对流扩散方程
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解对流扩散方程(Convection-DiffusionEquation,CDE)一类傅里叶方程，用于研究物理系统中物质的运动行为。
它通常用来解释流体或溶液在空间和时间内的扩散过程。
这类方程可以通过求解数学解析解来进行解，也可以使用数值解，如有限元等进行解算。
对流扩散方程的推导可以从推导物理系统的分量开始。
在一个包含温度、速度和浓度的物理系统中，我们可以认为这些物质的变化是由守恒定律和扩散定律推导出来的，从而形成了一般的对流扩散方程。
对流扩散方程的一般形式为：$$frac{partial{boldsymbol{u}}}{partial{t}} +ablacdot(boldsymbol{u} otimes boldsymbol{u}) -abla cdot left(xiablaboldsymbol{u} right) = boldsymbol{S}$$其中，$boldsymbol{u}$表示物理量，$t$表示时间，$xi$表示扩散系数。
$boldsymbol{S}$表示物理量的源。
例如，在某个区域内，如果有物质被外界源消耗掉，$boldsymbol{S}$的值就会变小。
对于一般的对流扩散方程，我们可以分解出一个动能方程和一个扩散方程来进行解算：动能方程：$$frac{partial{boldsymbol{u}}}{partial{t}} +ablacdot(boldsymbol{u} otimes boldsymbol{u}) = boldsymbol{S}$$扩散方程：$$abla cdot (xiablaboldsymbol{u}) = 0$$解决对流扩散方程的解析解有几种方法，其中最常用的是求解Laplace换和 Laplace阵。
Laplace换是对一个函数 $f(t)$变换，用 Laplace换将$f(t)$换成 $F(s)$形式，其中，$s$ Laplace换的参数。
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解对流扩散方程（Convection-DiffusionEquation，CDE）是描述物理系统中物质扩散和热对流运动的方程。
它源于20世纪30年代真空磁体理论中发现的电子运动方程，在50年代被普及应用于各种工程、物理学和化学领域，如电子、热传输、水力学等，具有不可缺少的重要意义。
一般来说，对流扩散方程可以被描述为：$$frac{partial y}{partial t}=afrac{partial^2 y}{partial x^2}+bfrac{partial y}{partial x}+cfrac{partial y}{partial y}+d$$其中，a、b、c和d是常数，t和x分别代表时间和物理位置。
若把空间坐标投射到它们的平面上，则可以用更具体的形式表述为： $$frac{partial y}{partial t}=afrac{partial^2 y}{partial x^2}+bfrac{partial y}{partial x}+cfrac{partial y}{partial y}+d+frac{partial y}{partial z}$$其中，z是投射后的空间坐标，a、b、c和d也可以改变以适合不同的实际应用场景。
对于对流扩散方程的解析解，有两种基本方法：一种是用不定积分法；另一种是用微分平面法，也称作渐进分析方法。
从一般的原理上来看，不定积分法是把对流扩散方程拆解成多个简单的可求解的微分方程，然后分别求解它们，最后再综合求得总解。
此外，它还可以运用标准积分法来近似求解，特别有利于解复杂的多变量方程。
而渐进分析（Perturbation Analysis）是把复杂的问题划分成几个渐进步骤，每一步把问题简化为可以近似解决的状态，依此不断迭代，最终求得近似解。
这种技术通常用来求解非线性方程，对于对流扩散方程求解也非常有效，能有效地提高准确度和计算速度。
此外，还有其他一些求解方法，比如拉格朗日法（Lagrange Method）、拉普拉斯正则化（Laplace Regularization）以及偏微分方程的泛函理论方法（Functional Theory of Partial Differential Equations）等。
对流扩散方程ppt课件
6
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
（
2
a
2）u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
稳 定 性 分 析 完 全 类 似 于中 心 差 分 格 式 ， 显 然 有
h2
1（a ）2
2h
1 2
7
4.3: 迎风差分格式
在 中心 显 式差 分 格式 的稳 定性 条 件中 ， 当G
为了简单方便,设a>0,先对方程作扰动,得到另外一对流
扩散方程
u t
a u x
1
1 R
2u x 2
其中R 1 ha
2
对上面的方程构造迎风格式
12
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
1
1 R
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.
n j
u n1 j
不 变 ，很 小 时 ，只 能 取 得 很 小 ， 格 式 显得 不合适，当 0（极限情况）时，微分方 程
化 为对 流 方程 ， 中 心显式 格式 转 化为 绝 对不
稳 定的 ， 故 考虑 迎 风格式 ：
u
n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
(a 0)
即：unj 1 (r )unj1 (1 r 2)unj unj1 ,(a 0)
输运方程对流扩散方程
输运方程对流扩散方程输运方程是描述物质传输过程的数学模型，常见的有对流扩散方程。
对流扩散方程是由对流和扩散两种机制共同产生的输运过程来描述的，它的一般形式为：∂c/∂t+∇·(v*c)=∇·(D*∇c)其中，c表示物质的浓度或者响应变量，t表示时间，v表示流体的速度场，D表示物质的扩散系数，∇表示梯度运算符。
对流项描述了物质的对流运动，即物质随着流体的移动而移动。
对于三维坐标系来说，对流项可以表示为∇·(v*c)。
具体来说，对流项的每一项分别表示了物质在x、y和z方向上的携带速度与浓度梯度的乘积。
扩散项描述了物质由浓度高处至浓度低处的扩散现象，即物质自发性地从高浓度区域向低浓度区域传播。
扩散项可以表示为∇·(D*∇c)，其中D是扩散系数，表示物质扩散的速率与浓度梯度的乘积。
对流扩散方程的物理意义是描述了物质在流体中传输的速率与物质浓度梯度之间的关系。
通过对流项，方程能够描述物质随着流体的运动快速传输的现象；而通过扩散项，方程能够描述物质由浓度高处向浓度低处传输的现象。
综合考虑对流和扩散的作用，对流扩散方程能够比较准确地描述物质在流体中的传输过程。
对流扩散方程在科学和工程领域有广泛的应用。
例如，在污染物传输和扩散模拟中，对流扩散方程可用于描述污染物由源区到周围空气或水体的传输过程。
在热传导模拟中，对流扩散方程可用于描述热量由高温区域到低温区域的传导过程。
在物质传递过程中，对流扩散方程也被广泛应用于描绘物质的传输行为。
总结起来，对流扩散方程是一种常见的输运方程，它能够描述物质由流体传输并扩散的过程。
通过对流项和扩散项的综合作用，对流扩散方程能够比较准确地描述物质在流体中的传输行为，所以在科学和工程领域有着广泛的应用。
对流扩散方程clank
对流扩散方程clank标题：对流扩散方程的概述引言概述：对流扩散方程是数学中常见的描述物质传输过程的方程。
它在众多领域中都有广泛的应用，如流体力学、热传导、质量传输等。
本文将从五个大点出发，详细阐述对流扩散方程的相关内容。
正文内容：1. 对流扩散方程的基本概念1.1 对流扩散方程的定义1.2 对流扩散方程的一般形式1.3 对流扩散方程的物理意义2. 对流项与扩散项的影响2.1 对流项的作用2.2 扩散项的作用2.3 对流项与扩散项的相互作用3. 对流扩散方程的解析解与数值解3.1 解析解的求解方法3.2 数值解的求解方法3.3 解析解与数值解的比较4. 对流扩散方程的边界条件和初值条件4.1 边界条件的选择与影响4.2 初值条件的确定与影响4.3 边界条件和初值条件的耦合效应5. 对流扩散方程的应用领域5.1 流体力学中的应用5.2 热传导中的应用5.3 质量传输中的应用总结：对流扩散方程是描述物质传输过程的重要方程，其基本概念包括方程的定义、形式和物理意义。
对流项和扩散项是方程中的两个关键因素，它们分别对物质传输起到对流和扩散的作用，并且相互作用影响着传输过程。
对流扩散方程的求解可以采用解析解和数值解两种方法，它们各有优劣，需要根据具体情况选择。
边界条件和初值条件是方程求解中必要的条件，它们的选择与确定对结果有重要影响。
对流扩散方程在流体力学、热传导和质量传输等领域都有广泛应用，它为我们理解和解决实际问题提供了重要的数学工具。
总之，对流扩散方程是一个复杂而重要的数学方程，它在物质传输过程中起着关键作用。
深入理解和研究对流扩散方程，对于解决实际问题具有重要意义。
对流扩散方程
对流扩散方程ν22u u ua t x x抖 +=抖¶ 网格比λt a x D =D ， ν2t r xD =D 而它们的比值λνν2t a a x x r t x D D D ==D D 是一个无量纲量，称为网格雷诺数，也就是以网格尺寸 x D 为特征长度的雷诺数，通常记作 Re x D 。
（1） 显式中心差分格式ν11111222n nn nn n nj jj j j j j u u u u u u u atxx++-+----++=D D D即()()λ1111122n n nn n n nj jj j j j j u u u u r u u u ++-+-=--+-+ 精度：()O 2 , n j R t x =D D稳定性分析：设 jikx n nj k C eε= ，则()1j ik x xn n j k C e ε-D -= ，()ε1j ik x xn n j k C e+D += ，11jikx n n j k C eε++=代入差分格式()()()()λ122jj jj j j j ik x xik x xikx ikx n n n n kkk kik x x ik x x ikx n n n k k k Ce C eC e C er C e C e C e +D -D ++D -D 骣÷ç=--÷ç桫骣÷ç+-+÷ç桫令 k x α=D ，可求出增长因子()()()ααααλλαααααλ121221sin 2cos 114sin 2sin cos 222n k nk i i i i C G C e e r e e i r r i +--==--+-+=-+-骣骣鼢珑鼢=-+珑鼢珑鼢桫桫所以αααλααααλαααλ22222242222222214sin 2sin cos 22218sin16sin4sincos22221424sin cos sin 222G r r r r r 骣骣鼢珑鼢=-+珑鼢珑鼢桫桫=-++骣÷ç÷=---ç÷ç÷桫因此ααλ222221 124sin cos 022G G r r ［［--我们来考虑函数()αααλ222224sin cos 22f r r =--的极值。
tvd格式_对流扩散方程_解释说明
tvd格式对流扩散方程解释说明1. 引言1.1 概述对流扩散方程是描述物质传输中对流和扩散过程的数学模型，广泛应用于自然科学和工程领域。
为了准确地求解对流扩散方程，需要选择适当的数值方法。
TVD(Total Variation Diminishing)格式是一种被广泛应用于求解对流扩散方程的数值方法，具有一阶或高阶精度、小量级能量损失等优点。
1.2 文章结构本文分为五个部分来讨论TVD格式与对流扩散方程。
首先，在引言部分概述了文章的背景和主要内容。
其次，在第二部分将简要介绍TVD格式和对流扩散方程，并探讨了TVD格式在解决对流扩散方程中的应用。
接下来，在第三部分详细介绍了TVD格式的原理和推导过程，还讨论了TVD限制器的作用和选择方法。
第四部分将通过数值实验和应用案例的分析，深入研究TVD格式的效果，并探讨其在实际问题中的应用意义。
最后，在第五部分总结本文研究工作并给出未来研究方向展望。
1.3 目的本文的主要目的是介绍TVD格式在求解对流扩散方程中的应用，并探讨其原理和推导过程。
希望通过数值实验和应用案例分析，验证TVD格式的有效性，同时提出改进方法。
本文还将总结研究工作的贡献点，并展望未来在这一领域的深入研究方向。
通过本文的撰写，旨在增加人们对TVD格式与对流扩散方程相关知识的了解，并为相关领域研究者提供参考和启示。
以上是“1. 引言”部分内容，包括概述、文章结构以及目的三个小节。
下文将继续详细阐述其他部分内容。
2. TVD格式与对流扩散方程2.1 TVD格式简介TVD（Total Variation Diminishing）格式是求解对流扩散方程的一种数值方法。
它在处理具有激烈变化、激波或阶跃的解时表现出色，并且能够有效地抑制数值耗散和震荡现象。
TVD格式广泛应用于流体力学、传热学等领域中。
2.2 对流扩散方程概述对流扩散方程是描述一维物理过程中物质输运的数学模型。
它由对流项和扩散项组成，其中对流项描述了物质通过速度场的输运，而扩散项则描述了物质因浓度或温度差异而发生的不规则传播。
抛物型对流扩散方程
抛物型对流扩散方程
抛物型对流扩散方程是水力学中一个重要的基本方程，它描述了液体中湍流运
动的数学表达形式。
抛物型对流扩散方程公式可由下式得到：
∂u∂t+u⋅∇u=−g⋅∇h+(∇⋅Δ)u-k∇2η,其中u是几何位移，t是时间，g是重力
加速度，h是重力场，Δ是拉普拉斯算子，k是拉格朗日运动等弦水动力系数，η
是密度。
抛物型对流扩散方程的应用很广泛，它可以用来分析流体的动态特性，并有助
于求解海洋涡场、各种湍流模式、源汇问题等。
举例来说，该方程可用来研究气候变化中河流流动物理过程，也可用来研究表面温带对于对流层等层结构、平流变化等关键过程中的影响。
此外，它还能够提供关于机械装置的流动特性的精确模拟。
抛物型对流扩散方程的求解不是一件容易的事情，它要求求解方法具有较高的
计算效率和求解准确度，尤其是人工网格的定义。
现阶段，多流变技术和网格技术均在快速发展，为使抛物型对流扩散方程能够尽可能反映实际环境中湍流流动特性，给求解方法提供更多可能。
总之，抛物型对流扩散方程是一个非常重要的基础性方程，它可以帮助我们深
入探究水力过程的机制，为水力学的研究和设计提供更为丰富的软件工具，从而满足现代水力学研究题目的需要。
第五章对流扩散方程
• 比混合格式复杂，计算量增加，但准确性 提高
• 稳定性：若用中心差分格式不能体现对流 项的物理本质，常会引起数值解的振荡
• 经济性：若用高阶格式，无数值振荡，但 格式复杂，求解相对困难，机时消耗较多
5.2 一维稳态对流扩散问题
d (u)
dx
d dx
d
dx
5.2.1 模型方程的精确解
d (u)
dx
d dx
d
dx
边界条件：
x 0, 0；x L, L
采用迎风思想：从来流上游方向找依赖区
在界面e上,若 ue 0,则e P ;若 ue 0,则e E ; 在界面w上,若 uw 0,则w W ;若 uw 0,则w P
界面流量
• 引入符号 • 对流：
a1, a2 max(a1, a2 )
(u)e Fee P Fe,0 E Fe,0 , (u)w Fww W Fw,0 P Fw,0
• 控制方程变为： dJ 0; 或 J const dx
J
F
0
0 L
exp(Pe) 1
界面上通量
Jw
Fw
W
W P
exp(Pw )
1Hale Waihona Puke JeFeP
P
exp(
E
Pe )
1
Fe exp( exp(Pe
Pe )
) 1
Fw exp(Pw )
1 P
Fe exp(Pe )
1E
Fw exp(Pw exp(Pw )
) 1
W
合并整理结果
aPP aEE aWW
• 系数
aE
《对流扩散方程》课件
环境科学
描述污染物在大气、水体等环境 介质中的扩散、输移和归宿。
在环境科学中，对流扩散方程用 于模拟污染物在大气、水体等环 境介质中的扩散、输移和归宿过
程。
在环境保护、污染治理等领域， 对流扩散方程具有重要的应用价
值。
化学反应动力学
描述化学反应在流体或固定床 反应器中的传递和反应过程。
在化学反应动力学中，对流 扩散方程用于模拟化学反应 在流体或固定床反应器中的
初始条件
指定在求解开始时刻的解的性质，如 常数、函数等。
03 对流扩散方程的应用
流体动力学
01
描述流体在运动状态下的物质传递和扩散现象。
02
在流体动力学中，对流扩散方程用于模拟流体中的物质传递过
程，如温度、浓度、速度等。
在航空航天、船舶、汽车等领域的流体动力学分析中，对流扩
03
散方程被广泛应用。
应用于多尺度问题
研究对流扩散方程在多尺度问题中的应用，如 微纳尺度流动、大气污染扩散等。
探索新的应用领域
将该方程应用于其他领域，如生物医学、环境科学等。
与其他领域的交叉研究
与流体动力学结合
研究对流扩散方程与流体动力学之间的相互 作用和影响，探索更深入的物理机制。
与偏微分方程理论的交叉
将对流扩散方程的研究与偏微分方程理论相 结合，推动数学理论的发展。
02
03
有限体积法
将连续的求解域离散化为有限个小的 体积，在每个体积上近似函数，将微 分方程转化为代方程进行求解。
有限差分法
向前差分法
将微分方程中的导数项用前一步的函数值近似代替，得到向前差 分方程。
向后差分法
将微分方程中的导数项用后一步的函数值近似代替，得到向后差 分方程。
对流扩散方程.
A对流扩散方程的求解对流扩散问题的有效数值解法一直是计算数学中重要的研究内容，求解对流扩散方程的数值方法主要是有限差分法(FDM)、有限元法(FEM)、有限体积法(FVM)、有限解析法(FAM)、边界元法(BEM)、谱方法(SM) 等多种方法。
但是对于对流占优问题，用通常的差分法或有限元法进行求解将出现数值震荡。
为了克服数值震荡，80年代，J.Douglas,Jr.和T.F.Russell 等提出特征修正技术求解对流扩散占优的对流扩散问题，与其它方法相结合，提出了特征有限元方法、特征有限差分方法、特征混合元方法；T.J.Hughes和A.Brooks提出过一种沿流线方向附加人工黏性的间断有限元法，称为流线扩散方法(SDM)。
有限差分法、有限元法、有限体积法是工程应用中的主要方法。
对流扩散方程的特点对流扩散方程右端第一项为扩散项，左端第二项则是对流项。
由于其方程本身的特点，给建立准确有效的数值求解方法带来一定的困难。
对流和扩散给流体中由流体携带的某种物理量的变化过程，可以通过一个无量纲的特征参数(Peclet数)来描述，Peclet数Pe的定义为：Pe=|ν|L/D。
这里v是来流速度，L是特征长度，D是物质的扩散系数。
如果Pe数较小，即对流效应相对较弱，这类问题中，扩散占主导地位，方程是椭圆型或抛物线型；如果Pe数较大，即溶质分子的扩散相对于流体速度而言是缓慢的，这类问题中，对流占优，方程具有双曲型方程的特点。
对于对流占优问题的求解，采用常规的Galerkin有限元方法，为了避免求解结果产生数值振荡，获得稳定解，则应使每个单元的局部Peclet数，Peh=|ν|h/D≤2，这里h为单元的最大尺寸，|v|为单元中的最大速度分量值。
因此，用本文方法求解对流占优对流扩散问题，要得到稳定解，则要通过加密有限元网格来实现。
对流扩散方程解析解
对流扩散方程解析解对流扩散方程（Convection-DiffusionEquation）是流体动力学领域里一个基本的求解方程，它表示物理系统的流体流动特征，可用于模拟和分析气体的湍流流动、热力学和传热运算等问题。
新的求解方法对对流扩散方程的解析解具有重要意义。
对流扩散方程的一般形式为：$$frac{partial c}{partial t}+ucdotabla c-DDelta c=f$$其中，u表示大尺度的流体速度，D表示流体扩散系数，f表示质量源期（如，物质沉积或物质释放），c表示浓度。
一般情况下，形式如上的对流扩散方程是无法求解的，因其难以确定恰当的初始条件。
在这种情况下，研究者们提出了不同的解析解算法，其目的是通过特定的分析步骤来求解该方程。
为此，研究者们将对流扩散方程分解成多个子方程，以便更容易的进行解析解析。
其中有许多不同的解析方法，这些方法大多建立在以下基础之上：1.量分离：将变量从原始方程分离出来，然后重新组合，使方程具有更好的求解性。
2.分替换：通过将复杂的积分变换成容易求解的形式，从而更容易求解对流扩散方程。
3.征方程：由于对流扩散方程的变量分离及积分替换，可以将其转换为简单的特征方程，从而可以更快地求出解析解。
4.值方法：这种方法采用计算机进行数值计算，可以从多个精度接近系统中求出解析解。
上述方法都可以用来求出对流扩散方程的解析解，但也存在一些潜在的问题，如数值误差、边界条件不易计算等。
对流扩散方程的解析解技术可以用来分析流体流动特性，模拟和分析气体湍流流动、热力学和传热运算等问题。
有了这些技术，研究者们可以更好地模拟或理解物理系统的流体特性，从而更好地解决实际中存在的问题。
例如，研究者可以利用对流扩散方程的解析解算法来分析汽车的空气动力学运动特性，有效改善汽车的燃油经济性和可靠性；或者用来研究空气流动的特性、助力涡轮机的性能改善；或者用来研究飞行器在进入大气时的热阻力特性，提高航天设备的安全性，等等。
第六章对流与扩散
该格式计算量比指数小，且与指数格式的解差别很小。
§ 6-3
通用表达式
为了在讨论中引入 PE J* J u d * 记 J x x ( ) d( ) d i i+1 P d x i+1/2 d( ) 1 界面i+ 上的值可以有界面两侧节点值表示
第六章
对流扩散方程的差分格式
导热型方程：（原始或经过变换的）
二阶导数项（扩散），源项
对流扩散方程：（动量或能量）
二阶导数项（扩散），源项 一阶导数项（对流），压力梯度。 一维稳态无内热源的对流扩散方程:
d d d ( u ) ( ) 密度， 扩散系数。 dx dx dx
对流热能量方程
aE Pe De
aE 1 1 Pe De 2
指数
aE 0 De
二．混合格式
虽然指数格式是精确解,但计算过繁,通过对 随 Pe 变化及其三条切线 aE Pe 0 De aE Pe Pe De aE 1 Pe 0 1 Pe De 2 斯帕尔丁提出 aPP aEE aww
F u J * 而 P ,J D ( ) D x * 根据通量守恒 Je J De Je D J* 0
P{De B(P e ) D A(P )} De A(Pe )E e D BP W
aE De A(Pe ) De{A(| Pe |) [| Pe ,0 |]}
Pe 10
aE Pe DE aE (1 0.1Pe )5 Pe DE aE (1 0.1Pe )5 DE aE 0 DE
10 Pe 0
0 Pe 10
Pe 10
(f)
对流扩散方程
所 以 迎 风 格 式 的 稳 定 性条 件 是
h2 2 ah
当a 0时 ， 情 况 类 似 ， 稳 定 性条 件 是
h2 2 a h
也可以利用中心显格式来讨论稳定性,于是将上面格式改为:
u n1 j
u
n j
a
un j 1
只需验证 G 1,由于 1 cos wh 0，条件转化为：
4 4 2 (1 cos wh) r 2 (1 cos wh) 0
即 4 - 2r 2 (4 2 r 2 )(1 cos wh) 0
由于 1 cos wh 0,1,上述不等式转化为
2
4 2r 2 0, 4 2r 2 2(r 2 4 2 ) 0
为了简单方便,设a>0,先对方程作扰动,得到另外一对流
扩散方程
u t
a u x
1
1 R
2u x 2
其中R 1 ha
2
对上面的方程构造迎风格式
u n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
1
1 R
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.
n j
u n1 j
2 得到如下差分格式：
u n1 j
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
（
2
a
2）u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
稳 定 性 分 析 完 全 类 似 于中 心 差 分 格 式 ， 显 然 有
第五章 对流-扩散方程的离散格式
令 F u ，D （扩导）则上式可变为： x
aP P aE E aW W
aE 1 1 De Fe aW Dw Fw 2 2
式⑴
a p aE aW
在数值计算中，若连续性方程始终得到满 足，aP仍为相邻各系数的和。aE, aW包括了 扩散与对流作用的影响。
对于坐标系I，C位于界面之后，而D位 于界面之前，于是： J * B( P )C A( P ) D 对于坐标系II，D位于界面之后，而C 位于界面之前，于是：
J B( P ) D A( P )C
*
由于
J J
*
*'
C [ B( P ) A( P )] D [ A( P ) B( P )]
动量方程的压力梯度项处理涉及到 压力与速度的耦合问题。
5.1.1 对流项离散格式的重要性 对流项离散格式是否合适将会影响： ⑴ 数值解的准确性（假扩散误差） ； ⑵ 数值解的稳定性 ； ⑶ 数值解的经济性 。
5.1.2 构造对流项离散格式的两种方式
1、Taylor展开方式 对于节点上的一阶导数给出其相应的离散 方式，如表5-1。
aW (i 1) a E (i) 1 1 (1 P ) (1 P ) P D D 2 2
迎风差分(FUD)：
aW Dw Fw ,0 Dw 1 Pw ,0
aE De Fe ,0 De 1 Pe ,0
exp( Pe ) 1
Fe ；
Fw exp( Pw ) aW exp( Pw ) 1
aP aE aW ( Fe Fw )
5.3.4 乘方格式(Power-law scheme)
matlab求解对流扩散方程
对流扩散方程是描述传质和动量传递的数学模型，在许多工程和科学领域都有广泛的应用。
Matlab作为一种强大的科学计算工具，具有丰富的函数库和灵活的编程环境，非常适合用来求解对流扩散方程。
本文将介绍在Matlab中求解对流扩散方程的基本方法，并提供一些实际案例来说明其应用。
一、对流扩散方程的基本形式对流扩散方程是描述物质在流体中输运的偏微分方程，其一般形式可以表示为：∂c/∂t + ∇·(uc) = ∇·(D∇c)其中c是物质的浓度，t是时间，u是流体的速度场，D是扩散系数。
这个方程同时考虑了对流和扩散的影响，描述了物质浓度随时间和空间的变化规律。
二、Matlab中求解对流扩散方程的基本步骤在Matlab中求解对流扩散方程的一般步骤如下：1.建立数学模型：根据实际问题建立对流扩散方程的数学模型，明确方程中的各个参数和边界条件。
2.离散化：将对流扩散方程进行离散化处理，常用的方法有有限差分法、有限元法和有限体积法等。
3.编写程序：利用Matlab的编程功能，编写求解对流扩散方程的程序，包括离散化方程、设置边界条件和时间步长等。
4.求解方程：利用Matlab的数值计算功能，对离散化后的对流扩散方程进行求解，得到数值解。
5.分析结果：对求解得到的数值解进行后处理，分析物质浓度随时间和空间的变化规律，得出有关问题的结论。
三、Matlab中求解对流扩散方程的实际案例下面通过一个实际案例来说明在Matlab中求解对流扩散方程的具体方法。
案例：地下水污染扩散模拟假设地下水中存在一种有害物质，通过对流扩散方程的数学建模和离散化处理，可以得到如下形式的离散方程：c(i,j,k+1) = c(i,j,k) + Δt[(u(i+1,j) - u(i,j))/Δx + (v(i,j+1) - v(i,j))/Δy] - Δt(D(i,j)/Δx^2(c(i+1,j,k) - 2c(i,j,k) + c(i-1,j,k)) +D(i,j)/Δy^2(c(i,j+1,k) - 2c(i,j,k) + c(i,j-1,k)))其中c(i,j,k)是第k个时间步长时点(i,j)处的浓度，u(i,j)和v(i,j)分别是流体的水平和垂直速度分量，D(i,j)是(i,j)处的扩散系数，Δx和Δy分别是网格的水平和垂直间距。
对流扩散方程及其解法
对流扩散方程及其解法对流扩散方程是物理学中最常见的一类偏微分方程，与流体力学、传热传质学等学科密切相关。
解析求解对流扩散方程可以揭示物理现象的本质，并在实际应用中提供有效的工程计算方法。
一、对流扩散方程对流扩散方程是将扩散项和对流项结合在一起的偏微分方程，一般形式如下：$$\dfrac{\partial u}{\partial t} = D\dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} - v\dfrac{\partial u}{\partial x} + f(x,t)$$其中 $u$ 是未知函数，$D$ 是扩散系数，$v$ 是速度场，$f(x,t)$ 是源项。
对流扩散方程描述了时间 $t$ 和空间 $x$ 上的某一物理量 $u$ 随时间的变化规律。
二、对流项与扩散项对流扩散方程中的对流项和扩散项代表不同的物理过程，互相作用形成物理现象。
对流项描述了物质由一点向另一点的移动，通常由质量流或者粒子流的线性变化来表示。
扩散项描述了物质的热或质量分布率随空间位置的二次变化。
对流项和扩散项的比值通常称为对流性能。
三、有限差分方法有限差分法是对流扩散方程的求解方法之一，将空间和时间的连续域离散化成离散点，并通过有限差分逼近偏微分方程的微分项，从而转化成一个代数问题。
常见的有限差分格式有向后差分法、向前差分法、中心差分法等。
假设在 $(x_i,t_n)$ 的数值解已知，设网格步长为 $\Delta x$ 和$\Delta t$，则有：$$u(x_i,t_{n+1}) \approx u(x_i,t_{n}) + \Delta tf(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$$其中 $f(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$ 是对流扩散方程右端的非线性项。
将$u(x_i,t_n)$ 用它四周的$u(x_{i-1},t_n)$、$u(x_{i+1},t_n)$、$u(x_i,t_{n-1})$ 替代，可以得到向后差分格式：$$u(x_i,t_{n+1}) \approx u(x_i,t_{n}) + D\dfrac{\Delta t}{\Deltax^2}[u(x_{i+1},t_n) - 2u(x_i,t_n) + u(x_{i-1},t_n)]-v\dfrac{\Deltat}{\Delta x}[u(x_{i+1},t_n) - u(x_{i-1},t_n)] + \Delta tf(u(x_i,t_n),x_i,t_n)$$四、求解方法对流扩散方程的解法包括解析解和数值解，主要取决于方程的形式和边界条件的选取。
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只需验证 G 1,由于 1 cos wh 0，条件转化为：
4 4 2 (1 cos wh) r 2 (1 cos wh) 0
即 4 - 2r 2 (4 2 r 2 )(1 cos wh) 0
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由于 1 cos wh 0,1,上述不等式转化为
2
4 2r 2 0, 4 2r 2 2(r 2 4 2 ) 0
2u x 2
于 是 方程 的 截 断 误差 可以 改 写为 ：
（
2
2
4u x 4
2a
3u x 3
a2
x2 u2 ）
h2
4u x 4
2
a2
2u x 2
（
2
2
4u x 4
2a
x3 u3 ）
h2
4u x 4
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由此有当不趋近于0时，差分格式与下面的方程相容：
u t
a
u x
（
2
a
2） 2u x2
然 而 在 数 值 计 算 的 时 候是 一 不 为0的 固 定 常 数 ，
不 变 ，很 小 时 ，只 能 取 得 很 小 ， 格 式 显得 不合适，当 0（极限情况）时，微分方 程
化 为对 流 方程 ， 中 心显式 格式 转 化为 绝 对不
稳 定的 ， 故 考虑 迎 风格式 ：
u
n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
(a 0)
即：unj 1 (r )unj1 (1 r 2)unj unj1 ,(a 0)
为了简单方便,设a>0,先对方程作扰动,得到另外一对流
扩散方程
u t
a u x
1
1 R
2u x 2
其中R 1 ha
2
对上面的方程构造迎风格式
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u
n1 j
u
n j
a
u
n j
u
n j 1
h
1
1 R
u
n j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
称为逼近对流扩散方程的Samarskii格式.
n j
即 r 2 1，此时有r 1，（r 2） r 2自然成立。
所 以 迎 风 格 式 的 稳 定 性条 件 是
h2 2 ah
当a 0时 ， 情 况 类 似 ， 稳 定 性条 件 是
h2 2 a h
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也可以利用中心显格式来讨论稳定性,于是将上面格式改为:
u
n j
1
u
n j
a
4:对流扩散方程
对流扩散方程的初值问题：
u t
a
u x
2u x 2
u( x,0) f ( x)
x , t 0
x , 0
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4.1、中心显式差分格式
u n1 j
u
n j
a
un j 1
un j 1
un j 1
2u
n j
un j 1
2h
h2
其 截 断 误 差 为 ：E O( h2 )， 而 且 当 0时 ，
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其增长因子
G 1 (r 2)(1 cosh) ir sinh
G 2 r 2 sin2 h (1 (r 2)(1 cos h))2
1 (1 cos h) 2(r 2) 2r 2 (r 2 (r 2)2 )(1 cos h)
类 似 的 迎 风 格 式 稳 定 的充 要 条 件 是G 1, 相 当 于 要求：
2(r 2 ) 2r 2 (r 2 (r 2 )2 )(1 cos h) 0
由 于 1 cos h 0,2, 条 件 化 为 ：
2(r 2 ) 2r 2 0和 2(r 2 ) 2r 2 2（r 2 (r 2 )2） 0
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而 2(r 2) 2r 2 2(r 2 (r 2)2 ) 2(r 2)(1 (r 2)) 0 1 (r 2) 0
r
(u
n j1
un j 1
)
(
un j1
2unj
un j 1
)
增长因子为：
G (r, ) 1 2(1 coswh) ir sin wh
G(r, ) 2 r 2 sin2 wh 1 4 2 (1 cos wh)2 4r(1 cos wh)
1 (1 cos wh) 4 4 2 (1 cos wh) r2 (1 cos wh)
u
n j 1
u
n j 1
2h
(
ah
)
u
n j 1
2h
2u
n j
h2
u
n j 1
取
v
v
ah
，则变为中心格式，于是
2
2 a2
v, (1)
v
h2
1 , (2) 2
通过简单的推导,可以发现第一个稳定条件可以由第2个 条件推出,于是迎风格式的稳定条件就是(2).
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4.4:Samarskii格式
Samarskii格式是具有迎风效应的关于空间的二阶格式,
2 得到如下差分格式：
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u
n j
1
u
n j
a
u
n j 1
u
n j 1
2h
（
a
2）u
n j 1
2
2u
n j
h2
u
n j 1
稳 定 性 分 析 完 全 类 似 于中 心 差 分 格 式 ， 显 然 有
h2
1（a ）2
2h
1 2
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4.3: 迎风差分格式
在 中心 显 式差 分 格式 的稳 定性 条 件中 ， 当G
于 是 导 致 了 扩 散 效 应 的损 失 ， 特 别 在 a2 0
2 时 ， 中 心 差 分 格 式 相 容对 于 流 方 程 ， 而 此 时 中心
格 式 是 绝 对 不 稳 定 的 ，为 了 减 少 扩 散 效 应 的 损失 ，
在 相 应 的 扩 散 项 增 加 扩散 的 系 数 为 a2。 这 样
格 式 为 近 似 对 流 方 程 的无 条 件 不 稳 定 格 式 ； 当
a 0时 ， 格 式 是 近 似 扩 散 方程 的 古 典 显 式 格 式 ，
只 有ar 1 时 ， 格 式 才 稳 定 。 2
下面讨论稳定性：
设r a h , h2 ,格式改写成：
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un1 j
u
n j
1 2
将r1, r2代入，即得条件：
2
a2
,
h2 2
此两不等式为中心显式格式稳定的条件。
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4.2: 修正中心差分格式
中
心
显格式的
截
断 误 差为
：
2
2u t 2
h2
4u x 4
假设对流 扩散方程的解充分光滑 ，对方程两 边
同 时 对t求 导 有 ：
2u t 2
2
4u x 4
2a
3u x 3
a2
u n1 j
u
n j
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
n j
a
un ju来自n j 1h（ 1 1 R
1）
un j 1
2u
n j
h2
u
n j 1
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由Taylor公式可以得到
n j
(
u t
)
n j
(
2u x 2
)
n j
O(
h2 )
n j