5.1空间直角坐标变换
常用的七参数转换法和四参数转换法以及涉及到的基本测量学知识
常⽤的七参数转换法和四参数转换法以及涉及到的基本测量学知识原⽂:1.背景在了解这两种转换⽅法时，我们有必要先了解⼀些与此相关的基本知识。
我们有三种常⽤的⽅式来表⽰空间坐标，分别是：经纬度和⾼层、平⾯坐标和⾼层以及空间直⾓坐标。
2.经纬度坐标系（⼤地坐标系）这⾥我⾸先要强调：天⽂坐标表⽰的经纬度和⼤地坐标系表⽰的经纬度是不同的。
所以，同⼀个经纬度数值，在BJ54和WGS84下表⽰的是不同的位置，⽽以下我说的经纬度均指⼤地坐标系下的经纬度。
⼤地坐标系是⼤地测量中以参考椭球⾯为基准⾯建⽴起来的坐标系。
下⾯我跟⼤家⼤致谈谈其中涉及到的两个重要概念。
2.1⼤地⽔准⾯和⼤地球体地球表⾯本⾝是⼀个起伏不平、⼗分不规则的表⾯，这些⾼低不平的表⾯⽆法⽤数学公式表达，也⽆法进⾏运算，所以在量测和制图时，我们必须找⼀个规则的曲⾯来代替地球的⾃然表⾯。
当海洋静⽌时，它的⾃由⽔⾯必定与该⾯上各点的重⼒⽅向（铅垂直⽅向）成正交，我们把这个⾯叫做⽔准⾯。
但是，地球上的⽔准⾯有⽆数个，我们把其中与静⽌的平均海⽔⾯相重合的⽔准⾯设想成⼀个可以将地球进⾏包裹的闭合曲⾯，这个⽔准⾯就是⼤地⽔准⾯。
⽽被⼤地⽔准⾯包裹所形成的球体即为⼤地球体。
2.2地球椭球体由于地球体内部质量分布的不均匀，引起重⼒⽅向的变化，这个处处与重⼒⽅向成正交的⼤地⽔准⾯边成为了⼀个⼗分不规则的也不能⽤数学来表⽰的曲⾯。
不过虽然⼤地⽔准⾯的形状⼗分的不规则，但它已经是⼀个很接近于绕⾃转轴（短轴）旋转的椭球体了。
所以在测量和制图中就⽤旋转椭球来代替⼤地球体，这个旋转球体通常称地球椭球体，简称椭球体。
2.3常⽤⼤地坐标系不同坐标系，其椭球体的长半径，短半径和扁率是不同的。
⽐如我们常⽤的四种坐标系所对应的椭球体，它们的椭球体参数就各不相同：BJ54坐标系：属参⼼坐标系，长轴6378245m，短轴6356863，扁率1/298.3。
XIAN80坐标系：属参⼼坐标系，长轴6378140m，短轴6356755，扁率1/298.25722101。
空间数据的坐标变换
空间数据的坐标变换空间数据坐标变换的实质是建立两个平面点之间的一一对应关系，包括几何纠正和投影转换，它们是空间数据处理的基本内容之一。
对于数字化地图数据，由于设备坐标系与用户确定的坐标系不一致，以及由于数字化原图图纸发生变形等原因，需要对数字化原图的数据进行坐标系转换和变形误差的消除。
有时，不同来源的地图还存在地图投影与地图比例尺的差异，因此，还需要进行地图投影的转换和地图比例尺的统一（图3一1）。
1.1几何纠正几何纠正是为了实现对数字化数据的坐标系转换和图纸变形误差的改正。
现有的几种商业GIS软件一般都具有仿射变换、相似变换、二次变换等几何纠正功能。
仿射变换与相似变换相比较，前者是假设地图因变形而引起的实际比例尺在／和Y方向上都不相同，因此，具有图纸变形的纠正功能。
(X＝ao＋a,x＋a2Y、VI‘（3一2）’TlY＝b,＋b，x＋b2Y．Y,式（3一2）含有6个参数a。
、a，、a。
、b。
、b．、｝＼ｂＺ，要实现仿射变换，需要知道不在同一直I＼／／‘线上的3对控制点的数字化坐标及其理论ｌ入／《值，才能求得上述6个待定参数。
但在实际！叫应用中，通常利用4个以上的点来进行几何口匕一一一一一一匕‘一一一一一一今ｘ纠正。
下面按最小二乘法原理来求解待定参数：图3一2坐标变换原理设Qs、Q，表示转换坐标与理论坐标之差，则有f 0_＝X一（a-＋a，x＋a.,，）t ((，＝r一} Do＋。
,x＋b2Y）按照〔口几」＝min和「ｅ互」＝min的条件，可得到两组法方程：ra-n＋a，又x＋a,又，二又x、a-,.x十a, J x十a., }, x．v＝Lx．A (i＿4）Ｌ～、、．，．～、，．，．‘，＿灰，2＿又，＿。
v“ao山y十a,山x‘y＋a2山y＝山y’入和f bo n＋b, E x＋b2zy＝}Y（boLx＋b．Z; x`＋b2Zx·y＝Z x·Y（3一5）‘b,艺y＋b,名x"y＋b2艺厂二习Y- Y式中：n为控制点个数；二,y为控制点的数字化坐标；x、Y为控制点的理论坐标。
空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式
§2.3.1 坐标系的分类之相礼和热创作正如后面所提及的,所谓坐标系指的是描绘空间地位的表达方式,即采取什么方法来暗示空间地位.人们为了描绘空间地位，采取了多种方法，从而也发生了分歧的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等.在丈量中经常运用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z 轴指向参考椭球的北极，X 轴指向起始子午面与赤道的交点，Y 轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈90°夹角.某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来暗示.空间直角坐标系可用图2-3来暗示：图2-3 空间直角坐标系二、空间大地坐标系空间大地坐标系是采取大地经、纬度和大地高来描绘空间地位的.纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角；经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地高是空间点沿参考椭球的法线方向到参考椭球面的距离.空间大地坐标系可用图2-4来暗示：图2-4空间大地坐标系三、立体直角坐标系立体直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标经过某种数学变换映射到立体上，这种变换又称为投影变换.投影变换的方法有很多，如横轴墨卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等.在我国采取的是高斯-克吕格投影也称为高斯投影.UTM投影和高斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，只是投影的个别参数分歧而已.高斯投影是一种横轴、椭圆柱面、等角投影.从几何意义上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影.如图左侧所示，想象有一个椭圆柱面横套在椭球里面，并与某一子午线相切（此子午线称为地方子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC’经过椭球中心而与地轴垂直.高斯投影满足以下两个条件：1、它是正形投影；2、地方子午线投影后应为x轴，且长度坚持不变.将地方子午线东西各肯定经差（一样平常为6度或3度）范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线展开，便构成了高斯立体直角坐标系，如下图２－５右侧所示.图2-5 高斯投影x 方向指北，y 方向指东.可见，高斯投影存在长度变形，为使其在测图和用图时影响很小，应相隔肯定的地区，另立地方子午线，采纳分带投影的法子.我国国家丈量规定采取六度带和三度带两种分带方法.六度带和三度带与地方子午线存在如下关系：366-N L ＝中； n L 33＝中其中，N 、n 分别为6度带和3度带的带号.另外，为了防止y 出现负号，规定y 值以为地加上500000m ；又为了区别分歧投影带，后面还要冠以带号，如第20号六度带中，y=-200.25m ，则成果表中写为y 假定＝20499799.75m.x 值在北半球总显正值，就无需改变其观测值了.1、空间直角坐标系与空间大地坐标系间的转换图２－６暗示了空间直角坐标系与空间大地坐标系之间的关系.图2-6 地球空间直角坐标系与大地坐标系在相反的基准下空间大地坐标系向空间直角坐标系的转换公式为：⎪⎭⎪⎬⎫+-=+=+=B H e N Z L B H N Y L B H N X sin ])1([sin cos )(cos cos )(2 (2-1)式中，W aN =，a 为椭球的长半轴，N 为椭球的卯酉圈曲率半径 a =6378.137km2222a b a e -=，e 为椭球的第一偏爱率，b 为椭球的短半轴 在相反的基准下空间直角坐标系向空间大地坐标系的转换公式为⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫-Φ=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+Φ=N B R H X Y arctg L W B Z ae tg arctg B cos cos sin 12(2-2) 式中2、空间坐标系与立体直角坐标系间的转换空间坐标系与立体直角坐标系间的转换采取的是投影变换的方法.在我国一样平常采取的是高斯投影.由于高斯投影和UTM 投影都是横轴墨卡托的特例，因此，高斯投影和UTM 投影都可以套用横轴墨卡托投影的投影公式.横轴墨卡托投影的投影的正反算公式可拜见有关材料，它们的区别在于轴子午线投影到立体上后，其长度的系数，对于高斯投影，系数为1，对于UTM 投影，其系数为.3、变动高程回化面的影响用户在建立地方独立坐标系时，偶然变动高程回化面，这将发生一个新椭球，这就必须计算新常数，新椭球常数按下列方法和步调进行：1) 新椭球是在国家坐标系的参考椭球上扩大构成的，它的扁率应与国家坐标系参考椭球的扁率相称，即a a ='. 2) 计算该坐标系地方地区的新椭球均匀曲率半径和新椭球长半轴.新椭球均匀曲率半径为：m mm m m m H B e e a H W a W e a H MN H R R +--=+-=+=+=22232sin 11)1('(2.10) 式中m H ───该地区均匀大地高；m B ───该地区的均匀纬度.新椭球的长半轴按下式计算：2221sin 1''e B e R a m--=(2.11)将新的椭球参数代入，就可以进行投影的正反计算了.二、坐标零碎的转换方法分歧坐标零碎的转换本质上是分歧基准间的转换，分歧基准间的转换方法有很多，其中最为经常运用的有布尔沙模型，又称为七参数转换法.七参数转换法是：设两空间直角坐标系间有七个转换参数：3 个平移参数()z y x ∆∆∆、3 个旋转参数()z y x εεε和 1 个尺度参数k .比方，由空间直角坐标系A 转换到空间直角坐标系B 可采取上面的公式：§2.3.4 GPS 丈量中经常运用的坐标零碎一、世界大地坐标系WGS-84WGS-84 坐标系是如今GPS 所采取的坐标零碎，GPS 所发布的星历参数和历书参数等都是基于此坐标零碎的.WGS-84 坐标零碎的全称是World Geodical System-84 (世界大地坐标系-84), 它是一个地心肠固坐标零碎.WGS-84 坐标零碎由美国国防部制图局建立，于1987 年取代了当时GPS 所采取的坐标零碎WGS-72 坐标零碎而成为如今GPS 所运用的坐标零碎.WGS-84 坐标系的坐标原点位于地球的质心，Z 轴指向BIH1984.0 定义的协议地球极方向，X 轴指向BIH1984.0 的启始子午面和赤道的交点，Y 轴与X 轴和Z 轴构成右手系.WGS-84 系所采取椭球参数为见表2.1.二、1954 年北京坐标系1954 年北京坐标系是我国如今广泛采取的大地丈量坐标系.该坐标系源自于原苏联采取过的1942 年普尔科夫坐标系.该坐标系采取的参考椭球是克拉索夫斯基椭球.该椭球的参数见表2.1.遗憾的是该椭球并未根据当时我国的地理观测材料进行重新定位，而是由前苏联西伯利亚地区的一等锁经我国的东北地区传算过来的，该坐标系的高程异常是从前苏联1955 年大地水准面重新平差的结果为起算值，按我国地理水准路线推算出来的，而高程又是以1956 年青岛验潮站的黄海均匀海水面为基准.由于当时条件的限定1954 年北京坐标系存在着很多缺陷次要表示在以下几个方面：1. 克拉索夫斯基椭球参数同当代精确的椭球参数的差别较大，而且不包含暗示地球物理特性的参数，因此给理论和实践工作带来了许多方便.2. 椭球定向不非常明白，椭球的短半轴既不指向国际通用的CIO 极，也不指向如今我国运用的JYD极.参考椭球面与我国大地水准面呈西高东低的零碎性倾斜，东部高程异常达60余米，最大达67 米.3. 该坐标零碎的大地点坐标是经过局部分区平差得到的.因此天下的地理大地操纵点实践上不克不及构成一个团体，区与区之间有较大的隙距，如在有的接合部中同一点在分歧区的坐标值相差1-2 米，分歧分区的尺度差别也很大，而且坐标传递是从东北到东南和东北，后一区是从前一区的最弱部作为坐标起算点，因此一等锁具有分明的坐标积存偏差.三、1980 年西安大地坐标系1978 年我国决定重新对天下地理大地网实施团体平差，而且建立新的国家大地坐标零碎.团体平差在新大地坐标零碎中进行，这个坐标零碎就是1980 年西安大地坐标零碎.1980 年西安大地坐标零碎所采取的地球椭球参数的四个几何和物理参数采取了IAG 1975 年的引荐值，见表2.1中的西安80.椭球的短轴平行于地球的自转轴（由地球质心指向1968.0 JYD 地极原点方向），起始子午面平行于格林尼治均匀地理子午面，椭球面同似大地水准面在我国境内符合最好，高程零碎以1956 年黄海均匀海水面为高程起算基准.四、几种经常运用的坐标零碎的几何和物理参数下表列出了几种经常运用的坐标零碎的几何和物理参数，用户必要时可以查阅：表 2.1 GPS 丈量中经常运用的坐标零碎的几何和物理参数§2.4 GPS高程零碎在丈量中经常运用的高程零碎有大地高零碎、正高零碎和正常高零碎.§2.4.1 大地高零碎大地高零碎是以参考椭球面为基准面的高程零碎，某点的大地高是该点到经过该点的参考椭球的法线与参考椭球面的交点间的距离.大地高也称为椭球高.大地高一样平常用符号H 暗示.大地高是一个纯几何量，不具有物理意义，同一个点在分歧的基准下具有分歧的大地高.通常，GPS接收机单点定位得到的高程为WGS-84下的大地高.§2.4.2 正高零碎正高零碎是以大地水准面为基准面的高程零碎，某点的正高是该点到经过该点的铅垂线与大地水准面的交点之间的距离.正高用符号 H g暗示.§2.4.3 正常高正常高零碎是以似大地水准面为基准的高程零碎，某点的正常高是该点到经过该点的铅垂线与似大地水准面的交点之间的距离，正常高用 H γ 暗示.§2.4.4高程零碎之间的转换关系大地水准面到参考椭球面的距离称为大地水准面差距，记为 h g ，大地高与正高之间的关系可以暗示为：正 高：g g h H H -=似大地水准面到参考椭球面的距离，称为高程异常，记为ζ.大地高与正常高之间的关系可以暗示为：正常高：ζγ-=H H高程之间的互相关系可以用下图2-7来暗示：图2-7 高程零碎间的互相关系。
测量学-第五章 坐标测量
1/3
F1：数据采集
F2：放样
F3：存储管理 P↓
选择一个文件
数据采集
1/2
FN：
F1：输入测站点
F2：输入后视点
输入 调用 - - - 回车 F3：测量
P↓
数据采集
2/2
F1：选择文件
F2：输入编码
F3：设置
P↓
F1 F2 F3 F4
F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4 F1 F2 F3 F4高斯投ຫໍສະໝຸດ 的关系式高斯平面直角坐标系
500km
第X带
国家统一高斯通用直角坐标
（1）为了避免横坐标出现负值，故规定将坐标纵轴向西平移500km。 即将自然值的横坐标Y加上500000米； （2）为了根据横坐标能确定该点位于哪一个六度带内，再在新的横 坐标Y之前标以带号。
X
X'
o
O'
500km
Y 图2-13
高斯平面直角坐标系的建立 是采用横轴椭圆柱等角投影 方法。
中央子午线 N
o
高斯(Gauss,1777-1855)， 德国数学家，天文学 家，物理学家。
高斯投影
1.中央子午线和地球赤道投影成为直线 且为投影对称轴； 2.等角投影，经纬线投影后保持相互垂 直关系； 3.中央子午线上没有长度变形。
分带投影：将地球按一定的经差值分割成若干带,按一 定的投影方法进行投影。 一般采用按经差6°和3°进行投影分带。
地面点的坐标是它沿铅垂线在大地 水准面上投影点的经度和纬度
（ , ）
正高是地面点沿铅垂线到大地水准 面的距离
N
P
首
子 午
O
线
赤道
大地水准面 S
坐标系之间的换算
• §1 三维坐标系间的变换 • §2 二维坐标系间的变换 • §3 一维坐标系间的变换
§1 三维坐标系间的变换
地球坐标系统 表示方式
笛卡儿坐标
曲线坐标
平面直角坐标
坐标系 中心
地心
参心
站心
参 考 面
总地球椭球 参考椭球
地心大地 坐标系 参心大地 坐标系
大地体
天文 坐标系
投影平面
T
B B1 B2 Bn
X 0 Y0 Z 0 Y dK X Y Z
则误差方程 法方程
ˆL VX BY X ˆ BT PL 0 BT PBY X
Z
0 X
Y X i 0 X Yi Z i 0 Z i Yi
有
dB dX 1 1 da d L A d Y A C d dH dZ X X da A1 Y A1 Y A1C d Z Z T X 0 0 X A1 Y0 A1 Y dK A1 Z i Z Y Z 0 i Zi 0 Xi Yi X X X da X i Y A 1 Y A 1 Y A 1C d 0 Z Z Z
顾及
0 QX i Z X Yi Z i 0 Z i Yi
Zi 0 Xi
Yi X X i Y 0 Z
高等数学教材下册目录
高等数学教材下册目录第一章：极限与连续1.1 极限的概念与性质1.1.1 数列极限的定义1.1.2 常用的数列极限1.1.3 函数极限的定义1.1.4 常用的函数极限1.2 极限运算法则1.2.1 有界函数的极限1.2.2 极限的四则运算法则1.2.3 极限的复合运算法则1.3 连续与间断1.3.1 连续函数的定义1.3.2 间断点与间断类型1.3.3 切线与连续函数的性质第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.1.1 导数的定义2.1.2 微分中值定理2.1.3 罗尔中值定理2.2 常用函数的导数与微分2.2.1 幂函数与指数函数的导数2.2.2 对数函数与反三角函数的导数 2.2.3 反函数与隐函数的导数2.3 高阶导数与高阶微分2.3.1 高阶导数的定义2.3.2 微分法的应用2.4 凹凸性与曲线的形状2.4.1 凹凸性的判定条件2.4.2 拐点与曲率第三章：定积分与不定积分3.1 定积分的概念与性质3.1.1 定积分的定义3.1.2 定积分的性质与运算3.1.3 定积分的几何应用3.2 不定积分与原函数3.2.1 不定积分的定义与性质3.2.2 基本积分公式与换元法3.2.3 分部积分法与定积分求值3.3 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的应用 3.3.1 牛顿—莱布尼兹公式的表述3.3.2 定积分的物理应用3.4 定积分的近似计算3.4.1 零散数据的近似积分计算3.4.2 定积分上和下的近似计算第四章：微分方程4.1 微分方程的基本概念4.1.1 微分方程的定义与解4.1.2 初等函数与初等微分方程4.1.3 常见的一阶微分方程4.2 可分离变量与线性微分方程4.2.1 可分离变量的微分方程4.2.2 线性微分方程的解法4.2.3 齐次和非齐次线性微分方程4.3 高阶线性微分方程4.3.1 高阶线性微分方程的解法4.3.2 常系数与非齐次线性微分方程 4.4 变量可分离与齐次微分方程4.4.1 变量可分离的微分方程4.4.2 齐次微分方程的解法4.5 常见微分方程的物理与几何应用 4.5.1 指数增长模型与对数增长模型 4.5.2 简谐振动与受阻振动4.5.3 驻点与稳定性分析第五章：向量与空间解析几何5.1 空间直角坐标系与向量的基本概念 5.1.1 空间直角坐标系的建立5.1.2 空间向量的定义与运算5.1.3 向量的数量积与数量积的几何应用 5.2 空间中的直线和平面5.2.1 空间中直线的方程及性质5.2.2 空间中平面的方程及性质5.3 空间曲面与二次曲线5.3.1 空间曲面的分类与方程5.3.2 二次曲线的分类与方程5.3.3 曲面与曲线的几何应用5.4 空间解析几何的应用5.4.1 空间几何的物理与工程应用5.4.2 空间几何的计算机图形学应用第六章：多元函数与偏导数6.1 多元函数的概念与性质6.1.1 多元函数的定义与取值空间6.1.2 多元函数的极限与连续6.1.3 多元函数的偏导数6.2 多元函数的方向导数与梯度6.2.1 多元函数的方向导数6.2.2 多元函数的梯度与最速上升方向 6.3 多元复合函数与隐函数6.3.1 多元复合函数的求导法则6.3.2 多元隐函数的求导法则6.3.3 多元隐函数的微分与线性近似 6.4 多元函数的极值与条件极值6.4.1 多元函数的极值与极值判定条件 6.4.2 多元函数的条件极值与约束条件 6.5 多元函数的泰勒公式与误差估计6.5.1 多元函数的二阶泰勒公式6.5.2 误差估计与局部线性化第七章：重积分7.1 重积分的概念与性质7.1.1 二重积分的定义与性质7.1.2 二重积分的计算与重要定理7.2 二重积分与坐标变换7.2.1 极坐标系下的二重积分 7.2.2 广义换元公式与坐标变换 7.3 三重积分的概念与计算7.3.1 三重积分的定义与性质 7.3.2 直角坐标系下的三重积分 7.4 三重积分与坐标变换7.4.1 柱面坐标系下的三重积分 7.4.2 球面坐标系下的三重积分 7.5 重积分的应用7.5.1 重心、质心与形心7.5.2 质量、质心与转动惯量 7.5.3 重积分的物理与几何应用第八章：曲线积分与曲面积分8.1 曲线积分的概念与性质8.1.1 曲线积分的定义与性质 8.1.2 第一类曲线积分的计算 8.1.3 第二类曲线积分的计算8.2 曲线积分的应用8.2.1 质量、质心与转动惯量8.2.2 流量与环量8.3 曲面积分的概念与性质8.3.1 曲面积分的定义与性质8.3.2 曲面积分的计算与重要定理 8.4 曲面积分的应用8.4.1 曲面的质量与曲面的质心8.4.2 流量与散度定理8.4.3 曲面积分的物理与几何应用第九章：无穷级数与傅里叶级数9.1 无穷级数的概念与性质9.1.1 数项级数的收敛性判定9.1.2 幂级数的收敛域与求和9.1.3 函数展开成级数9.2 函数项级数的点态与一致收敛性 9.2.1 函数项级数的定义与性质9.2.2 函数项级数的收敛定理9.3 傅里叶级数与傅里叶级数展开9.3.1 傅里叶级数的定义与性质9.3.2 傅里叶级数的收敛定理9.4 傅里叶级数的应用9.4.1 周期信号与频谱分析9.4.2 偏微分方程的分离变量法此为《高等数学教材下册》目录，供参考学习之用。
第五章 坐标测量
12
arctan
y2 x2
y1 x1
arctan
525.72 3814.29 2404.50 4342.99
239
28'56''
§5.3 全站仪及其使用
一、概述
全站仪（Total Station），是全站型电子速测仪的简称。 它由电子测角、光电测距、微处理机及其软件组成，在测 站上能完成测量水平角、竖直角、斜距等，并能自动计算 平距、高差、方位角和坐标等全部基本测量工作，还可以 将测量数据传输给计算机实现测图的自动化。
x (N H ) cos B cos L
y
(N
H ) cos B sin L
；
z [N (1 e2 )＋H ]sin B
式中，N—P点的卯酉圈曲率半径；
—第e 一偏心率。
a N
1 e2 sin2 B
e2
a2 b2 a2
；
（X,Y,Z） （B,L,H）
B
arctan[tan
(1
ae2
F3
F4
图5-2 角度测量模式菜单
页数
第1页 （P1）
第2页 （P2）
第3页 （P3）
软键 F1 F2
F3 F4 F1 F2
F3 F4 F1
F2 F3 F4
表5－2 角度测量模式各键和显示符号的功能表
显示符号
功能
置零 锁定
将当前视线方向的水平度盘读数设置为0 将当前视线方向的水平度盘读数锁定
退出键
返回上一级状态或返回测量模式
电源开关键
电源开关
软键（功能键） 对应于显示的软键信息
数字键
输入数字和字母、小数点、负号
坐标系转换专题
换带计算目前广泛采用高斯投影坐标正反算方法
首先将某投影带的已知平面坐标(x1,y1 )，按高斯投影坐标反算公式求得其大地
坐标（B,L）；然后根据纬度B和对于所选定的中央子午线的经差
，按高斯
投影坐标正算公式求其在选定的投影带的平面坐标（x2,y2）。
特点;
（1）是综合GDZ80和BJ54旧 建立起来的参心坐标系。 （2）采用多点定位。但椭球面与大地水准面在我国境内不是最佳拟合。 （4）定向明确。 （5）大地原点与GDZ80相同，但大地起算数据不同。 （6）与BJ54旧 相比，所采用的椭球参数相同，其定位相近，但定向不同。 （7） BJ54旧 与BJ54新 无全国统一的转换参数，只能进行局部转换。
高斯投影的规律： (1) 中央子午线的投影为一条直线，且投影之后的长度无变形；其余子午
线的投影均为凹向中央子午线的曲线，且以中央子午线为对称轴，离对称轴越 远，其长度变形也就越大，变形最大之处在投影带内赤道的两端。
(2) 赤道的投影为直线，其余纬线的投影为凸向赤道的曲线，并以赤道为 对称轴；
(3) 经纬线投影后仍保持相互正交的关系，即投影后无角度变形；
2000国家大地坐标系
2000国家大地坐标系是全球地心坐标系在我国的具体体现 ，其原点为包括海洋和大气的整个地球的质量中心.
a．属地心大地坐标系； c ．原点为地球的质心； b．CGCS2000与WGS84采用的参考椭球非常接近.
目前利用空间技术所得到的定位和影像等成果，都是 以地心坐标系为参照系。
特点: （1）椭球面同似大地水准面在我国境内最为密合，是多点定位。 （2）定向明确。
新1954年北京坐标系
考研数学之高等数学讲义第五章（考点知识点+概念定理总结）
82 第五章 向量代数与空间解析几何§5.1 向量代数(甲)内容要点内容要点一、空间直角坐标系一、空间直角坐标系 二、向量概念二、向量概念®a ＝®i x +®j y +®k z坐标()z y x ,,模®a ＝222z y x ++ 方向角g b a ,,方向余弦g b a cos ,cos ,cosa cos ＝222zy x x ++ ；b cos ＝222zy x y ++ ；g cos ＝222zy x z ++三、向量运算三、向量运算设®a ()11,1,z y x ；®b ()22,2,z y x ；®c ()33,3,z y x 1． 加（减）法加（减）法®a ±®b ＝()2121,21,z z y y x x ±±± 2． 数乘数乘 ()111,,z y x a l l l l =®3． 数量积（点乘）（ⅰ）定义®a ·®b =®a®b ÷øöçèæ®®Ðb a ,cos （ⅱ）坐标公式®a ·®b =21x x +21y y +21z z （ⅲ）重要应用®a ·®b =0Û®a ^®b4．向量积（叉乘）（ⅰ）定义®a ´®b ＝®®ba ÷øöçèæ®®Ðb a ,sin ®a ´®b 与®a 和®b 皆垂直，且®a ，®b ，®a ´®b 构成右手系构成右手系83（ⅱ）坐标公式®a ´®b =222111z y x z y x k j i®®®（ⅲ）重要应用®a ´®b =®0Û®a ，®b 共线共线5、混合积、混合积 （ⅰ）定义（ⅰ）定义（®a ，®b ，®c ）＝（®a ´®b ）·®c （ⅱ）坐标公式（®a ，®b ，®c ）=333222111z y x z y x z y x （ⅲ）÷øöçèæ®®®c b a ,,表示以®a ，®b ，®c 为棱的平行六面体的体积为棱的平行六面体的体积§5.2 平面与直线（甲）内容要点（甲）内容要点一、一、 空间解析几何空间解析几何1 空间解析几何研究的基本问题。
理论力学第五章——点的运动
'
当Δt 0， Δv/Δt的极限称为点在瞬时t的加速度：
v dv d 2 x a lim 2 x t 0 t dt dt
5.1 点的直线运动
已知加速度或速度方程， 采用积分法 求运动方程 ，积 分常数由运动初始条件决定。 dv a dv adt dt v t dv adt
由于
dτ dτ ds dτ ds v n dt dt ds ds dt
所以
dv v a τ n dt
2
5.4 自然法
4 点的切向加速度和法向加速度
dv v a τ n dt
上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它 表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 an的方向永 远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方 向随时间的变化率。
2 t 2
2
at tan | | 0.25 an
2
5.4 自然法
全加速度为aτ和an的矢量和
a at an
全加速度的大小和方向由下列二式决Leabharlann ： 大小：a at an
2
2
方向：
at an cos(a ,t ) , cos(a ,n ) a a
5.4 自然法
如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动 点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规 律。 at c
dτ τ j 1 lim lim n n ds s 0 s s 0 s
t"
5.4 自然法
3 点的速度
r s ds v lim lim t 0 t t 0 t dt
工程测量规范GB50026-2007地形测量
工程测量规范GB50026-2007地形测量一般规定5．1．1 地形图测图的比例尺，根据工程的设计阶段、规模大小和运营管理需要，可按表选用。
地形图可分为数字地形图和纸质地形图，其特征按表 5．1．2 分类。
地形的类别划分和地形图基本等高距的确定，应分别符合下列规定：应根据地面倾角(α)大小，确定地形类别。
地形图的基本等高距，应按表 5．1．3 选用。
地形测量的区域类型，可划分为一般地区、城镇建筑区、工矿区和水域。
地形测量的基本精度要求，应符合下列规定：地形图图上地物点相对于邻近图根点的点位中误差，不应超过表 5．1．5-1 的规定。
等高(深)线的插求点或数字高程模型格网点相对于邻近图根点的高程中误差，不应超过表5．1．5-2 的规定。
工矿区细部坐标点的点位和高程中误差，不应超过表 5．1．5-3 的规定。
地形点的最大点位间距，不应大于表 5．1．5-4 的规定。
地形图上高程点的注记，当基本等高距为 0．5m 时，应精确至 0．0lm；当基本等高距大于 0．5m 时，应精确至 0．1m。
地形图的分幅和编号，应满足下列要求：地形图的分幅，可采用正方形或矩形方式。
图幅的编号，宜采用图幅西南角坐标的千米数表示。
带状地形图或小测区地形图可采用顺序编号。
对于已施测过地形图的测区，也可沿用原有的分幅和编号。
地形图图式和地形图要素分类代码的使用，应满足下列要求：地形图图式，应采用现行国家标准《l：500 1：1000 1：2000 地形图图式》GB／T 7929 和《1：5000 1：10000 地形图图式》GB／T 5791。
地形图要素分类代码，宜采用现行国家标准《1：500 1：1000 1：2000 地形图要素分类与代码》GB 14804 和《1：5000 1：10000 1：25000 1：50000 1：100000 地形图要素分类与代码》GB ／T 15660。
对于图式和要素分类代码的不足部分可自行补充，并应编写补充说明。
《线性代数(修订版)》教学课件 5.1 向量空间的定义
对线性运算是封闭的，称为零空间.
除了Байду номын сангаас空间 V 0 外，任何向量空间都含
有无穷多个向量.如上八条也可作为向量空间的 等价定义.
例．1：2维向量的全体 2是一个向量空间
因为任意两个2维向量之和仍然是2维向量，数 乘2维向
量也仍然是2维向量，它们都属于 2．可以用直角坐标平面 内的有向线段形象地表示2维向量，从而向量空间 2也可形 象地看作平面内以坐标原点为起点的有向线段的全体．由于 以原点为起点的有向线段与其终点一一对应，因此 2也可看 作取定坐标原点的点空间．
这是因为 x1 1a 1b , x2 2a 2b 则有
x1 x2 (1 2 )a (1 2 )b L kx1 (k1 )a (k 1 )b L
称这个空间向量为由向量 a, b所生成的空间向量. 一般地，称集合
L x 1a1 2a2 ... mam | 1, 2 , ..., m
同理可证，若 x L2 ，则有 x L1 ，即 L2 L1 所以 L1 L2 .
§5.1.2 向量空间的子空间
定义2
设向量空间 v1 ，v2 ，若 v1 v2 ，称 v1 是 v2 的子空间
例3 中齐次线性方程组的解空间 S x | Ax 0 ， 是 n维向量的全体向量空间 n 的一个子空间.事实上,例2到
（3） V中有零向量 ，对 V中任意向量 α 都有 0 ；
(4) 对 V中任意向量 ，都有一个向量 V ，使得 0 ， 记 ，称为 α 的负向量.
(5) 1 ;
(6) k(l ) (kl);
(7) (k l)α kα lα ; (8) k( ) k k ;
注：
应注意，非齐次线性方程组的解集
摄影测量试题库
6.7 摄影测量中为了恢复左右片的相对位置关系，可以根据左右片上的 同名像点与摄影基
线共核面 的几何条件，采用相对定向方法来实现，数学模型为 共面条件方程 ，至少需 要 5 对 同名像 点解求 5 个相对定向元素，相对定向完成的标志是上下视察 q=0 。
7.1 摄影机的镜头中心相对于影像位置关系的参数称为影像的 内方位 元素，符号表示
线共核面 的几何条件，采用相对定向方法来实现，数学模型为 共面条件方程 ，至少需 要 5 对 同名像 点解求 5 个相对定向元素。
6.3 摄影测量中为了恢复左右片的相对位置关系，可以根据左右片上的 同名像点与摄影基
线共面
的几何条件，采用相对定向方法来实现，数学模型为 共面条件方程 ，至
少需要 5 对同名像点解求 5 个相对定向元素，其中固定左光束不变，移动和旋转右光束
射 以及地球曲率 等。
3.2 摄影测量影像像点坐标的系统误差主要有摄影材料的变形、镜头畸变差 、 大气折光差
以及 地球曲率 等。
3.3 等比线将像片分为三部分，等比线上的点比例尺等于 f ，含主点部分的比例尺 小于 H
f ，含底点部分的比例尺 大于 f 。
H
H
4.1 摄影测量学的发展经历了 模拟摄影测量 、 解析摄影测量 和 数字摄影测量
分）。外方位元素有六个，其中三个线元素确定摄影中心在所取空间直角坐标系中的坐标（1 分），三个角元表示摄影光束的姿态（1 分）。
2.3 中心投影：所有投射线或其延长线都通过一个固定点的投影，叫做中心投影。（3 分） 2.4 主合点：地面上一组平行于摄影方向线的光束在像片上的构像。（3 分） 2.5 核面：过摄影基线与地面上任一点的平面称为该点的核面。（3 分） 2.6 核线：核面与像平面的交线。（3 分） 2.7 地主点：相机主光轴与物平面的交点。 2.8 像底点：过投影中心作铅垂线与像平面的交点。 2.9 地底点：过投影中心作铅垂线与物平面的交点。 2.10 像等角点：过投影中心作∠OSN 的平分线与像平面的交点。 2.11 地等角点：过投影中心作∠OSN 的平分线与像平面的交点。 2.12 像主点：相机主光轴与像平面的交点。
坐标系转换
坐标系的种类坐标转换的意义不同的导航定位系统使用不同的空间坐标系，即通过它们的卫星星历和历书所提供的卫星轨道信息所默认采用的空间坐标系。
当利用单一GNSS的定位、定速结果自然也表达在此GNSS空间坐标系中。
但是在利用多个GNSS联合定位、定速应用中，我们原则上应该首先将所有不同的GNSS卫星的轨道信息都变换到统一空间坐标系中，然后所进行的实质性定位、定速解算才具有正确的物理意义。
一般而言，我们从伪距测量的得到的位置信息为三维坐标，但是为方便使用，我们通常将其转换为我们更为熟悉的大地坐标系，它通过给出一点的大地纬度、大地经度和大地高度，更加直观地告诉我们该点在地球中的位置。
各系统所使用坐标系1.GPSGPS采用了由美国国防部(DoD)下属的国防制图局(DMA)制定的世界大地坐标系(WGS), 经过多次的修改和完善，最终确定了将1984年版的大地坐标系(WGS-84)作为标准。
2.GalileoGalileo系统所采用的空间坐标系基于国际地球参考框架(ITRF)。
ITRF是由国际地球自转（及参考服务系统）服务（IERS）负责建立、维持的一个地心直角坐标系，也是国际公认的最为精确的全球参考框架。
而Galileo系统所采用的是2005版的国际地球参考框架。
3.GLONASSGLONASS原先采用前苏联的1985地心坐标系SGS-85，后再1994年改为SGS-90，前苏联解体之后SGS-90逐渐改名为PZ-90，和GPS的WGS-84一样，PZ-90也是一个自成一体的地心地固直角坐标系。
4.BeiDou我国的BeiDou卫星系统最先采用1954北京坐标系和1985高程基准的组合，但此坐标系统并不能满足导航卫星厘米级的定位精度，后来改为2000国家大地坐标系（CGCS2000）。
不同的定位系统坐标系不同，对于GPS 的WGS-84和Galileo 的ITRF ，他们的差异非常细微，在10cm 范围内，但是WGS-84与GLONASS 的PZ-90和BeiDou 的CGCS2000之间的差异却不能忽略。
空间解析几何
空间解析几何（Space Analytic Geometry）课程编号：（由教务处统一编写）学分：3学时：45 （其中：讲课学时：45 实验学时：上机学时：）先修课程：无适用专业：数学各专业1年级教材：(教材名称；主编；出版社、版次)蔡国梁等主编，解析几何教程，江苏大学出版社，2012开课学院：理学院一、课程的性质与任务：《解析几何》是高等学校本、专科数学与应用数学、信息与计算专业的一门重要基础课，是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石，也是江苏大学重点建设的“842”核心课程之一。
自江苏大学成立以来，《空间解析几何》课程一直是我系数学与应用数学专业（师范和非师范）及信息与计算科学专业的一门重要的专业基础课程，课时数为45课时，在第1学期开设。
解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。
通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。
学好空间解析几何是学生学好其他后继数学课程的基础，数学知识和能力的培养需要通过系统、扎实而严格的基础教育来实现，空间解析几何课程正是其中最重要的一个环节。
数学分析、高等代数和解析几何是大学数学类专业的三大主要基础课程。
解析几何是用代数的方法来研究几何，从而把几何问题的讨论，从定性的研究推进到可以计算的定量的层面，“数形结合”是解析几何的精髓。
解析几何是现代数学区别于经典数学的里程碑。
《空间解析几何》是初等数学通向高等数学的桥梁，是数学专业课的基石。
空间解析几何是用坐标法和向量法作为主要的研究工具，用代数方法来研究几何图形的几何学,它把数学的基本对象与数量关系密切联系起来，它对整个数学的发展起了很大作用。
空间解析几何，作为高等师范学校数学系开设的一门专业课，它是培养初中数学教师知识体系的一部分，是构成合格的初中数学教师的智能结构中的一个元素.它是由中学的平面几何、立体几何发展起来的几何学的一个分支。
GPS测量常用坐标系统及相互转换
GPS测量常用坐标系统及坐标转换摘要：本文GPS测量常用坐标系统，以及GPS静态、动态测量中坐标变换的参数和方法。
关键词：GPS；坐标系统；坐标转换GPS（Global Positioning System）即全球定位系统，是由美国建立的一个卫星导航定位系统。
它具有全球性、全天候、连续性和实时性的精密三维导航与定位功能，现已广泛用于大地测量、工程测量、航空摄影测量以及地形测量等各个方面。
相对于常规测量来说，GPS 测量具有测量精度高、测站间无需通视、观测时间短、仪器操作简便、全天候作业、可提供三维坐标等特点。
大大地提高了测量效率和精度。
但是由于坐标系统的不同，面临着大量的坐标转换问题。
对GPS技术的推广使用造成了一定的障碍。
本文就GPS测量常用坐标系统及坐标转换的原理和方法，根据作者的理解介绍如下。
一、GPS测量常用坐标系统及投影一个完整的坐标系统是由坐标系和基准两方面要素所构成的。
坐标系指的是描述空间位置的表达形式，而基准指的是为描述空间位置而定义的一系列点、线、面。
在大地测量中的基准一般是指为确定点在空间中的位置，而采用的地球椭球或参考椭球的几何参数和物理参数，及其在空间的定位、定向方式，以及在描述空间位置时所采用的单位长度的定义。
大地基准面是利用特定椭球体对特定地区地球表面的逼近，每个国家或地区均有各自的大地基准面，因此相对同一地理位置，不同的大地基准面，它们的经纬度坐标是有差异的。
基准面是在椭球体基础上建立的，但椭球体不能代表基准面，同样的椭球体能定义不同的基准面。
1、坐标系统的分类1.1、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极，X轴指向起始子午面与赤道的交点，Y轴位于赤道面上，且按右手系与X轴呈90 夹角。
某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各个坐标轴上的投影来表示。
1.2、空间大地坐标系空间大地坐标系是采用大地经度（L）、大地纬度（B）和大地高（H）来描述空间位置的。
空间直角坐标系转换
X2 X1 X 0 Y Y Y 2 1 0 Z2 Z1 Z 0
• 式中，X0，Y0，Z0为旧坐标原点相对于新坐标原点在三个坐标 轴上的分量，通常称之为三个平移参数。 • 条件： • 三参数坐标转换公式在假设两坐标系间各坐标轴相互平行， 轴系间不存在欧勒角的条件下得出的。 • 实际应用中，因为欧勒角不大，可以用三参数公式近似的进 行空间直角坐标系统的转换。
X , Y , Z 很小时 ：
X 2 1 Y Z 2 ε Z 2 ε Y
ε Z
1 X ε
Y X 1 ε ε Y1 X 1 Z1
空间直角坐标系的转换
• 2.三参数法
• 设两个空间直角坐标系分别为O1-X1Y1Z1与O2-X2Y2Z2，它们 的原点不一致，相应的坐标轴平行，则有：
ε Z
0 X ε
Y X 1 X 10 ε ε Y1 Y10 X 0 Z 1 Z 10
空间直角坐标系的转换
• 实际应用中，公共点较多时，存在问题： • 1.公共点已知坐标与测量新坐标都不可避免的会有误差， 会影响转换参数的精度。 • 2.公共点转换以后的坐标与已知坐标有差值。 • 这时可以选择部分已知公共点求解转换参数，转换后的公 共点的坐标与已知点的坐标进行比较，差异大的公共点不 再作为公共点，选择差异小的公共点再求解转换参数，这 样进行坐标转换后，转换后的公共点的坐标差异会减至最 小。 • 当公共点较多时，还可以增加转换参数的个数，转换已知 点的差异会变得很小，达到一定的精度要求。
பைடு நூலகம்
空间直角坐标系的转换
• 1.欧勒角
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5.1.1 移轴变换 (Axis transformation)
设坐标系O-xyz与O' -x'y' z'的原点O与O'不同, O'在旧坐标 系下的坐标为(x0,y0,z0),但是坐标向量相同i' = i, j' = j, k' = k,(图 5-1)这时新坐标系可以看成由O-xyz平移到使O与O' 重合而得 来,这种情况下的坐标变换称为移轴.
现在推导移轴变换公式. 设P为空间任意一点,它在O-xyz与O' -x'y' z'下的坐标分别是(x,y,z)
与(x', y', z'),
OP OO OP
OP xi yj zk
OP xi yj zk xi yj zk
OO x0i y0 j z0k
设两个右手坐标系O-xyz与O' -x' y' z'的原点相同,但坐标 向量i,j,k与i',j',k'不同,这时新坐标系可以看成由旧坐标系绕原 点旋转,使得i,j,k分别与i',j',k'重合得到的,这种情况下的坐标 变换称为转轴.
下面推导转轴变换公式.
具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完全由新、旧坐标轴 之间的夹角来决定,列表如下：
x x
cos1 cos 1
y y
cos2 cos 2
z z
cos cos
3 3
, ,
x xcos1 ycos 2 zcos 3.
这就是空间直角坐标变换的转轴公式.转轴的逆变换公式为：
x y
x cos1 x cos2
将i',j',k'代入得
xi yj zk xcos1 ycos2 z cos3 i x cos 1 y cos 2 z cos 3 j xcos1 ycos 2 zcos 3 .
于是有
x y
xi yj zk (x x0)i (y y0) j (z z0)k
利用向量相等则对应坐标相等
所以有
x y
x y
x0 , y0（, 5.1-1）
z z z0.
这就是空间直角坐标系的移轴公式. 从(5.1-1)解出(x', y', z')，就得到移轴的逆变换公式
k i cos3 j cos3 k cos 3
设空间任意一点P,它的旧坐标为(x,y,z),在新坐标系内的 坐标为(x', y', z'),那么有
OP xi yj zk,
OP xi yj zk.
由于O= O',由上面两式得:
xi yj zk xi y j zk.
设在空间给出了两个右手直角坐标系O-xyz与O'-x'y'z', i,j,k和i',j',k'是两组坐标基向量,它们是空间中的两组标准正交 基.前一个称为旧坐标系,后一个坐标系称为新坐标系.它们之 间的位置关系完全可以由新坐标系的原点在旧坐标系的坐标, 以及新坐标系的坐标向量在旧坐标系内的坐标所决定. 下面 先讨论直角坐标系的移轴和转轴(也称为平移和旋转),然后通 过移轴和转轴给出直角坐标变换的一般公式.
x y
x y
x0 , y0 ,
(5.1
2)
z z z0.
例1 利用移轴化简曲面方程9x2 4y2 36z2 36x 8y 4 0从而判别该 方程代表的曲面.
解 利用配方,将方程左边变为
9(x2 4x 4) 4(y2 2y 1) 36z2 36 = 9(x 2)2 4(y 1)2 36z2 36,
表5-1 新、旧坐标系之间的夹角
x轴(i)
y轴(j)
x' 轴(i')
1
β1
y' 轴(j')
2
β2
z' 轴(k')
3
β3
z轴(k)
γ1 γ2 γ3
由于i',j',k'都是单位向量,其坐标为它的3个方向余弦.故
从表5-1可知
i j
i i
c os1 c os 2
j cos1 k cos1 j cos2 k cos 2
5.1 空间直角坐标变换
(Rectangular coordinate transformation in
space)
在用坐标法讨论变形的时候,首要的问题常常是选取一个 适当的坐标系来化简问题,并且常常需要把一个坐标系中的结 果转化到另一个坐标系中去.要解决这个问题,最基本的是求 出同一个点在两个不同的坐标系中的坐标变换式.
y y
cos cos
1 2
z cos 1, z cos 2 ,
z x cos3 y cos 3 z cos 3.
例2 试求空间直角坐标系O-xyz绕z轴旋转的直角坐标变换公式. 解 设新的坐标向量为i',j',k',显然k'= k.另外绕z轴旋转时,应符合
5 空间直角坐标变换与点变换
（Rectangular coordinate transformation in space and point transformation）
一切事物都在不停地运动和变化着,因此,了解图形在运
动与变化中的情况是很重要的.在日常生活和生产实践中,经 常遇到物体改变位置和形状的现象.开门、搬凳子就是改变物 体的位置.阳光通过长方形窗格射到地上,其影像是平行四边 形.弹性体在外力作用下的主要表现是变形.在本章中,主要讨 论图形变位和变形这两种比较简单的情况.在变形的讨论中, 坐标法也是基本的方法,首先是如何用数量关系来表示变形; 其次是区别图形的性质,有哪些在变形中是不变的,有哪些是 要改变的.
化简,得
作移轴
x
y
x 2, y 1,
z z.
(x 2)2 (y 1)2 z2 1. 49
即将坐标原点移到点O'(2,-1,0),曲面方程为
可见它是椭球面.
x2 y2 z2 1. 49
5.1.2 转轴变换 (Rotation transformation)