两条曲线的公切线问题

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2020年高考数学冲刺复习知识点精讲：切线问题含解析

切线问题一、考情分析用导数研究曲线的切线问题是导数的重要应用之一,也是高考考查的热点,考查的形式不一,可以是客观题也可以是解答题,内容涉及到曲线切线的倾斜角与斜率,曲线切线方程的确定,两曲线的公切线问题及满足条件的切线条数问题.. 二、经验分享(1) 函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率k ,即k ＝f ′(x 0)．(2)已知切点A (x 0,f (x 0))求斜率k ,即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)． (2)已知斜率k ,求切点A (x 1,f (x 1)),即解方程f ′(x 1)＝k .(3)若求过点P (x 0,y 0)的切线方程,可设切点为(x 1,y 1),由求解即可．(4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢．【小试牛刀】【2018届辽宁省丹东市五校协作体高三上学期联考】已知函数．（Ⅰ）若()f x 在2x =处取极值,求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（Ⅱ）当0a >时,若()f x 有唯一的零点0x ,求证： 0 1.x > 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.（Ⅱ）由（Ⅰ）知()0x >,令,则由,可得x =()g x ∴在⎛ ⎝上单调递减,在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增.又,故当时, ()0g x <；又,故()g x 在()1,+∞上有唯一零点,设为1x ,从而可知()f x 在()10,x 上单调递减,在()1,x +∞上单调递增, 因为()f x 有唯一零点0x , 故10x x =且01x > (三)两曲线的公切线【例3】若存在过点(1,0)的直线与曲线3y x =和都相切,则a 等于( )A.1-或2564-B. 1-或214C. 74-或2564-D. 74-或7 【分析】本题两条曲线上的切点均不知道,且曲线含有参数,所以考虑先从常系数的曲线3y x =入手求出切线方程,再考虑在利用切线与曲线求出a 的值.【答案】A【点评】（1）涉及到多个函数公切线的问题时,这条切线是链接多个函数的桥梁.所以可以考虑先从常系数的函数入手,将切线求出来,再考虑切线与其他函数的关系（2）在利用切线与求a 的过程中,由于曲线为抛物线,所以并没有利用导数的手段处理,而是使用解析几何的方法,切线即联立方程后的0∆=来求解,减少了运算量.通过例7,例8可以体会到导数与解析几何之间的联系：一方面,求有关导数的问题时可以用到解析的思想,而有些在解析中涉及到切线问题时,若曲线可写成函数的形式,那么也可以用导数来进行处理,（尤其是抛物线）【小试牛刀】【2019届安徽省皖中名校联盟10月联考】若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则___________．【答案】0或1(四) 曲线条数的确定【例4】已知函数,若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切,求t 的取值范围【分析】由于并不知道3条切线中是否存在以P 为切点的切线,所以考虑先设切点()00,x y ,切线斜率为k ,则满足,所以切线方程为,即,代入()1,P t 化简可得：,所以若存在3条切线,则等价于方程有三个解,即y t =与有三个不同交点,数形结合即可解决【解析】设切点坐标()00,x y ,切线斜率为k ,则有：∴ 切线方程为：因为切线过()1,P t ,所以将()1,P t 代入直线方程可得：所以问题等价于方程,令即直线y t =与有三个不同交点令()'0g x >解得01x << 所以()g x 在单调递减,在()0,1单调递增所以若有三个交点,则()3,1t ∈--所以当()3,1t ∈--时,过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切.【点评】曲线切线条数的确定通常转化为切点个数的确定,设出切点()(),P t f t ,由已知条件整理出关于t 的方程,可把问题转化为关于t 的方程的实根个数问题.【小试牛刀】【2019届齐鲁名校教科研协作体湖北、山东部分重点中学2019届高三第一次联考】已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设切点为，，，则切线方程为：，切线过点代入得：，，即方程有两个解，则有或.故答案为:A.5．【2018届湖北省荆州中学高三第二次月考】已知函数()f x 是偶函数,当0x >时, ,则曲线()y f x =在点()()1,1f --处切线的斜率为（） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2【答案】B6．【2018届河南省天一大联考】已知()f x 是定义在R 上的单调函数,满足,则()f x 在()()0,0f 处的切线方程为（）A. 1y x =+B. 1y x =-C. 1y x =-+D. 1y x =-- 【答案】A【解析】由题意可得()xf x e -为一固定的数,设,则有()1f a =.由可得,当x a =时,有,解得0a =.∴()xf x e =,∴()xf x e '=.∴,又.∴曲线()f x 在()()0,0f 处的切线方程为y 1x -=,即1y x =+.选A. 7．【2018届河南省南阳高中三年级期中】已知12,P P 为曲线:ln C y x =（0x >且1x ≠）上的两点,分别过12,P P 作曲线C 的切线交y 轴于,M N 两点,若,则MN =（）A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B8．【2018届广东省阳春高三上学期第三次月考】设点P 为函数与图象的公共点,以P 为切点可作直线l 与两曲线都相切,则实数b 的最大值为（）A. 3423eB. 3432e C. 2343e D. 2334e【答案】D【解析】设()y f x =与在公共点()00,P x y 处的切线相同, ,由题意,即,由得0x a =或03x a =-（舍去）,即有,令,则,于是当,即130t e <<时, ()'0h t >；当,即13t e >时, ()'0h t <,故()h t 在130,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭为增函数,在13,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭为减函数,于是()h t 在()0,+∞的最大值为,故b 的最大值为2334e ,故选D. 9．【2018届湖北省宜昌高三月考】过点A(2,1)作曲线的切线最多有( )A. 3条B. 2条C. 1条D. 0条【来源】数学（理）试题【答案】A10．【2018届四川宜宾市高三（上）测试】设函数与有公共点,且在公共点处的切线方程相同,则实数b 的最大值为 A.21e B. 212e C. 213e D. 214e【答案】A【解析】由题意,可得,由(1)得,解得0x a =或013x a =- (舍去),代入(2)得,,构造,则()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,即()b h x -=的最小值为,所以b 的最大值为21e ,故选A. 11．【2018届内蒙古巴彦淖尔市高三月考】已知函数的图像为曲线C ,若曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,则实数m 的取值范围是（） A. 2m > B. 2m ≤ C. 12m >- D. 12m ≤-【答案】A【解析】∵曲线C 存在与直线12y x = 垂直的切线,成立,故选A16.已知函数（,a b R ∈）,()2g x x =.（1）若1a =,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直,求b 的值；（2）若2b =,试探究函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处是否存在公切线.若存在,研究a 值的个数；,若不存在,请说明理由.（2）假设函数()f x 与()g x 的图象在其公共点()00,x y 处存在公切线,∵2b =,∴,∴, ()'2g x x =,由得,即,∴,故02a x =. ∵函数()f x 的定义域为()0,+∞,当0a ≤时,,∴函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当1t =时, ln 0t =,,由函数图象的性质可得ln y t =和212t y =-的图象有且只有两个公共点（且均符合）,∴方程有且只有两个根.综上,当0a ≤时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处不存在公切线；当0a >时,函数()f x 与()g x 的图象在其公共点处存在公切线,且符合题意的的值有且仅有两个.。

巧妙判断曲线公切线条数

= et （ x － t）．与曲线 y =
－
1 4
x2
联立方程组
{y － et = et（ x － t），
y = － 1 x2 ．
由 Δ = 0，可得 et + t － 1 = 0，此方程有
4
几解，切线就有几条．设 f（ t） = et + t － 1，f ' （ t） = et + 1 ＞ 0，所以 f（ t） = et + t － 1 在Ｒ为增函数，又 f（ 0） = 0，所以方程 et + t － 1 = 0 有唯一解 t = 0，所以直线 l 必唯一，即为
分别为： y = etx + et（ 1 － t）
，y =
－
1 2
bx +
1 4
b2 ，其都表示直
{et
=
－
1 2
b，
线 l，所以
此方程组有几组解，公切线就
et（ 1 － t）
=
1 b2 ． 4
有几条，消元解得 et + t － 1 = 0，设 f（ t） = et + t － 1，f ' （ t）
A． 0 条 B． 1 条 C． 2 条 D． 3 条
解析一设直线 l 与 C1 和 C2 的切点分别为（ t，t2 ）和（ m，m3 ），切线斜率 k1 = 2t，k2 = 3m2 ，则切线的方程分别为： y = 2tx － t2 ，y = 3m2 x － 2m3 ，其都表示直线 l，所以
参考文献：
［1］人民教育出版社，课程教材研究所，中学数学课程教材研究开发中心．普通高中课程标准实验教科书（必修）数学［M］．北京：人民教育出版社，2014．

2023高考数学一轮复习专题03 曲线的公切线方程(解析版)

专题03曲线的公切线方程【方法总结】解决此类问题通常有两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f (x 1)－g (x 2)x 1－x 2．注意：求两条曲线的公切线，如果同时考虑两条曲线与直线相切，头绪会比较乱，为了使思路更清晰，一般是把两条曲线分开考虑，先分析其中一条曲线与直线相切，再分析另一条曲线与直线相切，直线与抛物线相切可用判别式法．【例题选讲】[例1](1)(2020·全国Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为()A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12答案D解析易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①．设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为kx 0＋b③，由②③可得b ＝12x 0，将b ，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程y ＝12x ＋12．(2)已知f (x )＝e x (e 为自然对数的底数直线l 的方程为．答案y ＝e x 或y ＝x ＋1解析设l ，∴f ′(x 1)＝1e x，∴切点为(x 1，1e x)y ＝1e x·x －11e xx ＋1e x，①，同理设l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)，∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x ，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)①与②相同，∴111122121e e , e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⇒=⎪⎨⎪-+=+⎩③④把③代入④有－11e x x ＋1e x ＝－x 1＋1，即(1－x 1)(1e x－1)＝0，解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ；当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1，综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1．(3)曲线C 1：y ＝ln x ＋x 与曲线C 2：y ＝x 2有________条公切线．答案1解析由y ＝ln x ＋x 得y ′＝1x＋1，设点(x 1，ln x 1＋x 1)是曲线C 1上任一点，∴曲线C 1在点(x 1，ln x 1＋x 1)处的切线方程为y －(ln x 1ln x 1－1．同理可得曲线C 2在点(x 2，x 22)题意知两切线重合，1＝2x 2，x 1－1＝－x 22，消去x 22x ＋4ln x －3(x >0)，则f ′(x )＝－2x 3－2x 2＋4x ＝4x 2－2x －2x 3＝当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，∴f (x )在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴f (x )min ＝f (1)＝0，∴f (x )只有一个零点．即方程①只有一个解，故曲线C 1与C 2只有1条公切线．(4)已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝．答案8解析方法一因为y ＝x ＋ln x ，所以y ′＝1＋1x，y ′|x ＝1＝2．所以曲线y ＝x ＋ln x 在点(1，1)处的切线方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1．因为y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，所以a ≠0(当a ＝0时曲线变为y ＝2x ＋1与已知直线平行)．由＝2x －1，＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1，消去y ，得ax 2＋ax ＋2＝0．由Δ＝a 2－8a ＝0，解得a ＝8．方法二同方法一得切线方程为y ＝2x －1．设y ＝2x －1与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切于点(x 0，ax 20＋(a ＋2)x 0＋1)．因为y ′＝2ax ＋(a ＋2)，所以0|x x y ＝＝2ax 0＋(a ＋2)．由ax0＋(a ＋2)＝2，20＋(a ＋2)x 0＋1＝2x 0－1，0＝－12，＝8.(5)(2016·课标全国Ⅱ)若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝e x 的切线，则b ＝________．答案0或1解析设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2的切点为(x 1，y 1)，与曲线y ＝e x 的切点为(x 2，y 2)，y ＝ln x ＋2的导数为y ′＝1x ，y ＝e x 的导数为y ′＝e x ，可得k ＝e x 2＝1x 1．又由k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝e x 2－ln x 1－2x 2－x 1，消去x 2，可得(1＋ln x 1)·(x 1－1)＝0，则x 1＝1e 或x 1＝1，则直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝ln x ＋2(1,2)，与曲线y ＝e x 的切点为(1，e)或(0，1)，所以k ＝e －11－1e＝e 或k ＝1－20－1＝1，则切线方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1，可得b ＝0或1．a4ln x0有解，令φ(x)＝1x2＋2x＋1＋4ln x(x>0)，φ′(x)＝－2x3－2x2＋4x＝4x－2x－2x3＝2(2x＋1)(x－1)x3，当x∈(0，1)时，φ′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)>0，∴φ(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴φ(x)min＝φ(1)＝4，又x→＋∞时，φ(x)→＋∞，故φ(x)的值域为[4，＋∞)，所以4a≥4，即a≥1，故实数a的取值范围是[1，＋∞)．【对点训练】1．若直线l与曲线y＝e x及y＝－14x2都相切，则直线l的方程为________．1．答案y＝x＋1解析设直线l与曲线y＝e x的切点为(x0，0x e)，直线l与曲线y＝－14x2的切点为1y＝e x在点(x0，0x e)处的切线的斜率为y′|x＝x0＝0x e，y＝－x24在点1y′|x＝x1x＝x1＝－x12，则直线l的方程可表示为y＝0x e x－x0e0x e＋0x e或y＝－12x1x＋14x21＝－x12，x0＋＝x214，所以0x e＝1－x0，解得x0＝0，所以直线l的方程为y＝x＋1．2．已知函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线与函数g(x)＝e xa的图象相切，则实数a等于()A．e B．e e2C．e2D．e e 2．答案B解析由f(x)＝x2，得f′(x)＝2x，则f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以函数f(x)＝x2的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1．设y＝2x－1与函数g(x)＝e xa的图象相切于点(x 0，y 0)，由g ′(x )＝e x a ，可得00000e 2,e 21,x x g x a g x x a ⎧()==⎪⎪⎨⎪()===-⎪⎩′解得x 0＝32，a ＝321e 2＝e e 2．3．已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为()A ．14B ．12C ．1D ．43．答案A解析由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12×(14)－12＝a14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．4．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于()A ．1B ．2C ．3D ．3或－14．答案D解析设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x＝1，解得x ＝1，故切点为(1，0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切，故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3．5．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝ln x ＋2的切线，也是曲线y ＝ln(x ＋1)的切线，则b ＝________．5．答案1－ln 2解析y ＝ln x ＋2的切线为y ＝1x 1·x ＋ln x 1＋1(设切点横坐标为x 1)．y ＝ln(x＋1)的切线为y ＝1x 2＋1x ＋ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1(设切点横坐标为x 2)．＝1x 2＋1，1＋1＝ln(x 2＋1)－x 2x 2＋1，解得x 1＝12，x 2＝－12，∴b ＝ln x 1＋1＝1－ln2．6．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m ＜0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m ＝________．6．答案－2解析∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率k ＝f ′(1)＝1．又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1．g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m ＜0，∴m ＝－2．7．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为()A ．2B ．5C ．1D ．07．答案C解析根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0，由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ，由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a －1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a －1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)，将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ，可得m ＝1．8．若直线y ＝kx ＋b 是曲线y ＝e xe2的切线，也是曲线y ＝e x －1的切线，则k ＋b 等于()A ．－ln 22B ．1－ln 22C ．ln 2－12D ．ln 228．答案D解析设直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝e x e 2相切于点P (x 1，y 1)，y ′＝e x e2＝e x －2，k 1＝12e x -；直线y ＝kx ＋b 与曲线y ＝e x －1相切于点Q (x 2，y 2)，y ′＝e x ，k 2＝2e x ，∴l 1：y ＝1112221e e e x x x x x ---+-，l 2：y ＝2222e e 1e x x x x x +--，12112222212e e e e e e 1x xx x x x x x ⎧=⎪⎨=⎪⎩---，∴---，∴x 2＝－ln 2，∴k ＋b ＝2222e e 1e x x x x +--＝12＋12－1－(－ln 2)×12＝ln 22．9．设曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线与曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．9．答案(1，1)解析y ′＝e x ，曲线y ＝e x 在点(0，1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1．设P (m ，n )，y ＝1x(x＞0)的导数为y ′＝－1x 2(x ＞0)，曲线y ＝1x (x ＞0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m 2(m ＞0)，因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1，所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1，1)．10．已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为．10．答案－e34-解析由f (x )＝x 3＋ax ＋14，得f ′(x )＝3x 2＋a ．∵f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax ．设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，又∵g ′(x )＝－1x ，ln x 0－14＝ax 0，①＝－1x 0，②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34，∴a ＝－1e34＝－e 34-．11．已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．211．答案B 解析已知曲线y ＝e x 在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即y ＝1111e e e x x xx x -+，曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由＝1x 2，－1x 1＝－1＋ln x 2，得x 2＝11e x ，111e e x x x -＝－1＋ln x 2＝－1＋1ln 1e x ＝－1－x 1，则1e x ＝x 1＋1x 1－1．又x 2＝11e x ，所以x 2＝x 1－1x 1＋1，所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1，所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2．12．曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝a e x (a >0)存在公切线，则a 的取值范围是________．12．答案，4e 2解析设公切线在y ＝x 2上的切点为(x 1，x 21)，在y ＝a e x(a >0)上的切点为(x 2，2e x a )．函数y ＝x 2，y ＝a e x (a >0)的导数分别为y ′＝2x ，y ′＝a e x ，则公切线的斜率为2x 1＝222112e e x x x a a x x =--，整理得a ＝2241e x x ()-．由a >0可知，x 2>1，令f (x )＝4x －1e x，x ∈(1，＋∞)，则f ′(x )＝4e x2－x e x 2＝8－4xe x，f ′(x )>0⇒1<x <2；f ′(x )<0⇒x >2，∴f (x )在区间(1,2)上单调递增，在区间(2，＋∞)上单调递减，f (x )max ＝f (2)＝4e 2；当x →＋∞时，f (x )→0，即0<f (x )≤4e2，∴a ，4e 2．13．若存在过点O (0，0)的直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 和y ＝x 2＋a 都相切，求a 的值．13．解析易知点O (0，0)在曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 上．(1)当O (0，0)是切点时，由y ′＝3x 2－6x ＋2，得y ′|x ＝0＝2，即直线l 的斜率为2，故直线l 的方程为y ＝2x ＝2x ，＝x 2＋a ，得x 2－2x ＋a ＝0，依题意Δ＝4－4a ＝0，得a ＝1．(2)当O (0，0)不是切点时，设直线l 与曲线y ＝x 3－3x 2＋2x 相切于点P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，且k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20－6x 0＋2，①，又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②，联立①②，得x 0＝32(x 0＝0舍去)，所以k ＝－14，故直线l 的方程为y ＝－14x ＝－14x ，＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0，依题意，Δ＝116－4a ＝0，得a ＝164．综上，a ＝1或a ＝164．14．已知函数f (x )＝ax 3＋3x 2－6ax －11，g (x )＝3x 2＋6x ＋12和直线m ：y ＝kx ＋9，且f ′(－1)＝0．(1)求a 的值；(2)是否存在k ，使直线m 既是曲线y ＝f (x )的切线，又是曲线y ＝g (x )的切线？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由．14．解析(1)由已知得f ′(x )＝3ax 2＋6x －6a ，∵f ′(－1)＝0，∴3a －6－6a ＝0，∴a ＝－2．(2)存在．由已知得，直线m 恒过定点(0，9)，若直线m 是曲线y ＝g (x )的切线，则设切点为(x 0，3x 20＋6x 0＋12)．∵g ′(x 0)＝6x 0＋6，∴切线方程为y －(3x 20＋6x 0＋12)＝(6x 0＋6)(x －x 0)，将(0，9)代入切线方程，解得x 0＝±1．当x 0＝－1时，切线方程为y ＝9；当x 0＝1时，切线方程为y ＝12x ＋9．由(1)知f (x )＝－2x 3＋3x 2＋12x －11，①由f ′(x )＝0得－6x 2＋6x ＋12＝0，解得x ＝－1或x ＝2．在x ＝－1处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝－18；在x ＝2处，y ＝f (x )的切线方程为y ＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9．②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1．在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x －10；∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9．综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0．。

公切线计算公式

公切线计算公式全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：公切线是两个曲线相交时，切到这两个曲线的一条直线。

在数学中，我们可以通过一定的公式来计算两个曲线之间的公切线。

公切线的计算是一项非常重要的数学问题，既有理论上的研究，又有实际应用。

在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。

公切线的计算涉及到曲线的方程、导数、切线方程等数学知识。

在这里，我们主要讨论一下两个曲线之间的公切线的计算公式。

我们来看一下两个曲线的一般方程形式，即为：曲线1：y=f(x)曲线2：y=g(x)f(x)和g(x)分别为两个曲线的方程。

我们的目标是找到这两个曲线之间的公切线。

我们需要找到两个曲线在交点处的斜率。

因为公切线同时切到两个曲线上，所以公切线在两个曲线的交点处与两个曲线的斜率相等。

设曲线1和曲线2在交点处的斜率分别为m1和m2，则有：下面我们来计算公切线的方程。

设公切线的方程为y=mx+b，其中m为公切线的斜率，b为截距。

因为公切线同时切到曲线1和曲线2上，所以公切线的方程同时满足曲线1和曲线2的方程。

即有：y = f(x)y = g(x)y = mx + b根据公切线切到曲线1和曲线2时的斜率相等，我们可以得到：公切线与曲线1和曲线2在交点处相交，所以有：将上述两个方程与曲线1和曲线2的方程联立，可以解出公切线的方程y=mx+b。

以上就是关于公切线计算公式的简要介绍。

通过计算公切线的方法，我们可以轻松地求解两个曲线之间的公切线，是解决数学问题以及实际应用中的重要工具。

希望通过本文的介绍，读者能对公切线的计算有一个基本的了解，从而更好地应用于相关领域的问题解决中。

第二篇示例：公切线是两个曲线相切的地方，它是在两个曲线相切的点处与两个曲线都垂直的一条直线。

在数学中，我们经常需要计算两个曲线的公切线，以便解决各种问题。

公切线的计算是一个重要的数学问题，它涉及到几何、代数和微积分等各个领域的知识。

在数学中，公切线的计算可以应用于各种不同的曲线类型，例如圆、椭圆、双曲线等。

利用导数求曲线的切线和公切线知识讲解

利用导数求曲线的切线和公切线一. 求切线方程【例1】.已知曲线f(x)=x 3-2X12+1.(1) 求在点P( 1,0 )处的切线l i的方程；⑵ 求过点Q( 2,1 )与已知曲线f(x)相切的直线丨2的方程.提醒：注意是在某个点处还是过某个点！二. 有关切线的条数【解答】解：(I)由 f (x) =2x3- 3x 得f'( x) =6x2- 3,令f，( x) =0 得, x= - ■-或x= ■-,2 2•- f (-2) =- 10, f (-二)=",f ( = ) =- ", f (1) =- 1,••• f (x)在区间［-2, 1］上的最大值为二.(n)设过点P (1, t)的直线与曲线y=f (x)相切于点(X0, y°),则y o=2・” -3x。

，且切线斜率为k=6 ：匚-3,•••切线方程为y-y o= (6：,二-3)(x -x o),••• t - y°= (6 ：,二-3)( 1 - x o),即卩4- 6 . F +t+3=0，设g (x) =4x? - 6x?+t+3 , 则“过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切”，等价于“ g (x)有3 个不同的零点”.T g'(x) =12x2- 12x=12x (x- 1),•g (0) =t+3是g (x)的极大值，g (1) =t+1是g (x)的极小值.•g (0)> 0 且g (1)v 0,即-3v t v- 1,•当过点过点P (1, t)存在3条直线与曲线y=f (x)相切时，t的取值范围是(-3,- 1).(rn)过点A (- 1, 2)存在3条直线与曲线y=f (x)相切；过点B (2, 10)存在2条直线与曲线y=f (x)相切；过点C (0, 2)存在1条直线与曲线y=f (x)相切.【作业1】.(2017?莆田一模)已知函数 f (x) =2x3- 3x+1, g (x) =kx+1 - Inx .(fM y<1(1)设函数hW二’、，当k v 0时，讨论h (x)零点的个数；g lx)』x^l(2)若过点P (a,- 4)恰有三条直线与曲线y=f (x)相切，求a的取值范围.三. 切线与切线之间的关系【例4】.(2018?绵阳模拟)已知a, b, c€ R,且满足b2+c2=1，如果存在两条互相垂直的直线与函数f (x) =ax+bcosx+csinx的图象都相切，则a+/HW：c 的取值范围是.解：f '(x) = a + b cos x—c sin x = a +c' cos(x + ^?) = a +cos(x + p)令H + e = 则码 + 0 =环巧+e = g. f\x) ~+dtj题意’存在x r x2E R使得厂(xj厂(兀)= T* 0p(a+cos^X fl + cos^)=_l»即关于。

两曲线的公切线问题解题方法

两曲线的公切线问题解题方法
1. 嘿，先找到两条曲线的导数呀！就像找宝藏先确定地图一样。

比如说曲线 y=x^2 和 y=x^3，它们的导数能帮我们找到切线的斜率呢。

通过求导，我们就能知道在哪些地方可能存在公切线哦。

2. 接下来，假设公切线存在呀！这就像是假设我们能找到宝藏一样。

还是用刚才那两个例子，设出公切线的方程，然后带入到两条曲线中去看看是否满足呀。

这一步是不是很有趣呢？
3. 然后呢，建立方程组呀！这就好像搭积木一样，一块块把条件凑起来。

根据公切线与两条曲线的关系列出等式，通过解方程来确定公切线的具体情况呢。

比如求解上面的例子，不就能知道公切线到底存不存在啦！
4. 还要注意特殊情况呢！千万可别漏了呀，这就像是注意路上的小坑一样重要。

有时候可能会有一些不太明显的情况，得仔细想想，像一些渐近线之类的地方。

哎呀，可别掉进坑里啦！比如有的曲线在某个点看起来像是有公切线，但实际上不是哦。

5. 别忘了检验答案呀！就像检查作业一样仔细。

看看求出的公切线是不是真的满足条件，可不能马虎呢。

一旦不小心，就可能出错呀！
6. 嘿嘿，不断练习才是王道呀！就像练功一样，多练才能厉害。

多找些题目来做做，熟练掌握方法，以后遇到任何两曲线的公切线问题都能轻松搞定啦！就像大侠闯荡江湖一样轻松！总之呢，只要按照这些办法去做，两曲线的公切线问题就不再难啦！。

曲线公切线的一个充要条件与应用

1 。切 x
e =
e （1-x1） =lnx2-1
1 x2
，解
的公切线方程。
切抛物线 y=x2+bx于 P（，由公切线的充要条件 y2） 2 x2，
⎧ ⏐ b-a ⏐ x1-x2= ⏐ 2x1+a=2x2+b ⏐ ⎨ 2 得， 2 ，即 ⏐ ⏐ （） =x2 x1+ax1-x（ 2+bx 2-x 2 2x2+b） 1 2x1+a ⏐ ⏐ x1=±x2。 ⎩
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备考方略
曲线公切线的一个充要条件与应用
■ 娄乐乐
摘如果直线 l 切要:在高中数学中，一般未说，三、字母范围，（x2，分别为函数（的图象C1和g （x）的图象 y1） Q y2） f x）例3 点P 设函数（（x），（x1， f x） =ex 的反函数为 g 则l 曲线 y=f （x）和 y=g （x）分别于点 P （x1，（x2，， y1， Q y2）展开比较得（x-x2），即它们表示同一条直线， g（ ′ x2）到方程组
1 2 1 1 1 2 2 2
有两种表示方法：（x1）（x1）（x-x1）和 y-g （x2） y-f =f ′ = f（ ′ x） =g（ ′ x）。这就是直 {（（x ） f x） -x f （ ′ x） =g -x g（ ′ x）
过 P、当 l 为曲线 C1、 C2上的两个动点， Q 的直线为 l， C2 求x1的取值范围。的公切线时，解析：（（x） f x） =e x， f（ ′ x） =e x； g =lnx， g（ ′ x） = 点是。由公切线的充要条件得， x +1 得x2=e -x1， e x1= 1 。 x1-1 由e x1=

数形结合显“真功”——妙解两条曲线存在公切线

数形结合显真功妙解两条曲线存在公切线徐明松(贵州省黔南布依族苗族自治州都匀第一中学ꎬ贵州都匀５５８０００)摘㊀要:两条曲线存在公切线是十分抽象的问题ꎬ学生不仅要理解曲线的切线概念ꎬ还要理解如何能画出两条曲线的公切线.文章针对此类问题从两个不同的角度解决问题ꎬ以突出利用数形结合思想培养学生的直观想象素养.关键词:高中数学ꎻ数形结合ꎻ公切线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－００３８－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:徐明松(１９９０.５－)ꎬ男ꎬ贵州省福泉人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀中国著名数学家华罗庚老师曾说: 数形结合本是相倚依ꎬ焉能分作两边飞?数缺形时少直观ꎬ形少数时难入微ꎻ数形结合百般好ꎬ隔离分家万事休ꎻ切莫忘ꎬ几何代数统一体ꎬ永远联系ꎬ切莫分离 [１].在数学学习中ꎬ空间形式和数量关系是两个最基本ꎬ也是最重要的研究对象.它们之间有着密切的关系ꎬ在一定条件下ꎬ可以相互转化ꎬ相互渗透.１问题呈现ꎬ解法对比题目㊀若二次函数ｆ(ｘ)＝ｘ２＋１的图象与曲线Ｃ:ｇ(ｘ)＝ａｅｘ＋１(ａ>０)存在公共切线ꎬ则实数ａ的取值范围为.方法１㊀构造函数和方程ꎬ将公切线问题转化为方程有根来解决.分析㊀设该公共切线与二次函数ｆ(ｘ)＝ｘ２＋１的图象切于点(ｘ１ꎬｘ２１＋１)ꎬ与曲线Ｃ切于点(ｘ２ꎬａｅｘ２＋１)ꎬ则切线的斜率为２ｘ１＝ａｅｘ２＝(ａｅｘ２＋１)－(ｘ２１＋１)ｘ２－ｘ１＝ａｅｘ２－ｘ２１ｘ２－ｘ１.则２ｘ１＝２ｘ１－ｘ２１ｘ２－ｘ１.所以２ｘ２＝ｘ１＋２或ｘ１＝０.又因为２ｘ１＝ａｅｘ２>０ꎬ所以ｘ１>０.所以２ｘ２＝ｘ１＋２>２.所以ｘ２>１.所以ａ＝４(ｘ２－１)ｅｘ２(把ａ分离出来等于一个新函数ꎬ体现了参数问题中的变量分离法).记ｈ(ｘ)＝４(ｘ－１)ｅｘ(ｘ>１)ꎬ求导可得ｈᶄ(ｘ)＝４(２－ｘ)ｅｘꎬ则ｈ(ｘ)在区间(１ꎬ２)内单调递增ꎬ在区间(２ꎬ＋ɕ)内单调递减.则ｈ(ｘ)ｍａｘ＝ｈ(２)＝４ｅ２ꎬ而ｈ(１)＝０ꎬ所以ａɪ０ꎬ４ｅ２æèç].评注㊀此种方法体现出了函数与方程的思想ꎬ８３根据等式２ｘ１＝ａｅｘ２＝(ａｅｘ２＋１)－(ｘ２１＋１)ｘ２－ｘ１＝ａｅｘ２－ｘ２１ｘ２－ｘ１ꎬ分离参数得ａ＝４(ｘ２－１)ｅｘ２ꎬ且还要分析出ｘ２的取值范围.在得到方程ａ＝４(ｘ２－１)ｅｘ２后通过构造新函数ｈ(ｘ)＝４(ｘ－１)ｅｘ(ｘ>１)ꎬ利用导数的相关知识研究函数ｈ(ｘ)在(１ꎬ＋ɕ)上的单调性及最值来确定ａ的取值情况.方法２㊀数形结合ꎬ直观感知.分析㊀由于ａ>０ꎬ可先令ａ＝１画出题干中两个函数的图象(如图１).图１㊀方法２示意图通过对图象的直观分析ꎬ要使两个函数存在公切线ꎬ则公切线只能在第一象限ꎬ且两个函数在ｘ>０部分的图象至少有一个交点ꎬ当两个函数在第一象限恰好相切时(如图２)ꎬ此时存在一条公切线ꎬ设切点为(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｆᶄ(ｘ０)＝２ｘ０＝ｇᶄ(ｘ０)＝ａｅｘ０.又ｆ(ｘ０)＝ｇ(ｘ０)ꎬ解得ｘ０＝２ꎬｙ０＝５.图２㊀方法２示意图所以ａｅ２＋１＝５ꎬ解得ａ＝４ｅ２.当ａ的值小于４ｅ２时ꎬ两个图象在第一象限存在两个交点ꎬ此时两个函数存在两条公切线ꎬ所以ꎬ要使两条曲线存在公切线ꎬ则ａɪ(０ꎬ４ｅ２].评注㊀此种方法简单ꎬ但要求学生具备一定的作图能力和观察能力ꎬ能观察出两个函数图象在第二象限不存在公切线ꎬ只在第一象限研究ꎻ其次是充分理解函数ｇ(ｘ)＝ａｅｘ＋１(ａ>０)中ａ对其图象的影响ꎻ从导数ｇᶄ(ｘ)＝ａｅｘ可以发现ａ影响函数递增的快慢ꎬ当ａ的值取到４ｅ２时两个函数在第一象限相切ꎬ此时存在公切线ꎬ也是存在公切线的一个临界值ꎬ只要ａ的值变小ꎬ两个图象在第一象限有两个交点ꎬ从而一定存在公切线.２探究应用ꎬ彰显数形结合根据上面两种方法对题目的处理ꎬ明显用数形结合要直观且易懂ꎬ下面举两个相应题目体现数形结合解决此类问题的优越性.应用１㊀已知曲线ｙ＝ｅｘ＋ａ与ｙ＝(ｘ－１)２恰好存在两条公切线ꎬ则实数ａ的取值范围为.分析㊀此题如果采用上面方法１构造方程将非常困难ꎬ而且对化简要求特别高ꎬ很难做出结果.下面直接采用数形结合的方法解决问题.函数ｙ＝ｅｘ＋ａ中ａ的值影响函数左右平移情况ꎬ不访先设ａ＝０(如图３).图３㊀ａ＝０时函数图象要使两个函数存在公切线ꎬ只需将ｙ＝ｅｘ的图象向右移ꎬ临界在两个图象刚好相切(如图４).设切点为(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｅｘ０＋ａ＝２(ｘ０－１)ꎬ且ｅｘ０＋ａ＝(ｘ０－１)２ꎬ整理ꎬ得ａ＝２ｌｎ２－３ꎬ此时只存在一条公切线ꎬ要保证两条公切线图象需再右移ꎬ此时ａ<２ｌｎ２－３.９３图４㊀两个函数临界相切图应用２㊀若函数ｆ(ｘ)＝ｌｎｘ与函数ｇ(ｘ)＝ｘ２＋２ｘ＋ａ(ｘ<０)有公切线ꎬ则实数ａ的取值范围是.分析㊀直接采用数形结合解决问题.作出函数ｇ(ｘ)的变化图(如图５).图５㊀函数ｇ(ｘ)的变化图图中(１)(２)(３)分别是ｇ(ｘ)的图象变化情况ꎬａ只影响ｇ(ｘ)图象的高低情况ꎬ随着ａ的增大两个函数都存在公切线ꎬ当ａ减小到图中的点Ａ处时达到最低ꎬ此时点Ａ在ｙ轴上ꎬ且ｇᶄ(０)＝２＝ｆᶄ(ｘ)＝１ｘꎬ解得ｘ＝１２ꎬ所以该切线在ｆ(ｘ)上的切点为(１２ꎬ－ｌｎ２)ꎬ此时公切线的方程为ｙ＋ｌｎ２＝２(ｘ－１２)ꎬ而点Ａ又在公切线上ꎬ则ａ＋ｌｎ２＝２(０－１２)ꎬ解得ａ＝－１－ｌｎ２＝ｌｎ１２ｅꎬ所以ａ>ｌｎ１２ｅ.应用３㊀已知不等式ａｘ２－２ｌｎｘ－ｘ－１２ȡ０ａ>０()对任意的ｘ>０恒成立ꎬ则实数ａ的取值范围为.分析㊀此题表面是不等式问题ꎬ实则也是公切线问题ꎬ只要变形为ａｘ２ȡ２ｌｎｘ＋ｘ＋１２对任意的ｘ>０恒成立.不妨设ｇｘ()＝ａｘ２ａ>０()ꎬｆｘ()＝２ｌｎｘ＋ｘ＋１２ꎬ则问题变为ｇｘ()ȡｆｘ()在ｘ>０时恒成立.由ａ>０可知ｇｘ()是开口向上的二次函数ꎬ作出ｇｘ()ꎬｆｘ()的草图(如图６).图６㊀函数ｇ(ｘ)ꎬｆ(ｘ)草图象要使ｇｘ()ȡｆｘ()恒成立ꎬ只需要两图存在公切线时找到ａ的最小值.两图相切时设切点横坐标为ｘ０ꎬ则由斜率相等２ａｘ０＝２ｘ０＋１和函数值相等得ａｘ２０＝２ｌｎｘ０＋ｘ０＋１２ꎬ根据前面的两个方程可得ｘ０＝１ꎬａ＝３２ꎬ再根据函数图象得ａ的范围为[３２ꎬ＋ɕ).此题虽然不是直接考查两曲线存在公切线ꎬ但可以转化为两曲线存在公切线时问题成立的临界ꎬ然后通过图象和计算可很快获得实数ａ的范围.通过两种不同方法的对比分析ꎬ解决两曲线存在公切线求参数范围时明显看到数形结合的优势ꎬ因此ꎬ教师在教学中必须注重学生数学思维能力的培养ꎬ注重数学思想方法的渗透和掌握ꎬ从而真正提高学生的数学思维和解题能力[２].对于函数问题多研究函数图象ꎬ掌握好数形结合思想ꎬ以提高学生的直观想象素养.参考文献:[１]陈德军.数形结合:想说爱你不容易[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１４(０９):２０－２１.[２]练伟浩.如何在教学中活用数形结合法[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１３(１１):３２－３４.[责任编辑:李㊀璟]０４。

第3-2讲两条曲线的公切线问题-2024高三数学一轮复习课件

典例2 已知曲线 <m></m> ,曲线 <m></m> .
(1)求证:<m></m>与<m></m>相交；
(2)求<m></m>与<m></m>的公切线方程.
【解](2)方法1:设与的公切线分别与相切于点，则消去得令，则 .设则,，故在上单调递增，又，即只有一个零点1,即方程有唯一的根 ∴ 解得 , ,.∴ 切点分别为公切线的方程为如图）
第3-2讲两条曲线的公切线问题
[问题解读] 在近几年高考导数试题的命制过程中，求曲线的公切线问题成为高考的热点题型之一. 我们在解题过程中，解决单一曲线的切线问题相对比较熟练，求解方法也较容易理解. 但是对于两条曲线的公切线问题的求解，显然就比单一曲线的切线问题要复杂得多，灵活得多，难度也大得多. 下面通过典型例题分析一下常见的三类公切线问题.
【解】由得 .令则 . 当时,时,,∴ 在上单调递减，在上单调递增, 故.即函数有且仅有一个零点即方程仅有唯一根 ,故方程组仅有一组解又 ,∴ ， ∴ 与相切于点∴ 其公切线方程为即（如图）.
(2)求<m></m>与<m></m>的公切线方程.
【解】(1)证明：由得 .
令则 . ∴ 在上增，
类型2 两曲线相交时，公切线方程
典例2 已知曲线 <m></m> ,曲线 <m></m> .
(1)求证:<m></m>与<m></m>相交；
(2)求<m></m>与<m></m>的公切线方程.

高考数学导数公切线问题、切线数量问题的一般解法及题型细分

函数的公切线与切线数量问题问题概述：函数的公切线问题，指的是直线b kx y +=同时与两个函数()x f y =与()x g y =同时相切，并在此基础上讨论直线和函数的性质的问题。

解法探究：公切线问题主要关注两个点，（1）两个切点均在函数和切线上；（2）切线斜率满足导数公式。

根据以上两个点，列出等式，即可进行计算求解。

具体公式如下：()()()()⎪⎩⎪⎨⎧'='=+⋅=+⋅=212211x g x f k b x k x g b x k x f 一般的，公切线问题都可以转换为解方程组求参数问题，或者是讨论方程组解的个数问题。

一、已知两个函数的解析式求公切线【例1】曲线21:C y x =与曲线2:C y lnx =公切线的条数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3分析：最基本的求公切线问题，直接套用基本解法，进行计算即可。

解：设与曲线2y x =和曲线y lnx =相切的切点分别为()2a a ，，()b b ln ,，0>b ，设切线为m kx y +=由题可知2()2x x '=，1()lnx x'=，………………………………准备工作根据公切线的解法可知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+=b a k m kb b m ka a 12ln 2………………………………列方程把k 和a 消去，用b 表示剩下的式子，有⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+⋅=+==m m b b b m b b b a 11ln 21412122，把m 消去有141ln 02-+=b b………………………………方程组消元想求公切线的条数，相当于求这个方程的解的个数设()141ln 2-+=x x x f ，()33222222211x x x x x x f ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='，所以()x f y =在⎪⎪⎭⎫⎝⎛220，上递减，在⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+，22上递增。

双曲线的公切线问题

双曲线的公切线问题双曲线是一种常见的数学曲线，它由两个相交的渐进直线围成的曲线所组成。

在双曲线上，每个点都有一个切线，而对于特定的点，它可能还有许多其他切线。

在本文中，我们将探讨如何找到双曲线的公切线。

要解决这个问题，我们首先需要了解什么是公切线。

公切线是两个曲线共有的切线，也就是说，它同时是这两个曲线在某个点的切线。

如何找到双曲线的公切线呢？首先，我们需要确定两个双曲线的方程。

通常，这可以通过将双曲线旋转45度来实现。

假设我们有两个双曲线的方程分别为：y1 = a1x^2 - b1y2 = a2x^2 - b2这里，a1、b1、a2和b2是已知常数。

我们用“（x0，y0）”表示两个曲线在某个点相交。

现在，我们将使用以下方法来找到双曲线的公切线：方法1：使用斜率切线的斜率是曲线在该点处的导数。

因此，我们可以通过计算y1和y2的导数来找到它们在相交点处的切线斜率。

y1' = 2a1x0y2' = 2a2x0如果这两个导数相等，则说明它们在相交点处共有一条切线。

我们可以使用以下公式来计算该切线的方程：y - y0 = m（x - x0）其中m是切线的斜率，即2a1x0或2a2x0。

这是一种有效的方法，但存在一个问题。

如果两个导数都为零，那么这两个曲线在该交点处可能没有公切线。

因此，我们需要另一种方法来检查这种情况。

方法2：使用二次方程如果y1和y2在（x0，y0）处有公切线，那么这条公切线必须同时满足以下两个条件：1.它通过点（x0，y0）。

2.在（x0，y0）处，y1和y2的斜率相等。

我们可以使用以下公式计算这种情况下的斜率：m = y1' = 2a1x0 = y2' = 2a2x0然后，我们可以将这个斜率带入以下公式，并解出x：a1x^2 - b1 = a2x^2 - b2(a1 - a2)x^2 = b1 - b2x = sqrt((b1 - b2) / (a1 - a2))有了x之后，我们就可以使用以下公式计算y：y = a1x^2 - b1这样，我们就可以找到公切线的方程了。

高三一轮复习难点突破(1)——公切线问题

2021届高三一轮复习难点突破（1）----切线与公切线的应用【方法点拨】1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；2.零点、最值问题有时也可以转化为公切线问题【典型例题】例1 （2016·新课标Ⅱ，16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = ．例2 已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为．例3 已知函数()ln ,111,122x x f x x x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩，若m n <，且()()f m f n =，则n m -的最小值是_____.【方法归纳】【巩固训练】1．(2020·江南十校联考)已知f(x)＝e x (e 为自然对数的底数)，g(x)＝lnx ＋2，直线l 是f(x)与g(x)的公切线，则直线l 的方程为_________．2．若212y x e=与ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则a 的值为（） A ．2- B ．12C ．1D ．23．若2(0)y ax a =>与x y e =存在公切线，则a 的取值范围为（）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[,)4e +∞D ．2(0,]4e4．已知函数2,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，若函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合，则a 的取值范围为（）A ．(1,)-+∞B ．(ln 2,)-+∞C ．(2,1)--D ．(1,2)5．已知定义在(0,)+∞上的函数2()f x x m =-，()6ln 4h x x x =-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 的值为（） A ．3- B ．1 C ．3 D ．56．设函数23()2(0)2f x x ax a =->与2()ln g x a x b =+有公共点，切在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为____________．7. 设函数 f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中 a ∈R ，若不等式 f (x )≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为．8.设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数，若函数()f x 有且只有1个零点，则a 的值为．9.已知函数31()4f x x x =-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____．10.若曲线21C y x =：与曲线2(0)xe C y a a=>：存在公共切线，则实数 a 的取值范围为．11.（2012·新课标Ⅰ，12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（）A ．1ln2-B ln 2)-C ．1ln2+D ln 2)+2021届高三一轮复习难点突破（1）----切线与公切线的应用【方法点拨】1.利用“形”解决恒成立问题（两个均为曲线），可考虑两曲线在公切点处的取值情况；2.零点问题有时也可以转化为公切线问题【典型例题】例1 （2016·新课标Ⅱ，16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = ．解析：方法1（常规方法）：设y = kx +b 与y = ln x +2和y = ln(x +1)分别切于11(,)x y 、22(,)x y ．则ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++， ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++， ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，∴1ln 11ln 2b x =+=-．方法2（参数法）：设y = kx +b 与y = ln x +2和y = ln(x +1)分别切于11(,)x y 、22(,)x y ．则11k x =，211k x =+，解得11x k =，211x k=-，所以1122ln 22ln ln(1)ln y x k y x k =+=-⎧⎨=+=-⎩，而112211y kx b b y kx b k b =+=+⎧⎨=+=-+⎩，故2ln 1ln 1k bk k b -=+⎧⎨-=-+⎩，解得2k =，1ln2b =-．例2 已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为．解析：依题意有：2x e ax ->32ax ，即x e >232ax ax +恒成立，a ＝0时显然成立，a ＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，所以，要使不等式恒成立，需a ≤0. 当a ＜0时，设23()2f x ax ax =+，()x g x e = 易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.设公切点为()0,x x e ，则00200032322x x e ax ax e ax a⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得00312x x =-=或（舍）∴切点为()11,e --【巩固训练】跟踪练习1．(2020·江南十校联考)已知f(x)＝e x (e 为自然对数的底数)，g(x)＝lnx ＋2，直线l 是f(x)与g(x)的公切线，则直线l 的方程为_________．【解析】设l 与f(x)＝e x 的切点为(x 1，ex 1)，与g(x)＝lnx ＋2的切点为(x 2，lnx 2＋2)．因为f′(x)＝e x ，g′(x)＝1x ，所以l ：y ＝ex 1·x －x 1·ex 1＋ex 1，y ＝1x 2·x ＋lnx 2＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧ex 1＝1x 2，（1－x 1）ex 1＝lnx 2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，x 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，x 2＝1e .∴切线方程为y ＝x ＋1或y ＝ex.2．若212y x e=与ln y a x =在它们的公共点(,)P s t 处具有公共切线，则a 的值为（） A ．2- B ．12C ．1D ．23．若2(0)y ax a =>与x y e =存在公切线，则a 的取值范围为（）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[,)4e +∞D ．2(0,]4e4．已知函数2,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，若函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合，则a 的取值范围为（）A ．(1,)-+∞B ．(ln 2,)-+∞C ．(2,1)--D ．(1,2)5．已知定义在(0,)+∞上的函数2()f x x m =-，()6ln 4h x x x =-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 的值为（） A ．3- B ．1 C ．3 D ．55．设函数23()2(0)2f x x ax a =->与2()ln g x a x b =+有公共点，切在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为____________．6. 设函数 f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中 a ∈R ，若不等式 f (x )≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为．答案：,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭7.设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数，若函数()f x 有且只有1个零点，则a 的值为．答案：1解析: 遇含参问题能分离变量则分离. 函数()f x 有且只有1个零点，意即()ln g x x =与2()h x ax ax =-的图象只有一个交点，由于()ln g x x = 与2()h x ax ax =-均过点(1,0)，所以()f x 的零点为1x =. 所以()ln g x x =与2()h x ax ax =-在点(1,0)处相切，故()1(1)2x h ax a a ='=-=与11(1)1x g x =⎛⎫'== ⎪⎝⎭相等，所以1a =.8.（2019·泰州中学、宜兴中学、梁丰高中4月联考）已知函数31()4f x x x =-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____．答案：2分析：函数()y f x =的图象关于坐标原点对称，故两条平行的切线的切点也关于坐标原点对称，只需求坐标原点到其中一条切线距离的最大值即可.根据几何意义，该切线应与过切点与坐标原点的直线垂直. 解析：不妨设切点为11131,4x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（10x >） ∵12131()4f x x '=--，而过切点与坐标原点的直线的斜率为21314x -+ ∴22113131144x x ⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭解之得1255x =故切点为255,55⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭∴两切点间的距离是2，即为所求.9.（2018·安徽江南十校联考·10）若曲线21C y x =：与曲线2(0)xe C y a a=>：存在公共切线，则实数 a 的取值范围为．答案：2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭10.（2012·新课标Ⅰ，12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（） A ．1ln2-B ．2(1ln 2)-C ．1ln2+D ．2(1ln 2)+【答案】B 解析：函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称．问题转化为求曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值为2d ．（用切线法）：设直线y x b =+与曲线12x y e =相切于点1(,)2t P t e ，因为1'2x y e =，所以根据导数的几何意义，得112t e =，ln 2t =，所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-，所以1ln 2y x =+- 因此曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d 为直线 1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，从而2d =，所以min ||22(1ln 2)PQ d ==-，故选择B ．2021届高三一轮复习难点突破（1）----切线与公切线的应用例1 （2016·新课标Ⅱ，16）若直线y = kx +b 是曲线y = ln x +2的切线，也是曲线y = ln(x +1)的切线，则b = ．解析：方法1（常规方法）：设y = kx +b 与y = ln x +2和y = ln(x +1)分别切于11(,)x y 、22(,)x y ．则ln 2y x =+的切线为：111ln 1y x x x =⋅++， ()ln 1y x =+的切线为：()22221ln 111x y x x x x =++-++， ∴()122122111ln 1ln 11x x x x x x ⎧=⎪+⎪⎨⎪+=+-⎪+⎩，解得112x =，212x =-，∴1ln 11ln 2b x =+=-．方法2（参数法）：设y = kx +b 与y = ln x +2和y = ln(x +1)分别切于11(,)x y 、22(,)x y ．则11k x =，211k x =+，解得11x k =，211x k=-，所以1122ln 22ln ln(1)ln y x k y x k =+=-⎧⎨=+=-⎩，而112211y kx b b y kx b k b =+=+⎧⎨=+=-+⎩，故2ln 1ln 1k bk k b -=+⎧⎨-=-+⎩，解得2k =，1ln2b =-．例2 已知e 为自然对数的底数，函数2()xf x e ax =-的图像恒在直线32y ax =上方，则实数a 的取值范围为．解析：依题意有：2x e ax ->32ax ，即x e >232ax ax +恒成立，a ＝0时显然成立，a ＞0时，右边为开口向上的抛物线，不可能恒成立，所以，要使不等式恒成立，需a ≤0. 当a ＜0时，设23()2f x ax ax =+，()x g x e = 易知两函数的凸凹性相反，故只需考虑两函数图象有且仅有一个公共点，即有公切线的“临界状态”时的切点坐标.设公切点为()0,x x e，则00200032322x x e ax ax e ax a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，解之得00312x x =-=或（舍）∴切点为()11,e --，为使()()f x g x <，只需11(1)2f a e --=-<，故2a e>-又a＜0，所以2ae-<<.综上，实数a的取值范围为2(,0]e-．,22x+⎪⎩22x=+22x=+2x==得22x=+得1＝1x，所以＝1x·∴⎩⎪⎨⎪ex1＝1x2，（1－x1）ex1＝lnx2＋1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x1＝0，x2＝1或⎩⎪⎨⎪1x2＝1e.∴切线方程为y＝x＋1或y＝ex.2．若212y xe=与lny a x=在它们的公共点(,)P s t处具有公共切线，则a的值为（）A．2- B．12C．1 D．23．若2(0)y ax a=>与xy e=存在公切线，则a的取值范围为（）A ．2[,)8e +∞B ．2(0,]8eC ．2[,)4e +∞D ．2(0,]4e4．已知函数2,0()ln ,0x x a x f x x x ⎧++<=⎨>⎩，若函数()f x 的图象在点A 、B 处的切线重合，则a 的取值范围为（）A ．(1,)-+∞B ．(ln 2,)-+∞C ．(2,1)--D ．(1,2)5．已知定义在(0,)+∞上的函数2()f x x m =-，()6ln 4h x x x =-，设两曲线()y f x =与()y h x =在公共点处的切线相同，则m 的值为（） A ．3- B ．1 C ．3 D ．56．设函数23()2(0)2f x x ax a =->与2()ln g x a x b =+有公共点，切在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为____________．7. 设函数 f (x )＝ax 2－a －ln x ，其中 a ∈R ，若不等式 f (x )≥1－a 恒成立，则实数 a 的取值范围为．答案：,2e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭8.设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数，若函数()f x 有且只有1个零点，则a 的值为．答案：1解析: 遇含参问题能分离变量则分离. 函数()f x 有且只有1个零点，意即()ln g x x =与2()h x ax ax =-的图象只有一个交点，由于()ln g x x = 与2()h x ax ax =-均过点(1,0)，所以()f x 的零点为1x =. 所以()ln g x x =与2()h x ax ax =-在点(1,0)处相切，故()1(1)2x h ax a a ='=-=与11(1)1x g x =⎛⎫'== ⎪⎝⎭相等，所以1a =. 9.已知函数31()4f x x x =-+，若直线1l ，2l 是函数()y f x =图象的两条平行的切线，则直线1l ，2l 之间的距离的最大值是_____．答案：2分析：函数()y f x =的图象关于坐标原点对称，故两条平行的切线的切点也关于坐标原点对称，只需求坐标原点到其中一条切线距离的最大值即可.根据几何意义，该切线应与过切点与坐标原点的直线垂直.解析：不妨设切点为11131,4x x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（10x >），∵12131()4f x x '=--，而过切点与坐标原点的直线的斜率为21314x -+，∴22113131144x x ⎛⎫⎛⎫---+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ，解之得125x =，故切点为255,55⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，∴两切点间的距离是2，即为所求.10.若曲线21C y x =：与曲线2(0)xe C y a a =>：存在公共切线，则实数 a 的取值范围为． 2,4e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭11.（2012·新课标Ⅰ，12）设点P 在曲线12xy e =上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为（） A ．1ln2-B ．2(1ln 2)-C ．1ln2+D ．2(1ln 2)+【答案】B 解析：函数12xy e =与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于直线y x =对称．问题转化为求曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d ，则||PQ 的最小值为2d ．（用切线法）：设直线y x b =+与曲线12x y e =相切于点1(,)2t P t e ，因为1'2x y e =，所以根据导数的几何意义，得112t e =，ln 2t =，所以切点(ln 2,1)P ，从而1ln 2b =-，所以1ln 2y x =+- 因此曲线12xy e =上点P 到直线y x =的距离的最小值d 为直线 1ln 2y x =+-与直线y x =的距离，从而2d =，所以min ||22(1ln 2)PQ d ==-，故选择B ．。

有关两曲线的公切线问题的题型及其解法

有关两曲线的公切线问题的题型及其解法
公切线是指在两曲线之间，找出一条直线，使得其与两曲线的切点关系最佳的直线。

这类问题有很多，比如给定两曲线求它们之间的公切线，求两曲线的公切曲线等等。

下面，我们来讨论一下关于两曲线的公切线问题的题型及其解法。

首先，我们来看一下求两曲线的公切线的题型及其解法。

通常情况下，要求两曲线的公切线，需要先用极坐标方程求出它们的函数表达式，然后用梯度下降法对函数求导，可以得到两个曲线的切线方程，最后再求出切线的交点，即两曲线的公切线的方程。

其次，我们来看一下求两曲线的公切曲线的题型及其解法。

求两曲线的公切曲线，首先要求出两曲线的法线方程，然后用梯度下降法求出法线的倾斜角，求出两曲线的法线的倾斜角的和，将其除以
2，即为两曲线的公切曲线的倾斜角，最后用此倾斜角求
出公切曲线的方程。

最后，我们来看一下求两曲线的公共切点的题型及其解法。

关于求两曲线的公共切点，可以用坐标方程求出两曲线的函数表达式，然后将其转化为一元二次方程，再用求根公式求出两曲线的切点，即为两曲线的公共切点。

以上就是关于两曲线的公切线问题的题型及其解法的介绍。

从上面的介绍中可以看出，求解两曲线的公切线问题，需要用到极坐标方程、梯度下降法、坐标方程等数学知识，解题时需要灵活运用这些知识。

例析曲线公切线问题求解策略

例析曲线公切线问题求解策略金保源(华南师范大学附属惠阳学校ꎬ广东惠州５１６２００)摘㊀要:公切线是导数几何意义的综合应用ꎬ将曲线间的位置关系转化为函数的单调性㊁凹凸性㊁极(最)值㊁零点等ꎬ考查转化与化归㊁推理与论证的能力.文章从常考的几种类型探讨公切线问题的应用策略.关键词:公切线ꎻ分离函数ꎻ凹凸翻转中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３１－０００９－０３收稿日期:２０２３－０８－０５作者简介:金保源(１９８０.５－)ꎬ男ꎬ湖北省天门人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀切线问题是近几年的高考热点问题ꎬ考查导数的综合运用ꎬ对考生有很好的区分度.如２０１６年全国Ⅲ卷文第１６题㊁２０１７年全国Ⅰ卷文第１４题㊁２０１８年全国Ⅰ卷文第６题㊁全国Ⅱ卷文第１２题均考了与切线有关的题型.本文从常考的几种类型探讨公切线问题的应用策略ꎬ以供读者参考.１切点相同的公切线例１㊀若一直线与曲线ｙ＝ｌｎｘ和曲线ｘ２＝ａｙ(ａ>０)相切于同一点Ｐꎬ则ａ的值为(㊀㊀).Ａ.２ｅ㊀Ｂ.３㊀Ｃ.３㊀Ｄ.２３解析㊀设Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬ函数ｙ＝ｌｎｘ的导数为ｙᶄ＝１ｘꎬ函数ｙ＝ｘ２ａ的导数为ｙᶄ＝２ｘａ.则函数ｙ＝ｌｎｘ在ｘ＝ｘ１处的切线方程为ｙ＝１ｘ１ｘ＋ｌｎｘ１－１.同理可证ꎬ函数ｙ＝ｘ２ａ在ｘ＝ｘ１处的切线方程为ｙ＝２ｘ１ａｘ－ｘ２１ａ.由题意可知２ｘ１ａ＝１ｘ１ꎬ－ｘ２１ａ＝ｌｎｘ１－１.ìîíïïïï解得ａ＝２ｅꎬｘ１＝ｅ.故选Ａ.点评㊀若两函数ｙ＝ｆ(ｘ)与ｙ＝ｇ(ｘ)有切点相同的公切线ꎬ则在切点处的导数值相等.解题基本思路是:先设出公共点建立方程ꎬ再利用共切线得出公切线斜率相等的方程ꎬ联立方程组消元求解.２切点不同的公切线例２㊀若直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ是曲线ｙ＝ｌｎｘ＋２的切线ꎬ也是曲线ｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)的切线ꎬ则ｂ＝.解析㊀由ｙ＝ｌｎｘ＋２ꎬ得ｙᶄ＝１ｘ.设直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与曲线ｙ＝ｌｎｘ＋２相切于点９Ｐｘ１ꎬｙ１()ꎬ则ｙ１＝ｌｎｘ１＋２ꎬｙ＝ｌｎｘ＋２在Ｐｘ１ꎬｙ１()处的切线为ｙ＝１ｘ１ｘ＋ｌｎｘ１＋１.由ｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)ꎬ得ｙᶄ＝１ｘ＋１.设直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与曲线ｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)相切于点Ｍｘ２ꎬｙ２()ꎬ则ｙ２＝ｌｎｘ２＋１()ꎬｙ＝ｌｎ(ｘ＋１)在Ｍｘ２ꎬｙ２()处的切线方程为ｙ＝１ｘ２＋１ｘ＋ｌｎｘ２＋１()－ｘ２ｘ２＋１.所以１ｘ１＝１ｘ２＋１ꎬｌｎｘ１＋１＝ｌｎｘ２＋１()－ｘ２ｘ２＋１.ìîíïïïï解得ｘ１＝１２ꎬｘ２＝－１２.所以ｂ＝ｌｎｘ１＋１＝１－ｌｎ２.点评㊀若切点不同ꎬ先假设ｙ＝ｆ(ｘ)上的切点Ａｘ１ꎬｆｘ１()()ꎬ得到切线方程ｙ－ｆｘ１()＝ｆᶄｘ１()ｘ－ｘ１()ꎻ设ｙ＝ｇ(ｘ)上的切点为Ｂｘ２ꎬｇｘ２()()ꎬ得到切线方程ｙ－ｇｘ２()＝ｇᶄｘ２()ｘ－ｘ２()ꎬ因为切线是同一条直线ꎬ故得到两个等式ｆᶄｘ１()＝ｇᶄｘ２()ꎬｆｘ１()－ｘ１ｆᶄｘ１()＝ｇｘ２()－ｘ２ｇᶄｘ２()ꎬ联立解方程组即可.３存在公切线求参数范围例３㊀若ｆ(ｘ)＝１－ａｘ２(ａ>０)与ｇ(ｘ)＝１－ｌｎｘ的图象存在公切线ꎬ则实数ａ的最小值为(㊀㊀).Ａ.１２ｃ㊀㊀Ｂ.１ｃ２㊀㊀Ｃ.２ｅ㊀㊀Ｄ.１图１㊀例３解析图解析㊀设切点为(ｔꎬ１－ｌｎｔ)ꎬ代入ｆ(ｘ)ꎬ得１－ｌｎｔ＝１－ａｔ２.即ｌｎｔ＝ａｔ２.由ｆᶄ(ｘ)＝－２ａｘꎬｇᶄ(ｘ)＝－１ｘꎬ则－２ａｔ＝－１ｔ.得２ａｔ２＝１.故ｌｎｔ＝１２.即ｔ＝ｅ１２.故ａ＝１２ｅ.如图１ꎬ当ａ越大ꎬｆ(ｘ)开口越小ꎬ与ｇ(ｘ)距离越远ꎬａ>１２ｅ时ꎬｆ(ｘ)与ｇ(ｘ)的图象相离ꎬ存在公切线.综上所述ꎬａȡ１２ｅ.故实数ａ的最小值为１２ｅ.点评㊀本题是两条曲线存在公切线问题ꎬ涉及二次函数和对数函数的性质.求解时ꎬ先考虑两条曲线具有切点相同的公切线情形求出ａ的值ꎬ再由函数图象相离时存在两条公切线ꎬ可得到ａ的范围ꎬ充分体现了函数与方程㊁数形结合的思想.４利用公切线解决零点个数问题例４㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ａｘ２－ｘ－ｌｎｘ有两个不同的零点ꎬ则实数ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.１ｅꎬ１æèçöø÷㊀㊀㊀㊀㊀㊀Ｂ.(０ꎬ１)Ｃ.－ɕꎬ１＋ｅｅ２æèçöø÷Ｄ.０ꎬ１＋ｅｅ２æèçöø÷图２㊀例４解析图解析㊀令ｆ(ｘ)＝０ꎬ得ａｘ２－ｘ＝ｌｎｘ.由ｆ(ｘ)有两个不同的零点ꎬ可知ｙ＝ａｘ２－ｘ的图象与ｙ＝ｌｎｘ(ｘ>０)的图象有两个交点.当ａɤ０时ꎬ函数ｙ＝ａｘ２－ｘ与ｙ＝ｌｎｘ的图象有一个交点ꎬ不合题意.当ａ>０时ꎬ考虑ｙ＝ａｘ２－ｘ的图象与ｙ＝ｌｎｘ的图象相切的临界状态情形.设公切线为ｌꎬ公切点为ｔꎬａｔ２－ｔ()ꎬ则ａｔ２－ｔ＝ｌｎｔ.０１由ｙ＝ａｘ２－ｘꎬ得ｙᶄ＝２ａｘ－１.由ｙ＝ｌｎｘꎬ得ｙᶄ＝１ｘ.所以２ａｔ－１＝１ｔꎬ即２ａｔ２－ｔ＝１.由ａｔ２－ｔ＝ｌｎｔꎬ２ａｔ２－ｔ＝１ꎬ得１－ｔ＝２ｌｎｔ.易知ｘ＝１是１－ｘ＝２ｌｎｘ的唯一实数根.所以ｔ＝１ꎬ从而ａ＝１.也就是说ꎬ当ａ＝１时ꎬ抛物线ｙ＝ｘ２－ｘ与ｙ＝ｌｎｘ的图象相切.当０<ａ<１时ꎬ抛物线ｙ＝ａｘ２－ｘ的开口比抛物线ｙ＝ｘ２－ｘ的开口大ꎬ从而函数ｆ(ｘ)＝ａｘ２－ｘ－ｌｎｘ的图象有两个不同的零点(如图２).综上ꎬ实数ａ的取值范围是(０ꎬ１).故选Ｂ.点评㊀本题是已知函数的零点个数求参数范围问题ꎬ将零点问题转化为两曲线交点个数问题是常见的求法.借由例１的求解过程ꎬ可先求两曲线相切的临界情形ꎬ由公切线求出参数的值ꎬ根据图象变化特征即可得到参数的取值范围.５利用公切线解决恒成立问题例５㊀若关于ｘ的不等式ｅｘ－ａｌｎｘȡａ恒成立ꎬ则实数ａ的取值范围是(㊀㊀).Ａ.[０ꎬｅ]㊀Ｂ.(－ɕꎬｅ]㊀Ｃ.０ꎬｅ２[]㊀Ｄ.－ɕꎬｅ２(]图３㊀例５解析图解析㊀设ｆ(ｘ)＝ｅｘ和ｇ(ｘ)＝ａｌｎｘ＋ａ＝ａｌｎｅｘ.当ａ<０时ꎬｅｘ－ａｌｎｘȡａ不能恒成立.当ａ＝０时ꎬ由ｅｘ－ａｌｎｘȡａ可得ｅｘȡ０.而ｅｘ>０恒成立.当ａ>０时ꎬ设ｆ(ｘ)＝ｅｘ和ｇ(ｘ)＝ａｌｎｅｘ的公切线为ｌꎬ且公切点为(ｍꎬｎ).由ｆ(ｘ)＝ｅｘꎬ得ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ.由ｇ(ｘ)＝ａｌｎｅｘꎬ得ｇᶄ(ｘ)＝ａｘ.所以ｅｍ＝ａｍꎬｅｍ＝ａｌｎｅｍ.消去ａꎬ得１ｍ＝ｌｎｅｍ.即ｌｎｍ－１ｍ＋１＝０.设ｈ(ｍ)＝ｌｎｍ－１ｍ＋１ꎬ则ｈᶄ(ｍ)＝１ｍ＋１ｍ２>０ꎬｈ(ｍ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增.而ｈ(１)＝０ꎬ所以ｌｎｍ－１ｍ＋１＝０有且只有一个根ｍ＝１.从而ａ＝ｅ.根据图形(如图３)ꎬ若ｅｘ－ａｌｎｘȡａꎬ则０<ａɤｅ.综上所述ꎬ０ɤａɤｅꎬ即实数ａ的取值范围是[０ꎬｅ].故选Ａ.点评㊀本题可直接构造函数Ｆ(ｘ)＝ｅｘ－ａｌｎｘ－ａꎬ通过对参数进行讨论ꎬ求解单调性ꎬ证明函数Ｆ(ｘ)ｍｉｎȡ０ꎬ但此种解法运算量大ꎬ不适合在选择题中使用.将原式分离为两个函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ和ｇ(ｘ)＝ａｌｎｅｘꎬ可知它们的凹凸性相反ꎬ公切线无疑是二者的分界线.公切线的实质是导数几何意义的综合应用ꎬ将曲线间的位置关系转化为函数的单调性㊁凹凸性㊁极(最)值㊁零点等ꎬ考查转化与化归㊁推理与论证的能力.解决公切线可考虑从数与形两方面着手ꎬ将问题转化为两个函数的图象关系ꎬ由图象凹凸反转的特征ꎬ利用切线不等式放缩[１].求解方法蕴含泰勒展开㊁函数逼近的背景ꎬ渗透着数形结合㊁动静转化的思想ꎬ是命题者难以抗拒的源泉.参考文献:[１]武增明.两函数图象的公切线问题[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０１９(０４):２４－２７.[责任编辑:李㊀璟]１１。

函数与倒数微重点4 函数的公切线问题

函数与倒数微重点4函数的公切线问题导数中的公切线问题，是导数的重要应用之一，利用导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题，主要利用消元与转化，考查构造函数、数形结合能力，培养逻辑推理、数学运算素养．考点一求两函数的公切线例1 (2022·湘潭模拟)已知直线l 是曲线y ＝e x －1与y ＝ln x ＋1的公共切线，则l 的方程为____________________．规律方法求切线方程时，注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线，曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程是y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)；求过某点的切线方程，需先设出切点坐标，再依据已知点在切线上求解．跟踪演练1 已知函数f (x )＝x 2－2m ，g (x )＝3ln x －x ，若y ＝f (x )与y ＝g (x )在公共点处的切线相同，则m ＝________，该切线方程为__________________．考点二与公切线有关的求值问题例2 (2022·河南省百校大联考)已知f (x )＝x 22＋ln x 与g (x )＝2x －x 3＋c 的图象有一条公切线，则c ＝________.规律方法利用导数的几何意义解题，关键是切点，要充分利用切点既在曲线上又在切线上构造方程．跟踪演练2 (2022·湖北省新高考联考协作体联考)若存在过点(0，－2)的直线与曲线y ＝x 3和曲线y ＝x 2－x ＋a 都相切，则实数a 的值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－2考点三判断公切线条数例3 (2022·菏泽质检)若直线l 与曲线y ＝e x 和y ＝ln x 都相切，则满足条件的直线l 有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条规律方法运用导数与斜率之间的关系可以将两曲线公切线的切点表示出来，构造新的函数通过零点存在定理判断函数零点个数，即方程解的情况．跟踪演练3 若a >12e，则函数y ＝ax 2与y ＝ln x 的公切线有( ) A ．0条B ．1条C ．2条D ．无数条考点四求参数的取值范围例4 若曲线C 1：y ＝x 2与曲线C 2：y ＝e x a(a >0)存在公切线，则实数a 的取值范围为________．规律方法利用导数的几何意义，构造参数关于切点横坐标或切线斜率k 的函数，转化成函数的零点问题或两函数的交点问题，利用函数的性质或图象求解．跟踪演练4 若函数f (x )＝4ln x ＋1与函数g (x )＝ax 2－2x (a >0)的图象存在公切线，则实数a 的取值范围为( )A ．[3，＋∞)B ．(3，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤1，32 D.⎝⎛⎭⎫1，32。