5.1空间直角坐标变换

化简,得
作移轴
x

y

x 2, y 1,
z z.
(x 2)2 (y 1)2 z2 1. 49
即将坐标原点移到点O'(2,-1,0),曲面方程为
可见它是椭球面.
x2 y2 z2 1. 49
5.1.2 转轴变换 (Rotation transformation)
5.1 空间直角坐标变换
(Rectangular coordinate transformation in
space)
在用坐标法讨论变形的时候,首要的问题常常是选取一个 适当的坐标系来化简问题,并且常常需要把一个坐标系中的结 果转化到另一个坐标系中去.要解决这个问题,最基本的是求 出同一个点在两个不同的坐标系中的坐标变换式.
5.1.1 移轴变换 (Axis transformation)
设坐标系O-xyz与O' -x'y' z'的原点O与O'不同, O'在旧坐标 系下的坐标为(x0,y0,z0),但是坐标向量相同i' = i, j' = j, k' = k,(图 5-1)这时新坐标系可以看成由O-xyz平移到使O与O' 重合而得 来,这种情况下的坐标变换称为移轴.
xi yj zk (x x0)i (y y0) j (z z0)k
利用向量相等则对应坐标相等
所以有

x y

x y

x0 , y0（, 5.1-1）
z z z0.
这就是空间直角坐标系的移轴公式. 从(5.1-1)解出(x', y', z')，就得到移轴的逆变换公式

y y
cos cos
1 2

z cos 1, z cos 2 ,
z x cos3 y cos 3 z cos 3.
例2 试求空间直角坐标系O-xyz绕z轴旋转的直角坐标变换公式. 解 设新的坐标向量为i',j',k',显然k'= k.另外绕z轴旋转时,应符合
表5-1 新、旧坐标系之间的夹角
x轴(i)
y轴(j)
x' 轴(i')
1
β1
y' 轴(j')
2
β2
z' 轴(k')
3
β3
z轴(k)
γ1 γ2 γ3
由于i',j',k'都是单位向量,其坐标为它的3个方向余弦.故
从表5-1可知

i j

i i
c os1 c os 2

j cos1 k cos1 j cos2 k cos 2
5 空间直角坐标变换与点变换
（Rectangular coordinate transformation in space and point transformation）
一切事物都在不停地运动和变化着,因此,了解图形在运
动与变化中的情况是很重要的.在日常生活和生产实践中,经 常遇到物体改变位置和形状的现象.开门、搬凳子就是改变物 体的位置.阳光通过长方形窗格射到地上,其影像是平行四边 形.弹性体在外力作用下的主要表现是变形.在本章中,主要讨 论图形变位和变形这两种比较简单的情况.在变形的讨论中, 坐标法也是基本的方法,首先是如何用数量关系来表示变形; 其次是区别图形的性质,有哪些在变形中是不变的,有哪些是 要改变的.
设两个右手坐标系O-xyz与O' -x' y' z'的原点相同,但坐标 向量i,j,k与i',j',k'不同,这时新坐标系可以看成由旧坐标系绕原 点旋转,使得i,j,k分别与i',j',k'重合得到的,这种情况下的坐标 变换称为转轴.
下面推导转轴变换公式.
具有相同原点的两坐标系之间的位置关系完全由新、旧坐标轴 之间的夹角来决定,列表如下：

x y

x y

x0 , y0 ,
(5.1
2)
z z z0.
例1 利用移轴化简曲面方程9x2 4y2 36z2 36x 8y 4 0从而判别该 方程代表的曲面.
解 利用配方,将方程左边变为
9(x2 4x 4) 4(y2 2y 1) 36z2 36 = 9(x 2)2 4(y 1)2 36z2 36,
现在推导移轴变换公式. 设P为空间任意一点,它在O-xyz与O' -x'y' z'下的坐标分别是(x,y,z)
与(x', y', z'),
OP OO OP
OP xi yj zk
OP xi yj zk xi yj zk
OO x0i y0 j z0k
k i cos3 j cos3 k cos 3
设空间任意一点P,它的旧坐标为(x,y,z),在新坐标系内的 坐标为(x', y', z'),那么有
OP xΒιβλιοθήκη Baidu yj zk,
OP xi yj zk.
由于O= O',由上面两式得:
xi yj zk xi y j zk.
将i',j',k'代入得
xi yj zk xcos1 ycos2 z cos3 i x cos 1 y cos 2 z cos 3 j xcos1 ycos 2 zcos 3 .
于是有

x y

x x
cos1 cos 1

y y
cos2 cos 2

z z
cos cos
3 3
, ,
x xcos1 ycos 2 zcos 3.
这就是空间直角坐标变换的转轴公式.转轴的逆变换公式为：

x y
x cos1 x cos2
设在空间给出了两个右手直角坐标系O-xyz与O'-x'y'z', i,j,k和i',j',k'是两组坐标基向量,它们是空间中的两组标准正交 基.前一个称为旧坐标系,后一个坐标系称为新坐标系.它们之 间的位置关系完全可以由新坐标系的原点在旧坐标系的坐标, 以及新坐标系的坐标向量在旧坐标系内的坐标所决定. 下面 先讨论直角坐标系的移轴和转轴(也称为平移和旋转),然后通 过移轴和转轴给出直角坐标变换的一般公式.