(完整版)二项式定理单元测试题(可编辑修改word版)
(完整版)二项式定理测试题及答案
二项式定理测试题及答案1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（B ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（B ）A.-1B.0C.1D.23．若S=123100123100A A A A ++++L L ，则S 的个位数字是（C ）A 0B 3C 5D 8 4．已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ） A.28B.38C.1或38D.1或285．在3100(25)+的展开式中，有理项的个数是（ D ） Ａ．15个Ｂ．33个Ｃ．17个 Ｄ．16个6.在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（C ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ C ）A 、－5B 、 5C 、10D 、－10 8．35)1()1(x x +⋅-的展开式中3x 的系数为（ A ）A ．6B ．-6C ．9D ．-9 9．若x=21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ） A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ A ） A ．7B ．12C ．14D ．511.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为（Ｃ ）A ．1440B ．-1440C ．-2880D ．2880 12．在51(1)x x+-的展开式中，常数项为（ B ） （A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）1113．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ，且:3:1a b =，则n 的值为（ Ｃ ） Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．1214．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ）（A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10- 解：根据左边x10的系数为1,易知110=a ，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为0109910109=+=+a C a a ,∴109-=a故选D 。
(完整word版)高二数学排列组合二项式定理单元测试题带答案
摆列、组合、二项式定理与概率测试题（理）一、选择题 (本大题共 12 小题，每题5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．)1、如 所示的是 2008 年北京奥运会的会徽，此中的 “中国印 ”的外 是由四个色 构成， 能够用 段在不穿越另两个色 的条件下将此中随意两个色 接起来 (好像架 )，假如用三条 段将 四个色 接起来， 不一样的 接方法共有 ()A. 8 种B. 12 种C. 16 种D. 20 种2、从 6 名志愿者中选出 4 个分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不一样的工作，此中甲 乙两名志愿者不可以从事翻译工作，则不一样的选排方法共有（ ）A ． 96 种B ．180 种C ．240 种D ． 280 种3、五种不一样的商品在货架上排成一排，此中a 、b 两种一定排在一同，而c 、d 两种不可以排在一同，则 不一样的选排方法共有（ ）A ． 12 种B ． 20 种C ． 24 种D ． 48 种4、 号 1、 2、 3、4、 5 的五个人分 去坐 号1、 2、 3、 4、 5 的五个座位，此中有且只有两个的 号与座位号一致的坐法是（）A . 10 种B. 20 种C. 30 种 D . 60 种 5、 a 、b 、m 整数（ m>0),若 a 和 b 被 m 除得的余数同样， 称 a 和 b 模 m 同余 . a ≡b(modm)。
已知 a=1+C 120 +C 202 ·2+C 203 ·22+⋯ +C 2020·219， b ≡a(mod 10) ， b 的 能够是（）A.2015B.2011C.2008D.20066、在一次足球预选赛中，某小组共有 5 个球队进行双循环赛 (每两队之间赛两场 )，已知胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分．积分多的前两名可出线 (积分相等则要比净胜球数或进球总数 )．赛完后一个队的积分可出现的不一样状况种数为（ ）A ． 22 种B ． 23 种C ．24 种D ． 25 种7、 令 a n 为(1 x)n 1的睁开式中含 xn1的系数， 数列{ 1} 的前 n 和 （）a nn(n 3)n( n 1)n 2nA ．B ．C ．D ．22n 1n 18、 若 ( x 1)5 a 0 a 1( x 1) a 2 (x 1)2 ... a 5( x 1)5 ， a 0 =（）A ． 32B ． 1C ． -1D ．-32n9、 二项式 3x 22(n N * ) 睁开式中含有常数项，则n 的最小取值是 （）3xA 5B 6C 7D 810、四周体的 点和各棱中点共 10 个点，在此中取 4 个不共面的点， 不一样的取法共有（ ）A ． 150 种B ． 147 种C ． 144 种D ． 141 种11、两位到北京旅行的外国旅客要与2008 奥运会的祥瑞物福娃（5 个）合影纪念，要求排成一排，两位旅客相邻且不排在两头，则不一样的排法共有（ ）A ． 1440B ． 960C ． 720D ．48012、若 x ∈A 则1∈A ，就称 A 是伙伴关系会合，会合M={ － 1， 0， 1 ， 1， 1， 2， 3，4}x32的全部非空子集中，拥有伙伴关系的会合的个数为（）A ． 15B ． 16C ． 28D ． 25号 123456789101112答案二、填空 (每小 4 分，共 16 分，把答案填在 中横 上)13．四封信投入 3 个不一样的信箱，其不一样的投信方法有 _________种．14、在 ( x 21)( x 2) 7 的睁开式中 x 3 的系数是．15、已知数列 { a n } 的通项公式为 a n2 n 1 1，则 a 1C n 0 + a 2C n 1 + a 3C n3 + a n 1C n n =16、 于随意正整数，定 “n 的双 乘 n!! ”以下： 于 n 是偶数 ，n!!=n ·(n － 2) ·(n － 4) ⋯⋯ 6× 4×2； 于 n 是奇数 ， n!!=n ·(n －2) ·(n － 4) ⋯⋯ 5× 3×1．有以下四个命 ： ① (2005!!) (2006!!)=2006!· ；②2006!!=2 1003·1003! ；③ 2006!!的个位数是0；④ 2005!!的个位数是 5．正确的命 是 ________．三、解答 (本大 共 6 小 ，前 5 小 每小12 分，最后 1 小 14 分，共 74 分．解答写出必需的文字 明、 明 程或演算步 ．)17、某学习小组有8 个同学，从男生中选 2 人，女生中选 1 人参加数学、物理、化学三种比赛，要求每科均有 1 人参加，共有 180 种不一样的选法．那么该小组中男、女同学各有多少人？18、设 m，n∈ Z＋，m、n≥1， f(x)=(1 ＋ x) m＋ (1＋x) n的睁开式中， x 的系数为 19．（1）求 f(x) 睁开式中 x2的系数的最值；（2）关于使 f(x) 中 x2的系数取最小值时的 m、n 的值，求 x7的系数．19、7 位同学站成一排．问：(1) 甲、乙两同学一定相邻的排法共有多少种?(2) 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种?(3) 甲、乙两同学一定相邻，并且丙不可以站在排头和排尾的排法有多少种?(4) 甲、乙、丙三个同学一定站在一同，此外四个人也一定站在一同的排法有多少种?20、已知(x1)n的睁开式中前三项的系数成等差数列．2 x（Ⅰ）求n 的值；（Ⅱ）求睁开式中系数最大的项．21、由0，1，2，3，4，5这六个数字。
(完整版)二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项 【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是 ．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰()622x ⎛⋅+ ⎝332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、 求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ． 【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是 ． 【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 336)(2x C -226)(x -x C -⋅）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1⎰=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=⎰==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ⨯=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=⨯=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（ ） （A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于 ．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯0(sin cos )k x x dx π=-⎰8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a +++⋅⋅⋅+=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰，令得：，即 再令得：，即 所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，19、设，则 ． 【答案】【解析】， 所以令，得到， 所以 三、 求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（ ）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -⨯=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯K 01a =12380a a a a +++⋅⋅⋅+=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =45672533333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（ ） A1 B ．或1 C ．2或 D ． 【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ． 【解析】令，则可得，故选C ． 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+⋅=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=⇒=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=n 1x =2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-。
二项式定理十大典型例题纯WORD版
⼆项式定理⼗⼤典型例题纯WORD版1．⼆项式定理：011()()n n n r n r rn nn n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈，2．基本概念：①⼆项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的⼆项展开式。
②⼆项式系数:展开式中各项的系数rn C (0,1,2,,)r n =.③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做⼆项式展开式的通项。
⽤1r n r r r n T C a b -+=表⽰。
3．注意关键点：①项数：展开式中总共有(1)n +项。
②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。
()n a b +与()n b a +是不同的。
③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。
b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
各项的次数和等于n .④系数：注意正确区分⼆项式系数与项的系数，⼆项式系数依次是012,,,,,,.r nn n n n n C C C C C 项的系数是a 与b 的系数（包括⼆项式系数）。
4．常⽤的结论：令1,,a b x == 0122(1)()n r rn nn n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *-=-+-+++-∈5．性质：①⼆项式系数的对称性：与⾸末两端“对距离”的两个⼆项式系数相等，即0n n n C C =， (1)k k n nC C -= ②⼆项式系数和：令1a b ==,则⼆项式系数的和为0122rnn n n n n n C C C C C ++++++=，变形式1221rnn n n n n C C C C +++++=-。
(完整版)排列组合二项式定理测试及答案
排列、组合和二项式定理测试卷、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每个小题只有一个选项）1•甲班有四个小组，每组成部分10人，乙班有3个小组，每组15人，现要从甲、乙两班中选1人担任校团委部，不同的选法种数为（ ） 9.已知（xa）8展开式中常数项为1120,其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（）xA . 28B . 38C . 1 或 38D . 1 或 2810 .某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（3D . C 8 种每4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13 .不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一 起，则不同的排法种数共有 ______________________ .14 . （x 2）10（x 2 1）的展开式中x 10的系数为 ___________ .（用数字作答）3 4 511.设(1 x) (1 x) (1 x) L (1 x)50a 0 a 1x L50a 5°x ，则a 3的值是（A . C 50B .C 51C . C ；13D . 2C 5012 .北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作，若每天早、中、晚三班, A . 18 B .72 C.36D3.展开式的第7项是( )282856 A 一6B —一6C一6aaa4.用二项式定理计算9.985，精确到 1的近似值为（)D 86( ) .14456-6aD . 990055. 不同的五种商品在货架上排成一排,则不同的排法种数共有（A . 12 种B . _ 2 6. 若（3 x —）n 展开式中含 xA .第8项 其中甲、乙两种必须排在一起,丙、 丁两种不能排在一起,7.从4名男生和同的选法共有 A 140 种 )20种C . 24 种 48种3x 的项是第 3名女生中选出 8项，则展开式中含 C .第10项1 1的项是（xD .第11项4人参加某个座谈会,( B 34种若这4人中必须既有男生又有女生,则不C 35种D 120 种3A . C 11 种124 4 C 14C 12C 8C U C 142CA 80B 84C 852. 6人站成一排，甲、乙 、丙三人必须站在一起的排列种数为 C . A . 99000B . 9900299004124 4 C 14 C 12C 8若c n C；C：Cn 1=32,则n= _________ 。
完整版二项式定理练习题
6项式定理练习题、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的在x 3 "的展开式中，X 6的系数为已知a b 0,b 4a , a b n 的展开式按a 的降幕排列，其中第 n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于()A . 4B . 9C . 10D . 11已知(a 3 1 2 )A'•一 a的展开式的第三项与第二项的系数的比为11 : 2，贝U n 是()A . 10B . 11C . 12D . 135310被8除的余数是() A . 1B . 2C . 3D . 7(1.05)6的计算结果精确到 0.01的近似值是()A . 1.23B . 1.24C . 1.33D . 1.34n5.二项式(1+sinx)n 的展开式中，末尾两项的系数之和为 7,且系数最大的一项的值为5，则x 在[0 , 2 n ]内的值为( )1. 2.3.4. 5.6. 7. 8.9. 10 11A . 27C ；。
B . 27C ：oC. 9C 604D . 9C 10二项式 2■x 1 4x(n N)的展开式中，前三项的系数依次成等差数列, 则此展开式有理项的项数是 A . 1B .C. 3(D .设(3x 3+x 2)n展开式的各项系数之和为 数是t ，其二项式系数之和为h , 若t+h=272，则展开式的x 2项的系(A .B . 1C. D .在(1 2 65x x )的展开式中x 的系数为A . 4B . 5C.D .5x )n 展开式中所有奇数项系数之和等于1024，则所有项的系数中最大的值是A . 330B . 462 C. 680D . 790.(、、x 1)4(X1)5的展开式中,4x 的系数为A .— 40B . 10 C. 40 D . 4556A. 或一6 325C . 或-D .或—3 3 3612 .在(1+x)5+(1+x)6+(1+x)7的展开式中,含X 4项的系数是等差数列a n =3n — 5的( )二、填空题: 本大题满分16分，每小题4分, 各题只要求直接写出结果 • 13. (x 2）9展开式中2x 9x 的系数是14 .若 2x -4J 3a 。
(完整版)二项式定理练习题
二项式定理练习题一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在()103x -的展开式中,6x 的系数为（ )A ．610C 27-B ．410C 27 C ．610C 9-D ．410C 92． 已知a 4b ,0b a =>+， ()n b a +的展开式按a 的降幂排列，其中第n 项与第n+1项相等，那么正整数n 等于（ ）A ．4B ．9C ．10D ．113．已知（n a a )132+的展开式的第三项与第二项的系数的比为11∶2,则n 是 （ ）A ．10B ．11C ．12D ．13 4．5310被8除的余数是 （ ） A ．1 B ．2 C ．3D ．7 5． (1。
05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ) A ．1.23 B ．1。
24C ．1。
33D ．1.346．二项式n4x 1x 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+ （n ∈N)的展开式中,前三项的系数依次成等差数列,则此展开式有理项的项数是（ ) A ．1B ．2C ．3D ．47．设(3x 31+x 21）n 展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若t+h=272，则展开式的x 2项的系数是( )A ．21B ．1C ．2D ．38．在62)1(x x -+的展开式中5x 的系数为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．79．nx x)(5131+展开式中所有奇数项系数之和等于1024,则所有项的系数中最大的值是（ ） A ．330 B ．462 C ．680 D ．790 10．54)1()1(-+x x 的展开式中，4x 的系数为（ ）A ．－40B ．10C ．40D ．4511．二项式（1+sinx)n的展开式中,末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为25，则x 在［0，2π]内的值为（ )A ．6π或3πB ．6π或65πC ．3π或32πD ．3π或65π12．在（1+x )5+(1+x ）6+（1+x ）7的展开式中，含x 4项的系数是等差数列 a n =3n －5的 ( ）A ．第2项B ．第11项C ．第20项D ．第24项二、填空题：本大题满分16分,每小题4分,各题只要求直接写出结果.13．92)21(xx -展开式中9x 的系数是 。
二项式定理训练题（含答案）
⼆项式定理训练题（含答案）⼆项式定理训练题⼀、单选题（共4题；共8分）1.若⼆项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知⼆项式的展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200⼆、填空题（共13题；共15分）5.⼆项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的⼆项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（⽤数字作答）11.⼆项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的⼆项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和⽐它的⼆项式系数和⼤992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知⼆项式的⼆项展开式中所有奇数项的⼆项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果⽤数字作答)答案解析部分⼀、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，⼆项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列⽅程，求得n的值，再利⽤⼆项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】⼆项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由⼆项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的⼆项式系数之⽐是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据⼆项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利⽤⼆项式定理中的通项公式求出结果.⼆、填空题5.【答案】60【解析】【解答】⼆项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该⼆项式展开式中常数项为，故答案为：60。
（完整版）二项式定理单元测试题
（完整版）二项式定理单元测试题二项式定理单元测试题（人教B 选修2-3）一、选择题1．设二项式?33x ＋1x n 的展开式的各项系数的和为P ，所有二项式系数的和为S ，若P＋S ＝272，则n ＝( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析： 4n ＋2n ＝272，∴2n ＝16，n ＝4. 答案： A2.?x 2＋1x n 的展开式中，常数项为15，则n 等于( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6 解析：∵T r ＋1＝C n r (x 2)n －r －1x r ＝(－1)r C n r x 2n －3r ，又常数项为15，∴2n －3r ＝0，即r ＝23n 时，(－1)r C n r ＝15，∴n ＝6.故选D. 答案： D3．(1＋2x )3(1－3x )5的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－2 C ．2D ．4 解析： (1＋2x )3(1－3x )5＝(1＋6x 12＋12x ＋8x 32)(1－5x 13＋10x 23－10x ＋5x 43－x 53)，x 的系数是－10＋12＝2.答案： C4．在?x 2－2x 6的二项展开式中，x 2的系数为( )A ．－154B.154 C ．－38D.38解析：该二项展开式的通项为T r ＋1＝C 6r x 26－r ·－2x r＝(－1)r C 6r ·126－2r ·x 3－r .令3－r ＝2，得r ＝1. ∴T 2＝－6×124x 2＝－38x 2.答案： C5．C 331＋C 332＋C 333＋…＋C 3333除以9的余数是( ) A ．7 B ．0 C ．－1D ．－2解析：原式＝C 330＋C 331＋C 332＋…＋C 3333－C 330 ＝(1＋1)33－1＝233－1＝811－1＝(9－1)11－1＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9×(－1)10＋C 1111×(－1)11－1 ＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9－2 ＝9M ＋7(M 为正整数)．答案： A6．已知C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则C n 1＋C n 3＋C n 5的值等于( ) A ．64 B ．32 C ．63D ．31解析： C n 0＋2C n 1＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 61＋C 63＋C 65＝32. 答案： B7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( ) A ．32 B ．－32 C ．－33D ．－31解析：令x ＝0，得a 0＝1；令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝32 ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝a 0－32 ＝1－32＝－31. 答案： D8．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含x 的项的系数绝对值的和为243，不含y 的项的系数绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为()A．a＝2，b＝－1，n＝5 B．a＝－2，b＝－1，n＝6C．a＝－1，b＝2，n＝6 D．a＝1，b＝2，n＝5解析：令x＝0，y＝1得(1＋b)n＝243，令y＝0，x＝1得(1＋a)n＝32，将选项A、B、C、D代入检验知D正确，其余均不正确．故选D.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)9．若(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004(x∈R)，则(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝________.(用数字作答)解析：在(1－2x)2 004＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 004x2 004中，令x＝0，则a0＝1，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝(－1)2 004＝1，故(a0＋a1)＋(a0＋a2)＋(a0＋a3)＋…＋(a0＋a2 004)＝2 003a0＋a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2 004＝2 004.答案： 2 00410．若多项式x3＋x10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a9＝________.解析：x3＋x10＝(x＋1－1)3＋(x＋1－1)10＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a10(x＋1)10∴(x＋1)9项的系数为C101(x＋1)9(－1)1＝－10(x＋1)9∴a9＝－10.答案：－1011．(1－x)20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为__________．解析：(1－x)20的二项展开式的通项公式T r＋1＝C20r(－x)r＝C20r·(－1)r·x r2，令r2＝1，∴x的系数为C202(－1)2＝190.令r2＝9，∴x9的系数为C2018(－1)18＝C202＝190，故x的系数与x9的系数之差为0.答案：012．若x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．解析： T r ＋1＝C 6r x 6－r (－a )r x －2r ＝C 6r (－a )r x 6－3r ，∴令r ＝2得x －a x 26的常数项为C 62a ，∴令C 62a ＝60,15a ＝60，∴a ＝4.答案： 4三、解答题(每小题10分，共20分)13．已知?x －124x n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，(1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项．解析：由题意：2C n 1·12＝1＋C n 2·122，即n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1舍去)，∴T r ＋1＝C 8r (x )8－r ·? ??－124x r ＝－12r ·C 8rx 8－r 2·x r 4＝(－1)r C 8r 2r ·x 16－3r 4(0≤r ≤8，r ∈Z )(1)若T r ＋1是常数项，则16－3r 4＝0，即16－3r ＝0，∵r ∈Z ，这不可能，∴展开式中没有常数项； (2)若T r ＋1是有理项，当且仅当16－3r4为整数，∵0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r ＝0,4,8，即展开式中有三项有理项，分别是：T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.14．求0.9986的近似值，使误差小于0.001.解析：0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15× (－0.002)2＋…＋(－0.002)6，∵T 3＝15×(－0.002)2＝0.000 06＜0.001. 即第3项以后的项的绝对值都小于0.001，∴从第3项起，以后的项可以忽略不计，即0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.15．(10分)已知f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含x 2项的系数最小值．解析： (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 的项为C m 1·2x ＋C n 1·4x ＝(2C m 1＋4C n 1)x ，∴2C m 1＋4C n 1＝36，即m ＋2n ＝18，(1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含x 2的项的系数为 t ＝C m 222＋C n 242＝2m 2－2m ＋8n 2－8n ，∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612 ＝16?n 2－374n ＋1534，∴当n ＝378时，t 取最小值，但n ∈N *，∴n ＝5时，t 即x 2项的系数最小，最小值为272，此时n ＝5，m ＝8.16．在(x －y )11的展开式中，求 (1)通项T r ＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项系数的和．解析： (1)T r ＋1＝(－1)r C 11r x 11－r y r ；(2)二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 115x 6y 5， T 7＝C 116x 5y 6；(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项： T 6＝－C 115x 6y 5，T 7＝C 116x 5y 6；(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故T 7＝C 116x 5y 6； (5)项的系数最小的项为T 6＝－C 115x 6y 5；(6)二项式系数的和为C 110＋C 111＋C 112＋…＋C 1111＝211；(7)各项系数的和为(1－1)11＝0.17．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…a 9y 9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．解析： (1)令x ＝1，y ＝1，得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1 (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12，即为所有奇数项系数之和． (3)方法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59；方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9展开式中各项系数和，令x ＝1，y ＝1得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59. (4)奇数项二项式系数和为： C 90＋C 92＋…＋C 98＝28.偶数项二项式系数和为：C 91＋C 93＋…＋C 99＝28.18．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求n .解析： a 0＝1＋1＋…＋1＝n ，a n ＝1.令x ＝1，则2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2…＋a n ，∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝2(1－2n )1－2－a 0－a n＝2(2n－1)－n－1＝2n＋1－n－3，∴2n＋1－n－3＝29－n，∴n＝4.。
(完整版)二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、求展开式中特定项1、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（ ）A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】C【解析】()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若2531()x x +展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x +展开式的通项为10515r r r T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82x的展开式中的常数项为 ．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(23)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r r x -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛-⋅+ ⎝的展开式中常数项是 ．【答案】332=-332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r rr r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、求特定项系数或系数和7、8()x -的展开式中62x y 项的系数是（ ）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ．【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是 ．【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ．10、已知dx x n 16e 1⎰=，那么nxx （3-展开式中含2x 项的系数为 ．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r rr n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r rr nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，rn C 取最大值，∴8n =，第4项为1193)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，那么017a a a +++ 的值等于（ ）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70127(12)1a a a a -=++++=- ，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=- ，即1272a a a +++=- ，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*3)()n n N ∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270.17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos 0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++ ，即01281a a a a ++++= 再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯ ，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M﹣N=240，则展开式中x 的系数为 .【答案】150解：由于（5x﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255【解析】178a a a +++= 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-，所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若n的展开式中第四项为常数项，则n =（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B.21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （ ）A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n ，解得6=n ；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x -，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=．23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（ ）A1 B ．53-或1 C ．2或53- D． 【答案】B．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C． 【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( )【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。
二项式定理测试题及答案
二项式定理测试题及答案二项式定理测试题一、选择题1.(x-1)的10次方的展开式的第6项的系数是（）．A。
C10B。
-C10C。
C10D。
-C102.(2x+x)的展开式中x的3次方的系数是（）．A。
6B。
12C。
24D。
483.(1-x的3次方)(1+x)的10次方的展开式中x的5次方的系数是（）．A。
-297B。
-252C。
297D。
2074.(Ax+B)的展开式中，各项都含有x的奇次幂，则n（）．A。
必为偶数B。
必为奇数C。
奇偶数均可D。
不存在这样的正整数5.二项式的展开式中二项式系数最大的项为（）．A。
第6项B。
第5、6项C。
第7项D。
第6、7项6.设(2+x) = a + a1/x + a2/x的10次方 + a10/x的10次方，则(a+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+…+a9)2的值是（）A。
1B。
-1C。
0D。
(2-1)7.把(x-1)的9次方按x降幂排列，系数最大的项是（）A。
第四项和第五项B。
第五项C。
第五项和第六项D。
第六项8.若(3x-4)的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（）A。
-540B。
-162C。
162D。
540二、填空题9.9192被100除所得的余数为92.+3Cn+5Cn+n+(2n+1)Cn=2n+3Cn。
11.在(x2+x-1)的7次方(2x+1)的4次方的展开式中，奇数项的系数的和为0.12.(x+4)的展开式中系数最大的项为C4.三、解答题13.(3x+4)的展开式为：81x的4次方+108x的3次方+54x 的2次方+12x+1.14.已知二项式(3x-1/3)：1) 展开式第四项的二项式系数为35.2) 展开式第四项的系数为-80/27.15.在(5x-2y)的20次方的展开式中，系数最大的项是C10*(5x)的10次方*(-2y)的10次方，系数最小的项是C20*(-2y)的20次方。
2.由题意可得，4-r+r=3，解得r=2.因此，223x的系数为C4-2=6，乘以2得到答案为12.3.展开(1-x)(1+x)，得到1-x^2.展开式中含x项的系数为-1，因此，1-x^2中含x项的系数为0.而1-x^2=(1+x)-(x^2)，因此，含x项的系数为1，含x^2项的系数为-1.因此，x项系数为-C10=-207.4.展开式中的一般项为Tr+1=C(Ax)^r+1，其中A=5，x=-1.要使展开式中含有x^10，必须使n为奇数。
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选修 2-3 1.3.1 二项式定理一、选择题1．二项式 (a ＋ b)2n 的展开式的项数是 ( )A ．2nB ．2n ＋1C ．2n － 1D ．2(n ＋1)2．(x －y)n 的二项展开式中，第 r 项的系数是 ()A ．C rr ＋1nB ．C nr －1D ．(－ 1) r －1 r －1C ．C n C n．在 － 10 的展开式中， x 6的系数是 ( )3 (x 3)64A ．－ 27C 10B ．27C 106 4C ．－ 9C 10D ．9C 104．(2010 全·国Ⅰ理， 5)(1＋2x)3(1－ 3x)5 的展开式中 x 的系数是 ( )A ．－ 4B ．－ 2C ．2D ．45．在 2x 3＋ 12 n ∈ * 的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是 ( )x (n N )A ．3B ．5C ．8D ．10．在 － 3 ＋ x) 10的展开式中 x 5的系数是 ( )6 (1 x )(1 A ．－ 297 B ．－ 252C ．297D ．2077．(2009 北·京 )在 x 2－1 n的展开式中，常数项为 15，则 n 的一个值可以是x()A ．3B ．4C ．5D ．6a 53的系数为 10，则实数 a 等于8．(2010 陕·西理， 4)(x ＋x ) (x ∈R)展开式中 x ()19．若 (1＋ 2x)6 的展开式中的第 2 项大于它的相邻两项，则 x 的取值范围是()11 1 1A.12＜ x ＜ 5B.6＜x ＜51 21 2C.12＜ x ＜ 3D.6＜x ＜5．在3120的展开式中，系数是有理数的项共有 ()102x － 2A ．4 项B ．5 项C ．6 项D ．7 项二、填空题． ＋ ＋ 2·－ x) 10 的展开式中， x 5 的系数为 ____________． 11 (1 x x ) (1． ＋ 2 － x) 5 的展开式中 x 3的系数为 ________． 12 (1 x) (12 ＋ 1 63 5 ．若 x 的二项展开式中 x 的系数为 ，则 a ＝________(用数字作答 )．13 ax 2． ·宁理，辽 ＋ ＋ 2－1 6 的展开式中的常数项为 ________． 14 (201013)(1x x )(xx)三、解答题15．求二项式 (a ＋2b)4的展开式．16． m 、 n ∈ N * ，f(x)＝ (1＋x)m ＋(1＋x)n 展开式中 x 的系数为 19，求 x 2 的系数的最小值及此时展开式中 x 7 的系数．17．已知在 (3x －1)n 的展开式中，第 6 项为常数项．3(1)求 n ；(2)求含 x 2 的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．118．若x ＋4n 展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最 2 x大的项．1.[答案 ]B2[答案 ] D 3 [ 答案 ] D[ 解析 ]r 10－ r(－ 3) r.令 10－r ＝ 6，∵ T r ＋1 ＝C 10x解得 r ＝ 4.∴系数为 (－4443) C 10＝9C 10. 4[答案 ] C[ 解析 ] (1＋ 2 x)3(1－ 3 x)5＝(1 ＋6 x ＋ 12x ＋ 8x x)(1－3x)5，故(1＋ 2 33 5 3 (－ 3 3 0＝－ 10x ＋ 12x ＝ 2x ，所以 x 的系数为 x) (1－ x) 的展开式中含 x 的项为 1×C 5 x) ＋ 12xC 5 2.5[答案 ] Br3 n － r1 rn － rr 3n － 5r[ 解析 ] T r ＋1＝ C n (2x ) (x 2) ＝ 2·C n x .令 3n －5r ＝0，∵ 0≤r ≤ n ，r 、 n ∈ Z .∴n 的最小值为 5.6[答案 ] D[ 解析 ] x 5 应是 (1＋ x)10 中含 x 5 项与含 x 2 项． ∴其系数为 C 5 ＋ C 2 (－ 1)＝ 207.10107[答案 ] D[ 解析 ] r2 n － r1 rr r 2n －3rr通项 T r ＋ 1＝C 10( x ) (－ x ) ＝ (－ 1) C n x，常数项是 15，则 2n ＝ 3r ，且 C n ＝ 15，验证 n ＝6时， r ＝4 合题意，故选 D.8[答案 ] D [ 解析 ]r r a 5－ rr 5－ r 2r － 5 ，令 2r －5＝3， ∴r ＝ 4，C 5·x ( x ) ＝ C 5·a x4由 C 5·a ＝ 10，得 a ＝2.9[答案 ]AT 2>T 11[ 解析 ] 由C 62x>1∴1＜ x ＜1.T 2>T 3 得 1 2 2C 62x>C 6(2x) 12510[ 答案 ]Ar320－ r－ 1 r 2 r320－ r r20－r[ 解析 ] T r ＋1＝ C 20( 2x) 2 ＝ － 2·( 2) C 20·x ，∵系数为有理数，20－ r∴( 2)r与 2 3 均为有理数，∴ r 能被 2 整除，且 20－ r 能被 3 整除，故 r 为偶数， 20－r 是 3 的倍数， 0≤r ≤ 20.∴ r ＝ 2,8,14,20.11[答案 ] － 16212[ 答案 ] 5[ 解析 ] 解法一： 先 形 (1＋x)2(1 －x)5＝(1 －x)3·(1－ x 2) 2＝ (1－x)3(1 ＋x 4－ 2x 2) ，展开式中 x 3 的系数 －1＋ (－ 2) ·C 1( －1)＝ 5；3331222 1－1)＝ 5.解法二： C 5( －1) ＋C 2 ·C 5(－ 1) ＋C 2C 5( 13[ 答案 ] 232 31 320 35 3[ 解析 ] C 6(x ) ·(ax) ＝ a 3 x＝ 2x ， ∴a ＝2.14[ 答案 ] －51[ 解析 ] (1＋ x ＋x 2)(x － x )61 1 1 ＝(x －x)6＋ x (x － x )6＋x 2(x －x )6，1 6 1 1r 6 rr rr 6 2r∴要找出 (x － x )中的常数 ，x 的系数， x 2 的系数， T r ＋ 1＝C 6x－ (－ 1) x －r＝ C 6( －1) x－，令 6－ 2r ＝0， ∴r ＝ 3，令 6－ 2r ＝－ 1，无解．令 6－ 2r ＝－ 2，∴ r ＝4.∴常数 －34C6＋ C 6＝－ 5. 15[ 解析 ] 根据二 式定理n0 n 1 n －1k n － k kn n(a ＋b) ＝ C n a ＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n a b ＋ ⋯＋ C n b n 得40 41 32 22 3 3 4 4 4 3 2 2 3 4(a ＋2b) ＝C 4 a ＋ C 4a (2b)＋ C 4a (2b) ＋ C 4a(2b) ＋ C 4(2b) ＝a ＋8a b ＋ 24a b ＋32ab ＋16b .16[ 解析 ] 由 m ＋ n ＝19，∵m ， n ∈ N *.m ＝1 m ＝2 m ＝ 18∴ ， ， ⋯，n ＝ 1 . n ＝18 n ＝ 1722 2 ＝ 1 2 1 2 2 － 19m ＋171. x 的系数 C m ＋C n 2(m －m)＋ 2 (n －n)＝ m∴当 m ＝9 或 10 ， x2的系数取最小7 的系数 7781，此 xC 9＋C 10＝ 156. 17[ 解析 ] r 3 x) n － r ·(－ 1 r(1)T r ＋1 ＝C n ·( )2 3xr1 n － r1 ·x － 1 ) r＝C n ·(x )·(－332＝( －1)r ·C r ·xn － 2r. n23∵第 6 常数 ，n －2r∴r ＝ 5 时有 ＝ 0， ∴n ＝ 10.3n －2r1(2)令3 ＝2，得 r ＝2( n －6)＝ 2，∴所求的系数为 2 1 2 45 C 10(－ ) ＝4 .210－ 2r∈Z(3)根据通项公式，由题意得：30≤ r ≤ 10r ∈Z10－2r＝ k(k ∈ Z)，则 10－ 2r ＝3k ， 令310－3k 3 即 r ＝2 ＝5－2k.∵r ∈ Z ，∴ k 应为偶数， ∴ k 可取 2,0，－ 2，∴r ＝ 2,5,8，∴ 第 3 项、第 6 项与第 9 项为有理项．21 22 51 5它们分别为 C 10·(－2)·x ，C 10(－2) ，C 8 ·(－1)8·x － 2. 102rn － r1 r[ 解析 ]x) · 4 . 通项为： T r ＋1＝ C n ·( x 22 11 1由已知条件知： C n ＋C n ·2n ·，解得： n ＝ 8.2 ＝ 2C 2 记第 r 项的系数为 t r ，设第 k 项系数最大，则有：t k ≥ t k ＋ 1 且 t k ≥ t k － 1.又 t ＝C r － 1·2－r ＋1，于是有：r8k 1 ·2－k ＋1 k·2－k C 8－≥C 8k 1 ·2－k ＋1k 2 ·2－ k ＋ 2 C 8－≥C 8－8！ × 2≥ 8！( k －1)！ ·(9 －k) ！ ，k ！ (8－k)！ 即8！8！≥( k －1)！ ·(9 －k) ！ × 2.(k － 2)！·(10－ k) ！2≥1，9－ kk∴解得 3≤ k ≤4.12≥.37 ∴系数最大项为第 3 项 T3＝ 7·x5和第 4 项 T4＝7·x4.。
二项式定理基础题精选全文
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二项式定理典型习题
【例4】已知(1－2x )7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求：
(1)a 1＋a 2＋…＋a 7；
(2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7；
(3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6；
(4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|.
()()()n n x 216123【例】已知在的展开式中，第项为常数项．求；求含的项的系数；
求展开式中所有的有理项．
n 若展开式中前三项系数成等
差数列．求：182【例】求
展开式中的常数项．)
21().()()()n n x
x n x x 22331992212【例】已知的展开式的二项式系数和比－的展开式的二项式系数和大求－的展开式中：二项式系数最大的项；
系数的绝对值最大的项．
1227272727()(*)()n n S ⋯∈⋯251511222N 312C C C 9－【例】求证：＋＋＋＋能被整除；求＝＋＋＋除以的余数．
在这一学年中，不仅在业务能力上，还是在教育教学上都有了一定的提高。
金无足赤，人无完人，在教学工作中难免有缺陷，例如，课堂语言平缓，语言不够生动，理论知识不够，教学经验不足，组织教学能力还有待提高。
在今后的工
作中，我将更严格要求自己，努力工作，发扬优点，改正缺点。
（完整word版）二项式定理典型例题
（完整word版）二项式定理典型例题二项式定理典型例题--典型例题一例1 在二项式nx x ??? ?+421的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rr n r n r x x x T --+=??=前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ，由已知：)1(8112312-+=+=n n n t t t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-．说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有17页系数和为n 3．典型例题四例4 （1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项．分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =?；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=?-，合并同类项得5x 项为： 5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121???? ??+=++x x x x 1251)21(+=++x x x x ．由121?+x x 展开式的通项公式rr rr r r x x T --+=??? ??=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们可以通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+把它看成二项式展开．解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+Λ-+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+62524232222)()(6)(15)(20)(15)(61x x x x x x x x x x x x -+-+-+-+-+-+=其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -??． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到2 22516)(C C x x -??．合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6．典型例题六例6 求证：（1）1212C C 2C -?=+++n n n n n n n Λ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n n n n n n n Λ．分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++Λ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--?=--=-?=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k Θ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n Λ=?=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n Λ右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n--=-?+=+ 11C 11)!()!1()!1(11+++=-++?+=k n n k n k n n ．∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n Λ =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n Λ右边．说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++Λ的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(?+?++?+?+=+Λ 10101091092102C 2C 2C 21021++++?+=Λ )C 2C 2C 210(2110 1099108210+++++=Λ从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++Λ．典型例题七例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n98)18(98911--+=--=++n n n n9818C 8C 8C 81211111--+?+?++?+=+-+++n nn n n n n n Λ 981)1(88C 8C 8211111--+++?++?+=-+++n n n n n n n Λ 2111118C 8C 8?++?+=-+++n n n n n Λ64)C 8C 8(112111?++?+=-+-++n n n n n Λ是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八例8 展开52232??? ?-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232??? ?-x x223252415025523)2(23)2(23)2(??-+??? ??-+??? ??-=x x C x x C x x C52554245322352323)2(23)2(??? ??-+??? ??-+??? ??-+x C x x C x x C10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-= 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=??- 233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x])3()3()4()3()4(5554134532335-+-+-+C x C x C)243716204320576038401024(321369121510-+-+-=x x x x x x10742532243840513518012032x x x x x x -+-+-=．说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-?+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ?+-1010)(（10,,1,0Λ=k ）展开后，都不会出现同类项．下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ?+-1010)(（10,,1,0Λ=k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++Λ，∴应选D ．典型例题十例10 若nx x ??-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把三项式nx x ?-+21转化为nnx x x x 2121??? ??-=??? ??-+；当0<="">n nx x x x 21)1(21??? ?----= ??-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，进而解出n ．解：当0>x 时nnx x x x 2121??? ?-=??? ??-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =，∴展开式的常数项为nn n C 2)1(-；当0<="">n n x x x x 21)1(21??? ?----=??? ??-+，同理可得，展开式的常数项为nn n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-．令20)1(2-=-nn n C ，以Λ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．典型例题十一例11 1031??? ?+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________．分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可．解：使1031??+x x 有意义，必须0>x ；依题意，有43T T <，即3373102382101)(1)(??31123891012910xx x ）．解得5648980<<="" ．=""><<5648980x x ．∴应填：5648980<<="" ．="">例12 已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ，即321!)1)(1(!!)()1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ．∴=-+=+-=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=?n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xxC ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有 8226655=?=n C C n n ．∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤≥??≥?++--r C C C C r r r r r r r r ．∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0Λ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14 设nm x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据已知条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后利用二次函数性质探讨最小值问题．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C nm499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ，∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25．说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得．典型例题十五例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=-Λ，求(1) 721a a a +++Λ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a Λ．①∴129721=+++a a a Λ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得： 6420a a a a +++][210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++=8128])4(128[217-=-+=．说明：（1）本解法根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要的方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+=Λ2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ．典型例题十六例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是________________.分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．解：3230-3)2(103-=3)8(10-= 3)17(10-+=37771010910911010010-++++=C C C C Λ 2]77[791081109010-+++?=C C C Λ又∵余数不能为负数，需转化为正数∴3230-除以7的余数为5 ∴应填：5分析(2)：将5555写成55)156(-，然后利用二项式定理展开．解：155555+15)156(55+-=15565656555554555415555055+-++-=C C C C Λ容易看出该式只有14155555=+-C 不能被8整除，因此155555 +除以8的余数，即14除以8的余数，故余数为6．∴应填：6．典型例题十七例17 求证：对于+∈N n ，111111+?++证明：nn ??+11展开式的通项rr n r r nr nr p n C T !11=?=+r r r n n n n r )1()2)(1(!1+---=Λ)11()21)(11(!1nr n n r ----=Λ． 1111+??++n n 展开式的通项rr n r r n r n r A n CT)1(!)1(11'1+=+?=++ )111()121)(111(!1+--+-+-=n r n n r Λ．由二项式展开式的通项明显看出'11++<="">所以111111+?++说明：本题的两个二项式中的两项为正项，且有一项相同，证明时，根据题设特点，采用比较通项大小的方法完成本题证明．典型例题十八例18 在52)23(++x x 的展开式中x 的系数为（）．A ．160B ．240C ．360D ．800分析：本题考查二项式定理的通项公式的运用．应想办法将三项式转化为二项式求解．解法1：由5252]2)3[()23(++=++x x x x ，得k kk k x x C T 2)3(5251?+=-+ k k k x x C -+??=525)3(2．再一次使用通项公式得，rk r r k k k r x C C T ---+=21055132，这里50≤≤k ，k r -≤≤50．令1210=--r k ，即92=+r k ．所以1=r ，4=k ，由此得到x 的系数为24032445=??C ．解法2：由5552)2()1()23(++=++x x x x ，知5)1(+x 的展开式中x 的系数为45C ，常数项为1，5)2(+x 的展开式中x 的系数为4452?C ，常数项为52．因此原式中x 的系数为24022445545=?+?C C ．解法3：将52)23(++x x 看作5个三项式相乘，展开式中x 的系数就是从其中一个三项式中取x 3的系数3，从另外4个三项式中取常数项相乘所得的积，即2402344415=C C ．∴应选B ．典型例题十九例19 已知92-x x a 的展开式中3x 的系数为49，常数a 的值为___________．分析：利用二项式的通项公式．解：在92-x x a 的展开式中，通项公式为=-??=-+rrr r x x a C T 299192329921)1(---r r r r r x a C ．根据题设，3923=-r ，所以8=r ．代入通项公式，得39169ax T =．根据题意，49169=a ，所以4=a ．∴应填：4．典型例题二十例20 (1)求证：nn n n n n C C C )2(3)1(333133221-=-++?-?+-Λ(2)若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+，求2312420)()(a a a a a +-++的值．分析：(1)注意观察nn n n n n x C x C x C x ++++=+Λ2211)1(的系数、指数特征，即可通过赋值法得到证明．(2)注意到)()()(432102312420a a a a a a a a a a ++++=+-++)(43210a a a a a +-+-?，再用赋值法求之．解：(1)在公式nn n n n n x C x C x C x ++++=+Λ2211)1(中令3-=x ，即有 n n n n n n C C C )3()3()3(1)31(2211-++-+-+=-Λn n n n C C 3)1(331221?-+-?+?-=Λ∴等式得证．(2)在展开式443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+中，令1=x ，得443210)32(+=++++x a a a a a ；令1-=x ，得443210)32(+-=+-+-a a a a a ．∴原式)()(4321043210a a a a a a aa a a +-+-?++++=1)32()32(44=+-?+=．说明：注意“赋值法”在证明或求值中的应用．赋值法的模式是，在某二项展开式，如n n n x a x a x a a bx a ++++=+Λ2210)(或b a C a C b a n n n n n 110)(-+=+222b a C n n -+ n n n b C ++Λ中，对任意的A x ∈（A b a ∈,）该式恒成立，那么对A 中的特殊值，该工也一定成立．特殊值x 如何选取，没有一成不变的规律，需视具体情况而定，其灵活性较强．一般取1,1,0-=x 较多．一般地，多项式)(x f 的各项系数和为)1(f ，奇数项系数和为)]1()1([21--f f ，偶次项系数和为)]1()1([21-+f f ．二项式系数的性质n nn n n n C C C C 2210=++++Λ及15314202-=+++=+++n n n n n n nC C C C C C ΛΛ的证明就是赋值法应用的范例．典型例题二十一例21 若+∈N n ，求证明：3724332+-+n n 能被64整除．分析：考虑先将323+n 拆成与8的倍数有关的和式，再用二项式定理展开．解：3724332+-+n n37243322+-?=+n n 3724931+-?=+n n 3724)18(31+-+?=+n n3724]8888[311112111101+-+?++?+?+??=+++-++++n C C C C C n n n n n n n n n n Λ 3724]18)1(888[3121111+-+?+++?+?+?=-+++n n C C n n n n n Λ 3724)]98(8888[3211121111+-++?++?+?+?=-+-+++n n C C C n n n n n n n Λ3724)98(3]888[831132121112+-+?+++?+?+?=-+-+-+-n n C C C n n n n n n n Λ 64]888[6433212111++?+?+?=-+-+-Λn n n n n C C ，∵18-n ，2118-+?n n C ，3218-+?n n C ，…均为自然数，∴上式各项均为64的整数倍．∴原式能被64整除．说明：用二项式定理证明整除问题，大体上就是这一模式，先将某项凑成与除数有关的和式，再展开证之．该类题也可用数学归纳法证明，但不如用二项式定理证明简捷．典型例题二十二例22 已知nx x )3(232+的展开式各项系数和比它的二项式系数和大992．(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．分析：先由条件列方程求出n ．(1)需考虑二项式系数的性质；(2)需列不等式确定r ．解：令1=x 得展开式的各项系数之和为n n 22)31(=+，而展开式的二项式系数的和为n n n n n n C C C C 2210=++++Λ，∴有992222=-n n．∴5=n ．(1)∵5=n ，故展开式共有6，其中二项式系数最大的项为第三、第四两项．∴62233225390)3()(x x x C T =?=，32232232354270)3()(x x x C T =?=．(2)设展开式中第1+r 项的系数最大．341052532513)3()(r rr rrr r xC x x C T +-+??=??=，故有≥??≥?++--115511553333r r r r r r r r C C C C即+≥--≥.1351,613r r r r解得2927≤≤r ．∵N r ∈，∴4=r ，即展开式中第5项的系数最大．32642132455405)3()(x x x C T =??=说明：展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念，因此其求法亦不同．前者用二项式系数的性质直接得出，后者要列不等式组；解不等式组时可能会求出几个r ，这时还必须算出相应项的系数后再比较大小．典型例题二十三例23 求证：(1) pn m m p n p m n p m n C C C C C C C +-=+++0110Λ；(2) 1144220242333--+?=++++n n n n n n n n C C C C Λ(K n 2=，*N n ∈)分析：(1)注意到两列二项式两乘后系数的特征，可构造一个函数；也可用构造一个组合问题的两种不同解法找到思路．(2)同上构造函数，赋值．证明：(1)(法1)∵n m nm x x x )1()1()1(+?+=++，∴)1()1()1(221221nn n n n m m m m m nm x C x C x C x C x C x C x ++++?++++=++ΛΛ．∴此式左右两边展开式中Px 的系数必相等．左边P x 的系数是p n m C +，右边Px 的系数是22110m p n p m n p m n p m n C C C C C C C C ?++?+?+?--Λ，∴pn m m p n p m n p m n p m n C C C C C C C C C +--=?++?+?+?022110Λ．等式成立．(法2)设想有下面一个问题：要从n m +个不同元素中取出P 个元素，共有多少种取法？该问题可有两种解法．一种解法是明显的，即直接由组合数公式可得出结论：有pn m C +种不同取法．第二种解法，可将n m +个元素分成两组，第一组有m 个元素，第二组有n 个元素，则从n m +个元素中取出P 个元素，可看成由这两组元素中分别取出的元素组成，取法可分成1+P 类：从第一组取P 个，第二组不取，有0n p m C C ?种取法；从第一组取1-P 个，从第二组取1个，有1 1n p m C C ?-种取法，…，第一组不取，从第二组取P 个．因此取法总数是p n m n p m n p m n p m C C C C C C C C ?++?+?+?--022110Λ．而该问题的这两种解法答案应是一致的，故有pn m m p n p m n p m n p m n C C C C C C C C C +--=?++?+?+?022110Λ．(2)∵n 为偶数，∴nn n n n n n C C C C 333)31(2210++++=+Λ；nn n n n n n C C C C 333)31(2210+-+-=-Λ．两式相加得)333(22444220nn n n n n n n C C C C ++++=+Λ，∴1144220242333--+?=++++n n n n n n n n C C C C Λ．说明：构造函数赋值法，构造问题双解法，拆项法、倒序相加法都是证明一些组合数恒等式（或求和）的常用方法．。
《二项式定理》练习题
《二项式定理》练习题一、单选题1．在5(21)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）A ．20B ．20-C ．40-D ．402．6(x 的展开式中的常数项为（ ）A ．58B ．1116C ．34D ．15163．6(2)x y -+的展开式中，22x y 的系数为（ ）A ．360B ．180C ．90D ．180-4．在6(1)x +的二项展开式中，2x 项的系数为（ ）A ．2B ．6C ．15D ．205．二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，4x 的系数是（ ） A ．40B ．10C ．-40D ．10-6．在6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数为12，则a 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．1D ．1-7．已知二项式nx⎫⎪⎭展开式中的常数项为第4项，则该二项式的展开式中的常数项为（ ）A ．84-B ．42-C ．42D ．848．若22)nx 展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式的常数项是（ ） A ．360B ．180C ．90D ．459．二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项为20-，则含4x 项的系数为（ ） A ．6-B ．15-C ．6D ．1510．已知二项式51()ax x-的展开式中含x 的项的系数为270，则实数a =（ ）A ．3-B ．2-C ．2D ．3243A ．12-B ．12 C ．1 D ．212．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为（ ）A ．6-B ．5-C ．9D ．1513．多项式()()())2112(3x x x x ++++展开式中 3x 的系数为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1314．在na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为0，则含6x 的项系数为（ ） A ．45B ．-45C ．120D ．-12015．已知等差数列{}n a 的第5项是612x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项，则28a a +=（ ）A ．20B ．20-C ．40D ．40-16．()()5321x x -+展开式中3x 的系数为（ ）A ．15-B ．10-C ．10D ．1517．若5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数为15，则a =（ ）A ．2B ．3.C ．4D ．518．()611a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为35，则实数a 的值为（ ） A ．25-B ．45-C ．35D ．15-19．已知()()()()52501251121212x a a x a x a x +=+++++⋅⋅⋅++，则1a =（ ）A ．516B ．532C ．15D ．520．若4701(1)(2)x x a a x ++=++2727(2)(2)a x a x +++⋅⋅⋅++，则3a =（ ）A ．27B ．35C ．8-D ．43-21．设0612620126172m m m m x a x a x a x a x x ⎛⎫-=++++ ⎪⎝⎭，则0126m m m m ++++=（ ）A ．21B ．64C ．78D ．15622．5(1-的展开式中，2x 的系数为___________.(用数字作答)23．512x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 与1x -的系数之比为___________ 24．二项式72x ⎛- ⎝的展开式中第4项的系数为___________.25．344x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是___________.(用数字作答) 26．5(2x -的展开式中2x 的系数为80，则a =______ 27．若()()61x x a -⋅+与()()610ax a +≠的展开式中3x的系数相等，则实数a 的值为________．28．已知()()()()65601563111x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅++++，则5a =___________.29．已知nx ⎛+ ⎝的展开式中的第二项和第三项的系数相等，则展开式中所以二项式系数的和为__________．30．已知()2na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为________．31．212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中所有二项式系数之和为8，则该展开式中的常数项为_______（用数字作答） 32．已知()626012613x a a x a x a x +=++++，则246a a a ++=______．（结果用数字表示）33．()()541213x x -+的展开式中按x 的升幂排列的第3项的系数为___________. 34．()62121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为______． 35．()()5211x x y z -+++的展开式中2x y 的系数为____________． 36．()6x y z +-的展开式中23xy z 的系数是______．37．5(2)(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为______________38．若62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为160，则a =___________. 39．54(12)(1)x x -+展开式中3x 的系数为__________．40．()5212x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为______，常数项为__________． 41．若()na x +的展开式中2x 项的二项式系数为10，则n =______；若展开式中的常数项为32-，则实数a 的值为______．42．已知2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++，则0a =______，若340a a +=，则n =______．43．已知()727012712x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则127a a a ++⋅⋅⋅+=______．3a =______．44．已知523450123451322x a a x a x a x a x a x ⎛⎫-=+++++ ⎪⎝⎭，则2a =______，123452345a a a a a ++++=______．45．已知4na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第四项的系数为120，所有奇数项的二项式系数之和为512，则实数a 的值为______，展开式中的常数项为______．46．已知72ax ⎛⎝的展开式中的常数项为14，则a =______，展开式中x 的整数次幂项的个数为______． 47．已知()()257017121...,x x a a x a x -+=+++则0a =_____，1357a a a a +++=_____．48．二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为270，则：（1）a =_____，（2）该二项式展开式中所有项的系数和为_____．《二项式定理》练习题参考答案1．C 【解析】由题得()521x -的展开式的通项为555155(2)(1)(1)2.r r r r r r rr T C x C x ---+=-=-令5-r =2,则r =3,所以2x 的系数为33535(1)240.C --=-2．D 【解析】6(x 的通项公式为3662216611(1)()(1)()22rr r rrr r rr r T C xx C x ---+=⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅，令3602r -=，解得4r =，故44456115(1)()216T C =⋅-⋅=，故选：D 3．A 【解析】()6622(2)2,x y x y x y -+=+-∴⎡⎤⎣⎦的系数为42264(2)360C C -=.故选：A. 4．C 【解析】展开式的通项为16r rr T C x +=．令2r得到展开式中2x 的系数是2615C =．故选：C ．5．A 【解析】二项式522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项公式为25152()()r rr r T C x x -+=-1035(2)r r r C x -=-，0,1,2,3,4,5r =，令1034r -=，得2r，所以展开式中，4x 的系数是225(2)40C -=.故选：A6．B 【解析】6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()()66216611r r r r r r r r rr T C x a x a C x ---+=-=-，∵4x 的系数为12，∴当6-2r =4时，解得r =1，有()61=12rr ra C -，即-6a =12，解得：a =-2.故选：B7．A 【解析】n x ⎫⎪⎭展开式通项公式为：()()3211n rr n r rr rr n nT C x C x--+=-=-，9324nn T C x-∴=-，展开式常数项为第4项，902n -∴=，解得：9n =，∴常数项34984T C =-=-.故选：A. 8．B 【解析】展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中第6项为中间项，所以总共11项，故n ＝10，通项公式为5105211010222rr rrr r r T C C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭当5502r -=，即2r 时为常数，此时223102180T C ==，所以展开式的常数项是180，故选：B9．A 【解析】二项式6a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式生的通项公式为()662166rr r r r rr a T C x a C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．当3r =时，为常数项.则()336201C a a -=-⇒=，令624r -=，得1r =，所以含4x 项的系数()15616C -=-.故选：A10．D 【解析】二项式51()ax x-的通项公式55552155(1)(1)r r r r r r r r r r T C a x x C a x-----+=⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-，当D .11．A 【解析】4(2)x -的展开式的通项公式为4142(1)r r r rr T C x -+=⋅⋅-⋅，则41(2)x ⨯-的展开式中含有3x 的项为3133342(1)8C x x ⋅⋅-⋅=-，24(2)ax x ⨯-的展开式中含有3x 的项为21311342(1)32ax C x ax ⨯⋅⋅-⋅=-，则8328a --=，解得12a =-，故选：A ．12．C 【解析】()61x -的展开式通项为()()1661r rr rr r A C x C x +=⋅-=⋅-，且()()()666111111x x x x x ⎛⎫+-=-+- ⎪⎝⎭，所以，()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式通项为()()()()11,1666611111rk r k rrk k r r k k r k T C x C x C x C x x -++=⋅-⋅+⋅-⋅=⋅-⋅+⋅-⋅，由111r k =⎧⎨-=⎩，可得12r k =⎧⎨=⎩，因此，()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为12666159C C -+=-+=.故选：C. 13．C 【解析】原式()()()()()()2123123xx x x x x x =+++++++，所以展开式中含3x的项包含()()()123x x x +++中x 项为12231311x x x x ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= ，和()()()123x x x +++中3x的项为3x ，这两项的系数和为11112+=.故选：C14．A 【解析】∵在na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，∴在na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式有11项，即n =10；而展开式的所有项的系数和为0，令x =1，代入=0na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即()101=0a +，所以a = -1.∴101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭是展开式的通项公式为：()101021101011rr r r r rr T C x C xx --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，要求含6x 的项，只需10-2r =6，解得r =2，所以系数为()221010914521C ⨯-==⨯.故选：A 15．D 【解析】由二项式定理，612x y x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项是33361()20C x x ⨯-=-，即520a =-，因为{}n a 是等差数列，所以285240a a a +==-．故选：D ． 16．C 【解析】()51x +展开式通项公式为：55r rC x-，()()5321x x +∴-展开式中3x 的系数为：235532302010C C -=-=.故选：C.17．B 【解析】5a x ⎫⎪⎭的展开式中x 的项为4455aC ax x⋅=，则515a =，故3a =.故选：B 18．D 【解析】()6a x +的二项展开式的通项616rrr r T C ax -+=，()611a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含4x 的项包含两部分，即42424615C a x a x =，554616C ax ax x =，故()611a x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为231565a a +=-，所以15a =-.故选：D ．19．B 【解析】令12x t +=，则111122t t x -++=+=，所以525012512t a a t a t a t +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭，所以541515232a C ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，故选：B ． 20．A 【解析】由47270127(1)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++＝()()472221x x +-++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，则()()4143472183527a C C =-+-=-+=.故选：A. 21．A 【解析】62172x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()612316217,0,1,2,,6k k kk k T C x k --+=⋅⋅-⋅=…，所以()()0126166127312+6=843212m m m m +⨯++++=⨯-++-⨯=…故选：A22．5【解析】5(1-的展开式的通项公式为12155((1)r rrrr r T C C x +==-，0,1,2,3,4,5r =，令122r =，得4r =，所以2x 的系数为445(1)5C -=. 23．2-【解析】因为()()()55521551221rrr r rrr r T C x C x x ---+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．令521r -=，则2r ，所以x的系数为()()522252180C --=，令521r -=-，则3r =，所以1x -的系数为()()533352140C --=-，所以x 与1x -的系数之比为2-，24．560-【解析】()335443224723516560T C x x x -⎛=⋅⋅=-⨯⨯=- ⎝.因此，二项式72x ⎛⎝的展开式中第4项的系数为560-.25．160-【解析】由题意，化简33263444(2)4x x x x x x x ⎛⎫-+-⎛⎫-+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又由6(2)x -展开式的通项为6666(2)(2)r rr rr rC xC x---=-，当3r =时，可得33336(2)160C x x -=-，所以344x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项是33160160x x-=-. 26．±1【解析】其通项公式为35552155(2)(1)(1)2r r rrrr r r r rr T C x a C a x ---+=⋅⋅-⋅⋅=⋅-⋅⋅⋅，令3522r -=，则2r ，则22235(1)280C a ⋅-⋅⋅=，解得1a =±.27．83【解析】()6x a +的展开式通项为()616,06r r rr A C x a r N r -+=⋅⋅∈≤≤，且()()()()6661x x x a x a x a +=--⋅++，所以，()()61x x a -⋅+的展开式通项为66761,16666k kkr rrk kkr rrk r T xC xa C xa C xa C xa ----++=⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅-⋅⋅，由7363k r -=⎧⎨-=⎩，解得43k r =⎧⎨=⎩，所以，()()61x x a -⋅+的展开式中3x 的系数为443366C a C a ⋅-⋅，()61ax +的展开式的通项为()666166mmmm m m B C ax C a x ---+=⋅=⋅，由63m -=可得3m =，所以，()61ax +的展开式中3x 的系数为336C a ⋅，所以，443333666C a C a C a ⋅-⋅=⋅，解得3646283C a C ==．28．12【解析】因为()()()()()66560156321111x x a a x a x a x +=++=+++⋅⋅⋅++++⎡⎤⎣⎦，此二项式的展开式的通项为()61621r r r r T C x -+=⨯⨯+，当=5r 时()556621T C x =⨯⨯+，所以556212a C =⨯=29．24332【解析】32112rn r r n r r r n n r T C x C x --+==，由题意1221122n n C C =，解得5n =，令1x =，则系数和为51243(1)232+=． 30．7、8、9【解析】由题意()2na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，当n 为偶数时，8n =，当n 为奇数时，中间两项二项式系数最大，则7n =或9n =．31．6【解析】∵212nx x ⎛⎫ ⎪⎝⎭-的展开式中所有二项式系数之和为8，∴28,3n n =∴=，∴展开式的常数项为()12232126C xx ⎛⎫⎪⎝⎭-=.32．2079【解析】令()()613f x x =+，则()001f a ==，由题意可得()()()60123456601234561412f a a a a a a a f a a a a a a a ⎧=++++++=⎪⎨-=-+-+-+=-⎪⎩，所以，()()()661150246114222204832208022f f a a a a +-+-+++===+=+=，因此，246208012079a a a ++=-=.33．26-【解析】按x 的升幂排列的第3项为含2x 项，∴22113554(2)(2)(3)T C x C x C x =⋅-+⋅-⋅⋅＋224(3)C x ⋅＝2222401205426x x x x -+=-，∴该项的系数为26-.34．45【解析】由二项式定理可得()61x +的通项为616rrr T C x-+=，所以()61x +的展开式中含2x 项的系数为46C 15=，含4x 项的系数为2615C =，故()62121x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为1515245+⨯=．35．10【解析】由二项展开式的性质和组合数的计算，可得()()5211x x y z -+++的展开式中2x y 项为：11332212222254353221(1)1403010x C x C y C C x C y C x y x y x y ⋅⋅⨯⨯+-⨯⋅⋅⨯⨯=-=，所以()()5211x x y z -+++的展开式中2x y 的系数为10.36．60-【解析】()()66x y z x y z +-=+-⎡⎤⎣⎦，所以，()6x y z +-的展开通项为()616rrr r A C x y z -+=⋅⋅-，()ry z -的展开式通项为()()11kkk r k k r k k k r r B C y z C y z --+=⋅⋅-=⋅-⋅⋅， 所以，()6x y z +-的展开式通项可以为()61,161kr kr r k k r k r T C C x y z --++=⋅⋅⋅-，其中06k r ≤≤≤且k 、r N ∈，令6123r r k k -=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，解得53r k =⎧⎨=⎩，因此，()6x y z +-的展开式中23xy z 的系数是()35365160C C ⋅-=-.37．120【解析】由题意得5(2)x y -展开式的通项公式为555155(2)()2(1)k k k k k k k k k T C x y C x y ---+=-=-．令2k =，23232352(1)T C x y =-，令3k =，32323452(1)T C x y =-，所以33x y 的系数为232323552(1)22(1)16040120C C -⨯+-=-=.38．2【解析】展开式的通项公式为：()62123166,0,1,2,3,4,5,6kkk k k kk a T C x a C x k x --+⎛⎫=== ⎪⎝⎭，因为3x 的系数为160 ，故令1233k -=，解得3k =.所以336160a C =，即：38a =，所以2a =.39．24【解析】由多项式乘法及二项展开式的通项可知，含3x 的项分别为03354C C x ，33054(2)C x C -，12254(2)C x C x -，22154(2)C x C x -，合并同类项，则含3x 的项为33(48060160)24x x --+=，所以系数为24.40．120- 20 【解析】()512x -的展开式的通项为()()5155122r rrr r r r T C x C x -+=⋅⋅-=-⋅，则()5212x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数为()()242455222120C C --⨯-=-，常数项为()1152220C -⨯-=.41．5 2- 【解析】由题意得()n a x +的展开式中2x 项的二项式系数2C 10n =，则5n =，因此()5a x +的展开式中的常数项为0555C 32a a ==-，所以2a =-．故答案为：5；2-42．1 7 【解析】因为2012(1)n n n x a a x a x a x -=++++，所以令0x =可得01a =，因为3434,n n a C a C =-=，340a a +=，所以34n n C C =，所以7n =，43．2- 280-【解析】令1x =，得01271a a a a -=+++⋅⋅⋅+，令0x =，得01a =，所以1272a a a ++⋅⋅⋅+=-．二项展开式的通项()()17722rrr r r r T C x C x +=-=-，令3r =，得()33372280a C =-=-．44．13516- 52【解析】由二项式定理知，2332513135C 2216a ⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．对已知等式两边同时求导可得42341234511352345222x a a x a x a x a x ⎛⎫⨯-=++++ ⎪⎝⎭，令1x =，得12345523452a a a a a ++++=． 45．1 45 【解析】因为4na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的所有项的二项式系数之和为2n ，且奇数项和偶数项的二项式系数之和相等，所以12512n -=，解得10n =，所以展开式中第四项3374104C a T x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以3310C 120a =，解得1a =，所以1041x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项101051101041C C rr r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令1050r -=，解得2r ，所以展开式中的常数项为210C 45=．46．2 3【解析】72ax ⎛ ⎝的展开式的通项公式为()7147273177rr r r r r r T C ax C a x ---+=⋅=．令71403r -=，得6r =，则展开式中的常数项为6767714C a a -==，故2a =．易知当0,3,6r =时，7143r -的值分别为14，7，0，均为整数，故展开式中x 的整数次幂项的个数为3． 47．1 2 【解析】在()()257017121...,x x a a x a x -+=+++中，令0x =，得250111a =⨯=．设25()(1)(21)f x x x =-+，则017(1)0f a a a =+++=，201237(1)24f a a a a a -=-+-+-=-=-，则1357(1)(1)0(4)222f f a a a a ----+++===． 48．3 32 【解析】二项式25()a x x-的展开式中，通项公式为53515(1)r r r r r T C a x --+=⋅-⋅⋅，令351r -=，可得2r ，故x 的系数为235270C a ⋅=，3a ∴=．令1x =，可得二项式25()ax x-的展开式中所有项的系数和为5232=，。
(完整word版)二项式定理练习题(含答案),推荐文档
二项式定理单选题（x+1）4的展开式中x的系数为A.2B. 4C. 6D.8答案B解析分析：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C4r x r；分析可得，r=1时，有x的项，将r=1代入可得答案．解答：根据题意，（x+1）4的展开式为T r+1=C4r x r；当r=1时，有T2=C41（ x）1=4x；故答案为：4．故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简．2 （x+2）6的展开式中x3的系数是A.20B.40C.80D. 160答案D解析分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为3求出展开式中x3的系数．解答：设含x3的为第r+1，则Tr+1=C6rx6-r•2r，令6-r=3，得r=3，故展开式中x3的系数为C63•23=160．故选D．点评：本题考查二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具3在（1+数学公式）4的展开式中，x的系数为A.4B.6C.8D.10答案B解析分析：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r；分析可得，r=2时，有x的项，将x=2代入可得答案．解答：根据题意，数学公式的展开式为Tr+1=C4r（数学公式）r；当r=2时，有T3=C42（数学公式）2=6x；故选B．点评：本题考查二项式系数的性质，特别要注意对x系数的化简．4（1+x）7的展开式中x2的系数是A.21B.28C.35D.42答案A解析分析：由题设，二项式（1+x）7，根据二项式定理知，x2项是展开式的第三项，由此得展开式中x2的系数是数学公式，计算出答案即可得出正确选项解答：由题意，二项式（1+x）7的展开式中x2的系数是数学公式=21故选A点评：本题考查二项式定理的通项，熟练掌握二项式的性质是解题的关键4 填空题二项式（2x-1）9的展开式中的第八项为________．答案-144x2解析分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的通项，令通项中的x取7，求出展开式中的第八项．解答：二项展开式的通项为Tr+1=（-1）r29-rC9rx9-r令r=7得T8=22C97x2=-144x2故答案为：-144x2点评：求二项展开式的特定项问题常用的工具是二项展开式的通项公式．5 （数学公式-数学公式）6的展开式中常数项是________．答案-160解析分析：据二项展开式的通项公式求得第r+1项，令x的指数为0得常数项．解答：展开式的通项为Tr+1=（-2）rC6rx3-r令3-r=0得r=3所以展开式的常数项为（-2）3C63=-160故答案为：-160．点评：二项展开式的通项公式是解决二项展开式特定项问题的工具．6 数学公式的展开式中x的系数为________．答案数学公式解析分析：由数学公式的展开式中的通项公式即可求得展开式中x的系数．解答：∵数学公式的展开式的通项公式Tr+1=数学公式数学公式，令r=1，得T2=数学公式•数学公式=数学公式x，∴数学公式的展开式中x的系数为数学公式．故答案为：数学公式．点评：本题考查二项式定理的应用，考查二项展开式中的通项公式的应用，属于中档题。
二项式定理习题精选全文
可编辑修改精选全文完整版§1.3 二项式定理1．3.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点一 二项式定理(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋C 2n a n －2b 2＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)． (1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a ＋b )n 的二项展开式，展开式中一共有n ＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n (k ∈{0,1,2，…，n })叫做二项式系数．知识点二 二项展开式的通项(a ＋b )n 展开式的第k ＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k ＋1＝C k n a n －k b k .1．(a ＋b )n 展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × )3．C k n a n －k b k 是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( × ) 4．(a －b )n 与(a ＋b )n 的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )5．二项式(a ＋b )n 与(b ＋a )n 展开式中第k ＋1项相同．( × )一、二项式定理的正用、逆用例1 (1)求⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4的展开式． 解 方法一 ⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3·1x＋C 24(3x )2⎝⎛⎭⎫1x 2＋C 34(3x )⎝⎛⎭⎫1x 3＋C 44⎝⎛⎭⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 ⎝⎛⎭⎫3x ＋1x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x 2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k ＋…＋(－1)n C n n .解 原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k (－1)k ＋…＋C n n (－1)n ＝[(x ＋1)＋(－1)]n ＝x n .引申探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________.答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.反思感悟 (1)(a ＋b )n 的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解 原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－1＝[(x －1)＋1]5－1＝x 5－1.二、二项展开式通项的应用例2 若⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋124x n 展开式中前三项系数成等差数列，求： (1)展开式中含x 的一次项；(2)展开式中所有的有理项．解 (1)由已知可得C 0n ＋C 2n ·122＝2C 1n ·12， 即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去)． T k ＋1＝C k 8(x )8－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫124x k ＝C k 8·2－k ·344k x - ， 令4－34k ＝1，得k ＝4. 所以含x 的一次项为T 5＝C 482－4x ＝358x . (2)令4－34k ∈Z ，且0≤k ≤8，则k ＝0,4,8，所以含x 的有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x 2. 反思感悟 (1)利用二项式的通项求二项展开式的特定项的常见题型①求第k 项，T k ＝C k －1n a n －k ＋1b k －1；②求含x k 的项(或x p y q 的项)；③求常数项；④求有理项． (2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练2 (1)⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式中x 3项的系数为( ) A ．80 B ．－80 C ．－40 D ．48答案 B解析 ⎝⎛⎭⎫2x －1x 5的展开式的通项为T k ＋1＝C k 5(2x )5－k ·⎝⎛⎭⎫－1x k ＝(－1)k ·25－k ·C k 5·x 5－2k ，令5－2k ＝3，得k ＝1.于是展开式中x 3项的系数为(－1)·25－1·C 15＝－80，故选B. (2)已知n 为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则⎝⎛⎭⎫x ＋2x n 的二项展开式的常数项是________． 答案 160解析 由题意得n ＝6，∴T k ＋1＝2k C k 6x 6－2k ，令6－2k ＝0得k ＝3，∴常数项为C 3623＝160.三、二项式定理的应用例3 (1)试求2 01910除以8的余数；(2)求证：32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除．(1)解 2 01910＝(8×252＋3)10.∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数，∴2 01910除以8的余数与310除以8的余数相同．又∵310＝95＝(8＋1)5，其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1，即2 01910除以8的余数也为1.(2)证明 32n ＋2－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n ＋1n ＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182＋(n ＋1)×8＋1－8n －9＝C 0n ＋18n ＋1＋C 1n ＋18n ＋…＋C n －1n ＋182.① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除．反思感悟 (1)利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系．(2)把余数及整除问题转化为二项式定理问题，体现了数学建模的核心素养．跟踪训练3 已知n ∈N *，求证：1＋2＋22＋ (25)－1能被31整除． 证明 1＋2＋22＋23＋…＋25n －1＝1－25n1－2＝25n －1＝32n －1＝(31＋1)n －1＝31n ＋C 1n ×31n －1＋…＋C n －1n ×31＋1－1＝31×(31n －1＋C 1n ×31n －2＋…＋C n －1n )， 显然括号内的数为正整数，故原式能被31整除．1．注意区分项的二项式系数与系数的概念．2．要牢记C k n a n －k b k 是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项． 3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．1.⎝⎛⎭⎫x －1x 5的展开式中含x 3项的二项式系数为( ) A ．－10B ．10C ．－5D ．52.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 35展开式中的常数项为( ) A ．80B ．－80C ．40D ．－403．设S ＝(x －1)3＋3(x －1)2＋3(x －1)＋1，则S ＝______.4．(x ＋2)n 的展开式共有12项，则n ＝________.5．C 0n ·2n ＋C 1n ·2n －1＋…＋C k n ·2n －k ＋…＋C n n ＝________.一、选择题1．(1－i)10(i 为虚数单位)的二项展开式中第七项为( )A ．－210B ．210C ．－120iD ．－210i2.⎝⎛⎭⎫x －2x 6展开式中常数项为( )A ．60B ．－60C ．250D ．－250 3.⎝⎛⎭⎫x ＋1x 9展开式中的第四项是( ) A ．56x 3B ．84x 3C ．56x 4D ．84x 44．(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数是( )A ．840B ．－840C ．210D ．－2105．在(1－x )5－(1－x )6的展开式中，含x 3的项的系数是( )A ．－5B ．5C ．－10D ．106．使⎝⎛⎭⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7二、填空题7．(x －y )(x ＋y )8的展开式中x 2y 7的系数为________．(用数字填写答案)8．在(x ＋43y )20的展开式中，系数为有理数的项共有________项．9．若(x ＋a )10的展开式中，x 7的系数为15，则a ＝______.(用数字填写答案)10．(x 2－x －2)4的展开式中，x 3的系数为________．(用数字填写答案)11．对于二项式⎝⎛⎭⎫1x ＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项；②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项；③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项；④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是________．(填序号)12．若⎝⎛⎭⎫ax 2＋b x 6的展开式中x 3项的系数为20，则a 2＋b 2的最小值为________． 答案 2三、解答题 13．求⎝⎛⎭⎫1＋1x (1＋x )4的展开式中含x 2的项的系数． 14．已知⎝⎛⎭⎫x －2x n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162. (1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．15．已知在⎝⎛⎭⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n的值；(2)展开式中x5的系数；(3)含x的整数次幂的项的个数．。
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(n n n一、选择题1二项式定理单元测试题（人教 B 选修 2-3）1. 设二项式(33 x ＋ x )n 的展开式的各项系数的和为 P ，所有二项式系数的和为 S ，若P ＋S ＝272，则 n ＝()A ．4B ．5C ．6D ．8解析： 4n ＋2n ＝272，∴2n ＝16，n ＝4. 答案： A1 2.x )n 的展开式中，常数项为 15，则 n 等于()x 2＋A ．3B ．4C ．5D ．61－ 解析： ∵T r ＋1＝C r (x 2)n －r x )r＝(－1)r C r x2n －3r ， 又常数项为 15，∴2n －3r ＝0，2即 r ＝3n 时，(－1)r C r ＝15， ∴n ＝6.故选 D. 答案： D3．(1＋2 x )3(1－3x )5 的展开式中 x 的系数是()A ．－4B ．－2C ．2D ．4131245解析： (1＋2 系数是－10＋12＝2.答案： Cx )3(1－3x )5＝(1＋6x 2＋12x ＋8x 2)(1－5x 3＋10x 3－10x ＋5x 3－x 3)，x 的－ 4． 在 21526 的二项展开式中，x 2 的系数为( )15 A ．－4 3C ．－8B. 4 3 D.8x (x －6 6( 2)1解析： 该二项展开式的通项为 T r ＋1＝C r 2 6－r · r ＝(－1)r C r ·26－2r ·x 3－r . 令 3－r ＝2，得 r ＝1. 1 3∴T 2＝－6×24x 2＝－8x 2. 答案： C5．C 331＋C 332＋C 333＋…＋C 3333 除以 9 的余数是( )A ．7B ．0C ．－1D ．－2解析： 原式＝C 330＋C 331＋C 332＋…＋C 3333－C 330 ＝(1＋1)33－1＝233－1＝811－1＝(9－1)11－1＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9×(－1)10＋C 1111×(－1)11－1 ＝C 110×911－C 111×910＋…＋C 1110×9－2 ＝9M ＋7(M 为正整数)． 答案： A6．已知 C n 0＋2C n 1＋22C n 2＋…＋2n C n n ＝729，则 C n 1＋C n 3＋C n 5 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31解析： C n 0＋2C n 1＋…＋2n C n n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729. ∴n ＝6，∴C 61＋C 63＋C 65＝32. 答案： B7．(1＋2x )2(1－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，则 a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝( )A ．32B ．－32C ．－33D ．－31解析： 令 x ＝0，得 a 0＝1；令 x ＝－1，得 a 0－a 1＋a 2－…－a 7＝32 ∴a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5－a 6＋a 7＝a 0－32 ＝1－32＝－31. 答案： D8．(1＋ax ＋by )n 展开式中不含 x 的项的系数绝对值的和为 243，不含 y 的项的系数绝对值的和为 32，则 a ，b ，n 的值可能为()A ．a ＝2，b ＝－1，n ＝5B ．a ＝－2，b ＝－1，n ＝6C ．a ＝－1，b ＝2，n ＝6D ．a ＝1，b ＝2，n ＝5 解析： 令 x ＝0，y ＝1 得(1＋b )n ＝243，124x 1020 2020 20 20)6 6 6 令 y ＝0，x ＝1 得(1＋a )n ＝32，将选项 A 、B 、C 、D 代入检验知 D 正确，其余均不正确．故 选 D.答案： D二、填空题(每小题 5 分，共 10 分)9．若(1－2x )2 004＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 004x 2 004(x ∈R )，则(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3) ＋…＋(a 0＋a 2 004)＝.(用数字作答)解析： 在(1－2x )2 004＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 004x 2 004 中，令 x ＝0，则 a 0＝1， 令 x ＝1，则 a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 004＝(－1)2 004＝1， 故(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 004) ＝2 003a 0＋a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 004 ＝2 004. 答案： 2 00410．若多项式 x 3＋x 10＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 9(x ＋1)9＋a 10(x ＋1)10，则 a 9＝.解析： x 3＋x 10＝(x ＋1－1)3＋(x ＋1－1)10 ＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2＋…＋a 10(x ＋1)10∴(x ＋1)9 项的系数为 C 1(x ＋1)9(－1)1＝－10(x ＋1)9 ∴a 9＝－10. 答案： －1011．(1－ x )20 的二项展开式中，x 的系数与x 9 的系数之差为 ．r解析： (1－ rx )20 的二项展开式的通项公式 T r ＋1＝C r (－ rx )r ＝C r ·(－1)r ·x 2， 令 2＝1，∴x 的系数为 C 2(－1)2＝190.令2＝9，∴x 9 的系数为 C 18(－1)18＝C 2＝190，故 x 的系数与 x 9 的系数之差为 0.答案： 012. 若(x －ax 2 6 展开式的常数项为 60，则常数 a 的值为 ．(x －a)解析： T r ＋1＝C r x 6－r (－ a )r x －2r ＝C r (－ a) r x 6－3r ，∴令 r ＝2 得 x 2 6 的常数项为C 2a ，∴ 令 C 2a ＝60,15a ＝60，∴a ＝4.答案： 4三、解答题(每小题 10 分，共 20 分)(x － )13. 已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，68 m n m nm n m n ( )(1)证明展开式中没有常数项； (2)求展开式中所有的有理项．1 1解析： 由题意：2C 1·2＝1＋C 2·(2)2，即 n 2－9n ＋8＝0，∴n ＝8(n ＝1 舍去)， n ( 1 ) (n1) 8－r r∴T r ＋1 ＝C r ( C8r －x) 8－r · r ＝ 16－3r－ 2 r ·C r x 2 ·x 4＝(－1)r 2r ·x 4 (0≤r ≤8，r ∈Z ) 16－3r(1) 若 T r ＋1 是常数项，则4 ＝0，即 16－3r ＝0，∵r ∈Z ，这不可能，∴展开式中没有常数项；16－3r(2) 若 T r ＋1 是有理项，当且仅当∵0≤r ≤8，r ∈Z ，∴r ＝0,4,8，4 为整数，35即展开式中有三项有理项，分别是：T 1＝x 4，T 5＝ 8 x ， 1T 9＝256x －2.14．求 0.9986 的近似值，使误差小于 0.001.解析： 0.9986＝(1－0.002)6＝1＋6×(－0.002)＋15× (－0.002)2＋…＋(－0.002)6，∵T 3＝15×(－0.002)2＝0.000 06＜0.001. 即第 3 项以后的项的绝对值都小于 0.001， ∴从第 3 项起，以后的项可以忽略不计，即 0.9986＝(1－0.002)6≈1＋6×(－0.002)＝0.988.15．(10 分)已知 f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋4x )n (m ，n ∈N *)的展开式中含 x 项的系数为 36， 求展开式中含 x 2 项的系数最小值．解析： (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含 x 的项为 C 1·2x ＋C 1·4x ＝(2C 1＋4C 1)x ， ∴2C 1＋4C 1＝36， 即 m ＋2n ＝18， (1＋2x )m ＋(1＋4x )n 展开式中含 x 2 的项的系数为t ＝C 222＋C242＝2m 2－2m ＋8n 2－8n ，∵m ＋2n ＝18，∴m ＝18－2n ，∴t ＝2(18－2n )2－2(18－2n )＋8n 2－8n ＝16n 2－148n ＋612 37 153 n 2－ n ＋＝164 4 ， 24x 81111 1111 11 11 7 1111 11 11 1137∴当 n ＝ 8 时，t 取最小值，但 n ∈N *，∴n ＝5 时，t 即 x 2 项的系数最小，最小值为 272， 此时 n ＝5，m ＝8.16．在(x －y )11 的展开式中，求(1)通项 T r ＋1；(2) 二项式系数最大的项； (3) 项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项； (5)项的系数最小的项； (6)二项式系数的和； (7)各项系数的和．解析： (1)T r ＋1＝(－1)r C r x 11－r y r ； (2) 二项式系数最大的项为中间两项：T 6＝－C 5x 6y 5， T 7＝C 6x 5y 6； (3) 项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T 6＝－C 5x 6y 5，T ＝C 6x 5y 6； (4) 因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第 7 项为正，故 T 7＝C 6x 5y 6； (5) 项的系数最小的项为 T 6＝－C 5x 6y 5；(6)二项式系数的和为 C 0＋C 1＋C 2＋…＋C 11＝211； (7)各项系数的和为(1－1)11＝0. 17．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…a 9y 9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和； (3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和． 解析： (1)令 x ＝1，y ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1 (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1令 x ＝1，y ＝－1，可得 a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59 59－1将两式相加，可得 a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝ 2 ， 即为所有奇数项系数之和． (3)方法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|9 9 9 9 9 ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令 x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59；方法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9 展开式中各项系数和，令 x ＝1，y ＝1 得， |a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59. (4)奇数项二项式系数和为：C 90＋C 2＋…＋C 8＝28.偶数项二项式系数和为：C 1＋C 3＋…＋C 9＝28.18．已知(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若 a 1＋a 2＋…＋a n －1＝29－n ，求 n .解析： a 0＝1＋1＋…＋1＝n ，a n ＝1.令 x ＝1，则 2＋22＋23＋…＋2n ＝a 0＋a 1＋a 2…＋a n ，2(1－2n )∴a 1＋a 2＋…＋a n －1＝ 1－2 －a 0－a n ＝2(2n －1)－n －1＝2n ＋1－n －3， ∴2n ＋1－n －3＝29－n ，∴n ＝4.。