹣S△CAB∴这块土地的面积S＝S△CAD＝﹣＝＝24（m2），答：这块土地的面积是24m2．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能求出△CAD是直角三角形是解此题的关键．五．勾股数（共1小题）28．（2022秋•江都区期末）下面各组数中，勾股数是（）A．0.3，0.4，0.5B．1，1，C．5，12，13D．1，，2【分析】三个正整数，其中两个较小的数的平方和等于最大的数的平方，则这三个数就是勾股数，据此判断即可．【解答】解：A、都不是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；B、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意；C、52+122＝132，能构成直角三角形，都是整数，是勾股数，故选项符合题意；D、不都是正整数，不是勾股数，故选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了勾股数的概念，正确记忆满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数是解题关键．六．勾股定理的应用（共7小题）29．（2021秋•洪泽区校级期中）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．7B．8C．9D．10【分析】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6（米），间距为8米，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离＝＝10（米）．故选：D．【点评】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．30．（2022秋•邗江区校级月考）如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD+BD﹣AB即为橡皮筋拉长的距离．【解答】解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；故橡皮筋被拉长了2cm．故选：A．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．31．（2022秋•金湖县期中）将一根24cm的筷子置于底面直径为12cm，高为5cm的圆柱形水杯中，如图，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）A．h≤19B．11≤h≤19C．12≤h≤19D．13≤h≤19【分析】当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短；当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长．然后根据勾股定理求出AB的长，即可解决问题．【解答】解：如图，当筷子的底端在D点时，筷子露在杯子外面的长度最长，此时h＝24﹣5＝19（cm），当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短，在Rt△ABD中，AD＝12cm，BD＝5cm，∴AB＝＝＝13（cm），此时h＝24﹣13＝11（cm），所以h的取值范围是11≤h≤19．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用，能够读懂题意和求出h的值最大值与最小值是解题关键．32．（2022秋•工业园区校级月考）放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是100米/分，小红用3分钟到家，小颖4分钟到家，则小红和小颖家的直线距离为（）A．300米B．400米C．500米D．700米【分析】两人的方向分别是东南方向和西南方向，因而两人的家所在点与学校的连线正好互相垂直，根据勾股定理即可求解．【解答】解：根据题意得：如图：OA＝100×4＝400（米）．OB＝100×3＝300（米）．在直角△OAB中，AB＝＝＝500（米）．故选：C．【点评】本题考查勾股定理的应用，解题时从实际问题中整理出直角三角形是本题的关键．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．33．（2022秋•惠山区期中）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．在《九章算术》中的勾股卷中有这样一道题：今有竹高一丈，末折抵底，去本三尺．问折者高几何？意思为：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处B离远处竹子C的距离BC为3尺，则折断后的竹子AC＝尺．（注：1丈＝10尺．）【分析】设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：设折断后的竹子AC为x尺，则斜边AB为（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，根据勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝，故答案为：．【点评】此题考查了勾股定理的应用以及数学常识，由勾股定理得出方程是解题的关键．34．（2022秋•江阴市期中）如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度？【分析】设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，∴x2＝62+（x﹣2）2，解得：x＝10，答：绳索AD的长度是10m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键．35．（2022秋•锡山区期中）新冠疫情期间，为了提高人民群众防疫意识，很多地方的宣讲车开起来了，大。
人教版-分章节全视角系列讲学案-4下第05讲：第3章运算定律-简便运算-3乘法-教师版
整数乘法的简便计算—答案知识概述一、要记忆的乘法。
1、15的倍数、25的倍数、125的倍数。
2、个位是5的两位数×2、个位是5的两位数×3。
2、易混、常用的数相乘。
3、完全平方数、立方数、2的乘方、π的倍数。
5、特殊数的相乘：①质数相乘；②因数是1连续的乘法；③缺8数乘9。
二、运算定律1、交换律、结合律。
2、乘法分配律：①乘加（含秃尾巴）；②乘减（含秃尾巴）；③三个及以上数：乘加或乘减；④乘加、乘减混合3、乘法分配律的应用(见：后面几个题型)①一个数乘9、99、999…(乘法分配律的应用)②一个数乘11、101、1001…(乘法分配律的应用)③一个数乘25、125……三、一个数乘5、25、1251、直接相乘：2个因数2、直接相乘：3个及以上因数3、先变化再相乘：因数分解4、先变化再相乘：补足或减余 (乘法分配律的应用)四、个位是5的数的推广1、一个数乘15、35、45、55……2、一个数乘53、一个数乘15五、快捷运算。
1、一个数乘9、99、999…2、一个数乘11、101、1001…3、一个数乘114、十几乘十几5、头同尾和十6、尾同头和十7、互补数×叠数8、几十一乘几十一六、大数的运算。
1、利用几个特殊质数的积。
如：3×37＝111；27×37＝999；7×11×13＝10012、乘法分配律的变化应用。
3、因数分解。
4、两组数，因数的和相同，比较积的大小。
5、超大数的计算应用举例一、要记忆的乘法。
15的倍数15×2＝30； 15×3＝45； 15×4＝60； 15×5＝75；15×6＝90； 15×7＝105； 15×8＝120； 15×9＝135；25的倍数25×2＝50； 25×3＝75； 25×4＝100； 25×5＝12525×6＝150； 25×8＝200125的倍数125×2＝250； 125×3＝375； 125×4＝500； 125×5＝625125×6＝750； 125×7＝875； 125×8＝1000个位是5的两位数×235×2＝70； 45×2＝90； 55×2＝110； 65×2＝13075×2＝150； 85×2＝170； 95×2＝190个位是5的两位数×335×3＝105； 45×3＝135； 55×3＝165； 65×3＝195；75×3＝225； 85×3＝255； 95×3＝285易混、常用的数相乘15×6＝90, 16×5＝80, 14×5＝70, 15×4＝60, 13×7＝91;17×3＝51, 19×3＝57, 13×9＝117, 14×4＝56, 16×4＝64;25×4＝100, 24×5＝120, 12×13＝156, 12×15＝180, 15×16＝240;24×25＝600, 6×36＝216, 8×27＝216, 9×24＝216, 12×18＝216.完全平方数：1×1＝1； 2×2＝4； 3×3＝9； 4×4＝16； 5×5＝25；6×6＝36； 7×7＝49； 8×8＝64； 9×9＝81； 10×10＝100。
计算方法第3章
(i ? 1,2,? , N)
工程实际中的许多问题都可以归结为矛盾方程组，实际中需
N
要寻求矛盾方程组的一组解，以使得偏差的绝对值之和 ? ? i i?1
尽可能地小。为了便于分析计算和应用，常采用使偏差的平方和
? ? ? Q ?
N
?
2 i
?
i?1
N i?1
????
n j?1
a ij x j
引理2：设非齐次线性方程组 Ax? b 的系数矩阵A=(aij)N×n，
若rank(A)=n，则 (1) 矩阵ATA是对称正定矩阵； (2) n阶线性方程组 AT Ax ? ATb 有唯一解。 证明：(1) 矩阵ATA显然是对称矩阵。
设齐次线性方程组 Ax? 0
因为rank(A)=n，故齐次方程组有唯一零解。因此，对于任意
其误差的度量形式很多，选用使
N
? (? (xi ) ? yi )2
i?0
最小做为确定参数的方n法称为最小二乘法。
? ?? ( xi ) ? ? yi 2
i? 0
二、线性代数方程组的最小二乘解 设线性方程组
n
? 或写为 aij x j ? bi (i ? 1,2,? , N) j ?1
其矩阵形式为 Ax? b
如果由试验提供的数据量比较大，又必然使得插值多项式的 次数过高而效果不理想。
从给定的一组试验数据出发，寻求函数的一个近似表达式 y=? (x)，要求近似表达式能够反映数据的基本趋势而又不一定过 全部的点(xi,yi)i=0,1,2,…,N，这就是曲线拟合问题，函数的近 似表达式y=? (x)称为拟合曲线。本章重点介绍用最小二乘法求拟 合曲线。
一、曲线拟合问题的关键 选择合适的曲线类型：根据问题的物理规律或数据特点，选
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例3 用梯形公式和的复化梯形公式求积分，并估计误差。 解 （1） 梯形公式
因为 ，，代入梯形公式得 则
（2） 复化梯形公式 因为 和复化梯形公式得
因为 ， ， 所以 注意：在用复化梯形公式和复化辛卜生公式计算 积分时注意系数的排 列。 例4 用辛卜生公式和复化辛卜生公式计算 积分 ，使误差小于 解 （1） 辛卜生公式
第3章 数值积分
一、考核知识点：
内插求积公式， 代数精度，梯形公式及其余项，辛卜生公式及其余 项，复化梯形公式及其余项，复化辛卜生公式及其余项。
二、考核要求：
1．知道内插求积公式及其性质，会计算内插求积公式。 2．了解代数精度概念，掌握内插求积公式代数精度的判别方法。 3．熟练掌握梯形、复化梯形公式及其余项；熟练掌握辛卜生、复化 辛卜生公式及其余项，熟练掌握运用它们计算定积分的近似值。
因为，，代入辛卜生公式得 4 （2） 复化辛卜生公式 因为 解不等式 得 ，用，复化辛卜生公式计算得
例5 设为内插求积公式系数 证明 证明：设 ，因为 所以 。
三、重、难点分析
例1 在区间上，求以为节点的内插求积公式。 解：由系数计算公式得
所以求积公式为
例2求积公式的代数精确度为（
）。
解 由于此公式为3个节点的内插求积公式，代数精度至少为2。
令，代入内插求积公式得
左边=，右边， 所以 左边=右边
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再令，代入内插求积公式得
左边=，右边= 所以 左边右边
所以此公式具有3次代数精度。