第六章抛物型方程第3,4节

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抛物型方程

前言抛物型方程解的估计及其应用1前言数学物理方程主要指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程（有时也包括积分方程、微分方程等），它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和关于空间变量的导数之间的制约关系．连续介质力学、电磁学、量子力学等等方面的基本方程属于数学物理方程的范围．它以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象．它与其他数学分支及物理、化学等自然科学和工程技术的很多领域都有着广泛的联系，因此，无论在历史上还是在今天的现实生活中，它对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要大的作用．微积分产生以后，人们就开始把力学中的一些问题，归结为偏微分方程进行研究．早在18世纪初，人们已经将弦线振动问题归结为弦振动方程，并探讨了它的解法．随后，人们又陆续了解了流体的运动、弹性体的平衡和振动、热传导、电磁相互作用、原子核和电子的相互作用、化学反应过程等等自然现象的基本规律，把它们写成偏微分方程的形式，并且求出了典型问题的解答，从而能通过实践，验证这些基本规律的正确性，显示了数学物理方程对于认识自然界基本规律的重要性．有了基本规律，人们还要利用这些基本规律来研究复杂的自然现象和解决复杂的工程技术问题，这就需要求出数学物理方程中许多特定问题的解答，随着计算机的出现及计算技术的发展，即使是相当复杂的问题，也可以计算出足够精确的数值来，这对于预测自然现象的变化(如气象预报)和进行各种工程设计（如机械强度的计算）都有着很重要的作用．在研究数学物理方程的同时，人们对偏微分方程的性质也了解得越来越多、越来越深入，形成数学中的一门重要分支——偏微分方程理论．它既有悠久的历史，又不断地更新着它的对象、内容和方法．它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支（如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等）的发展，并从它们之间引进许多有力的解决问题的工具．因此，数学物理方程又是纯粹数学的抛物型方程解的估计及其应用许多分支和自然科学各部门及工程技术等领域之间的一个重要的桥梁．2 选题背景2.1 题目类型及来源题目类型：研究论文题目来源：专题研究2.2研究目的和意义数学物理方程将数学与物理紧密地结合在一起，用精微的数学思想和方法应用于实际的物理研究中，通过物理过程建立数学模型（偏微分方程），通过求解和分析模型，对实际物理过程进一步深入理解，提出解决实际问题的途径和方法．而抛物型方程是偏微分方程中的一类，且在研究热传导、扩散等物理现象时都会遇到，具有巨大的理论价值，同时，抛物型方程的概念和性质也决定了它在工程数学，物理等方向的巨大实用价值．研究抛物型方程解的估计及其应用，有助于我们更好的理解和掌握偏微分方程理论，并在认识和了解抛物型方程广泛的使用价值的基础上，能够探索抛物型方程更广泛的应用．随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛．从数学自身的角度看，抛物型方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展．2.3国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向自18世纪以来，偏微分方程理论在得到广泛应用的同时，也得到不断发展和完善，内容也越来越丰富，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地提出或产生需要解决的新课题和新方法．它所面临的数学问题多样而复杂，不断地促进着许多相关数学分支的发展，如泛函分析、复变函数、微分几何、计算数学等，并从它们之中引进许多有力的解决问题的方法．关于抛物型方程的解，有经典解、广义解、数值解等方面的研究．经典解在求解区域中具有方程中所出现的连续偏导数，并按通常意义满足方程与定解条件，也就是热传导方程的一些知识说，将解代入方程及定解条件后即可使其化为恒等式．求经典解的方法有分离变量法、Fourier变换法．经典解容易理解，且应用方便，但实际求解抛物型方程的定解问题时，往往不一定能得到经典解．于是就提出了广义解[1]的理论，即先寻求一个正则性较低的函数（广义解），它按较弱的意义满足方程与定解条件，然后再进一步证明这个函数实际上就是原来问题的经典解．广义解可按逼近过程来定义，也可按分部积分的方法来定义．由于抛物型方程的广义解是在“较差”的函数类中寻求相应定解问题按拓广意义下的解，因而又提出了广义函数的概念、性质、应用等方面的研究．在实际求解抛物型方程的定解条件时，除了一些特殊的情况下可以方便地求得其精确解外，在一般的情况下，当方程或定解条件具有比较复杂的形式，或求解区域具有比较复杂的形状时，往往求不到或不易求到其精确解，我们就只得去寻求抛物型方程定解问题的近似解，特别是数值近似解，于是就有了抛物型方程数值解的理论研究．求抛物型数值解的方法主要有：有限差分法、有限元素法．随着社会文明的发展，我国与其它国家的文化交流沟通很全面，偏微分方程的研究方向基本上也是一致的．在微分方程定性理论中有着重要应用的时滞积分不等式以及在差分方程定性理论中有重要应用的时滞离散不等式和关于时间尺度的动力方程理论，在研究了抛物型方程及抛物型方程系统、双曲型方程及双曲型方程系统的强迫振动性理论以及某些时滞脉冲偏微分方程在特定边值条件下解的振动的若干充要条件和多时滞脉冲抛物型微分方程系统解的强迫振动性，推广了已有的结果，建立了若干新定理，促进了偏泛函微分方程理论的发展，并主要创新提出并建立了偏泛函微分方程系统的强迫振动性理论以及具有连续分布变元的双曲型偏泛函微分方程系统和抛物型偏泛函微分方程系统的振动性理论；获得了变系数抛物型偏泛函微分方程解的振动的若干充分必要条件和时滞脉冲抛物型微分方程解的振动的若干充分必要条件和多时滞脉冲抛物型微分系统解的强迫振动性；研究了时滞积分不等式理论和关于时间尺度的动力不等式理论．这些理论的建立，为偏泛函微分方程理论和积分不等式理论的进一步发展起到了非常大的促进作用．3热传导方程的一些知识3.1 热传导方程的导出若物体内各点的温度不相同，则其热量就会从温度较高的地方向温度较低的地方抛物型方程解的估计及其应用传递，这就是常说的热传导现象．由于热量的传递，所以物体内温度随时间和点的位置不同而不同，因此热传导问题可归结为研究物体内部的温度分布情况．下面我们考察一个均匀的、各向同性的物体G 在Ω内部的温度变化规律．设以(),,u x y z 表示物体G 在Ω内任一点(),,M x y z 处在时刻t 的温度．在Ω内任取一小块区域V ，使V -⊂Ω，并且其边界Γ是光滑的闭曲面，Γ上面积元素的单位外法向量记作n ．根据传热学中的傅里叶实验定律[2]，物体在无穷小时段dt 内，从V 内经过dS 流出的热量dQ 与时间dt ，流经面积dS 以及温度沿dS 的外法向量的方向导数un∂∂成正比，即udQ k dSdt k u ndSdt n∂=-=-∇⋅∂其中0k >是物体的热传导系数，,,x y z ⎛⎫∂∂∂∇= ⎪∂∂∂⎝⎭．上式中的负号表示热流的方向与温度梯度的方向相反（因为热量总是由温度高处流向温度低处），因此从时刻1t 到时刻2t 经过Γ流入V 内的全部热量 211t t Q dt k u ndsdt Γ=∇⋅⎰⎰⎰若物体Ω内有热源，且热源强度为(),,,F x y z t （即在时刻t 点(),,x y z 处的单位面积在单位时间内发出的热量），则在[]12,t t 内，V 从热源上吸收的热量为 ()212,,,t t VQ F x y z t dxdydzdt =⎰⎰⎰⎰另一方面，在[]12,t t 内，V 内温度从()1,,,u x y z t 升高到()1,,,u x y z t 所需吸收的热量为 ()()321,,,,,,VQ c u x y z t u x y z t dxdydz ρ=-⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰其中为c 物体的比热，ρ为物体的密度．根据能量守恒，有热传导方程的一些知识123Q Q Q +=若(),,,u x y z t 关于,,x y z 具有二阶连续偏导数，则由高斯公式得 22111t t t t VQ dt k u ndsdt k udxdydzdt Γ=∇⋅=∆⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰这里 ∆ 是laplace 算子，222222x y z∂∂∂∆=++∂∂∂若(),,,u x y z t 关于t 具有一阶连续偏导数，则由Newton-Leibniz 公式有 213t t t VQ dt c u dxdydz ρ=⎰⎰⎰⎰因此有()2211t t t t t VVdt c u dxdydz dt k u F dxdydz ρ=∇+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于时间段[]12,t t 及区域V 是任意取定的，并且被积函数是连续的，则 2t u a u f -∆= 其中2k a c ρ=，Ff c ρ=，并且当0f ≥时，表示Ω内有热源；当0f ≤时，表示Ω内有冷源（即热汇）．在适当情况下，方程中描述空间坐标的独立变量的数目还可以减少．例如当物体是均匀细杆时，假如它的侧面是绝热的，也就是说不产生热交换，又假定温度的分布在同一截面是相同的，则温度函数u 仅与坐标x 及时间t 有关，我们就得到一维热传导方程222u u a t x∂∂=∂∂ 同样，如考虑薄片的热传导，薄片的侧面绝热，可得二维热传导方程22222u u u a t x y ⎛⎫∂∂∂=+ ⎪∂∂∂⎝⎭抛物型方程解的估计及其应用3.2 定解问题的提法方程描述的是同类物理现象的共性，但是每一具体的物理现象都是处在各自特定条件之下的，这就需要我们把它所处的特定条件也用数学形式表达出来，我们称这些特定条件为定解条件．定解条件分为初始条件和边界条件．初始条件是说明初始状态的条件，边界条件是描述边界状态的条件，边界条件可分为三类，第一类边界条件（又称Dirichlet 边界条件）是直接给出未知函数在研究区域Ω的边界∂Ω上的值；第二类边界条件（又称Neumann 边界条件）是在∂Ω上给出未知函数u 沿∂Ω沿外法方向n 的方向导数；第三类边界条件（又称为Robin 条件）是在边界∂Ω上给出未知函数u 及其沿∂Ω的外法方向导数的某种线性组合的值．从物理学角度来看，如果知道了物体在边界上的温度状况（或热交换状况）和物体在初始时刻的温度，就可以完全确定物体在以后时刻的温度．因此热传导方程最自然的一个定解问题就是在已给的初始条件与边界条件下求解问题的解．初始条件的提法显然为()(),,,0,,u x y z x y z ϕ=其中(),,x y z ϕ为已知函数，表示物体在0t =时的温度分布第一边界条件：在3R 中的有界区域Ω的导热问题中，若Ω的边界∂Ω处于恒温0u 的环境下，则边界条件为0u u ∂Ω|=若边界温度按已知规律(),,,g x y z t 变化，则(),,,u g x y z t ∂Ω|=第二边界条件：若热量在边界曲面∂Ω各点的流速为(),,,G x y z t ，则由Fourier 定律，边界条件可写成(),,,ug x y z t n ∂=∂ 其中Gg k =-，若0G =，则0u n ∂Ω∂=∂，此时称之为绝热边界条件．定解问题的求解第三边界条件：如果物体内部与周围的介质通过边界∂Ω有热量交换，物体外介质的温度为2u ，物体表面的温度为1u ，内外两种介质间的热交换系数为()110k k >，根据Newton 定律，从物体内部流到外部的热量与两介质间的温度差成正比，即有()112dQ k u u dsdt =-另一方面，由Fourier 定律[3]，在时间间隔内从边界曲面上面积元流出的热量为udQ k dsdt n∂=-∂从而有()112uk u u dsdt k dsdt n∂-=-∂即(),,,u u g x y z t n σ∂Ω∂⎛⎫+=⎪∂⎝⎭ 其中1k kσ=， ()1,,,u g x y z t σ= 4 定解问题的求解4.1 初值问题的求解我们可以利用傅里叶变换来求解热传导问题的初值问题．其思想是把原函数变换到另一类函数中去，经过变换，使热传导方程变为常微分方程，从而可以找出一个解，再经过Fourier 的逆变换，得到原热传导方程的解．()()()()2,,,,0,t xx yy u a u u f x y t u x y x y ϕ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ （1）视t 为参数，先求解齐次热传导方程的初值问题()()()2,,0,txx yy u a u u u x y x y ϕ⎧=+⎪⎨=⎪⎩ （2）对,x y 进行Fourier 变换，记()()12,,,,F u x y t U t λλ=⎡⎤⎣⎦，抛物型方程解的估计及其应用()()12,,F x y ϕλλ=Φ⎡⎤⎣⎦在（1）式两边关于,x y 进行Fourier 变换，原问题变为()()()()()()()222121122121212,,,,,,,,0,d U t a i U t i U t dtU λλλλλλλλλλλλ⎧⎡⎤=+⎪⎣⎦⎨⎪=Φ⎩（3）（2）式是带参数12,λλ的常微分方程的柯西问题，它的解为()()()2121212,,,a tU t e λλλλλλ-+=Φ （4）函数()212a teλλ-+的Fourier 逆变换[4]为()()()()()()()2222221212122222112211221221F 21=2a a i x y a t i xa t i xe t ete d d ed ed λλλλλλλλλλλλπλλπ+∞-+-++-∞----+∞+∞-∞-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰－()222222111122111111+11cos sin =2cos a t i xa ta ta ted exd i exd exd λλλλλλλλλλλλ----+∞+∞+∞-∞-∞-∞∞-=+⎰⎰⎰⎰令()221+110cos a tI x exd λλλ∞-=⎰()()221222211+/111111202sin 1 =sin cos 2 =2a t a t a t I x e xd e x x xe d a t xI x a tλλλλλλλλλ∞-+∞--+∞0=-⎡⎤∣-⎢⎥⎣⎦-⎰⎰ 解得()224x a tI x ce-=又()2212+1+00 a t y I e d e dy λλ∞-∞-===⎰定解问题的求解则有()222222121421F 4x y aa tet e a tλλπ+--+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦－由（4）可得初值问题（2）的解为()()()()222421,,,4x y a tu x y t e d d a tξηϕξηξηπ-+--+∞+∞-∞-∞=⎰⎰ （5）再求解非齐次热传导方程具有齐次初始条件的柯西问题()()()2,,,.00t xx yy u a u u f x y t u x y ⎧=++⎪⎨=⎪⎩ （6）由齐次化原理[5]，此柯西问题的解可写为()()0,,,,;tu x y t x y t d ωττ=⎰而(),,;x y t ωωτ=为下述柯西问题的解：()()()2,,,,,t xx yy a t x y f x y ωωωτωττ⎧=+>⎪⎨=⎪⎩于是，利用（5）式，易知柯西问题（6）的解为()()()()()222420,,1,,4x y ta t u x y t ed d d a t ξητϕξητξητπτ-+--+∞+∞--∞-∞=-⎰⎰⎰ （7）由叠加原理[6]，由（5）及（7）就得到柯西问题（1）的解为()()()()()()()()222222424201,,,4,,1 4x y a tx y ta t u x y t ed d a t ed d d a t ξηξητϕξηξηπϕξητξητπτ-+--+∞+∞-∞-∞-+--+∞+∞--∞-∞=+-⎰⎰⎰⎰⎰在上面的推导中，由于预先不知道是否满足进行傅里叶变换及有关计算的条件，所得的解还只是形式解．为证明上式确实是柯西问题（1）的解，还得进行验证．抛物型方程解的估计及其应用4.2 初边值问题的求解热传导方程的初边值问题20 t xx u a u -= （8）00x x l u u ==∣=∣= （9） ()0 t u x ϕ=∣= （10）令()()() ,u x t X x T t = （11）并要求它满足齐次边界条件（9），这里()X x 及()T t 分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的特定函数．将（11）代入方程（8）中，得到()()()()///0 X x T t X x T t -= （12）将上式分离变量，有()()()()///2T t X x a T t X x λ==- （13）由于在（13）式中，左边仅是t 的函数，右边仅是x 的函数，左右两端要相等，只有等于同一个常数才可能．记次常数为λ-（其值待定），就得到()()/2T aT 0t t λ+= （14）()()//0Xx X x λ+= （15）这样方程（13）就被分离为两个常微分方程，其中一个含有自变量t ，另一个仅含有自变量x ，我们可以通过求解这两个方程来决定()T t 及()X x ，从而得到方程（8）的特解（11）为了使此解是满足齐次边界条件（9）的非平凡解，就必须找到方程（8）满足边界条件定解问题的求解()()00,0X X l == （16）的非平凡解．方程（15）的通解随0λ>，0λ=以及0λ<而不同，下面分三种情况讨论：情形1 当0λ<时，方程（15）的通解可写成 ()12X x C C e =+要使它满足边界条件（16），就必须1200C C e +=⎧⎪⎨+=⎪⎩由于110e≠只能120C C ==．故在0λ<的情况得不到非平凡解．情形2 当0λ=时，方程（15）的通解可以写成 ()12X x C C X =+ 要满足边界条件（16），()X x 也只能恒等于零．情形3 当0λ>时，方程（15）的通解具有如下形式： ()12X x C C =+ 由边界条件()00X =知10C =，再由()20X l C ==可知，为了使20C ≠，就必须sin 0=．于是222(1,2,)k k k lπλλ===⋯这样就找到了一族非零解()sin(1,2,)k k k X x A x k lπ==⋯ 将固有值代入方程（14）中，可得到其通解为()2222(1,2,)a k tl k k T t B ek π-==⋯这样就得到方程（8）的满足齐次边界（9）的下列分离变量形式的特解：()()()2222k ,sin(1,2,)a k tl k k k k u x t X x T t a ex k lππ-===⋯ 现在我们设法作这种特解的适当的线性组合，以得出初边值问题的解，也就是说，要决定常数k a 使()22221,sina k tl k k k u x t a ex lππ∞-==∑ （17）满足初始条件（10）．故由初始条件（10）应有()1sink k k x a x lπϕ∞==∑ 由于 1,sink x l π⎧⎫⎨⎬⎩⎭在[]0,l 上正交，因此，k a 是在[]0,l 区间中正弦展开的傅里叶级数的系数，即()02sin l k k a d l lπϕξξξ=⎰ （18）故()()222201,sin sina k tll k k k u x t d ex l lπππϕξξξ∞-==⋅∑⎰ （19）是用级数形式表示的初边值问题的形式解．为了考察由分离变量法得到的形式解是否是混合问题的经典解，还得进行验证．当1C ϕ∈，且()()00l ϕϕ==，()x ϕ是有界函数，（18）式确定的函数(),u x t 是混合问题的解．分析：在求解过程中，级数（17）中的每一项都满足方程（8），因此只要证明级数（17）可以逐项求导两次就好了．也就是说，如果证明了级数（17）求导两次后仍是一致收敛的，那么它一定满足方程（8），此时边界条件（9）和初始条件（10）的满足也是显然的推论了．证明：由于式（19）中含有因子2222a k tl eπ-，因此对于任意0δ>，当0t >时，对任意的0p >，级数22221p a k tl k k el ππ∞-=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑均是一致收敛的，而由ϕ是有界函数的假设（()x M ϕ<），可得()0sinlk d Ml lπϕξξξ≤⎰故（19）式中列举的所有级数是一致收敛的，因而，由式（19）表示的级数，当0t >时，关于x 及t 是无穷次可导的，并且求导与求和可以交换．由于级数的每一项都满足方程（8）及边界条件(9)、(10)，从而式（19）式表示的级数在0t >时确实满足方程及边界条件．当加上条件()()00l ϕϕ==时，当0t →时，对任意[]0,x l ∈，由式（19）给出的级数趋于初值()x ϕ，即得到式（19）给出的级数确实是初边值问题（8）~（10）的经典解．5 抛物型方程解的估计及其应用先验估计是偏微分方程理论研究中的一个常用的方法．其特点是在假设定解问题解存在的前提下导出解所应当满足的估计，而常用的估计有最大模估计[7]，能量估计[8]等等．一般地，我们可以根据先验估计得到定解问题解的唯一性和稳定性，并且可结合其他一些分析方法推导出解的存在性，此外，作为对解的一种估计，先验估计还可能提供关于解的某种性态（如有界性等）方面的信息．5.1 极值原理考虑热传导方程()()2,,,t xx Lu u a u f x t x t Q ≡-=∈其中(){},0,0Q x t x l t T =<<<≤，Q 的侧边和底边统称为Q 的抛物边界，记作Γ，即(){}(){}(){},0,0,,0,0,0x t x t T x t x l t T x t t x l Γ==<≤⋃=<≤⋃=≤≤在热传导过程中，如果物体内部无热源，则热量总是由温度高处向其它地方扩散，而温度最低处的温度会逐渐上升．因此物体的最高温度和最低温度总是在初始时刻或物体的边界上达到．这就是热传导方程的“极值原理”．定理 1（弱极值原理）设函数()()()2,1,C u x t Q C Q ∈⋂满足Lu f =．（1）若0f ≤，则u 在Q 上的最大值必在抛物边界Γ上达到，即 ()()max ,max ,Qu x t u x t Γ=（2）若0f ≥，则()()min ,min ,Qu x t u x t Γ=（3）若0f =，则()()max ,max ,Qu x t u x t Γ=， ()()min ,min ,Qu x t u x t Γ=同时成立，这里()2,1C Q 表示在Q 内关于x 二次连续可微，且关于t 一次连续可微的函数全体．证明：（1）不妨先考虑0f <情形．反设存在点()00,x t Q ∈，使得()()00,max ,Qu x t u x t =则在该点处0x u =，0xx u ≤，0t u ≥（如果0t T <，则0t u =；如果0t T =，则0t u ≥）．因此()()()00200,,0t xx x t f x t u a u =-≥，这与0f <的假设相矛盾．故(),u x t 不能在Q 内达到最大值，从而有 ()()max ,max ,Qu x t u x t Γ=当 (),0f x t ≤时，设法将其转化为前面的情形．为此构造辅助函数 ()(),,v x t u x t t ε=- 其中ε是任意小的正数．因为0Lv Lu f εε=-=-< 所以()()max ,max ,Qv x t v x t Γ=于是()()()()max ,max ,max ,max ,QQu x t v x t t v x t T u x t T εεεΓΓ=+≤+≤+⎡⎤⎣⎦令0ε→，得()()max ,max ,Qu x t u x t Γ=（2）若0f ≥，则对u -应用情形（1）的结论即可．（3）结合前面两种情况，若0Lu =，则u 在Q 的上的最大值与最小值都在抛物边界Γ上达到．下面我们将弱极值原理推广到稍一般的热传导方程()()()21,,,t xx x Lu u a u b x t u c x t u f x t ≡-++=定理 2 函数()()2,1u C Q C Q ∈⋂满足10L u f =≤，则u 在Q 上的正最大值必在抛物边界Γ上达到，即()()max ,max ,Qu x t u x t +Γ≤由于其证明与定理1的证明方式类似，这里不再赘述．定理3 设()0,c x t c ≥-，其中0c 为正常数．若函数()()()2,1,u x t C Q C Q ∈⋂满足10L u f =≤，且()max ,0u x t Γ≤，则必有()max ,0Qu x t ≤证明令()()0,,c t v x t e u x t -=，则(),v x t 满足方程 ()0200c t t xx x v a v bv c c v fe --+++=≤ 由于00c c +≥，根据定理2，得()()()0max ,max ,max ,0c t Qv x t v x t e u x t -++ΓΓ≤≤≤因此结论得证．利用定理3，不难得到下列推论：推论1（比较原理）设()()00,0c x t c c ≥-≥，又设()()2,1,u v C Q C Q ∈⋂，且11L u L v ≤，u v ΓΓ≤，则对任意的(),x t Q ∈，有()(),,u x t v x t ≤5.2 初边值问题解的最大模估计设Ω是n R 中的有界开集，0T >．记(0,]T Q T =Ω⨯，(){}()[0,)0T T Γ=∂Ω⨯⋃Ω⨯这里的T Γ称为T Q 的抛物边界．我们先在T Q 中研究抛物型方程记 []()()1,,int i x i A u u u b x t uf x t ==-∆+=∑[]()()()1,,,int ix i B u u u b x t uc x t u f x t ==-∆++=∑考察第一初边值问题[]()()()()()()()()[]1,, ,,0 ,, ,0,i nt i x Ti A u u u b x t u f x t x t Q u x x x u x t g x t x t T ϕ=⎧=-∆+=∈⎪⎪⎪=∈Ω⎨⎪=∈∂Ω⨯⎪⎪⎩∑ （20）定理4 设()()2,1T T u C Q C Q ∈⋂是问题（20）的解，则TQ max u FT B ≤+其中sup TQ F f =，()[]{}0,max max ,max T B x g ϕ∂Ω⨯Ω=证明令v tF B =+，与u ±作比较．因为 [][]A u F f A u =≥±=± ，(),T x t Q ∈ ()()(),0,0v x B x u x ϕ=≥±=± ， x ∈Ω v B g u ∂Ω∂Ω∂Ω≥≥±=± ， 0t T ≤≤ 由比较原理知，u v FT B ±≤≤+，即 ()TQ max ,u x t FT B ≤+推论 2 第一初边值问题（20）的解在函数类()()2,1T T C Q C Q ⋂中是唯一的，且连续地依赖于f ，ϕ和g ．证明当0f g ϕ==≡时，对应的解u 满足TQ max 0u =，故0u ≡，从而解是唯一的．假设i u 是对应于{},,i i i f g ϕ的解，1,2i =，则12u u -是对应于{}121212,,f f g g ϕϕ---的解．于是[]{}TT121212120,Q Q max max ax max ,max T u u T f f g g ϕϕ∂Ω⨯Ω-≤-+--所以当{}111,,f g ϕ与{}222,,f g ϕ充分接近时，1u 与2u 也充分接近，这说明问题（20）的解连续地依赖于f ，ϕ和g ．现在考察第一初边值问题[]()()()()()()()[], ,,0 ,, ,0,TB u f x t x t Q u x x x u x t g x t x t T ϕ⎧=∈⎪⎪=∈Ω⎨⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩ （21）定理5 设()0,c x t c ≥-，()()2,1T T u C Q C Q ∈⋂是问题（21）的解，则 ()0TQ max c T u e FT B ≤+其中sup TQ F f =，()[]{}0,max max ,max T B x g ϕ∂Ω⨯Ω=．证明不妨认为00c ≥，令()0c t v e FT B =+，与u ±作比较．因为[]()()()()()()[]()00000000, =, ,c t c t c t c t c t c t T B u Fe c e Ft B c x t e Ft B Fe e c c x t Ft B Fe F f B u x t Q =+++++++≥≥≥±=±∈()()(),0,0v x B x u x ϕ=≥±=± ， x ∈Ω v B g u ∂Ω∂Ω∂Ω≥≥±=± ， 0t T ≤≤由比较原理知，()0c T u v e FT B ±≤≤+，即()()0TQ max , c T u x t e FT B ≤+5.3 初值问题解的最大模估计记[]T D 0,n R T =⨯，[](),t C u u u c x t u =-∆+ 考察初值问题[]()()()(), ,,0 TnC u f x t x tD u x x x Rϕ⎧=∈⎪⎨=∈⎪⎩ (22) 设(),c x t 连续，()()00,0c x t c c ≥->，(),f x t 和()x ϕ有界，记 sup TD F f =， sup nR ϕΦ=如果()()2,1T T u C D C D ∈⋂是初值问题（22）的解，则 ()0sup Tc T D u e FT ≤+Φ证明令()()0,,c t v x t u x t e -=，则v 满足[]()()()(),,,0 t nD v v v c x t v f x t v x x x R ϕ⎧=-∆+=⎪⎨=∈⎪⎩ （23）其中()()0,,0c x t c x t c =+≥，()()0,,c t f x t e f x t -=由于解得先验估计方法不能直接用于初值问题，我们希望借助于一个有界区域上的初边值问题进行讨论，任意取定较大的常数L ，记{}](,0,L T D x L T =≤⨯．因为解u 有界，所以存在正常数K 使得u K ≤在D T 上成立，在有界区域,L T D 上考虑辅助函数()()22,2K w x t Ft x nt v L =+Φ++± 直接计算知，在,L T D 上w 满足[]()()()()()()002,22220 ,,0 ,,0c t L T c tx L x L K D w F c Ft x nt e f x t D L K w x x x x LL w x t K u x t e ϕ--==⎧⎧⎫=++Φ++±≥∈⎨⎬⎪⎩⎭⎪⎪=Φ+±≤⎨⎪⎪≥Φ+±>⎪⎩利用比较原理知，(),0w x t ≥在,L T D 上成立对于D T 内的任一点()00,x t ，取L 充分大使得()00,,L T x t D ∈，于是()00,0w x t ≥ 即()()2000002,2K v x t Ft x nt L≤+Φ++ 令L →∞得()000,v x t Ft Ft ≤+Φ≤+Φ从而()()()000000,,c t c T u x t v x t e e Ft =≤+Φ由()00,T x t D ∈的任意性知，估计式（23）成立．推论3 初值问题（23）的解在函数类()()2,1T T C D C D ⋂中是唯一的，且连续地依赖于f ，ϕ．由于其证明与推论3的证明方式类似，这里不再赘述.5.4 初边值问题的能量估计设Ω是n R 中的一个光滑区域，在](0,T Q T =Ω⨯上考察第一初边值问题()()()()()[], ,,0 0 ,0,t T u u f x t x t Q u x x x u x t T ϕ-∆=∈⎧⎪⎪=∈Ω⎨⎪=∈∂Ω⨯⎪⎩ （24）定理6 设()()1,02,1T T u C Q C Q ∈⋂是问题（23）的解，则存在正常数()C C T =使得()222200max ,2TT t Tux t dx u dxdt C dx f dxdt ϕΩΩΩΩ≤≤⎛⎫+∇≤+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （25）证明问题（24的方程两边乘以u 并在T Q 上积分，得000tttt uu dxdt u udxdt f udxdt ΩΩΩ-∆=⎰⎰⎰⎰⎰⎰（26）对（26）式左端第一项中关于t 的积分利用分部积分以及初值条件，可知()()22011,22t t uu dt u x t x ϕ=-⎰ （27）对（26）式左端第二项关于x 的积分利用散度定理以及边界条件，推出22u u udx u dS u dx u dx n Ω∂ΩΩΩ∂∆=-∇=-∇∂⎰⎰⎰⎰ （28）将（27）式和（28）式代入（26）式，得2220022ttu dx u dxdt f udxdt dx ϕΩΩΩΩ+∇=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （29）利用不等式222ab a b ≤+可知 220002t ttf udxdt f dxdt u dxdt ΩΩΩ≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰将上式代入（29）式，得222220002tttu dx u dxdt f dxd u dxdt dx ϕΩΩΩΩΩ+∇≤++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （30）记 ()20tY t u dxdt Ω=⎰⎰，()220t F t f dxd dx ϕΩΩ=+⎰⎰⎰那么不等式蕴含()()()Y t Y t F t '≤+ 利用Gronwall 不等式[9]推出()()()()()()2022001 tt t t ttu dxdtF t Y t Y e e F t e F t e f dxd dx ϕΩΩΩ=≤+-⎛⎫≤=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰将上式代入（30）式知()22220021tt tu dx u dxdt e f dxd dx ϕΩΩΩΩ⎛⎫+∇≤++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 此式两边关于t 在[]0,T 上取上确界，就得到估计式（25）.下面我们将讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题．设Ω为n R 中的有界区域，且有光滑边界()0,T Q T =Ω⨯，在区域中讨论一般形式的二阶抛物型初边值问题()()()(),11,,,,i j i nnij x x i x i j i u a x t u u b x t u c x t u f x t t ==∂-++=∂∑∑ （31） ()0 t u x x ϕ==∈Ω （32）0T u ∑= （33）解的性质．式中，()0,T T ∑=Γ⨯为区域的侧边界；()12,,n x x x x =∈Ω为方便讨论，作如下假设：（1）系数ij a 、i b 、c 及右端项f 都是T Q 上的连续函数，并且ij a 在T Q 上还具有一阶连续偏导数．（2）对一切,1,2,i j n =；ij ji a a =且存在正常数0α>，使得对一切(),T x t Q ∈及任意给定的实向量()12,,,n ξξξ，有：()2,11,nnijiji i j i a x t ξξαξ==≥∑∑成立．对于初边值问题的解，定义能量函数：()212E t u dx Ω=⎰ （34）定理7 若(),u x t 为初边值问题（31）~（33）的解，能量函数()E t 按式（34）定义，则能量估计式：()()200 0t Ct Ct E t E e Ce f dxdt t T Ω≤+≤≤⎰⎰（35）成立．其中，C 为一个不依赖于u 的正常数．证明用u 乘以式(31)，并在Ω上关于x 积分，就得到：()(),11,,i j i n n t ij x x i x i j i u udx a x t u u dx b x t u u cu dx fudx ΩΩΩΩ==⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑⎰⎰⎰⎰ []0,t T ∈ (36) 式左端的第一项可以写成212d u dx dt Ω⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰；当3n ≥时，记12,,,n ααα为侧边界T ∑法向量的方向角，dS 为广义面积微元．令(),1,2,,i ij ij x p a uu i j n ==，固定i ，让1,2,,j n =，利用高维高斯公式[10]，并注意边界条件（它隐含着0Tu ∑=），边界积分项为零，可得()()()()()()12121122121212120cos cos cos = = =Ti i i n i ni i in n i i in n i x x i x x in x x i i in x x x x p p p dSp p p dx xx x a u a u a u udx a u a u a u u dxααα∑ΩΩΩ=++⎛⎫∂∂∂+++ ⎪∂∂∂⎝⎭+++++⎰⎰⎰⎰故对固定的i ，有：()()()()()12121212=i i i n i ni x x i x x in x x i i in x x x x a u a u a u udx a u a u a u u dx ΩΩ-+++++⎰⎰(37)成立，对式(37)关于i 从1到n 求和．式（36）左端的第二项可以写成：(),1,1,1i j i j i i n n n ij x x ij x x ij x x i j i j i j a u u dx a u u dx a u u dx ΩΩΩ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰ （38）将上式的第二项，连同式右端的第三、四项移至等式右边，并将其和记为(),t Q u u dx Ω⎰则有()()()1,1,,i i i n n ti x ij x x i i j Q u u dx fudx b x t u u cu a u u dx ΩΩΩ==⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰⎰则由于系数的可微性假设（1）可得，对一切0t T ≤≤成立()21,i n t T x i Q u u dx C u u u dx ΩΩ=⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭∑⎰⎰ （39）其中T C 为一个不依赖于T 的正常数，但与u 无关．对任意给定的0ε>，有2211122i innnx x i i i nuu dx udx u dx εεΩΩΩ===≤+∑∑∑⎰⎰⎰ （40）取TC αε=，由式（40）就得到()22111,2inntx i i Q u u dx udx C u dx αΩΩΩ==≤+∑∑⎰⎰⎰（41）其中212TT nC C C α=+，将式（41）代入式（36），容易得到2221,11111222i j i n n n ij x x x i j i i dE a u u dx u dx C u dx f dx dt αΩΩΩΩ===⎛⎫⎛⎫+≤+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑⎰⎰⎰⎰ （42）再注意到由假设（2）有2,11i j i n n ij x x x i j i a u u dx u dx αΩΩ==⎛⎫≥ ⎪⎝⎭∑∑⎰⎰ 就可得到()22dEC E t f dx dtΩ≤+⎰ （43）其中2121C C =+．在式（43）两边乘以2C t e -再对t 积分，，并放大被积函数，即可得 ()()200t Ct Ct E t E e Ce f dxdt Ω≤+⎰⎰定理证毕．5.5 能量不等式的应用5.5.1 初边值问题解的唯一性热传导方程是抛物型方程的典型代表．下面考虑二维热传导方程的初边值问题()2t xx yy u a u u f =++ （44）()0,t u x y ϕ== （45） (),,u x y t μΓ= （46）这里，Γ表示Ω的边界，应用能量不等式可得如下定理．定理8 若热传导方程的初边值问题的解存在，则其解唯一．证明设1u ，2u 是该定解问题的两个解，则其差12u u u =-满足相应的齐次方程及齐次初始条件和齐次边界条件．此时的齐次方程满足假设（1）、（2），有（34）式定义的能量函数知，在初始时刻有()00E =，故由能量不等式（35）得：()()22220x y E t u a u u dxdy Ω⎡⎤=++=⎣⎦⎰⎰ 即0x y u u u ===，从而可推出(),,u x y t const =．又由于在初始时刻0u =，故得(),,0u x y t ≡．即12u u =．这样就证明了初边值问题（44）~（46）解的唯一性． 5.5.2 初边值问题解的稳定性为了记号简单起见,对于定义在区域Ω上的函数ϕ和定义在区域上()0,T ⨯Ω的函数f ,常以()2L ϕΩ和()()20,L T f ⨯Ω分别表示()122dxdy ϕΩ⎰⎰和()1220Tf dxdydt Ω⎰⎰⎰．定理9 热传导方程的初边值问题：()2t xx yy u a u u f =++()0,t u x y ϕ== 0u Γ=的解(),,u x y t ，在下述意义下关于初始值ϕ与方程右端项f 是稳定的：对任何给定的0ε>，一定可以找到仅依赖于ε和T 的0η>，只要 ()212L ϕϕηΩ-≤ ()212x xL ϕϕηΩ-≤()212y yL ϕϕηΩ-≤ ()()2120,L T f f η⨯Ω-≤ (47)那么以1ϕ为初值、1f 为右端项的解1u 与以2ϕ为初值、2f 为右端项的解2u 之差在上满足()212L u u εΩ-≤ ()212x xL u u εΩ-≤ ()212y yL u u εΩ-≤ （48）证明记12u u u =-，12ϕϕϕ=-，1f f f =-，则u 满足()2t xx yy u a u u f =++ （49）()0,t u x y ϕ== （50） 0u Γ= （51）方程（49）满足假设（1）、（2），从而利用能量不等式（35），可得：()()()()222000tTCt Ct E t E e Ce f dxdydt C E f dxdydt ΩΩ≤+≤+⎰⎰⎰⎰⎰⎰[]0,t T ∈ （52）式中，2C 为一个仅依赖于T 的正常数．记。

抛物型微分方程

数学与计算科学学院实验报告
实验项目名称抛物型方程数值解
所属课程名称微分方程数值解法
实验类型验证
实验日期
班级信计0902
学号
姓名
成绩
{
double uu;
uu=exp(pow(pi,2)*(-t))*sin(pi*x);
return uu;
}
2，结果分析：
根据上面的实验原理，可以得出：在每一时间层，需要求解的隐式差分方程形成了一个线性代数方程组，它的系数矩阵是三对角形矩阵，即仅在主对角线及其相邻二条对角线上有非零元素，故可以使用三角分解法。

使用Crank_Nicolson隐式法，每时间层包含较多的计算工作量，但是其优点为其稳定性要求对步长比的限制大为放宽，而这正是我们所期望的。

【实验结论】（结果）
下面仅显示X轴上取x=0.5处时间轴T的一列间断点出的函数值：
附录1：源程序
附录2：实验报告填写说明。

抛物型方程

一热传导方程如果空间某物体内温度分布不均匀，内部将会产生热应力，当热应力过于集中时。

物体就会产生裂变，从而破坏物体的形状，工程技术上称此种现象为裂变。

当物体内点处的温度不同时，则热量就从温度较高的点处向温度较低的点处流动，这种现象就是热传导。

1初值问题一维热传导方程的初值问题是222(,),,0,(,0)(),.u ua f x t x t tx u x x x ϕ⎧∂∂-=-∞<<∞>⎪∂∂⎨⎪=-∞<<∞⎩应用Fourier 变换解初值问题，可得到(,)(,)()(,)(,)t u x t K x t d d K x t f d ξϕξξτξτξτξ∞∞-∞-∞=-+--⎰⎰⎰其中(,)K x t=22/(4),0,0,0.x a t t t ->⎪≤⎩若()(,)x C ϕ∈-∞∞且有界，(,)0f x t ≡时，(,)u x t 确定的函数确实是初值问题的有界解。

对于多维热传导方程的初值问题，我们同样可以用多维Fourier 变换求出它的解的表达式，以三维问题为例，我们有33(,,,)(,,,)(,,)(,,,)(,,,)RtRu x y z t K x y z t d d d d K x y z t f d d ξηζϕξηζξηζτξηζτξηζτξηζ=---+----⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中2222()/(4)23/21,0(4)(,,,)0,0.x y z a t e t a t K x y z t t π-++⎧>⎪=⎨⎪≤⎩2混合问题混合问题指由基本方程，初始条件和边界条件构成的问题。

实际上，很多物体的运动不仅依赖于初始条件，而且还受边界条件的影响，从而构成微分方程的混合问题。

有界杆的热传导问题2(,),0,0,(,0)(),0,(0,)(,)0,0.t xx u a u f x t x l t T u x x t l u t u l t t T ϕ⎧-=<<<≤⎪=≤≤⎨⎪==≤≤⎩初始条件是指开始时刻物体的分布情况，可表示为00(,,,)|(,,)t u x y z t x y z ϕ==边界条件有多种情，第一种情形，在物体边界上能够给定具体的温度分布的约束，即1|(,,)s u x y z ϕ=这种边界条件称为第一类边界条件。

抛物型偏微分方程

抛物型偏微分方程在数学领域里被广泛应用，它是描述物理过程中能量传输的一种基本方程。

在物理学、化学、工程学、生物学、金融学等许多领域都有涉及。

本文将从的基本定义、求解方法和应用等方面进行讨论。

一、的基本定义与另外两类偏微分方程——椭圆型和双曲型偏微分方程相区别。

通常，它们可以用于描述一个物理量的时间演化过程。

例如，物理学中的热传输、扩散、扭曲变形和电路行为等问题都可以被建模成。

可以用以下一般形式来表示：$$u_{t}=D\Delta u+F(u),$$其中 $u\left(x,t\right)$ 是位置向量 $x$ 和时间 $t$ 的函数，$D$ 是扩散常数，$\Delta$ 是拉普拉斯算子，$F\left(u\right)$ 是指$u$ 的源。

这种方程可以用于模拟各种扩散过程，如热扩散、物质扩散等。

在一些情况下，也可以用热方程的形式表示：$$u_{t}=c^{2}\Delta u,$$其中 $c$ 是波传播的速度常数。

热方程的解可以用于描述热量的扩散过程，其特点是初始情况对解的影响是无限制地扩散的。

二、求解的方法求解是数学领域里的一个重要研究方向。

目前，有很多数学、物理学和工程学等领域的专家致力于开发出受限制的数目和结构的的求解方法。

1.差分方法差分方法是一种比较常用的使用的数值解法。

从离散的角度来看，差分方法将问题转换为一个求解二维差分方程的问题，因此可以利用已有的数学工具进行求解。

差分方法可以根据不同的情况来选择不同的差分格式，例如热方程的迭代差分式为：$$u_{i,j}^{k+1}=u_{i,j}^{k}+\frac{c^{2}\Delta t}{\Deltax^{2}}\left(u_{i+1,j}^{k}-2u_{i,j}^{k}+u_{i-1,j}^{k}\right) \\+\frac{c^{2}\Delta t}{\Delta y^{2}}\left(u_{i,j+1}^{k}-2u_{i,j}^{k}+u_{i,j-1}^{k}\right),$$其中 $u_{i,j}^{k}$ 表示网格点的值，在 $(i,j)$ 处，第 $k$ 步的计算值，$\Delta x$ 和 $\Delta y$ 是网格大小，$\Delta t$ 是迭代步长。

抛物型方程的计算方法

分类号：O241.82本科生毕业论文（设计）题目：一类抛物型方程的计算方法作者单位数学与信息科学学院作者姓名专业班级2011级数学与应用数学创新2班指导教师论文完成时间二〇一五年四月一类抛物型方程的数值计算方法(数学与信息科学学院数学与应用数学专业2011级创新2班）指导教师摘要: 抛物型方程数值求解常用方法有差分方法、有限元方法等。

差分方法是一种对方程直接进行离散化后得到的差分计算格式，有限元方法是基于抛物型方程的变分形式给出的数值计算格式。

本文首先给出抛物型方程的差分计算方法，并分析了相应差分格式的收敛性、稳定性等基本理论问题.然后，给出抛物型方程的有限元计算方法及理论分析。

关键词：差分方法，有限元方法，收敛性，稳定性Numerical computation methods for a parabolic equationYan qian（Class 2, Grade 2011，College of Mathematics and Information Science）Advisor: Nie huaAbstract：The common methods to solve parabolic equations include differential method，finite element method etc。

The main idea of differential method is to construct differential schemes by discretizing differential equations directly. Finite element scheme is based on the variational method of parabolic equations。

In this article, we give some differential schemes for a parabolic equation and analyze their convergence and stability. Moreover，the finite element method and the corresponding theoretical analysis for parabolic equation are established.Key words：differential method，finite element method, convergence，stability1 绪论1。

抛物型Monge—Ampere方程具Neumann边界条件的初边值问题

抛物型Monge—Ampere方程具Neumann边界条件的初
边值问题
赵胜民;王光烈
【期刊名称】《天津大学学报》
【年(卷),期】1998(031)003
【摘要】证明了抛物型Ｍｏｎｇｅ－Ａｍｐｅｒｅ方程具Ｎｅｕｍａｎｎ边界条件的初边值问题的古典解存在唯一性，首先建立了解的Ｃ＾２＋β，１＋β／２先验估计，然后利用连续性方法证明了古典解的存在唯一性。

【总页数】7页(P303-309)
【作者】赵胜民;王光烈
【作者单位】天津大学理学院;天津大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.26
【相关文献】
1.一类一般形式抛物型Monge-Ampère方程的第三初边值问题 [J], 任长宇;陈默;李志军
2.二阶拟线性抛物型方程具等值面边界条件的初边值问题 [J], 李风泉
3.关于另一类抛物型Monge—Ampere方程的第一边值问题：粘性解的存在,唯一… [J], 王柔怀;王光烈
4.抛物型Monge—Ampere方程第一边值问题是粘性解的存在性，唯一性和正则
性 [J], 王柔怀;王光烈
5.一类抛物型Monge-Ampere方程的第二边值问题 [J], 赵胜民
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抛物型偏微分方程

抛物型偏微分方程
抛物型偏微分方程（Parabolic Partial Differential Equations，PDEs）是用抛物型方程来描述对一定问题的变化情况，是应用在偏微分方程中的一种重要类型。

它主要用于分析多变量运动、热传导、电磁学、流体动力学以及拓扑和分析联系的数学领域。

抛物型偏微分方程的特点是具有拐点结构，能够描述变量的静态分布形状。

抛物型PDEs的主要形式包括了2维抛物型方程、抛物型系统、常微分方程和无限维抛物型方程等。

由于抛物型方程有自身特定的形式，因此，它能够提供运动流体以及物理传播环境中变量以及流体扰动的完整物理解释。

抛物型偏微分方程具有清晰的语义，能够实现更精确、更准确地处理分析问题。

其中抛物型PDEs的主要实现方式包括有限差分、动力学定义以及自然边界限制等。

这些方法允许抛物型偏微分方程的轻松现实，使得结果更加精确准确。

此外，抛物型偏微分方程还可以有效解决多变量流体动力学和热传导这类
PDEs中非线性性质及问题的复杂性。

抛物型PDEs可以提供用精确的计算方法，
对外动性、内热、变形以及扰动变量的运动特性发挥重要作用。

综上所述，抛物型偏微分方程是处理多变量运动和热传导这类复杂情景的有效分析方法之一。

它拥有清晰的语义，有效减少了模型的复杂性，能够有效的实现不线性、多变量动力学运动和热传导问题的分析。

抛物型偏微分方程

抛物型偏微分方程抛物型偏微分方程（Parabolic Partial Differential Equation）是数学分析中重要的一个分支，研究对象主要是关于时间和空间变量的二阶偏微分方程。

在物理、工程和经济等领域中，抛物型偏微分方程有着广泛的应用，比如热传导方程、扩散方程和波动方程等。

1. 定义和形式抛物型偏微分方程是指对于函数 u(x, t) 存在连续二阶偏导数，并满足形式如下的方程：∂u/∂t = a∇²u + bu + f(x, t)其中，a 是常数，∇²u 是 u 关于空间变量 x 的拉普拉斯算子，b 是各项异性系数，f(x, t) 是给定的源项函数。

该方程描述了函数 u 关于时间t 的演化过程，与空间变量 x 的变化有关，反映了物理现象在时间和空间上的动态发展。

2. 物理意义和应用抛物型偏微分方程在物理学领域中有着重要的应用。

其中，热传导方程是抛物型偏微分方程的典型例子，描述了物质内部温度分布随时间变化的规律。

热传导方程在热力学、材料科学和地球物理学等领域中具有广泛的应用，例如预测地球内部热流、分析塑料注塑过程中温度分布等。

此外，扩散方程也是抛物型偏微分方程的重要应用之一。

扩散过程描述了物质在空间中传播的方式，常用于研究化学反应、人口扩散和金融市场中的价格传播等问题。

波动方程则描述了波在空间中传播的规律，例如声波、电磁波和水波等。

3. 解法和数值模拟抛物型偏微分方程的解法可以通过变量分离、变换等方法获得解析解。

然而，在实际问题中，解析解往往难以求得，需要借助数值方法进行近似计算。

常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。

有限差分法将方程离散化为差分格式，通过迭代求解差分方程组得到数值解。

有限元法则将求解区域划分为有限单元，通过构建矩阵方程来求解问题的数值解。

此外，谱方法基于傅里叶级数展开，通过选择适当的基函数将方程转化为代数方程组求解。

谱方法在高精度计算和边界层问题的处理上有一定优势。

夹逼准则与抛物型偏微分方程的上下解方法

黄甬穗
（泉州经贸职业技术学院，福建泉州３２０）６００
摘要：文章把极限的夹逼准则思想应用到抛物ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 偏微分方程，通过引进上下解，构造出一串单调非增
的上解序列和一串单调非减的下解序列，明了半线性抛物型偏微分方程初边值问题解存在的唯一性。证
关键词：夹逼；半线性；抛物型；上下解；炸爆
中图分类号：２１８Ｏ４．２文献标识码：Ａ文章编号：６２９３｛０８０—０５０１７ —５６２０）４０１—５
ＡｂｔａｔＴｈａｅｐｌｓｔｅｃｉｅｉｏｍｉｓｕｅｉｇｐｉｃｐｅｔａａｏｉａｔａｉｅｅｔａｓｒｃ：ｅｐｐｒａｐｉｈｒｔｒａｆｒｌｔｑｅｚｎｒｎｉｌｏｐｒｂｌｐｒｉｌｆｒｎｉｌｅｉｃｄｆｅｕｔｎ．ｒｕｈｔｅｉｔｏｕｔｏｆｕｐｒａｄｌｗｅｏｕｉｎ．ｔｉｇｏｏ－ｎｔｎｕｅｕｎｅｑａｉｓＴｈｏｇｈｎｒｄｃｉｎｏｐｅｎｏｒｓｌｔｏｏａｓｒｎｆｎｎｍｏｏｏｏｓｓｑｅｃｏｏｕｉｎａｄａｓｒｎｆｎｎｍｏｏｏｏｓｓｌｔｏｙｔｅｎｘｅｕｎｅａｅｃｎｔｕｔｄ，ｉｈｆｓｌｔｎｔｉｇｏｏ — ｎｔｎｕｏｕｉｎｂｈｅｔｓｑｅｃｒｏｓｒｃｅｗｈｃｏｐｏｅｈｎｑｅｅｉｔｎｅｏｈｏｕｉｎｏｅ —ｉｅｒｐｒｂｌａｔｌｉｅｅｔｌｑａｉｎｂｕｄ－ｒｖｓｔｅｕｉｕｘｓｅｃｆｔｅｓｌｔｏｆｓｍｉｌａａａｏｉｐｒｉｆｒｎｉｕｔｏｎａｎｃａｄｆａｅｏｒａｕｒｂｅｓｙｖｌｅｐｏｌｍ．Ｋｅｒｓｓｅｚｎｒｎｉｌ；ｓｍｉｉｅｒａａｏｉｙｅｐｅｎｏｒｓｌｔｎ；ｅｐｏｉｎｙｗｏｄ：ｑｅｉｇｐｉｃｐｅｅ — ｎａ；ｐｒｂｌｔｐ；ｕｐｒａｄｌｗｅｏｕｉｓｘｌｓｏｌｃｏ

计算物理学：第六章偏微分方程的数值解法

常数: a
format long; h = (maxx-minx)/(n-1); if a>0
精度： O(Δt, Δx)
差分方程的稳定性和收敛性：
收敛性：理论上，h → 0 时，解逼近准确解
稳定性：初值有小干扰的情况下，干扰不会被扩大传播，而是被“磨灭”
对流方程
迎风格式:
∂u + a ∂u = 0 ∂t ∂x
二层显式格式
un+1 k
=
ukn
−
aΔt Δx
(uk +1
−
uk )
un+1 k
区间数： n = 1 = 50 0.02
初始值 : u0 , u1, u2 L, u50
t = 0 时，
⎧10 x + 1 − 0.1 ≤ x ≤ 0
U ( x)
=
⎪ ⎨‐
10
x
+
1
0 ≤ x ≤ 0.1
⎪⎩0
其余
⎧u0 = 1
⎪ ⎪⎪ ⎨
u1 u2
= =
−10 × 0.02 + 1 −10 × 2 × 0.02
h2
2.微分方程离散化：差分公式:
dui = ui+1 − ui + O(h)
dx
h
dui = ui − ui−1 + O(h)
dx
h
dui = ui+1 − ui−1 + O(h2 )
dx
2h
dui = − ui+2 + 4ui+1 − 3ui + O(h2 )
dx
2h
d 2 ui dx 2

一维热传导方程证明抛物型

一维热传导方程证明抛物型抛物型方程在数学和物理学中非常常见，它描述了许多自然现象和物理过程。

其中，一维热传导方程就是一个典型的抛物型方程。

在本文中，我将以一维热传导方程为例，来说明抛物型方程的特点和应用。

热传导是指热量从高温区域传递到低温区域的过程。

一维热传导方程描述了在一维空间中热量的传递方式，它的数学形式为：∂u/∂t = α * ∂²u/∂x²其中，u(x, t)是温度分布随时间和空间的变化函数，α是热扩散系数。

这个方程说明了温度随时间的变化率与温度在空间上的曲率之间的关系。

具体来说，方程右侧的第二个偏导数表示了温度分布的曲率，而左侧的偏导数表示了时间上的变化率。

通过这个方程，我们可以研究温度如何在空间和时间上演化。

在解决一维热传导问题时，我们需要给定初始条件和边界条件。

初始条件是指在初始时刻的温度分布，边界条件是指在空间的两个端点上的温度值。

通过这些条件，我们可以求解出一维热传导方程的解，得到温度随时间和空间的变化规律。

抛物型方程的一个特点是信息的传播速度是有限的。

由于热量的传递是通过分子之间的碰撞来实现的，因此信息的传递速度受限于分子的速度。

这就意味着在边界条件给定的情况下，热量将从高温区域向低温区域传导，直到达到热平衡。

一维热传导方程有许多应用。

例如，在材料科学中，它可以用来研究材料的热传导性能。

通过求解一维热传导方程，可以得到材料中温度的分布情况，从而评估材料的热传导能力。

在工程领域中，一维热传导方程也有广泛的应用。

例如，在建筑物的能耗分析中，可以使用一维热传导方程来模拟建筑物内部的温度分布，从而评估建筑物的节能性能。

一维热传导方程是一个典型的抛物型方程，描述了在一维空间中热量的传递方式。

通过求解这个方程，我们可以研究温度在空间和时间上的演化规律，应用于材料科学和工程领域。

抛物型方程的特点使得信息的传播速度是有限的，这对于理解热传导过程非常重要。

通过深入研究抛物型方程，我们可以更好地理解自然界的现象和物理过程。

拟线性抛物型方程解的渐近性

拟线性抛物型方程解的渐近性
拟线性抛物型方程很常见，它能描述许多现实中的物理现象，例如力学中物体的运动，电动力学中电流的总流量，分子动力学中影响剂量效应等。

因此，探究几何拟线性抛物型方程的渐近性具有重要的理论意义。

拟线性抛物型方程的渐进性指的是其在特定的精度范围内，在给定的范围内，其近似解的误差是按某种函数的特定函数的特定次数来变化的。

总的来说，这种渐进性指定了两个级别：一是精度范围内精确的拟线性抛物型方程解；二是渐近性，它是指近似解误差随时间推移而变化的函数关系，即误差依赖于方程参数的特定函数。

证明拟线性抛物型方程的渐近性一般可以分为两步：第一步是证明精度范围内拟线性抛物型方程的解存在唯一性；第二步是证明误差随参数变化而变化的函数关系，它的依赖于方程的参数的特定函数。

在解拟线性抛物型方程的渐近性时，一般采用数值方法，即采用一系列不同的数值模拟，分析其解的变化趋势，然后根据趋势对其误差进行分析。

具体的步骤可以分为以下几步：第一步是根据实际情况设定拟线性抛物型方程的起始及限制条件，即起始及终止点；第二步是计算拟线性抛物型方程的近似解；第三步是根据不同参数估算拟线性抛物型方程的误差，并分析其变化趋势；最后，根据趋势进行统计分析，推导出拟线性抛物型方程的渐近性。

以上是拟线性抛物型方程解的渐近性的简要介绍，它对于理解和解决实际中的物理现象具有重要的意义，研究其应用也是数学研究的
重要领域之一。

总之，拟线性抛物型方程解的渐近性在数学研究中具有重要意义，是实用数学和物理学家开展研究的重要课题。

它不仅可以用来描述实际现象，还能给出准确的数学结果，从而为进一步的理论研究奠定基础。

偏微分方程基础知识

偏微分方程基础知识偏微分方程是数学中重要的分支，涉及到数学物理、工程学和应用数学等领域。

本文将介绍偏微分方程的基础知识，包括定义、分类、解的求解方法以及一些经典的例子。

一、定义偏微分方程是包含未知函数及其各个偏导数的方程，其一般形式可以表示为：F(x, u, ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂^2u/∂x^2, ∂^2u/∂y^2, ...) = 0其中，u表示未知函数，x和y表示自变量，∂u/∂x和∂u/∂y表示偏导数。

偏微分方程可以是一阶的或高阶的，可以是线性的或非线性的。

二、分类根据方程的性质和特点，偏微分方程可以分为几个主要的分类：1. 抛物型方程：抛物型方程具有热传导、扩散等性质，常见的抛物型方程包括热传导方程和扩散方程。

2. 双曲型方程：双曲型方程具有波动、传播等性质，常见的双曲型方程包括波动方程和二维亥姆霍兹方程。

3. 椭圆型方程：椭圆型方程具有稳定、静态等性质，常见的椭圆型方程包括拉普拉斯方程和泊松方程。

三、解的求解方法解决偏微分方程的具体方法取决于方程的类型、边界条件和初值条件等因素。

以下是几种常见的解法：1. 分离变量法：适用于可分离变量的线性偏微分方程。

通过假设解为一系列函数的乘积形式，将偏微分方程化简为一系列常微分方程。

2. 特征线法：适用于一些特定的偏微分方程，如一阶线性偏微分方程和一些可变系数的二阶偏微分方程。

通过选取适当的特征线，将偏微分方程转化为常微分方程。

3. 变换法：通过引入适当的变量变换和新的坐标系，将原偏微分方程转化为更简单或标准形的方程，从而求解。

4. 数值方法：对于复杂的偏微分方程，常常需要使用数值方法进行求解，如有限差分法、有限元法和谱方法等。

四、经典的例子1. 热传导方程：描述热传导现象，一维热传导方程可以表示为∂u/∂t = α∂^2u/∂x^2，其中α为热扩散系数。

2. 波动方程：描述波动现象，一维波动方程可以表示为∂^2u/∂t^2 = c^2∂^2u/∂x^2，其中c为波速。

数学中的抛物型方程

数学中的抛物型方程抛物型方程（parabolic equation）是数学中一类重要的偏微分方程，它在物理学、工程学和社会科学等领域中具有广泛的应用。

本文将从抛物型方程的定义、特征和解法等方面进行论述，以帮助读者更好地理解和应用抛物型方程。

一、抛物型方程的定义在数学中，抛物型方程是一类二维或三维偏微分方程，其形式可以表示为：∂u/∂t = a∇²u + bu + c其中，∂u/∂t 表示函数 u 对时间 t 的偏导数，∇²u 表示函数 u 对空间坐标的拉普拉斯算子，a、b、c 是常数。

抛物型方程通常描述了某一物理现象随时间变化的规律，比如热传导、扩散等。

通过解抛物型方程，我们可以预测和分析这些物理现象。

二、抛物型方程的特征1. 热传导方程抛物型方程在热传导方程中的应用是最常见的。

热传导方程描述了物体内部温度随时间和空间的变化情况。

在一维情况下，热传导方程具有以下形式：∂u/∂t = α∂²u/∂x²其中，u(x, t) 表示在时刻 t 位置为 x 的温度，α 是热扩散系数。

2. 扩散方程抛物型方程在扩散方程中的应用也是非常重要的。

扩散方程描述了物质在浓度梯度驱动下的扩散过程。

在一维情况下，扩散方程具有以下形式：∂u/∂t = D∂²u/∂x²其中，u(x, t) 表示在时刻 t 位置为 x 的物质浓度，D 是扩散系数。

三、抛物型方程的解法对于抛物型方程，我们通常采用偏微分方程的求解方法，如分离变量法、格林函数法等。

1. 分离变量法分离变量法是一种常用的求解抛物型方程的方法。

它的基本思想是将多元函数分解为几个一元函数的乘积，并利用分离后的一元函数满足各自的方程来求解。

以热传导方程为例，我们可以将其分离变量为时间部分和空间部分：u(x, t) = X(x)T(t)代入原方程，得到两个方程：X''(x)T(t)/X(x) = T'(t)/T(t) = -λ²其中，λ² 是常数。

偏微分方程教学日历

2.调和函数（二）
第2节Green函数
1.Green函数（一）
4
讲授、讨论
辅导答疑
习题
6.1-6.7
17
2.Green函数（二）
第3节球上的Dirichlet问题
1.球上的Dirichlet问题（一）
4
讲授、讨论
辅导答疑
习题
6.8-6.14
18
2.球上的Dirichlet问题（二）
第4节极值原理、惟一性与稳定性
第2节一维波动方程
1.一维波动方程（一）
2.一维波动方程（二）
4
讲授、讨论
辅导答疑
习题
4.6-4.12
9
3.一维波动方程（三）
4.一维波动方程（四）
5.一维波动方程（五）
4
讲授、讨论
辅导答疑
习题
4.13（六）
第3节高维波动方程
1.高维波动方程（一）
4
讲授、讨论
辅导答疑
习题
3
0
3.2-3.8
4
第一章方程的导出及定解问题的提法
第1节序言
第2节基本概念
第3节几个经典方程
1.几个经典方程（一）
4
讲授、讨论
辅导答疑
习题
3.9-3.15
5
2.几个经典方程（二）
第4节定解问题
第二章特征理论与方程的分类
第1节二阶方程的特征
1.二阶方程的特征（一）
4
讲授、讨论
辅导答疑
习题
3.16-3.22
1.极值原理（一）
2.极值原理（二）
4
讲授、讨论
辅导答疑
习题
6.15-6.21

有限差分法求解抛物型方程说明

有限差分法求解抛物型方程偏微分方程只是在一些特殊情况下，才能求得定解问题解的解析式，对比较复杂的问题要找到解的解析表达式是困难的，因此需采用数值方法来求解.有限差分法是一种发展较早且比较成熟的数值求解方法，只适用于几何形状规则的结构化网格.它在微分方程中用差商代替偏导数，得到相应的差分方程，通过解差分方程得到微分方程解的近似值.本章主要介绍有限差分法的基本思想，并给出一些具体的数值实例.§1 差分方法的基本思想有限差分法把偏微分方程的求解区域划分为有限个网格节点组成的网格，主要采用Taylor 级数展开等方法，在每个网格节点上用有限差分近似公式代替方程中的导数，从而建立以网格节点上的函数值为未知数的代数方程组.有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式和显隐交替格式等.目前常见的差分格式，主要是上述几种格式的组合，不同的组合构成不同的差分格式.泰勒级数展开法对有限差分格式的分类和公式的建立起着十分重要的作用.下面采用泰勒展开式导出一个自变量系统的若干有限差分表达式.首先考虑单变量函数()u x ，如图1把区域x 离散为一批结点，记0()(), =0,1,2,i i u x u x ih u i =+=图1 单变量函数离散化函数()u x 在点i x 处的泰勒展开式为23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''+=++++ （1）或23()()()()()2!3!i i i i i u x u x u x h u x u x h h h ''''''-=-+-+ （2）式(1)和(2)重新整理可得2()()()()()2!3!i i i i i u x h u x u x u x u x h h h '''''+-'=---（3）和2()()()()()2!3!i i i i i u x u x h u x u x u x h h h '''''--'=+++（4）于是给出在点i x 处函数u 的一阶导数的两个近似公式1()()()i i i ii u x h u x u u u x h h ++--'≈= （5）1()()()i i i i i u x u x h u u u x h h----'≈= （6）因为级数被截断，这两个近似公式肯定要产生误差，此误差与h 同阶，形式分别为()(), ,2()(), .2i i i i i i hE u O h x x h hE u O h x h x ξξξξ''=-=≤≤+''==-≤≤ 若把式(3)和(4)相加并求()i u x '，可得11()()()22i i i i i u x h u x h u u u x h h+-+---'≈= （7）其截断误差与2h 同阶，形式为22()(), ,6i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+若把式(3)和(4)相减并求()i u x ''，可得1122()2()()2()i i i i i i i u x h u x u x h u u u u x h h +-+-+--+''≈= （8）其截断误差与2h 同阶，其形式为22()(), ,12i i i h E u O h x h x h ξξ''=-=-≤≤+我们可继续用这种方式来推导更复杂的公式，类似的公式还有很多，这里不再一一列举.公式（5）、（6）分别称为一阶向前、向后差分格式，这两种格式具有一阶计算精度，公式（7）、（8）分别称为一阶、二阶中心差分格式，这两种格式具有二阶计算精度.图2 二维区域网格剖分上面的结果可直接推广使用于导出二元函数(,)u x y 的许多有限差分近似公式.如图7.2，把求解区域进行网格剖分，使12(,)(,), ,=0,1,2,i j ij u x y u ih jh u i j ==其中x 方向的网格间距为1,h y 方向的网格间距为2,h 整数i 和j 分别表示函数(,)u x y 沿x 坐标和y 坐标的位置.二元函数(,)u x y 对x 求偏导时y 保持不变，对y 求偏导时x 保持不变，根据向前差分公式（7.5）可以给出在点(,)i j x y 处函数(,)u x y 的一阶偏导数的两个近似公式1,,1(,)i j i j i ju x y u u xh +∂-≈∂ （9）,1,2(,)i j i j i ju x y u u yh +∂-≈∂ （10）相类似地，根据二阶中心差分格式（8）可以得到函数(,)u x y 的二阶偏导数的近似公式21,,1,221(,)2i j i j i j i ju x y u u u x h +-∂-+≈∂ （11）2,1,,1222(,)2i j i j i j i j u x y u u u yh+-∂-+≈∂ （12）下面我们推导函数(,)u x y 的二阶混合偏导数2ux y∂∂∂在(,)i j x y 的有限差分表达式.根据一阶中心差分格式（7），112111,11,11,11,122121221,11,1(,)(,)(,)1()21 ()()222 i j i j i j i j i j i j i j i j i j i u x y u x y u x y O h x y h y y u u u u O h O h h h h u u u +-+++--+--+++-∂∂∂⎡⎤⎡⎤∂=-+⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦--⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦--≈1,11,1124j i j u h h -+--+二维有限差分近似可以直接推广到三维空间或三维空间加一维时间的情形.定义1 当步长趋于零时，差分方程的截断误差趋于零，则称差分格式与微分方程是相容的.定义2 当步长趋于零时，差分方程的解收敛于微分方程的解，则称差分格式是收敛的. 定义3 当差分方程的解由于舍入误差的影响，所产生的偏差可以得到控制时，则称差分格式是稳定的.§2 抛物型方程的有限的差分法为了说明如何使用有限差分法来求解偏微分方程，本节我们给出以下几个数值实例.算例1 考虑一维非齐次热传导方程的初边值问题：2212(,), 01,01,(,0)(), 01,(0,)(), (1,)(), 0 1.u ua f x t x t t x u x q x x u t g t u t g t t ⎧∂∂=+<<<≤⎪∂∂⎪⎪=≤≤⎨⎪==<≤⎪⎪⎩(7.13),其中2,a =函数11(,)[cos()2sin()],22xf x t e t t =--+-初始条件1()sin,2xq x e =左、右边界条件分别为11()sin(),2g t t =-21()sin()2g t e t =-.该定解问题的解析解为1(,)sin(),(,)[0,1][0,1].2xu x t e t x t =-∈⨯将求解区域{(,)|,0}x t a x b t T Ω=≤≤≤≤进行网格剖分，[,]a b 作m 等分，[0,]T 作n 等分，记,,b a Th m nτ-==则 ,0,,0i k x a ih i M t k k n τ=+≤≤=≤≤对该问题建立如下向前差分格式：11122, 11, 11,k kk k k k i i i i i i u u u u u a f i m k n hτ+-+--+=+≤≤-≤≤-（14） (,0)(),1,i i u x q x i m =≤≤ （15） 12(,)(), (,)(),1.k k k k u a t g t u b t g t k n ==≤≤ （16）令2r ah τ=，差分格式（7.14）整理得111(12), 11, 1 1.k k k k k i i i i i u ru r u ru f i m k n τ+-+=+-++≤≤-≤≤- （17）显然时间在1k t +上的每个逼近值可独立地由k t 层上的值求出。

活动边界抛物型方程迎风差分格式

活动边界抛物型方程迎风差分格式
活动边界抛物型方程是一种常见的微分方程，它可以用来描述物理系统中的活动边界。

它的形式是：u_t + f(u)u_x = 0，其中u是活动边界的位置，f(u)是活动边界的速度。

这个方程可以用来描述物理系统中的活动边界，比如水波、热传导、电磁场等。

迎风差分格式是一种用来解决活动边界抛物型方程的数值方法。

它的基本思想是，将活动边界抛物型方程分解为一系列的简单的差分方程，然后用这些差分方程来求解活动边界抛物型方程。

迎风差分格式的优点是，它可以很容易地解决复杂的活动边界抛物型方程，而且它的计算效率也很高。

迎风差分格式在物理系统中有着广泛的应用，比如水波传播、热传导、电磁场等。

它可以用来模拟物理系统中的活动边界，从而更好地理解物理系统的行为。

此外，迎风差分格式还可以用来解决复杂的活动边界抛物型方程，从而更好地模拟物理系统。

总之，迎风差分格式是一种非常有用的数值方法，它可以用来解决活动边界抛物型方程，并且可以用来模拟物理系统中的活动边界。

它的优点是，它可以很容易地解决复杂的活动边界抛物型方程，而且它的计算效率也很高。

抛物型方程的一个新的GE-3并行算法

ａｏｉｍｉＤ（ｌｒｒ＋ｈ）ｗｔｔｉｔｃｎｉｏｓＡｎｍｒａｅａｐｅｓｏｓｈｔｈｈｍｓａｅｅｅｔｅｇｔｓｈｉｓｂｌｙｏｄｉ．ｕｅｉｌｘｍｌｈｗａｔｓｅｅｒｆｃｖ．ｈａｉｔｎｃｔｅｃｆｉ
ｃｎｔｃｇｏｐｅｐｉｉｓｈｍｅＧ一）ｐｒｌｌｌｒｈｒｏｉａａｏｉｅｕｔｎＴｅｔｎａｏｒｒｆｉｏｓｕｔｒｕｘｌｔｃｅ（Ｅ３ａａｅａｇｉｍｆｌｎｐｒｌｑａｏ．ｈｕｃｔｎｅｏｓｒｃｌｏｔｏｓｖｇｂｃｉｒｉｒｏｔｈ
收稿日期：０８— ４—０；回日期：０９— ５—２２００５修２００６
２差分格式的构造
＞ｏ一＇
。
１
Ｌ）ｕｘ０＝（， ≤ ≤ （）０ｔ（，）＝ｕＬ￡＝０ｔ０ｕ０ｔ（，），≥
，
㈩
一
基金项目：贵州省科技厅资金项目（黔科合Ｊ２０］１２）字［０８２２号资助。作者简介：曹俊英（９１一）女，￡生，１８，博：讲师。研究方向：分方程数微
Ｋｅｒｓ：ｐｒｂｌｑａｉｎ，ｐａａｌｌａｇｒｔｍ，ｒｅｆｔｕａｉｎ，ｓａｉｔｃｎｄｔｏｙｗｏｄａａｏｉｅｕｔｏｃｒｌｅｌｏｉｈｏｄｒｏｒｎｃｔｏｔｂｌｙｏｉｎｉｉ
少本文用绝对稳定的Ｓｕ ’ ｅ格式及对称形式和ａｌｙｖ

第六章 抛物型方程第3,4节

抛物型方程

抛物型微分方程

抛物型方程

抛物型偏微分方程

抛物型方程的计算方法

抛物型Monge—Ampere方程具Neumann边界条件的初边值问题

抛物型偏微分方程

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