数学模型与数学建模

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什么是数学建模？

1. 什么是数学建模？
数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象，也包涵抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向。这里的描述不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容。
我们也可以这样直观地理解这个概念：数学变成物理学家，生物学家，经济学家甚至心理学家等等的过程。
2. 什么是数学模型？
数学模型是指用数学语言描述了的实际事物或现象。它一般是实际事物的一种数学简化。它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的，但它和真实的事物有着本质的区别。要描述一个实际现象可以有很多种方式，比如录音，录像，比喻，传言等等。为了使描述更具科学性，逻辑性，客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。有时候我们需要做一些实验，但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代。
3. 为什么要建立数学模型？
在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言－－因为他们普遍相信，自然是严格地演化着的，尽管控制演化的规律可以很复杂甚至是混沌的。因此，人们常对实际事物建立种种数学模型以期通过对该模型的考察来描述，解释，预计或分析出与实际事物相关的规律。

第1讲数学建模简介

例1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随 1.生物医学专家有了药物浓度在人体内随时间和空间变化的数学模型后，时间和空间变化的数学模型后，可以用来分析药物的疗效，从而有效地指导临床用药. 物的疗效，从而有效地指导临床用药. 2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产和销售的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益. 的数学模型，是为了获取尽可能高的经济效益. 数学模型是沟通现实世界与数学世界的理想桥梁。与数学世界的理想桥梁。
交通事故调查
一辆汽车在拐弯时急刹车，结果冲到路边的沟里（见图 1.1）。交警立即赶到事故现场。司机申辩说，当他进入弯道时刹车已失灵，他还一口咬定，进入弯道时其车速Y NhomakorabeaO
X
为40英里/小时(即该车在这类公路上的速度上限，相当于17.9米/秒），交警验车时证实该车的制动器在事故发生时的确失灵，然而司机所说的车速是否真实呢？
数学建模
一. 数学科学的重要性科学技术是第一生产力； * 科学技术是第一生产力； * 信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；信息时代高科技的竞争本质上是数学的竞争；高技术” * “高技术”本质上是一种数学技术；高技术本质上是一种数学技术； * 数学科学是一种关键的、普遍的、能够实行数学科学是一种关键的、普遍的、的技术；的技术； * 计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；计算机的飞速发展促使数学得以广泛应用；在经济竞争中数学科学是必不可少的; * 在经济竞争中数学科学是必不可少的;
数学模型(定义：数学模型定义)：定义数学模型是现实世界的简化而本质的描述。数学模型是现实世界的简化而本质的描述。是用数学符号、数学公式、程序、是用数学符号、数学公式、程序、图、表等刻画客观事物的本质属性与内在联系的理想化表述. 表述

什么是数学模型与数学建模

1. 什么是数学模型与数学建模简单地说：数学模型就是对实际问题的一种数学表述。

具体一点说：数学模型是关于部分现实世界为某种目的的一个抽象的简化的数学结构。

更确切地说：数学模型就是对于一个特定的对象为了一个特定目标，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。

数学结构可以是数学公式，算法、表格、图示等。

数学建模就是建立数学模型，建立数学模型的过程就是数学建模的过程（见数学建模过程流程图）。

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻划并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。

2.美国大学生数学建模竞赛的由来：1985年在美国出现了一种叫做MCM的一年一度大大学生数学模型（1987年全称为Mathematical Competition in Modeling,1988年改全称为Mathematical Contest in Modeling,其所写均为MCM）。

这并不是偶然的。

在1985年以前美国只有一种大学生数学竞赛（The william Lowell Putnam mathematial Competition,简称Putman(普特南）数学竞赛），这是由美国数学协会（MAA--即Mathematical Association of America的缩写）主持，于每年12月的第一个星期六分两试进行，每年一次。

在国际上产生很大影响，现已成为国际性的大学生的一项著名赛事。

该竞赛每年2月或3月进行。

我国自1989年首次参加这一竞赛，历届均取得优异成绩。

经过数年参加美国赛表明，中国大学生在数学建模方面是有竞争力和创新联想能力的。

为使这一赛事更广泛地展开，1990年先由中国工业与应用数学学会后与国家教委联合主办全国大学生数学建模竞赛（简称CMCM），该项赛事每年9月进行。

数学模型竞赛与通常的数学竞赛不同，它来自实际问题或有明确的实际背景。

航天控制中的数学模型与建模技术研究

航天控制中的数学模型与建模技术研究随着人类社会的不断发展和进步，航空航天技术的发展也越来越迅速。

而在飞行控制这一领域，数学模型与建模技术是不可或缺的重要环节。

数学模型可以通过物理、化学、工程和经济等学科理论和原理，对问题进行抽象和简化，作为研究过程的工具和途径。

在航天领域，数学模型可以帮助人们理解和描述航天器的运动和姿态变化，以及预测其行为和性能等。

而建模技术则是指将实际问题转化为数学模型的过程，即建立数学模型。

航天控制中的数学模型通常包括基于质量、力学和运动方程的姿态控制模型，以及基于信号处理和计算机控制系统的轨道控制模型。

其中，姿态控制是航天控制中最重要的环节之一，因为航天器姿态的调整和控制是保证其安全、有效地完成各项任务的前提。

而姿态控制的过程，主要涉及到航天器的角速率、角位移、旋转矩阵等参数。

在姿态控制模型中，数学模型的主要目的是为了描述航天器的动力学特性。

因此，在进行数学建模时，需要考虑诸如重力、惯性、气动力等因素，并衡量它们之间的相互作用。

此外，数学模型的成功与否还取决于模型的准确性、可靠性和精度等。

在建立模型的过程中，需要大量的实验数据和理论知识作为基础，以实现模型精度的提高。

除了姿态控制之外，轨道控制模型也是航天控制中的重要环节。

在实际操作中，轨道控制是保证航天器正确进入和退出轨道的关键。

而轨道控制涉及到多种因素，如空气动力学、引力和惯性力等。

在数学建模时，必须考虑这些因素对轨道控制的影响，并确保通过计算机程序和控制算法控制航天器的位置和速度等参数。

由于航天控制涉及到多种因素和环节，因此数学建模的过程变得非常复杂。

除了需要收集和分析大量的实验数据和理论知识之外，还需要建立适当的数学模型来描述和预测航天器的运动和行为。

同时，建模过程还需要考虑如何应用计算机和控制算法来进行有效的控制。

为了实现更精确、可靠和高效的航天控制，必须不断探索和完善数学模型和建模技术。

在未来，基于深度学习和人工智能等新技术的发展，航空航天的数学建模和控制技术将进一步提高。

数学模型与数学建模

数学模型与数学建模数学模型数学模型（Mathematical Model）是近些年发展起来的新学科，是数学理论与实际问题相结合的一门科学。

它将现实问题归结为相应的数学问题，并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究，从而从定性或定量的角度来刻画实际问题，并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。

一、建立数学模型的要求：1、真实完整。

1）真实的、系统的、完整的,形象的映客观现象；2）必须具有代表性；3）具有外推性，即能得到原型客体的信息，在模型的研究实验时，能得到关于原型客体的原因；4）必须反映完成基本任务所达到的各种业绩，而且要与实际情况相符合。

2、简明实用。

在建模过程中，要把本质的东西及其关系反映进去，把非本质的、对反映客观真实程度影响不大的东西去掉，使模型在保证一定精确度的条件下，尽可能的简单和可操作，数据易于采集。

3、适应变化。

随着有关条件的变化和人们认识的发展，通过相关变量及参数的调整，能很好的适应新情况。

根据研究目的，对所研究的过程和现象(称为现实原型或原型)的主要特征、主要关系、采用形式化的数学语言，概括地、近似地表达出来的一种结构，所谓“数学化”，指的就是构造数学模型．通过研究事物的数学模型来认识事物的方法，称为数学模型方法．简称为MM 方法。

数学模型是数学抽象的概括的产物，其原型可以是具体对象及其性质、关系，也可以是数学对象及其性质、关系。

数学模型有广义和狭义两种解释．广义地说，数学概念、如数、集合、向量、方程都可称为数学模型，狭义地说，只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构方数学模型大致可分为二类：(1)描述客体必然现象的确定性模型，其数学工具一般是代效方程、微分方程、积分方程和差分方程等，（2）描述客体或然现象的随机性模型，其数学模型方法是科学研究相创新的重要方法之一。

在体育实践中常常提到优秀运动员的数学模型。

如经调查统计．现代的世界级短跑运动健将模型为身高1.80米左右、体重70公斤左右，100米成绩10秒左右或更好等。

数学建模

材料均匀，热传导系数为常数 Q ~单位时间单位面积传导的热量 T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数记双层玻璃窗传导的热量Q1 记单层玻璃窗传导的热量Q2 热量传播只有传导，没有对流
室内 T1
d
l
d
室外 T2
Q1
墙
室内 T1
2d
室外 T2
Q2
墙
Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数
乙安全线
y0 0 x
y1 y0 0
y=f ( x)
y0 y f ( x) y0 x
x0
P(xm,ym)甲安 x=g(y) 全区 x1 x
P~平衡点(双方最少导弹数)
精细模型
x<y x=y
乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个, sx个基地未摧毁，y–x个基地未攻击。 y0=sx+y–x y0=sy y= y0+(1-s)x y=y0 / s
• (4)模型求解：利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算(估计)。 • (5)模型分析：对所得结果进行数学的分析。 • (6)模型检验：将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。 • (7)模型应用：应用方式因问题的性质和建模的目的而异
0
x0
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架乙安全线y=f(x)不变

数学建模简介

数学建模
建立数学模型的全过程（包括表述、求解、解释、检验等）
18
数学模型的分类
分类标准
对某个实际问题了解的深入程度模型中变量的特征建模中所用的数学方法
具体类别
白箱模型、灰箱模型、黑箱模型连续型模型、离散型模型或确定性模型、随机型模型等
初等模型、微分方程模型、差分方程模型、优化模型等
数学建模
第一讲概述
主要内容
• 1.什么是数学模型？ • 2.如何数学建模？
• 3.为什么数学建模？
2
1.什么是数学模型？
• 数学 • 模型
• 数学模型
3
1、圆形蜘蛛网是一个简单漂亮的数学创造 2、蜂巢
自然离不开数学
3、在矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的空间图形
4
问题/应用核磁共振成像技术(MRI) 计算机辅助成像(CAT) 空中交通管制积分几何控制论
类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。作为一笔画，应该只有一个起点和一个终点，而其它点只能是通过点．
图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行的一笔画问题。
17
什么是数学模型、数学建模
数学模型 • 一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世
界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。
模型假设针对问题特点和建模目的作出合理的、简化的假设
在合理与简化之间作出折中
用数学的语言、符号描述问题发挥想像力使用类比法
29
模型构成
尽量采用简单的数学工具
数学建模的一般步骤

什么是数学模型与数学建模

什么是数学模型与数学建模数学模型是对真实事物或问题的抽象描述，采用数学语言来表达，通常可以包含变量、常量、方程、不等式等数学符号和逻辑结构。

而数学建模是指利用数学模型来解决具体问题的过程，在实践中运用数学的知识和方法，将问题转化为数学形式，并通过数学模型分析和求解问题的过程。

数学模型和数学建模在实际应用中具有重要的作用，可以应用于各个领域的科学和工程实践，例如物理、生物、经济、管理、医学等领域。

数学模型和数学建模可以为实际问题提供科学、系统和高效的解决方案，可以预测事物的走向和变化趋势，提高人类社会的生产和生活效率。

数学模型的本质是对真实问题的抽象描述，就是利用数学语言或者符号把一些具体的事物和概念转化为数学的形式，用数学方法和技术解决问题。

数学模型中包含的是一个或多个变量，这些变量代表实际问题中的某些数量或状态，它们的取值是在整个模型中可变的。

同时，数学模型还包括变量之间的关系，这些关系通常以方程或不等式的形式表示，描述了变量之间的相互影响和作用。

数学建模是利用数学模型解决实际问题的过程，它是一种探索和研究未知事物的方法，具有一定的科学性、系统性和操作性。

数学建模首先需要确定问题的范围和要求，然后通过调查、统计、数据分析等方法获取相关信息，构建数学模型，进而进行数学分析和求解，最终获得问题的解答和预测。

这个过程还需要考虑模型的精度和可靠性，进一步调整和优化模型，得到更好的解答和方法。

数学模型和数学建模的应用非常广泛，可以应用于各个领域的科学和工程实践。

在物理领域，数学模型可以用于描述力学、电磁学、热力学等现象和规律，找出物质的运动和相互作用方式。

在生物领域，数学模型可以用于分析生物系统中的代谢、细胞分裂和生长等过程，以及研究遗传基因的传递和变异。

在经济管理领域，数学模型可以用于分析企业的生产和运营模式，利润和风险的管理方式，市场和消费者的需求预测等。

在医学领域，数学模型可以用于研究放射治疗和化学治疗的剂量和效果，以及预判病情的发展和治疗方案的优化。

数学模型与数学建模

数学模型与数学建模数学模型是运用数学方法描述现实或抽象问题的一种工具或方法。

数学模型又可分为解析模型和仿真模型两种。

解析模型是指基于已知公式和数据进行分析求解，得到数学表达式或数值解的模型。

仿真模型是指利用计算机建立的模拟系统模型，根据模型建立的规则模拟输入变量所产生的输出结果。

数学建模是指通过数学知识把实际问题抽象为数学问题，并基于其建立数学模型。

数学建模技术可应用于各个领域，如自然科学、工程技术、社会科学、医学等。

下面就对数学模型和数学建模的一些概念和应用进行详细介绍。

一、数学模型的分类数学模型主要包括解析模型和仿真模型。

下面分别介绍：1、解析模型解析模型是指通过已知数据和公式，进行分析推导求解数学表达式或数值解的模型。

它是基于数学理论和分析方法的，其主要步骤为：建立问题的数学模型、求解模型、验证模型和应用模型。

解析模型主要包括以下几种类型：（1）几何模型几何模型是指通过几何图形描述实际问题的模型。

如，根据实际问题的条件，建立几何图形，求解图形的面积、周长、体积等数学问题，就是利用几何模型进行的建模。

几何模型常用于计算机图形学、工程地质学、建筑工程学等领域。

（2）微积分模型微积分模型是指通过微积分的方法求解实际问题的模型。

微积分是数学分析的基础，微积分模型广泛应用于科学工程领域。

如在热力学、流体力学、电磁学、生物学等领域，常用微积分模型来研究问题。

（3）代数模型代数模型是指通过代数方程和不等式描述实际问题的模型。

如根据实际问题建立代数模型求解方程组、解析几何等问题。

代数模型广泛应用于物理、经济、金融等领域。

（4）概率统计模型概率统计模型是指通过概率统计理论描述实际问题的模型。

如，许多保险公司的经营决策是基于概率统计模型的建立和分析的。

又如，酒店的房价决定也取决于概率统计模型。

2、仿真模型仿真模型是指利用计算机模拟系统建立的模型。

计算机可以模拟出一些人工难以模拟或难以观测的复杂系统，并通过模拟结果对系统进行推理分析或进行决策。

数学模型与数学建模3篇

数学模型与数学建模第一篇：数学模型的基本概念在现代科学研究中，数学模型是一种非常重要的工具，通过建立描述物理或社会现象的数学模型，我们可以更好地理解和控制这些现象。

在本文中，我们将介绍数学模型的基本概念及其在现实中的应用。

一、数学模型的定义和分类数学模型是用数学符号、方程和图表等数学表达方式来描述现实世界的一个抽象表示。

它可以用于解释和预测各种现象及其规律，从而帮助我们做出决策和解决问题。

根据研究领域和目标，数学模型可以分为物理模型、经济模型、生物模型、社会模型等。

二、数学模型的建立过程数学模型的建立通常包括以下步骤：1.问题分析：确定研究对象、研究目的和相关因素。

2.假设建立：对研究对象进行适当的简化和假设，确定研究范围和基本假设。

3.数学表示：用数学符号和方程来表示研究对象和变量之间的关系。

4.参数设定：指明各个变量的具体数值和范围，以及与现实世界的对应关系。

5.模型验证：通过模拟或实验验证模型的正确性和可行性。

三、数学模型的应用领域数学模型被广泛应用于各个领域，如天文学、物理学、化学、生物学、经济学、社会学等。

以下是一些典型的例子：1.天文学中的数学模型可以用来描述星体和行星的运动轨迹，预测彗星和陨石的轨迹和时间，以及预测备选行星的轨迹和特性。

2.经济学中的数学模型可以用来预测市场供求关系、利率、汇率等，并进行政策规划和决策。

3.生物学中的数学模型可以用来描述生物进化、种群动态、生态系统和生物物种间的关系，以及预测疾病传播和药物研发。

四、数学模型的发展趋势随着科技、数据采集和计算能力不断发展，数学模型也不断更新和进化。

未来数学模型的发展趋势主要包括：1.数据驱动模型：基于大数据的机器学习和人工智能等技术，依靠数据直接训练和生成模型。

2.多学科交叉模型：跨学科合作，利用多层次、多角度的学科与方法，进一步提升模型的准确性和实用性。

3.可解释性模型：提高模型的可解释性，利用统计学方法和可视化技术，使模型结果更易读懂和理解。

讲数学模型和建模的书籍

讲数学模型和建模的书籍
以下是一些关于数学建模和建模的书籍：
《数学建模算法与应用》司守奎
《数学建模基础教程》刘保东
《R语言实战》 (美)卡巴科弗(Robert I. Kabacoff)
《Matlab在数学建模中的应用》卓金武
《SAS常用统计分析教程》胡良平
《SPSS统计分析基础教程》&《SPSS统计分析高级教程》张文彤
《数学建模方法与分析》(美)Mark M. Meerschaert
《数学建模》(美)Frank R. Giordano; William P. Fox; Steven B. Horton 《数学建模竞赛优秀论文评析》杨桂明/朱家明
《美国大学生数学建模竞赛题解析与研究》王杰
《正确写作美国大学生数字建模竞赛论文》王杰
《Matlab神经网络43个案例分析》王小川
《Matlab智能算法30个案例》史峰
《Matlab与数学实验》艾冬梅
《系统动力学》钟永光
以上书籍仅供参考，可以到图书馆查阅或咨询专业人士，以获取更多关于数学建模和建模的书籍。

第一章数学建模概论数学模型与实验国家级精品课程课件 20页

2、国际数学建模竞赛（MCM）
创办于1985年，由美国运筹与管理学会，美国工业与应用数学学会和美国数学会联合举办，开始主要是美国的大学参赛，90年代以来有来自中国、加拿大、欧洲、亚洲等许多国家的大学参加，逐渐成为一项全球性的学科竞赛。上一年 11月份报名，每个大学限报4队，每个系限报2队，2月上旬比赛，4月份评奖。9篇优秀论文刊登在 “The Journal of Undergraduate Mathematics and Its Applications（UMAP）” 专刊上。详见 /
用实际问题的实测数据等来检验该数学模型
不符合实际符合实际
交付使用，从而可产生经济、社会效益
建模过程示意图
七、怎样撰写数学建模的论文？ 1、摘要:问题、模型、方法、结果 2、问题重述 3、模型假设 4、分析与建立模型 5、模型求解 6、模型检验 7、模型改进、评价、推广等 8、参考文献 9、附录
数学模型与实验
十一、资料查询
校内：校图书馆提供电子资源，搜索软件查询校外：, ,
数学模型与实验
十二数学建模示例
椅子能在不平的地面上放稳吗问题分析通常 ~ 三只脚着地模型假设
放稳 ~ 四只脚着地
• 四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形; • 地面高度连续变化，可视为数学上的连续曲面; • 地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。
1、中国大学生数学建模竞赛（CUMCM）
创办于1990年，由教育部高教司和中国工业与应用数学学会共同举办，全国几乎所有大专院校都有参加，每年6月份报名，9月下旬比赛，11月份评奖。优秀论文刊登在《数学的实践与认识》或?工程数学?每年第一期上。详见

数学模型与数学建模

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1. 1数学模型与数学建模
• 从而解释或描述某一系统或过程.数学模型对我们其实并不陌生.如牛顿第二定律F=ma就是一个典型的数学模型;欧姆电路定律I=U/R也是一个数学模型;历史上著名的七桥问题的答案更是一个巧妙的数学模型。
• 七桥问题18世纪东普鲁士哥尼斯误被普列格尔河分为四块.它们通过七座桥相互连接(图1. 2).当时.城里的市民热衷于这样一个游戏:“一个散步者怎样才能从某块陆地出发.经每座桥一次且仅一次到出发点?实时控制，其控制过程原理方框图如图8-1所示。由A/D转换器把由传感器采集来的模拟信号转换成为数字信号，送计算机处理，当计算机处理完数据后，把结果或控制信号输出，由D/A转换器转换成模拟信号，送执行元件，对控制对象进行控制。可见，ADC和DAC是数字系统和模拟系统相互联系的桥梁，是数字系统的重要组成部分。
科的专门知识外.还常常需要较广阔的应用数学方面的知识.以开拓思路.
• N模型求解本环节对建立的模型可以采用解方程、问图形、证明定
理、逻辑运算、数值计算等各种传统的和近代的数学方法.特别是计
算机技术进行求解.确定模型所涉及关键参量的结果.
• V模型分析对模型结果及算法进行理论上的分析.
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1. 1数学模型与数学建模
• 初始状态:x(0)=0,y(0)=h.x‘(0)=vcos0,y'(0)=vsin0.但如果考虑空气阻力.问题的理解似乎并不那么简单.比如:空气阻力和什么因索有关? 关系如何?阻力对投掷距离的影响怎样?如果考虑这些附加问题会对建立模型
• 那么.为什么还要再根据实际问题不断去修正、完善数学模型呢?实际中.建立问题的模型不一定一次就能成功.不成功时自然需要根据实际问题对模型加以改进、调整.最终让模型接近现实原形.否则.建立不能反映实际状况的模型又有什么用呢?然而·模型只能近似描述实际问题.不能苛求与真实事物完全吻合.

数学建模简介3

实际为281.4 (百万)
模型应用——预报美国2010年的人口加入2000年人口数据后重新估计模型参数 r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品的售量)
数学建模示例4 例（万有引力定律的发现）
十五世纪中期，哥白尼提出了震惊世界的日心说。丹麦著名的实验天文学家第谷花了二十多年时间,观察纪录下了当时已发现的五大行星的运动情况。第谷的学生和助手开普勒对这些资料进行了九年时间的分析计算后得出著名的Kepler三定律。牛顿根据开普勒三定律和牛顿第二定律，利用微积分方法推导出牛顿第三定律即万有引力定律
h(0) 0, h( ) 0 们怎样安全过河)：
河小船(至多2人)
三名商人各带一名随从乘船渡河，一只小船只能容纳二人，由他们自己划行。随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 就杀人越货. 但是如何乘船渡河由商人决定，问商人应如何安排才能安全渡河。
模型求解
对所建数学模型，利用适当的数学方法、软件和计算机技术进行求解。
模型分析对计算结果进行必要的误差分析、统计分析、以及模型对数据的稳定性分析. 模型检验与实际现象、数据比较，检验模型的合理性、适用性.
检验通过模型即可应用,否则进行修改
模型应用
数学建模示例1
问题：将一只四条腿一样长的椅子放在不平的地面上，问是否总能设法使它的四条腿同时着地。
穷举法适宜编程上机运算
• 图解法
状态s=(x,y)为16个格点允许状态为10个点
2 3
y
s1
d1
允许决策为移动1或2格; k为奇数时,向左、下移; k为偶数时,向右、上移.

数学建模和模型

常用的计算公式 k年后人口
今年人口 x0, 年增长率 r
xk x0 (1 r )
k
指数增长模型——马尔萨斯提出 (1798)
基本假设 : 人口(相对)增长率 r 是常数 x(t) ~时刻t的人口
dx rx, x(0) x0 dt
x(t t ) x(t ) rt
x(t ) x0 (e ) x0 (1 r )
r t
t
随着时间增加，人口按指数规律无限增长
如何预报人口的增长
指数增长模型的应用及局限性
• 与19世纪以前欧洲一些地区人口统计数据吻合 • 适用于19世纪后迁往加拿大的欧洲移民后代
• 可用于短期人口增长预测
• 不符合19世纪后多数地区人口增长规律 • 不能预测较长期的人口增长过程
18:31
数学建模实例二

假设汽车在两个相邻减速带之间一直做等加速运动和等减速运动需要得到汽车的加速度和减速度方法一查阅资料
速度（km/h）时间（s） 0 0

方法二：进行测试加速行驶的测试数
10 1.6 20 3.2 30 4.0 40 5.0
减速行驶的测试数
速度（km/h） 40 时间（s） 0 30 2.2 20 4.0 10 5.5 0 6.8
18:31
数学建模实例一
18:31
数学建模实例一

通常，1kg面，1kg馅，包100个饺子（汤圆）
现在1kg面不变，馅比1kg多了，问应多包几个（每个小一点）,还是少包几个（每个大一点）？ … S ( 共 n个 ) S S S S

V

v
v
v
v
定性分析

数学模型与数学建模(Mathematical model and mathematical modeling)

数学模型与数学建模（Mathematical model and mathematicalmodeling）Edit reference materials for this competitionCompetition reference bookL, Chinese Undergraduate Mathematical Contest in modeling, edited by Li Daqian, higher education press (1998).2, mathematical modeling contest tutorials, (a) (two) (three), edited by Ye Qixiao, Hunan Education Publishing House (199319971998).3, mathematical modeling education and international mathematics modeling contest "Engineering Mathematics" album, leaves its filial., "Engineering Mathematics" magazine, 1994).Two, domestic teaching materials, books1, mathematical model, Jiang Qiyuan, higher education press (1987 edition, 1993 second edition; the first edition heldin 1992 by the National Education Committee, the second national outstanding teaching award won the "national outstanding teaching award"), mathematical model and computer simulation of.2, Jiang Yuzhao and Xin Pei love series, electronic science and Technology University Press, (1989).3, a mathematical model about selection (to mathematics from the book), Hua Luogeng, Wang Yuan, Wang Ke, Hunan education press; (1991) with the example of.4, mathematical modeling method, Shou Jilin et al, Xi'an Jiao Tong University press (1993),.5 model, Dongpu set country, edited by Tian Yuwen, Southeast University press (1994) the mathematical model of.6.., Zhu Siming, Li Shanglian, Zhongshan University press, 7 (1995), mathematical model,edited by Chen Yihua, Chongqing University press, (1995) 8, mathematical modeling analysis, edited by Cai Changfeng, Science Press,.9 (1995), mathematical modeling contest tutorials, edited by Li Shangzhi, Jiangsu Education Press, (1996).10, mathematical modeling entry, Xu Quanzhi, Yang Jinhao, Chengdu Electronic Science and Technology Press, 11. (1996), mathematical modeling, Shen Jihong, Shi Jiuyu, Gao Zhenbin Zhang Xiaowei, ed., Harbin Engineering University press, 12. (1996), mathematical models, edited by Wang Shuhe, University of Science & Technology China press, 13. (1996), mathematical model method, Jihuan edited, China University of science and Technology Press, (1996).14, mathematical modeling and experiment, Nanjing Engineering College Mathematical Modeling and Industrial Mathematics discussion class, Hohai University press, (1996).15, mathematical model and mathematical modeling, Liu Laifu and Zeng literary series, Beijing Division Fan Du University Press (1997).16. mathematical modeling, Yuan Zhendong, Hong Yuan, Lin Wuzhong, Jiang Lumin, East China NormalUniversity press, 17. Mathematical model, Tan Yongji, Yu Wenpi, Fudan University press, (1997).18, the mathematical model of practical course, Fei Peizhi, Yuan layer process editor, Sichuan University press, (1998).19, mathematical modeling the outstanding cases (Base Construction Engineering Mathematics Series), edited by Wang Guoqiang, South China University of Technology press, (1998).20, economic mathematical model (Second Edition) (construction engineering mathematics base, Hong Yi, He Dehua, Cong Books), edited by Chang Zhihua, South China University of Technology press, (1999).21, the mathematical model of lectures, Gongyan Lei, (Peking University press 1999).22,mathematical modeling cases, edited by Zhu Daoyuan, Southeast University press, (1999), 23, solve the problemof the mathematical model, Liu Laifu, once wrote, theBeijing Normal University press, (1999).24, mathematical modeling theory and practice, Wu Xiang, Ng Man Tat, Cheng Ortega ed., National University of Defense Technology press, (1999).25 analysis, mathematical modeling case, Bai Qi Ling, editor, Ocean Press,.26 (2000, Beijing) (College of mathematics experiment, the selection of teaching materials, Xie Yunsun Zhang Zhirang Series), ed., Science Press,.27 (2000), Fu Peng, Gong Lei, mathematical experiment, Liu Qiongsun, He Zhong, ed., Science Press, (2000).Three. Foreign reference books (Chinese version)1. Introduction to mathematical model, E.A. Bender, Zhu Yaochen, Xu Weixuan, Popular Science Press (1982). 2, the mathematical model, [door] Kondo Jiro, Guan Rong Zhang: Mechanical Industry Press, (1985).3, the differential equation model (model series volume first), beauty editor of]W.F.Lucas, Zhu Yumin et al., National University of Defense Technology press, (1988),.4 (political and related models, the application of mathematical model series Vol. second) [W.F.Lucas, beauty editor, Wang Guoqiu et al., National University of Defense Technology press, (1996).5, and the discrete system model (model series volume third), beauty editor of w.F.Lucas, a Ortega et al., National University of Defense Technology press, (1996) model,.6 (Life Sciences, applied mathematics model in fourth volumes), beauty editor of 1W.F.Lucas, ZhaiXiaoyan et al., National University of Defense Technology press, (1996).7, the mathematical model of continuous dynamical system, and discrete dynamical systems,1H.B.Grif6ths and A.01dknow [English, Xiao Li, Zhijun (compiler, Science Press, 1 996).8, mathematical modeling -- case study from four industries in the United Kingdom, (Applied Mathematics Series No. fourth), theBritish]D.Burglles, Ye Qixiao, Wu Qingbao, World Book Inc, (1997)Four, professional reference books1, the water environment mathematical model,de]W.KinZE1bach, Yang Rujun, Liu Zhaochang, editor, China Architecture Industry Press, (1987) the mathematical model of.2 science and technology engineering, Humphreys Anqi ed., Railway Press (1988), 3 biomedical model, Qingyi science edited by Hunan science and Technology Press (1990) model and application of.4, crop pest management mathematics, Pu Zhelong ed., Guangdong science and Technology Press (1990),.5 in system science and mathematics model, editedby Ouyang Liang E, Shandong University press, (1995) the mathematical modeling and research of.6, population ecology, Ma Temple, Anhui Education Press, 7, (1996), modeling new progress in the transformation, optimization, comprehensive method, structure of Sui Yunkang, Dalian University of Technology press, 8, (1986) the genetic model analysis method, Zhu Jun, agriculture press China (1 997). (editedby Wang Shousong, Department of mathematics, Zhongshan University, April 2001)Editing the format requirements of this paragraphA team from A,B in the optional one, group B teams from C, D choose a topic. The white A4 paper printed on one side;on each side set aside at least 2.5 cm from the left margin; binding. The first page of the paper is a commitment, and the specific content and format are shown in the secondpage of this specification. The second page number for the special page, front and back for the regional and national review of the paper number, specific content and format see page third of this specification. The title and abstract of the paper are written on the third page of the paper, starting from the fourth page, and the main body of the paper. The paper starts with third pages, the page number must be located in the middle of each page footer, with Arabia number from "1" start serial number. There is no header in the paper, and there is no sign in the paper that can show the identity of the person who answers the question. The title of this paper is "three" boldface, and the first title is in boldface No. four, and centered. This paper adopts four other Chinese characters Song typeface, with single spaced pages, print should be avoided in color printing. Abstract: draw attention should be a detailed summary of the concise and to the point (including keywords), occupies an important weight in the whole paper review, please carefully write (note the length of no more than one page, and there is no need to be translated into English). The review will first according to the quality of the paper and the overall structure of the thesis and overview of the preliminary screening. The quotation ofother's achievements or other public information (includingthe data found on the Internet) must be clearly listed in the references and references in accordance with the provisions of the reference. The reference in the text uses square brackets to mark the reference number, such as[1][3], etc., and the book must also point out the page number. The references are listed in the quotation order of the text, in which the book is expressed as: author, title, publication place, publishing house, publishing year. The methods of expression of journal articles in reference books are: author, paper name, Journal name,Volume number, page number, year of publication. The reference resources in the literature are: author, resource title, URL, access time (month, date). In the premise of not breaking the regulations, each division can increase the other requirements (such as adding other pages and other information on the first page of this specification before or at the end of this paper add blank page etc.); from the beginning to the end of the undertaking, the division shall not have any other requirements of this specification the (or null). The right of interpretation belongs to the Organizing Committee of the National Mathematical Contest for modeling students. [note] division marking the papers before the first page take preservation, and to establish "division marking numbers in the first and second pages" (by the way, "the provisions of division number) division table can be used for marking the record review (division each division to decide whether to use the form in review). After review, the division sent to the national review papers to establish a national unified numbering in the second page "(numbering by the organizingcommittee, and last year the same format), and then sent to the national review. The second page (page number) preserved by the National Organizing Committee review before take off, and the establishment of the national review number on page second". The National College Mathematical Contest in modeling was revised in September 12, 2008Edit the competition GuideWhat is mathematical model and mathematical modeling?Simply put: mathematical models are a mathematical expression of practical problems. Specifically, the mathematical model is an abstract, simplified mathematical structure of some real world for some purpose. Rather, the mathematical model is for a specific object to a specific target, according to the unique inherent laws, make some simplifying assumptions necessary, using appropriate mathematical tools, a mathematical structure is obtained. Mathematical structures can be mathematical formulas, algorithms, tables, diagrams, etc.. Mathematical modeling is the establishment of mathematical models, the process of establishing mathematical models is the process of mathematical modeling (see mathematical modeling process flow chart). Mathematical modeling is a mathematical thinking method, is the use of mathematical language and methods, through the abstract and simplify the establishment of an approximate description and "solve" practical problems of a powerful mathematical means.First, the mechanism analysis method: the model is deduced from the basic physical law and the structural data of the system. 1. scale analysis -- the most basic and most commonly used method to establish the functional relationship among variables. 2. algebraic method -- the main method for solving discrete problems (discrete data, symbols and graphs). 3. logic method is an important method of mathematical theory research. It is widely used in the fields of sociology and economics, in decision-making, countermeasures and other disciplines. 4. ordinary differential equation - to solve the law of variation between two variables, the key is to establish the expression of "instantaneous rate of change". 5. partial differential equation -- solving the law of variation between dependent variable and more than two independent variables. Two. Data analysis method establishes mathematical model by using statistical method from a large number of observation data. 1. regression analysis - a set of observations (Xi, FI) i=1,2 for function f (x)... N, which determines the expression of a function, is called a mathematical statistical method because it is a static independent data. 2. time series analysis deals with dynamic related data, also known as process statistics. 3. regression analysis - a set of observations (Xi, FI) i=1,2 for function f (x)... N, which determines the expression of a function, is called a mathematical statistical method because it is a static independent data. 4. time series analysis deals with dynamic related data, also known as process statistics. Three, simulation and other methods 1. computer simulation (simulation) - essentially statistical estimation method, equivalent to the sampling test.Discrete system simulation - there is a set of state variables. Continuous system simulation with analytic expression or system structure diagram. 2. factor test method -- local test on the system, then according to the test results for continuous analysis and modification,The required model structure is obtained. 3. artificial reality method, based on the understanding of the past behavior of the system and the desired future goals, and taking into account the possible changes in the relevant factors of the system, artificially forming a system. (see: Qi Huan, mathematical modeling method, Huazhong University of science and Technology Press, 1996)IV. types of questionsMatch questions structure has the following parts: background, problems involving wide 1. - social, economic, management, life, environment, natural phenomena, engineering technology, modern science in the new issue. 2. generally, there is a definite practical problem. Two, some assumptions are as follows: 1. only the process and rules of qualitative assumptions, no specific quantitative data;2. are some survey or statistics;3. gives a number of parameters or graphics;4. contains some assumptions of mobility, can play, or players can according to their own collection or simulated data. Three, asked to answer the question often have several problems (generally not only answer: 1.) more definitive answers (basic answers); 2. more detailed or high-level discussion results (often is the optimal scheme formulation and results).Competition answer paperTo submit a paper, the basic content and format is roughly divided into three parts: first, the title, abstract part:1. topics - write a more precise topic (not only write A,B). 2. Abstract --200-300 words, including the main features of the model, modeling methods and main results.3., when there is more content, it is better to have a directory. Two, the central part: 1. problem raised, problem analysis. 2. models: the complementary hypothesis, clear concept, the introduction of the model parameters; form (with multiple models); for the model; the model of nature; the realization of computer design and calculation method of the 3.4. result analysis and test.5. discuss the advantages and disadvantages of the model, improve the direction, and promote new ideas.6. references -- attention format. Three. Appendix: 1. calculation program, block diagram. 2. solving the calculus and calculating the intermediate result. 3. various graphics and forms.Edit this paragraph competition questions collection1992 (A) fertilizer effect analysis problem (Ye Qixiao: Beijing Institute of Technology) (B) experimental data decomposition (East China University of Science and Technology: Yu Wen; Fudan University: Tan Yongji) 1993 (A) frequency design problem of nonlinear intermodulation (Peking University: Xie Zhongjie) (B) football ranking problem (Tsinghua University: Cai Dayong) 1994 (A) of cut paths through mountains (He Dake: Xi'an Electronic andScience University) (B) the problem of packing locks (Fudan University: Tan Yongji, East China University of Scienceand Technology: Yu Wenci) 1995 (A) flight management problems (Fudan University: Tan Yongji, East ChinaUniversity of Science and Technology: Yu Wenci) (B) scheduling problem of crane and smelting furnace (Zhejiang University: Liu Xiangguan, Li Ji Luan) 1996 (A) the problem of optimal fishing strategy (Beijing Normal University: Liu Laifu) (B) of water-saving washing machine ask Question (Chongqing University: Fu Li) in 1997 (A) design parameters of parts (Tsinghua University: Jiang Qiyuan) (B) cutoff problem (Fudan University: Tan Yongji,East China University of Science and Technology: Yu Wenci) 1998 (A) risk and return of investment (Chen Shuping: Zhejiang University) (B) routing problem (disaster tour of Shanghai Maritime University: Ding Songkang) 1999 (A) automatic lathe management problems (Peking University: Sun Shanze) (B) drilling layout problem (Zhengzhou University: Lin Yixun) (C) of coal accumulation gangue (Taiyuan University of Technology: Jia Xiaofeng) (D) drilling layout (Zhengzhou University: Lin Yixun) 2000 (A) DNA sequence classification (Meng Dazhi: Beijing University of Technology) (B) order and transportation of steel tubes (Wuhan University: Fei Fusheng) (C) over the Arctic problem (Fudan University: Tan Yongji) (D) (Northeast Dianli University: the problem of detecting cavity the letter of 2001) (A) 3D reconstruction of vessels (Zhejiang University, Wang Guozhao) (B) bus scheduling problem (Tsinghua University: Tan Zeguang) (C) the problem of using funds (Southeast University: Chen Enshui) (D) bus schedulingproblem (Tsinghua University: Tan Zeguang) 2002 (A) the optimization problem of the headlight design (Tan Yongji: Fudan University, East China University of Science and Technology: Yu Wenci) (B) (mathematical problems in lottery The PLA Information Engineering University: Han g) (C) the optimization problem of the headlight design (Tan Yongji: Fudan University, East China University of Science and Technology: Yu Wen) (D) schedule problem (Tsinghua University: Jiang Qiyuan) 2003 (A) spread SARS (LOC) (B) vehicle scheduling problems in open-pit mine production (the Jilin University: Peichen (party) the problem of SARS (C) communication committee) (D) crossing Yangtze River (Huazhong Agricultural University: Yin Jiansu) 2004 (A) Temporary Supermarket Design Problems (Beijing University of Technology: Meng Dazhi) (B) power transmission congestion management (Zhejiang University: Liu Kangsheng) (C) drunk driving problem (Tsinghua University: Jiang Qiyuan) (D) recruitment problem (The PLA Information Engineering University: Han Zhonggeng) 2005 (A) evaluation of water quality of Yangtze River and prediction problem (Han Zhonggeng: The PLA Information Engineering University) (B) DVD online leasing problem (Tsinghua University: Xie Venus) (C) evaluation of rainfall forecast methods (Tan Yongji: Fudan University) (D) DVD online leasing problem (Tsinghua University: Xie Venus, 2006) (A) (Beijing University of Technology press the issue of resource allocation: Meng Dazhi) (B) the prediction problem of AIDS therapy evaluation and the effect of (Tianjin University: Fu Ping) (C) to optimize the cans The problem of designing (Beijing Institute of Technology: Ye Qixiao) (D) monitoring and control of coal mine gas and coal dust (The PLAInformation Engineering University: Han Zhonggeng) 2007 (A) China population growth forecast (B) bus, look at the Olympic Games (C) mobile phone packages preferential geometric (D) body test schedule in 2008 (A) digital camera positioning (B), the standard of higher education tuition, ground search (C), (D) analysis and evaluation of the NBA Calendar 2009 (A) control method of the brake test rig (B) reasonable arrangement for ophthalmic beds (C) satellites and spacecraft tracking control (D) Conference 2010 (A) storage tank the identification and calibration of tank capacity table (B) quantitative assessment of World Expo's influence in Shanghai in 2010 (C) pipeline layout (D) for students The evaluation of dormitory design: C, D is the junior college group competitionEdit this paragraph competition significance1, cultivate innovative consciousness and creative ability of rapid access to information and data of 2, 3, exercise training to quickly understand and master new knowledge and skills training 4, teamwork and team spirit 5, enhance writing skills and typesetting technology of 6, won the National Award for Paul sent 7 graduate students, won the international level the reward is beneficial to apply for studying abroad 8, more important is the training oflogical thinking and open way of thinkingThe social application of editing the mathematical modeling contestThe application of mathematical modeling is a great impetusand impetus for the contest of mathematical modeling. At present, the first domestic mathematical modeling company - Beijing Noah Mathematical Modeling Technology Co., Ltd. was established in Beijing. Wei Yongsheng, a doctoral student, worked with two other like-minded students in the field of entrepreneurial modeling, from the domain of mathematical modeling that they were familiar with. Wei Yongsheng three people set up a mathematical modeling contest team in April 2003, then won the two prize of state, in 2005 won thefirst prize in the international contest of mathematical modeling, the same year in October registered the mathematical modeling in mathematical modeling enthusiasts website, to society, to the direction of the application, they formally established in June last year to the application mathematical modeling for entrepreneurial direction, the formation of entrepreneurial team, opened the road of entrepreneurship. Earlier this month, Beijing's mathematical modeling technology limited company officially registered, Wei Yongsheng entrepreneurial team officially on track. At present, Noah mathematical modeling is its specialization from the perspective of business to expand its strength, mathematical modeling and mathematical model and actively involved in the railway transportation, highway transportation, logistics management and other related solutions and consulting services. Wei Yongsheng explained to reporters, maybe a lot of people do not understand what is the use of mathematical modeling, he cited an example of a train station, to calculate how long a car can not only ensure the passengers were taken away, and to the greatest degree of cost savings, the mathematical model can be calculated by the optimal scheme.Wei Yongsheng said that their mathematical modeling team has been 6 years of history, with each other, very tacit understanding, but also made dozens of large and small projects. Their business philosophy is to provide a hitherto unknown mathematical modeling and mathematical model of optimal solutions for the direct and potential customers, minimize production cost, realize investment income for the customers. More Atlas。

数学模型与数学建模简介

例2 某人第一天由 A地去B地，第二天由 B地沿原路返回 A 地。问：在什么条件下，可以保证途中至少存在一地，此人在两天中的同一时间到达该地。
分析本题多少有点象数学中解的存在性条件及证明，当然，这里的情况要简单得多。
假如我们换一种想法，把第二天的返回改变成另一人在同一天由B去A，问题就化为在什么条件下，两人至少在途中相遇一次，这样结论就很容易得出了：只要任何一人的到达时间晚于另一人的出发时间，两人必会在途中相遇。
了三十并在途中遇到了妻子，这一天，他
比平时提前了十分钟到家，问此人共步换显行然一了是种多由想长于法时节，省问了题从就相遇迎点刃到而会解合了点。，假又如从
间？
请思他那分会到会考合会合的么钟一点合点妻这时下返点，子一间，回需故遇天从本相开相到他何题遇5遇分他就而解点时钟答后不来这他。中似仍会？一已而隐段步载提乎此含路行着前条人了的了他回提哪件缘二开家前些故十不往了了假，五够三会。设故分十合提哦由钟分地前相。钟？。点的遇到点，十。达
间内，车辆仍将向前行驶一段距离 L。这就是说，在离街口距离为 L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见图1-4。对于那些黄灯亮时已过线
的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。
D
L
例4 餐馆每天都要洗大量的盘子，为了方便，某餐馆是这样
清洗盘子的：先用冷水粗粗洗一下，再放进热水池洗涤，水温不能太高，否不则妨可会以烫提手出以，下但简也化不假设能：太低，否则不干净。由于想节省开支，（子餐1的）大馆水小老池、、板材空料想气相了吸同热解不一计池，只热考水虑到盘子底吸可热以，盘洗多少盘子，请你帮他建（模2）分盘析子初一始下温这度与一气问温题相同。，洗完后的温度与

数学模型与大学生数学建模简介

2014-5-16 10
CUMCM历年赛题的简析
2003年:(A)SARS的传播问题（集体） (B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰） (D)抢渡长江问题（华中农大：殷建肃） 2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志) (B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生） (C)酒后开车问题（清华大学：姜启源） (D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚） 2005年:(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大:韩中庚） (B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等） (C) 雨量预报方法的评价问题（复旦：谭永基）
16
参加数学建模竞赛的方法
1.数学建模所需要的方法和知识
数学建模常用的方法：机理分析、数据处理、综合评价、微分方程、差分方程、概率统计、插值与拟合、优化方法等。数学建模应具备的数学知识：高等数学（微积分）、微分方程、基本运筹学、线性代数、概率统计、数值计算等。进一步拓展的知识：图论与网络优化、排队论、模糊数学、随机决策、多目标决策、随机模拟、灰色系统理论、神经网络、时间序列等。
2014-5-16 15
2014-5-16
参加数学建模竞赛的方法
“基础永远是第一位的”, “收获永远与投入成正比”!
Mathematical modeling cannot be learned by reading books or listening to lectures, but only by doing!----Practice!

2014-5-16
23
推荐参考书
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叶其孝主编, 大学生数学建模竞赛辅导教材(一、二、三、四), 湖南教育出版社，2001 CUMCM优秀论文汇编（1992-2000），中国物价出版社， 2002 姜启源等，数学模型(第三版)，高等教育出版社，2003 刘来福等，数学模型与数学建模(第二版)，，北京师范大学出版社，2002. 杨启帆等，数学建模，浙江大学出版社，1999. 袁震东等，数学建模，华东师范大学出版社，1997. 朱道元等，数学建模案例精选, 科学出版社，2003 乐经良等，数学实验，高等教育出版社，2001

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