高三数学第二轮复习 不等式选讲

第2讲 不等式选讲

[考情考向分析] 本部分主要考查绝对值不等式的解法．求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围、不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．

热点一 含绝对值不等式的解法

含有绝对值的不等式的解法

(1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a .

(2)|f (x )|0)⇔－a

(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．

例1 (2018·湖南省长郡中学模拟)已知函数f (x )＝|x －a |，其中a >1.

(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≥4－|x －4|的解集；

(2)已知关于x 的不等式|f (2x ＋a )－2f (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，求a 的值．

解 (1)当a ＝2时，f (x )＋|x －4|＝|x －2|＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2

2x －6，x ≥4，

当x ≤2时，由f (x )≥4－|x －4|，

得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；

当2

当x ≥4时，由f (x )≥4－|x －4|，

得2x －6≥4，解得x ≥5.

故不等式的解集为{x |x ≤1或x ≥5}．

(2)令h (x )＝f (2x ＋a )－2f (x )，

则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0

2a ，x ≥a ，

由|h (x )|≤2，

当x ≤0或x ≥a 时，显然不成立．

当0

解得a －12≤x ≤a ＋12

. 又知|h (x )|≤2的解集为{x |1≤x ≤2}，

所以⎩⎨⎧

a －12＝1，a ＋12＝2，于是a ＝3.

思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤

①求零点；②划区间、去绝对值符号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

(2)用图象法、数形结合法可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

跟踪演练1 (2018·河北省衡水金卷模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.

(1)解不等式f (x )≤3；

(2)若函数g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019，若对于任意的x 1∈R ，都存在x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围．

解 (1)依题意，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3x ，x ≤－12，x ＋2，－12

由f (x )≤3，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－12，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ －12

x ≥1，3x ≤3， 解得－1≤x ≤1.

即不等式f (x )≤3的解集为{}x |－1≤x ≤1.

(2)由(1)知，f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝32

， g (x )＝||2x －2 018－a ＋||2x －2 019

≥||2x －2 018－a －2x ＋2 019＝|a －1|，

则|a －1|≤32

， 解得－12≤a ≤52

， 即实数a 的取值范围为⎣⎡⎦

⎤－12，52.

热点二 绝对值不等式恒成立(存在)问题

定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立．

定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立．

例2 设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －a |(a >0)．

(1)当a ＝2时，求不等式f (x )>8的解集；

(2)若∃x ∈R ，使得f (x )≤32

成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝2时，由f (x )>8，

得|2x ＋1|＋|x －2|>8，

即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，3x －1>8或⎩⎪⎨⎪⎧ －12

8或⎩⎪⎨⎪⎧

x ≤－12，－3x ＋1>8， 得x >3或x ∈∅或x <－73

， 所以x >3或x <－73

， 所以原不等式的解集为⎝

⎛⎭⎫－∞，－73∪(3，＋∞)． (2)因为∃x ∈R ，使得f (x )≤32

成立， 所以f (x )min ≤32

. 因为f (x )＝⎩⎪⎨

⎪⎧ 3x ＋1－a ，x ≥a ，x ＋a ＋1，－12

， 所以f (x )在⎝

⎛⎭⎫－∞，－12上单调递减， 在⎝⎛⎭

⎫－12，＋∞上单调递增， 所以f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝12

＋a ， 所以12＋a ≤32，所以a ≤1. 又a >0，所以实数a 的取值范围是(]0，1.

思维升华 绝对值不等式的成立问题的求解策略

(1)分离参数：根据不等式将参数分离化为a ≥f (x )或a ≤f (x )的形式．