机械振动二自由度讲解

定义
设有实二次型
f

xT
Ax,
如果对于任何
x ≠ 0 , 都有 f(x) > 0,（显然 f(0) = 0 ），则称 f 为正定
二次型，并称对称阵 A 是正定的。记作 A > 0 ；如果
对任何 x ≠ 0 , 都有 f(x) < 0 , 则称 f 为负定二次型，
并称对称阵 A 是负定的 ，记作 A < 0 。
[M
]

m1

0
0
m2

[C]

c1 c2

c2
c2
c2

c3

[K
]

k1 k2

k2
k2
k2

k3

[M ]{x"}[C]{x'}[K]{x} {F(t)}
矩阵写出的运动微分方程与单自由度系统的运动微分方程非常相似。如果将 数认为是一阶方阵和一维向量，二者在形式上就统一了
这个方程不存在惯性耦合
k2L2 k1L1 0 时方程存在弹性耦合 k2L2 k1L1 0 对角矩阵, 解耦。系统垂直方向的运动与绕质心的转动独立。
2．取广义坐标为yA，q
系统 的动
ET
来自百度文库

1 2
[m(
y'A
L1q
')2

Icq
'2
]

1 2
{
y'
A
,q
m '}mL1
能和
势能
为：
第三章 二自由度系统
常见的二自由 度系统模型 注意：自由度 的概念
模型－－单元体分离－－力平衡关系－－运动微分方程
运动微 分方程
mm21xx""21

F1(t F2 (t
) )

k1x1 k2 (x2
c1
x
' 1
x1)

k2 (x1 x2 ) c2 (x'2 x'1
动能、势能和能量耗散函 数均是非负的。也就是说， 对任意的位移，任意的速 度，必然有
ET

1 {x'}T [M ]{x'} 0 2
U 1 {x}T [K ]{x} 0
2
D 1 {x'}T [C]{x'} 0
2
由此可知，质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵均是正定或半正定矩阵。一般说来，
工程振动问题中遇到的质量矩阵一般都是正定矩阵。对于静定和超静定结构，刚度矩
多自由度系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵一般均是对称矩阵
mij m ji cij c ji kij k ji
系统的动 能为
ET

1 2
m1x'12
1 2
m2
x'22

1 2
{x'1
,
x'2
}m01
0 m2

xx''12


1 2
{x'}T
[M
]{x'}
系统的势 能为
k2 L2 k1L12
k1L1 k2 L22


yc
q

yc和q下的运动 微分方程为
m

0
0 Ic
y
q

k2
k1 L2
k2 k1L1
k2 L2 k1L12
k1L1 k2L22

yc
q


{0}
定理
实二次型
f

xT
Ax
为正定的充分
必要条证件是设：可它逆的变标换准x形 的Cy使n 个系数全为正。
n
f ( x) f (Cy) kyi2 . i 1 上页 下页 返回
如果质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都是对角矩阵，则系统的运动微分
方程没有任何耦合，变为两个彼此独立的单自由度方程，各个未知量可以单 独求解。因此，如何消除方程的耦合是求解多自由度系统运动微分方程的关 键。从数学上讲，就是怎样使系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵在某一 坐标系下同时成为对角矩阵。
U

1 2
k1x12

1 2
k2 (x2

x1 ) 2

1 2
k3 x22

1 2 {x1,
x2}T
k1 k2

k2
k2 k2 k3

xx12


1 2
{x}T
[K
]{x}
系统的能量 耗散函数
D

1 2
c1x'12

1 2
c2
(x'2
x'1
)2

1 2
c3 x'22
U

1 2
[k1
y
2 A

k2( yA

Lq )2 ]

1 2
{
y
A
,q
}k1k2 Lk2
mL1 mL12
Ic

y'
q
A
'

k2L k2 L2


yA
q

yA和q下的运动微分方程为
c2 (x'1 ) k3x2

x'2 )
c3
x
' 2
mm21xx""21
(c1 c2 )x'1c2 x'2 c2 x'1(c2 c3 )x'2
(k1 k2 )x1 k2 x2 k2 x1 (k2 k3 )x2

F1 (t ) F2 (t)
设： {x} {x1, x2}T {x'} {x'1 , x'2 }T {x"} {x"1 , x"2 }T {F(t)} {F1(t), F2(t)}T

1 2 {x'1
,
x'2
}c1c2c2
c2 c2 c3
xx''12


1 2
{x'}T
[C]{x'}
利用这三个函数可以分别求出三 个矩阵的各个元素
mij

2ET xix j
,
2U kij xix j ,
2D cij xix j
示例：
不同坐标系下的运动微分方程
四个广义坐标yA，yB，yC，q，
1．取广义坐标为yc，q
系统的动能 和势能为：
ET

1 2
my'c2

1 2
Icq
'2

1 2
{
y'c
,q
m
'}
0
0 Ic


y'c
q'

U

1 2
{
yc
,q
}k2
k1 L2
k2 k1L1
阵也是正定矩阵。
上面关于质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵情况的讨论完全可以推广到任意的二自
由度系统和n自由度系统。
[M
]

m1

0
0
m2

[C]

c1 c2

c2
c2
c2

c3

[K
]

k1 k2

k2
k2
k2

k3

将m1，m2联结在一起的弹性元件k2和阻尼元件c2使得系统的两个质量的振动相互影 响，并使刚度矩阵和阻尼矩阵不是对角矩阵。一般来说，多自由度系统的运动微分 方程中的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵都可能不是对角矩阵，这样微分方程存在 耦合。如果质量矩阵是非对角矩阵，称方程存在惯性耦合；如果阻尼矩阵是非对角 矩阵，称方程存在阻尼耦合；如果刚度矩阵是非对角矩阵，称方程存在弹性耦合。