有理系数多项式

§9有理系数多项式
一. 引入
1) 在复数域上只有一次多项式才是不可约的。

2) 在实数域上不可约多项式只有一次的和某些二次的。

对于有理数域
1) 每个次数≥1的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的 有理系数多项式的乘积
2) 要具体地作出它的分解式是一个很复杂的问题，
3) 要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的 问题。

4) 可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题，并进而解决求 有理系数多项式的有理根的问题。

5) 在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。

问题：如何判断Q 上多项式的不可约性呢? 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题． 设110()n n n n f x a x a x a --=++
+，
则i ）可选取适当整数c ，使()cf x 为整系数多项式．
Ii ）若()cf x 的各项系数有公因子，提出来，得 ()()cf x dg x =， 即()()d
f x
g x c
=，其中()g x 是整系数多项式，且各项系数没有异于1±的公因子．
如 4242222
()2(5153)3515
f x x x x x x x =--=-- 二．本原多项式
1．定义：设 1110()0n n n n g x b x b x b x b --=++++≠，,0,1,2
.i b Z i n ∈=
若110,,n n b b b b -没有异于1±的公因子，即110,,n n b b b b -是互素的，则称()g x 为本原多项式．
２．有关性质
1) ()[],f x Q x r Q ∀∈∃∈，使
()()f x rg x =，
其中()g x 为本原多项式（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．
2) 定理10 （Gauss 引理）两个本原多项式的积仍是本原多项式． 证：设 110()n n n n f x a x a x a --=+++，110()m m m m g x b x b x b --=++
+
是两个本原多项式．而
110()()()n m n m n m n m h x f x g x d x d x d ++-++-==++
+，
反证法，若()h x 不是本原的，则存在素数p ，|,0,1,.r p d r n m =+
又()f x 是本原多项式，所以p 不能整除()f x 的每一个系数，令i a 为
01
,n a a a 中第一个不能被p 整除的数，即11|,
.||,i i p a p a p a -
同理，()g x 本原，令j b 为0
m b b 中第一个不能被p 整除的数，即
011|,|,
||,.j j p b p b p b p b -
又11i j i j i j d a b a b ++-=++，这里11
||,,|i j i j i j p d p a b p a b ++-，矛盾．
二. 整系数多项式的因式分解
定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有
理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．
证：设整系数多项式()f x 有分解式
()()()f x g x h x =，
其中 (),()[]g x h x Q x ∈，且()()()(),()()g x h x f x ∂∂<∂． 令 1()()f x af x =，1()()g x rg x =，1()()h x sh x =
这里，111(),(),()f x g x h x 皆为本原多项式，,,a Z r s Q ∈∈， 于是 111()()()af x rsg x h x =
⇒由定理10，11()()g x h x 本原，从而有
rs a =±
即 rs Z ∈，()11()()()f x rsg x h x ∴=．得证．
推论：1）(),()f x g x 是整系数多项式，
2）()g x 是本原的， 3）()()(),()[],f x g x h x h x Q x =∈
则()h x 必为整系数多项式．
证：令1111()(),()(),,,(),()f x af x h x ch x a Z c Q f x h x ==∈∈本原
⇒111()()()()()af x g x ch x cg x h x ==c a ⇒=±⇒,c Z ∈
1()()h x ch x ∴=为整系数．
定理12 设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是一个整系数多项式，而
r
s
是它的一个有理根，其中,r s 是互素的，则必有0|,|.n s a r a 证：()r
f x s 是的有理根，∴在有理数域上，
()|()r
x f x s
-
从而 ()|(),sx r f x -，
又,r s 互素，sx r ∴-本原．由上推论，有
1110()()(),,0,1,
, 1.n n i f x sx r b x b x b b Z i n --=-+
++∈=-．
比较两端系数，得 10
,n n a sb a rb -==-． 所以， 0|,|n s a r a
（注意：定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，而非充分条件．)
例１ 求方程432230x x x -+-=的有理根，
解：可能有理根为131,3,,22
±±±±，用综合除法可知，只有1为根． 例2 证明3()51f x x x =-+在Q 上不可约．
证：若()f x 可约，它至少有一个一次因子，也即有一个有理根，但()f x 的有理根只可能是1±，而(1)3,(1)5f f =--=，所以()f x 不可约．
定理13 艾森斯坦因Eisenstein 判别法 设 1110(),,0,1,
,n n n n i f x a x a x a x a a Z i n --=++++∈=，
若有一个素数p ，使得
1)|n p a 1202)|,,,n n p a a a --
023)
|.p a
则()f x 在有理数域上是不可约的．
证：若()f x 在Q 上可约，由定理11． ()f x 可分解为两个次数较低的整系数多项式的积
111010()()(),,,,,l l m m l l m m i j f x b x b x b c x c x c b c Z l m n l m n
----=++
+++
+∈<+= 000,.n l m a b c a b c ∴==
0|p a ，∴ 0|p b 或0|p c ，
又20|p a ，p ∴不能同时整除00,b c ．不妨设0|p b 但0|p c ．
另一方面，|.n p a |,|.l m p b p c ∴
假设01,l b b b 中第一个不能被p 整除的数为k b ，比较两端k
x 的系数，得0110k k k k a b c b c b c -=++
+
式中10,k k a b b -皆能被p 整除，0|k p b c ∴，0||.k p b p c ⇒或 矛盾． （注意： Eisenstein 判别法是判断不可约的充分条件非必要条件，所以有些多项式需作线性变换．）
例３ 证明：2n x +在Q 上不可约． 证：（令2p =即可）．
(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式) 例４ 证明：2()1f x x =+在Q 上不可约．
证：作变换1x y =+，则2()22f x y y =++，取2p =，由Eisenstein 判别法知222y y ++在Ｑ上不可约，所以()f x 在Ｑ上不可约．
例５ 判断23
()12!3!
!
p
x x x f x x p =++++
+在Q 上是否可约． 解：令()!()g x p f x =2
1!!
!!2
(1)!
p p p p p p x x x x p -=++++
+-， 则()g x 为整系数多项式．
!!
|1,
|
,,!(1)!(2)!
p p p p p p p --,， 但2|!p p ，
()g x ∴在Q 上不可约，从而()f x 在Q 上不可约．
说明：许多Q 上的不可约多项式都可经过适当线性代换或化整系数多项式后用等森斯坦因判别法判定它是否不可约，但是，也存在Q #
上不可约多项式()
=+∈≠都不能
x ay b a b Q a
f x，无论作怎样的代换,(,,0)
使()()
+=满足爱森斯坦因判别法的条件，即找不到相应的素数
f ay b
g y
p．
如，3
=++．
()1
f x x x
但可用反证法：若()
f x有有理
f x可约，则必有一次因式，从而()
根，但()
=≠-=≠∴不可约．
f f f x
f x的有理根只能是1±，而(1)30,(1)10,()
总结：不可约多项式的3种判断法：
1. 艾森斯坦因Eisenstein判别法
2.做变换后再用上法
3.试根法
小结：i）有理系数多项式与复系数、实系数多项式分解的区别，ⅱ）整系数多项式的分解法，有理系数多项式的分解法，
ⅲ）不可约多项式的判定。