两条曲线的公切线问题

两条曲线的公切线问题

➢方法导读

在近几年高考导数大题的命制过程中,求曲线的公切线问题成为高考中的热点题型之一.学生在做题过程中,解决单一曲线的切线问题相对比较熟练,对于单一曲线的切线问题,求解过程中常用的数学思想主要是转化与化归思想,函数与方程思想,数形结合思想,求解方法也较容易理解:

(1)判断切点是否可直接找到,若可以直接找到则直接求导即可;若不能直接找到则需设出切点;

(2)利用导数的几何意义,即曲线在处的导数为切线的斜率;

(3)根据切点既在曲线上又在切线上进行求解.

但是对于两条曲线的公切线问题的求解,显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多,灵活得多,难度也大得多.具体的求解方法:

设曲线在点处的切线为,整理得到:

.

设曲线在点处的切线为,整理得到:.

由于与是相同直线(即与的公切线),

故有且(即斜率相等,纵截距相等), 从而求解出与公切线有关的一些问题.

➢高考真题

【2020·全国II卷理·20】已知函数.

(1)讨论的单调性,并证明有且仅有两个零点;

(2)设是的一个零点,证明曲线在点处的切线也是曲线

的切线.

➢解题策略

【过程分析】

本题第一问首先函数问题定义域优先原则,故得到的定义域为

,进而对函数求导得到,因为函数的定义域为,从而判断出,因此函数在和

上是单调增函数(注意函数的单调区间不可用“”符号连接,可用“,”或者“和”连接);

然后利用极限法分析当时,,而(此处利用极限法的分析过程建议在平时的做题中多多训练,在很多题型中都

有所涉及),从而根据零点存在性定理判断当,函数有零点,又根据函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点;

当时,,,因为

,所以根据零点存在性定理判断函数在必有零点,根据函数在上也是单调递增,故当时,函数有唯一的零点.

于是得到第一问的全部结论,函数在和上是单调增函数并且函数在定义域内有个零点;

第二问要证明两条曲线的公切线问题,就可以用到我们前面提到的方法,首先因为是的一个零点,所以必然满足函数解析式,即

(注意一定要合理应用题中所给条件),然后我们分别求出两条曲线的切线,在求解切线的过程中要注意切点是否可以直

接找到,对于而言,切点已经给出,所以直接求导,从而得到曲线在处的切线的斜率,进而表示出曲线在处的切线的方程为:,然后应用题中所给条件

,所以的方程整理后为,它的斜率,在纵轴的截距为.

紧接着我们继续研究曲线,由于曲线的切点不能直接找到,所以我们设曲线的切点为,然后利用导数求出曲线过切点

的切线的方程,,所以在点处的切线的斜率为,因此切线的方程为,它的斜率,在纵轴的截距为.

当切线的斜率等于直线的斜率时,即,则

,而,所以. 最后由于直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此判断出直线,重合,故曲线在处的切线也是曲线的切线,本题得证.

【深入探究】

纵观本题的分析过程,主要是攻克以下的几个难点:

(1)第一问中定义域中的“”,以及分析零点时的极限思想的应用;

(2)第二问中由是的一个零点得到;

(3)第二问中分别求解曲线与曲线的切线方程时切点的问题,尤其是求解曲线的切线方程时要设出切点,此处应该是本题求解过程中的“精髓”之处;

(4)结合,再利用斜率和截距都相等,从而得出两直线,重合,进而说明直线是两条曲线的公切线;

综上,只需攻克以上的几个难点本题就会迎刃而解.

➢解题过程

【解析】(1)函数的定义域为,

,

因为函数的定义域为,所以,

因此函数在和上是单调增函数;

当,时,,而,

显然当,函数有零点,

而函数在上单调递增,故当时,函数有唯一的零点; 当时,,,

因为,所以函数在必有一零点,

而函数在上是单调递增,故当时,函数有唯一的零点, 综上所述,函数的定义域内有个零点.

(2)因为是的一个零点,所以,

,所以曲线在处的切线的斜率,

故曲线在处的切线的方程为:,而, 所以的方程为,它在纵轴的截距为.

设曲线的切点为,过切点的切线,

,所以在点处的切线的斜率为,

因此切线的方程为,

当切线的斜率等于直线的斜率时,即,

切线在纵轴的截距为,而,

所以,

直线,的斜率相等,在纵轴上的截距也相等,因此直线,重合,

故曲线在处的切线也是曲线的切线.

➢解题分析

在上述题目第二问的解题过程中,首先我们根据是的一个零点,得到关于的等量关系,其次我们分别求解曲线与曲线的切线方程,最后我们再由切线,重合来说明此直线就是两条曲线的公切线.

此处我们主要是用到了求解两条曲线的公切线问题的常用方法:分别求出两条曲线的切线方程,然后利用直线重合得到该直线即为两条曲线的公切线,此种解题方法通俗易懂,学生上手比较方便,也是我们最常用的解决两条曲线公切线问题的方法.

➢拓展推广

解决两条曲线的公切线问题的一般策略:

第一步:利用题中所给条件得到相应的等量关系;

第二步:分别求解两条曲线在各自切点处的切线方程,

设曲线在点处的切线为,整理得到:

,设曲线在点处的切线为

,整理得到:;

第三步:根据公切线定义,得到两切线重合,建立方程组,求解相关问题,

由于与是相同直线(即与的公切线),则和

(即斜率相等,纵截距相等),建立方程组,从而求解出与公切线有关的一些问题.

常见两条曲线的公切线问题的题型:

(1)求两条曲线的公切线方程以及证明直线为两曲线的公切线问题;

(2)求与两条曲线的公切线有关的曲线中的参数的取值范围问题;