2021届高考数学一轮复习 第二章13函数模型及其应用 练案【含解析】
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课时作业12函数模型及应用课件
解析：驾驶员醉酒 1 小时血液中酒精含量为 5－1＝0.2 毫克/ 毫升，要使酒精含量≤0.02 毫克/毫升，则3513x≤0.02，∴x≥log330 ＝1＋log310>1＋log39＝3，故此驾驶员至少要过 4 个小时后才能 开车．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们 眼睛，
解析：设汽车经过 t 秒行驶的路程为 s 米，则 s＝12t2，车与 人的间距 d＝(s＋25)－6t＝12t2－6t＋25＝12(t－6)2＋7，当 t＝6 时， d 取得最小值为 7.
4．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为 p，
第二年的增长率为 q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为
铯 137 的衰变过程中，其含量 M(单位：太贝克)与时间 t(单位：
年)满足函数关系：M(t)＝M02－3t0，其中 M0 为 t＝0 时铯 137 的
含量．已知 t＝30 时，铯 137 含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，
则 M(60)＝( D )
A．5 太贝克
B．75ln 2 太贝克
C．150ln 2 太贝克 D．150 太贝克
解：(1)每吨平均成本为yx(万元)．
则yx＝5x＋8 0x00－48≥2
x8 5·
0x00－48＝32，
当且仅当5x＝8 0x00，即 x＝200 时取等号．
所以年产量为 200 吨时，每吨产品的平均成本最低，
为 32 万元．
(2)设年获得总利润为 R(x)万元， 则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000
＝－x52＋88x－8 000 ＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． 因为 R(x)在[0,210]上是增函数，所以 x＝210 时，R(x)有最 大值，为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. 所以年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元．
2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课堂达标12函数模型及应用文新人教版20210723
2021届高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用课堂达标12函数模型及应用文新人教版20210723487[A 基础巩固练]1．向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h 随时刻t 变化的函数h ＝f (t )的图象如图所示．则杯子的形状是( )[解析] 从题图看出，在时刻段[0，t 1]，[t 1，t 2]内水面高度是匀速上升的，在[0，t 1]上升慢，在[t 1，t 2]上升快，故选A.[答案] A2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )A ．3B ．4C ．6D ．12[解析] 设隔墙的长度为x (0＜x ＜6)，矩形面积为y ，则y ＝x ×24－4x2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大．[答案] A3．一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保证交通安全，某地依照《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少通过 ________ 小时才能开车．(精确到1小时)[解析] (1)设通过x 小时才能开车．由题意得0.3(1－25%)x ≤0.09，∴0.75x≤0.3，x ≥log 0.750.3≈4.19. ∴x 最小为5. [答案] 54．(2020·北京朝阳区统一考试)设某公司原有职员100人从事产品A 的生产，平均每人每年制造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有职员中分流x (0＜x ＜100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，连续从事产品A 生产的职员平均每人每年制造产值在原有的基础上增长了 1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18[解析] 由题意，分流前每年制造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年制造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x ∈N *，100－x1＋1.2x %t ≥100t，解得0＜x ≤503.因为x ∈N *，因此x 的最大值为16. [答案] B5．(2020·武汉检测)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元[解析] 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，因此可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，因此当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元． [答案] C6．(2020·石家庄模拟)在翼装飞行世界锦标赛中，某翼人空中高速飞行，如图反映了他从某时刻开始的15分钟内的速度v (x )与时刻x 的关系，若定义“速度差函数”u (x )为时刻段[0，x ]内的最大速度与最小速度的差，则u (x )的图象是( )[解析] 由题意可得，当x ∈[0,6]时，翼人做匀加速运动，v (x )＝80＋x ，“速度差函数”u (x )＝403x .当x ∈[6,10]时，翼人做匀减速运动，速度v (x )从160开始下降，一直降到80，u (x )＝160－80＝80，当x ∈[10,12]时，翼人做匀减速运动，v (x )从80开始下降，v (x )＝180－10x ，u (x )＝160－(180－10x )＝10x －20.当x ∈[12,15]时，翼人做匀加速运动，“速度差函数”u (x )＝160－60＝100，结合所给的图象，故选D.[答案] D7．(2020·河南安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，能够生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则获得利润最大时生产产品的档次是______．[解析] 由题意，第k 档次时，每天可获利润为：y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，∴当k ＝9时，获得利润最大．[答案] 98．(2020·沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm 3，细沙镇定器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，通过8 min 后发觉容器内还有一半的沙子，则再通过 ________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] 依题意有a ·e－b ×8＝12a ，∴b ＝ln 28， ∴y ＝a ·e－ln 28·t ，若容器中只有开始时的八分之一，则有a ·e－ln 28·t ＝18a ，解得t ＝24，因此再通过的时刻为24－8＝16 min. [答案] 169．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%.他期望对物资订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种物资的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式为 ________ .[解析] 设新价为b ，依题意，有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简得 b ＝54a .∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a 4x (x ∈N *)． [答案] y ＝a4x (x ∈N *)10．(2020·珠海模拟)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情形的调查研究中，发觉其注意力指数p 与听课时刻t 之间的关系满足如图所示的曲线．当t ∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t ∈[14,40]时，曲线是函数y ＝log a (t －5)＋83(a ＞0且a ≠1)图象的一部分．依照专家研究，当注意力指数p 大于等于80时听课成效最佳．(1)试求p ＝f (t )的函数关系式．(2)老师在什么时段内安排核心内容能使得学生听课成效最佳？请说明理由．[解] (1)t ∈(0,14]时，设p ＝f (t )＝c (t －12)2＋82(c ＜0)，将(14,81)代入得c ＝－14，∴当t ∈(0,14]时，p ＝f (t )＝－14(t －12)2＋82；t ∈[14,40]时，将(14,81)代入y ＝log a (t －5)＋83，得a ＝13，∴当t ∈[14,40]时，p＝f (t )＝log 13(t －5)＋83.因此p ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－14t －122＋82，t ∈0，14]，log 13t －5＋83，t ∈14，40].(2)t ∈(0,14]时，由－14(t －12)2＋82≥80，解得12－22≤t ≤12＋22，因此t ∈[12－22，14]，t ∈(14,40]时，由log 13(t －5)＋83≥80，解得5＜t ≤32，因此t ∈(14,32]，因此t ∈[12－22，32]，即老师在t ∈[12－22，32]时段内安排核心内容使得学生听课成效最佳．[B 能力提升练]1．(2020·郑州模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但假如年产量超过150吨，会给环境造成危害，为爱护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年[解析] 第n 年的年产量y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1，n ＝1，f n －f n －1，n ∈N ，n ≥2.因为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)，因此f (1)＝3，当n ≥2时，f (n －1)＝12n (n －1)(2n －1)，因此f (n )－f (n －1)＝3n 2，n ＝1时，也满足上式．因此第n 年的年产量为y ＝3n 2，令3n 2≤150，因此n 2≤50，因为n ∈N ，n ≥1，因此1≤n ≤7，因此n max ＝7.[答案] C2．某种新药服用x 小时后血液中的残留量为y 毫克，如图所示为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8∶00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时刻应为( )A ．上午10∶00B ．中午12∶00C ．下午4∶00D ．下午6∶00[解析] 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入， 得k 1＝80，∴y ＝80x .当x ∈[4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)代入得⎩⎪⎨⎪⎧4k 2＋b ＝320，20k 2＋b ＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400.∴y ＝400－20x .∴y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.由y ≥240，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，80x ≥240，或⎩⎪⎨⎪⎧4<x ≤20，400－20x ≥240.∴3≤x ≤8.故第二次服药最迟应在当日下午4∶00.故选C. [答案] C3．一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x ＞20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为______，该工厂的年产量为______件时，所得年利润最大(年利润＝年销售总收入－年总投资)．[解析] 当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x ＞20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20.(x ∈N *)．当0＜x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，x ＝16时，y max ＝156.而当x ＞20时，160－x ＜140，故x ＝16时取得最大年利润．[答案] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0＜x ≤20，160－x ，x ＞20.(x ∈N *)；164．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即依照商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b ＞a )以及实数x (0＜x ＜1)确定实际销售价格c ＝a ＋x (b －a )．那个地点，x 被称为乐观系数．体会说明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x 的值等于 ________ .[解析] 依题意得x ＝c －a b －a，(c －a )2＝(b －c )(b －a )， ∵b －c ＝(b －a )－(c －a )，∴(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )， 两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.∵0＜x ＜1，∴x ＝5－12. [答案]5－125．如图所示，在矩形ABCD 中，已知AB ＝a ，BC ＝b (a ＞b )．在AB 、AD 、CD 、CB 上分别截取AE 、AH 、CG 、CF 都等于x ，当x 为何值时，四边形EFGH 的面积最大？求出那个最大面积．[解] 设四边形EFGH 的面积为S ，由题意得S △AEH ＝S △CFG ＝12x 2，S △BEF ＝S △DHG ＝12(a －x )·(b －x )．由此得S ＝ab －2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12x 2＋12a －xb －x ＝－2x 2＋(a ＋b )x ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 42＋a ＋b28.函数的定义域为{x |0＜x ≤b }，因为a ＞b ＞0，因此0＜b ＜a ＋b2.若a ＋b4≤b ，即a ≤3b ，x ＝a ＋b4时面积S 取得最大值a ＋b28；若a ＋b4＞b ，即a ＞3b 时，函数S ＝－2⎝⎛⎭⎪⎫x －a ＋b 42＋a ＋b28在(0，b ]上是增函数，因此，当x ＝b 时，面积S 取得最大值ab －b 2.综上可知，若a ≤3b ，当x ＝a ＋b4时，四边形EFGH 的面积取得最大值a ＋b28；若a＞3b ，当x ＝b 时，四边形EFGH 的面积取得最大值ab －b 2.[C 尖子生专练]有一种新型的洗衣液，去污速度专门快．已知每投放k (1≤k ≤4，且k ∈R )个单位的洗衣液在装有一定量水的洗衣机中，它在水中开释的浓度y (克/升)随着时刻x (分钟)变化的函数关系式近似为y ＝k ·f (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧248－x －1，0≤x ≤4，7－12x ，4＜x ≤14.若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所开释的浓度之和．依照体会，当水中洗衣液的浓度不低于4克/升时，它才能起到有效去污的作用．(1)若只投放一次k 个单位的洗衣液，当两分钟时水中洗衣液的浓度为3克/升，求k 的值；(2)若只投放一次4个单位的洗衣液，则有效去污时刻可达几分钟？(3)若第一次投放2个单位的洗衣液，10分钟后再投放1个单位的洗衣液，则在第12分钟时洗衣液是否还能起到有效去污的作用？请说明理由．[解] (1)由题意知k ⎝ ⎛⎭⎪⎫248－2－1＝3，∴k ＝1.(2)因为k ＝4，因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧968－x －4，0≤x ≤4，28－2x ，4＜x ≤14.当0≤x ≤4时，由968－x －4≥4，解得－4≤x ＜8，因此0≤x ≤4.当4＜x ≤14时，由28－2x ≥4，解得x ≤12，因此4＜x ≤12. 综上可知，当y ≥4时，0≤x ≤12，因此只投放一次4个单位的洗衣液的有效去污时刻可达12分钟． (3)在第12分钟时，水中洗衣液的浓度为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12×12＋1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤248－12－10－1＝5(克/升)，又5＞4，因此在第12分钟时洗衣液还能起到有效去污的作用．。
2021届新高考数学一轮：第二章 第14讲 函数模型及其应用
用 y1，y2 分别是 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最 小，仓库应建在离车站( )
A.5 千米处
B.4 千米处
C.设仓库应建在离车站 x 千米处. 由仓库每月占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比， 令反比例系数为 m(m＞0)，则 y1＝mx . 当 x＝10 时，y1＝1m0＝2，∴m＝20. 由每月车载货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比， 令正比例系数为 n(n＞0)，则 y2＝nx. 当 x＝10 时，y2＝10n＝8，∴n＝45.
入，可得42k02k＋2＋b＝b＝3200，， 解得kb2＝＝4－002.0， ∴y＝400－20x.∴y
＝
f(x)
＝
80x，0≤x≤4， 400－20x，4<x≤20.
由
y≥240
，
得
0≤x≤4， 80x≥240
或
4<x≤20， 400－20x≥240.
解得 3≤x≤4 或 4<x≤8.∴3≤x≤8.故第二次
3.00
3.94
5.10
6.12
y
0.97
1.59
1.98
2.35
2.61
A.y＝2x C.y＝12(x2－1)
B.y＝log2x D.y＝2.61cos x
解析：方法一，由表格知当 x＝3 时，y＝1.59，而 A 中 y ＝23＝8，不合要求；C 中，当 x＝3 时，y＝12(32－1)＝4，不合
48
35 600
注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内，该车每 100 千米平均耗油量为( B )
A.6 升 C.10 升
B.8 升 D.12 升
3.(2018 年黑龙江哈师大附中模拟)某城市出租车起步价为 10 元，最远可租乘 3 km(含 3 km)，以后每 1 km 增加 1.6 元(不 足1 km按1 km计费)，则出租车的费用y(元)与行驶的路程 x(km) 之间的函数图象大致为( C )
2021届新课标数学一轮复习讲义_第二章_第10讲_函数模型及其应用
第10讲函数模型及其应用1．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b log a x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)2.y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞) 上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同[做一做]1．下列函数中，随x的增大，y的增长速度最快的是()A．y＝1100ex B．y＝100 ln x C．y＝x100D．y＝100·2x答案：A2．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为() A．36万件B．18万件C．22万件D．9万件解析：选B.利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．1．辨明两个易误点(1)易忽视实际问题的自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域．(2)注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性． 2．理解解决实际应用问题的一般步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：[做一做]3．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )A ．[15，20]B ．[12，25]C ．[10，30]D ．[20，30] 解析：选C.设矩形的另一边长为y m ， 则由三角形相似知，x 40＝40－y 40，∴y ＝40－x .∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.考点一__一次函数与二次函数模型(高频考点)____高考对函数应用的考查，常与二次函数、基本不等式及导数等知识交汇，以解答题为主要形式出现． 高考对一次函数、二次函数模型的考查主要有以下两个命题角度： (1)单一考查一次函数或二次函数模型的建立及最值问题； (2)以分段函数的形式考查一次函数和二次函数．(1)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费s (元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元 D.403元(2)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( )A ．3.50分钟B ．3.75分钟C ．4.00分钟D ．4.25分钟(3)经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t (天)的函数，且销售量近似地满足f (t )＝－2t ＋200(1≤t ≤50，t ∈N )．前30天价格为g (t )＝12t ＋30(1≤t ≤30，t ∈N )，后20天价格为g (t )＝45(31≤t ≤50，t ∈N )．①写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系； ②求日销售额S 的最大值．[解析] (1)依题意可设s A (t )＝20＋kt ，s B (t )＝mt ， 又s A (100)＝s B (100)， ∴100k ＋20＝100m ， 得k －m ＝－0.2，于是s A (150)－s B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式电话费相差10元．(2)根据图表，把(t ，p )的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式， 联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.0.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2.0＝－15⎝⎛⎭⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝⎛⎭⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟．[答案] (1)A (2)B (3)解：①根据题意，得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧（－2t ＋200）⎝⎛⎭⎫12t ＋30，1≤t ≤30，t ∈N 45（－2t ＋200），31≤t ≤50，t ∈N ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋40t ＋6 000，1≤t ≤30，t ∈N ，－90t ＋9 000，31≤t ≤50，t ∈N .②a.当1≤t ≤30，t ∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400， ∴当t ＝20时，S 的最大值为6 400；b ．当31≤t ≤50，t ∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为减函数， ∴当t ＝31时，S 的最大值为6 210. ∵6 210＜6 400，∴当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.[规律方法] 把实际问题数学化、建立数学模型一定要过好的三关(1)事理关：通过阅读、理解，明确问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题找出突破口； (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达数学关系；(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．1.一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元，年产量为x (x ∈N *)件．当x ≤20时，年销售总收入为(33x －x 2)万元；当x >20时，年销售总收入为260万元．记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y 万元，则y (万元)与x (件)的函数关系式为____________，该工厂的年产量为________件时，所得年利润最大．(年利润＝年销售总收入－年总投资)解析：当x ≤20时，y ＝(33x －x 2)－x －100＝－x 2＋32x －100；当x >20时，y ＝260－100－x ＝160－x .故y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20，160－x ，x >20.(x ∈N *)．当0<x ≤20时，y ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156，当x ＝16时，y max ＝156.而当x >20时，160－x <140，故x ＝16时取得最大年利润．答案：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋32x －100，0<x ≤20.160－x ，x >20.(x ∈N *) 16考点二__函数y ＝x ＋ax(a >0)模型__________某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．(1)求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少；(2)若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于5吨时，其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．问：该厂是否应考虑利用此优惠条件？请说明理由．[解] (1)设该厂x (x ∈N *)天购买一次饲料平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y 1. ∵饲料的保管费与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)， ∴x 天饲料的保管费与其他费用共是 6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6＝(3x 2－3x )(元)．从而有y 1＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8＝300x ＋3x ＋357≥417，当且仅当300x ＝3x ，即x ＝10时，y 1有最小值．故该厂10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．(2)设该厂利用此优惠条件，每隔x 天(x ≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y 2， 则y 2＝1x (3x 2－3x ＋300)＋200×1.8×0.85＝300x ＋3x ＋303(x ≥25)．令f (x )＝300x ＋3x (x ≥25)，∵f ′(x )＝－300x 2＋3，∴当x ≥25时，f ′(x )>0，即函数f (x )与y 2在x ≥25时是增函数． ∴当x ＝25时，y 2取得最小值，最小值为390. ∵390<417，∴该厂应考虑利用此优惠条件．[规律方法] (1)解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y ＝x ＋ax”型函数模型．(2)对于y ＝x ＋ax (a >0，x >0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性．2.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的房顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40， 因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)．(2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2（6x ＋10）8003x ＋5－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元． 考点三__指数函数模型________________________一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ [解] (1)设每年降低的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－⎝⎛⎭⎫12110.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22，则a (1－x )m＝22a ，即⎝⎛⎭⎫12m10＝⎝⎛⎭⎫1212，即m 10＝12，解得m ＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年．本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解：设从今年开始，以后砍了n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n . 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n≥24，⎝⎛⎭⎫12n10≥⎝⎛⎭⎫1232，即n 10≤32，解得n ≤15. 故今后最多还能砍伐15年．[规律方法] (1)指数函数模型常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来表示．(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型将有关已知数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型．(3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解．1．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型．2．某购物网站在2014年11月开展“全场6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数量少，他最少需要下的订单张数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单金额不少于500元．因此每张订单至少11件，所以最少需要下的订单张数为3，所以选C.3．台风中心从A 地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B.以点B 为圆心，30为半径画圆，设截东北方向所在直线所得弦长为x ，则⎝⎛⎭⎫x 22＋4022＝302，解得x ＝20，故B 城市处于危险区内的时间为2020＝1(小时)．4．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e n t ．若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8升，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选D.令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，由已知得12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.5．已知正方形ABCD 的边长为4，动点P 从B 点开始沿折线BCDA 向A 点运动．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为S ，则函数S ＝f (x )的图象是( )解析：选D.依题意知当0≤x ≤4时，f (x )＝2x ；当4<x ≤8时，f (x )＝8；当8<x ≤12时，f (x )＝24－2x ，观察四个选项知答案为D.6．如图，书的一页的面积为600 cm 2，设计要求书面上方空出2 cm 的边，下、左、右方都空出1 cm 的边，为使中间文字部分的面积最大，这页书的长、宽应分别为________．解析：设长为a cm ，宽为b cm ，则ab ＝600 cm ，则中间文字部分的面积S ＝(a －2－1)(b －2)＝606－(2a ＋3b )≤606－26×600＝486，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝30，b ＝20时，S 最大＝486 cm 2.答案：30 cm 、20 cm7．铁道机车运行1 h 所需的成本由两部分组成：固定部分m 元，变动部分(元)与运行速度x (km/h)的平方成正比，比例系数为k (k >0)．如果机车从甲站匀速开往乙站，甲、乙两站间的距离为500 km ，则机车从甲站运行到乙站的总成本y (元)与机车运行速度x 之间的函数关系为____________．解析：∵1 h 的成本为(m ＋kx 2)元，从甲站到乙站需运行500x h ，∴y ＝500x(m ＋kx 2)＝500⎝⎛⎭⎫m x ＋kx . 答案：y ＝500⎝⎛⎭⎫mx ＋kx 8．某人根据经验绘制了2015年春节前后，从12月21日至1月7日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系式，设为y ＝kx ＋b ，将点(1，10)和点(10，30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19099．如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE ＝4米，CD ＝6米．为合理利用这块钢板，在五边形ABCDE 内截取一个矩形BNPM ，使点P 在边DE 上．(1)设MP ＝x 米，PN ＝y 米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形BNPM 面积的最大值．解：(1)作PQ ⊥AF 于点Q (图略)，所以PQ ＝(8－y )米，EQ ＝(x －4)米． 又△EPQ ∽△EDF ，所以EQ PQ ＝EFFD ，即x －48－y ＝42.所以y ＝－12x ＋10，定义域为{x |4≤x ≤8}．(2)设矩形BNPM 的面积为S 平方米，则S (x )＝xy ＝x ⎝⎛⎭⎫10－x 2＝－12(x －10)2＋50，S (x )是关于x 的二次函数， 且其图象开口向下，对称轴为x ＝10，所以当x ∈[4，8]时，S (x )单调递增． 所以当x ＝8米时，矩形BNPM 的面积取得最大值，为48平方米．10．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：(1)每吨平均成本为y x (万元)．则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x－48＝32， 当且仅当x 5＝8 000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元。
2021高考数学(江苏专用)一轮复习学案：第二章 2.10 函数模型及其应用 (含解析)
§2.10函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 f (x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型 f (x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f (x)＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f (x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)2.三种函数模型的性质概念方法微思考请用框图概括解函数应用题的一般步骤．提示解函数应用题的步骤题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (3)已知a >0且a ≠1，则不存在x 0，使0x a <x n 0<log a x 0.( × )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝ab x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( × )题组二 教材改编2．用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________． 答案 3解析 设隔墙的长度为x (0<x <6)，矩形面积为y ， 则y ＝x ×24－4x 2＝2x (6－x )＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大．3．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x 万件时的生产成本为C (x )＝12x 2＋2x ＋20(万元)．一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件． 答案 18解析 利润L (x )＝20x －C (x )＝－12(x －18)2＋142，当x ＝18时，L (x )有最大值．4．已知某物体的温度Q (单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律为Q ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，且m >0)．若物体的温度总不低于2摄氏度，则m 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 解析 由题意得，m ·2t ＋21－t ≥2恒成立(t ≥0，且m >0)， 又m ·2t ＋21－t ≥22m ，∴22m ≥2，∴m ≥12.题组三 易错自纠5．(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477)( ) A ．6 B ．9 C ．8 D ．7 答案 BC解析 设经过n 次过滤，产品达到市场要求， 则2100×⎝⎛⎭⎫23n ≤11 000，即⎝⎛⎭⎫23n ≤120， 由n lg 23≤－lg 20，即n (lg 2－lg 3)≤－(1＋lg 2)，得n ≥1＋lg 2lg 3－lg 2≈7.4，故选BC.6．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为____________． 答案(p ＋1)(q ＋1)－1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(1＋p )(1＋q )， ∴x ＝(1＋p )(1＋q )－1.7．已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只． 答案 200解析 由题意知100＝a log 3(2＋1)， ∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)． 当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.用函数图象刻画变化过程1.(2019·武汉月考)高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f (h)的大致图象是()答案 B解析v＝f (h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.2．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()答案 D解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.3．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)的影响．根据近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据得到下面的散点图．则下列哪个作为年销售量y关于年宣传费x的函数模型最适合()A．y＝ax＋b B．y＝a＋b xC．y＝a·b x D．y＝ax2＋bx＋c答案 B解析根据散点图可知，选择y＝a＋b x最适合．思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．已知函数模型的实际问题例 (1)(2020·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2 000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元．又知总收入K 是单位产品数Q 的函数，K (Q )＝40Q －120Q 2，则总利润L (Q )的最大值是________万元． 答案 2 500解析 L (Q )＝40Q －120Q 2－10Q －2 000＝－120Q 2＋30Q －2 000＝－120(Q －300)2＋2 500.则当Q ＝300时，L (Q )取得最大值为2 500万元．(2)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：①从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为________________________________________________________________________． ②据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室． 答案 ①y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝⎛⎭⎫116t －0.1，t >0.1②0.6解析 ①设y ＝kt ，由图象知y ＝kt 过点(0.1,1)， 则1＝k ×0.1，k ＝10，∴y ＝10t (0≤t ≤0.1)． 由y ＝⎝⎛⎭⎫116t －a过点(0.1,1)，得1＝⎝⎛⎭⎫1160.1－a ， 解得a ＝0.1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫116t －0.1(t >0.1)． ②由⎝⎛⎭⎫116t －0.1≤0.25＝14，得t ≥0.6. 故至少需经过0.6小时学生才能回到教室． 思维升华 求解所给函数模型解决实际问题的关键点 (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数． (3)利用该模型求解实际问题．跟踪训练 (1)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m >0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元． 答案 4.24解析 ∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系： Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100 kg.答案 ①120 ②80解析 因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t ＝60和t ＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎪⎨⎪⎧ a (60－120)2＋m ＝116，a (100－120)2＋m ＝84，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.01，m ＝80， 所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.命题点1 构造二次函数模型例1 某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R %(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为⎝⎛⎭⎫30－52R 万件，要使附加税不少于128万元，则R 的取值范围是( ) A ．[4,8]B ．[6,10]C ．[4%,8%]D ．[6%,10%]答案 A解析 根据题意，要使附加税不少于128万元，需⎝⎛⎭⎫30－52R ×160×R %≥128， 整理得R 2－12R ＋32≤0，解得4≤R ≤8，即R ∈[4,8]．命题点2 构造指数函数、对数函数模型例2 一片森林原来面积为a ，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22. (1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解 (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0<x <1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12， 解得x ＝1－11012⎛⎫ ⎪⎝⎭.(2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m ＝22a ，即11021122m⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即m 10＝12，解得m ＝5. 故到今年为止，该森林已砍伐了5年．若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？解设从今年开始，以后砍了n年，则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，101 2n⎛⎫⎪⎝⎭≥3212⎛⎫⎪⎝⎭，即n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年．命题点3构造“对勾函数”模型例3(1)(2019·福州月考)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为________．答案 5解析 根据图象求得y ＝－(x －6)2＋11，∴年平均利润y x＝12－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ， ∵x ＋25x≥10，当且仅当x ＝5时等号成立． ∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 平方米，且高度不低于 3 米．记防洪堤横断面的腰长为x 米，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y 米．要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x ＝________米．答案 2 3解析 由题意可得BC ＝18x －x 2(2≤x <6)， ∴y ＝18x ＋3x 2≥218x ×3x 2＝6 3. 当且仅当18x ＝3x 2(2≤x <6)，即x ＝23时等号成立． 命题点4 构造分段函数模型例4 共享单车是城市慢行系统的一种模式创新，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2，0<x ≤400，80 000，x >400，其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本．(1)试将自行车厂的利润y (单位：元)表示为关于月产量x 的函数；(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？解 (1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －12x 2＋300x －20 000，0<x ≤400，且x ∈N ，60 000－100x ，x >400，且x ∈N .(2)当0<x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000， 故当x ＝300时，y max ＝25 000；当x >400时，y ＝60 000－100x 是减函数，故y <60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．素养提升 数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题．函数模型的建立主要是理清变量间的关系，将它们用数学语言表示．。
2021高考数学一轮复习第一部分考点通关练第二章函数、导数及其应用考点测试13函数模型及其应用课件苏教版
解析 对于 A 选项，从图中可以看出当乙车的行驶速度大于 40 km/h 时的燃油效率大于 5 km/L，故乙车消耗 1 升汽油的行驶路程可大于 5 千米， 所以 A 错误．对于 B 选项，由图可知甲车消耗汽油最少．对于 C 选项，甲 车以 80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为 10 km/L，故行驶 1 小时的路程为 80 千米，消耗 8 L 汽油，所以 C 错误．对于 D 选项，当最高限速为 80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率，故用丙车比用乙车更 省油，所以 D 正确．
解析
11．已知某房地产公司计划出租 70 套相同的公寓房．当每套房月租金 定为 3000 元时，这 70 套公寓房能全部租出去；当月租金每增加 50 元时(设 月租金均为 50 元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设已出租的每套房 子每月需要公司花费 100 元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花 这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为________元．
其中 p0 为 t＝0 时的污染物数量．又测得当 t∈[0,30]时，污染物数量的变化 率是－10ln 2，则 p(60)＝( )
A．150 毫克/升
B．300 毫克/升
C．150ln 2 毫克/升
D．300ln 2 毫克/升
解析 因为当 t∈[0,30]时，污染物数量的变化率是－10ln 2，所以－10ln
解析
15．(2015·四川高考)某食品的保鲜时间 y(单位：小时)与储藏温度 x(单
位：℃)满足函数关系 y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b 为常数)．若
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
高考数学复习第2章 函数模型及其应用
函数模型及其应用
【知识重温】
一、必记2个知识点
1．三种函数模型的性质
函数
性质
y＝ax(a＞1)
y＝logax(a＞1)
y＝xn(n＞0)
在(0,＋∞)上
的增减性
增函数
________
增函数
________
增函数
________
增长速度
________
越来越快
________
越来越慢
相对平稳
函数问题求解.
函数y＝x＋ 模型的应用
考点二
[例1] “水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，
近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供
水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水
几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系,应构建分段
函数模型求解；
②构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不重不漏；
③分段函数的最值是各段的最大(或最小)者的最大者(最小者)．
[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．
(2)对构造的较复杂的函数模型,要适时地用换元法转化为熟悉的
B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
解析：由所给数据可知,y随x的增大而增大,且增长速度越来越快,而A,D
中的函数增长速度越来越慢,B中的函数增长速度保持不变．故选C.
四、走进高考
6．[2020·全国卷Ⅲ]Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于
)
A．y＝6x
B．y＝log6x
【高三】2021届高考数学第一轮复习：函数模型及其应用
【高三】2021届高考数学第一轮复习：函数模型及其应用高三理科数学复习46――函数模型及其应用【学习目标】：能够根据实际问题的情况创建合理的函数模型，可以根据实际问题中提供更多的数据在创建函数模型后用导数方法得出答疑.【例题精讲】1.某城市在发展过程中，交通状况逐渐受有关部门更多的高度关注，据有关统计数据表明，从上午点至中午点，车辆通过该市某一路段的用时（分钟）与车辆步入该路段的时刻之间关系可以对数地用如下函数得出：求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻.2.某集团为了赢得最小的收益，每年必须资金投入一定的资金用作广告降价。
经调查，每年资金投入广告费（百万元）。
可以减少销售额约为（百万元）（）.(1)若该公司将当年的广告费控制在300万元之内,则应投入多少广告费,才能使该公司由此获得的收益最大?(2)贝内旺拉拜公司准备工作共资金投入300万元,分别用作广告降价和技术改造.经预测,每资金投入技术改造费和（百万元）,可以减少的销售额约为（百万元）.恳请设计一个资金分配方案,而因公司由此赢得的收益最小.(备注：收益=销售额导入).3.从边长为的正方形铁片的四角上各截去一小块边长为的正方形，再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形边长的比值不超过常数，则取何值时，容积有最大值.【矫正意见反馈】1.某天中午时整，甲船自以的速度向正东方向行驶，乙船自的正北处以的速度向正南方向行驶，则当天时分时两船之距离对时间的变化率是.2.体积为的圆柱，底面半经和低分别为_______,_________时，表面积最轻.3.从边长为的矩形纸板的四角，截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，那么盒子容积的最大值为。
4.一区，必须把如图所示的一片碎石滩规划成一个矩形度假村。
未知矩形的顶点在近似于一段对数函数的图象的曲线段上，且，,,问如何规划，可以并使度假村占地面积最小？5.甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产需占用甲方的资，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元）与年产量（吨）满足函数关系，若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）。
高考数学一轮复习练习 数学建模——函数模型及其应用
数学建模——函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=1t2米,那么,此人()2A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)含量减少137.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图像大致是()10.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年11.如图,直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC,以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动,则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为,y的最大值为.12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg I给出,其中I为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m 2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1 L 汽油的行驶路程可大于5 km,所以选项A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B 错误;甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1小时的路程为80 km,消耗8 L 汽油,所以选项C 错误;当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D 正确.2.C 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3 000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3 000(0<x<240,x ∈N *).令f (x )≥0,得x ≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C .3.B 由题意,设利润为y 元,租金定为(3 000+50x )元(0≤x ≤70,x ∈N ),则y=(3 000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2 900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤5058+x+70-x 22=204 800,当且仅当58+x=70-x ,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B .4.D 已知s=12t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d 取得最小值7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为7米,故选D .5.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t 万元,分流x 人后,每年创造的产值为(100-x )[1+(1.2x )%]t ,则{0<x <100,x ∈N *,(100-x )[1+(1.2x )%]t ≥100t , 解得0<x ≤503.因为x ∈N *,所以x 的最大值为16,故选B . 6.8 设至少过滤n 次才能达到市场要求,则2%1-13n ≤0.1%,即23n ≤120, 所以n lg 23≤-1-lg 2,解得n ≥7.39,所以n=8.7.16 当t=0时,y=a ,当t=8时,y=a e -8b =12a ,所以e -8b =12,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=a e -bt =18a ,e -bt =18=(e -8b )3=e -24b ,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.解 (1)根据所给的曲线,可设y={kt ,0≤t ≤1,(12) t -a ,t >1.当t=1时,由y=4,得k=4,由121-a =4,得a=3.则y={4t ,0≤t ≤1,(12) t -3,t >1.(2)由y ≥0.25,得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12) t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).9.B 设AD 的长为x m,则CD 的长为(16-x ) m,则矩形ABCD 的面积为x (16-x ) m 2.因为要将点P 围在矩形ABCD 内,所以a ≤x ≤12.当0<a ≤8时,当且仅当x=8时,u=64;当8<a<12时,u=a (16-a ).画出函数图像可得其形状与B 选项接近,故选B .10.C 若2019年是第1年,则第n 年全年投入的科研经费为1 300×1.12n 万元,由1 300×1.12n >2 000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,所以n ×0.05>0.19,得n>3.8,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C .11.y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,2-12(2t -4)2,2<t ≤32 如题图,当0≤t<1时,重叠部分面积y=12×2t ×2t=2t 2;当1≤t ≤2时,重叠部分为直角三角形ABC ,重叠部分面积y=12×2×2=2(cm 2); 当2<t ≤3时,重叠部分为梯形,重叠部分面积y=S △ABC -12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t 2+8t-6. 综上,y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,-2t 2+8t -6,2<t ≤3,故可得y 的最大值为2.12.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ,由f (0)=4,f (2)=6,可得p=4,(2-q )2=1,又q>1,所以q=3,所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5),所以f'(x )=3x 2-12x+9, 令f'(x )<0,得1<x<3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月,10月两个月内价格下跌. 13.解 (1)当声强为10-6 W/m 2时,由公式Y=10lgI 10-12,得Y=10lg 10-610-12=10lg 106=60(分贝).(2)当Y=0时,由公式Y=10lg I 10-12,得10lgI 10-12=0.所以I10-12=1,即I=10-12 W/m 2,则最低声强为10-12 W/m 2.(3)当声强为5×10-7 W/m 2时,声强级为Y=10lg 5×10-710-12=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),因为50+10lg 5>50,故这两位同学会影响其他同学休息.。
2021年高考数学一轮总复习 2.10函数模型及其应用练习
2021年高考数学一轮总复习 2.10函数模型及其应用练习一、选择题1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )x 45678910y 15171921232527 A.C．指数函数模型D．对数函数模型解析根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．答案 A2．(xx·湖州模拟)物价上涨是当前的主要话题，特别是菜价，我国某部门为尽快实现稳定菜价，提出四种绿色运输方案．据预测，这四种方案均能在规定的时间T内完成预测的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四种方案中，运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )解析由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，故选B.答案 B3．牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度的关系为指数型函数y＝ka x，若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约为100 h，在5 ℃的冰箱中，保鲜时间约为80 h，那么在10 ℃时保鲜时间约为( )A ．49 hB ．56 hC ．64 hD ．72 h解析 由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧100＝ka 0，80＝ka5解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝100，a 5＝45，则当x ＝10时，y ＝100a 10＝100×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝64 (h)．答案 C4．(xx·湖南卷)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.p ＋1q ＋1－12C.pqD.p ＋1q ＋1－1解析 设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1)．设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝p ＋1q ＋1－1，故选D.答案 D5．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝5.06x －0.15x2和L 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A ．45.606万元B ．45.6万元C ．45.56万元D ．45.51万元解析 依题意可设在甲地销售x 辆，则在乙地销售(15－x )辆，总利润S ＝L 1＋L 2，则总利润S ＝5.06x －0.15x 2＋2(15－x )＝－0.15x 2＋3.06x ＋30＝－0.15(x －10.2)2＋0.15×10.22＋30(x ≥0)．故当x ＝10时，S max ＝45.6(万元)．答案 B6．已知某食品厂生产100克饼干的总费用为1.80元，现该食品厂对饼干采用两种包装，其包装费及售价如表所示：型号 小包装 大包装 质量 100克 300克 包装费 0.5元 0.8元 售价3.00元8.40元①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3包小包装比卖1包大包装盈利多； ④卖1包大包装比卖3包小包装盈利多． 所有正确的说法是( ) A ．①④ B ．①③ C ．②③D ．②④解析 1包小包装每元买饼干1003克，1包大包装每元可买饼干3008.4＞1003克，因此，买大包装实惠．卖3包小包装可盈利2.1元，卖1包大包装可盈利2.2元，因此，卖3包小包装比卖1包大包装盈利少．答案 D 二、填空题7．计算机的价格大约每3年下降23，那么今年花8 100元买的一台计算机，9年后的价格大约是________元．解析 方法1：设计算机价格平均每年下降p %， 由题意，可得13＝(1－p %)3，∴p %＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 .∴9年后的价格为8 100×⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13 13 －19＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)． 方法2：9年后的价格为8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233＝8 100×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝300(元)．答案 3008．某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品．则获得利润最大时生产产品的档次是________．解析 由题意，第k 档次时，每天可获利润为：y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10)，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，∴k ＝9时，获得利润最大．答案 99．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在下图中请选择与容器相匹配的图象，(A)对应________；(B)对应________；(C)对应________；(D)对应________．解析A容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C、D容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，但C容器细，D容器粗，故水高度的变化为：C容器快，与(3)对应，D容器慢，与(2)对应．答案(4) (1) (3) (2)三、解答题10．某工厂在政府的帮扶下，准备转型生产一种特殊机器，生产需要投入固定成本500万元，生产与销售均以百台计数，且每生产100台，还需增加可变成本1 000万元．若市场对该产品的年需求量为500台，每生产m百台的实际销售收入(单位：万元)近似满足函数R(m)＝5 000m－500m2(0≤m≤5，m∈N)．(1)试写出第一年的销售利润y(万元)关于年产量x(单位：百台，x≤5，x∈N*)的函数关系式；(说明：销售利润＝实际销售收入－成本)(2)因技术等原因，第一年的年生产量不能超过300台，若第一年人员的年支出费用u(x)(万元)与年产量x(百台)的关系满足u(x)＝500x＋500(x≤3，x∈N*)，问年产量x为多少百台时，工厂所得纯利润最大？解(1)由题意得y＝5 000x－500x2－500－1 000x，即y＝－500x2＋4 000x－500(x≤5，x∈N*)．(2)记工厂所得纯利润为h(x)，则h(x)＝－500x2＋4 000x－500－u(x)＝－500x2＋3 500x－1 000，∵－500(x 2－7x )－1 000＝－500⎝ ⎛⎭⎪⎫x －722＋5 125(x ≤3，x ∈N *)，∴当x ＝3(百台)时，h (x )max ＝5 000(万元)．故当年生产量为3百台时，厂家的纯利润最大，且最大值为5 000万元．11．(xx·上海六校二联)为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y (万元)与处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为y ＝x 2－50x ＋900，且每处理一吨废弃物可得价值为10万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．(1)当x ∈[10,15]时，判断该项举措能否获利？如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？ 解 (1)根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系：P ＝(10＋10)x －y ＝20x －x 2＋50x －900＝－x 2＋70x －900＝－(x －35)2＋325，x ∈[10,15]．∵x ＝35∉[10,15]，P ＝－(x －35)2＋325在[10,15]上为增函数， 可求得P ∈[－300，－75]．∴国家最少补贴75万元，该工厂才不会亏损． (2)设平均处理成本为Q ＝y x ＝x ＋900x－50≥2 x ·900x－50＝10，当且仅当x ＝900x时等号成立，由x >0得x ＝30.因此，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为10万元．培 优 演 练1．(xx·郑州模拟)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是( )A ．5年B ．6年C ．7年D ．8年解析 第n 年的年产量y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1，n ＝1，f n －f n －1，n ∈N ，n ≥2.因为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)，所以f (1)＝3，当n ≥2时，f (n －1)＝12n (n －1)(2n －1)，所以f (n )－f (n －1)＝3n 2，n ＝1时，也满足上式．所以第n 年的年产量为y ＝3n 2， 令3n 2≤150，所以n 2≤50， 因为n ∈N ，n ≥1，所以1≤n ≤7，所以n max ＝7. 答案 C2．(xx·陕西卷)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x解析 方法1：由题意可知，该三次函数满足以下条件：过点(0,0)，(2,0)，在(0,0)处的切线方程为y ＝－x ，在(2,0)处的切线方程为y ＝3x －6，以此对选项进行检验．A 选项，y ＝12x 3－12x 2－x ，显然过两个定点，又y ′＝32x 2－x －1，则y ′|x ＝0＝－1，y ′|x ＝2＝3，故条件都满足，由选择题的特点知应选A.方法2：设该三次函数为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ， 则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由题设有⎩⎪⎨⎪⎧f0＝0⇒d＝0，f2＝0⇒8a＋4b＋2c＋d＝0，f′0＝－1⇒c＝－1，f′2＝3⇒12a＋4b＋c＝3，解得a＝12，b＝－12，c＝－1，d＝0.故该函数的解析式为y＝12x3－12x2－x，选A.答案 A3．如图，现要在边长为100 m的正方形ABCD内建一个交通“环岛”．以正方形的四个顶点为圆心在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为15x2m的圆形草地．为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.(1)求x的取值范围；(运算中2取1.4)(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为433ax元/m2，其余区域的造价为12a11元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？解(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x≥9，100－2x≥60，1002－2x－2×15x2≥2×10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x≥9x≤20，－20≤x≤15，即9≤x≤15.(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意，得y＝a×π×⎝⎛⎭⎪⎫15x22＋433ax×πx2＋12a11×⎣⎢⎡⎦⎥⎤104－π×⎝⎛⎭⎪⎫15x22－πx2＝a 11⎣⎢⎡⎦⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫－125x 4＋43x 3－12x 2＋12×104，令f (x )＝－125x 4＋43x 3－12x 2，则f ′(x )＝－425x 3＋4x 2－24x ＝－4x ⎝ ⎛⎭⎪⎫125x 2－x ＋6， 由f ′(x )＝0，解得x ＝10或x ＝15. 列表如下：∴当x ＝10，f (x )取极小值，即y 取最小值． 故当x ＝10 m 时，可使“环岛”的整体造价最低．@ 28809 7089 炉B38632 96E8 雨z34167 8577 蕷26577 67D1 柑(39525 9A65 驥38548 9694 隔28447 6F1F 漟28001 6D61 浡。
山东2021新高考数学一轮复习第二章函数导数及其应用2.9函数模型及应用学案含解析.doc
第九节函数模型及应用课标要求考情分析1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义．2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题，是高考命题的热点．2．常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题，考查建模能力及分析问题和解决问题的能力．3．选择题、填空题、解答题三种题型都有考查，但以解答题为主.知识点一指数、对数、幂函数模型性质比较知识点二几种常见的函数模型(1)“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．(2)充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键．(3)易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性．1．思考辨析判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( × )(2)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大．( × ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( × )(4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝a x (a >1)的增长速度会超过并远远大于y ＝x a (a >0)的增长速度．( √ )解析：(1)9折出售的售价为100(1＋10%)×910＝99元．∴每件赔1元，(1)错．(2)中，当x ＝2时，2x ＝x 2＝4.不正确．(3)中，如a ＝x 0＝12，n ＝14，不等式成立，因此(3)错．2．小题热身(1)函数模型y 1＝0.25x ，y 2＝log 2x ＋1，y 3＝1.002x ，随着x 的增大，增长速度的大小关系是y 3>y 1>y 2.(2)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．把平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S 表示为x 的函数是S ＝800x ＋x8(x ∈N *)．(3)某物体一天中的温度T 是关于时间t 的函数，且T ＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，当t ＝0时表示中午12：00，其后t 值为正，则上午8时该物体的温度是8_℃.(4)已知某种动物繁殖量y (只)与时间x (年)的关系为y ＝a log 3(x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到200只．(5)在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v (米/秒)关于燃料的质量M (千克)、火箭(除燃料外)的质量m (千克)的函数关系式是v ＝2 000·ln ⎝⎛⎭⎫1＋Mm .当燃料质量是火箭质量的e 6－1倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒．解析：(1)根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得． (2)由题意知，每件产品的生产准备费用是800x元，仓储费用是⎝⎛⎭⎫x 8×1元，所以每件产品的生产准备费用与仓储费用之和S ＝800x ＋x8.(3)由题意知，上午8时即t ＝－4，因此所求温度T ＝(－4)3－3×(－4)＋60＝8(℃)． (4)由题意知100＝a log 3(2＋1)， ∴a ＝100，∴y ＝100log 3(x ＋1)， 当x ＝8时，y ＝100log 39＝200.(5)由题意可得12 000＝2 000ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ， 则ln ⎝⎛⎭⎫1＋M m ＝6，解得1＋M m ＝e 6，所以Mm ＝e 6－1， 故填e 6－1.考点一 一次函数、二次函数模型的应用【例1】 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－200x ＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不能获利，那么国家每月至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【解】 (1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ·80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x，即x ＝400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．(2)设该单位每月获利为S ，则S ＝100x －y ＝100x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000 ＝－12x 2＋300x －80 000＝－12(x －300)2－35 000.因为400≤x ≤600， 所以当x ＝400时， S 有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能使该单位不亏损． 方法技巧在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题．1．某商场销售A 型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10 日均销售量/件400360320280240200160)应为( C )A ．4B ．5.5C ．8.5D ．10解析：由题意可设定价为x 元/件，利润为y 元，则y ＝(x －3)[400－40(x －4)]＝40(－x 2＋17x －42)，故当x ＝8.5时，y 有最大值，故选C.2．某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则预计单价为多少时，利润最大( B )A ．8元/件B ．10元/件C ．12元/件D ．14元/件解析：设单价为(6＋x )元，日均销售量为100－10x ，则日利润y ＝(6＋x －4)(100－10x )－20＝－10x 2＋80x ＋180＝－10(x －4)2＋340(0<x <10)．∴当x ＝4时，y max ＝340.即单价为10元/件，利润最大，故选B.考点二 分段函数模型的应用【例2】 已知美国苹果公司生产某款iPhone 手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元，设苹果公司一年内共生产该款iPhone 手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R (x )万美元，且R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400－6x ，0<x ≤40，7 400x－40 000x 2，x >40.(1)写出年利润W (万美元)关于年产量x (万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，苹果公司在该款iPhone 手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．【解】 (1)当0<x ≤40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－6x 2＋384x －40，当x >40时，W ＝xR (x )－(16x ＋40) ＝－40 000x－16x ＋7 360.所以，W ＝⎩⎪⎨⎪⎧－6x 2＋384x －40，0<x ≤40，－40 000x －16x ＋7 360，x >40.(2)①当0<x ≤40时，W ＝－6(x －32)2＋6 104， 所以W max ＝W (32)＝6 104(万美元)； ②当x >40时，W ＝－40 000x －16x ＋7 360，由于40 000x＋16x ≥240 000x×16x ＝1 600， 当且仅当40 000x＝16x ，即x ＝50∈(40，＋∞)时，取等号， 所以W 取最大值为5 760.综合①②知，当x ＝32时，W 取最大值为6 104万美元． 方法技巧(1)分段函数的特征主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，分段函数模型的最值问题，应先求出每一段上的最值，然后比较大小.(2)构造分段函数时，要力求准确，简洁，做到分段合理，保证不重不漏.为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝⎩⎨⎧13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500]，且每处理1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．(1)当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：(1)当x ∈[200,300]时，设该项目获利为S 元，则S ＝200x －⎝⎛⎭⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12x 2＋400x －80 000＝－12(x －400)2，所以当x ∈[200,300]时，S <0，因此该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，所以国家每月至少补贴5 000元才能使该项目不亏损．(2)由题意，可知二氧化碳的每吨处理成本为 yx ＝⎩⎨⎧13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x ＋80 000x －200，x ∈[144，500]，当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，所以当x ＝120时，yx 取得最小值240.当x ∈[144,500]时，y x ＝12x ＋80 000x －200≥212x ×80 000x －200＝200，当且仅当12x ＝80 000x. 即x ＝400时，yx 取得最小值200，所以该项目每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．考点三 指数函数、对数函数模型的应用【例3】 已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 【解】 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x (x ≥1)，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 即m ·2t ＋22t ≥2恒成立．亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立．令12t ＝y ，则0<y ≤1， ∴m ≥2(y －y 2)恒成立，由于y －y 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 方法技巧(1)指数函数模型，常与增长率相结合进行考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型来解决；(2)应用指数函数模型时，关键是对模型的判断，先设定模型，再将已知有关数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型；(3)y ＝a (1＋x )n 通常利用指数运算与对数函数的性质求解.1．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金的投入．若该公司2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)( D )A ．2017年B ．2018年C ．2019年D ．2020年解析：设经过x 年后全年投入的研发资金开始超过200万元，由题意可得130(1＋0.12)x＝200，则x ＝log 1.122013，即x ＝lg20－lg13lg1.12＝1＋lg2－1－lg1.3lg1.12≈0.30－0.110.05≈4，2 016＋4＝2 020，故选D.2．我们处在一个有声世界里，不同场合，人们对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝(dB)，对一个强度为I 的声波，其音量的大小η可由如下公式计算：η＝10lg II 0(其中I 0是人耳能听到声音的最低声波强度)，则70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的( C )A.76倍 B ．1076倍C ．10倍D ．ln 76倍解析：由η＝10lg I I 0得I ＝I 010η10，所以I 1＝I 0107，I 2＝I 0106，所以I 1I 2＝10，所以70 dB 的声音的声波强度I 1是60 dB 的声音的声波强度I 2的10倍，故选C.。
2021高考数学一轮复习考点通关练第二章函数、导数及其应用考点测试9指数与指数函数(含解析)苏教版
考点测试9 指数与指数函数高考概览高考在本考点的常考题型为选择题，分值5分，中等难度 考纲研读1.了解指数函数模型的实际背景2．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算3．理解指数函数的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点4．体会指数函数是一类重要的函数模型一、基础小题 1．设2x＝8y ＋1,9y＝3x －9，则x ＋y 的值为( )A ．18B ．21C ．24D ．27答案 D 解析 因为2x＝8y ＋1＝23(y ＋1)，所以x ＝3y ＋3，因为9y ＝3x －9＝32y，所以x －9＝2y ，解得x ＝21，y ＝6，所以x ＋y ＝27.2．化简(a >0，b >0)的结果是( )A.b aB ．abC ．a 2b D ．a b答案 D 解析 原式＝＝ab －1＝ab .故选D.3．若f (x )＝(2a －3)a x为指数函数，则f (x )在定义域内( ) A ．为增函数 B ．为减函数 C ．先增后减 D ．先减后增答案 A解析 由指数函数的定义知2a －3＝1，解得a ＝2，所以f (x )＝2x，所以f (x )在定义域内为增函数．故选A.4．已知，则( ) A ．b <a <c B ．a <b <c C ．b <c <a D ．c <a <b答案 A 解析 a ＝，由2<3得a <c ，由23>25，得a >b ，故c >a >b .故选A.5．当x >0时，函数f (x )＝(a 2－1)x的值总大于1，则实数a 的取值范围是( ) A ．1<a <2B ．－1<a <1C ．a >2或a <－ 2D ．－2<a < 2答案 C解析 ∵x >0时，f (x )＝(a 2－1)x 的值总大于1，∴a 2－1>1，即a 2>2.∴a >2或a <－ 2.故选C.6．下列函数中，在(0，＋∞)内单调递减的是( ) A ．y ＝22－xB ．y ＝x －11＋xC ．D ．y ＝－x 2＋2x ＋a答案 A解析 根据题意，依次分析选项：对于A ，y ＝22－x＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在(0，＋∞)内单调递减，符合题意；对于B ，y ＝x －1x ＋1＝1－2x ＋1，在(0，＋∞)内单调递增，不符合题意；对于C ，y ＝＝log 2x ，在(0，＋∞)内单调递增，不符合题意；对于D ，y ＝－x 2＋2x ＋a ＝－(x －1)2＋a ＋1，在(0,1)内单调递增，不符合题意．故选A.7．已知函数f (x )满足对一切x ∈R ，f (x ＋2)＝－1f x都成立，且当x ∈(1,3]时，f (x )＝2－x，则f (2019)＝( )A.14 B ．18 C ．116 D ．132答案 B解析 由已知条件f (x ＋2)＝－1f x可得f (x )＝－1fx －2，故f (x ＋2)＝f (x －2)，易得f (x )是周期为4的周期函数，∴f (2019)＝f (3＋504×4)＝f (3)，∵当x ∈(1,3]时，f (x )＝2－x ，∴f (3)＝2－3＝18，即f (2019)＝18.故选B.8．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x＋31＋2x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3 B ．(0,2] C ．{0,1,2} D ．{0,1,2,3}答案 C解析 因为f (x )＝2x＋31＋2x ＋1＝121＋2x ＋1＋521＋2x ＋1＝12＋521＋2x ＋1，2x ＋1>0，所以0<11＋2x ＋1<1，所以12<12＋521＋2x ＋1<3，即12<f (x )<3，所以y ＝[f (x )]的值域为{0,1,2}，故选C. 9．下列说法中，正确的是( ) ①任取x ∈R 都有3x >2x；②当a >1时，任取x ∈R 都有a x >a －x； ③y ＝(3)－x是增函数； ④y ＝2|x |的最小值为1；⑤在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x的图象关于y 轴对称． A ．①②④ B ．④⑤ C ．②③④ D ．①⑤答案 B解析 ①中令x ＝－1，则3－1<2－1，故①错误；②中当x <0时，a x <a －x，故②错误；③中y ＝(3)－x ＝⎝⎛⎭⎪⎫33x ，∵0<33<1，∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫33x为减函数，故③错误；④中x ＝0时，y 取最小值1，故④正确；⑤由函数图象变换，可知y ＝2x与y ＝2－x的图象关于y 轴对称，故⑤正确．故选B.10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝4x－1，则在(1,3)上，f (x )≤1的解集是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤1，32 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，52C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 D ．[2,3)答案 C解析 ∵0≤x ≤1时，f (x )＝4x－1，∴f (x )在区间[0,1]上是增函数，又f (x )是奇函数，∴f (x )在区间[－1,1]上是增函数．∵f (x )＝f (2－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (x )在区间(1,3)上是减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝1，∴在区间(1,3)上不等式f (x )≤1的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3，故选C.11．求值：＝________.答案14380解析 原式＝0.4－1－1＋(－2)－4＋2－3＋0.1＝104－1＋116＋18＋110＝14380.12．已知max{a ，b }表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．答案 e解析 由题意得，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e |x |，x ≥1，e |x －2|，x <1.当x ≥1时，f (x )＝e |x |＝e x≥e(当x ＝1时，取等号)；当x <1时，f (x )＝e|x －2|＝e2－x>e.故f (x )的最小值为f (1)＝e.二、高考小题13．(2019·全国卷Ⅰ)已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <b D ．b <c <a答案 B解析 因为a ＝log 20.2<0，b ＝20.2>1,0<c ＝0.20.3<1，所以a <c <b .故选B. 14．(2017·全国卷Ⅰ)设x ，y ，z 为正数，且2x＝3y＝5z，则( ) A ．2x <3y <5z B ．5z <2x <3y C ．3y <5z <2x D ．3y <2x <5z答案 D解析 令t ＝2x ＝3y ＝5z，∵x ，y ，z 为正数，∴t ＞1.则x ＝log 2t ＝lg t lg 2，同理，y ＝lg t lg 3，z ＝lg t lg 5.∴2x －3y ＝2lg t lg 2－3lg t lg 3＝lg t 2lg 3－3lg 2lg 2×lg 3＝lg t lg 9－lg 8lg 2×lg 3＞0，∴2x ＞3y .又2x －5z ＝2lg t lg 2－5lg t lg 5＝lg t 2lg 5－5lg 2lg 2×lg 5＝lg t lg 25－lg 32lg 2×lg 5＜0，∴2x＜5z ，∴3y ＜2x ＜5z .故选D.15．(2018·上海高考)已知常数a >0，函数f (x )＝2x 2x ＋ax 的图象经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，65，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫q ，－15.若2p ＋q＝36pq ，则a ＝________.答案 6解析 由已知条件知f (p )＝65，f (q )＝－15，所以⎩⎪⎨⎪⎧2p2p＋ap ＝65， ①2q 2q＋aq ＝－15， ②①＋②，得2p2q ＋aq ＋2q2p＋ap2p ＋ap 2q＋aq＝1， 整理得2p ＋q＝a 2pq ，又2p ＋q＝36pq ，∴36pq ＝a 2pq ，又pq ≠0，∴a 2＝36，∴a ＝6或a ＝－6，又a >0，∴a ＝6. 16．(2015·江苏高考)不等式<4的解集为________．答案 {x |－1<x <2} 解析 不等式<4可转化为<22，利用指数函数y ＝2x 的性质可得，x 2－x <2，解得－1<x <2，故所求解集为{x |－1<x <2}．17．(2015·福建高考)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．答案 1解析 因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝1.函数f (x )＝2|x －1|的图象如图所示．因为函数f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，所以m ≥1，所以实数m 的最小值为1.三、模拟小题18．(2020·河北张家口摸底)化简的结果为( )A ．－4aB ．4aC ．11aD ．4ab答案 B 解析 原式＝＝4ab 0＝4a ，故选B.19．(2019·湖北八校联考)若，则函数y ＝2x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫18，2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，2 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18 D ．[2，＋∞)答案 B 解析 因为＝24－2x，则x 2＋1≤4－2x 即x 2＋2x －3≤0，所以－3≤x ≤1.所以18≤y ≤2.20．(2019·沧州模拟)已知函数f (x )＝e x －1－e－x ＋1，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是1B ．函数f (x )是单调递减函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝1轴对称D ．函数f (x )的图象关于(1,0)中心对称 答案 D解析 函数f (x )＝ex －1－e－x ＋1，即f (x )＝ex －1－1e x －1，可令t ＝e x －1，即有y ＝t －1t，由y ＝t －1t在t ＞0时单调递增，t ＝e x －1在R 上单调递增，可得f (x )在R 上为增函数，则A ，B 均错误；由f (2－x )＝e1－x－ex －1，可得f (x )＋f (2－x )＝0，即有f (x )的图象关于点(1,0)对称，则C 错误，D 正确．故选D.21．(2020·湖南衡阳高三摸底考试)设函数f (x )在(－∞，1]上有定义，对于给定的实数K ，定义f K (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x，f x ≤K ，K ，f x >K .给出函数f (x )＝2x ＋1－4x，若对于任意x ∈(－∞，1]，恒有f K (x )＝f (x )，则( )A ．K 的最大值为0B ．K 的最小值为0C ．K 的最大值为1D ．K 的最小值为1答案 D解析 根据题意可知，对于任意x ∈(－∞，1]，若恒有f K (x )＝f (x )，则f (x )≤K 在x ≤1时恒成立，即f (x )的最大值小于或等于K 即可．令2x ＝t ，则t ∈(0,2]，f (t )＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1，可得f (t )的最大值为1，所以K ≥1，故选D.22．(2019·江苏省镇江市期末)已知函数f (x )＝12x －2x ，则满足f (x 2－5x )＋f (6)>0的实数x 的取值范围是________．答案 (2,3)解析 根据题意，函数f (x )＝12x －2x ，f (－x )＝12－x －2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2x ＝－f (x )，即f (x )为奇函数，又由y ＝12x 在R 上为减函数，y ＝－2x在R 上为减函数，则f (x )在R 上为减函数，则f (x 2－5x )＋f (6)>0⇒f (x 2－5x )>－f (6)⇒f (x 2－5x )>f (－6)⇒x 2－5x <－6，解得2<x <3，即x 的取值范围为(2,3)．23．(2019·浦东新区模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x4x 2＋16，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |，x <2，若对任意的x 1∈[2，＋∞)，都存在唯一的x 2∈(－∞，2)，满足f (x 1)＝f (x 2)，则实数a 的取值范围为________．答案 [－2,6)解析 当x 1∈[2，＋∞)时， x 14x 21＋16＝14x 1＋16x 1∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，116.当x 2∈(－∞，2)时，(1)若a ≥2，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －x 在(－∞，2)上是单调递增函数，所以f (x 2)∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2.若满足题目要求，则⎝ ⎛⎦⎥⎤0，116⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －2>116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫124，∴a －2<4，a <6.又a ≥2，所以a ∈[2,6)．(2)若a <2，则f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －x，x <a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －a，a ≤x ＜2.如果f (x )在(－∞，a )上是单调递增函数， 此时f (x 2)∈(0,1)；如果f (x )在[a,2)上是单调递减函数，此时f (x 2)∈⎝ ⎛⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a ，1. 若满足题目要求，则116≤⎝ ⎛⎭⎪⎫122－a，∴a ≥－2，又a <2，所以a ∈[－2,2)． 综上，a ∈[－2,6)．一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型． 二、模拟大题1．(2019·兰州模拟)已知函数.(1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求实数a 的值； (3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求实数a 的值． 解 (1)当a ＝－1时，，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而指数函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13t在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2)．(2)令g (x )＝ax 2－4x ＋3，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13g (x )，由于f (x )有最大值3，所以g (x )应有最小值－1，因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －4a＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，实数a 的值等于1. (3)由指数函数的性质知，要使的值域为(0，＋∞)，则应使g (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R ，因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则g (x )为二次函数，其值域不可能为R )．故a 的值为0.2．(2020·河南洛阳高三阶段考试)已知函数f (x )＝a|x ＋b |(a >0，a ≠1，b ∈R )．(1)若f (x )为偶函数，求实数b 的值；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，试求实数a ，b 应满足的条件． 解 (1)因为f (x )为偶函数，所以对任意的x ∈R ，都有f (－x )＝f (x )， 即a|x ＋b |＝a|－x ＋b |，|x ＋b |＝|－x ＋b |，解得实数b ＝0.(2)记h (x )＝|x ＋b |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋b ，x ≥－b ，－x －b ，x <－b .①当a >1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是增函数， 所以－b ≤2，b ≥－2.②当0<a <1时，f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数，即h (x )在区间[2，＋∞)上是减函数，但h (x )在区间[－b ，＋∞)上是增函数，故不存在a ，b 的值，使f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数．所以f (x )在区间[2，＋∞)上是增函数时，实数a ，b 应满足的条件为a >1且b ≥－2. 3．(2019·渭南模拟)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求实数a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求实数k 的取值范围． 解 (1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得实数b ＝1，所以f (x )＝－2x＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得实数a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数， 所以由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故实数k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13. 4．(2020·山东枣庄高三摸底考试)已知函数f (x )＝e x ＋a ·e －x，x ∈R . (1)当a ＝1时，证明：f (x )为偶函数；(2)若f (x )在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围；(3)若a ＝1，求实数m 的取值范围，使m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1在R 上恒成立． 解 (1)证明：当a ＝1时，f (x )＝e x＋e －x，定义域(－∞，＋∞)关于原点对称，而f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．因为x 1<x 2，函数y ＝e x为增函数，所以，则，又因为f (x )在[0，＋∞)上单调递增，所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x 1)－f (x 2)<0， 所以对任意的0≤x 1<x 2恒成立，所以a ≤1.故实数a 的取值范围为(－∞，1]．(3)由(1)(2)知函数f (x )＝e x ＋e －x在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，所以其最小值f (0)＝2，且f (2x )＝e 2x＋e－2x＝(e x ＋e －x )2－2，设t ＝e x ＋e －x，则t ∈[2，＋∞)，1t ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，则不等式m [f (2x )＋2]≥f (x )＋1恒成立， 等价于m ·t 2≥t ＋1，即m ≥t ＋1t 2恒成立， 而t ＋1t 2＝1t 2＋1t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ＋122－14， 当且仅当1t ＝12，即t ＝2时t ＋1t 2取得最大值34，故m ≥34.因此实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。
专题13一次函数及其应用(知识点总结+例题讲解)-2021届中考数学一轮复习
2021年中考数学专题13 一次函数及其应用（知识点总结+例题讲解）一、一次函数的概念：1.一次函数的概念：（1）定义：一般地，如果y=kx+b(k，b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数；（2）结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项b可以是任意实数。
（3）图像：是不经过原点的一条直线。
2.正比例函数的概念：（1）定义：当一次函数y=kx+b中的b为0；即：y=kx(k为常数，k≠0)；这时，y叫做x的正比例函数；（2）结构特征：①k≠0；②x的次数是1；③常数项为0；（3）图像：是经过原点的一条直线。
3.一次函数与正比例函数的联系：正比例函数是一次函数的特殊形式。
【例题1】(2019•梧州)下列函数中，正比例函数是( )A．y＝﹣8x B．8y=C．y＝8x2D．y＝8x﹣4x【答案】A【解析】A、y＝﹣8x，是正比例函数，符合题意；B、8=，是反比例函数，不合题意；yxC、y＝8x2，是二次函数，不合题意；D、y＝8x﹣4，是一次函数，不合题意．故选A．【变式练习1】要使函数y=(m–2)x n–1+n是一次函数，应满足( )A．m≠2，n≠2 B．m=2，n=2 C．m≠2，n=2 D．m=2，n=0【答案】C【解析】∵函数y=(m–2)x n–1+n是一次函数，∴m–2≠0，n–1=1．∴m≠2，n=2．故选C。
二、一次函数的图像及平移：1.正比例函数的图象：正比例函数y=kx(常数k≠0)的图象是一条经过原点(0，0)与点(1，k)的直线。
2.一次函数的图象：y=kx+b(k，b是常数，k≠0)（1）所有一次函数的图象都是一条直线；（2）与y轴交于点(0，b)；与x轴交于点(bk-，0)的直线。
（3）作图：①画一次函数的图象，只需过图象上两点作直线即可；一般取(0，b)，(bk-，0)两点；②当b=0时，一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例，过原点；3.一次函数图象的平移：（1）上下平移：上加下减（对于y=kx+b来说，只改变b）①将直线y=kx+b向上平移n个单位长度：得到直线y=kx+b+n；②将直线y=kx+b向下平移n个单位长度：得到直线y=kx+b-n；（2）左右平移：右减左加（对于y=kx+b来说，只改变b）①将直线y=kx+b向右平移n个单位长度：得到直线y=k(x-n)+b；②将直线y=kx+b向左平移n个单位长度：得到直线y=k(x+n)+b；【例题2】(2020•陕西)在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y=x+3分别与x轴、直线y=-2x交于点A、B，则△AOB的面积为( )A．2 B．3 C．4 D．6【答案】B【解析】根据方程或方程组得到A(-3，0)，B(-1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．解：在y=x+3中，令y=0，得x=-3，解32y xy x=+⎧⎨=-⎩得：12xy=-⎧⎨=⎩，∴A(-3，0)，B(-1，2)，∴△AOB的面积1323=⨯⨯=．故选：B。
山东专用2021版高考数学一轮复习练案13第二章函数导数及其应用第十讲函数模型及其应用含解析
［练案13] 第十讲函数模型及其应用A 组基础巩固一、单选择1．现有一组数据如下：t 1。
993。
04。
5.16.12v 1.54.047.51218。
01其中最接近的一个是（ C )A．v＝log2t B．v＝log错误!tC．v＝错误!D．v＝2t－2［解析] 解法一：v值随t值增大，且增长速度越来越快，故应选择幂函数模型，仅选项C符合．解法二:取t＝1。
99≈2（或t＝5。
1≈5），代入A得v＝log22＝1≠1.5；代入B,得v＝log错误!2＝－1≠1。
5；代入C，得v＝错误!＝1。
5；代入D，得v＝2×2－2＝2≠1。
5。
其余4组数据同样代入可知C最合要求．故选C。
2．（2020·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品,则每天获得利润最大时生产产品的档次是（ C )A．7 B．8C．9 D．10[解析］由题意，当生产第k档次的产品时，每天可获得利润为y＝[8＋2(k－1）]［60－3(k－1)]＝－6(k－9)2＋864（1≤k≤10,k∈N），所以当k＝9时，获得利润最大，故选C.3．（2020·安徽马鞍山模拟）某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12％，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1。
3≈0.11,lg 2≈0.30)( B )A．2020年B．2021年C．2022年D．2023年［解析］若2018年是第一年，则第n年科研费为1 300×1。
12n，由1 300×1。
12n>2 000，可得lg 1.3＋n lg 1.12〉lg 2，得n×0.05>0。
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2021届高考数学一轮复习 第二章13函数模型及其应用 练案【含解析】A 组基础巩固一、单选择1．现有一组数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v1.54.047.51218.01( C ) A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2[解析] 解法一：v 值随t 值增大，且增长速度越来越快，故应选择幂函数模型，仅选项C 符合．解法二：取t ＝1.99≈2(或t ＝5.1≈5)，代入A 得v ＝log 22＝1≠1.5；代入B ，得v ＝log 122＝－1≠1.5；代入C ，得v ＝22－12＝1.5；代入D ，得v ＝2×2－2＝2≠1.5.其余4组数据同样代入可知C 最合要求．故选C.2．(2020·安阳模拟)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( C )A ．7B ．8C ．9D ．10[解析] 由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获得利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6(k －9)2＋864(1≤k ≤10，k ∈N )，所以当k ＝9时，获得利润最大，故选C.3．(2020·安徽马鞍山模拟)某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈ 0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( B )A ．2020年B ．2021年C ．2022年D ．2023年[解析] 若2018年是第一年，则第n 年科研费为1 300×1.12n，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋n lg 1.12>lg 2，得n ×0.05>0.19，n >3.8，n ≥4，即4年后，到2021年科研经费超过2 000万元．故选B.4．(2020·河南豫南豫北第二次联考)古代数学名著《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿垣的问题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿．大鼠日一尺，小鼠亦日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半．问几何日相逢？”意思是：有面厚五尺的墙壁，大、小两只老鼠同时从墙的两面，沿一直线相对打洞．大鼠第一天打1尺，以后每天的速度为前一天的2倍；小鼠第一天也打1尺，以后每天的速度是前一天的一半．它们多久可以相遇？( A )A ．3617天 B ．3717天 C ．3817天 D ．3917天 [解析] 由于前两天大鼠打(1＋2)尺，小鼠打(1＋12)尺，因此前两天两只老鼠共打3＋1.5＝4.5(尺)．第三天，大鼠打4尺，小鼠打14尺，因此两只老鼠第三天相遇．设第三天相遇时，大鼠打y 尺，小鼠打(0.5－y )尺，则y 4＝0.5－y 14，所以y ＝817，因为第三天大鼠的速度是4尺/天，所以第三天进行了8174＝217(天)，所以它们经过2＋217＝3617天可以相遇．故选A.5．(2020·江西南昌二轮复习测试)某地一电商2016年和2017年这两年“双十一”当天的销售额连续增加，其中2016年的增长率为a,2017年的增长率为b ，则该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为( D )A ．abB ．a ＋b2C.a ＋1b ＋1－12D ．a ＋1b ＋1－1[解析] 设该电商这两年“双十一”当天销售额的平均增长率为x ，则(1＋a )(1＋b )＝(1＋x )2，∴x ＝1＋a 1＋b －1，故选D.6．(2020·云南保山联考)某种新药服用x h 后，血液中的药物残留量为y 毫克，如图，为函数y ＝f (x )的图象，当血液中药物残留量不小于240毫克时，治疗有效．设某人上午8：00第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟应在当日( C )A ．上午10：00B ．中午12：00C ．下午4：00D ．下午6：00[解析] 当x ∈[0,4]时，设y ＝k 1x ，把(4,320)代入，得320＝4k 1，解得k 1＝80，所以y ＝80x .当x ∈(4,20]时，设y ＝k 2x ＋b .把(4,320)，(20,0)分别代入可得⎩⎪⎨⎪⎧320＝4k 2＋b ，0＝20k 2＋b，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝－20，b ＝400，所以y ＝400－20x .所以y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧80x ，0≤x ≤4，400－20x ，4<x ≤20.令f (x )＝240，得x ＝3或x ＝8. 故第二次服药最迟应在当日下午4：00. 二、多选题7．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则要洗的次数是( CD )A ．2B ．3C ．4D ．5[解析] 设至少要洗x 次，则(1－34)x ≤1100，所以14x ≤1100，4x≥100，因此至少洗4次，故选C 、D.8.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶，甲、乙两车的速度曲线分别为v 甲和v 乙，如图所示，那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中不一定正确的是( BCD )A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面B ．t 1时刻后，甲车在乙车后面C ．在t 0时刻，两车的位置相同D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面[解析] 由图象可知，曲线v 甲比v 乙在0～t 0,0～t 1与t 轴所围成的图形面积大，则在t 0，t 1时刻，甲车均在乙车前面．故选B 、C 、D.三、填空题9．“弯弓射雕”描述了游牧民族的豪迈气概，当弓箭以每秒a 米的速度从地面垂直向上射出时，t 秒后的高度为x 米，可由x ＝at －5t 2确定，已知射箭2秒后箭离地面高100米，则弓箭能达到的最大高度为__180米__.[解析] 由x ＝at －5t 2且t ＝2时，x ＝100，解得a ＝60，所以x ＝60t －5t 2，而x ＝60t －5t 2＝－5(t －6)2＋180，则当t ＝6时，x 的最大值为180米，即弓箭能达到的最大高度为180米．10．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙最为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过__16__min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．[解析] 当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， 所以e－8b＝12. 容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24.所以再经过16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．11．为了在“十一”黄金周期间降价搞促销，某超市对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①如果不超过200元，则不予优惠；②如果超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③如果超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．小明和她母亲两次去购物，分别付款168元和423元，假设她们一次性购买上述同样的商品，则应付款额为546.6元．[解析] 依题意，价值为x 元商品和实际付款数f (x )之间的函数关系式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 0≤x ≤200，0.9x 200<x ≤500，500×0.9＋x －500×0.7x >500，当f (x )＝168时，由168÷0.9≈187<200，故此时x ＝168； 当f (x )＝423时，由423÷0.9＝470∈(200,500]，故此时x ＝470. 所以两次共购得价值为470＋168＝638元的商品，又500×0.9＋(638－500)×0.7＝546.6，即若一次性购买上述商品，应付款额为546.6元．四、解答题12．某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，t 小时内供水总量为1206t 吨(0≤t ≤24)．(1)从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少存水量是多少吨？ (2)若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问：在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象．[解析] (1)设t 小时后蓄水池中的存水量为y 吨， 则y ＝400＋60t －1206t ， 令6t ＝x ，则x 2＝6t ，即t ＝x 26，所以y ＝400＋10x 2－120x ＝10(x －6)2＋40，(构建二次函数) 所以当x ＝6，即t ＝6时，y min ＝40，即从供水开始到第6小时时，蓄水池中的存水量最少，最少存水量是40吨． (2)由(1)及题意得400＋10x 2－120x <80，即x 2－12x ＋32<0， 解得4<x <8，即4<6t <8，83<t <323.因为323－83＝8，所以每天约有8小时出现供水紧张现象．13．(2020·山东三校联考，21)某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”．调研过程中发现：某珍稀水果树的单株产量W (单位：千克)与肥料费用10x (单位：元)满足如下关系：W (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5x 2＋2，0≤x ≤2，50x1＋x，2<x ≤5，其他成本投入(如培育管理、施肥等人工费)20x 元．已知这种水果的市场价大约为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该珍稀水果树的单株利润为f (x )(单位：元)．(1)求f (x )的函数关系式；(2)当投入的肥料费用为多少时，该珍稀水果树的单株利润最大？最大利润是多少？ [解析] (1)由已知得f (x )＝15W (x )－20x －10x ＝15W (x )－30x ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧15×5x 2＋2－30x ，0≤x ≤2，15×50x 1＋x －30x ，2<x ≤5＝⎩⎪⎨⎪⎧75x 2－30x ＋150，0≤x ≤2，750x1＋x－30x ，2<x ≤5.(2)由(1)得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧75x 2－30x ＋150，0≤x ≤2，750x1＋x －30x ，2<x ≤5，＝⎩⎪⎨⎪⎧75x －152＋147，0≤x ≤2，780－30[251＋x＋1＋x ]，2<x ≤5，当0≤x ≤2时，f (x )max ＝f (2)＝390；当2<x ≤5时，f (x )＝780－30[251＋x ＋(1＋x )]≤780－30×2251＋x·1＋x ＝480，当且仅当251＋x ＝1＋x ，即x ＝4时等号成立．因为390<480，所以当x ＝4时，f (x )max ＝480.答：当投入的肥料费用为40元时，种植该果树的单株利润最大，最大利润是480元．B 组能力提升1．(2020·上海浦东新区期中)国际上通常用恩格尔系数衡量一个国家和人民生活水平的状况，它的计算公式为n ＝x y(x 代表人均食品支出总额，y 代表人均个人消费支出总额)，且y ＝2x ＋475，各种类型的家庭标准如表：家庭类型贫困温饱 小康 富裕 n n ≥59%50%≤n <59%40%≤n <50%30%≤n <40%2018年完全相同的状况下，人均个人消费少支出75元，则张先生家2019年属于( D )A ．贫困B ．温饱C ．小康D ．富裕[解析] 设2018年人均食品支出x 元，则2019年人均食品支出x (1－7.5%)＝92.5%x,2019年人均消费支出2×92.5%x ＋475，由题意，有2×92.5%x ＋475＋75＝2x ＋475，∴x ＝500.此时，n ＝92.5%×5002×92.5%×500＋475≈0.330 4＝33.04%，由表知属富裕．2．(2020·山西朔州一中期末)设某公司有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(均正常数)，公司决定从原有员工中分流x (0<x <100，x ∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产、分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年人创造产值在原有基础上增长了1.2x %，若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( B )A ．15B ．16C ．17D ．18[解析] 依题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t ，则⎩⎪⎨⎪⎧0<x <100，x ∈N *100－x1＋1.2x %t ≥100t，解得0<x ≤503，又因为x ∈N *，所以x 的最大值为16，故选B.3．(2020·湖北省七市高三联考)某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量P (毫克/升)与时间t (时)的关系为P ＝P 0e－kt.如果在前5小时消除了10%的污染物，那么污染物减少19%需要花费的时间为__10__小时．[解析] 前5小时污染物消除了10%，此时污染物剩下90%，即t ＝5时，P ＝0.9P 0，代入，得(e －k )5＝0.9，∴e －k ＝50.9＝0.915，∴P ＝P 0e －kt＝P 0(0.915)t .当污染物减少19%时，污染物剩下81%，此时P ＝0.81P 0，代入得0.81＝(0.915)t，解得t ＝10，即需要花费10小时．4．(2020·皖中名校第二次联考)某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10万元～1 000万元的收益．现准备制订一个对开发科研小组的奖励方案：资金y (单位：万元)随收益x (单位：万元)的增加而增加，且资金总数不超过9万元，同时资金总数不超过收益的20%.(1)若建立奖励方案的函数模型为y ＝f (x )，试研究这个函数的定义域、值域和y x的取值范围；(2)现有两个奖励函数模型：①y ＝x150＋2；②y ＝4lg x －3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．[解析] (1)y ＝f (x )的定义域是[10,1 000]，值域是(0,9]，y x∈(0,0.2]． (2)①不符合要求，②符合要求，理由如下．当y ＝x 150＋2时，y x ＝1150＋2x 的最大值是31150>0.2，不符合要求．当y ＝4lg x －3时，该函数在定义域上为增函数，最大值为9.y x ≤0.2⇔y －0.2x ≤0.令g (x )＝4lg x －3－0.2x ，x ∈[10,1 000]，则g ′(x )＝20－x ln 105x ln 10<0.所以g (x )≤g (10)＝－1<0，即yx≤0.2.故函数y ＝4lg x －3符合公司的要求．。