对流扩散方程

2 得到如下差分格式：
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u
n j
1
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
（
a
2）u
n j 1
2
2u
n j
h2
u
n j 1
稳 定 性 分 析 完 全 类 似 于中 心 差 分 格 式 ， 显 然 有
h2
1（a ）2
2h
1 2
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4.3: 迎风差分格式
在 中心 显 式差 分 格式 的稳 定性 条 件中 ， 当G
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其增长因子
G 1 (r 2)(1 cosh) ir sinh
G 2 r 2 sin2 h (1 (r 2)(1 cos h))2
1 (1 cos h) 2(r 2) 2r 2 (r 2 (r 2)2 )(1 cos h)
类 似 的 迎 风 格 式 稳 定 的充 要 条 件 是G 1, 相 当 于 要求：
不 变 ，很 小 时 ，只 能 取 得 很 小 ， 格 式 显得 不合适，当 0（极限情况）时，微分方 程
化 为对 流 方程 ， 中 心显式 格式 转 化为 绝 对不
稳 定的 ， 故 考虑 迎 风格式 ：
u
n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
(a 0)
即：unj 1 (r )unj1 (1 r 2)unj unj1 ,(a 0)
4:对流扩散方程
对流扩散方程的初值问题：
u t
a
u x
2u x 2
u( x,0) f ( x)
x , t 0
x , 0
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4.1、中心显式差分格式
u n1 j
u
n j
a
un j 1
un j 1
un j 1
2u
n j
un j 1
2h
h2
其 截 断 误 差 为 ：E O( h2 )， 而 且 当 0时 ，
2u x 2
于 是 方程 的 截 断 误差 可以 改 写为 ：
（
2
2
4u x 4
2a
3u x 3
a2
x2 u2 ）
h2
4u x 4
2
a2
2u x 2
（
2
2
4u x 4
2a
x3 u3 ）
h2
4u x 4
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由此有当不趋近于0时，差分格式与下面的方程相容：
u t
a
u x
（
2
a
2） 2u x2
然 而 在 数 值 计 算 的 时 候是 一 不 为0的 固 定 常 数 ，
于 是 导 致 了 扩 散 效 应 的损 失 ， 特 别 在 a2 0
2 时 ， 中 心 差 分 格 式 相 容对 于 流 方 程 ， 而 此 时 中心
格 式 是 绝 对 不 稳 定 的 ，为 了 减 少 扩 散 效 应 的 损失 ，
在 相 应 的 扩 散 项 增 加 扩散 的 系 数 为 a2。 这 样
格 式 为 近 似 对 流 方 程 的无 条 件 不 稳 定 格 式 ； 当
a 0时 ， 格 式 是 近 似 扩 散 方程 的 古 典 显 式 格 式 ，
只 有ar 1 时 ， 格 式 才 稳 定 。 2
下面讨论稳定性：
设r a h , h2 ,格式改写成：
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un1 j
u
n j
1 2
为了简单方便,设a>0,先对方程作扰动,得到另外一对流
扩散方程
u t
a u x
1
1 R
2u x 2
其中R 1 ha
2
对上面的方程构造迎风格式
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u
n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
1
1 R
u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.
n j
u
n j 1
u
n j 1
2h
(
ah
)
u
n j 1
2h
2u
n j
h2
u
n j 1
取
v
v
ah
，则变为中心格式，于是
2
2 a2
v, (1)
v
h2
1 , (2) 2
通过简单的推导,可以发现第一个稳定条件可以由第2个 条件推出,于是迎风格式的稳定条件就是(2).
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4.4:Samarskii格式
Samarskii格式是具有迎风效应的关于空间的二阶格式,
将r1, r2代入，即得条件：
2
a2
,
h2 2
此两不等式为中心显式格式稳定的条件。
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4.2: 修正中心差分格式
中
心
显格式的
截
断 误 差为
：
2
2u t 2
h2
4u x 4
假设对流 扩散方程的解充分光滑 ，对方程两 边
同 时 对t求 导 有 ：
2u t 2
2
4u x 4
2a
3u x 3
a2
2(r 2 ) 2r 2 (r 2 (r 2 )2 )(1 cos h) 0
由 于 1 cos h 0,2, 条 件 化 为 ：
2(r 2 ) 2r 2 0和 2(r 2 ) 2r 2 2（r 2 (r 2 )2） 0
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而 2(r 2) 2r 2 2(r 2 (r 2)2 ) 2(r 2)(1 (r 2)) 0 1 (r 2) 0
即 r 2 1，此时有r 1，（r 2） r 2自然成立。
所 以 迎 风 格 式 的 稳 定 性条 件 是
h2 2 ah
当a 0时 ， 情 况 类 似 ， 稳 定 性条 件 是
h2 2 a h
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也可以利用中心显格式来讨论稳定性,于是将上面格式改为:
u
n j
1
u
n j
a
u n1 j
u
n j
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
（ 1 ห้องสมุดไป่ตู้ R
1）
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
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由Taylor公式可以得到
n j
(
u t
)
n j
(
2u x 2
)
n j
O(
h2 )
n j
r
(u
n j1
un j 1
)
(
un j1
2unj
un j 1
)
增长因子为：
G (r, ) 1 2(1 coswh) ir sin wh
G(r, ) 2 r 2 sin2 wh 1 4 2 (1 cos wh)2 4r(1 cos wh)
1 (1 cos wh) 4 4 2 (1 cos wh) r2 (1 cos wh)
只需验证 G 1,由于 1 cos wh 0，条件转化为：
4 4 2 (1 cos wh) r 2 (1 cos wh) 0
即 4 - 2r 2 (4 2 r 2 )(1 cos wh) 0
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由于 1 cos wh 0,1,上述不等式转化为
2
4 2r 2 0, 4 2r 2 2(r 2 4 2 ) 0