横截面和斜截面上的应力

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工程力学精彩试题库-材料力学

⼯程⼒学精彩试题库-材料⼒学材料⼒学基本知识复习要点1.材料⼒学的任务材料⼒学的主要任务就是在满⾜刚度、强度和稳定性的基础上，以最经济的代价，为构件确定合理的截⾯形状和尺⼨，选择合适的材料，为合理设计构件提供必要的理论基础和计算⽅法。

2.变形固体及其基本假设连续性假设：认为组成物体的物质密实地充满物体所在的空间，毫⽆空隙。

均匀性假设：认为物体内各处的⼒学性能完全相同。

各向同性假设：认为组成物体的材料沿各⽅向的⼒学性质完全相同。

⼩变形假设：认为构件在荷载作⽤下的变形与构件原始尺⼨相⽐⾮常⼩。

3.外⼒与内⼒的概念外⼒：施加在结构上的外部荷载及⽀座反⼒。

内⼒：在外⼒作⽤下，构件内部各质点间相互作⽤⼒的改变量，即附加相互作⽤⼒。

内⼒成对出现，等值、反向，分别作⽤在构件的两部分上。

4.应⼒、正应⼒与切应⼒应⼒：截⾯上任⼀点内⼒的集度。

正应⼒：垂直于截⾯的应⼒分量。

切应⼒：和截⾯相切的应⼒分量。

5.截⾯法分⼆留⼀，内⼒代替。

可概括为四个字：截、弃、代、平。

即：欲求某点处内⼒，假想⽤截⾯把构件截开为两部分，保留其中⼀部分，舍弃另⼀部分，⽤内⼒代替弃去部分对保留部分的作⽤⼒，并进⾏受⼒平衡分析，求出内⼒。

6.变形与线应变切应变变形：变形固体形状的改变。

线应变：单位长度的伸缩量。

练习题⼀.单选题1、⼯程构件要正常安全的⼯作，必须满⾜⼀定的条件。

下列除（）项，其他各项是必须满⾜的条件。

A、强度条件B、刚度条件C、稳定性条件D、硬度条件2、物体受⼒作⽤⽽发⽣变形，当外⼒去掉后⼜能恢复原来形状和尺⼨的性质称为（）A．弹性B．塑性C．刚性D．稳定性3、结构的超静定次数等于（）。

A．未知⼒的数⽬B．未知⼒数⽬与独⽴平衡⽅程数⽬的差数C．⽀座反⼒的数⽬D．⽀座反⼒数⽬与独⽴平衡⽅程数⽬的差数4、各向同性假设认为，材料内部各点的（）是相同的。

A.⼒学性质B.外⼒C.变形D.位移5、根据⼩变形条件，可以认为（）A.构件不变形B.结构不变形C.构件仅发⽣弹性变形D.构件变形远⼩于其原始尺⼨6、构件的强度、刚度和稳定性（）A.只与材料的⼒学性质有关B.只与构件的形状尺⼨有关C.与⼆者都有关D.与⼆者都⽆关7、在下列各⼯程材料中，（）不可应⽤各向同性假设。

拉压杆斜截面上的应力

应力计算公式
σ=F/A，其中σ为横截面上的应力，F为轴向拉伸力，A为横截面面积。
压杆
定义
压杆是受到压缩作用的杆件，其轴向压力垂直于杆轴线。
受力特点
压杆在轴向压力作用下，其横截面上的应力分布呈现均匀性，且方向与压缩力方向相反。
应力计算公式
σ=F/A，其中σ为横截面上的应力，F为轴向压缩力， A为横截面面积。
常用的计算方法包括：截面法、能量法等，具体计算方法的选择取决于问题的具体条件和要求。
04 斜截面上的应力对拉压杆的影响
斜截面上的应力对拉杆的影响
拉杆在受到拉伸时，斜截面上的应力分布不均匀，表现为拉应力。拉应力的大小与拉杆的长度、截面尺寸和材料有关。斜截面上的拉应力会导致拉杆发生伸长变形，影响其承载能力和稳定性。
拉压杆的设计原则与注意事项
设计原则
拉压杆的设计应遵循力学原理和相关标准规范，确保其具有足够的强度、刚度和稳定性。
注意事项
在拉压杆的设计过程中，还需要考虑制造工艺、使用环境和维修保养等因素，以确保其性能和安全可靠性。
感谢您的观看
THANKS
为了提高拉压杆的整体稳定性，可以通过优化设计、选择合适的材料和加强结构措施等手段来改善斜截面上的应力分布。例如，可以通过改变截面形状、增加加强筋或采用复合材料等方法来提高拉压杆的承载能力和稳定性。
05 拉压杆的设计与优化
拉杆的设计与优化
拉杆的设计
拉杆的设计应考虑其承受的拉力大小、方向和作用点，以及使用环境和材料特性等因素。
表面。
斜截面上的应力方向与截面的法线方向垂直，并垂直于杆件
的轴线。
在拉压杆的轴线方向上，斜截面上的应力呈现对称分布，而在垂直方向上呈现非对称分布。

杆件横截面上的应力

* N1
* Sz dM τy = I zb dx
F = ∫ * σ2dA= ∫ *
* N2 A
A
(M + dM) y1 dA
Iz
Fs S τ = I zb
* z
FS S z τ= I zb
上式中符号意义：式中符号意义：截面上距中性轴y处的剪应力 τ：截面上距中性轴处的剪应力 c
S ：y以外面积对中性轴的静矩以外面积对中性轴的静矩 I z ：整个截面对中性轴的惯性矩
②正应力：正应力：
p α
F
α
α
Fα N
σ α = pα cos α = σ cos 2 α
③切应力：切应力：
α
σα α pα τα
τ α = pα sin α =
σ0
2
sin 2α
1） α=00时， σmax＝σ ） 2）α＝450时， τmax=σ/2 ）＝
例题
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正应力.已知横截面面积A=2×103mm2
2．计算截面惯性矩．
0.12 × (0.02)3 2 I1 z = + (0.12 × 0.02 )(0.045 0.01) = 3.02 ×10 6 m 4 12 0.02 × (0.12) 3 2 I2z = + (0.02 × 0.12)(0.08 0.045) = 5.82 × 10 6 m 4 12
其中：拉应变为正，其中：拉应变为正，为正压应变为负为负。压应变为负。
'
d1 d d = 横向应变：横向应变： ε = d d
O
z
研究一点的线应变：研究一点的线应变：
x
x

材料力学习题册

5
天津工业大学机械工程学院
力学练习册—— 《材料力学》部分
2018 版
四、基本计算题
1．图示硬铝试样，厚度 2 mm ，试验段板宽 b 20 mm ，标距 l 70 mm 。在轴向拉力 F 6 kN 的作
用下，测得试验段伸长 l 0.15mm ，板宽缩短 b 0.014 mm 。试计算硬铝的弹性模量 E 与泊松比。
3
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力学练习册—— 《材料力学》部分
2018 版
3．图示桁架，杆 1 与杆 2 的横截面均为圆形，直径分别为 d1 30 mm 与 d2 20 mm ，两杆材料相同，屈服极限s 320 MPa ，安全因数 ns 2.0 。该桁架在节点 A 处承受铅垂方向的载荷 F 40 kN 作用，试
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力学练习册—— 《材料力学》部分
2018 版
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成绩
第七章绪论
本章要点： (1) 利用截面法计算截面上的内力分量 (2) 应力和应变的定义一、选择题
1．以下列举的实际问题中，属于强度问题的是：
；属于刚度问题的是：
；属于稳定性问
题的是：
。
A. 旗杆由于风力过大而产生不可恢复的永久变形; B. 自行车链条拉长量超过允许值而打滑
0.8M
M
4
3
3M
0.6M
2
1
4
3
2
1
a
a
a
a
1 0.6M
1
3M 2
0.6M
2
3
M
3M
0.6M
3
4
0.8M
M
3M
0.6M

材料力学第2章杆件的拉伸与压缩

第2章杆件的拉伸与压缩提要：轴向拉压是构件的基本受力形式之一，要对其进行分析，首先需要计算内力，在本章介绍了计算内力的基本方法——截面法。

为了判断材料是否会发生破坏，还必须了解内力在截面上的分布状况，即应力。

由试验观察得到的现象做出平面假设，进而得出横截面上的正应力计算公式。

根据有些构件受轴力作用后破坏形式是沿斜截面断裂，进一步讨论斜截面上的应力计算公式。

为了保证构件的安全工作，需要满足强度条件，根据强度条件可以进行强度校核，也可以选择截面尺寸或者计算容许荷载。

本章还研究了轴向拉压杆的变形计算，一个目的是分析拉压杆的刚度问题，另一个目的就是为解决超静定问题做准备，因为超静定结构必须借助于结构的变形协调关系所建立的补充方程，才能求出全部未知力。

在超静定问题中还介绍了温度应力和装配应力的概念及计算。

不同的材料具有不同的力学性能，本章介绍了塑性材料和脆性材料的典型代表低碳钢和铸铁在拉伸和压缩时的力学性能。

2.1 轴向拉伸和压缩的概念在实际工程中，承受轴向拉伸或压缩的构件是相当多的，例如起吊重物的钢索、桁架第2章杆件的拉伸与压缩 ·9··9·2.2 拉(压)杆的内力计算2.2.1 轴力的概念为了进行拉(压)杆的强度计算，必须首先研究杆件横截面上的内力，然后分析横截面上的应力。

下面讨论杆件横截面上内力的计算。

取一直杆，在它两端施加一对大小相等、方向相反、作用线与直杆轴线相重合的外力，使其产生轴向拉伸变形，如图2.2(a)所示。

为了显示拉杆横截面上的内力，取横截面把m m −拉杆分成两段。

杆件横截面上的内力是一个分布力系，其合力为N F ，如图2.2(b)和2.2(c)所示。

由于外力P 的作用线与杆轴线相重合，所以N F 的作用线也与杆轴线相重合，故称N F 为轴力(axial force)。

由左段的静力平衡条件0X =∑有：()0+−=N F P ，得=N F P 。

杆件横截面上的应力

F
F:横截面上的轴力 A：横截面的面积
拉压杆斜截面上的应力
横截面----是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面----是指任意方位的截面。
F
F
F
①全应力：
②正应力：
③切应力：
1） α=00时， σmax＝σ 2）α＝450时， τmax=σ/2
试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正应力.已知横截面面积A=2×103mm2
在上下边缘处：
y = 0，
b
h
max
图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三点处的切应力。作出剪力图各点处的切应力
矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求σmax , τmax 。
二、工字形截面梁的切应力
横截面上的切应力(95--97)％由腹板承担,而翼缘仅承担了(3--5) ％,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.
主应力及最大切应力
①切应力等于零的截面称为主平面由主平面定义，令tα =0
可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。
②令
得：
即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。
③主应力大小：
④由s１、s３、0按代数值大小排序得出：s1≥0≥s3
极值切应力：
①令：
②
可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直的极值切应力方位。
C
A
B
40
yc
FS
_
+
M
0.25
0.5
+
_
平面应力状态的应力分析主应力
一、公式推导：

斜截面上的应力

第十章应力状态分析
● 应力状态的概念 ● 平面应力状态分析的解析法
7- 1 应力状态的概念一、问题的提出

杆件在基本变形时横截面上应力的分布规律
轴向拉压：

N A
圆轴扭转：

M
n

p
I
平面弯曲：

My Iz
* QS z bI z
危险点处于单向应力状态或处于纯剪应
1、空间应力状态的概念
三个主应力均不为零
2、最大正应力和最大剪应力
max 1 1 - 3 max
2
3、广义虎克定律
单向应力状态下有
由 1引起的应变 1
1
E
纵向应变 E 横向应变 - - E
- 由 2引起的应变 1
-
sin 2a - xy cos 2a
a + x + y C
结论：两个相互垂直的截面正应力之和为常数 2、比较a 、 : a = - 结论：在相互垂直的两截面上的剪应力数值相等，它们的方向是共同指向或背离这个平面的交线（剪应力互等定理）
二、主应力
力状态，相应强度条件为：
max max
实际问题：杆件的危险点处于更复杂的
受力状态

薄壁圆筒承受内压

x
破坏现象
脆性材料受压和受扭破坏
钢筋混凝土梁
二、一点的应力状态
在受力构件内，在通过同一点各个不同方位的截面上，应力的大小和方向是随截面的方位不同而按照一定的规律变化通过构件内某一点的各个不同方位的截面上的应力及其相互关系，称为点的应力状态

工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算

广州汽车学院
7
Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章轴向拉压杆件的强度与变形计算
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斜拉桥承受拉力的钢缆车学院
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Guang Zhou Auto College
工程力学
第7章轴向拉压杆件的强度与变形计算
广州汽车学院9来自 7-1轴向拉压杆横截面上的应力
胡克定律
车
学
院
工程力学
17
轴向拉压的变形分析
P
P
A 细长杆受拉会变长变细，
P
B 受压会变短变粗
C 长短的变化，沿轴线方向，称为纵向变形
l+Dl l
d-Dd d
D 粗细的变化，与轴线垂直，
称为横向变形
P
P
P
7-3轴向拉压杆的变形计算胡克定律
工程力学
Guang Zhou Auto College
变形量的代数和：
汽
车
Δ
l
＝
FNi li FNi ADlEADA＋i
＝Dl AD DlDE DlEB Dl
FNDElDE ＋ FNEBlEB ＋ FNBClBC
BC
学
Ec AAD
Ec ADE
Es AEB
Es ABC
＝1.2106 m 0.6106 m 0.285106 m 0.428106 m
广
承受轴向载荷的拉（压）杆在工程中的
州
应用非常广泛。
汽
由汽缸、活塞、连
杆所组成的机构中，不
车
仅连接汽缸缸体和汽缸
盖的螺栓承受轴向拉力，
学
带动活塞运动的连杆由

一、横截面上的切应力

一、横截面上的切应力实心圆截面杆和非薄壁的空心圆截面杆受扭转时，我们没有理由认为它们在横截面上的切应力象薄壁圆筒中那样沿半径均匀分布导出这类杆件横截面上切应力计算公式，关键就在于确定切应力在横截面上的变化规律。

即横截面上距圆心τp任意一点处的切应力p与p的关系为了解决这个问题，首先观察圆截面杆受扭时表面的变形情况，据此做出内部变形假设，推断出杆件内任意半径p处圆柱表面上的切应变γp，即γp与p的几何关系利用切应力与切应变之间的物理关系，再利用静力学关系求出横截面上任一点处切应力τp的计算公式实验表明：等直圆杆受扭时原来画在表面上的圆周线只是绕杆的轴线转动，其大小和形状均不变，而且在小变形情况下，圆周线之间的纵向距离也不变图8-56扭转时的平面假设：等直圆杆受扭时它的横截面如同刚性圆盘那样绕杆轴线转动显然这就意味着：等直圆杆受扭时，其截面上任一根沿半径的直线仍保持为直线，只是绕圆心旋转了一个角度φ图8-57现从等直圆杆中取出长为dx的一个微段，从几何、物理、静力学三个方面来具体分析圆杆受扭时的横截面上的应力图8-581.几何方面小变形条件下dφ为dx长度内半径的转角，γ为单元体的角应变图8-59或因为dφ和dx是一定的，故越靠近截面中心即半径R越小，角应变γ也越小且γ与R成正比例(或线性关系)由平面假设：对同一截面上各点θ表示扭转角沿轴长的变化率，称为单位扭转角，在同一截面上其为常数所以截面上任一点的切应力与该点到轴心的距离p成正比p为圆截面上任一点到轴心距离，R为圆轴半径图8-60上式为切应力的变化规律2.物理方面(材料在线性弹性范围内工作)由剪切胡克定律由于G和为常数，所以上式表明受扭等直圆杆在线性弹性范围内工作时，横截面上的切应力在同一半径p 的圆周上各点处大小相同，但它们随p做线性变化同一横截面上的最大切应力在横截面的边缘处。

这些切应力的方向均垂直于各自所对应的半径，指向与扭矩对应3.静力学方面前面已找出了受扭等直圆杆横截面上的切应力τp随p变化的规律，但还没有把与扭矩T联系起来。

斜截面上的应力正负号规定

斜截面上的应力正负号规定
α：横截面外法线n0转至斜截面的外法线n，逆时针转向为正，反之为负
图7-95
如上图α为正
图7-96
：拉应力为正，压应力为负
图7-97
：对脱离体内一点产生顺时针力矩的剪应力为正，反之为负
图7-98
讨论
1.当
即斜截面上的正应力为杆内正应力的最大值，而剪应力为零
2.当
即α与杆件成45°的斜截面上剪应力达到最大值，而正应力不为零
3.当
即纵截面上的应力为零，因此在纵截面不会破坏
4.当
图7-99
讨论结论
图7-100
拉压杆任意两个互相垂直截面上的切应力大小相等，而指向都对着或者背离该两截面的交线，即切应
力互等定理
图7-101 .。

横截面和斜截面上的应力

FN FN
A
即横截面上的正应力计算式为
例一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F＝20kN作用，
已知h=25mm，h0=10mm，b=20mm。试求杆内的最大
正应力。
1
2
解:
F
F
①计算轴力
1
2
FN =-20KN ②计算最大的正应力值
A11—1
A22—2
h h0 h
Amin= A2=（h- h0）b=（25 -10）×20mm2= 300mm2
F
F
l1
a1
1. 纵向变形为 l=l1- l 横向变形为 a=a1- a
2.线应变——杆件单位长度内的变形量。纵向线应变： l l1 l
ll
横向线应变： a a1 a
aa
拉伸时， ﹥0， ' ﹤0；压缩时， ﹤0， ' ﹥0；
3.泊松比μ（横向变形系数）实验结果表明：一定范围内，杆件的横向线应变与纵向线应变的比值为一常数。即
应力的国际单位为Pa 1N/m2= 1Pa（帕斯卡） 1MPa = 106Pa 1GPa = 109Pa
FP1
m
切应力
K
FP2 m
全应力 p
正应力
二、拉压杆横截面上的正应力
1 1
2 2
轴向拉伸 F
F
轴向压缩 F
1 111
2 2 2 2
F
1 1
2 2
经观察可以发现：横向线11、22在变形后，仍
为直线且与轴线正交；只是横向和纵向线间距变化，
由此可对均质材料的轴向拉压杆作如下假设:
平面假设——变形前为平面的横截面，变形后仍为平面，仅沿轴向产生了相对平移。

一点应力状态概念及其表示方法

一点应力状态概念及其表示方法凡提到“应力”，必须指明作用在哪一点，哪个（方向）截面上。

因为受力构件内同一截面上不同点的应力一般是不同的，通过同一点不同（方向）截面上应力也是不同的。

例如，图8-1弯曲梁横截面上各点具有不同的正应力与剪应力；图8-2通过轴向拉伸杆件同一点的不同（方向）截面上具有不同的应力。

２．一点处的应力状态是指通过一点不同截面上的应力情况，或指所有方位截面上应力的集合。

应力分析就是研究这些不同方位截面上应力随截面方向的变化规律。

如图8-3是通过轴向拉伸杆件内点不同（方向）截面上的应力情况（集合）３．一点处的应力状态可用围绕该点截取的微单元体（微正六面体）上三对互相垂直微面上的应力情况来表示。

如图8-4（a,b）为轴向拉伸杆件内围绕点截取的两种微元体。

特点：根据材料的均匀连续假设，微元体（代表一个材料点）各微面上的应力均匀分布，相互平行的两个侧面上应力大小相等、方向相反；互相垂直的两个侧面上剪应力服从剪切互等关系。

§8-２平面应力状态的工程实例１．薄壁圆筒压力容器为平均直径，为壁厚由平衡条件得轴向应力：（8-1a）图8-5c（Ⅰ-Ⅰ，Ⅱ-Ⅱ为相距为的横截面，H-H为水平径向面）由平衡条件或, 得环向应力：（8-1b）2．球形贮气罐（图8-6）由球对称知径向应力与纬向应力相同，设为对半球写平衡条件：得（8-2）3．弯曲与扭转组合作用下的圆轴4．受横向载荷作用的深梁§8-3平面一般应力状态分析——解析法空间一般应力状态如图8-9a所示，共有9个应力分量：面上的，，；面上的，，；面上的，，。

1）应力分量的下标记法：第一个下标指作用面（以其外法线方向表示），第二个下标指作用方向。

由剪应力互等定理，有：，，。

2）平面一般应力状态如图8-9b所示，即空间应力状态中，方向的应力分量全部为零（）；或只存在作用于x-y平面内的应力分量，，，，其中，分别为，的简写，而= 。

3）正负号规定：正应力以拉应力为正，压为负；剪应力以对微元体内任意一点取矩为顺时针者为正，反之为负。

拉压杆斜截面上的应力

通过优化支撑柱的截面尺寸、材料、连接方式等参数，提高了建筑的抗震性能和承载能力。
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拉压杆应力与材料力学性能的关系
材料力学性能包括弹性模量、泊松比和剪切模量等参数，这些参பைடு நூலகம்与拉压杆应力之间存在
密切关系。
泊松比是描述材料横向变形与纵向变形关系的参数，泊松比越大，材料横向变形越小，拉压杆的应力越大。
弹性模量是描述材料抵抗变形能力的参数，弹性模量越大，材料抵抗变形的能力越强，因
稳定性分析
为了防止失稳现象的发生，需要对拉压杆进行稳定性分析，确定其临界载荷和失稳形态。
3
稳定性分析方法
可以采用静力学方法和动力学方法进行稳定性分析，以确定拉压杆的临界载荷和失稳形态。
04 斜截面上的应力计算
斜截面应力的计算公式
公式推导
斜截面应力计算公式是通过材料力学中的应力分析方法推导得出的，考虑了杆件受力、截面尺寸等因素的影响。
拉压杆斜截面上的应力
目录
CONTENTS
• 拉压杆应力概述 • 斜截面上的应力分布 • 拉压杆的强度和刚度 • 斜截面上的应力计算 • 拉压杆的设计与优化
01 拉压杆应力概述
拉压杆应力的定义
01
拉压杆应力是指在拉压杆件中，由于受到外力作用而产生的内部应力，表现为杆件内部相邻部分之间的相互挤压或拉伸。
剪切应力
由于外力作用，杆件在斜截面上产生的切向应力，其方向与切线方向一致。
正应力
由于外力作用，杆件在斜截面上产生的径向应力，其方向与
垂直线方向一致。
斜截面应力分布的规律
规律
斜截面应力分布的规律与杆件的材料、截面的形状、外力的大小和方向等因素有关。

轴向拉压时斜截面上的应力

东财
Dongbei University of Finance Economics ＆
第四强度理论
第四强度理论（形状改变比能理论）
– 这一理论认为，形状改变比能Ux是引起材料发生屈服破坏的原因。也就是说，材料无论处在什么应力状态下，只要形状改变比能Ux达到材料在单向拉伸屈服时的形状改变比能Uxs，材料就发生屈服破坏。即：(p291) Ux=Uxs 其强度条件为：
二向应力状态斜截面上的应力
如图为二向应力状态：
考虑平衡可得到：
x y
2 x y 2
x y
2
cos 2 x sin 2
sin 2 x cos 2
二向应力状态下的强度理论源自东财Dongbei University of Finance Economics ＆
强度理论－第一强度理论
强度理论
– 就是关于材料在不同的应力状态下失效的假设
第一强度理论（最大拉应力理论）★★★★

只要有一个主应力的值达到单向拉伸时σ b，材料就发生屈服；即： σ1＝ σ b；引入安全系数后，其强度设计准则（强度条件为：

σr1＝ σ1≤[σ]，式中： σr1称为第一强度理论的相当应力； [σ]为单向拉伸时
的许用应力
实验证明，该强度理论较好地解释了石料、铸铁等脆性材料沿最大拉应力所在截面发生断裂的现象；而对于单向受压或三向受压等没有拉应力的情况则不适合。
二向应力状态下的强度理论
东财
Dongbei University of Finance Economics ＆
第二强度理论
第二强度理论（最大伸长线应变理论）
二向应力状态下的强度理论

材料力学-应力状态与应变状态分析

s2 引起 1 s 2 E 2 s 2 E 3 s 2 E
s3 引起 1 s 3 E 2 s 3 E 3 s 3 E
小变形 i i i i i 1,2,3
1
1 E
s1
(s 2
s 3 )
广
2
1 E
s 2
(s 3
s1 )
义虎克定
3
1 E
s 3
(s 1
s 2)
t T ＝ 1 πD3 (1－a4) 16
1
＝
1 E
[s1－
(s2＋s3)]
＝
1＋
E
t
T＝8.38 kN·m
二、体积应变
单元体边长：dx、dy、dz
体积：V0 = dx·dy·dz
dy
dx → dx +△dx = dx + 1dx = (1 + 1) dx
dy → dy +△dy = dy + 2dy = (1 + 2) dy
体积的绝对增量：△V = V－V0 = V0 (1+ 2+ 3)
单位体积增量：
V V0
1 2
3
体积应变体积的相对增量
1 2
E
(s1
s2
s
3)
讨论：
V V0
1 2
E
(s1 s 2
s 3)
⒈ 若 s1 + s2 + s3＞0，
则＞0 →△V ＞0，即体积增大；
若 s1 + s2 + s3＜0，
s2
s3 dsz 1
dx
dz → dz +△dz = dz + 3dz = (1 + 3) dz

13-1应力状态理论-材料力学

• (3)式中两式相减与(4)式比较:
max min
max

22
my in
maxx2

y
2

2 xy
• (3)式中两式相加:
mmmmianiaxnx
maxx2mx yi2nyx2
x

2
2. 应力圆作法
y
yx
B
xy
A x
x y

2
a (x ,xy)
fc

o
Re
b (y ,yx)
•在- 坐标中，取对应于单元体A、B面的点a、b； • a、b两点连线交轴于c点； •以c为圆心ac为半径作圆。
x y

2
a (x ,xy)
fc

o
Re
b (y ,yx)
9、单向应力状态：三个主应力中只有一个主应力不等于零的应力状态叫单向应力状态。例如：拉压杆叫单向应力状态，纯弯曲状态。
■原始单元体的画法（各侧面应力已知的单元体）
P
P
1、截取无限小六面体作为单元体；
1）截取横截面； 2）在横截面上平行于边缘截取小矩形； 3）从横截面开始沿边缘截取小立方体；
2、分析单元体各个面的含义，分清哪个面是横截面；
杆
轴
I p梁
M y
Iz
x
x

QS
z
Izb

z
z
zx zy
xz yz
y

xy
yx
y
3、原始单元体：各侧面应力已知的单元体
M y
Iz
QSz
梁
Izb

工程力学作业解答(重大版)

工程力学课后解答2.9 题图2.9所示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷P 的作用，试计算截面1-1和2-2上的应力。

已知：P = 140kN ，b = 200mm ，b 0 = 100mm ，t = 4mm 。

题图2.9解：(1) 计算杆的轴力 kN 14021===P N N (2) 计算横截面的面积21m m 8004200=⨯=⨯=t b A202mm 4004)100200()(=⨯-=⨯-=t b b A (3) 计算正应力MPa 1758001000140111=⨯==A N σ MPa 3504001000140222=⨯==A N σ (注：本题的目的是说明在一段轴力相同的杆件内，横截面面积小的截面为该段的危险截面)2.10 横截面面积A=2cm 2的杆受轴向拉伸，力P=10kN ，求其法线与轴向成30°的及45°斜截面上的应力ασ及ατ，并问m ax τ发生在哪一个截面？解：(1) 计算杆的轴力kN 10==P N(2) 计算横截面上的正应力MPa 501002100010=⨯⨯==A N σ(3) 计算斜截面上的应力MPa 5.37235030cos 2230=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==σσMPa 6.2123250)302sin(230=⨯=⨯=στ MPa 25225045cos 2245=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==σσMPa 251250)452sin(245=⨯=⨯=στ (4) m ax τ发生的截面 ∵0)2cos(==ασαταd d 取得极值 ∴ 0)2cos(=α 因此：22πα=， 454==πα故：m ax τ发生在其法线与轴向成45°的截面上。

（注：本题的结果告诉我们，如果拉压杆处横截面的正应力，就可以计算该处任意方向截面的正应力和剪应力。

对于拉压杆而言，最大剪应力发生在其法线与轴向成45°的截面上，最大正应力发生在横截面上，横截面上剪应力为零）2.17 题图2.17所示阶梯直杆AC ，P =10kN ，l 1=l 2=400mm ，A 1=2A 2=100mm 2，E =200GPa 。

应力状态及强度理论

/
2
低碳钢
低碳钢 : σ s 240MPa; τs 200MPa
灰口铸铁 : σ Lb 98 ~ 280MPa σ yb 640 ~ 960MPa; τb 198 ~ 300MPa
铸铁
30° 40
图示单元体中应力单位为MPa
20
①求斜截面上旳应力
30
解 : x 30 y 40
60°
y
二、应力圆旳画法
y
Ox
C O
B(y ,yx)
x
xy
建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好百分比尺）
在坐标系内画出点A( x，xy) 和B(y，yx)
x
A(x ,xy)
AB与轴旳交点C便是圆心。
以C为圆心，以AC为半径画
圆——应力圆；
y
n 三、单元体与应力圆旳相应关系
x
xy
面上旳应力( ， ) 应力圆上一点( ， )
y
y
主单元体：
x
六个面上剪应力均为零旳单元体。
z
z
2
主平面：
剪应力为零旳截面。 x
主应力：
主平面上旳正应力。
1
主应力排序规则：按代数值大小排序：
3
σ1 σ2 σ3
三向应力状态：三个主应力都不为零旳应力状态。（即三对平行平面上旳应
力均不为零）
二向应力状态：一种主应力为零旳应力状态。（即仅一对平行平面上旳应力为零）
y
一、应力圆
x
y
xy
Ox
x
y
y
xy
σα
σx
σy 2
σx
σy 2
cos2α
τ xy sin2α

第7章轴向拉压杆件的强度与变形计算

F NBC 56 . 6 kN （压力） F NBA 40 kN
（拉力）
（2）由强度条件确定各杆截面尺寸对BA杆
A BA
d
4
2

F NBA
s
d
4 F NBA

s
17 . 8 mm
可取
d 18 mm
F NBC
对BC杆
A BC a
2

w
a
F NBC
【例】已知AB梁为刚体，CD为拉杆，拉杆直径
d=2cm,E=200GPa,FP=12kN, 求B点位移。
C 0.75m A D B
1m
1.5m
FP
解：(1)受力分析，求轴力
FN
F Ax
A
D
B
F Ay
1m
1.5m
FP

M
A
0
F P AB F N AD sin
FN
解：（1）受力分析，求各杆轴力

F NBD
F x 0, Fy 0
2 F P 31 . 4 kN
（2）求各杆应力

BD
F NCD F P 22 . 2 kN
F NBD A BD F NCD A CD 22 . 2 kN 31 . 4 kN

CD
3
m

DD BB

AD AB
B B D D /(
AD AB
)
4 . 17 10
3
m
7.4 轴向拉压杆的强度计算
• 工作应力

FN A
• 失效：工作应力超过了杆件材料所能承受的极限应力；

横截面和斜截面上的应力

工程力学精彩试题库-材料力学

拉压杆斜截面上的应力

杆件横截面上的应力

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材料力学 第2章杆件的拉伸与压缩

杆件横截面上的应力

斜截面上的应力

工程力学-第7章-轴向拉压杆件的强度与变形计算

一、横截面上的切应力

斜截面上的应力正负号规定

横截面和斜截面上的应力

一点应力状态概念及其表示方法

拉压杆斜截面上的应力

轴向拉压时斜截面上的应力

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第7章 轴向拉压杆件的强度与变形计算

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