平面向量单元测试题及答案解析

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平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解)

平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练(附答案详解)一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$,$b=(1,1)$,则 $a\cdot b$ 等于()A。

3 B。

2 C。

1 D。

02.已知向量 $a=(1,-2)$,$b=(2,x)$,若 $a//b$,则 $x$ 的值是()A。

-4 B。

-1 C。

1 D。

43.已知向量 $a=(1,1,0)$,$b=(-1,0,2)$,且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直,则 $k$ 的值是()A。

1 B。

5/3 C。

3/5 D。

7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中,$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$,$AC=BC=2$,点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点,且 $BP=2PA$,那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于()A。

-4 B。

-2 C。

2 D。

45.设 $a,b$ 是非零向量,则 $a=2b$ 是成立的()A。

充分必要条件 B。

必要不充分条件 C。

充分不必要条件 D。

既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$,$b+c=4$,$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点,则 $AE\cdot AF$ 的最小值为()A。

$\frac{8}{3}$ B。

$\frac{26}{9}$ C。

$\frac{2}{3}$ D。

$3$7.若 $a=2$,$b=2$,且 $a-b\perp a$,则 $a$ 与 $b$ 的夹角是()A。

$\frac{\pi}{6}$ B。

$\frac{\pi}{4}$ C。

$\frac{\pi}{3}$ D。

$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$,$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$,且 $a\perp (a-kb)$,则实数 $k$ 的值为()A。

18 B。

平面向量单元试卷与解析答案

平面向量单元试卷与解析答案

绝密★启用前2016-2017学年度???学校3月月考卷试卷副标题注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1.化简AC -BD +CD -AB 得( ) A .AB B .DA C . D .02.如图所示,已知2AB BC =,OA a =,OB b =,OC c =,则下列等式中成立的是( )(A)3122c b a =- (B)2c b a =- (C)2c a b =- (D)3122c ab =- 3.(09·山东文)设P 是△ABC 所在平面内的一点,BC +BA =2BP ,则( ) A.PA +PB =0 B.PB +PC =0 C.PC +PA =0 D.PA +PB +PC =0 4.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为( )A .(,-)B .(,-)C .(-,)A OD .(-,)5.已知三点)143()152()314(--,,、,,、,,λC B A 满足AC AB ⊥,则λ的值 ( ) A 、14 B 、-14 C 、7 D 、-76.如果向量 (, 1)a k =与(4, )b k =共线且方向相反,则k =( ). A .2± B.2- C.2 D.07.已知点(2,1),(4,2)A B -,点P 在x 轴上,当 PA PB ⋅取最小值时,P 点的坐标是( )A .(2,0)B .(4,0)C .(3,0) 8.已知三点A(1,1)、B(-1,0)、C(3,-1),则AB AC ⋅等于() A .-2 B .-6 C .2D .39.在△ABC 中,AB =3,AC =2,BD =BC ,则AD ·BD 的值为( ) A 10.已知点()1,1A -、()1,2B 、()2,1C --、()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为 A B C D 11.若向量()cos ,sin a θθ=,(3,1b =-2a b -的最大值为( )A.4B.C.2D.第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题12.已知四边形ABCD 是边长为3的正方形,若2DE EC =,2CF FB =,则A E A F ⋅的值为 .13.若2(2,3),(4,5),a b x x a =-=-若∥b ,则x = .14.已知向量a (1,2)=,b (3,2)=-,平行,则k =______. 15.若(3,4)AB =,A 点的坐标为(2,1)--,则B 点的坐标为. 16.已知向量a=(1,3-),则与a 反向的单位向量是17.若向量a ,b 的夹角为120°,|a |=1,|b |=3,则|5a -b |= . 三、解答题18.已知4||=a ,2||=b ,且a 与b 夹角为120°求(1))()2(b a b a +∙-; (2)|2|b a -; (3)a 与b a +的夹角 19.在△OAB 中,OC =OA ,OD =OB ,AD 与BC 交于点M ,设OA =a ,OB =b ,以a 、b 为基底表示OM .20.如图所示,已知△ABC 中,A (2,-1),B (3,2),C (-3,-1),AD 是BC 边上的高,求AD 及点D 的坐标.……21.已知OA =a ,OB =b ,且|a |=|b |=4,∠AOB =60°. (1)求|a +b |,|a -b |.(2)求a +b 与a 的夹角及a -b 与a 的夹角.22.(本小题满分12分) 设函数f(x )=q p⋅,其中向量)sin cos ,cos 2()sin cos ,(sin x x x q x x x p -=+=,,R x ∈.(1)求f (f ( x )的最大值。

2020届人教A版平面向量__单元测试

2020届人教A版平面向量__单元测试

平面向量一、单选题1.已知向量a ⃑=(12,−√32),|b⃑⃑|=1,且两向量夹120∘,则|a ⃑−b⃑⃑|=( ) A .1 B .√3 C .√5 D .√7 【答案】B 【解析】 【分析】要求|a ⃑−b ⃑⃑|,由题意先计算出|a ⃑|,然后由|a ⃑−b ⃑⃑|=√|a ⃑−b ⃑⃑|2计算出结果 【详解】 ∵a ⃑=(12,−√32), ∴|a ⃑|=√(12)+(√32)2=1,又|b⃑⃑|=1,且两向量夹角为120° ∴|a ⃑−b ⃑⃑|=√|a ⃑−b ⃑⃑|2=√a ⃑2−2|a⃑⃑⃑⃑||b ⃑⃑|×(−12)+b ⃑⃑2=√1−2×1×1×(−12)+1=√3, 故选B 【点睛】本题考查了由向量坐标计算向量的模,熟练运用公式进行求解,较为简单 2.已知向量m=(-3,t),若|m|=3√5,则实数t= A .±6 B .6 C .-√6 D .±√6 【答案】A【解析】由条件,得 √(−3)2+t 2=3√5,解得t=±6, 故选A3.已知向量()1,2a =-r, 1,2b y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r ,若,则y =( )A .1B .1-C .2D .2- 【答案】A【解析】由题意,得.考点:平面向量平行的判定.4.已知向量()()2,1,1,3==a b ,则向量2-a b 与a 的夹角为A .0135B .060C .045D .030 【答案】C【解析】∵向量()()2,1,1,3,==a b ∴()23,1-=-a b , ∴cos 2,-==a b a , ∴向量2-a b 与a 的夹角为045. 故选:C5.在四边形ABCD 中,A (1,1),B 3,02⎛⎫⎪⎝⎭,C (2,3),D 5-,22⎛⎫⎪⎝⎭,则该四边形的面积为( ) A. B . C .5 D .10 【答案】C【解析】因为AC u u u r =(1,2), BD u u u r=(-4,2), 所以·AC BD u u u r u u u r=1×(-4)+2×2=0, 故AC BD ⊥u u u r u uu r ,所以四边形ABCD 的面积为||||2AC BD =u u u r u u u r =5,故选C .6.已知ΔABC 为等腰三角形,满足AB =AC =√3,BC =2,若P 为底BC 上的动点,则AP⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)= A .有最大值8 B .是定值2 C .有最小值1 D .是定值4 【答案】D 【解析】 【分析】设AD 是等腰三角形的高.将AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑转化为AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,将AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑转化为2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,代入数量积公式后,化简后可得出正确选项. 【详解】设AD 是等腰三角形的高,长度为√3−1=√2.故AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅(AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)= (AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2+2DP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=2AD⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=2×(√2)2=4.所以选D.【点睛】本小题主要考查向量的线性运算,考查向量的数量积运算,还考查了化归与转化的数学思想方法.属于基础题.7.在ABC ∆中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对应的三角形的边长,若4230aBC bCA cAB ++=u u u r u u u r u u u r,则=B cos ( )A .2411-B .2411C .3629D .3629-【答案】A 【解析】试题分析:因为4230aBC bCA c AB ++=u u u r u u u r u u u r,所以423()0aBC bCA c CB CA ++-=u u u r u u u r u u u r u u u r r ,所以(43)(23)0a c BC b c CA -+-=u u u r u u u r r ,因为,BC CA u u u r u u u r 不共线,所以430230a cbc -=⎧⎨-=⎩,解得33,42c c a b ==,则2222229911164cos 322424c c c a c b B c ac c +-+-===-⨯⨯,故选A. 考点:向量的运算.【方法点晴】本题主要考查了平面向量的线性运算,其中解答中涉及到平面向量的加法、减法法则,平面向量的基本定理及余弦定理的综合考查,着重考查了学生分析问题和解答问题的能力,以及推理与运算能力,试题比较基础,属于基础题,本题解答的关键在于把已知条件变形为(43)(23)0a c BC b c CA -+-=u u u r u u u r r ,同时熟记向量的运算法则也是重要一环.8.在RtΔABC 中,AB ⊥AC ,AB =1,AC =2,点P 为ΔABC 内(包含边界)的点,且满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=xAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+yAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑(其中x,y 为正实数),则当xy 最大时,yx 的值是( )A .12B .1C .2D .与∠A 的大小有关【答案】B【解析】过点P 分别作AB,AC 的平行线,与AB,AC 的公共点分别是P,Q .首先,对于固定的角A ,要使得xy 最大,仅需xy|AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑| 最大,即xy|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑||AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|sinA 最大,即平行四边形AMPN 的面积最大,显然P 需与B ,C 共线,此时x +y =1. 由基本不等式,知xy ≤(x+y 2)2=14 ,当且仅当x =y =12.时,取到等号,此时yx =1.故答案为:B.9.已知D 是∆ABC 则( )AC 【答案】B 【解析】 试题分析:由题意得AB AC AB AD BA BD )(136=-=++-=+=所以选B 考点:向量的运算10.已知点P(-3,5),Q(2,1),向量()21,1m λλ=-+,若//PQ m u u u r,则实数λ等于A .113 B .113- C .13 D .13- 【答案】B【解析】()5,4PQ =-u u u r ,因为PQ m u u u P r r ,所以5584λλ+=-+,解得113λ=-.选B.11.已知平面向量(3,2),(1,0),a b =-=-r r 向量a b λ+r r 与2a b -r r垂直,则实数λ的值为( ) A .17 B .17- C .16- D .16【答案】B 【解析】试题分析:(31,2)a b λλλ+=--r r ,2(1,2)a b -=-r r ,由于向量a b λ+r r 与2a b -r r垂直,所以()()2(31,2)(1,2)3140a b a b λλλλλ+⋅-=--⋅-=++=r r r r ,解得17λ=-.考点:1.向量的加法、减法、数乘的坐标运算;2.向量垂直的坐标运算. 12.4如图,正六边形ABCDEF 中,BA ⃑⃑⃑⃑⃑ +CD ⃑⃑⃑⃑⃑ +EF⃑⃑⃑⃑⃑ ="( " )A .0B .BE ⃑⃑⃑⃑⃑C .AD ⃑⃑⃑⃑⃑ D .CF ⃑⃑⃑⃑⃑ 【答案】D 【解析】 试题分析:,故选D.考点:向量的加法.二、填空题13.若向量i r ,j r 为互相垂直的单位向量,2a i j =-r r r ,b i m j =+r r r,且a r 与b r 的夹角为锐角,则实数m 的取值范围是 .【答案】(-∞,-2)∪,1⎛⎫-2 ⎪2⎝⎭【解析】解:因为向量i r ,j r 为互相垂直的单位向量,2a i j =-r r r ,b i m j =+r r r,且a r 与b r的夹角为锐角则(2)()120,||||=-+=->≠r r r r r r r r r u r g g g 且a b i j i m j m a b a b ,可得为(-∞,-2)∪,1⎛⎫-2 ⎪2⎝⎭14.已知2||=b ,a 与b 的夹角为ο120,则b 在a 上的射影为 . 【答案】1- 【解析】试题分析:b 在a 上的射影为1cos ,212b a b ⎛⎫⨯<>=⨯-=- ⎪⎝⎭r r r .考点:投影的概念.15.已知函数的图象是开口向下的抛物线,且对任意,都有,若向量,,则满足不等式的实数的取值范围.【答案】或.【解析】试题分析:,从条件“对任意,都有”得到抛物线的对称轴为,结合图象,即利用绝对值的定义去掉绝对值符号,得或,解得或.考点:1、抛物线的对称轴;2、向量数量积;3、绝对值不等式和对数不等式.【方法点睛】本题关键是先根据,找出抛物线的对称轴,结合开口向下利用抛物线的对称性去掉,把抽象不等式转化为具体的绝对值不等式;解绝对值不等式时,利用绝对值定义去掉绝对值符号,转化为对数不等式;解对数不等式时要注意限制真数大于零,化同底,根据对数函数的单调性转化为不等式组求解.16.设a=(x,3),b⃑=(2,−1),若a⊥b⃑,则|2a+b⃑|=.【答案】5√2【解析】【分析】,3),进而求得2a⃑+b⃑⃑=(5,5),然后由向量模的坐标运算可求得根据a⊥b⃑可求得a⃑=(32结果。

平面向量单元测试(含答案)

平面向量单元测试(含答案)

《平面向量》单元测试一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图1所示,D 是△ABC 的边AB 上的中点, 则向量=CD ( )A .BA BC 21+- B .BA BC 21--C .BA BC 21-D .BA BC 21+2.与向量a ==⎪⎭⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等,且模为1的向量是( )A .⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54B .⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 C .⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322 D .⎪⎭⎫-⎝⎛31,322或⎪⎭⎫⎝⎛-31,322 3.设a r 与b r 是两个不共线向量,且向量a b λ+r r 与()2b a --r r共线,则λ=( )A .0B .-1C .-2D .0.54.已知向量()1,3=a ,b 是不平行于x 轴的单位向量,且3=⋅b a ,则b =( )A .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23 B .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21 C .⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 D .(1,0)5.如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量 的数量积中最大的是( )A .3121P P P P ⋅B .4121P P P P ⋅C .5121P P P P ⋅D .6121P P P P ⋅ 6.在OAB ∆中,OA a =u u u r ,OB b =u u u r ,OD 是AB 边上的高,若AD AB λ=u u u r u u u r,则实数λ等 于 ( )A .2()a b a a b⋅-- B .2()a a b a b⋅--C .()a b a a b⋅--D .()a a b a b⋅--7.设1(1,)2OM =u u u u r ,(0,1)ON =u u u r ,则满足条件01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ,01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r 的动点P 的 变化范围(图中阴影部分含边界)是( )A .B .C .D . 8.将函数f (x )=tan(2x +3π)+1按向量a 平移得到奇函数g(x ),要使|a |最小,则a =( )A .(,16π-)B .(,16π-)C .(,112π)D .(,112π--)9.已知向量a r 、b r 、c r 且0a b c ++=r r r r ,||3a =r ,||4b =r ,||5c =r .设a r 与b r 的夹角为1θ,b r与c r 的夹角为2θ,a r 与c r的夹角为3θ,则它们的大小关系是( )A .123θθθ<<B .132θθθ<<C .231θθθ<<D .321θθθ<<10.已知向量),(n m a =,)sin ,(cos θθ=b ,其中R n m ∈θ,,.若||4||b a =,则当2λ<⋅b a 恒成立时实数λ的取值范围是( )A .2>λ或2-<λB .2>λ或2-<λC .22<<-λD .22<<-λ11.已知1OA =u u u r,OB =u u u r ,0OA OB ⋅=u u u r u u u r ,点C 在AOB ∠内,且30oAOC ∠=,设OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r (,)m n R ∈,则mn等于( )A .13B .3 C.3D12.对于直角坐标平面内的任意两点11(,)A x y ,22(,)B x y ,定义它们之间的一种“距离”:2121.AB x x y y =-+-给出下列三个命题:①若点C 在线段AB 上,则;AC CB AB += ②在ABC ∆中,若90,o C ∠=则222;AC CB AB +=③在ABC ∆中,.AC CB AB +> 其中真命题的个数为( )A .0B .1C .2D .3二、填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上.13.在中,,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r,M 为BC 的中点,则MN =u u u u r _______.(用a b r r 、表示)14.已知()()2,1,1,1,A B O --为坐标原点,动点M 满足OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r,其中,m n R ∈且2222m n -=,则M 的轨迹方程为 .15.在ΔABC 中,O 为中线AM 上的一个动点,若AM=2,则)(+⋅的最小值为 .16.已知向量)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=,若点A 、B 、C 能构成三角形,则实数m 满足的条件是 .三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)已知向量)sin 1,sin 1(x x -=,)2cos ,2(x =.(1)若]2,0(π∈x ,试判断与能否平行?(2)若]3,0(π∈x ,求函数x f ⋅=)(的最小值.18.(本小题满分12分)(2006年湖北卷)设函数()()c b a x f +⋅=,其中向量()()x x b x x a cos 3,sin ,cos ,sin -=-=,()R x x x c ∈-=,sin ,cos .(1)求函数()x f 的最大值和最小正周期;(2)将函数()x f y =的图像按向量d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称,求长度最小的d .19.(本小题满分12分)(2006年全国卷II )已知向量a =(sin θ,1),b =(1,cos θ),-π2<θ<π2.(1)若a⊥b,求θ;(2)求|a+b|的最大值.20.(本小题满分12分)在ABC △中,2AB AC AB AC ⋅=-=u u u r u u u r u u u r u u u r. (1)求22AB AC +u u u r u u u r 的值;(2)当ABC △的面积最大时,求A ∠的大小.21.(本小题满分12分)(2006陕西卷)如图,三定点A (2,1),B (0,-1),C (-2,1); 三动点D ,E ,M 满足]1,0[,,,∈===t t t t (1)求动直线DE 斜率的变化范围; (2)求动点M 的轨迹方程.22.(本小题满分14分)已知点P 是圆221x y +=上的一个动点,过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ,设OM OP OQ =+u u u u r u u u r u u u r .(1)求点M 的轨迹方程;(2)求向量OP uuu r 和OM u u u u r夹角的最大值,并求此时P 点的坐标参考答案1.21+-=+=,故选A . 2.B 设所求向量e r=(cos θ,sin θ),则由于该向量与,a b r r 的夹角都相等,故e b e a e b e a ⋅=⋅⇔=⋅||||||||7117cos sin cos sin 2222θθθθ⇔+=-⇔3cos θ=-4sin θ,为减少计算量,可将选项代入验证,可知B 选项成立,故选B .3.D 依题意知向量a b λ+r r 与-2共线,设a b λ+r rk =(-2),则有)()21(=++-k k λ,所以⎩⎨⎧=+=-0021λk k ,解得5.0=k ,选D . 4.解选B .设(),()b x y x y =≠,则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 5.解析:利用向量数量积121(1,2,3,4,5,6)i PP PP i =u u u u r u u u rg 的几何意义:数量积121i PP PP u u u u r u u u rg 等于12P P u u u u r的长度12PP u u u u r 与1i PP u u u r 在12P P u u u u r 的方向上的投影1121cos ,i iPP PP PP <>u u u r u u u u r u u u r的乘积.显然由图可知13P P u u u u r 在12P P u u u u r 方向上的投影最大.所以应选(A).6.B (),,AD AB OD OA OB OA λλ=∴-=-u u u r u u u r u u u r u u u r Q 即得()()11,OD OA OB a b λλλλ=-+=-+u u u r u u u r u u u r又OD Q 是AB 边上的高,0OD AB ∴⋅=u u u r u u u r即()()()0,10OD OB OA a b b a λλ⋅-=∴-+⋅-=⎡⎤⎣⎦u u u r u u u r u u u r ,整理可得()2(),b a a a b λ-=⋅-即得()2a ab a bλ⋅-=-,故选B . 7.A 设P 点坐标为),(y x ,则),(y x =.由01OP OM ≤⋅≤u u u r u u u u r ,01OP ON ≤⋅≤u u u r u u u r得⎩⎨⎧≤≤≤+≤10220y y x ,在平面直角坐标系中画出该二元一次不等式组表示的平面区域即可,选A .8.A 要经过平移得到奇函数g(x),应将函数f(x)=tan(2x+3π)+1的图象向下平移1个单位,再向右平移)(62Z k k ∈+-ππ个单位.即应按照向量))(1,62(Z k k a ∈-+-=ππ进行平移.要使|a|最小,应取a=(,16π-),故选A .9.B 由0a b c ++=r r r r得)(+-=,两边平方得1222cos ||||2||||||θ++=,将||3a =r ,||4b =r ,||5c =r 代入得0cos 1=θ,所以0190=θ;同理,由0a b c ++=r r r r得)(b c a +-=,可得54cos 2-=θ,53cos 3-=θ,所以132θθθ<<.10. B 由已知得1||=b ,所以4||22=+=n m a ,因此)sin(sin cos 22ϕθθθ++=+=⋅n m n m b a 4)sin(4≤+=ϕθ,由于2λ<⋅恒成立,所以42>λ,解得2>λ或2-<λ.11.答案B ∵ 1OA =u u u r,OB =u u u r,0OA OB ⋅=u u u r u u u r∴△ABC 为直角三角形,其中1142AC AB ==∴11()44OC OA AC OA AB OA OB OA =+=+=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ∴31,44m n == 即3m n= 故本题的答案为B . 12.答案B 取特殊值、数形结合A BC在ABC ∆中, 90oC ∠=,不妨取A (0,1), C (0,0),B (0,1),则 ∵2121AB x x y y =-+- ∴ 1AC = 、1BC =、|10||01|2AB =-+-= 此时222AC CB +=、24AB = 、222AC CB AB +≠;AC CB AB +=即命题②、③是错误的.设如图所示共线三点11(,)A x y ,22(,)B x y ,33(,)C x y ,则1313||||||||||||AC x x y y AC CC ''-+-=+==||||||||AB B C C C C C ''''''''+++ =||||||||AB B B BC C C ''''''+++1212||||||||||||AB x x y y AB BB ''=-+-=+ 2323||||||||||||BC x x y y BC C C ''''=-+-=+∴ AC CB AB += 即命题①是正确的. 综上所述,真命题的个数1个,故本题的答案为B .13.解:343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得,12AM a b =+u u u u r r r,所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r .14.2222=-y x 设),(y x M ,则),(y x =,又)1,1(),1,2(-=-=,所以由OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r 得),(),2(),(n n m m y x -+-=,于是⎩⎨⎧+-=-=nm y n m x 2,由2222m n -=消去m, n 得M 的轨迹方程为:2222=-y x . 15.2- 如图,设x AO =,则x OM -=2,所以)(+⋅OM OA OM OA ⋅⋅-=⋅=222)1(242)2(222--=-=--x x x x x ,故当1=x 时,OM mOA nOB =+u u u u r u u u r u u u r取最小值-2.AC 'CBB 'C ''16.21≠m 因为)3,5(),3,6(),4,3(m m ---=-=-=,所以),1(),1,3(m m ---==.由于点A 、B 、C 能构成三角形,所以与不共线,而当AB 与BC 共线时,有m m -=--113,解得21=m ,故当点A 、B 、C 能构成三角形时实数m 满足的条件是21≠m .17.解析:(1)若与平行,则有2sin 12cos sin 1⋅-=⋅x x x ,因为]2,0(π∈x ,0sin ≠x ,所以得22cos -=x ,这与1|2cos |≤x 相矛盾,故a 与b 不能平行.(2)由于x f ⋅=)(xx x x x x x x x sin 1sin 2sin sin 21sin 2cos 2sin 2cos sin 22+=+=-=-+=,又因为]3,0(π∈x ,所以]23,0(sin ∈x , 于是22sin 1sin 22sin 1sin 2=⋅≥+x x x x ,当xx sin 1sin 2=,即22sin =x 时取等号.故函数)(x f 的最小值等于22.18.解:(Ⅰ)由题意得,f(x)=a·(b+c)=(sinx,-cosx)·(sinx -cosx,sinx -3cosx)=sin 2x -2sinxcosx+3cos 2x =2+cos2x -sin2x =2+2sin(2x+43π). 所以,f(x)的最大值为2+2,最小正周期是22π=π. (Ⅱ)由sin(2x+43π)=0得2x+43π=k.π,即x =832ππ-k ,k ∈Z , 于是d =(832ππ-k ,-2),,4)832(2+-=ππk d k ∈Z. 因为k 为整数,要使d 最小,则只有k =1,此时d =(―8π,―2)即为所求. 19.解析:解:(Ⅰ)若a ⊥b ,则sin θ+cos θ=0,由此得 tan θ=-1(-π2<θ<π2),所以 θ=-π4;(Ⅱ)由a =(sin θ,1),b =(1,cos θ)得|a +b |=(sin θ+1)2+(1+cos θ)2=3+2(sin θ+cos θ)=3+22sin(θ+π4),当sin(θ+π4)=1时,|a +b |取得最大值,即当θ=π4时,|a +b |最大值为2+1.20.解:(Ⅰ)由已知得:222,2 4.AB AC AB AB AC AC ⎧⋅=⎪⎨-⋅+=⎪⎩u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 因此,228AB AC +=u u u r u u u r . (Ⅱ)2cos AB AC A AB AC AB AC⋅==⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u ur , 1sin 2ABC S AB AC A =⋅u u ur u u u r △12AB =⋅u u ur u u=≤=.(当且仅当2AB AC ==u u u r u u u r 时,取等号),当ABC △1cos 2AB AC A AB AC⋅==⋅u u u r u u u ru u u r u u u r,所以3π=∠A . 解:(I )由条件知: 0a b =≠r r 且2222(2)444a b a b a b b +=++=r r r r r r r g42-=⋅, 设a b r r 和夹角为θ,则41||||cos -==b a θ, ∴1cos 4arc θπ=-,故a b r r 和的夹角为1cos 4arc π-,(Ⅱ)令)a a b -r r r和(的夹角为βQ a b a -===r r r, ∴41021cos 222=+===β∴ )a a b -r r r和(的夹角为21.解析:如图,(Ⅰ)设D(x 0,y 0),E(x E ,y E ),M(x ,y).由AD →=tAB →, BE → = t BC →,知(x D -2,y D -1)=t(-2,-2). ∴⎩⎨⎧x D =-2t+2y D =-2t+1 同理 ⎩⎨⎧x E =-2ty E =2t -1.∴k DE = y E -y D x E -x D = 2t -1-(-2t+1)-2t -(-2t+2)= 1-2t. ∴t ∈[0,1] , ∴k DE ∈[-1,1].(Ⅱ) 如图, OD →=OA →+AD → = OA →+ tAB →= OA →+ t(OB →-OA →) = (1-t) OA →+tOB →,OE →=OB →+BE → = OB →+tBC → = OB →+t(OC →-OB →) =(1-t) OB →+tOC →,OM → = OD →+DM →= OD →+ tDE →= OD →+t(OE →-OD →)=(1-t) OD →+ tOE →= (1-t 2) OA → + 2(1-t)tOB →+t 2OC →.设M 点的坐标为(x ,y),由OA →=(2,1), OB →=(0,-1), OC →=(-2,1)得 ⎩⎨⎧x=(1-t 2)·2+2(1-t)t ·0+t 2·(-2)=2(1-2t)y=(1-t)2·1+2(1-t)t ·(-1)+t 2·1=(1-2t)2 消去t 得x 2=4y, ∵t ∈[0,1], x ∈[-2,2]. 故所求轨迹方程为: x 2=4y, x ∈[-2,2]22.解析:(1)设(,)P x y o o ,(,)M x y ,则(,)OP x y =o o u u u r ,(,0)OQ x =o u u u r,(2,)OM OP OQ x y =+=o o u u u u r u u u r u u u r222212,1,124x x x x x x y y y y y y⎧==⎧⎪∴⇒+=∴+=⎨⎨=⎩⎪=⎩o o o o o o Q .(2)设向量OP uuu r 与OM u u u u r的夹角为α,则22cos ||||OP OMOP OM α⋅===⋅u u u r u u u u r u u u r u u u u r 令231t x =+o,则cos α==≥当且仅当2t =时,即P点坐标为(时,等号成立.第21题解法图OP u u u r 与OM u u u u r夹角的最大值是.。

(完整版)平面向量单元测试卷含答案

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平面向量单元达标试卷一、选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1.化简BC AC AB --等于( ) A .0B .2BCC .BC 2-D .AC 22.已知四边形ABCD 是菱形,有下列四个等式:①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=-④||||BC AB BC AB -=+,其中正确等式的个数是( )A .4B .3C .2D .13.如图,D 是△ABC 的边AB 的中点,则向量CD =( )A .BA BC 21+- B .BA BC 21-- C .BA BC 21-D .BA BC 21+4.已知向量a 、b ,且b a 2+=MN ,b a 65+-=NQ ,b a 27-=QR ,则一定共线的三点是( )A .M 、N 、QB .M 、N 、RC .N 、Q 、RD .M 、Q 、R5.下列各题中,向量a 与b 共线的是( )A .a =e 1+e 2,b =e 1-e 2B .2121e e a +=,2121e e b += C .a =e 1,b =-e 2D .2110131e e a -=,215132e e b +-=二、填空题6.一飞机从甲地按南偏东15°的方向飞行了2000千米到达乙地,再从乙地按北偏西75°的方向飞行2000千米到达丙地,则丙地相对于甲地的位置是________.7.化简=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+-)76(4131)34(32b a b b a ________. 8.已知数轴上三点A 、B 、C ,其中A 、B 的坐标分别为-3、6,且|CB |=2,则|AB |=________,数轴上点C 的坐标为________.9.已知2a +b =3c ,3a -b =2c ,则a 与b 的关系是________.三、解答题10.已知向量a、b,求作a+b,a-b.(1)(2)(3)(4)11.如图所示,D、E是△ABC中AB、AC边的中点,M、N分别是DE、BC的中点,已知BC=a ,BD=b.试用a、b表示DE、CE和MN.12.已知梯形ABCD中,AB∥DC,设E和F分别为对角线AC和BD的中点,求证EF 平行于梯形的底边.单元达标1.C 2.C 3.A 4.B 5.D6.丙地在甲地南偏西45°方向上,且距甲地2000千米. 7.b a 181135- 8.9,4或8 9.a =b10.图略11.由三角形中位线定理,知a 2121==BC DE ,b a +-=++=DE BD CB CE b a a +-=+2121.b a a -+-=++=++=21412121BC DB ED BN DB MD MN 即b a -=41MN .12.证:a =AB ,b =BC ,c =CD ,d =DA ,则a +b +c +d =0,∵DC AB // 故可设c =m a (m 为实数且m ≠-1),又BF AB EA EF ++=,但2121==CA EA )(21)(d c +=+DA CD ,)(21)(2121c b +=+==CD BC BD BF 故++=)(21d c EF a +21(b +c )=21(a +b +c +d )+21(a +c )=21(a +c )=21(m +1)a ,所以AB EF //,又因为EF 与AB 没有公共点,所以EF ∥AB .。

第二章 平面向量单元检测(人教A版)(解析版)

第二章 平面向量单元检测(人教A版)(解析版)

第二章 平面向量单元检测(人教A 版)单元测试【满分:100分 时间:80分钟】一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2019年镇海区月考)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC →=(-4,-3),则向量BC →=( ) A .(-7,-4) B .(7,4) C .(-1,4) D .(1,4)【答案】 A【解析】 法一:设C (x ,y ), 则AC →=(x ,y -1)=(-4,-3),所以⎩⎪⎨⎪⎧x =-4,y =-2,从而BC →=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故选A .法二:AB →=(3,2)-(0,1)=(3,1),BC →=AC →-AB →=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 故选A .2.(2019年开福区月考)设a =(1,2),b =(1,1),c =a +k b .若b ⊥c ,则实数k 的值等于( ) A .-32B .-53C .53D .32【答案】 A【解析】 c =a +k b =(1+k,2+k ),又b ⊥c ,所以1×(1+k )+1×(2+k )=0,解得k =-32.3.(2019年香洲区月考)已知菱形ABCD 的边长为a ,∠ABC =60°,则BD →·CD →=( ) A .-32a 2B .-34a 2C .34a 2D .32a 2【答案】 D【解析】 由已知条件得BD →·CD →=BD →·BA →=3a ·a cos 30°=32a 2,故选D .4.(2019年文峰区月考)对任意向量a ,b ,下列关系式中不恒成立....的是( ) A .|a·b |≤|a ||b | B .|a -b |≤||a |-|b || C .(a +b )2=|a +b |2 D .(a +b )·(a -b )=a 2-b 2 【答案】 B【解析】 根据a·b =|a||b|cos θ,又cos θ≤1,知|a·b|≤|a||b|,A 恒成立.当向量a 和b 方向不相同时,|a -b |>||a|-|b||,B 不恒成立.根据|a +b |2=a 2+2a·b +b 2=(a +b )2,C 恒成立.根据向量的运算性质得(a +b )·(a -b )=a 2-b 2,D 恒成立.5.(2019年吉林期末)已知非零向量a ,b 满足|b|=4|a|,且a ⊥(2a +b ),则a 与b 的夹角为( ) A .π3B .π2C .2π3D .5π6【答案】 C【解析】 ∵a ⊥(2a +b ),∴a ·(2a +b )=0, ∴2|a |2+a ·b =0,即2|a |2+|a||b|cos 〈a ,b 〉=0.∵|b|=4|a|,∴2|a|2+4|a |2cos 〈a ,b 〉=0, ∴cos 〈a ,b 〉=-12,∴〈a ,b 〉=23π.6.(2019年上海)△ABC 是边长为2的等边三角形,已知向量a ,b 满足AB →=2a ,AC →=2a +b ,则下列结论正确的是( )A .|b |=1B .a ⊥bC .a ·b =1D .(4a +b )⊥BC →【答案】 D【解析】 在△ABC 中,由BC →=AC →-AB →=2a +b -2a =b ,得|b |=2.又|a |=1,所以a ·b =|a ||b |cos 120°=-1,所以(4a +b )·BC →=(4a +b )·b =4a ·b +|b |2=4×(-1)+4=0,所以(4a +b )⊥BC →,故选D .7.(2019年广元模拟)已知向量a =(2,1),a·b =10,|a +b|=50,则|b|=( ) A .0 B .2 C .5 D .25【答案】 C【解析】 因为a =(2,1),则有|a|=5,又a·b =10, 又由|a +b|=50,所以|a|2+2a·b +|b|2=50, 即5+2×10+|b|2=50, 所以|b|=5.8.(2019年海南期末)已知AD ,BE 分别为△ABC 的边BC ,AC 上的中线,设AD →=a ,BE →=b ,则BC →等于( )图1A .43a +23bB .23a +43bC .23a -43bD .-23a +43b【答案】 B【解析】 BC →=2BD →=2⎝⎛⎭⎫23BE →+13AD → =43BE →+23AD →=23a +43b . 9.(2019年雁峰区月考)设非零向量a ,b ,c 满足|a|=|b|=|c|,a +b =c ,则向量a ,b 的夹角为( ) A .150° B .120° C .60° D .30°【答案】 B【解析】 设向量a ,b 夹角为θ, |c|2=|a +b|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos θ,则cos θ=-12,又θ∈[0°,180°],∴θ=120°.故选B .10.(2019年红谷滩新区月考)在矩形ABCD 中,AB =3,BC =1,E 是CD 上一点,且AE →·AB →=1,则AE →·AC →的值为( )A .3B .2C .32D .33【答案】 B【解析】 设AE →与AB →的夹角为θ,则AE →与AD →的夹角为π2-θ,又AD →∥BC →,故有AE →与BC →夹角为π2-θ,如图.∵AE →·AB →=|AE →|·|AB →|·cos θ=3|AE →|·cos θ=1, ∴|A E →|·cos θ=33, ∴AE →·BC →=|AE →|cos ⎝⎛⎭⎫π2-θ=|AE →|sin θ=1,∴AE →·AC →=AE →·(AB →+BC →)=AE →·AB →+AE →·BC →=1+1=2.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中横线上) 11.(2019年海南期末)已知向量a =(m,4),b =(3,-2),且a ∥b ,则m =________. 【答案】 -6【解析】 ∵a =(m,4),b =(3,-2),a ∥b , ∴-2m -4×3=0,∴m =-6.12.(2019年邵阳模拟)已知向量a =(2,1),b =(1,-2),若m a +n b =(9,-8)(m ,n ∈R ),则m -n的值为________.【答案】 -3【解析】 ∵m a +n b =(2m +n ,m -2n ) =(9,-8),∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2m +n =9,m -2n =-8,∴⎩⎪⎨⎪⎧m =2,n =5,∴m -n =2-5=-3. 13.(2019年湖南模拟)已知向量a =(1,-1),b =(6,-4).若a ⊥(t a +b ),则实数t 的值为________. 【答案】 -5【解析】 ∵a =(1,-1),b =(6,-4),∴t a +b =(t +6,-t -4). 又a ⊥(t a +b ),则a ·(t a +b )=0,即t +6+t +4=0,解得t =-5.14.(2019年平湖市模拟)在△ABC 中,点M ,N 满足AM →=2MC →,BN →=NC →.若MN →=xAB →+yAC →,则x =________;y =________.【答案】 12 -16【解析】 ∵AM →=2MC →,∴AM →=23AC →.∵BN →=NC →,∴AN →=12(AB →+AC →),∴MN →=AN →-AM →=12(AB →+AC →)-23AC →=12AB →-16AC →. 又MN →=xAB →+yAC →,∴x =12,y =-16.三、解答题(本大题共3小题,共30分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)15.(2019年莲都区月考)(本小题满分10分)不共线向量a ,b 的夹角为小于120°的角,且|a|=1,|b|=2,已知向量c =a +2b ,求|c|的取值范围.【答案】 |c|2=|a +2b|2=|a|2+4a·b +4|b|2=17+8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角). 因为0°<θ<120°, 所以-12<cos θ<1,所以13<|c|<5,所以|c |的取值范围为(13,5).16.(2019年大兴区月考)(本小题满分10分)设OA →=(2,-1),OB →=(3,0),OC →=(m,3). (1)当m =8时,将OC →用OA →和OB →表示;(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形,求实数m 应满足的条件.【答案】 (1)m =8时,OC →=(8,3), 设OC →=λ1OA →+λ2OB →, ∴(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0) =(2λ1+3λ2,-λ1),∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ1+3λ2=8,-λ1=3,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1=-3,λ2=143,∴OC →=-3OA →+143OB →.(2)若A ,B ,C 三点能构成三角形, 则有AB →与AC →不共线,又AB →=OB →-OA →=(3,0)-(2,-1)=(1,1), AC →=OC →-OA →=(m,3)-(2,-1)=(m -2,4), 则有1×4-(m -2)×1≠0, ∴m ≠6.17.(2019年西湖区期末)(本小题满分10分)已知a ,b ,c 在同一平面内,且a =(1,2). (1)若|c |=25,且c ∥a ,求c ; (2)若|b |=52,且(a +2b )⊥(2a -b ),求a 与b 的夹角. 【答案】 (1)∵c ∥a ,∴设c =λa , 则c =(λ,2λ). 又|c |=25,∴λ=±2, ∴c =(2,4)或(-2,-4). (2)∵(a +2b )⊥(2a -b ), ∴(a +2b )·(2a -b )=0. ∵|a |=5,|b |=52,∴a ·b =-52, ∴cos θ=a ·b|a ||b |=-1,又θ∈[0°,180°],∴θ=180°.。

平面向量 单元测试(含答案)

平面向量 单元测试(含答案)

《平面向量》一、选择题1.在矩形ABCD 中,O 是对角线的交点,若OC e DC e BC 则213,5===( )A .)35(2121e e +B .)35(2121e e -C .)53(2112e e - D .)35(2112e e - 2.化简)]24()82(21[31b a b a --+的结果是( )A .b a -2B .a b -2C .a b -D .b a -3.对于菱形ABCD ,给出下列各式: ①BC AB =②||||BC AB =③||||BC AD CD AB +=- ④||4||||22AB BD AC =+ 2其中正确的个数为 ( )A .1个B .2个C .3个D .4个4 ABCD 中,设d BD c AC b AD a AB ====,,,,则下列等式中不正确的是( )A .c b a =+B .d b a =-C .d a b =-D .b a c =-5.已知向量b a 与反向,下列等式中成立的是( )A .||||||b a b a -=-B .||||b a b a -=+C .||||||b a b a -=+D .||||||b a b a +=+6.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个点的坐标为 ( ) A .(1,5)或(5,-5) B .(1,5)或(-3,-5) C .(5,-5)或(-3,-5) D .(1,5)或(-3,-5)或(5,-5) 7.下列各组向量中:①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )43,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 ( )A .①B .①③C .②③D .①②③ 8.与向量)5,12(=d 平行的单位向量为( )A .)5,1312(B .)135,1312(--C .)135,1312(或)135,1312(--D .)135,1312(±±9.若32041||-=-b a ,5||,4||==b a ,则b a 与的数量积为( )A .103B .-103C .102D .1010.若将向量)1,2(=a 围绕原点按逆时针旋转4π得到向量b ,则b 的坐标为( )A .)223,22(--B .)223,22(C .)22,223(-D .)22,223(-11.设k ∈R ,下列向量中,与向量)1,1(-=Q 一定不平行的向量是 ( )A .),(k k b =B .),(k k c --=C .)1,1(22++=k k dD .)1,1(22--=k k e12.已知12||,10||==b a ,且36)51)(3(-=b a ,则b a 与的夹角为( )A .60°B .120°C .135°D .150°二、填空题13.非零向量||||||,b a b a b a +==满足,则b a ,的夹角为 .14.在四边形ABCD 中,若||||,,b a b a b AD a AB -=+==且,则四边形ABCD 的形状是 15.已知)2,3(=a ,)1,2(-=b ,若b a b a λλ++与平行,则λ= .16.已知e 为单位向量,||a =4,e a 与的夹角为π32,则e a 在方向上的投影为 . 三、解答题17.已知非零向量b a ,满足||||b a b a -=+,求证: b a ⊥18.已知在△ABC 中,)3,2(=AB ,),,1(k AC =且△ABC 中∠C 为直角,求k 的值.19、设21,e e 是两个不共线的向量,2121212,3,2e e CD e e CB e k e AB -=+=+=,若A 、B 、D 三点共线,求k 的值.20.已知2||=a 3||=b ,b a 与的夹角为60o,b a c 35+=,b k a d +=3,当当实数k 为何值时,⑴c ∥dc⑵d21.如图,ABCD为正方形,P是对角线DB上一点,PECF为矩形,求证:①PA=EF;②PA⊥EF.22.如图,矩形ABCD内接于半径为r的圆O,点P是圆周上任意一点,求证:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.参考答案一.选择题:二、填空题:13. 120°; 14. 矩形 15、 1± 16. 2- 三、解答题: 17.证:()()22ba b a -=+⇒+=+⇒-=+0222222=⇒+-=++⇒b a b b a a b b a a为非零向量又b a ,b a ⊥∴18.解:)3,1()3,2(),1(--=-=-=k k AB AC BC0)3,1(),1(0=--⋅⇒=⋅⇒⊥⇒∠∠k k BC AC BC AC RT C 为 21330312±=⇒=-+-⇒k k k19.()212121432e e e e e e CB CD BD-=+--=-=若A ,B ,D 三点共线,则BD AB 与共线,BD AB λ=∴设即212142e e e k e λλ-=+由于不共线与21e e 可得:221142e e k e e λλ-==故8,2-==k λ20.⑴若c ∥d 得59=k ⑵若d c ⊥得1429-=k21.解以D 为原点DC 为x 轴正方向建立直角坐标系 则A(0,1), C:(1,0) B:(1,1))22,22(,r r P r DP 则设= )221,22(r r PA --=∴)0,22(:),22,1(r F r E 点为 )22,122(r r EF --=∴ 22)221()22(||r r PA -+-=∴ 22)22()221(||r r EF -+-=∴故EF PA =EF PA EF PA ⊥⇒=⋅0而22.证:PA PC AC PB PD BD-=-=,22222222||2||)(||||2||)(||PA PA PC PC PA PC AC PB PD PB PD PB PD BD +-=-=+-=-=∴0,,,=⋅=⋅⇒⊥⊥PC PA PB PD PC PA PB PD AC BD 故为直径 222222||||||||||||PD PC PB PA AC BD +++=+∴即2222222844r PD PC PB PA r r =+++=+。

高一数学高中数学必修第二平面向量单元测试题及答案解析

高一数学高中数学必修第二平面向量单元测试题及答案解析

第二章测试(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.有下列四个表达式: ①|a +b |=|a |+|b |; ②|a -b |=±(|a |-|b |); ③a 2>|a |2; ④|a ·b |=|a |·|b |.其中正确的个数为( ) A .0 B .2 C .3 D .42.下列命题中,正确的是( ) A .a =(-2,5)与b =(4,-10)方向相同 B .a =(4,10)与b =(-2,-5)方向相反 C .a =(-3,1)与b =(-2,-5)方向相反 D .a =(2,4)与b =(-3,1)的夹角为锐角3.已知a ,b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|a +3b |=( )A.7B.10C.13D .4 4.已知向量a =⎝ ⎛⎭⎪⎫8+12x ,x ,b =(x +1,2),其中x >0,若a ∥b ,则x 的值为( )A .8B .4C .2D .05.在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =1,点P 在AM 上且满足AP →=2PM →,则AP →·(PB →+PC →)等于( )A.49 B.43 C .-43D .-496.若向量a =(1,1),b =(2,5),c =(3,x ),满足条件(8a -b )·c =30,则x =( )A .6B .5C .4D .37.向量a =(-1,1),且a 与a +2b 方向相同,则a ·b 的取值范围是( )A .(-1,1)B .(-1,+∞)C .(1,+∞)D .(-∞,1)8.设单位向量e 1,e 2的夹角为60°,则向量3e 1+4e 2与向量e 1的夹角的余弦值为( )A.34B.537C.2537D.537379.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O ,E 为线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F ,若AC →=a ,BD →=b ,则AF →=( )A.14a +12bB.23a +13bC.12a +14bD.13a +23b10.已知点B 为线段AC 的中点,且A 点坐标为(-3,1),B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12,32,则C 点坐标为( )A .(1,-3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫-54,54 C .(4,2)D .(-2,4)11.已知|a |=2|b |≠0,且关于x 的方程x 2+|a |x +a ·b =0有实根,则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,2π3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,π 12.在△ABC 所在平面内有一点P ,如果P A →+PB →+PC →=AB →,则△P AB 与△ABC 的面积之比是( )A.13B.12C.23D.34二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.将答案填在题中横线上)13.已知a =(2cos θ,2sin θ),b =(3,3),且a 与b 共线,θ∈[0,2π),则θ=________.14.假设|a |=25,b =(-1,3),若a ⊥b ,则a =________. 15.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若AB →·AC →=BA →·BC →=2,那么c =__________.16.关于平面向量a ,b ,c ,有下列三个命题:①若a ·b =a ·c ,则b =c ;②若a =(1,k ),b =(-2,6),a ∥b ,则k =-3;③非零向量a 和b 满足|a |=|b |=|a -b |,则a 与a +b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________.(写出所有真命题的序号) 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知|a |=3,|b |=2,a 与b 的夹角为60°,c =3a +5b ,d =m a -3b .(1)当m 为何值时,c 与d 垂直? (2)当m 为何值时,c 与d 共线?18.(12分)如图所示,在△ABC 中,∠C 为直角,CA =CB ,D 是CB 的中点,E 是AB 上的点,且AE =2EB ,求证:AD ⊥CE .19.(12分)已知在△ABC 中,A (2,-1),B (3,2),C (-3,-1),AD 为BC 边上的高,求|AD →|与点D 的坐标.20.(12分)在直角坐标系中,已知OA →=(4,-4),OB →=(5,1),OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|,求MB →的坐标.21.(12分)如图,在平面斜坐标系xOy 中.∠xOy =60°,平面上任一点P 关于斜坐标系的坐标是这样定义的;若OP →=x e 1+y e 2(其中e 1,e 2分别为与x 轴,y 轴同方向的单位向量),则点P 的斜坐标为(x ,y ).(1)若点P 的斜坐标为(2,-2),求点P 到O 的距离|OP |; (2)求以O 为圆心,以1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 22.(12分)如图,在四边形ABCD 中,BC →=λAD →(λ∈R ),|AB →|=|AD →|=2,|CB →-CD →|=23,且△BCD 是以BC 为斜边的直角三角形.(1)求λ的值;(2)求CB →·BA →的值.1.解析 对于①仅当a 与b 同向时成立.对于②左边|a -b |≥0,而右边可能≤0,∴不成立.对于③∵a 2=|a |2,∴a 2>|a |2不成立.对于④当a ⊥b 时不成立,综上知,四个式子都是错误的.答案 A2.解析 在B 中,a =(4,10)=-2(-2,-5)=-2b , ∴a 与b 方向相反. 答案 B3.解析 ∵|a +3b |2=(a +3b )2=a 2+9b 2+6a·b =1+9+6|a ||b |cos60°=13,∴|a +3b |=13.答案 C4.解析 ∵a ∥b ,∴(8+12x )×2-x (x +1)=0,即x 2=16,又x >0,∴x =4.答案 B5.解析 M 为BC 的中点,得PB →+PC →=2PM →=AP →, ∴AP →·(PB →+PC →)=AP →2.又∵AP →=2PM →,∴|AP →|=23|AM →|=23. ∴AP →2=|AP →|2=49.答案 A6.解析8a -b =8(1,1)-(2,5)=(6,3),c =(3,x ),∴(8a -b )·c =(6,3)·(3,x )=18+3x . 又(8a -b )·c =30,∴18+3x =30,x =4. 答案 C7.解析 依题意可设a +2b =λa (λ>0), 则b =12(λ-1)a ,∴a ·b =12(λ-1)a 2=12(λ-1)×2=λ-1>-1. 答案 B8.解析 ∵(3e 1+4e 2)·e 1=3e 21+4e 1·e 2=3×12+4×1×1×cos60°=5,|3e 1+4e 2|2=9e 21+16e 22+24e 1·e 2=9×12+16×12+24×1×1×cos60°=37.∴|3e 1+4e 2|=37.设3e 1+4e 2与e 1的夹角为θ,则 cos θ=537×1=537.答案 D9.解析 如图所示,AF →=AD →+DF →,由题意知,DE :BE =DF :BA =1:3. ∴DF →=13AB →.∴AF →=12a +12b +13(12a -12b )=23a +13b . 答案 B10.解析 设a 与b 的夹角为θ, ∵Δ=|a |2-4a ·b ≥0,∴a ·b ≤|a |24,∴cos θ=a ·b |a ||b |≤|a |24|a ||b |=12.∵θ∈[0,π],∴θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,π.答案 B11.解析 设C (x ,y ),则由AB →=BC →,得 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12-(-3),32-1=⎝ ⎛⎭⎪⎫x -12,y -32,∴⎩⎪⎨⎪⎧x -12=72,y -32=12,⇒⎩⎨⎧x =4,y =2,∴C (4,2).答案 C12.解析 因为P A →+PB →+PC →=AB →=PB →-P A →,所以2P A →+PC →=0,PC →=-2P A →=2AP →,所以点P 是线段AC 的三等分点(如图所示).所以△P AB 与△ABC 的面积之比是13.答案 A13.解析 由a ∥b ,得23cos θ=6sin θ,∵cos θ≠0, ∴tan θ=33,又θ∈[0,2π),∴θ=π6或7π6. 答案 π6或76π14.解析 设a =(x ,y ),则有x 2+y 2=20.① 又a ⊥b ,∴a ·b =0,∴-x +3y =0.② 由①②解得x =32,y =2,或x =-32, y =-2,∴a =(32,2),或a =(-32,-2). 答案 (32,2)或(-32,-2) 15.解析 由题知 AB →·AC →+BA →·BC →=2,即AB →·AC →-AB →·BC →=AB →·(AC →+CB →)=AB →2=2⇒c =|AB →|= 2. 答案216.解析当a =0时,①不成立;对于②,若a ∥b ,则-2k =6,∴k =-3,②成立;对于③,由于|a |=|b |=|a -b |,则以|a |,|b |为邻边的平行四边形为菱形,如图.∠BAD =60°,AC →=a +b ,由菱形的性质可知,a 与a +b 的夹角为∠BAC =30°.答案 ②17.解 (1)令c ·d =0,则(3a +5b )·(m a -3b )=0, 即3m |a |2-15|b |2+(5m -9)a ·b =0, 解得m =2914. 故当m =2914时,c ⊥d .(2)令c =λd ,则3a +5b =λ(m a -3b ) 即(3-λm )a +(5+3λ)b =0, ∵a ,b 不共线,∴⎩⎨⎧3-λm =0,5+3λ=0,解得⎩⎪⎨⎪⎧λ=-53,m =-95.故当m =-95时,c 与d 共线.18.证明 设此等腰直角三角形的直角边长为a ,则 AD →·CE →=(AC →+CD →)·(CA →+AE →)=AC →·CA →+CD →·CA →+AC →·AE →+CD →·AE →=-a 2+0+a ·223a ·22+a 2·223a ·22 =-a 2+23a 2+13a 2=0, ∴AD →⊥CE →,∴AD ⊥CE .19.解 设D 点坐标为(x ,y ),则AD →=(x -2,y +1), BC →=(-6,-3),BD →=(x -3,y -2),∵D 在直线BC 上,即BD →与BC →共线,∴存在实数λ,使BD →=λBC →,即(x -3,y -2)=λ(-6,-3).∴⎩⎨⎧ x -3=-6λ,y -2=-3λ,∴x -3=2(y -2),即x -2y +1=0.①又∵AD ⊥BC ,∴AD →·BC →=0,即(x -2,y +1)·(-6,-3)=0.∴-6(x -2)-3(y +1)=0.②由①②可得⎩⎨⎧ x =1,y =1.∴|AD →|= (1-2)2+22=5,即|AD →|=5,D (1,1).20.解 设点M 的坐标为M (x ,y ). ∵OB →在OA →方向上的射影数量为|OM →|, ∴OM →⊥MB →,∴OM →·MB →=0.又OM →=(x ,y ),MB →=(5-x,1-y ),∴x (5-x )+y (1-y )=0.又点O ,M ,A 三点共线,∴OM →∥OA →.∴x 4=y -4. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x (5-x )+y (1-y )=0,x 4=y -4,解得⎩⎨⎧ x =2,y =-2. ∴MB →=OB →-OM →=(5-2,1+2)=(3,3).21.解 (1)因为点P 的斜坐标为(2,-2),故OP →=2e 1-2e 2,|OP →|2=(2e 1-2e 2)2=8-8e 1·e 2=8-8cos60°=4,∴|OP →|=2,即|OP |=2.(2)设圆上动点M 的坐标为(x ,y ),则OM →=x e 1+y e 2, 又|OM →|=1.故(x e 1+y e 2)2=1.∴x 2+y 2+2xy e 1·e 2=1.即x 2+y 2+xy =1. 故所求方程为x 2+y 2+xy -1=0.22.解 (1)因为BC →=λAD →,所以BC ∥AD ,且|BC →|=λ|AD →|.因为|AB →|=|AD →|=2,所以|BC →|=2λ.又|CB →-CD →|=23,所以|BD →|=2 3.作AH ⊥BD 交BD 于H ,则H 为BD 的中点.在Rt △AHB 中,有cos ∠ABH =BH AB =32,于是∠ABH =30°,所以∠ADB =∠DBC =30°. 而∠BDC =90°,所以BD =BC ·cos30°,即23=2λ·32,解得λ=2.(2)由(1)知,∠ABC =60°,|CB →|=4,所以CB →与BA →的夹角为120°, 故CB →·BA →=|CB →|·|BA →|cos120°=-4.。

(完整版)平面向量综合检测、解析及答案

(完整版)平面向量综合检测、解析及答案

平面向量综合检测、分析及答案一、选择题:本大题共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项切合题目要求的.1. 平面向量a与b的夹角为 60°,a=(2,0),|b| =1,则 | a+2b| = ()A. 3B.2 3C.4D.12分析: | a+2b| =( a+2b) 2=4+4+4=2 3.答案: B2. 已知 |a| =1,|b| =6,a·(b -a) =2,则向量 a 与 b 的夹角是 ()ππA. 6B. 4ππC. 3D. 2分析:由 a·(b-a)=2得 a·b=2+1=3=6×cos<a,b>,∴cos<a,1b>=2,又<a,b>∈[0,π],π∴<a,b>=3.答案: C3.一质点遇到平面上的三个力 F1、F2、F3( 单位:牛顿 ) 的作用而处于均衡状态.已知 F1、F2 成 60°角,且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4,则 F3 的大小为()A.2 7B.2 5C.2D.6分析:由题意得 F1+F2+F3=0.答案: A4.(2009 ·福建福州模拟 ) 把一颗骰子扔掷两次,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为b,向量 m= (a ,b) ,n=(1,2) ,则向量 m与向量 n 不共线的概率为 ()15A. 12B. 12711C.12D. 12分析: m 与 n 共线的情况共有三种: m =(1,2) ,m =(2,4) ,m =(3,6) ,3 11故 m 与 n 不共线的概率 P =1-36=12.答案: D5. 已知向量 a =(λ2+6和 j =(0,1) ,若 a ·j =- 3,3 ,λ) ,i =(1,0)且向量 a 与 i 的夹角为 θ,则 cos θ 的值为 ()3 3A .- 2 B. 2 1 1 C .-2 D. 2答案: Buuur uuur uuur uuur)6.四边形 ABCD 中,AB · BC =0,且 AB = DC,则四边形 ABCD 是( A .平行四边形 B .矩形 C .菱形 D .正方形 uuuruuuruuur分析:由AB =可知为平行四边形,由 AB ·BC =0 知∠=DCABCDABC90°,故 ABCD 为矩形.答案: B7.设 a 与 b 是两个不共线向量,且向量a +λb 与- (b -2a) 共线,则λ= ( )1A .0B .- 21C .- 2D.2分析:由题意得 a +λb =- k ( b -2a ) ∴2k =1,,=- k1∴λ=- 2. 答案: B8. 设向量 a ,b 知足: |a| =3,|b| =4,a ·b =0,以 a ,b ,a -b 的模为第2页共 8页分析:三角形的内切圆半径为 1,将圆平移,最多有 4 个公共点. 答案: B9.设 a ,b ,c 是非零向量,以下命题中正确的选项是 ( )A .( a ·b ) ·c =a ·(b ·c )B .| a -b | 2=| a | 2-2| a || b | +| b | 2C .若 | a | =| b | =| a +b | ,则 a 与 b 的夹角为 60°D .若 | a | =| b | =| a -b | ,则 a 与 b 的夹角为 60°分析:A 、B 明显不正确. 由平行四边形法例可知, 若| a | =| b | =| a +b | ,可知 <a ,b >=120°,故 C 不正确.答案为 D.答案: D10. 设 a 、b 、c 是单位向量,且 a ·b =0,则 (a -c) ·(b -c) 的最小值为()A .- 2B. 2-2C .- 1D .1- 2分析:( a -c ) ·(b -c ) =a ·b -b ·c +c 2-a ·c =1-( a +b ) · c ,又 a ·b=0,| a | =| b | =1,∴|a +b | = 2.设 a +b 与 c 的夹角为 θ,则上式= 1-2cos θ当 cos θ=1 时( a -c ) ·(b -c ) 获得最小值 1- 2. 答案: Duuur uuuruuur11.点 O 在△ABC 内部且知足 OA +2 OB +2 OC=0,则 △ABC 的面积与△OBC 的面积之比为 ( )5A.4 B .3 C .4 D .5uuuruuuruuur1 uuuruuur1 uuur分析:由 OA +2 OB +2OC =0,∴2( OB + OC ) =4AO ,∴△ABC△OBC底边 BC 的高之比为 5 1,∴ S △ABC S △OBC =5 1.答案: D12.在直角 △ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则以下等式不建立的是( )uuur2uuuruuurA .| AC | =AC· AB uuur2uuuruuurB .|BC | =BA · BCuuur 2uuuruuurC .| AB | =AC · CDuuurD .| CD |uuur uuuruuur uuur2 (ACgAB )(BA gBC ) =uuur 2ABuuur uuur uuur分析:∵AB ·AC =| ACuuur uuur uuur uuur(AC gAB )(BA gBC )同理:uuur 2AB| 2 uuuruuur 2,故 B 建立.故 A 建立,又 BA ·BC ] =| BC |uuur uuurACBA=uuur 2ABuuuruuur uuuruuur又| AC |·|BC | =| AB || CD |uuuruuuruuuruuur uuuruuur 2ACACuuur 2∴|CD |2 =uuur2,故 D 也正确.,又AC ·CD =| CD≠|| ,故AB AB选 C.答案: Cm13.设两个向量 a =( λ+2,λ2-cos2α) 和 b =(m ,2+sin α) ,此中λλ, m ,α 为实数,若 a =2b ,则 m 的取值范围是 ()A .[ -6,1]B .[4,8]C .[ -1,1]D .[ -1,6]+ =①,分析:由 a =2b 知2 2m,2-2= + ②)cos m 2sin , =2m -2,∴2-m = cos 2 +2sin又 cos 2α+2sin α=- (sin α-1) 2+2∴- 2≤cos 2 α+2sin α≤2,即- 2≤ λ2-m ≤2,由 λ=2m -22 1 -2≤(2 m -2) -m ≤2,得 4≤m ≤2λ 2m -22∴==2- ∈[ -6,1] . mm m答案: A二、填空题:本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上.uuur uuur uuur uuuruuuur14.在? ABCD 中, AB =a ,AD =b ,AN=3 NC ,M 为 BC 的中点,则 MNuuur uuur分析:由 AN =3 NC 得 4 AN =3 AC =3( a +b ) .uuuur1AM =a +2b ,uuuur 3111∴ MN =4( a +b ) -( a +2b ) =- 4a +4b .1 1答案:- 4a +4b711715.向量 c 与 a =( 2,2) ,b =( 2,- 2) 的夹角相等,且 |c| =1,则 c =________.x2+ 2=分析:设 c =( x ,y ) ,由题意得:y 1,得 =bgcagcx= 4 , x=-455 ,y= 3 y=- 355434 3答案: ( 5,- 5) 或( -5,5)16.已知点 G 为△ABC 的重心,过 G 作直线与 AB 、AC 两边分别交于 M 、Nuuuur uuur uuur uuur 1 1两点,且 AM =xAB , AN = y AC ,则 + =________.xyuuur1 uuuruuur1 1 uuuur1 uuur1分析: AG =3( AB + AC ) =3( x AM +y AC ) ,∵M 、N 、G 三点共线, ∴3x11 1+3y =1,即 x +y =3.答案: 317. 如图,在平面斜坐标系 xOy 中, ∠xOy =60°,平面上任一点 P 在斜uuur OPuuur轴方向同样的单位向量 ) ,则点 P 的斜坐标为 (x ,y) .若点 P 知足 |OP| =1,则点 P 在斜坐标系 xOy 中的轨迹方程是 ________.uuuruuur22122又| OP | =1,∴ x +y +2xy ×2=1,即 x +y +xy =1. 答案: x2+y2+xy =1三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.uuur uuur uuur uuur uuur18.(10 分) 在△ ABC 中, AB · AC = | AB - AC | =2,求|AB|2 +| AC|2. 解:由题意可知uuur uuuruuurABgAC 2uuur 2 uuur2=8.2 uuur uuur uuur 得| AB | +| AC| AB2 ABgAC AC 4uuuruuuruuuruuur uuur19.(12 分) 如图 |OA| =|OB|=1,| OC|=3,∠AOB =60°,OB ⊥ OC.uuuruuuruuur设 OC =x OA +y OB,求 x 、y 的值.uuur uuur uuur解: ∵ OC =x OA +y OB uuur 2uuur uuur uuur uuur①∴ OB · OC =x OA · OB+y OBuuur 2uuur uuur uuuruuurOC =x OA· OC +y OB · OC ②将①②联立得12x +y =0332×( - 2 ) x =3 得 x =-2,y =1π20.(12 分 ) 已知 a ,b 知足 |a| =3,|b| = 1,a 与 b 的夹角为 3 ,求 2a+3b 与 a -b 的夹角的余弦值.1 3解: ∵a ·b =| a || b |cos< a ,b >=3×1× 2=2又(2 a +3b ) 2=4a 2+9b 2+12a ·b =36+9+18=63, ∴|2 a +3b | =3 7.同理可得 | a -b | = 7 ∵ (2 a +3b ) ·(a -b ) =2a 2+a ·b -3b 23 33 =18+2-3= 2+ · -333b )211(2 a( a b ) =∴cos 〈 (2 a +3b ) ,( a -b ) 〉=a -b | = .|2 a +3b ||37·7 1421.(12 分) (2009 ·上海 ) 已知 △ABC 的角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ,b ,c ,设 m =(a ,b) ,n =(sinB ,sinA) ,p =(b -2,a -2)(1) 若 m ∥n ,求证 △ABC 为等腰三角形;π(2) 若 m ⊥p ,边长 c =2,∠C = 3 ,求 △ABC 的面积. 解: (1) 证明:∵ m ∥n ,∴ a sin A =b sin B .由正弦定理得 a 2=b 2,a =b ,∴△ ABC 为等腰三角形. (2) ∵m ⊥p ,∴ m ·p =0. 即 a ( b -2) +b ( a -2) =0 ∴a +b =ab由余弦定理得 4=a 2+b 2-ab =( a +b ) 2-3ab 即( ab )2-3ab -4=0,∴ ab =4 或 ab =- 1( 舍)11 π∴S △ABC =2ab sin C =2×4×sin 3 = 3.uuur uuuruuur22.(12 分) 已知 OA =(3 ,- 4) , OB = (6 ,- 3) , OC=(5 -m ,- 3-m).(1) 若点 A 、B 、C 不可以组成三角形,务实数 m 知足的条件;(2) 若△ABC 为直角三角形,务实数 m 的值.解: (1) uuur uuur∵ OA =(3 ,- 4) , OB =(6 ,- 3)uuurOC =(5 -m ,-3-m ) .若 A 、B 、C 三点不可以组成三角形, 则这三点共线,uuur∵ AB =(3,1)uuur1AC =(2 -m,1-m ) ,∴ 3(1 - m ) =2-m ,得 m =2(2) ∵△ ABC 为直角三角形.uuuruuur7若∠ A =90°,则 AB · AC =0,∴ 3(2 - m ) +(1 -m ) =0,得 m =4.uuuruuuruuur若∠ B =90°,则 AB · BC =0,又 BC =( -1-m ,- m )3∴ 3( -1-m ) +( -m ) =0 得 m =- 4.uuur uuur若∠ C =90°,则 BC ⊥ AC .1± 5∴(2 -m ) ·( - 1-m ) +(1 -m ) ·( -m ) =0,得 m =2731±5综上得 m=4或 m=-4或 m=223.(12 分) 已知 a=(1,2) ,b=( -2,1) ,k、t 为正实数, x=a+(t2 +1 11)b ,y=-k a+t b(1)若 x⊥y,求 k 的最大值;(2)能否存在 k、t ,使 x∥y?若存在,求出 k 的取值范围,若不存在,说明原因.解: x=a+( t 2+1) b=(1,2)+( t 2+1)(-2,1)=(-2t2-1,t2+3)1111y=-k a+t b=-k(1,2)+t(-2,1)1 2 2 1=( -k-t,-k+t )2 1 22 2 1(1) 若x⊥y,则x·y= 0,即:( -2t-1) ·( -k-t ) +( t+3)( -k+t )=0t111整理得:k=t2+1=1≤2(当且仅当t=t即t=1时“=”建立)故k maxt+t1=2.(2)假定存在正实数 k、t ,使 x∥y,则221212( -2t-1)(-k+t ) -( t+3)( -k-t ) =0t 2+113整理得k+t=0,即t+t +k=0∵k、t 为正实数,故知足上式的k、t 不存在.即不存在这样的正实数k、t 使 x∥y.。

平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元测试题(含答案)

平面向量单元测试题(含答案) 平面向量单元检测题学校:______ 姓名:______ 学号:______ 成绩:______一、选择题(每小题5分,共60分)1.若ABCD是正方形,E是CD的中点,且AB=a,AD=b,则BE的长度为()A。

b-1/2a。

B。

a-1/2b。

C。

b+1/2a。

D。

a+1/2b2.下列命题中,假命题是()A。

若a-b=0,则a=bB。

若ab=0,则a=0或b=0C。

若k∈R,ka=0,则k=0或a=0D。

若a,b都是单位向量,则XXX成立3.设i,j是互相垂直的单位向量,向量a=(m+1)i-3j,b=i+(m-1)j,(a+b)⊥(a-b),则实数m为()A。

-2.B。

2.C。

-1/2.D。

不存在4.已知非零向量a⊥b,则下列各式正确的是()A。

a+b=a-b。

B。

a+b=a+b。

C。

a-b=a-b。

D。

a+b=a-b5.在边长为1的等边三角形ABC中,设BC=a,CA=b,AB=c,则a·b+b·c+c·a的值为()A。

3/2.B。

-3/2.C。

1/2.D。

06.在△OAB中,OA=(2cosα,2sinα),O B=(5cosβ,5sinβ),若OA·OB=-5,则△OAB的面积为()A。

3.B。

3/2.C。

53.D。

53/27.在四边形ABCD中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是()A。

长方形。

B。

平行四边形。

C。

菱形。

D。

梯形8.把函数y=cos2x+3的图象沿向量a平移后得到函数y=sin(2x-π/6),则向量a的坐标是()A。

(π/3,-3)。

B。

(π/6,3)。

C。

(π/12,-3)。

D。

(-π/12,3)9.若点F1、F2为椭圆x^2/4+y^2/9=1的两个焦点,P为椭圆上的点,当△F1PF2的面积为1时,PF·PF的值为()A。

4.B。

1.C。

3.D。

(完整版)平面向量单元测试卷及答案

(完整版)平面向量单元测试卷及答案

若a 是任一非零向量,b 是单位向量;① |a| |b|;② a∥b;③ |a| 0;④|b| 1;1. 、选择题 :(本题共 10小题, 下列命题中的假命题是( 平面向量》单元测试卷 每小题 ) 4 分,共 40 分) A 、 C 、 AB 与BA 的长度相等; 只有零向量的模等于零; B 、 D 、 零向量与任何向量都共线; 共线的单位向量都相等。

A 、(AB CD ) BC B 、 (AM MB )(BCCD )C 、(AC AB )( AD CB ) D 、 OC OA CD 5. 设a ( 2,4), b(1,2),则( )A 、a 与b 共线且方向相反 B 、 a 与 b 共线且方向相同 C 、 a 与 b 不平行 D 、 a 与 b 是相反向量 列四式中不能化简为 AD 的是()2. ab ,其中正确的有( ) ⑤ |a|A 、①④⑤B 、③C 、①②③⑤D 、②③⑤3. 设 a , b ,c 是任意三个平面向量, 命题甲: a b 围成一个三角形。

则命题甲是命题乙的(必要不充分条件 D 、非充分也非必要条件 c 0 ;命题乙:把 a ,b ,c 首尾相接能A 、充分不必要条件 充要条件 B 、4. 6. 如图 1,△ ABC 中, D 、 心,则下列各等式中不成立的是(E 、F 分别是边 BC 、CA 和 AB 的中点, )G 是△ ABC 中的重 A 、 BG 2 BE3 B 、 DG 1AG2C 、CG 2FGD 、1DA32 FC3 1 BC 211.若 a 与b 都是单位向量,则 | a b |的取值范围是 。

112. △ABC 中, BD BC ,则用 AB 和AC 表示 AD __________ 。

313.设a (x 3,x 3y 4),若 a 与AB 相等,且A 、B 两点的坐标分别为 (1,2)和(3,2) ,则 x= 。

14.设 a 与b 是共线向量, |a| 3,|b| 5,则 a b ___ 。

平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习(含答案)

平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习(含答案)

平面向量单元测试-2023届高考数学一轮复习(含答案)《平面向量》单元测试考试时间:120分钟 满分:150分一、单选题:本大题共8小题,每个小题5分,共40分.在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量(),3a k =,()1,4b =,()2,1c =,且()23a b c -⊥,则实数k 的值为( )A .32-B .152C .32D .32.在平行四边形ABCD 中,E 是边CD 的中点,AE 与BD 交于点F .若AB a =,AD b =,则AF =( )A .1344a b +B .2133ab C .3144a b +D .1233a b +3.如图,ABC 中,3BD DC =,AE mAB =,AF nAC =,0m >,0n >,则13m n+=( )A .3B .4C .43D .344.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 在线段BD 上,且EB mDE =(m R ∈),若AC AE AD λμ=+(λ,μ∈R )且20λμ+=,则m =( )A .13B .3C .14D .45.已知平面向量,,a b c 满足1a =,2b =,a 与b 的夹角为45,当1c b -=时,a c ⋅的最大值为( )A .1B .2C .3D .46.如图,在平行四边形ABCD 中,点E 是CD 的中点,点F 为线段BD 上的一动点,若AF x AE yDC =+,且0x m >>,0y >,则()my x m -的最大值为( )A .8243B .4243C .381D .4817.已知ABC 中,()min 2,||3R AB AC BQ QA AB BC λλ===+=∈,()1221,33AP AB AC μμμ=+-≤≤,则PQ 的最小值为( )A .3B .5CD 8.在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=,24b a +=,32CA CD CB =-,则线段CD 长度的最小值为( )A .2B C .3 D 二、多选题:本大题共4小题,每个小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,只有一项或者多项是符合题目要求的.9.已知平面向量()1,0a =,()1,23b =,则下列说法正确的是( ) A .4a b +=B .()2a b a +⋅=C .向量a b +与a 的夹角为30︒D .向量a b +在a 上的投影向量为2a10.已知向量()3,1a =,()2,3b =,()1,2c =-,若()()ma c a nb ++∥(m ,n ∈R ),则(),m n 可能是( ) A .()2,1B .()0,1-C .()3,2D .11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭11.已知向量()()2,1,cos ,sin (0π)a b θθθ==<<,则下列命题正确的是( ) A .·a bB .存在θ,使得=+a b a b +C .若a b ⊥,则tan θ=D .若b 在a 上的投影向量为,则向量a 与b 的夹角为2π3 12.下列说法正确的是( )A .已知向量()2,3a =-,(),21b x x =-,若a ∥b ,则2x =B .若向量a ,b 共线,则a b a b +=+C .已知正方形ABCD 的边长为1,若点M 满足12DM MC =,则43AM AC ⋅= D .若O 是ABC 的外心,3AB =,5AC =,则OA BC ⋅的值为8-三、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知向量a ,b 满足2a =,1b =,()5a a b ⋅+=,则cos ,a b =____________. 14.设向量,a b 的夹角的余弦值为13-,且|2||3|6a b ==,则|2|a b +=___________. 15.在ABC 中,点D 在边BC 上,且2BD DC =,若AD AC AB λμ=+,则λμ=____16.记ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知ABC 的面积为S ,且2||2AC AB AC S -⋅=,则C =______.四、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知向量,a b 满足||2,||1a b ==,且()(2)9a b a b -⋅-=. (1)求|3|a b +;(2)记向量b 与向量3a b +的夹角为θ,求cos θ.18.如图,在矩形ABCD 中,点E 在边AB 上,且2AE EB =,M 是线段CE 上一动点.(1)若M 是线段CE 的中点,AM mAB nAD =+,求m n +的值; (2)若9AB =,43CA CE ⋅=,求解AD .19.如图,已知正方形ABCD 的边长为2,过中心O 的直线l 与两边AB ,CD 分别交于点M ,N .(1)若Q 是BC 的中点,求QM QN ⋅的取值范围;(2)若P 是平面上一点,且满足2(1)OP OB OC λλ=+-,求PM PN ⋅的最小值.20.已知向量()cos ,sin OA a αα==,()2cos ,2sin OB b ββ==,()0,OC c d ==(0d >),其中O 为坐标原点,且π0π2βα<<<<. (1)若()a b a ⊥-,求βα-的值;(2)若向量a 在向量c b c d ⋅=,求AOB 的面积,21.已知函数()f x a b =⋅,其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈. (1)求函数()y f x =的单调递减区间;(2)在ABC 中,角,,A B C 所对的边分别为(),,,2,a b c f A a =且3sin 2sin B C =,求ABC 的面积.22.已知向量(1,3=-m ,()sin ,cos n x x =,函数()()f x m n n =+⋅,在ABC 中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且()1f C =. (1)求C 的大小;(2)若ABC D 在边AC 上,且12CD DA =,求BD 的最小值.《平面向量》课时作业参考解析1.D【解析】由已知得,()()()232,331,423,6a b k k -=-=--. 又()23a b c -⊥,所以()230a b c -⋅=,即()()()23,62,12236k k --⋅=--4120k =-=.解得,3k =.故选:D. 2.D【解析】12AE AD DE AD AB =+=+.设AF AE λ=()01λ<<,则1122BF AF AB AD AB AB AD AB λλλ⎛⎫⎛⎫=-=+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,又BD AD AB =-,且,,B F D 三点共线,则,BF BD 共线,即R μ∃∈,使得BF BD μ=,即12AD AB AD AB λλμμ⎛⎫+-=- ⎪⎝⎭,又,AB AD 不共线,则有12λμλμ=⎧⎪⎨-=-⎪⎩,解得2323λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,所以,22112123323333AF AE AD AB AB AD a b ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭. 故选:D.3.B【解析】由题意得:()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+, AE mAB =,AF nAC =,1344AD AE AF m n∴=+, ,,E D F 三点共线,13144m n ∴+=,即134m n+=.故选:B. 4.B【解析】方法1:在平行四边形ABCD 中,因为EB =mDE ,所以()AB AE m AE AD -=-,所以11AE AB m =++1m AD m+,又∵AB DC AC AD ==-, ∴()111mAE AC AD AD m m=-+++,∴()()11AC m AE m AD =++-, 又∵AC AE AD λμ=+,∴1m λ=+,1m μ=-,(平面向量基本定理的应用) 又∵20λμ+=,∴()1210m m ++-=,解得3m =,故选:B.方法2:如图,以A 为坐标原点,AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系,则()0,0A ,设(),0B a ,(),D b c ,∵AB DC = 则 (),C a b c +,又∵EB mDE =,设(),E x y ,则()()11mb a x a x m x b m y m y c mc y m ⎧+⎧=⎪⎪-=-⎪⎪+⇒⎨⎨-=-⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩即:,11mb a mc E m m +⎛⎫⎪++⎝⎭,∴,11mb a mc AE m m +⎛⎫= ⎪++⎝⎭,(),AC a b c =+,(),AD b c =, 又∵AC AE AD λμ=+,20λμ+=,∴2AC AE AD μμ=-+ ∴()(),=2,,11mb a mc a b c b c m m μμ+⎛⎫+-+⎪++⎝⎭∴2()121a bm a b b m mc c c m μμμμ-+⎧+=+⎪⎪+⎨-⎪=+⎪+⎩①②由②得1=1m mμ+-,将其代入①得3m =,故选:B. 5.B【解析】1a =,2b =,a 与b 的夹角为45,∴可设()1,0a =,()1,1b =,设(),c x y =,由1c b -=得:()()22111x y -+-=,则点C 轨迹是以()1,1为圆心,1为半径的圆,a c x ⋅=,∴当2x =时,a c ⋅取得最大值2.故选:B.6.B【解析】由题意可得12AE AD DE AB AD =+=+,所以,1122x AB AD y AB A x A F xAE x yDC y B AD ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪= ⎪⎝⎭⎝⎭+,因为F 为线段BD 上的点,所以,存在()0,1λ∈,使得DF DB λ=, 所以,()AF AD AB AD λ-=-,则()1AF AB AD λλ=+-,所以,121x y x λλ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩,则312x y +=,因为03102x y x >⎧⎪⎨=->⎪⎩,则203x <<, 所以,()()()3321223my x m m x x m m x m x ⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭223232323448383839m x m x m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤⋅-+-=-=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 令()32344839f m m m m ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,其中203m <<, 则()238432233839833f m m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=-+=-- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,当209m <<时,()0f m '>,此时函数()f m 单调递增, 当2293m <<时,()0f m '<,此时函数()f m 单调递减,所以,()max 249243f m f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,当且仅当29m =,49x =时,()my x m -取最大值4243.故选:B. 7.C【解析】如图,设点O 为BC 上的一点,令BO BC λ=,即AB BC AB BO AO λ==++,当AO BC ⊥时AO 取最小值3,此时根据勾股定理可得BO OC ==ABC 为等边三角形,当点O 为BC 的中点时建立如图直角坐标系:()0,3A ,3,0B,)C,()3AB =--,()3,3AC =-()226AB μμ=--,())()()131,31AC μμμ-=---()()213,33AP AB AC μμμ=+-=---,故),3Pμ-因为2BQ QA =,所以2Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则32PQ μ⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭3PQ ⎛== 因为1233μ≤≤,所以当13μ=时PQ 取最小值,min 23PQ =:C 8.D【解析】由()(sin sin )sin sin a c A C b B a B +-+=及正弦定理, 得2()()a c a c b ab +-+=,即222a b c ab +-=,由余弦定理得,2221cos 22a b c C ab +-==,∵()0,C π∈,∴3C π=. 由32CA CD CB =-,1233CD CA CB =+,两边平方,得22144999CD CA CA CB CB =+⋅+,即222144cos 999CD b a ab C =++22142999b a ab =++()212299b a ab -=+()221122992b a b a +⎛+-⎫≥ ⎪⎝⎭()21212b a =+, 当且仅当224b a b a =⎧⎨+=⎩,即12a b =⎧⎨=⎩时取等号,即2214(2)123CD b a ≥+=,∴线段CD D . 9.ABD【解析】由题意得((11,0a b +=++=, 所以(224a b +=+,故A 正确;()21202a b a +⋅=⨯+=,故B 正确;()21cos ,142a ab a a b a a b⋅++===⨯+, 0,πa a b ≤+≤,∴π,3a ab +=,故C 错误;向量a b +在a 上的投影向量为()2a a baa aa⋅+⋅=,故D 正确,故选:ABD . 10.ABD【解析】由题意得()32,13a nb n n +=++,()31,2ma c m m +=-+, 由()()ma c a nb ++∥可得()()()()3221331n m n m ++=+-,整理得1mn n =+. 对于选项A ,2111⨯=+,故选项A 正确; 对于选项B ,()0111⨯-=-+,故选项B 正确; 对于选项C ,3221⨯≠+,故选项C 错误; 对于选项D ,()111122⎛⎫-⨯-=-+ ⎪⎝⎭,故选项D 正确,故选:ABD . 11.ABD【解析】对于A ,()2cos sin a b θθθϕ⋅=++,其中tan 0,2πϕϕ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,所以当=2πθϕ+,a b ⋅A 正确.对于B ,因为0πθ<<,所以当a b λ=,且0λ>时,a b a b +=+,即θ使得cos θ=,sin θ=时,符合题意,所以B 正确. 对于C ,若a b ⊥,则2cos sin 0a b θθ⋅=+=,此时tan θ=C 错误. 对于D ,b 在a 上的投影向量为cos ,3cos ,63a ba b a b a a a⋅==-, 所以1cos ,2a b =-,所以a 和b 的夹角为2π3,D 正确. 故选:ABD. 12.CD【解析】对于A ,因为()2,3a =-,(),21b x x =-,a ∥b , 所以2(21)3x x --=,解得27x =,故错误;对于B ,因为向量a ,b 共线,当向量a ,b 同向时,则有a b a b +=+;当向量a ,b 反向时,则有||a b a b +=-,故错误;对于C ,因为12DM MC =,所以M 为CD 的三等分点中靠近D 的点, 所以13AM AD DM AD DC =+=+,AC AD DC =+,所以2211414()()||||1033333AM AC AD DC AD DC AD DC DC AD ⋅=+⋅+=++⋅=++=,故正确;对于D ,因为O 是ABC 的外心,所以||||||OA OB OC R ===(R 为ABC 的外接圆半径),又因为OB OA AB -=,所以22()||OB OA AB -=,即2229R OA OB -⋅=,① 同理可得22225R OA OC -⋅=,②由①-②可得:8OA OC OA OB ⋅-⋅=-,即有()8OA OC OB OA BC ⋅-=⋅=-,故正确. 故选:CD.13.【解析】∵()242cos ,5a a b a a b a b ⋅+=+⋅=+=,∴1cos ,2a b =14.【解析】由题意|2||3|6a b ==,所以||3,||2,a b ==所以1cos 232,3a b a b θ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭所以2|2|(2)a b ab +=+2244a a b b =+⋅+==15.【解析】由2BD DC =,得23BD BC =, 则在ABC 中,()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+, 因AD λAC μAB =+,故2313λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,因此2λμ=. 16.【解析】22||cos sin 222AC AB AC b bc A bc AS -⋅-===,则()cos sin b c A A =+,由正弦定理得()()()sin cos sin sin sin πsin sin cos cos sin C A A B A C A C A C A C ⎡⎤+==-+=+=+⎣⎦,故 ()sin cos sin 0C C A -=,∵sin 0A ≠,∴πsin cos sin 04C C C ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭,∵()0,πC ∈,∴π4C =.17.【解析】(1)因为()(2)9a b a b -⋅-=,所以22329a a b b -⋅+=. 因为向量,a b 满足||2,||1a b ==,所以2223219a b -⋅+⨯=,所以1a b ⋅=-.所以()2222|3|3692a b a ba ab b +=+=+⋅+=+(2)因为()231323a b b b a b ⋅+=-+⋅==+,所以()32cos 173b a bb a bθ⋅+==⨯⨯+ 18.【解析】(1)因为点E 在边AB 上,且2AE EB =,所以23AE AB =, 因为M 是线段CE 的中点,所以1()2AM AC AE =+112()223AB AD AB =++⨯5162AB AD =+, 因为AM mAB nAD =+,,AB AD 不共线,所以51,62m n ==, 所以514623m n +=+=;(2)由题意可得CA CD CB AB AD =+=--,13CE CB BE AD AB =+=--, 因为43CA CE ⋅=,所以1()()433AB AD AD AB --⋅--=,所以1()()433AB AD AD AB +⋅+=,所以22144333AD AB AB AD ++⋅=,因为9AB =,0AB AD ⋅=,所以2219433AD +⨯=,得216AD =,所以4AD =. 19.【解析】(1)因为直线l 过中心O 且与两边AB 、CD 分别交于点M 、N . 所以O 为MN 的中点,所以OM ON =-, 所以()()QM QN QO OM QO ON ⋅=+⋅+22QO OM =-.因为Q 是BC 的中点,所以||1QO =,1||2OM ≤≤2210QO OM -≤-≤, 即的QM QN ⋅取值范围为[1,0]-;(2)令2OT OP =,则 2(1)OT OP OB OC λλ==+-,∴OT OB OC OC λλ=+-,即:OT OC OB OC λλ-=-,∴CT CB λ= ∴点T 在BC 上,又因为O 为MN 的中点,所以||1OT ≥,从而1||2OP ≥,()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+22PO OM =-,因为1||2OM ≤≤,所以2217244PM PN PO OM ⋅=-≥-=-, 即PM PN ⋅的最小值为74-.20.【解析】(1)由题知(2cos cos ,2sin sin )b a βαβα-=--,因为()a b a ⊥-, 所以()cos (2cos cos )sin (2sin sin )2cos()10a b a αβααβααβ⋅-=-+-=--= 即1cos()2αβ-=,因为π0π2βα<<<<,所以0αβπ<-<,所以3παβ-=,所以3πβα-=-(2)由题知sin a c d d c α⋅==sin α=, 因为2απ<<π,所以23πα=,又2sin b c d d β⋅==,即1sin 2β=,因为02βπ<<,所以6πβ=,易知,2AOB π∠=,1,2OA OB ==,所以112AOBSOA OB =⨯=21.【解析】(1)因为函数()f x a b =⋅,其中()(cos ,sin2,2cos ,R a x x b x x ==∈,所以,()22cos cos212sin 216f x a b x x x x x π⎛⎫=⋅==+=++ ⎪⎝⎭,由题意有()3222Z 262k x k k πππππ+≤+≤+∈,解得()2Z 63k x k k ππππ+≤≤+∈, 所以,函数()y f x =的单调递减区间为()2,63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ; (2)结合(1)得()12sin 212,sin 2662f A A A ππ⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因为0A π<<,所以132666A πππ<+<,所以,5266A ππ+=,解得3A π=,因为3sin 2sin B C =,所以332,2b c c b ==,又在ABC 中,a =所以,由余弦定理得2222772cos34a b c bc b π==+-=,解得3,2c b ==,所以1232ABC S =⨯⨯=△.22【解析】(1)()1sin ,cos m n x x +=+,()()()22sin 1sin cos cos sin sin cos f x x x x x x x x x∴=++=++πsin 12sin 13x x x ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭,()π2sin 113f C C ⎛⎫∴=-+= ⎪⎝⎭,πsin 03C ⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭,()0,πC ∈,ππ2π,333C ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭,π03C ∴-=,解得:π3C =.(2)1sin 2ABCSab C ===2ab ∴=;12CD DA =,13CD b ∴=, 在BCD △中,由余弦定理得:2222211112cos 3393BD a b a b C a b ab ⎛⎫=+-⋅=+- ⎪⎝⎭,2111223333BD a b ab ab ∴≥⋅-==(当且仅当13a b =,即a =,b 时取等号),BD ∴≥BD .。

高一数学第二章平面向量检测题及答案解析

高一数学第二章平面向量检测题及答案解析

高一数学平面向量测试题本试题分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,考试结束后,只将第Ⅱ卷和答题卡一并交回。

参考公式:将点),(y x P 按向量),(b a 平移后得点),(y x P ''',则⎩⎨⎧+='+='b y y ax x第Ⅰ卷(选择题部分 共40分)注意事项:1. 答第Ⅰ卷时,考生务必将姓名、准考号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题卷上。

一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.每小题给出的四个选项中,仅一项符合要求)1.已知向量b a ,,则“R b a ∈=λλ,”成立的必要不充分条件是 ( )A .0 =+b aB .a 与b 方向相同C .b a ⊥D .a∥b2.在△ABC 中,AB =a ,AC=b ,如果|||=|a b ,那么△ABC 一定是( )A .等腰三角形B .等边三角形C .直角三角形D .钝角三角形3.1(26)32+-a b b 等于 ( )A .2-a bB .-a bC .aD .b4.下列命题正确的是( )A .若ABC 、、是平面内的三点,则AB AC BC -= B .若12e e 、是两个单位向量,则12e e =。

C .若a b 、 是任意两个向量,则a b a b +≤+D .向量12(0,0),(1,2)e e ==-可以作为平面内所有向量的一组基底5.一质点受到平面上的三个力123,,F F F (单位:牛顿)的作用而处于平衡状态.已知12,F F 成120 角,且12,F F 的大小分别为1和2,则有( )A .13,F F 成90角B .13,F F 成150角C .23,F F 成90角D .23,F F 成60角6.如图,设,P Q 为ABC ∆内的两点,且2155AP AB AC =+,AQ =2AB +1AC ,则ABP ∆的面积与ABQ ∆的面积之比为 A .15B .45 C .14 D .137.设点M 是线段BC 的中点,点A 在直线BC 外,216,BCAB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,则AM ∣∣=( )A .8B .4C .2D .18.平面上O,A,B 三点不共线,设,OA a OB b ==,则△OAB 的面积等于( )A .222|||()|a b a b -B .222|||()|a b a b +C .2221|||()2|a b a b - D .2221|||()2|a b a b + 9.函数2)62cos(-+=πx y 的图像F 按向量a 平移到F /,F /的解析式y=f(x),当y=f(x)为奇函数时,向量a 可以等于( )A .)2,6(-πB .)2,6(πC .)2,6(--πD .)2,6(π-10.定义平面向量之间的一种运算“”如下,对任意的a=(m,n),b p,q)=(,令 a b=mq-np ,下面说法错误的是( )A .若a 与b 共线,则a b=0B .ab=b aC .对任意的R λ∈,有a)b=(λλ(ab)D .2222(ab)+(ab)=|a||b|第Ⅱ卷(非选择题部分 共60分)二、填空题(本大题6小题,每题4分,共24分。

(完整版)平面向量测试题及详解

(完整版)平面向量测试题及详解

平面向量第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。

)1.(文)(2011·北京西城区期末)已知点A (-1,1),点B (2,y ),向量a =(1,2),若AB →∥a ,则实数y 的值为( )A .5B .6C .7D .8[答案] C[解析] AB →=(3,y -1),∵AB →∥a ,∴31=y -12,∴y =7.(理)(2011·福州期末)已知向量a =(1,1),b =(2,x ),若a +b 与4b -2a 平行,则实数x 的值为( )A .-2B .0C .1D .2[答案] D[解析] a +b =(3,x +1),4b -2a =(6,4x -2), ∵a +b 与4b -2a 平行,∴36=x +14x -2,∴x =2,故选D.2.(2011·蚌埠二中质检)已知点A (-1,0),B (1,3),向量a =(2k -1,2),若AB →⊥a ,则实数k 的值为( )A .-2B .-1C .1D .2[答案] B[解析] AB →=(2,3),∵AB →⊥a ,∴2(2k -1)+3×2=0,∴k =-1,∴选B.3.(2011·北京丰台期末)如果向量a =(k,1)与b =(6,k +1)共线且方向相反,那么k 的值为( )A .-3B .2C .-17D.17[答案] A[解析] 由条件知,存在实数λ<0,使a =λb ,∴(k,1)=(6λ,(k +1)λ),∴⎩⎪⎨⎪⎧k =6λ(k +1)λ=1,∴k =-3,故选A.4.(文)(2011·北京朝阳区期末)在△ABC 中,M 是BC 的中点,AM =1,点P 在AM 上且满足AP →=2PM →,则P A →·(PB →+PC →)等于( )A .-49B .-43C.43D.49[答案] A[解析] 由条件知,P A →·(PB →+PC →)=P A →·(2PM →) =P A →·AP →=-|P A →|2=-⎝⎛⎭⎫23|MA →|2=-49.(理)(2011·黄冈期末)在平行四边形ABCD 中,E 、F 分别是BC 、CD 的中点,DE 交AF 于H ,记AB →、BC →分别为a 、b ,则AH →=( )A.25a -45bB.25a +45b C .-25a +45bD .-25a -45b[答案] B[解析] AF →=b +12a ,DE →=a -12b ,设DH →=λDE →,则DH →=λa -12λb ,∴AH →=AD →+DH →=λa+⎝⎛⎭⎫1-12λb , ∵AH →与AF →共线且a 、b 不共线,∴λ12=1-12λ1,∴λ=25,∴AH →=25a +45b .5.(2011·山东潍坊一中期末)已知向量a =(1,1),b =(2,n ),若|a +b |=a ·b ,则n =( ) A .-3 B .-1 C .1 D .3[答案] D[解析] ∵a +b =(3,1+n ),∴|a +b |=9+(n +1)2=n 2+2n +10, 又a ·b =2+n ,∵|a +b |=a ·b ,∴n 2+2n +10=n +2,解之得n =3,故选D.6.(2011·烟台调研)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点,则AP →·(AB →+AC →)( ) A .最大值为8 B .是定值6 C .最小值为2 D .与P 的位置有关[答案] B[解析] 设BC 边中点为D ,则 AP →·(AB →+AC →)=AP →·(2AD →)=2|AP →|·|AD →|·cos ∠P AD =2|AD →|2=6.7.(2011·河北冀州期末)设a ,b 都是非零向量,那么命题“a 与b 共线”是命题“|a +b |=|a |+|b |”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .非充分非必要条件[答案] B[解析] |a +b |=|a |+|b |⇔a 与b 方向相同,或a 、b 至少有一个为0;而a 与b 共线包括a 与b 方向相反的情形,∵a 、b 都是非零向量,故选B.8.(2011·甘肃天水一中期末)已知向量a =(1,2),b =(-2,-4),|c |=5,若(a +b )·c =52,则a 与c 的夹角为( ) A .30° B .60° C .120° D .150°[答案] C[解析] 由条件知|a |=5,|b |=25,a +b =(-1,-2),∴|a +b |=5,∵(a +b )·c =52,∴5×5·cos θ=52,其中θ为a +b 与c 的夹角,∴θ=60°.∵a +b =-a ,∴a +b 与a 方向相反,∴a 与c 的夹角为120°.9.(文)(2011·福建厦门期末)在△ABC 中,∠C =90°,且AC =BC =3,点M 满足BM →=2MA →,则CM →·CB →等于( )A .2B .3C .4D .6[答案] B[解析] 解法1:如图以C 为原点,CA 、CB 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,则A (3,0),B (0,3),设M (x 0,y 0),∵BM →=2MA →,∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0=2(3-x 0)y 0-3=2(-y 0),∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0=2y 0=1,∴CM →·CB →=(2,1)·(0,3)=3,故选B. 解法2:∵BM →=2MA →,∴BM →=23BA →,∴CB →·CM →=CB →·(CB →+BM →)=|CB →|2+CB →·⎝⎛⎭⎫23BA → =9+23×3×32×⎝⎛⎭⎫-22=3.(理)(2011·安徽百校联考)设O 为坐标原点,点A (1,1),若点B (x ,y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2+y 2-2x -2y +1≥0,1≤x ≤2,1≤y ≤2,则OA →·OB →取得最大值时,点B 的个数是( )A .1B .2C .3D .无数[答案] A[解析] x 2+y 2-2x -2y +1≥0,即(x -1)2+(y -1)2≥1,画出不等式组表示的平面区域如图,OA →·OB →=x +y ,设x +y =t ,则当直线y =-x 平移到经过点C 时,t 取最大值,故这样的点B 有1个,即C 点.10.(2011·宁夏银川一中检测)a ,b 是不共线的向量,若AB →=λ1a +b ,AC →=a +λ2b (λ1,λ2∈R ),则A 、B 、C 三点共线的充要条件为( )A .λ1=λ2=-1B .λ1=λ2=1C .λ1·λ2+1=0D .λ1λ2-1=0[答案] D[分析] 由于向量AC →,AB →有公共起点,因此三点A 、B 、C 共线只要AC →,AB →共线即可,根据向量共线的条件可知存在实数λ使得AC →=λAB →,然后根据平面向量基本定理得到两个方程,消去λ即得结论.[解析] ∵A 、B 、C 共线,∴AC →,AB →共线,根据向量共线的条件知存在实数λ使得AC →=λAB →,即a +λ2b =λ(λ1a +b ),由于a ,b 不共线,根据平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧1=λλ1λ2=λ,消去λ得λ1λ2=1.11.(文)(2011·北京学普教育中心)设向量a =(a 1,a 2),b =(b 1,b 2),定义一种向量运算a ⊕b =(a 1,a 2)⊕(b 1,b 2)=(a 1b 1,a 2b 2).已知m =⎝⎛⎭⎫2,12,n =⎝⎛⎭⎫π3,0,点P (x ,y )在y =sin x 的图象上运动,点Q 在y =f (x )的图象上运动,且满足OQ →=m ⊕OP →+n (其中O 为坐标原点),则y =f (x )的最大值及最小正周期分别为( )A .2;πB .2;4π C.12;4π D.12;π [答案] C[解析] 设点Q (x ′,y ′),则OQ →=(x ′,y ′),由新定义的运算法则可得: (x ′,y ′)=⎝⎛⎭⎫2,12⊕(x ,y )+⎝⎛⎭⎫π3,0 =⎝⎛⎭⎫2x +π3,12y , 得⎩⎨⎧x ′=2x +π3y ′=12y,∴⎩⎪⎨⎪⎧x =12x ′-π6y =2y ′,代入y =sin x ,得y ′=12sin ⎝⎛⎭⎫12x ′-π6,则 f (x )=12sin ⎝⎛⎭⎫12x -π6,故选C. (理)(2011·华安、连城、永安、漳平一中、龙海二中、泉港一中六校联考)如图,在矩形OACB 中,E 和F 分别是边AC 和BC 的点,满足AC =3AE ,BC =3BF ,若OC →=λOE →+μOF →其中λ,μ∈R ,则λ+μ是( )A.83B.32C.53 D .1[答案] B[解析] OF →=OB →+BF →=OB →+13OA →,OE →=OA →+AE →=OA →+13OB →,相加得OE →+OF →=43(OA →+OB →)=43OC →,∴OC →=34OE →+34OF →,∴λ+μ=34+34=32.12.(2011·辽宁沈阳二中阶段检测)已知非零向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|+AC →|AC →|·BC →=0,且AB →|AB →|·AC →|AC →|=-12,则△ABC 的形状为( )A .等腰非等边三角形B .等边三角形C .三边均不相等的三角形D .直角三角形 [答案] A[分析] 根据平面向量的概念与运算知,AB →|AB →|表示AB →方向上的单位向量,因此向量AB →|AB →|+AC→|AC →|平行于角A 的内角平分线.由⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|+AC →|AC →|·BC →=0可知,角A 的内角平分线垂直于对边,再根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|=-12可求角A .[解析] 根据⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|+AC →|AC →|·BC →=0知,角A 的内角平分线与BC 边垂直,说明三角形是等腰三角形,根据数量积的定义及AB →|AB →|·AC →|AC →|=-12可知A =120°.故三角形是等腰非等边的三角形.[点评] 解答本题的关键是注意到向量AB →|AB →|,AC →|AC →|分别是向量AB →,AC →方向上的单位向量,两个单位向量的和一定与角A 的内角平分线共线.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分,把正确答案填在题中横线上) 13.(文)(2011·湖南长沙一中月考)设平面向量a =(1,2),b =(-2,y ),若a ∥b ,则|3a +b |等于________.[答案]5[解析] 3a +b =(3,6)+(-2,y )=(1,6+y ), ∵a ∥b ,∴-21=y2,∴y =-4,∴3a +b =(1,2),∴|3a +b |= 5.(理)(2011·北京朝阳区期末)平面向量a 与b 的夹角为60°,a =(2,0),|b |=1,则|a +2b |=________.[答案] 2 3[解析] a ·b =|a |·|b |cos60°=2×1×12=1,|a +2b |2=|a |2+4|b |2+4a ·b =4+4+4×1=12, ∴|a +2b |=2 3.14.(2011·华安、连城、永安、漳平、龙海、泉港六校联考)已知a =(2+λ,1),b =(3,λ),若〈a ,b 〉为钝角,则λ的取值范围是________.[答案] λ<-32且λ≠-3[解析] ∵〈a ,b 〉为钝角,∴a ·b =3(2+λ)+λ=4λ+6<0, ∴λ<-32,当a 与b 方向相反时,λ=-3,∴λ<-32且λ≠-3.15.(2011·黄冈市期末)已知二次函数y =f (x )的图像为开口向下的抛物线,且对任意x ∈R 都有f (1+x )=f (1-x ).若向量a =(m ,-1),b =(m ,-2),则满足不等式f (a ·b )>f (-1)的m 的取值范围为________.[答案] 0≤m <1[解析] 由条件知f (x )的图象关于直线x =1对称,∴f (-1)=f (3),∵m ≥0,∴a ·b =m +2≥2,由f (a ·b )>f (-1)得f (m +2)>f (3), ∵f (x )在[1,+∞)上为减函数,∴m +2<3,∴m <1,∵m ≥0,∴0≤m <1.16.(2011·河北冀州期末)已知向量a =⎝⎛⎭⎫sin θ,14,b =(cos θ,1),c =(2,m )满足a ⊥b 且(a +b )∥c ,则实数m =________.[答案] ±522[解析] ∵a ⊥b ,∴sin θcos θ+14=0,∴sin2θ=-12,又∵a +b =⎝⎛⎭⎫sin θ+cos θ,54,(a +b )∥c , ∴m (sin θ+cos θ)-52=0,∴m =52(sin θ+cos θ),∵(sin θ+cos θ)2=1+sin2θ=12,∴sin θ+cos θ=±22,∴m =±522.三、解答题(本大题共6个小题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知向量a =(-cos x ,sin x ),b =(cos x ,3cos x ),函数f (x )=a ·b ,x ∈[0,π].(1)求函数f (x )的最大值;(2)当函数f (x )取得最大值时,求向量a 与b 夹角的大小. [解析] (1)f (x )=a ·b =-cos 2x +3sin x cos x =32sin2x -12cos2x -12=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6-12. ∵x ∈[0,π],∴当x =π3时,f (x )max =1-12=12.(2)由(1)知x =π3,a =⎝⎛⎭⎫-12,32,b =⎝⎛⎭⎫12,32,设向量a 与b 夹角为α,则cos α=a ·b |a |·|b |=121×1=12, ∴α=π3.因此,两向量a 与b 的夹角为π3.18.(本小题满分12分)(2011·呼和浩特模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点F 1、F 2在坐标轴上,离心率为2,且过点(4,-10).(1)求双曲线方程;(2)若点M (3,m )在双曲线上,求证MF 1→·MF 2→=0.[解析] (1)解:∵e =2,∴可设双曲线方程为x 2-y 2=λ, ∵过(4,-10)点,∴16-10=λ,即λ=6, ∴双曲线方程为x 2-y 2=6.(2)证明:F 1(-23,0),F 2(23,0),MF 1→=(-3-23,-m ),MF 2→=(-3+23,-m ),∴MF 1→·MF 2→=-3+m 2,又∵M 点在双曲线上,∴9-m 2=6,即m 2-3=0, ∴MF 1→·MF 2→=0,即MF 1→⊥MF 2→.19.(本小题满分12分)(2011·宁夏银川一中月考,辽宁沈阳二中检测)△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,向量m =(2sin B,2-cos2B ),n =(2sin 2(π4+B2),-1),m ⊥n .(1)求角B 的大小;(2)若a =3,b =1,求c 的值.[分析] 根据向量关系式得到角B 的三角函数的方程,解这个方程即可求出角B ,根据余弦定理列出关于c 的方程,解这个方程即可.[解析] (1)∵m ⊥n ,∴m ·n =0, ∴4sin B ·sin 2⎝⎛⎭⎫π4+B 2+cos2B -2=0, ∴2sin B [1-cos ⎝⎛⎭⎫π2+B ]+cos2B -2=0, ∴2sin B +2sin 2B +1-2sin 2B -2=0, ∴sin B =12,∵0<B <π,∴B =π6或56π.(2)∵a =3,b =1,∴a >b ,∴此时B =π6,方法一:由余弦定理得:b 2=a 2+c 2-2ac cos B , ∴c 2-3c +2=0,∴c =2或c =1. 方法二:由正弦定理得b sin B =asin A,∴112=3sin A ,∴sin A =32,∵0<A <π,∴A =π3或23π, 若A =π3,因为B =π6,所以角C =π2,∴边c =2;若A =23π,则角C =π-23π-π6=π6,∴边c =b ,∴c =1. 综上c =2或c =1.20.(本小题满分12分)(2011·山东济南一中期末)已知向量a =⎝⎛⎭⎫cos 3x 2,sin 3x2,b =⎝⎛⎭⎫cos x 2,-sin x 2,且x ∈[π2,π].(1)求a ·b 及|a +b |;(2)求函数f (x )=a ·b +|a +b |的最大值,并求使函数取得最大值时x 的值. [解析] (1)a ·b =cos 3x 2cos x 2-sin 3x 2sin x 2=cos2x ,|a +b |=⎝⎛⎭⎫cos 3x 2+cos x 22+⎝⎛⎭⎫sin 3x 2-sin x 22 =2+2⎝⎛⎭⎫cos 3x 2cos x 2-sin 3x 2sin x2 =2+2cos2x =2|cos x |, ∵x ∈[π2,π],∴cos x <0,∴|a +b |=-2cos x .(2)f (x )=a ·b +|a +b |=cos2x -2cos x =2cos 2x -2cos x -1=2⎝⎛⎭⎫cos x -122-32 ∵x ∈[π2,π],∴-1≤cos x ≤0,∴当cos x =-1,即x =π时f max (x )=3.21.(本小题满分12分)(2011·河南豫南九校联考)已知OA →=(2a sin 2x ,a ),OB →=(-1,23sin x cos x +1),O 为坐标原点,a ≠0,设f (x )=OA →·OB →+b ,b >a .(1)若a >0,写出函数y =f (x )的单调递增区间;(2)若函数y =f (x )的定义域为[π2,π],值域为[2,5],求实数a 与b 的值.[解析] (1)f (x )=-2a sin 2x +23a sin x cos x +a +b =2a sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+b , ∵a >0,∴由2k π-π2≤2x +π6≤2k π+π2得,k π-π3≤x ≤k π+π6,k ∈Z .∴函数y =f (x )的单调递增区间是[k π-π3,k π+π6](k ∈Z )(2)x ∈[π2,π]时,2x +π6∈[7π6,13π6],sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6∈[-1,12] 当a >0时,f (x )∈[-2a +b ,a +b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ -2a +b =2a +b =5,得⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =4, 当a <0时,f (x )∈[a +b ,-2a +b ]∴⎩⎪⎨⎪⎧ a +b =2-2a +b =5,得⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1b =3综上知,⎩⎪⎨⎪⎧ a =-1b =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =1b =4 22.(本小题满分12分)(2011·北京朝阳区模拟)已知点M (4,0),N (1,0),若动点P 满足MN →·MP →=6|PN →|.(1)求动点P 的轨迹C 的方程;(2)设过点N 的直线l 交轨迹C 于A ,B 两点,若-187≤NA →·NB →≤-125,求直线l 的斜率的取值范围.[解析] 设动点P (x ,y ),则MP →=(x -4,y ),MN →=(-3,0),PN →=(1-x ,-y ).由已知得-3(x -4)=6(1-x )2+(-y )2,化简得3x 2+4y 2=12,得x 24+y 23=1. 所以点P 的轨迹C 是椭圆,C 的方程为x 24+y 23=1. (2)由题意知,直线l 的斜率必存在,不妨设过N 的直线l 的方程为y =k (x -1),设A ,B 两点的坐标分别为A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y =k (x -1),x 24+y 23=1 消去y 得(4k 2+3)x 2-8k 2x +4k 2-12=0.因为N 在椭圆内,所以Δ>0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 1+x 2=8k 23+4k 2,x 1x 2=4k 2-123+4k 2.因为NA →·NB →=(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2=(1+k 2)(x 1-1)(x 2-1)=(1+k 2)[x 1x 2-(x 1+x 2)+1]=(1+k 2)4k 2-12-8k 2+3+4k 23+4k 2=-9(1+k 2)3+4k 2, 所以-187≤-9(1+k 2)3+4k 2≤-125.解得1≤k 2≤3. 所以-3≤k ≤-1或1≤k ≤ 3.。

高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)

高中数学必修四第二章《平面向量》单元测试题(含答案)

高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》(时间:120分钟 满分:150分)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则 a b ⋅=( ).A. 20B. 10C. 10-D. 20-2.已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭, ()0,1BC =,则向量BA 与BC 夹角的大小为( ) A. π6 B. π4 C. π3 D. 2π33.已知向量()11a =-,, ()12b =-,,则()2a b a +⋅=( )A. 1-B. 0C. 1D. 24.已知向量,若,则实数m 的值为 ( ) A. 0 B. 2 C. D. 2或 5.如上图,向量1e , 2e , a 的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a 用基底1e , 2e 表示为( )A. 1e +2eB. 21e -2eC. -21e +2eD. 21e +2e6.若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线,则a 的值为( )A. 4B. 4-C. 2D. 2-7.已知平面向量,a b 的夹角为60°,()1,3a =, 1b =,则a b +=( )A. 2B. 37 D. 48.已知向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则 a b ⋅=( ).A. 20B. 10C. 10-D. 20-9.已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=,若(2a b -)与c 互相垂直,则k 的值为 A. 1 B. 1- C. 3 D. 3-10.已知点()0,1A , ()1,2B , ()2,1C --, ()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为( ) A. 322 B. 2 C. 322- D. 3152- 11.在矩形ABCD 中, 3AB =, 3BC =, 2BE EC =,点F 在边CD 上,若•3AB AF =,则•AE BF 的值为( )A. 0B. 833C. 4-D. 4 12.已知ABC ∆是边长为4的等边三角形, P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值为 ( )A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设a 与b 是两个不共线向量,且向量a b λ+与2a b -共线,则λ=__________.14.已知单位向量a , b 满足()1•232a ab -=,则向量a 与b 的夹角为__________. 15.在平行四边形ABCD 中, AC 与BD 交于点O , E 是线段OD 的中点, AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =, BD b =,则AF 等于_______(用a , b 表示).16.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 在线段AB 边上运动(包含线段端点),则DE CB ⋅的值为__________; DE DB ⋅的取值范围为__________.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题10分)已知四点A (-3,1),B (-1,-2),C (2,0),D (23,4m m +)(1)求证: AB BC ⊥;(2) //AD BC ,求实数m 的值.18.(本小题12分)已知向量()1,2a =,()3,4b =-.(1)求a b +与a b -的夹角;(2)若()a ab λ⊥+,求实数λ的值.19.(本小题12分)已知是夹角为的两个单位向量,,.(1)求;(2)求与的夹角.20.(本小题12分)如图,在平行四边形中,,是上一点,且. (1)求实数的值;(2)记,,试用表示向量,,.21.(本小题12分)已知向量a 与b 的夹角为120︒, 2,3a b ==, 32,2m a b n a kb =-=+. (I )若m n ⊥,求实数k 的值; (II )是否存在实数k ,使得//m n ?说明理由.22.(本小题12分)已知点(1,0),(0,1)A B -,点(,)P x y 为直线1y x =-上的一个动点.(1)求证:APB ∠恒为锐角;(2)若四边形ABPQ 为菱形,求BQ AQ ⋅的值.高中数学必修四第二章单元测试题《平面向量》参考答案(时间:120分钟 满分:150分)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则 a b ⋅=( ).A. 20B. 10C. 10-D. 20- 【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选:C .2.【2017届北京房山高三上期末】已知向量31,22BA ⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭, ()0,1BC =,则向量BA 与BC 夹角的大小为( )A. π6B. π4C. π3D. 2π3【答案】C3.【2018届四川省成都市郫都区高三上期中】已知向量()11a =-,, ()12b =-,,则()2a b a +⋅=( ) A. 1- B. 0 C. 1 D. 2【答案】C【解析】()()()21,01,11a b a +⋅=-=,故选:C.4.已知向量,若,则实数m 的值为 ( ) A. 0 B. 2 C.D. 2或 【答案】C 【解析】∵向量,且 ∴, ∴.选C. 5.如上图,向量1e , 2e , a 的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量a 用基底1e , 2e 表示为( )A. 1e +2eB. 21e -2eC. -21e +2eD. 21e +2e【答案】C6.若三点()1,2A --、()0,1B -、()5,C a 共线,则a 的值为( )A. 4B. 4-C. 2D. 2-【答案】A【解析】()1,2A --, ()()0,1,5B C a -,三点共线ABAC λ∴→=→即()()1162a λ=+,,()16{ 12a λλ==+ 16λ∴=, 4a = 故答案选A .7.【2018届全国名校大联考高三第二次联考】已知平面向量,a b 的夹角为60°,()1,3a =, 1b =,则a b +=( ) A. 2 B. 23 C. 7 D. 4 【答案】C 8.已知向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则 a b ⋅=( ).A. 20B. 10C. 10-D. 20-【答案】C【解析】向量a 与b 的夹角是120︒,且5a =, 4b =,则a b a b ⋅=⨯ 1cos12054102⎛⎫︒=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭. 故选:C .9.【2018届福建省福安市一中上学期高三期中】已知向量()()()3,1,0,1,,3a b c k ==-=,若(2a b -)与c 互相垂直,则k 的值为A. 1B. 1-C. 3D. 3-【答案】D【解析】()23,3a b -=,因为(2a b -)与c 互相垂直,则()233303a b c k k -⋅=+=⇒=-,选D. 10.【2018届河南省中原名校高三第三次考评】已知点()0,1A , ()1,2B , ()2,1C --, ()3,4D ,则向量AB 在CD 方向上的投影为( )A. 322B. 2C. 322-D. 3152-【答案】B【解析】()()1,1.5,5AB CD ==则向量AB 在CD 方向上的投影为10cos ,252AB CDAB AB CD AB AB CD ⋅=⋅==故选B.11.【2018届黑龙江省齐齐哈尔地区八校高三期中联考】在矩形ABCD 中, 3AB =,3BC =, 2BE EC =,点F 在边CD 上,若•3AB AF =,则•AE BF 的值为( )A. 0B. 833 C. 4- D. 4【答案】C【解析】12.【2018届河南省漯河市高级中学高三上期中】已知ABC ∆是边长为4的等边三角形, P 为平面ABC 内一点,则()PA PB PC ⋅+的最小值为 ( )A. 3-B. 6-C. 2-D. 83-【答案】B【解析】如图建立坐标系, (()()0,23,2,0,2,0A B C -,设(),P x y ,则()()(),23,2,,2,PA x y PB x y PC x y =--=---=--,()()()22,232,22243PA PB PC x y x y x y ∴⋅+=-⋅--=+-(222366x y ⎡⎤=+--≥-⎢⎥⎣⎦,∴最小值为6-,故选B.第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13.设a 与b 是两个不共线向量,且向量a b λ+与2a b -共线,则λ=__________.【答案】12-【解析】由题意得()11:2:12λλ=-∴=- .14.【2018届河北省邢台市高三上学期第二次月考】已知单位向量a , b 满足()1•232a ab -=,则向量a 与b 的夹角为__________. 【答案】60°(或3π) 【解析】因为()1232a a b ⋅-=,化简得: 2123232a a b a b -⋅=-⋅=,即12a b ⋅=,所以1cos ,2a b a b a b⋅==⋅,又0,a b π≤≤,所以,3a b π=,故填3π. 15.【2018届福建省三明市第一中学高三上学期期中】在平行四边形ABCD 中, AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点, AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC a =, BD b =,则AF 等于_______(用a ,b 表示).【答案】2133a b + 【解析】∵AC a =, BD b =,∴11112222AD AC BD a b =+=+. ∵E 是OD 的中点,∴=,∴DF=AB .∴111111332266DF AB AC BD a b ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭, ∴111121226633AF AD DF a b a b a b =+=++-=+. 16.已知正方形ABCD 的边长为1,点E 在线段AB 边上运动(包含线段端点),则DE CB ⋅的值为__________; DE DB ⋅的取值范围为__________. 【答案】 1 []1,2【解析】如图,以D 为坐标原点,以DC , DA 分别为x , y 轴,建立平面直角坐标系, ()0,0D , ()0,1DE x , ()1,1B , ()0,1CB ,()1,0C , ()1,1DB , ()0,1E x , []00,1x ∈,∴1DE CB ⋅=, 01DE DB x ⋅=+,∵001x ≤≤,0112x ≤+≤,∴DE DB ⋅的取值范围为[]1,2,故答案为1, []1,2.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题10分)已知四点A (-3,1),B (-1,-2),C (2,0),D (23,4m m +) (1)求证: AB BC ⊥; (2) //AD BC ,求实数m 的值. 【答案】(1)见解析(2) 12-或1 【解析】试题分析:(1)分别根据向量的坐标运算得出AB BC ,算出AB BC ⋅(2)由向量的平行进行坐标运算即可. 试题解析:(1)依题意得, ()()2,3,3,2AB BC =-= 所以()23320AB BC ⋅=⨯+-⨯= 所以AB BC ⊥.18.(本小题12分)已知向量()1,2a =,()3,4b =-. (1)求a b +与a b -的夹角; (2)若()a ab λ⊥+,求实数λ的值. 【答案】(1)34π;(2)1-. 【解析】(1)因为()1,2a =,()3,4b =-,所以()2,6a b +=-,()4,2a b -=- 所以()()2,64,2202cos ,240204020a b a b -⋅--+-===-⨯⨯,由[],0,a b a b π+-∈,则3,4a b a b π+-=; (2)当()a ab λ⊥+时,()0a a b λ⋅+=,又()13,24a b λλλ+=-+,所以13480λλ-++=,解得:1λ=-.19.(本小题12分)已知是夹角为的两个单位向量,,.(1)求; (2)求与的夹角. 【答案】(1);(2)与的夹角为.【解析】试题分析:(1)向量点积的运算规律可得到再展开根据向量点积公式得最终结果;(2)同第一问,由向量点积公式展开=0.∵是夹角为的两个单位向量,∴,(1)(2) ,,∴,∴与的夹角为.20.(本小题12分)如图,在平行四边形中,,是上一点,且. (1)求实数的值;(2)记,,试用表示向量,,.【答案】(1);(2),,.【解析】试题分析:(1)根据平面向量共线定理得到,由系数和等于1,得到即。

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平面向量单元测试题2
一,选择题:
1,下列说法中错误得就是( )
A.零向量没有方向ﻩ
B.零向量与任何向量平行
C.零向量得长度为零ﻩ
D.零向量得方向就是任意得
2,下列命题正确得就是( )
A、若、都就是单位向量,则=
B、若=, 则A、B、C、D四点构成平行四边形
C、若两向量、相等,则它们就是始点、终点都相同得向量
D、与就是两平行向量
3,下列命题正确得就是( )
A、若∥,且∥,则∥。

B、两个有共同起点且相等得向量,其终点可能不同。

C、向量得长度与向量得长度相等,
D、若非零向量与就是共线向量,则A、B、C、D四点共线。

4,已知向量,若,=2,则 ( )
A.1B、C、 D、
5,若=(,),=(,),,且∥,则有( )
A,+=0, B,―=0,
C,+=0,D, ―=0,
6,若=(,),=(,),,且⊥,则有( )
A,+=0, B,―=0,
C,+=0, D, ―=0,
7,在中,若,则一定就是 ( )
A.钝角三角形ﻩ
B.锐角三角形C.直角三角形 D.不能确定
8,已知向量满足,则得夹角等于( )
A. B C D
二,填空题:(5分×4=20分)
9。

已知向量、满足==1,=3,则=
10,已知向量=(4,2),向量=(,3),且//,则=
11,、已知三点A(1,0),B(0,1),C(2,5),求cos∠BAC =
12,、把函数得图像按向量经过一次平移以后得到得图像,
则平移向量就是(用坐标表示)
三,解答题:(10分×6 = 60分)
13,设且在得延长线上,使,,则求点
得坐标
14,已知两向量求与所成角得大小,
15,已知向量=(6,2),=(-3,k),当k为何值时,有
(1),∥ ? (2),⊥ ? (3),与所成角θ就是钝角 ?
16,设点A(2,2),B(5,4),O为原点,点P满足=+,(t为实数);
(1),当点P在x轴上时,求实数t得值;
(2),四边形OABP能否就是平行四边形?若就是,求实数t得值;若否,说明理由,
17,已知向量=(3, -4), =(6, -3),=(5-m,-3-m),
(1)若点A、B、C能构成三角形,求实数m应满足得条件;
(2)若△ABC为直角三角形,且∠A为直角,求实数m得值.
18,已知向量
(1)求向量; (2)设向量,其中,
若,试求得取值范围、
平面向量单元测试题2答案:
一,选择题: A D C D B C C A
二,填空题: 9,2; 10,6; 11, 12,
三,解答题:
13,解法一:设分点P(x,y),∵=―2,λ=―2
∴ (x―4,y+3)=―2(―2―x,6―y),
x―4=2x+4, y+3=2y―12,∴ x=―8,y=15, ∴P(―8,15)解法二:设分点P(x,y),∵=―2,λ=―2
∴x==―8,
y==15, ∴ P(―8,15)
解法三:设分点P(x,y),∵,
∴―2=, x=―8,
6=, y=15, ∴P(―8,15)
14,解:=2, = , cos<,>=―, ∴<,>=1200,
15,解:(1),k=-1; (2), k=9; (3), k<9, k≠-1
16,解:(1),设点P(x,0), =(3,2),
∵=+,∴ (x,0)=(2,2)+t(3,2),

(2),设点P(x,y),假设四边形OA BP 就是平行四边形,
则有∥, ⇒ y=x ―1,
∥ ⇒ 2y =3x ∴ …… ①, 又由=+,⇒ (x,y)=(2,2)+ t (3,2),
得 ∴ …… ②,
由①代入②得:, 矛盾,∴假设就是错误得,
∴四边形O AB P不就是平行四边形。

17,,解:(1)已知向量
若点A 、B 、C能构成三角形,则这三点不共线, 3分
故知.
∴实数时,满足得条件. 5分
(2)若△ABC 为直角三角形,且∠A 为直角,则, 7分
∴,解得. 10分
18, .解:(1)令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩
⎪⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21),(22y x y x y x y x y x 或则π 3分
(2) 4分
6分
===; 8分
∵ ―1≤sinx ≤1, ∴ 0≤≤2, 10分。

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