计算机图形学 第五讲 图形变换
《计算机图形学》05 图形的几何变换解析
o
x
o
T1 = 1 0 0 0 1 0 C/A 0 1
x
o
T2=
x
cosα －sinα 0 sinα cosα 0
0
0
1
y
y
y
o
T3 = 1 0 0 0 -1 0 0 0 1
x
o
x
o
T5=
x
1 0 0 0 1 0 －C/A 0 1
cosα sinα 0 T4 = －sinα cosα 0 0 0
1
组合变换矩阵为： cos2α sin2α T =T1×T2×T3×T4×T5= sin2α －cos2α (cos2α-1)C/A sin2α*C/A 0 0 1
原图形上的任意一点 P(x,y) 对该直线的对称变换都可用下
式实现 ： [x* y* 1]=[x y 1]· T
5.3 三维图形变换
三维变换矩阵可表示为： T= a d g l b e h m c p f q i r n s
h)，h是任一不为0的比例系数。 给定一个点的齐次坐标表示 : (x，y，h)， 该点的二维笛卡儿直角坐标： (x / h，y / h)。 同样，对于一个三维空间的向量(x，y，z)， 它在四维空间 中对应的向量即齐次坐标为 (x×h ，y×h ， z×h ， h) ，其中 h≠0 。 齐次坐标的概念可以推广到 n 维空间的向量。齐次坐标的 表示不是唯一的，通常当h=1时，称为规格化齐次坐标。
5.2 二维图形变换
采用齐次坐标可将二维图形变换表示成如下形式： a d 0 [ x* y* 1 ] = [ x y 1 ] b e 0 c f 1 P*
变换后的 顶点坐标
=
P
变换前的 顶点坐标
计算机图形学第5章几何变换
北大计算机系多媒体与人机交互
33
5.9 三维空间的几何变换
❖ 三维奇次坐标
(x,y,z)点对应的齐次坐标为
(xh,yh,zh,h)
标准齐次坐标(x,y,z,1)
❖ 右手坐标系
北大计算机系多媒体与人机交互
34
第五章 几何变换
❖ 5.1 基本的二维几何变换 ❖ 5.2 矩阵表示和齐次坐标 ❖ 5.3 逆变换 ❖ 5.4 二维复合变换 ❖ 5.5 其它二维变换 ❖ 5.6 几何变换的光栅方法 ❖ 5.7 二维坐标系间的变换
❖问题：如何实现复杂变换？
变换分解
变换合成
❖关于任意参照点 Pr(xr,的yr)旋转变换
北大计算机系多媒体与人机交互
15
5.4 二维复合变换
❖关于任意参照点 Pr(xr,的yr)放缩变换
北大计算机系多媒体与人机交互
16
5.4 二维复合变换
❖变换的结果与变换的顺序有关
矩阵乘法 不可交换!
Translate2D(1,0); Rotate2D(45);
北大计算机系多媒体与人机交互
y
(0,3/2)
(0,1/2)
xref=-1
(1,2) (1,1)
x
25
第五章 几何变换
❖ 5.1 基本的二维几何变换 ❖ 5.2 矩阵表示和齐次坐标 ❖ 5.3 逆变换 ❖ 5.4 二维复合变换 ❖ 5.5 其它二维变换 ❖ 5.6 几何变换的光栅方法 ❖ 5.7 二维坐标系间的变换
❖ 为什么需要齐次坐标？
多个变换作用于多个目标
变换合成 变换合成的问题 引入齐次坐标
P’=T.P P’=S·P P’=R·P
变换的表示法统一
北大计算机系多媒体与人机交互
计算机图形学理论及应用技术 第5章 图形变换
2. 图形变换的定义内容 (1) 对图形变换类型的定义。
(2) 定义图形齐次变换矩阵的构造方法。
5.4 立体图形的几何变换 5.4.1 立体图形的比例变换和平移变换阵 设Sx、Sy和 Sz分别为X方向、Y方向和Z方向的比例系数， 比例变换矩阵 S，设Tx、Ty和Tz分别为X方向、Y方向和 Z方向的平移量，平移变换矩阵T。根据平面图形的图形 变换矩阵可以推出：
Sx 0 S 0 0 0 Sy 0 0 0 0 Sz 0 0 0 ; 0 1 1 0 T 0 T x 0 1 0 Ty 0 0 1 Tz 0 0 . 0 1
5.6.2 向视平面坐标系转变的方法 视平面转换的方法有两种： (1)直接转换视平面，使之与物体坐标系重合。 (2)将物体坐标系转换，使它与视平面坐标系重合。 1. 视平面变换步骤 视平面变换需要以下3个步骤进行。 (1) 将物体坐标系原点移到视图参考点上，再沿视平面的 法向量平移视距，使两个坐标系原点相重合。 (2) 将物体坐标系旋转，使它的Z轴与视平面的法向量重 叠。这时的Z轴称之为Z' 轴。这个过程分两步进行： 1) 将物体坐标系绕 X 轴旋转，使物体坐标系的 Z 轴落在 X'OY' 平面上。 2) 将物体坐标系绕Y轴旋转，使Z轴与视平面法向量(Z' 轴) 重叠。 (3) 将物体坐标系绕Z轴旋转，使两个坐标系的X轴、Y轴 相重合。
5.3.1 窗口/视口变换的基本方法 5.3.2 窗口/视口变换矩阵的求法
计算机图形学图形变换
计算机图形学图形变换实验五：图形变换⼀、实验⽬的：1、掌握图形变换的基本⽅法。
2、初步掌握映射菜单消息和捕获键盘消息的⽅法。
⼆、实验内容及要求：1、以三⾓形为例，使⽤Visual C＋＋实现⼆维图形的平移、旋转和缩放功能。
2、每⼈单独完成实验。
3、按要求撰写实验报告，写出实验⼼得，并在实验报告中附上程序的核⼼算法代码。
三、实验设备：微机，Visual C++6.0四、实验内容和步骤：1、打开VC，新建⼀个MFC Appwizard项⽬，选择创建单⽂档⼯程（SDI⼯程）。
假设⼯程名为Transform。
如图1和图2所⽰。
图1图22、在图2的界⾯上点击Finish，完成⼯程的创建。
3、在TransformView.h⽂件中，加⼊如下代码：public:CPoint Pt[3]; //存储三⾓形的三个顶点float dAngle; //存储三⾓形旋转的⾓度4、在类CTransformView的构造函数中定义三⾓形的三个顶点的初始坐标和dAngle的初值，代码如下；CTransformView::CTransformView(){// TODO: add construction code herePt[0].x = 200; Pt[0].y = 220;Pt[1].x = 260; Pt[1].y = 300;Pt[2].x = 360; Pt[2].y = 180;dAngle = 0.0;}5、在类CTransformView中添加成员函数void DrawTriangle(CDC *pDC)，并实现该函数。
（该部分代码请同学们⾃⼰实现，为了简便编程，可以使⽤MoveTo和LineTo函数，也可以调⽤⾃⼰在实验2中编写的DDA或者Bresenham画线函数）；6、在类CTransformView的OnDraw()函数中添加绘制三⾓形的代码；void CTransformView::OnDraw(CDC* pDC){CTransformDoc* pDoc = GetDocument();ASSERT_V ALID(pDoc);// TODO: add draw code for native data here}7、映射菜单消息，⽅法是打开ResourceView菜单，依次展开MENU \ IDR_MAINFRAME，添加“图形变换”主菜单项，在其下添加“平移”，如图3所⽰。
计算机图形学-图形变换与裁剪投影变换
平面几何投影（4/17）
n 投影线 n 从投影中心向物体上 各点发出的射线 n 直线—光线 n 曲线—喷绘
n 平面几何投影 n 投影面是平面 n 投影线为直线
n 投影变换 n 投影过程 n 投影的数学表示
11
平面几何投影（5/17）
n 投影分类
投影中心与投影平面之间的距离为有限
投影中心与投影平面之间的距离为无限
第五章 图形变换与裁剪
投影变换
哈尔滨工业大学计算机学院 苏小红
1
基本内容
1 三维图形的基本问题 2 平面几何投影
平行投影 透视投影
2
三维图形的基本问题（1/5）
1. 在二维屏幕上如何显示三维物体？
n 显示器屏幕、绘图纸等是二维的 n 显示对象是三维的 n 解决方法----投影 n 三维显示设备正在研制中
n 解决方法 n 建立光照明模型 n 开发真实感图形绘制方法
6
三维图形的基本问题（5/5）
三维图形的基本研究内容
1. 投影 2. 三维形体的表示 3. 消除隐藏面与隐藏线 4. 建立光照明模型、研究真实感图形绘制方法
7
平面几何投影（1/17）
n 照像机模型与投影
n 如何投影? n 生活中的类比--如何拍摄景物？
12
平面几何投影（6/17）
透视投影
平行投影
13
平面几何投影（7/17）
n 平行投影
n 投影中心与投影平面之间的距离为无限 n 是透视投影的极限状态
投影方向
投影平面
14
平面几何投影（8/17）
n 正投影与斜投影
正平行投影
斜平行投影
15
平面几何投影（9/17）
n 三视图：正视图、侧视图和俯视图
计算机图形学课件第五章
计算机图形学
三维几何变换
绕任意轴的旋转变换（详见教材P371）
已知空间有一任意轴AB，A点坐标为（XA，YA，ZA）， AB的方向数为（a，b，c）。空间一点P（x，y，z）绕 AB逆时针旋转θ角后变成P’（x’，y’，z’）。若旋转变换矩 阵为Rab，则有
[x’ y’ z’ 1]=[x y z 1]*Rab 下面讨论如何求出Rab的表达式。 基本思想：先平移坐标系，使A点成为新坐标系AX’Y’Z’的 原点；再使AB分别绕x’轴和y’轴旋转适当角度，使AB与z’ 轴重合，那么绕AB转θ角就变成了绕z’轴旋转θ角；最后， 再作逆变换，使AB回到原来的位置。
P P T
x P y
x P y
t x T t y
x x t x y y ty
计算机图形学
点的基本变换
旋转变换
–
–
点P(x,y,)的极坐标表示 x=rcosφ，y=rsinφ 绕坐标原点旋转角度 （逆时针为正，顺时针为负）
x1 y 1 x2 y2 x3 x n y3 y n
或
对图形的几何变换就可以归结为对点的变换
计算机图形学
二维图形的变换
点的基本变换 平面图形的变换 平面图形变换的齐次坐标表示 复合变换及变换的模式 其它变换
计算机图形学
一、点的基本变换
平移变换
变换的数学基础
u x U u y u z
vx V v y vz
矢量
–
矢量和
u x vx U V u y v y u z vz
计算机图形学实用教程第5章 图形变换与裁剪2
4
三维图形显示的基本问题（3/5）
3. 如何反映遮挡关系？
物体之间或物体的不同部分之间存在相互遮挡关系 遮挡关系是空间位置关系的重要组成部分 解决方法----消除隐藏面与隐藏线
5
三维图形显示的基本问题（4/5）
4. 如何产生真实感图形
何谓真实感图形？ 逼真的 示意的 人们观察现实世界产生的真实感来源于
y
0 0 Tw 0 0 0 0 0 cos90 sin 90 1 0 0 sin 90 cos90 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 x L 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1
3
三维图形显示的基本问题（2/5）
2. 如何表示三维物体？
二维形体的表示----直线段,折线,曲线段,多边形区域 二维形体的输入----简单（图形显示设备与形体的维数一致）
三维形体的表示----空间直线段、折线、曲线段、多边形、
曲面片 三维形体的输入、运算、有效性保证----困难 解决方法----各种用于形体表示的理论、模型、方法
10
平面几何投影（4/15）
投影线 从投影中心向物体上各点发出的射线 直线—光线 曲线—喷绘 平面几何投影
投影面是平面
投影线为直线 投影变换
投影过程
投影的数学表示
11
平面几何投影（5/15）
投影分类
投影中心与投影平面之间的距离为有限
投影中心与投影平面之间的距离为无限 是透视投影的极限状态
R yx
1 0 T R yx 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
计算机图形学-第五章-图形变换
第五章图形变换重点：掌握二维几何变换、二维观察变换、三维几何变换以及三维观察变换。
难点：理解常用的平移、比例、旋转变换，特别是复合变换。
课时安排：授课4学时。
图形变换包括二维几何变换，二维观察变换，三维几何变换和三维观察变换。
为了能使各种几何变换（平移、旋转、比例等）以相同的矩阵形式表示，从而统一使用矩阵乘法运算来实现变换的组合，现都采用齐次坐标系来表示各种变换。
齐次坐标系齐次坐标系：n维空间中的物体可用n+1维齐次坐标空间来表示。
例如二维空间直线ax+by+c=0，在齐次空间成为aX+bY+cW=0，以X、Y和W为三维变量，构成没有常数项的三维平面(因此得名齐次空间)。
点P(x、y)在齐次坐标系中用P(wx,wy,w)表示，其中W是不为零的比例系数。
所以从n维的通常空间到n+1维的齐次空间变换是一到多的变换，而其反变换是多到一的变换。
例如齐次空间点P(X、Y、W) 对应的笛卡尔坐标是x=X/W和y=Y/W。
将通常笛卡尔坐标用齐次坐标表示时，W的值取1。
采用齐次坐标系可以将平移、比例、旋转这三种基本变换都以相同的矩阵形式来表示，并统一地用矩阵乘法来实现变换的组合。
齐次坐标系在三维透视变换中有更重要的作用，它使非线形变换也能采用线形变换的矩阵表示形式。
5.1 二维几何变换二维几何变换就是在平面上对二维点的坐标进行变换，从而形成新的坐标。
二维几何变换主要包括：平移、比例、旋转、对称、错切、仿射和复合变换。
5.1.1 二维平移变换如图所示，它使图形移动位置。
新图p'的每一图元点是原图形p中每个图元点在x和y方向分别移动Tx和Ty产生，所以对应点之间的坐标值满足关系式x'=x+Txy'=y+Ty可利用矩阵形式表示成：［x' y'］=［x y］+［Tx Ty］简记为：P'=P+T，T=［Tx Ty］是平移变换矩阵(行向量)。
从矩阵形式来看，平移变换是矩阵加法，而比例和旋转变换则是矩阵乘法。
计算机图形学实验五：图形变换
贵州大学实验报告学院：计算机科学与技术专业：计算机科学与技术班级：计科131实验内容#include"stdafx.h"#include<glut.h>#include<stdlib.h>#include<math.h>GLsizei winWidth = 600, winHeight = 600;GLfloat xwcMin = 0.0, xwcMax = 225.0;GLfloat ywcMin = 0.0, ywcMax = 225.0;class wcPt2D{public:GLfloat x, y;};typedef GLfloat Matrix3x3[3][3];Matrix3x3 matComposite;const GLdouble pi = 3.14159;void init(void){glClearColor(1.0, 1.0, 1.0, 0.0);}void matrix3x3SetIdentity(Matrix3x3matIdent3x3){GLint row, col;for (row = 0; row<3; row++)for (col = 0; col<3; col++)matIdent3x3[row][col] = (row == col);//生成{{1,0,0}{0,1,0}{0,0,1}}}void matrix3x3PreMultiply(Matrix3x3m1, Matrix3x3m2){GLint row, col;Matrix3x3 matTemp;for (row = 0; row<3; row++)for (col = 0; col<3; col++)matTemp[row][col] = m1[row][0] * m2[0][col] + m1[row][1] * m2[1][col] + m1[row][2] * m2[2][col];for (row = 0; row<3; row++)for (col = 0; col<3; col++)m2[row][col] = matTemp[row][col];}void translate2D(GLfloat tx, GLfloat ty)//平移{Matrix3x3 matTransl;matrix3x3SetIdentity(matTransl);matTransl[0][2] = tx;matTransl[1][2] = ty;matrix3x3PreMultiply(matTransl, matComposite);}void rotate2D(wcPt2D pivotPt, GLfloat theta)//旋转{Matrix3x3 matRot;matrix3x3SetIdentity(matRot);matRot[0][0] = cos(theta);matRot[0][1] = -sin(theta);matRot[0][2] = pivotPt.x*(1 - cos(theta)) + pivotPt.y*sin(theta);matRot[1][0] = sin(theta);matRot[1][1] = cos(theta);matRot[31][2] = pivotPt.x*(1 - cos(theta)) - pivotPt.y*sin(theta);matrix3x3PreMultiply(matRot, matComposite);}void scale2D(GLfloat sx, GLfloat sy, wcPt2D fixedPt)//缩放{Matrix3x3 matScale;matrix3x3SetIdentity(matScale);matScale[0][0] = sx;matScale[0][2] = (1 - sx)*fixedPt.x;matScale[1][1] = sy;matScale[1][2] = (1 - sy)*fixedPt.y;matrix3x3PreMultiply(matScale, matComposite);}void transformVerts2D(GLint nVerts, wcPt2D * verts)//组合变化后的矩阵{GLint k;GLfloat temp;for (k = 0; k<nVerts; k++){temp = matComposite[0][0] * verts[k].x + matComposite[0][1] * verts[k].y + matComposite[0][2];verts[k].y = matComposite[1][0] * verts[k].x + matComposite[1][1] *verts[k].y + matComposite[1][2];verts[k].x = temp;}}void triangle(wcPt2D*verts){GLint k;glBegin(GL_TRIANGLES);for (k = 0; k<3; k++)glVertex2f(verts[k].x, verts[k].y);glEnd();}void displayFcn(void){GLint nVerts = 3;wcPt2D verts[3] = { { 50.0, 25.0 }, { 150.0, 25.0 }, { 100.0, 100.0 } };wcPt2D centroidPt;GLint k, xSum = 0, ySum = 0;for (k = 0; k<nVerts; k++){xSum += verts[k].x;ySum += verts[k].y;}centroidPt.x = GLfloat(xSum) / GLfloat(nVerts);centroidPt.y = GLfloat(ySum) / GLfloat(nVerts);wcPt2D pivPt, fixedPt;pivPt = centroidPt;fixedPt = centroidPt;GLfloat tx = 0.0, ty = 100.0;GLfloat sx = 0.5, sy = 0.5;GLdouble theta = pi / 2.0;glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);glColor3f(0.0, 0.0, 1.0);triangle(verts);//三角形matrix3x3SetIdentity(matComposite);scale2D(sx, sy, fixedPt);//缩小transformVerts2D(nVerts, verts);glColor3f(1.0, 0.0, 0.0);triangle(verts);matrix3x3SetIdentity(matComposite);rotate2D(pivPt, theta);//旋转90transformVerts2D(nVerts, verts);glColor3f(1.0, 0.0, 0.0);triangle(verts);matrix3x3SetIdentity(matComposite);translate2D(tx, ty);//平移transformVerts2D(nVerts, verts);glColor3f(1.0, 0.0, 0.0);实验结果。
计算机图形学实用教程第5章 图形变换与裁剪1
(x w , y w)
yb
yv
Ow Yu
W xl 视图区
W xr
Xw
令பைடு நூலகம்
V yt
(x v , y v)
V yb
有
xv axw c
yv byw d
Ou
V xl
V xr
Xu
窗口与视图区的对应关系
本章内容
5.基本几何变换的齐次坐标表示
平移变换
1 y 1 0 Tx 0 1 Ty 0 0 1
x
比例变换
y 1 x
x
旋转变换
逆时针为正
y 1 x
S x y 1 0 0
0 Sy 0
0 0 1
x
y 1 x
cos sin 0 y 1 sin cos 0 0 1 0
当 S x S y时，变换前的图形与变换后的图形相似 当 S x S y 1时，图形将放大，并远离坐标原点 当 0 S x S y 1 时，图形将缩小，并靠近坐标原点 当 S x S y时，图形将发生畸变
3.旋转变换（rotation） 点P绕原点逆时针转θ度角 （设逆时针旋转方向为正方向）
指相对于原点的比例变换
S x 平行于x轴的方向上的缩放量 S y 平行于y轴的方向上的缩放量
x
y
几何关系
x' x S x y' y S y
y
相对于原点的比例变换
重心
矩阵形式
x
y x
S x y 0
0 Sy
计算机图形学-第5章-几何变换课件
•计算机图形学-第5章-几何变换
5.3.3 其他变换
1.反射变换 （2）关于Y轴对称变换 关于Y轴的对称变换是一种特殊形式的缩放变换，其中Sx＝-1，Sy＝1， 其变换矩阵为：
简化为：YXs
s a c
X Yw
w
d
b
(1)式
•计算机图形学-第5章-几何变换
5.1 窗口到视区的变换
三、窗口区和视图区的坐标变换
简化为：YXs
s aXw c Yw
d
b
(1)式
1) 当ac时，即x 方向的变化与y方向的变化不同时，视图中的图 形会有伸缩变化，图形变形。
2) 当a=c=1，b=d=0,且窗口与视图区的坐标原点也相同，则在视 图区产生与窗口区相同的图形。
•计算机图形学-第5章-几何变换
5.3.3 其他变换
2.错切变换 （2）沿y方向关于x轴的错切 变换矩阵为：
式中shy可取任意实数，此变换只影响y坐标（x坐标保持不变）。 变换时物体上的各点垂直偏移一段距离，偏移量正比于x值。
•计算机图形学-第5章-几何变换
5.3.3 其他变换
2.错切变换
1 d 0
•计算机图形学-第5章-几何变换
5.3.3 其他变换
2.错切变换 这种变换可使物体产生变形，即物体产生扭转（或称为错切）。常用 的两种错切是沿着x向或沿着y向错切变换。 （1）沿x方向关于y轴的错切 对矩形ABCD沿x轴方向进行错切变换，得到矩形A’B’CD。错切的 角度为，令shx＝tan , 假定点（x，y）经错切变换后变为（x’，y’） 则：
图形变换及显示-计算机图形学-课件-北京工业大学-05
30
Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学
错切变换（2）
相对于X轴的错切:b=0
依赖轴
x ' 1 d 0 x ' y y 0 1 0 1 0 0 1 1
反射变换（2）
关于X轴的反射变换：
• a=1，b=d=0，e=-1；
x ' 1 0 0 x ' y 0 1 0 y 1 0 0 1 1
25
Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学
' 使用齐次坐标表示为： R P P ( )
其中：
R( )
cos sin 0
sin cos 0
( x' , y ' )
0 0 1
( x, y )
R 称为旋转变换矩阵
逆变换: R( )
16
Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学
Interactive Computer Graphics-交互式计算机图形学
反射变换（5）
关于x=y轴的反射变换： a=e=0，b=d=1；
x ' 0 1 0 x ' y 1 0 0 y 1 0 0 1 1
反射变换（4）
关于原点的反射变换： a=-1，b=d=0，e=-1；
x ' 1 0 0 x ' y 0 1 0 y 1 0 0 1 1
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x
f
yf
1
• 因此变换矩阵：
M T xf yf •T ( ) •T xf yf
22
例3：任意反射轴的反射变换
• 任一图形关于任意反射轴y=a+bx的反射变换 • 解：1. 将坐标原点平移到(0,a)处 1 0 0
T1 0 1 0 0 a 1
（hP1,hP2,hPn,h），其中h称为哑坐标。 1、h可以取不同的值，所以同一点的齐次坐标不 是唯一的。 如普通坐标系下的点（2,3）变换为齐次坐标可以 是(1,1.5,0.5)(4,6,2)(6,9,3)等等。 2、 普通坐标与齐次坐标的关系为“一对多” 由普通坐标h→齐次坐标
3、 当h=1时产生的齐次坐标称为“规格化坐
)
sin
cos
cos
sin
x
sin
y
cos
x *
y * 1 x
y
1
cos sin
sin cos
0 0
x
cos
y
sin
xsin y cos
1
0
0 1
15
二维基本变换-错切变换
x *
y * 1 x
y
• 解：设点P(x,y,1)经第一次平移变换后的坐标为P(x y
1)，则
1 0 0
P'x' y' 1 x y 1 0 1 0 x y 1Tt1
Tx1
Ty1
1
• 经第二次平移变换后的坐标为P*(x* y* 1)
P * x *
y * 1 x'
c 窗口可以有多种类型，矩形窗口、圆形窗口、多边形 窗口等等 d 窗口可以嵌套，即在第一层窗口中可再定义第二层窗 口，在第I层窗口中可再定义第I+1层窗口等等。
3
窗口视图变换
1． 屏幕域(DC)：设备输出图形的最大区域，是 有限的整数域。如图形显示器分辨率为 1024768→DC[0..1023][0..767]
1
1 b
d 1
0 0
x
by
dx y
1
0 0 1
• 1) 当d=0时， (x* y* 1)=(x+by y 1)：图形的y坐标不变；
• 当b>0：图形沿+x方向作错切位移。ABCD→A1B1C1D1
• 当b<0：图形沿-x方向作错切位移。ABCD→ A2B2C2D2
0 0 1 0
0
0 0 1
–对称于XOZ平面
1 0 0 0
[x' y' z' 1] = [x -y z 1]=[x y z 1] 0 -1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
28
三维变换矩阵-旋转变换
–绕X轴变换
空间上的立体绕X轴旋转时，立体上各点的X坐标 不变，只是Y、Z坐标发生相应的变化。
•
cos sin 0
x2
y2
1 x1
y1 1 sin
cos
0
x1
y1 1T
0
0 1
21
旋转变换
• 将坐标系平移回原来的原点
1 0 0
x * y * 1 x2 y2 1 0 1 0 x2 y2 1T x f y f
0
0 - sin cos 0
0 0
0
1
• 遵循右手法则，即若θ>0，大拇指指向
轴的方向，其它手指指的方向为旋转方 向。
a22 a32 a42
a23 a33 a43
a24
a34 a44
• 平移变换
1 0 0 0
0 1 0 0
0
0
1 0
Tx Ty Tz 1
• 比例变换 Sx 0 0 0
0 Sy 0 0
0 0
0 0
Sz 0
0 1
27
三维变换矩阵-对称变换
标”，因为前n个坐标就是普通坐标系下的n维坐
标。
8
齐次坐标的作用
1. 将各种变换用阶数统一的矩阵来表示。 提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高 维空间上的一个点从一个坐标系变换到 另一坐标系的有效方法。
2. 便于表示无穷远点。
例如：（x h, y h, h)，令h等于0
3. 变换具有统一表示形式的优点 –便于变换合成 –便于硬件实现
10
二维图形的几何变换
• 从变换功能上可把T2D分为四个子矩阵
a b
d e
：对图形进行缩放、旋
转、对称、错切等变换
。
c f ：对图形进行平移变换 。
g h
：对图形做投影变换。
g：在x 1 处产生一个灭点。 g
h：在y 1 处产生一个灭点。 h
i：对整体图形进行伸缩 变换。
X Yw
w
d
b
(1)式
• 1) 当ac时，即x 方向的变化与y方向的
变化不同时，视图中的图形会有伸缩变 化，图形变形。
• 2) 当a=c=1，b=d=0则Xs=Xw,Ys=Yw,图形
完全相同。
7
几何变换
齐次坐标
所谓齐次坐标表示法就是由n+1维向量表示一个
n 维 向 量 。 如 n 维 向 量 (P1,P2, … ,Pn) 表 示 为
y'
1
1 0
0 0 1 0
Tx 2
Ty 2
1
1 0 0 1 0 0
x y 1 0 1 0 0 1 0 x y 1 Tt1Tt2
Tx1
Ty1
1
Tx
2
Ty 2
1
• ∴变换矩阵为Tt=Tt1•Tt2
20
例2：旋转变换
图形变换
图形变换是计算机图形学基础内容之一。
几何变换，投影变换，窗视变换
线性变换，属性不变，拓扑关系不变。
作用： • 把用户坐标系与设备坐标系联系起来； • 可由简单图形生成复杂图形； • 可用二维图形表示三维形体； • 动态显示。
1
二维图形的显示流程图
从应用程序 得到图形的 WC 用户坐标
对窗口 区进行 裁剪
Z (y' z')
Z Z (y' z')
(y,z)
θ
XO
Y
θ (y,z) α
O
Y
x' = x
y' = ρcos(α+θ) = y*cosθ- z*sinθ
z' = ρsin(α+θ) = y*sinθ+z*cosθ
29
三维变换矩阵-旋转变换
• 矩阵表示为：
1 0 0 0
x' y' z' 1 x y z 10 cos sin
Ty
1
• 平移变换只改变图形的位置，不改变图 形的大小和形状
12
二维基本变换-比例变换
x*
y * 1 x
y
1
Sx 0
0 Sy
0 0 Sx x
Sy y 1
0 0 1
–以坐标原点为放缩参照点
– 当Sx=Sy=1时：恒等比例变换 – 当Sx=Sy>1时：沿x,y方向等比例放大。 – 当Sx=Sy<1时：沿x,y方向等比例缩小 –当SxSy时：沿x,y方向作非均匀的比例变换，
图形变形。
13
二维基本变换-对称变换
• 当Sx=-1, Sy=1时，(x* y* 1)=(-x y 1)：与y轴对
称的反射变换。
• 当Sx=1, Sy=-1时，(x* y* 1)=( x -y 1)：与x轴对
称的反射变换。
• 当Sx=-1, Sy=-1时，(x* y* 1)=(-x -y 1)：与原
方向作错切位移。 • ∴错切变换引起图形角度关系的改变，
甚至导致图形发生变形。
18
复合变换
• 复合变换又称级联变换，指对图形做一 次以上的几何变换。
• 注意：任何一个线性变换都可以分解为 上述几类变换。
19
例1：复合平移
• 求点P(x,y)经第一次平移变换（Tx1,Ty1），第二次平移 变换（Tx2,Ty2）后的坐标P*（x*, y*）
9
二维图形的几何变换
• 设二维图形变换前坐标为(x,y,1),变换后为
(x*,y*,1)
a d g
•
1．
二维变换矩阵
T2 D
b
e
h
c f i
• 注意：T2D可看作三个行向量，其中 • [1 0 0]：表示x 轴上的无穷远点
• [0 1 0]：表示y 轴上的无穷远点
• [0 0 1]：表示原点
R
c os sin
sin c os
0 0
0
0 1
24
任意的反射轴的反射变换
• 5.恢复反射轴的原始位置 1 0 0
T3 0 1 0
• 因此 T T1R T2R T3
0 a 1
•
25
三维几何变换
• 三维其次坐标
2． 视图区：任何小于或等于屏幕域的区域 a 视图区用设备坐标定义在屏幕域中 b 窗口区显示在视图区，需做窗口区到视图区的
坐标转换。 c 视图区可以有多种类型：圆形、矩形、多边形