机械振动二自由度讲解
第三章 两自由度系统
k12 x1 F sin t k 22 x 2 0
M x K x F sin t
三．方程求解
令方程的解为
jt xt X e
X1 X X 2
k 2 L x3 0 2 k 2 L 0
方程含有静耦合和动耦合
结论：
1. 2. 3. 4. 5. 描述一个两自由度系统的运动，所需要的独立坐标数是 确定的、唯一的，就是自由度数2。但为描述系统运动 可选择的坐标不是只有唯一的一组。 对于同一个系统，选取的坐标不同，列出的系统运动方 程的具体形式也不同，质量矩阵和刚度矩阵对不同的坐 标有不同的具体形式。 如果系统的质量矩阵和刚度矩阵的非对角元有非零的元 素，则表明方程存在坐标耦合。坐标耦合决定于坐标的 选取，不是系统的固有性质。 方程中存在耦合，则各个方程不能单独求解。 同一个系统，选取不同的坐标来描述其运动，不会影响 到系统的性质，其固有特性不变。
2 随
变化的曲线
§3.3无阻尼吸振器
一．物理模型
二．数学模型
m1 x1 k1 x1 k 2 x2 x1 F sin t m2 x2 k 2 x2 x1 0
m1 0 x1 k1 k2 k2 x1 F sin t 0 m x k k2 x2 0 2 2 2
可以解出两自由度系统的两个固有频率。
§3.4有阻尼振动
一．自由振动
1.物理模型
2.数学模型
m1 x1 c1 c2 x1 k1 k 2 x1 c2 x2 k 2 x2 0
机械振动学(第二章)-二自由度振动系统
x1 A1 sin(nt ) x2 A2 sin(nt )
x2 A2 sin(nt ) A2 x1 A1 sin(nt ) A1
这样，在振动过程中系统其他各点的位移都可由x1和x2 所决定，并且系统各点位移的相对比值都可由振幅比确定。
2 上式是关于 n 的一元二次方程，称为频率方程或特征方程，
装备制造学院
2 n 1, 2
ad ad 2 ( ) bc （3-9） 2 2
College of Equipment Manufacture
由于刚度K1、K2、K3和质量m1、m2都是正的，所以，式 n1 和 n 2 为实 中a、b、c、d系数都是正数，根号项恒为正， 数；而且由于 ad>bc，式（3-9）中的根号项小与前面的项， 2 2 n1 和 n 2 只与振动 所以 n 1 和 n 2 为方程的两个正实根。 系统本身的物理性质有关，称为系统的固有频率，也可称为 主频率。 较低的 n1 ，称为第一阶固有频率，简称基频；较高的 n 2 称为第二阶固有频率。 理论证明，n个自由度系统的频率方程是 的n次代数方 程，在无阻尼的情况下，频率方程有n个正实根，故固有频 率的个数与系统的自由度数相等。
装备制造学院 College of Equipment Manufacture
振幅的大小可由振动系统的初始条件来确定，但当系统 按任一固有频率振动时，振幅比和固有频率一样，取决于振 动系统本身的物理性质。 由式（3-6）可以看出，在任一瞬时两质量m2和m1的 位移比值，同样也是确定的，并等于振幅比，即：
3.1.1二自由度振动微分方程
机械、汽车等的实际结构简化成二自由度系统模型后， 要研究其振动问题，关键在于建立系统的运动微分方程。 在选定广义坐标后，利用牛顿第二定律求系统运动方程。 下图为所示的二自由度系统，建立运动微分方程。
《机械振动》张义民—第4章第1、2节ppt
◆当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时， 那么这个系统就是两个自由度系统。
◆两自由度系统是最简单的多自由度系统。 ◆两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立 的微分方程组成。 ◆两自由度系统有两个固有频率及固有振型。
◆在任意初始条件下的自由振动一般由这两个固 有振型叠加，只有在特殊的初始条件下系统才按某 一个固有频率作固有振动。
大象体积庞大，走起路来 更是别具一格，四只脚移动 时分别各自相差90度的位移 差。没有一只脚做的是相同 位移的移动。
◆四只脚动物可以看作是“四个振动体耦合在一起的 系统”吗？事实上，四个振动体组成的系统的基本运动 模式，确实与所提到的那四种走路方式一模一样。
◆可是动物们为什么会按照耦合振动体的方式来行走 呢？虽说现在关于这个问题还没有定论。生物学家们认 为，掌管运动的脑神经网(由数突连接起来的神经细胞) 看起来更接近“耦合振动体”一些。有推测认为，正是 脑神经网的动力学特性，使得动物走起路来才会表现出 振动体的特点。
1998年匈牙利的物理学家塔 马斯·维塞克在布达佩斯音乐学 院举行的一场音乐会上意外地发 现了同步化的现象。
演出相当成功，落幕后观众们热烈的掌声长达 3分钟之久，而维塞克博士便在这里发现了有趣 的东西。音乐会刚一结束，观众们雷鸣暴雨般的 掌声响起，然而过了一段时间之后，观众们的热 烈的掌声显然同步化了，变成了同一种节奏的拍 手。为了答谢观众们的热情，演奏者重新走上台 来谢幕，这时的掌声又突然之间失去了刚才的节 奏，雨点般疯狂地响起。在最后长达3分钟的鼓 掌声中，狂热的掌声和同步的掌声依次交替出现。
◆强迫简谐振动发生在激励频率，而这两个坐标 的振幅将在这两个固有频率下趋向最大值。共振时 的振型就是与固有频率相应的固有振型。
第十一讲—二自由度系统强迫振动
机械与运载工程学院第十一讲二自由度系统强迫振动2机械与运载工程学院运动方程m 1m 2k 3k 1k 2x 1x 2P 1(t )P 2(t )k 1x 1k 2(x 1-x 2)11x m m 1P 2(t )k 2(x 1-x 2)22xm m 2k 3x 2⎩⎨⎧=+−−=−++)()()()(2332122212121111t P x k x x k x m t P x x k x k x m 运动方程：矩阵形式：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t P x x k k k k k k x x m m3机械与运载工程学院1θk 1I 2θ2I 2θk 3θk )(1t M )(2t M 1θ11θθk 11θ I )(1t M )(212θθθ−k 22θ I )(2t M 33θθk )(122θθθ−k 1111121212222332()()()()I k k M t I k k M t θθθθθθθθθθθ⎧++−=⎪⎨+−+=⎪⎩运动方程：矩阵形式：122111122322220()0()k k k I M t k k k I M t θθθθθθθθθθ+−⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 4机械与运载工程学院⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t P t Px x k k k k k k x x m m⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+−−++⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)()(0021213222212121t M t M k k k k k k I I θθθθθθθθθθ 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。
二自由度振动有阻尼及强迫振动响应
Harbin Institute of Technology
7
哈尔滨工业大学课程设计
理坐标系下： x(1)= 1.27*10^(-4)*cos(1.99*t)*(62.3*cos(1.01*t) - 2.65*cos(4.99*t) + 315.0*sin(1.01*t) - 66.1*sin(4.99*t)) - 0.0236*sin(3.0*t) - 0.00203*cos(3.0*t) + (0.502*cos(1.41*t))/exp(0.1*t) + (0.0859*sin(1.41*t))/exp(0.1*t) + (0.492*cos(1.99*t))/exp(0.2*t) + (0.00198*sin(1.99*t))/exp(0.2*t) + (0.236*sin(1.99*t)*(0.169*exp(0.2*t)*cos(1.01*t) + 0.0355*exp(0.2*t)*cos(4.99*t) - 0.0335*exp(0.2*t)*sin(1.01*t) 0.00142*exp(0.2*t)*sin(4.99*t)))/exp(0.2*t) x(2)= (1.51*cos(1.41*t))/exp(0.1*t) - 0.0709*sin(3.0*t) 3.8*10^(-4)*cos(1.99*t)*(62.3*cos(1.01*t) - 2.65*cos(4.99*t) + 315.0*sin(1.01*t) - 66.1*sin(4.99*t)) - 0.00608*cos(3.0*t) + (0.258*sin(1.41*t))/exp(0.1*t) - (1.48*cos(1.99*t))/exp(0.2*t) (0.00593*sin(1.99*t))/exp(0.2*t) (0.707*sin(1.99*t)*(0.169*exp(0.2*t)*cos(1.01*t) + 0.0355*exp(0.2*t)*cos(4.99*t) - 0.0335*exp(0.2*t)*sin(1.01*t) 0.00142*exp(0.2*t)*sin(4.99*t)))/exp(0.2*t) 利用 Matlab 作图可得图（3-2） ，图中实线为图（2-1）中的质量块 1 的运动，图中 虚线为图（2-1）中的质量块 2 的运动。
动力学-二自由度系统的自由振动
x1 x2
0
MX KX 0
求如下形式的解：
X
c c '
cost
特征方程
2M K 0
(k2 m22 )(k1 k2 m12 ) k22 0
方程有正实根： 1,2
特征向量：
i2 MKຫໍສະໝຸດ c c '0,
i
1,2
如果
X
c c '
cost
是解,
方程的通解：
则
X
c c '
sin
第七章 机械振动基础
• 当描述系统的一组参数在某一固定值附近往复变 化时，称之为振动。
•力学和机械系统中的振动称为机械振动。
研究振动的目的： 1. 振动的性质与特性 2. 利用振动 3. 消除振动
§7-4、二自由度系统的自由振动
一、运动微分方程的建立
取静平衡位置为坐标原点：
k1
m1
x1
T
1 2
m1x12
m122
c4
振型： 第一振型
第二振型
1
u(1)
k1
k2 m112
k2
1
u(2)
k1
k2
m1
2 2
k2
二、二自由度系统自由振动的特性
系统的固有频率、振型与初始条 件无关，仅与系统的参数有关。
三、一般的二自由度系统
二自由度系统的动力学方程
m11 m21
m12 m22
x1 x2
k11 k21
k12 k22
x1 x2
0
MX KX 0
M：广义质量矩阵，K：广义刚度矩阵
1 2
m2 x22
k2
m2
机械振动4两自由度系统的动力学方程
实际振动为：
x(t ) x ( 2) (t ) x ( 2) (t )
1 1 C1 sin(1t 1 ) C2 sin(2t 2 ) (4.1 17) r1 r2
其中C1、C2和1、2由初始条件确定。
《振动力学》 12
例4.1-1： m1 m, m2 2m，
2 2 k11k22 (k1 k2 )(k2 k3 ) k2 k12
i2 0 (i 1,2) i (i 1,2)为正实根，即两个固有 频率。 每个i 代入方程 (4.1 10)，得到： 2 k u k12 2 11 i m1 2 (k11 i m1 )u1 k12u2 0 u1 k12 k22 i2 m2
(4.1 15a) (4.1 15b)
u(1)、u( 2)称 为 振 型 向 量 或 模 态 向
量 ， 分 别 对 应 于 1、2。
x1(i ) Ci u1(i ) sin( i t i )， 对每个 i： (i ) (i 1,2) (i ) x2 Ci u2 sin( i t i )，
以O点为参考点，O点与质心C的距离为a，距离A、B点分 别为l1、l2，相对静平衡位置O0的位移为x，刚性杆相对平 衡位置的偏角为θ 。 试建立系统的动力学方程。
《振动力学》 19
解：以x、θ 为广义坐标
xc x a sin
θ 为小量
θ
xc x a
k1
x O0
k2
系统的动能：
T 1 2 1 2 C I c C mx 2 2 1 ) 2 1 J 2 a m( x 2 2
m人
k1 c1
m车
机械转子陀螺仪-二自由度解析
J xcos H M x J y H cos M y
二自由度陀螺 运动方程：力矩投影
J xcos H M x J y H cos M y
力矩的变换
M x1 M x cos
代入上式，得到
J xcos
二自由度陀螺 运动方程：推导
根据动量矩定理和苛氏定律 dH dH~ H M
dt dt
其中
dH~ dt
Jx
d x
dt
i Jy
d y
dt
j Jz
d ( x
)
k
dt
i
j
k
H x y
z
J x x J y y J z ( z )
M y t (0.345度 / 分) (1分) 0.345 度
H
章动振幅
JeM y H2
41 10000
2
rad
1.36 10 3角秒
章动频率
H 10000 2500 rad / sec 397 Hz
Je
4
常值干扰力矩的产生原因及影响
二自由度陀螺 正弦响应：输入输出
如果陀螺仪受到的力矩为常值，可以用阶跃函数表示：
M y (t) M y0 1(t)
M
y
(s)
M y0 s
陀螺系统的初始条件都为零时，频域输出响应为：
(s)
s(
J
x
J
H ys2
H
2
)
M y0 s
(s)
Jx JxJys2 H 2
第5章--两自由度系统的振动
第5章 两自由度系统的振动应用单自由度系统的振动理论，可以解决机械振动中的一些问题。
但是，工程中有很多实际问题必须简化成两个或两个以上自由度，即多自由度的系统，才能描述其机械振动的主要特征。
多自由度系统的振动特性与单自由度系统的振动特性有较大的差别，例如，有多个固有频率、主振型、主振动和多个共振频率等。
本章主要介绍研究两自由度系统机械振动的基本方法。
如图5-1所示。
平板代表车身，它的位置可以由质心C 偏离其平衡位置的铅直位移z 及平板的转角 来确定。
这样，车辆在铅直面内的振动问题就被简化为一个两自由度的系统。
双质量弹簧系统的自由振动5.1.1 运动微分方程图5-2(a)表示两自由度的弹簧质量系统。
略去摩擦力及其它阻尼，以它们各自的静平衡位置为坐标x 1、x 2的原点，物体离开其平衡位置的位移用x 1、x 2表示。
两物体在水平方向的受力图如图5-2(b)所示，由牛顿第二定律得 ⎭⎬⎫=+-=-++00)(2212222212111x k x k x m x k x k k x m &&&&(5-1)这就是两自由度系统的自由振动微分方程。
习惯上写成下列形式⎭⎬⎫=+-=-+00212211dx cx x bx ax x &&&& (5-2)图5-1车辆模型图5-2两自由度的弹簧质量系统显然此时2212121,,m k d c m k b m k k a ===+=但对不同的系统， 式(5-2)中各系数的意义并不相同。
5.1.2 固有频率和主振型根据微分方程的理论，设方程(5-2)的解，即两自由度无阻尼自由振动系统的解为⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)sin()sin(2211ααpt A x pt A x(5-3)或写成以下的矩阵形式)sin(2121α+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧pt A A x x (5-4)将式(5-4)代入式(5-2)，可得代数齐次方程组⎭⎬⎫⎩⎨⎧=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡----002122A A p d c b p a (5-5)保证式(5-5)具有非零解的充分必要条件是式(5-5)的系数行列式等于零，即0)(222=----=∆p d cbp a p展开后为0)(24=-++-bc ad p d a p(5-6)式(5-6)唯一确定了频率p 满足的条件，通常称为频率分程或特征方程。
机械振动理论：具有粘性阻尼二自由度系统的自由振动
（4-60）
将式(4—60) sij 代入式(4-62)中，并利用以下数学关系式
eir1t cos r1t i sin r1t eir2t cosr2t i sin r2t
eir1t cosr1t i sin r1t （4-63）
eir2t cos r 2t i sin r 2 t
M
s2
22 11
R22 s11
K22
R21s11 K21
12
A112 A212
R12s12 K12 M11s122 R11s12 K11
M 22s122 R22s12 K22 R21s12 K21
21
A121 A221
R12s21 K12 M11s221 R11s21 K11
M
s2
A222
,
[进行第一次变量代换]
8
利用相角形式，方程的解可以写成：【幅角形式】
x1
C e (1) n1t 1
sin(r1t
1) C1(2)e n2t
s in( r 2 t
2 )
x2
C e (1) n1t 2
sin(r1t
1) C2(2)en2t
sin(r 2t
2 )
(4 65)
其中
C (1) 1
1)
C e (2) n2t 2
sin(r 2t
2
)
(4 65)
比较式(65)及无阻尼自由振动响应式(42)可以看出——
有粘性阻尼自由振动与无阻尼自由振动 其解在形式上相似，
但二者又有区别，如：
(1) 在有阻尼情况下，质体振幅随 e n1t 和 e n2t而减小，
直至最后完全消失；
机械振动运动学3两自由度系统振动2
图3.7系统的主振型
根据给定的初始条件，可得：
故机械振动系统的响应为：
x1 0.4cos
k m k m
t 0.8cos1.581
k m k m
t
x 2 0.4cos
3.2.4 振动特性的讨论 （1）运动规律
t 0.4cos1.581
t
两自由度系统无阻尼自由振动是由两个简谐振动合成的。机 械系统的自由振动一般是一种非周期的复杂运动。 （2）频率和振型 两自由度系统有两个不同数值被称为主频率的固有频率 。任 何瞬间的各点位移之间具有一相对比值，即具有确定的振动形态 这就是主振型。
为第一主振型，即对应于频率
的振幅比；
为第二主振型，即对应于频率
振幅
的振幅比。
与 之间有两个确定的比值。并称为振幅比。
振幅比称为机械振动系统的主振型，也可称为固有振型。 第一主振动为：
第二主振动为：
表示 A 1 1和A2 1的符号相同。 则表示第二主振动中两个质点的位相反。
【例3-3】均质细杆质量为 m,长为 l，由两个刚度系数皆为 k 的 弹簧对称支承，如图3-5所示。试求此振动系统的固有频率和固 有振型。
由振动的四个初始条件来决定。
假设初始条件为：t=0时，
。经过整理，
上式就是机械振动系统在上述初始条件下的响应。
利用主坐标解耦的方法求解系统响应的基本步骤为：
（1）求出原振动方程的固有频率和振幅比，得到振型矩阵； （2）求出主坐标下的响应； （3）利用反变换式得出原广义坐标下的响应； （4）利用初始条件确定常系数。
磨床磨头系统就可以简化为图3.1
（d）所示的支承在进刀拖板上的两 自由度系统。 两自由度系统振动
图3.1 两自由度振动系统及其动力学模型
二自由度系统
d L L D Lagrange方程： ( ) 0 i qi q i dt q
其中：
q为广义坐标
或 Qi
L＝T-U，即动能与势能表达式之差 D为耗散能表达式 Qi ：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力
第3章 二自由度系统
振动微分方程的建立 方法五举例：
•建立广义坐标x和θ，坐标x的原点 在系统静平衡位置，方向向右 。 θ 为摆杆转角，逆时针为正。 •对系统作速度分析 。
22
第3章 二自由度系统 l
l1
l2
D C e k2 a2 l B
A
k1 a1
l1
l2 D C e B a2 k2
23
简化形式
A k1
a1
第3章 二自由度系统 l
l1 l2 D C e a1 a2 B k2
车体所受外力可以向D点简 A 化为合力 PD 和合力矩 MD 由于微振动，杆质心的垂直 k1 位移、杆绕质心的角位移： xC xD e D C D 首先采用拉格朗日方程建 立系统的运动微分方程 A 系统的动能：
MD
PD
D C
B
1 2 1 2 C I c C T mx 2 2
D
xD
xC
k2 ( xD a2 D )
24
k1 ( xD a1 D )
1 1 2 2 D e D ) I c D m( x 2 2
第3章 二自由度系统l
xC xD e D C D 系统的动能：
振动微分方程的建立 方法四： 利用mij,kij,cij 的物理意义
如： kij称为弹性系数，表示第j个坐标处发生单位位移， 其余各广义坐标保持不动时， 为了保持平衡需要在i坐标处施加的力（平动）或力矩（转动）。
机械振动理论：具有粘性阻尼二自由度系统的受迫振动
1
4.7 具有粘性阻尼二自由度系统的受迫振动
4.7.1 受迫振动方程及其通解
图4-13为 具有粘性阻尼的二自由度受迫振动系统。 该系统的受迫振动方程有以下形式：
M11x R11x1 R12 x2 K11x1 K12 x2 Q1 sin t
M 22 x2 R21x1 R22 x2 K21x1 K22 x2 0
由
B2
p1 k2
计算出 k 2
，
K1
再由
k2 2
m2
计算出 m2 。
动力减振器只适用于激振力的频率不变的条件， 如果激振力是变频的，则此减振器无效。
ω
m1 x
1
K2
x
m
2
2
变速运转的发动机，由于其频率的变化，
可采用减振器的固有频率随转速自动调节的办法来自动调节。
例如离心摆式减速振器。
###
12
M 22 x2 R21x1 R22 x2 K21x1 K22 x2 0
(4-67)
非齐次振动方程(67)式的解应包括两部分——
（4-64）
即齐次方程的通解 + 非齐次方程的特解。
通解即自由振动部分，它的表达式与前一节相同，见式(4-64)；
特解即受迫振动部分，它的频率等于激振力的频率。
当阻尼很小时，受迫振动方程的全解可表示为：
带入（69）式， x1 B1c cost B1s sin t x2 B2c cost B2s sin t (69)
并利用三角公式合并成位移表示式：
x1 B1 sin t 1 x2 B2 sin t 2 (4 72)
其中：
B1 B12c B12s
B2 B22c B22s
机械振动大作业——简支梁的各情况分析2
机械振动大作业姓名：徐强学号：SX1302106专业：航空宇航推进理论与工程能源与动力学院2013年12月简支梁的振动特性分析题目:针对简支梁、分别用单、双、三、十个自由度以及连续体模型，计算其固有频率、固有振型。
单、双、三自由度模型要求理论解；十自由度模型要求使用李兹法、霍尔茨法、矩阵迭代法、雅可比法、子空间迭代法求解基频；连续体要求推导理论解，并通过有限元软件进行数值计算。
解答：一、 单自由度简支梁的振动特性如图1，正方形截面（取5mm ×5mm ）的简支梁，跨长为l =1m ，质量m 沿杆长均匀分布，将其简化为单自由度模型，忽略阻尼，则运动微分方程为0=+••kx x m ,固有频率ωn =eqeq m k ，其中k 为等效刚度，eq m 为等效质量。
因此，求出上述两项即可知单自由度简支梁的固有频率。
根据材料力学的结果，由于横向载荷F 作用在简支梁中间位置而引起的变形为）（224348EI F -)(x l x x y -=（20l x ≤≤）, 48EI F -3max l y =为最大挠度，则： eq k =δF=348EIl 梁本身的最大动能为：）（224348EI F -)(x l x x y -==）（223max43x l lx y -T max =2×dx x y l m l 220)(21⎭⎬⎫⎩⎨⎧•⎰=2max 351721•y m ）（ 如果用eq m 表示简支梁的质量等效到中间位置时的大小，它的最大动能可表示为：T max =2max21•y m eq所以质量为m 的简支梁，等效到中间位置的全部质量为： m m eq 3517=故单自由度简支梁横向振动的固有频率为：ωn =eqeq m k =3171680ml EImk图1 简支梁的单自由度模型二、 双自由度简支梁的振动特性如图2，将简支梁简化为双自由度模型，仍假设在简支梁中间位置作用载荷，根据对称性，等效质量相等,因此只要求出在3/l 处的等效质量即可。
机械振动学 第五章_两自由度系统振动(讲)
第五章两自由度系统振动§5-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的基础。
在实际工程问题中，还经常会遇到一些不能简化为单自由度系统的振动问题，因此有必要进一步研究多自由度系统的振动理论。
两自由度系统是最简单的多自由度系统。
从单自由度系统到两自由度系统，振动的性质和研究的方法有质的不同。
研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统振动特性的基础。
所谓两自由度系统是指要用两个独立坐标才能确定系统在振动过程中任何瞬时的几何位置的振动系统。
很多生产实际中的问题都可以简化为两自由度的振动系统。
①汽车动力学模型：图3.1两自由度汽车动力学模型§5-2 两自由度系统的自由振动一、系统的运动微分方程②以图3.2的双弹簧质量系统为例。
设弹簧的刚度分别为k 1和k 2，质量为m 1、m 2。
质量的位移分别用x 1和x 2来表示，并以静平衡位置为坐标原点，以向下为正方向。
(分析)在振动过程中的任一瞬间t ，m 1和m 2的位移分别为x 1及x 2。
此时，在质量m 1上作用有弹性恢复力()12211x x k x k -及，在质量m 2上作用有弹性恢复力()122x x k -。
这些力的作用方向如图所示。
应用牛顿运动定律，可建立该系统的振动微分方程式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm （3.1）令2212121,,m k c m k b m k k a ==+=则（3.1）式可改写成如下形式：()()⎭⎬⎫=-+=--+00122221221111x x k x m x x k x k xm⎭⎬⎫=+-=-+00212211cx cx xbx ax x（3.2） 这是一个二阶常系数线性齐次联立微分方程组。
(分析)在第一个方程中包含2bx -项，第二个方程中则包含1cx -项，称为“耦合项”（coupling term ）。
这表明，质量m 1除受到弹簧k 1的恢复力的作用外，还受到弹簧 k 2的恢复力的作用。
二自由度动力学模型
二自由度动力学模型
二自由度动力学模型是一种广泛应用于机械工程、随机振动控制等领域的数学模型，由于其简单清晰的结构和易于求解的特点，成为了研究系统动力学特性的重要工具。
本文将详细介绍二自由度动力学模型的相关知识和应用方法。
一、什么是二自由度动力学模型？
二自由度动力学模型是指一个由两个质点通过弹簧和阻尼器连接而成的物理系统，其中每个质点只能沿一个方向（通常是水平和垂直方向）运动。
该模型的动力学特性可以描述为一个二阶非齐次线性微分方程组，其中包含了质点的运动方程和能量守恒方程。
二、如何建立二自由度动力学模型？
建立二自由度动力学模型需要以下步骤：
1、绘制系统结构示意图，包括两个质点、弹簧和阻尼器的连接方式。
2、确定系统的自由度，即质点可以进行的运动方向。
3、根据受力分析和牛顿第二定律，建立质点的运动方程。
4、利用能量守恒原理，建立能量守恒方程。
5、将质点的运动方程和能量守恒方程组合起来，得到二阶非齐次线性微分方程组。
6、利用数值解或解析解的方法，求解微分方程组，得到系统的运动特性。
三、二自由度动力学模型的应用
二自由度动力学模型广泛应用于机械工程、随机振动控制等领域，是许多控制系统的核心部分。
具体应用包括：
1、建立机械振动控制系统的模型，分析系统的稳定性和响应特性，优化控制策略。
2、研究结构物的振动特性，评估地震对建筑物的影响，提高建筑结构的抗震性能。
3、分析风力发电机、桥梁等大型结构的振动特性，提高其安全性和稳定性。
总之，二自由度动力学模型是一种非常重要和有用的工具，可以用于解决各种动力学问题，为实际应用提供了有效的支持。
机械振动第四章
第四章两自由度系统的振动当振动系统需要两个独立坐标描述其运动时，称为两自由度振动系统。
两自由度系统是最简单的多自由度系统，因此研究两自由度系统是分析和掌握多自由度系统的基础。
两自由度系统具有两个固有频率，两自由度系统以固有频率进行的振动与单自由度系统不同，它以固有频率进行的振动是指整个系统在运动过程中莫一位移形状，称为固有振型，因此两自由度具有两个与固有频率对应的两个固有振型。
在任意初始条件下的自由振动响应一般由两个固有振型的叠加得到。
受迫简谐振动的频率与激励频率相同。
两自由度系统的振动微分方程一般由两个联立的微分方程组成。
如果恰当地选取坐标，可使两个微分方程解除耦合，这种坐标称为主坐标或固有坐标。
用固有坐标建立的系统振动微分方程为两个独立的单自由度系统的微分方程。
4．1系统的自由振动如图所示的无阻尼两质量-弹簧系统，可沿光滑水平面滑动的两个质量与分别用弹簧与连至定点，并用弹簧相互连接。
三个弹簧的轴线沿同一水平线，质量与只限于沿着该直线进行往复运动。
这样与的任一瞬时的位置只需用坐标与就可以完全确定，因此该系统具有两个自由度。
图两自由度系统的振动取与的静平衡位置为坐标原点。
在振动过程中任一瞬时t,与的位置分别为与，作用于与的重力于光滑水平面的法向反力相平衡，在质量的水平方向作用有弹性恢复力和，质量的水平方向则受到和作用，方向如图所示。
取加速度和力的正方向与坐标正方向一致，根据牛顿运动定律有移项得方程（）就是图所示的两自由度系统自由振动的微分方程，为二阶常系数线性齐次常微分方程组。
方程（）可以使用矩阵形式来表示，写成由系数矩阵组成的常数矩阵m和k分别称为质量矩阵和刚度矩阵，向量x 称为位移向量。
因此设分别为刚度矩阵k中的元素，因而方程（）可以写成方程（）为系统自由振动的微分方程。
方程（）是齐次的，如果和位方程（）的一个解，那么与其相差一个因子的和也将是一个解。
通常感兴趣的是一种特殊形式的解，也就是和同步运动的解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
动能、势能和能量耗散函 数均是非负的。也就是说， 对任意的位移，任意的速 度，必然有
ET
1 {x'}T [M ]{x'} 0 2
U 1 {x}T [K ]{x} 0
2
D 1 {x'}T [C]{x'} 0
2
由此可知，质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是正定或半正定矩阵。一般说来，
工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构，刚度矩
U
1 2
k1x12
1 2
k2 (x2
x1 ) 2
1 2
k3 x22
1 2 {x1,
x2}T
k1 k2
k2
k2 k2 k3
xx12
1 2
{x}T
[K
]{x}
系统的能量 耗散函数
D
1 2
c1x'12
1 2
c2
(x'2
x'1
)2
1 2
c3 x'22
U
1 2
[k1
y
2 A
k2( yA
Lq )2 ]
1 2
{
y
A
,q
}k1k2 Lk2
mL1 mL12
Ic
y'
q
A
'
k2L k2 L2
yA
q
yA和q下的运动微分方程为
示例：
不同坐标系下的运动微分方程
四个广义坐标yA，yB，yC，q，
1．取广义坐标为yc，q
系统的动能 和势能为：
ET
1 2
my'c2
1 2
Icq
'2
1 2
{
y'c
,q
m
'}
0
0 Ic
y'c
q'
U
1 2
{
yc
,q
}k2
k1 L2
k2 k1L1
c2 (x'1 ) k3x2
x'2 )
c3
x
' 2
mm21xx""21
(c1 c2 )x'1c2 x'2 c2 x'1(c2 c3 )x'2
(k1 k2 )x1 k2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2
F1 (t ) F2 (t)
设： {x} {x1, x2}T {x'} {x'1 , x'2 }T {x"} {x"1 , x"2 }T {F(t)} {F1(t), F2(t)}T
1 2 {x'1
,
x'2
}c1c2c2
c2 c2 c3
xx''12
1 2
{x'}T
[C]{x'}
利用这三个函数可以分别求出三 个矩阵的各个元素
mij
2ET xix j
,
2U kij xix j ,
2D cij xix j
[M
]
m1
0
0
m2
[C]
c1 c2
c2
c2
c2
c3
[K
]
k1 k2
k2
k2
k2
k3
[M ]{x"}[C]{x'}[K]{x} {F(t)}
矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。如果将 数认为是一阶方阵和一维向量，二者在形式上就统一了
多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵
mij m ji cij c ji kij k ji
系统的动 能为
ET
1 2
m1x'12
1 2
m2
x'22
1 2
{x'1
,
x'2
}m01
0 m2
xx''12
1 2
{x'}T
[M
]{x'}
系统的势 能为
这个方程不存在惯性耦合
k2L2 k1L1 0 时方程存在弹性耦合 k2L2 k1L1 0 对角矩阵, 解耦。系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。
2．取广义坐标为yA，q
系统 的动
ET
1 2
[m(
y'A
L1q
')2
Icq
'2
]
1 2
{
y'
A
,q
m '}mL1
能和
势能
为：
定义
设有实二次型
f
xT
Ax,
如果对于任何
x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定
二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型，
并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。
阵也是正定矩阵。
上面关于质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵情况的讨论完全可以推广到任意的二自
由度系统和n自由度系统。
[M
]
m1
0
0
m2
[C]
c1 c2
c2
c2 c2源自c3 [K
]
k1 k2
k2
k2
k2
k3
将m1，m2联结在一起的弹性元件k2和阻尼元件c2使得系统的两个质量的振动相互影 响，并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵。一般来说，多自由度系统的运动微分 方程中的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都可能不是对角矩阵，这样微分方程存在 耦合。如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合；如果阻尼矩阵是非对角 矩阵，称方程存在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合。
k2 L2 k1L12
k1L1 k2 L22
yc
q
yc和q下的运动 微分方程为
m
0
0 Ic
y
q
k2
k1 L2
k2 k1L1
k2 L2 k1L12
k1L1 k2L22
yc
q
{0}
第三章 二自由度系统
常见的二自由 度系统模型 注意：自由度 的概念
模型－－单元体分离－－力平衡关系－－运动微分方程
运动微 分方程
mm21xx""21
F1(t F2 (t
) )
k1x1 k2 (x2
c1
x
' 1
x1)
k2 (x1 x2 ) c2 (x'2 x'1
定理
实二次型
f
xT
Ax
为正定的充分
必要条证件是设：可它逆的变标换准x形 的Cy使n 个系数全为正。
n
f ( x) f (Cy) kyi2 . i 1 上页 下页 返回
如果质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都是对角矩阵，则系统的运动微分
方程没有任何耦合，变为两个彼此独立的单自由度方程，各个未知量可以单 独求解。因此，如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的关 键。从数学上讲，就是怎样使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一 坐标系下同时成为对角矩阵。