高等数学一习题3.1答案

习题3-1

1. 验证罗尔定理对函数y=ln sin x 在区间上的正确性.

解因为y=ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得y(x)=cot x=0.

由y(x)=cot x=0得.

因此确有, 使y(x)=cot x=0.

2. 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2x-2在区间[0, 1]上的正确性.

解因为y=4x3-5x2x-2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点x(0, 1), 使.

由y(x)=12x2-10x1=0得.

因此确有, 使.

3. 对函数f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性.

解因为f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上连续, 在可导, 且F(x)=1-sin x在内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点, 使得

.

令, 即.

化简得. 易证, 所以在内有解, 即确实存在, 使得

.

4. 试证明对函数y=px2qxr应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间.

证明因为函数y=px2qxr在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点x(a, b), 使得y(b)-y(a)=y(x)(b-a), 即

(pb2qbr)-(pa2qar)=(2pxq)(b-a).

化间上式得

p(b-a)(ba)=2px (b-a),

故.

5. 不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数,说明方程f (x)=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.

解由于f(x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1(1, 2), 使f (x1)=0. 同理存在x2(2, 3), 使f (x2)=0; 存在x 3(3, 4), 使f (x 3)=0. 显然x1,x2,x 3都是方程f (x)=0的根. 注意到方程f (x)=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f (x)=0的全部根.

6. 证明恒等式: (-1x1).

证明设f(x) arcsin xarccos x. 因为

,

所以f (x)C, 其中C是一常数.

因此, 即.

7. 若方程a0xn+a1xn-1+ + an-1x=0有一个正根x0, 证明方程

a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0

必有一个小于x0的正根.

证明设F(x)=a0xn+a1xn-1+ + an-1x, 由于F(x)在[0, x0]上连续, 在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x(0, x0), 使F (x)=0, 即方程

a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + +an-1 =0

必有一个小于x0的正根.

8. 若函数f(x)在(a, b)内具有二阶导数, 且f(x1)=f(x2)=f(x3), 其中ax1x2x3b, 证明:

在(x1, x3)内至少有一点x, 使得f (x)=0.

证明由于f(x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f(x1)=f(x2), 根据罗尔定理, 至少存在一点x1(x1, x2), 使f (x1)=0. 同理存在一点x2(x2, x3), 使f (x2)=0.

又由于f (x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f (x1)=f (x2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x (x1, x2)(x1, x3), 使f (x )=0.

9. 设ab0, n>1, 证明:

nbn-1(a-b)

证明设f(x)=xn, 则f(x)在[b, a]上连续, 在(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(b, a ), 使

f(a)f(b)f (x)(ab), 即an-bn=nx n-1(a-b).

因为nbn-1(a-b)

所以nbn-1(a-b)

10. 设ab0, 证明:

.

证明设f(x)ln x, 则f(x)在区间[b, a]上连续, 在区间(b, a )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(b, a ), 使

f(a)f(b)f (x)(ab), 即.

因为be(x1), 即ex >ex.

12. 证明方程x5x-1=0只有一个正根.

证明设f(x)x5x1, 则f(x)是[0, )内的连续函数

因为f(0)1, f(1)1, f(0)f(1)<0, 所以函数在(0, 1)内至少有一个零点即x5x10至少有一个正根.

假如方程至少有两个正根则由罗尔定理 f (x)存在零点但f (x)5x410, 矛盾这说明方程只能有一个正根

13. 设f(x),g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明在(a, b)内有一点x, 使

.

解设, 则j(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x(a, b), 使j(b)-j(a)=j(x)(b-a),

即.

因此.

14. 证明: 若函数.f(x)在(-, +)内满足关系式f (x)=f(x), 且f(0)=1则f(x)=ex .

证明令, 则在(-, +)内有

,

所以在(-, +)内j(x)为常数.

因此j(x)=j(0)=1, 从而f(x)=ex .

15. 设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n 阶导数, 且f(0)=f (0)= =f (n-1)(0)=0, 试用柯西中值定理证明:

(0q1).

证明根据柯西中值定理

(x1介于0与x之间),

(x2介于0与x1之间),

(x3介于0与x2之间),

依次下去可得