趋势曲线模型预测

=………
= k
j0
k! (1)j (kj)!
yikj
②差分对多项式判断中的应用
例：含线性趋势确定性时间序列数据（yt=2t)
t
0
1
2
4
5
yt
0
2
4
8
10
一阶差分
2
2
2
2
二阶差分
精品课件 0
0
3 6
2
例:二次曲线 y = ax2 + bx + c
x0
1
2
3
4
5
yt c a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c
K = 0,1,2,3,4.
S0 = 0∑xi =8; S1 1= ∑xi =36; 2S2 = ∑xi
=204; 3
4
S3 = ∑xi =1296; S4 = ∑xi =8772
8
36
204
∴ S = 36
204
1296
8772
204
精品课件
1296
n
u k y ix ik,i 1 ,2 ..8 .,k0 ,1 ,2 i 1
83.09
1.9464
-0.9013
0.0893
= -0.9107 410.74
0.5100
-0.0536
0.0893 2458.38
-0.0536
0.006
7.1602 精品课件
1980:x = 9
y9 = 7.1602 + 0.4447×9 + 0.0480×92
= 15.0505
1981:x = 10:
8
8
8
u0 yixi0 83.09u1 yixi1 41.074u2 yixi2 245.388
i1
i1
i1
83 .09
U
410 .74
2458 .38
精品课件
204 -1 83.09
8
36
A = S(-1)U = 410.74
36 204
1296
2458.38
204 1296 8772
y10 = 7.1602 + 0.4447×10 + 0.0480×102
Fra Baidu bibliotek
= 16.4072 绝对误差 相对误差
与实际值比较:1980年为14.77 0。2809
–
1。9%
7672
1981年为15.64 0。 -4。9% 精品课件
三、 拟合多项式的次数确定 1、作图法 利用实际数据，选择合适坐标，采用图上打点， 观察打点曲线，并选择一条比较合用的多项式 趋势线。 若趋势线出现拐点：
由拐点定义，若出现一个拐点，至少应用3次 多项式拟合；
若出现k个拐点，至少应用k+2次多项式拟合。
精品课件
2.差分判断法 ①差分定义：当自变量呈等距分布时，即
xi = xi-1 + △x 则 ▽yi = yi – yi-1 =f(xi)- f(xi-1) 称为当 x 从xi-1变到xi时,yi 的一阶差分。
记为矩阵式：
s0 s1 s2 …… sm
a0
u0
×=
s1
s2
s3 …… sm+1
a1
u2
sm
记为 U
sm+1
记为S
s0 … s2m
精品课件
am
um
记为 A
二、案例
某地1972---1979工业产值统计资料如表，企业
多项式模型，并预测1980、1981年工业产值
年
1972 1973 1974 1975 1976 1977
趋势曲线模型预测
第一节 多次式曲线模型预测 法
第三章所谈及的回归分析， 是在已知统计资料基础上，利用线性或 非线性回归技术进行模拟，利用趋势外 推进行预测，而模型的项数均为常数项 加一次项或非线性构成。事实上，若采 用多项式进行模拟，也是一种行之有效 的方法。
一．正规方程组
所谓多项式回归，就是已知统计资料给出，
所有更高阶的差分由进一步的差分得到: 二阶差分
y ▽2 i =▽(▽yi ) =▽(yi – yi-1) =▽yi - y ▽ i-1 = (yi – yi-1) - (yi-1 – yi-2 ) = yi -2 yi-1 + yi-2
精品课件
可类推至 yi 的k阶差分
▽k yi =▽(▽k-1 yi )
16a+4b+c 25a+5b+c
一 阶差分 a+b
3a+b
7a+b
9a+b
5a+b
二阶差分
2a
2a
2a
2a
三阶差分
0
0
0
由此可得出判据
若一批自变量为等距分布的数据，经 n次差分之后， 形成常数或差分后在某一定值上下波动，则可用n次多 项式拟合此批数据变动精趋品势课件。
第二节 成长曲线预测模型
一. Gompertz曲线 成长曲线主要应用两个原则：相似性原则
令
n
uk
yi xi k ,
i 1
sk
yt K abt
n
xik
i 1
精品课件
可建立m+1个方程组成的正规方程组：
s0a0+s1a1+……+smam = u0 (k = 0)
s1a0+s2a1+………+sm+1am = u1 (k = 1)
:
:
:
:
sma0+sm+1a1+……..+s2mam = um (k = m)
1978 1979
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
产值
7.54 8.76 8.23 9.92 10.65
11.65 12.56 13.78
解：（1）描点，观察，做趋势图。
2
由图所示，用二次曲线描述精合品课理件。
（2）由正规方程组U = SA，求A = S(-1) U
∵Sk =∑Xik i = 1,2,………,8.
当预测变量y与自变量x可用一个多项式进行模
拟时，利用一元非线性回归技术，来作出模拟
并用于预测。
n
设实际值为（xi,yi）,为i1 方便多项式次数测定，
数据选取xi－xi－1 = ∆x = C，模型模拟值为yˆ i
(xi,yˆ i 就有
)
2
m
= f(x) = a0 + a1x + a2x +……+ amx.
其中 k = 0,1,2,3,……,m
因为ei = yi－yi = yi－ a0－ a1x － ……akxik……amxim
所以有：n ∑(yi－ a0－ a1x1-- ……amxim)(-xik)=
0
n
i 1
得i 1
yi xik
=a0 ∑xik +a1精∑品课件xi(k+1)+……am∑xik+m
显然，这是一个m次多项式，同时假定已知数 据为n组：(xi,yi) i = 1,2,……n.
假定y与x是相关的，对应任意的yi，都有yi
且ei = yyˆii－ 由回归分析，最佳拟合为 Q = ∑ei2 = Q min
利用最小二乘法，对系数求偏导数，有
(Q/ak)’ = 0 →2∑ei(ei)’ak = 0
与延续性原则 ① 决定过去技术发展的因素，很大程度
的也将决定未来的发展，条件是不变的或变化不大的； ② 发展过程属于渐进的，影响过程的规
律不发生突变； ③ 增长曲线即生命周期与生物生长过程