用集合思想理解概率的有关概念和运算

用集合思想理解概率的有关概念和运算

──浅谈体现B版教材特色的教学

北京门头沟韩丽燕赵连福

内容提要：集合是近现代数学最基本的内容之一。集合概念及其理论，成为集合论，是近现代数学的一个重要基础。一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合论的基础上，另一方面，集合论及其所反映的数学思想在越来越广泛的领域中得到应用。本文主要阐述在高中概率的教学中如何用集合语言描述概率的有关概率，用集合的确知识帮助理解概率的有关运算。

主题词：集合概率

集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托（Cantor,

G.F.P.,1845年—1918年），德国数学家，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。集合语言作为数学的语言和基础,使用集合语言可以简洁准确的表达数学中的一些内容.集合语言作为中学数学的基础,贯穿于整个高中数学体系,对高

中生的数学学习有着重大的意义.

借助于集合语言来描述事件的关系和运算是集合论在概率的应用体现，人教B版在概率这章的编写上的一个特点就是：建立集合与概率的联系，用集合语言描述概率的一些基本概念，用集合语言描述事件的关系与运算和概率的加法公式，以及用集合语言理解和解决有关古典概型问题.

学生进入高一首先接触的知识就是集合知识,并在高中数学其它部分的学习,如：函数，不等式等内容的学习中也一直在使用，通过前边的学习学生对集合语言有了充分的认识,在学习概率时，用集合与集合运算描述随机事件、基本事件空间及事件的运算等，学生更容易掌握。使用集合语言学习概率，要比用自然语言学习概率好的多。而且在大学的概率学习中基；本上也是基于集合论而学习的，用集合的思想进行概率的教学，有利于学生理解概率有关概念和运算；有利于学生提高数学语言的交流能力；有利于高中数学中概率的学习与大学中的概率课程统一。

用集合的思想理解概率的有关概念和运算，可以从下面三方面入手

1．建立集合与概率基本概念与运算之间的关系：

将随机试验的的所有可能结果组成的集合称为基本事件空间，事件是一个集合，因而事件间的关系与事件的运算自然可以按照集合论中的集合之间的关系和运算来处理，这样学生接受起来很自然。

对一些常见的对应关系列表如下

基本事件空间

A B

A=B（A B且B A）

（和事件）

A B

同时发生（积事件）

有了以上的对应关系，在教学中就可以把一些事件用基本事件或已知概率的事件来表示，便于通过集合的关系和一些概率的基本公式，来求出要求事件的概率

2．用集合语言理解和学习概率中的一些公式

为了更好的理解和记忆概率中的公式，可以把一些公式用集合语言加以阐述。如：

1）古典概型概率计算公式：，

可以理解为

2）概率的加法公式：

可以用集合的观点理解

3）互斥事件概率的加法公式：

用集体的观点理解：因为互斥，所以，，所以

还可以用集合中的韦恩图帮助理解：

由于互斥，所以

4）条件概率公式：（变形为乘法公式）

可以用集合的观点理解

还可以用集合中的韦恩图表示

来加强对这个公式的理解

5）对立事件的概率公式：

用集合的观点理解为：

3．用集合思想处理概率问题

由上边所述，借助集合知识来理解概率内容，运用集合思想来解决概率问题可以使复杂问题变得简明，易懂。人教B版的例题解法基本上也是用集合思想处理的。

用集合的观点解决问题可以做到化难为易

比如人教B版必修3 习题3-2B中的第3题，学生还是感觉有一定的难度的，用集合的观点理解解决这个问题就变得明白易懂了

例1 若以连续掷两次骰子分别得到的点数作为点P的坐标，求点P在圆内的概率。

分析：基本事件空间是由点P的坐标组成的集合，

所以，中元素的个数为6×6=36

点P落在圆内为事件A，则A是基本事件空间的子集．

＝｛（1，1），（1，2），（1，3），

（2，1）（2，2），（2，3），（3，1），

（3，2）｝

A中元素的个数为8，

注：此题利用全集和子集的关系，及概率的计算公式解处。

利用集合的运算理解事件的关系，对求出事件的概率有很好的作用

例2：抛掷一颗骰子，求“出现奇数点或2点的概率”

分析：事件A“出现奇数点”；事件B“出现2点”，出现奇数点或2点，就是事件，要求的是

已知事件用集合表示，分析所求是什么样的集合的概率，然后利用公式就很好的解决了问题，尤其是比较复杂的问题，就更能体现出集合的优越性来。

例3：设有10个人抽签，其中三个是中，一个人抽完后，下一个接着抽，求下列事件概率。

：“前两个人都没抽到中”；

“前两个人都抽到中”；

：“前两个人恰有一个抽到中”；

：“第二个人抽到中”。

分析：设表示第个人抽到中，则“前两个人都没抽到中”即为与同时发生，因此，（与不独立）同理：

（与互斥）

或用计算

利用集合的思想，理解事件的关系，很容易把所求事件分解，进而利用所学知识，得到所求事件的概率，可以看到用集合思想解决概率问题方便，简捷，清楚，是一种行之有效的方法。

再有人教B版选修2-3 2.2条件概率与事件的独立性的一道例题，有的地方学生不容易理解，如果用集合的思想去理解，问题就不成为问题了。

例4 设某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，问它能活到25岁的概率是多少?

分析：事件A“能活到20岁”，事件B“能活到25岁”，已知，，求

由条件概率公式有，但已知没有给，需要找的关系，能活到25岁就一定活过了20岁，所以，由集合的关系知，进而，借助了集合的关系，使问题的解决更简单、明了。可以使学生更好的得到和理解

在概率的教学中，突显本章的编写特色，使用集合语言，简洁、准确地表达数学内容。用集合语言和集合运算来表述概率事件，用集合的思想理解概率的有关概念和运算，是很有意义的，这样能使学生较好的掌握本部分内容，具有事半功倍的效果。

参考文献:

1. 人教B版教科书必修3 选择修2-1

2. 概率论与数理统计常生兆等编著

2011-09-29 人教网