拉冬变换数学基础共32页文档
Radon变换资料讲解
二、Radon变换的基本性质
• 1、线性
Raf bg aRf bRg
• 2、相似性
• 若 Raf，bg Rf ( p, cos , sin ) ，则
R f ax,by
1 ab
R
f
(
p,
cos
a
, sin )
b
• 3、对称性
• 若考虑下面的等式（其中 t cos,sin ）为与l垂
直方向上的单位矢量。
y sin y sin
0 0
• 即在线l上的点（x，y）满足 (x ) 1 ，其他 非l上点 (x) 0 的Radon变换可以写为：
R f ( p, ) f (x, y) ( p x cos y sin)dxdy --
由于直线l的方程 p x cos y sin 给出，
Radon变换及其应用
• 主要介绍内容：
• Radon变换的定义 • Radon变换的基本性质 • Radon反变换 • Radon变换的应用
一、Radon变换的定义
• 图像变换：为了有效和快速地对图像进行处理， 常需要将原定义在图像空间的图像以某种形式转 换到另外一些空间，并利用在这些空间特有性质 方便地进行一些加工，最后再转换回图像空间以 得到所需要的效果。
• 其方法为：
• 首先，通过Radon变换将二维图像投影到一维 Radon域，并在 Radon域应用高阶统计量对PSF进 行辨识，不同于以往在二维图像域直接应用高阶 统计量，所以提高了算法的运算速度。将PSF作 为MA过程，使用高阶统 计量方法对模型参数进 行辨识，增加了算法对噪声的鲁棒性并可以不考 虑噪声是否有色。然后，利用估计出来的PSF， 通过Richardson- Lucy(RL)迭代解卷积算法在 Radon域估计出原图像的投影。最后反投影到图 像域来求得原图像。
拉冬变换
图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
( , ) d ( x, )ei x x i x d '( x , ) ( , ) e
（2.5）
即我们把原来的t-x域数据通过拉当变换转化到τ-ρ域去噪 的方法，改为把F-X域地震数据通过拉当变换转化到f-ρ域 去噪。
max
1 2 x f max
（2.14）
式中Δx为空间方向的采样率。
模型测试与分析
5.1 F-X域拉当变换去除噪声的原理
在同一地层由于各种介质的物理性质相近，那么在不同 的地震道，同一地层有效波的能量在相同频段呈现线性关系， 经过线性叠加会增强，而由于噪声是随机的、不存在线性关 系，那么经过线性叠加能量会相对减弱，因此，我们就利用 此种特性，在F-X域通过Radon变换增强有效波的能量，消 弱噪声能量。这里我们去除噪声的方法很简单，由于经过拉 当变换之后，有效波能量增强，噪声能量会减弱，那么我们 就设定一个阈值，在ρ-ω域中将能量大于这个阈值的保留， 而能量小于这个阈值的数据置零。这样我们就可以得到通过 Radon逆变换得到去除噪声后的有效波。
拉氏变换的基本性质课件
拉氏变换的基本性质
3、时域微分规则 若ℒ[f(t)]=F(s)，则f(t)的导数f(1)(t)的拉氏变 换
精品
拉氏变换的基本性质
4、时域积分规则 若ℒ[f(t)]=F(s)，则f(t)积分的拉氏变换
精品
拉氏变换的Leabharlann 本性质5、时间平移（时移）性质 若ℒ[f(t)]=F(s)，则有
精品
拉氏变换的基本性质
拉氏变换的基本性质
拉氏变换的基本性质
1、唯一性 在区间[0，]中定义的原函数f(t)与对应的象 函数F(s)是一一对应的。根据f(t)可以唯一地 确定其象函数F(s)；反之，根据F(s)可以唯一 地确定其原函数f(t)。
精品
拉氏变换的基本性质
2、线性性 若时间函数f1(t)及f2(t)的拉氏变换分别为 F1(s)及F2(s)，c1及c2为任意常数（实数或 复数），则有
6、复频域平移（频移）性质 若ℒ[f(t)]=F(s)，则有
精品
拉氏变换的基本性质
7、初值定理 若ℒ[f(t)]=F(s)，且存在，则
精品
拉氏变换的基本性质
8、终值定理 若ℒ[f(t)] = F(s)，且存在，则
lim f (t) f () lim sF(s)
t
s0
精品
积分变换第二章拉氏变换
第一节 Laplace变换概念 第二节 Laplace变换性质 第三节 Laplace逆变换
第一节 Laplace变换的概念
引入
傅里叶变换的前提 绝对可积 在整个数轴上面有意义 工程上用到的函数的特点 非绝对可积 t<0，无意义
第一节 Laplace变换的概念
引入
为了克服傅里叶变换的缺点
考虑两个函数u (t )和e t
对于任意函数(t )
(t ) u (t ) 积分区间(-,+)
(t ) e
t
衰减函数使(t )绝对可积
第一节 Laplace变换的概念
引入
函数(t )先乘以u (t )e ，再取Fourier变换
t
f (t )e dt f (t )e dt
st st 0
0
£+[f(t)]
这样，我们定义拉氏变换时，严格上应为：
F (s) - f (t )e dt （Re(s) 0）
- st 0 ¥
例4 求单位脉冲函数的拉氏变换
f( t)
1
p77
t
第二节 Laplace变换的性质
类似地，可得象函数的积分性质：
£[
f (t )] F (s)ds s t
f (t ) ds F ( s )ds 一般地，£ n s s t n
性质4（位移性质） ： 若，F (s) = £ [f (t)],则，
£ [ eat f (t ) ] = F(s-a) ( Re(s-a)>c)
Laplace变换的性质
性质1（线性性质）：设， F1(s)= £ [f1(t)] 和 F2(s) = £[f2(t)]
拉冬变换
1.合成的地震记录横坐标为偏移距，纵坐标为时间
2.做RADON变换后，纵坐标为时间，横坐标为把抛物线校平所需要的时间，从图中可以看出第一个倾斜抛物线弧度较陡，说明其速度较低，把其较平所需要的时间多，第二个抛物线弧度较缓，把其较平所需要的时间短一些。
两条平的抛物线不需要校正时间，因为他们本身已经是平的了。
这样四条抛物线变换到拉冬域为下图所示。
3 很明显如果平的为有效波，则在拉冬域很容易把有效波和多次波分开下图为估算出的多次波。
4.从最初的图中减去估算出来的多次波则得到一次波。
5.以上分析可能有不对的地方，本人从F-K滤波的方法依葫芦画瓢得出的结论，敬请指正。
以上方法不是很严谨，只用来说明具体算法原理
具体参考地震资料分析伊尔马滋著中的拉冬变换
本图来源于SU。
拉冬变换数学基础
Radon变换原理
拉当变换有明显的物理意义，它是将时间、空间域t-x的 一条直线t=τ +ρ x映射到τ -ρ 域上的一个点，如图1所示。
（a）t-x域一条直线
（b）由t-x域映射到τ -ρ 域中的一个点
图1 t-x域一条直线与τ -ρ 域中一个点的关系
Radon变换原理
在二维连续空间-时间域的Radon正反变换对：
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U ( , ) R[ d ( x , t )] d [ x , g ( x )]dx
在一些地震学的问题中也会涉及到RT或它在曲线积分上的 推广，这里我们将讨论层析成像在地震学中的各种应用。从 层析的意义看，沿着射线路径传播的信号（至少在高频极限 上可以这样近似地讲）累加起来构成了模型的某些性质—— 如慢度或慢度异常、衰减等等，当多道射线路径从许多方向 上穿经了该模型时，就可以提供出足以重建出该模型的信息。
模型测试与分析
5.2 F-X域拉当变换去除噪声的流程
图二 在f-ρ域滤波流程图
模型测试与分析
5.3 测试F-X域拉当正反变换
我们用某进行处理后无噪声的地震资料进行测试F-X域 Radon正变换，此地震资料采样间隔为1毫秒，采样点 为4096个点，有95道数据。在Radon变换前信号如图四 所示。
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
拉冬变换数学基础
模型测试与分析
5．4 F-X域拉当变换在去噪处理中的可行性测试
给上一节地震数据加入信噪比为4分贝（这里：信噪比=20log2S/N） 的白噪声，则我们可以得到信噪比为4分贝白噪声的t-x域信号如图十 所示，它的频谱如图十一所示。
图十 信噪比为4分贝的地震 信号
图十一 被白噪声污染的地震 信号的频谱
图十四 去噪后F-X域信号频谱
图十五 去噪后t-x域的信号
模型测试与分析
为了更加明确的看到通过F-X域Radon变换去噪的质量，我们取加 噪前第5道数据与F-X域Radon变换后t-x域中的第5道数据进行比 较，结果如图十七所示。
图十七 去噪前后信号的比较
模型测试与分析
从图十五与图十一的比较中，可以看到将高频段的噪声频率去除的 很干净，从图十五中可以看到去噪后的t-x域信号与没有加噪时的几 乎一样。这里我们再分析一下没有加噪的t-x域信号与加噪后通过 Radon变换滤波后t-x域信号幅度的相对误差，如图十八所示。
(,t x)d
2.3
Radon变换原理
在计算机实现中，由于在时间域和空间域的离散采样， 不能应用连续函数方程，因此用离散的累加来代替连续域 的积分运算；为了消除离散采样的有限孔径的影响，利用 最小平方法计算离τ -ρ 变换。二维离散时间、空间域的 拉当正反变换对：
（，） d (x,t x)
Radon变换原理
2.1 拉当变换的数学原理
自1917年Radon先生提出这个变换以后,拉当变换在医学、 物理学、天文学等许多领域都已得到了广泛的应用。 设函数y=g(x)连续可导,而且其反函数是单值的，d(x,t) 满足可积,则定义：
U( , ) R[d(x,t)] d[x, g(x)]dx (2.1)
(整理)拉氏变换讲稿
第2+章 拉普拉斯变换的数学方法拉普拉斯变换简称拉氏变换，是分析研究线性动态系统的有力数学工具。
通过拉氏变换将时域的微分方程变换为复数域的代数方程，这不仅运算方便，使系统的分析大为简化，而且在经典控制论范畴，直接在频域中研究系统的动态特性，对系统进行分析、综合和校正，具有很广泛的实际意义。
2-1 复数和复变函数1.复数的概念复数，ωσj s +=其中σ、ω均为实数，分别称为S 的实部和虚部，记做Re()s σ=，)Im(s =ωj =虚部分别相等，一个复数为零，它的实部和虚部均必须为零。
2.复数的表示方法：表达复数的直角坐标系平面称为复平面或S 平面。
（1）点表示法（2）向量表示法复数S 用从原点指向点（ωσ,）的向量来表示。
向量的长度称为复数S 的模或绝对值。
22ωσ+==r s向量与σ轴（横轴）的夹角θ称为复数的幅角，即σωθarctan =。
（3）三角表示法：由上图可看出：cos r σθ=⋅，θωsin ⋅=r 因此复数的三角表示法为：(cos sin )s r j θθ=+（4）指数表示法：利用欧拉公式：cos sin j e j θθθ=+，复数S 也可用指数表示为：j s r e θ=⋅3.复变函数、极点与零点的概念以复数ωσj s +=为自变量，按某一确定法则构成的函数G(s)称为复变函数，G(s)可写成：()G s u jv =+，在线性控制系统中，通常遇到的复变函数G(s)是S 的一个给定值，G(s)就唯一被确定。
若有复变函数 1212()()()()()()()m n k s z s z s z G s s s p s p s p ---=---当12,m s z z z =时，()0G s =,称12,z z ，·，m Z 为G(s)的零点； 当120,,n s p p p =时，()G s =∞，称120,,p p ，·，m P 为G(s)的极点。
2-2 拉氏变换与拉氏反变换的定义一、拉氏变换设有时间函数()f t ，0t ≥，则()f t 的拉氏变换记做[]()L f t 或()F s ，并定义为：[]0()()()st L f t F s f t e dt ∞-==⋅⎰ 式（2—1） 式中s 为复数，称()f t 为原函数，()F s 为象函数。
(完整版)拉氏变换常用公式
（F-1）
式中， 是特征方程A(s)＝0的根。 为待定常数，称为F(s)在 处的留数，可按下式计算：
（F-2）
或
（F-3）
式中， 为 对 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
＝ (F-4)
2 有重根
设 有r重根 ，F(s)可写为
附录A拉普拉斯变换及反变换
表A-1拉氏变换的基本性质
1
线性定理
齐次性
叠加性ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
微分定理
一般形式
初始条件为0时
3
积分定理
一般形式
初始条件为0时
4
延迟定理（或称 域平移定理）
5
衰减定理（或称 域平移定理）
6
终值定理
7
初值定理
8
卷积定理
表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表
序号
拉氏变换E(s)
时间函数e(t)
=
式中， 为F(s)的r重根， ，…, 为F(s)的n-r个单根；
其中， ，…, 仍按式(F-2)或(F-3)计算， ， ，…, 则按下式计算：
(F-5)
原函数 为
（F-6）
Z变换E(z)
1
1
δ(t)
1
2
3
4
t
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 是 的有理真分式
（ ）
式中系数 ， 都是实常数； 是正整数。按代数定理可将 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
拉式变换课件
0
式中，s为复数变量；f t 为原函数；F s为象函数。
Page 4
拉氏变换的定义式：
记做
f (t) LT F (s) f (t)est dt 0
L [ f (t) ]= F (s) 或 f (t) LT F (s)
df (t) dt
est
f (t)
0
0
(s)e
st
f (t)dt
sF (s)
f (0 )
得证。
?
Page 23
uv'dx uv vu'dx
3.1.2 拉氏变换的性质
当 f(0)=f ’(0)=…f（n-1）(0)=0，则有：
L
2 s j0 s j0 s2 02
Page 20
பைடு நூலகம்
sin 0t
1 2j
(e j0t
e
) j0t
例：
L[sin 0t ]
1 2j
L[e
] j0t
1 2j
L[e
] j0t
1 2j
( s
1
j0
s
1
j0
)
0 s2 02
Page 21
3.1.2 拉氏变换的性质
(二)、 时域微分(differentiation)的拉氏变换
若L[ f (t)] F(s)
L
df (t dt
)
sF (s)
f
(0)
证明
第2章拉氏变换的数学方法
第2章拉氏变换的数学方法拉氏变换是一种非常重要的数学方法，广泛应用于控制理论、信号处理、电路分析等领域。
本章将介绍拉氏变换的定义与性质，以及常见的拉氏变换对表。
首先，我们回顾一下连续时间函数的傅里叶变换。
对于一个连续时间函数f(t)，它的傅里叶变换F(ω)定义为：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，ω是频率，j是虚数单位。
傅里叶变换将时间域函数转换为频率域函数，使得我们可以对信号进行频谱分析。
而拉氏变换是对连续时间函数的傅里叶变换的进一步延伸。
它的定义为：F(s) = ∫f(t)e^(-st)dt其中，s是复变量。
拉氏变换可以看作是傅里叶变换的特例，当s为纯虚数时，拉氏变换退化为傅里叶变换。
通过拉氏变换，我们可以将一个时间域的连续时间函数转换为一个复平面上的函数，使得我们可以更方便地进行信号分析和系统设计。
拉氏变换的性质也是非常重要的，以下是几个常见的拉氏变换性质：1.线性性质：如果f(t)和g(t)的拉氏变换分别为F(s)和G(s)，那么对于任意的常数a、b，有a*f(t)+b*g(t)的拉氏变换为a*F(s)+b*G(s)。
2. 时移性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(t - t0)的拉氏变换为e^(-st0) * F(s)。
3. 尺度性质：如果f(t)的拉氏变换为F(s)，那么f(at)的拉氏变换为1/a * F(s/a)。
4. 初值定理：如果f(t)是一个因果函数，则F(s)的极限lim[s->∞] F(s)等于f(0)，即拉氏变换在无穷远处的极限等于函数的初始值。
通过这些性质，我们可以更方便地进行拉氏变换的计算和分析。
接下来，我们介绍一些常见的拉氏变换对表：1.单位脉冲函数的拉氏变换对表：δ(t)的拉氏变换为12.单位阶跃函数的拉氏变换对表：u(t)的拉氏变换为1/s。
3.正弦函数的拉氏变换对表：sin(ωt)的拉氏变换为ω / (s^2 + ω^2)。
(完整版)拉氏变换常用公式
（F-1）
式中， 是特征方程A(s)＝0的根。 为待定常数，称为F(s)在 处的留数，可按下式计算：
（F-2）
或
（F-3）
式中， 为 对 的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数
＝ (F-4)
2 有重根
设 有r重根 ，F(s)可写为
=
式中， 为F(s)的r重根， ，…, 为F(s)的n-r个单根；
其中， ，…, 仍按式(F-2)或(F-3)计算， ， ，…, 则按下式计算：
(F-5)
原函数 为
（F-6）
Z变换E(z)
1
1
δ(t)
1
2ห้องสมุดไป่ตู้
3
4
t
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
用查表法进行拉氏反变换
用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设 是 的有理真分式
（ ）
式中系数 ， 都是实常数； 是正整数。按代数定理可将 展开为部分分式。分以下两种情况讨论。
① 无重根
附录A拉普拉斯变换及反变换
表A-1拉氏变换的基本性质
1
线性定理
齐次性
叠加性
2
微分定理
一般形式
初始条件为0时
3
积分定理
一般形式
初始条件为0时
4
延迟定理（或称 域平移定理）
5
衰减定理（或称 域平移定理）
6
终值定理
7
初值定理
8
卷积定理
表A-2常用函数的拉氏变换和z变换表
《拉氏变换》课件
六、总结
拉氏变换是一种强大的工具，具有许多优点和应用。通过学习拉氏变换，我们也能培养出思考和解决问题的能 力。
1 拉氏变换的优点和缺点
总结拉氏变换的优点和限制。
ห้องสมุดไป่ตู้
2 学习拉氏变换的思考方式
分享学习拉氏变换的思考方式和技巧。
七、参考文献
提供拉氏变换相关领域的参考文献，供进一步学习和研究之用。
拉氏变换具有许多有用的性质，理解这些性质将有助于我们更好地理解和应用拉氏变换。
线性性质
探讨拉氏变换的线性 性质和叠加原则。
移位性质
解释拉氏变换中的时 移、频移和频率缩放。
放大性质
讨论拉氏变换中的放 大和缩小效应。
模拟性质
研究拉氏变换的模拟 性质和与连续时间信 号的关系。
四、拉氏变换的逆变换
逆变换是拉氏变换的逆过程，将频率域的信号还原回时间域中的信号。
1 逆变换的表达式
探讨拉氏逆变换的数学表达式和符号。
2 逆变换的性质
讨论逆变换的性质以及逆变换在实际应用中的作用。
五、拉氏变换的应用
拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统设计等领域中有广泛的应用。
信号处理
探索拉氏变换在数字信号处理中的作用。
电路分析
研究拉氏变换在电路分析和设计中的应用。
控制系统设计
探索拉氏变换在信号处理、电路分析和控制系统 设计等领域的重要作用。
二、拉氏变换的定义
拉氏变换将信号从时间域转换到频率域，使我们能够以频域的角度来分析和处理信号。
1 时间域和频率域
解释时间域和频率域的概念，并探索两者之 间的关系。
2 拉氏变换的表达式
(完整版)最全拉氏变换计算公式
最全拉氏变换计算公式1233． 用查表法进行拉氏反变换用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。
设)(s F 是s 的有理真分式1110111)()()(a s a s a s a b s b s b s b s A s B s F n n n n m m m m ++++++++==----ΛΛ （m n >） 式中系数n n a a a a ,,...,,110-，m m b b b b ,,,110-Λ都是实常数；n m ,是正整数。
按代数定理可将)(s F 展开为部分分式。
分以下两种情况讨论。
① 0)(=s A 无重根这时，F(s)可展开为n 个简单的部分分式之和的形式。
∑=-=-++-++-+-=ni ii n n i i s s c s s c s s c s s c s s c s F 12211)(ΛΛ式中，n s s s ,,,21Λ是特征方程A(s)＝0的根。
i c 为待定常数，称为F(s)在i s 处的留数，可按下式计算：)()(lim s F s s c i s s i i-=→或iss i s A s B c ='=)()(式中，)(s A '为)(s A 对s 的一阶导数。
根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==∑=--n i i i s s c L s F L t f 111)()(＝ts n i i ie c -=∑1②0)(=s A 有重根设0)(=s A 有r 重根1s ，F(s)可写为())()()()(11n r rs s s s s s s B s F ---=+Λ =nn i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c -++-++-+-++-+-++--ΛΛΛ11111111)()()( 式中，1s 为F(s)的r 重根，1+r s ，…, n s 为F(s)的n-r 个单根；4其中，1+r c ，…, n c 仍按式(F-2)或(F-3)计算，r c ，1-r c ，…, 1c 则按下式计算：)()(lim 11s F s s c r s s r -=→)]()([lim111s F s s dsdc r s s r -=→- M)()(lim !11)()(1s F s s dsd j c r j j s s jr -=→- (F-5) M)()(lim )!1(11)1()1(11s F s s dsd r c r r r s s --=--→原函数)(t f 为 [])()(1s F Lt f -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-++-+-++-+-=++---n n i i r r r r r r s s c s s c s s c s s c s s c s s c L ΛΛΛ111111111)()()( t s nr i i t s r r r r ie c e c t c t r c t r c ∑+=---+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++-+-=1122111)!2()!1(Λ （F-6）。
拉氏变换参考资料共38页文档
41、学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸 收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹
42、只有在人群中间，才能认识自 己。——德国
43、重复别人所说的话，只需要教育； 而要挑战别人所说的话，则需要头脑。—— 玛丽·佩蒂博恩·普尔
44、卓越的人一大优点是：在不利与艰 难的遭1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比