收益法中的主要技术方法(公式推导)
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收益法中的主要技术方法
（一）纯收益不变 数列求和的基本公式有：
23(1)...1n
n
a a a a a a a -++++=
-
公式 P ＝r A
在第一年的年末所能得到的纯收益为A 元，要将其折算为现在的价格时，只要将A 元乘复利现值系数即可，即：
A ×
r +11＝r
A +1 第二年的年末所能得到的纯收益A 元，要折算为现值时， 同样应为： A ×（
r +11）×（r +11）＝2
)1(r A
+ 第n 年则为：A ×
n r )1(1+＝n
r A
)
1(+ 将各年合计，则收益现值P ＝r A +1+2)1(r A +＋……＋n
r A
)1(+ 这是一个首项为
r
A +1，公比为r +11
，项数为n 的等比级数。
根据等比级数求和公式，2
3
(1)
...1n n
a a a a a a a
-++++=- 得：
P ＝A 11()[1()]
111111(1)11n n r r A r r r
-⎡⎤++=-⎢⎥+⎣⎦-
+ 当n →∞时P ＝r
A
P ＝
r A ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡n r 111）＋（
－
当收益年期有限时，根据上述公式推导 P=
r A ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡n r 111）＋（
－ 成立。 （二）纯收益在若干年后保持不变 1、无限年期收益 公式2－16 P ＝∑
=+n
t t
t r R 1)
1(＋n r r A
)1(+ 2、有限年期收益 公式2－17 P ＝∑
=+n
t t t r R 1)1(＋n r r A )1(+×⎥⎦⎤
⎢⎣⎡n -N r 111）＋（
－ 相当于 P ＝R 1（F P ，r ，1）＋……R 5（F P ，r ，5） ＋A （A P ，r ，N －n ）×（F P ，r ，n ）
（三）纯收益按等差级数变化 先看公式2－20 P ＝（
r A ＋2r B ）×⎥⎦⎤
⎢⎣⎡n r 111）＋（
－－r B ×n r n )1(+ （收益年限有限条件下）当纯收益为逐年递增，每年递增额为b ，则：收益第一年为a ，第二年为a ＋b ，第三年为a ＋2b ，第n 年为a ＋（n －1）b
则收益现值P ＝r a +1＋2
)1(r b
a ++＋3)1(2r
b a ++＋……＋()n r b n a )1(1+-+ ＝S n1＋S n2 S n1＝
r a +1＋2)1(r a +＋……＋n r a )1(+＝r a ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡
n r 111）＋（
－
S n2＝
2)1(r b
+＋3)1(2r b +＋……＋()n
r b n )1(1+- ＝b ×⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡
+-++++n r n r )1(1r 12)1(132 ）＋（
…① 将①式两边同乘以（1＋r ），则有： （1＋r ）S n2＝b ×⎥⎦⎤⎢⎣⎡
+⋅-+++⋅++⋅++⋅
-132)1(1
)1()1(13)1(12111n r n r r r
…② ②式减去①式： r ·S n2＝b ·⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+--++++++++-n n r n r r r r )1(1)1(1)1(1)
1(111132 r ·S n2＝b ·⎥⎦⎤
⎢
⎣⎡+-++++++++++-n n n r n r r r r r )1()1(1)1(1)1(1)
1(111132 ＝r b
·⎥⎦⎤
⎢⎣⎡n r 11
1）＋（
－－n r n
b )1(+⋅ S n2＝
2r b ·⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
n r 111）＋（－－r b ·n r n )1(+ P= S n1+S n2＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-n r r a )1(11＋2r b ·⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡n r 111）＋（－－r b ·n r n
)1(+ ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+
2r b r a
·⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡n r 111）＋（－－r b ·n r n )1(+ 公式2－20成立。 当n →∞取极限时，P ＝r
a
＋
2
r b
，公式2－19成立。 公式2－21、公式2－22同上推导，数列为 a ，a －b ，a －2b ，……, a －（n －1）b 。 注意正负号，则推导成立。
（四）纯收益按等比级数变化 公式2－23 P ＝
s
r A - 设A 0为上年纯收益，资产收益逐年递增比率为s ，则有： A ＝A 1为＝A 0·（1＋s ）
A 2＝A 1＝A 0·（1＋s ）·（1＋s ）＝A 0·()21s + A t ＝A 0·()t s +1
当收益年期无限时（设收益现值为P 0）：
P 0＝()()r s A ++110＋()()22
011r s A ++＋……＋()()
n
n
r s A ++110 ＝A 0·()()()()()()⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡+++++++++n n
r s r s r s 11111122 中括号中为一幂级数求和，当s r s -+1， 当s>r 时，发散，无法估算。 ∴P 0＝A 0· s r s -+1＝s r A -1 A 1为当年收益，计为A （因年收益均相等），P 0为所求现值， 则为P 即：P ＝ s r A - 公式2－24 P ＝s r A -·⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++-n r s 111 如推导公式2－23所示： P 0＝A 0·()()()()()()⎥⎦⎤ ⎢⎣ ⎡+++++++++n n r s r s r s 11111122 根据等比级数求和公式，上式中，首项为A 0· r s ++11，公比为r s ++11