概率论复习资料之大题(doc 6页)
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可能不是原题，尽量理解 例1.20
20.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲，现随机地挑选一人，此人恰为色盲，问此人
是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.
【解】 设A ={此人是男人}，B ={此人是色盲}，则由贝叶斯公式
()()()
()()()()()()
P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A ==
+ 0.50.0520
0.50.050.50.002521
⨯=
=
⨯+⨯ 26. 将两信息分别编码为A 和B 传递出来，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为0.02，而
B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与B 传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ，试问原发信息是A 的概率是多少？
【解】 设A ={原发信息是A }，则={原发信息是B }
C ={收到信息是A }，则={收到信息是B } 由贝叶斯公式，得
()()
()()()()()
P A P C A P A C P A P C A P A P C A =
+
2/30.98
0.994922/30.981/30.01
⨯=
=⨯+⨯
28.某工厂生产的产品中96%是合格品，检查产品时，一个合格品被误认为是次品的概率
为0.02，一个次品被误认为是合格品的概率为0.05，求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.
【解】 设A ={产品确为合格品}，B ={产品被认为是合格品}
由贝叶斯公式得
()()()
()()()()()()
P A P B A P AB P A B P B P A P B A P A P B A =
=
+ 0.960.98
0.9980.960.980.040.05
⨯==⨯+⨯
34.
甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率. 【解】设A ={飞机被击落}，B i ={恰有i 人击中飞机}，i =0,1,2,3
由全概率公式，得
3
()(|)()i i i P A P A B P B ==∑
=(0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7)0.2+
(0.4×0.5×0.3+0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7)0.6+0.4×0.5×0.7 =0.458
例2.9；2.10
24.设随机变量X 分布函数为
F （x ）=e ,0,
(0),00.xt A B x ,
x λ-⎧+≥>⎨<⎩
（1） 求常数A ，B ；
（2） 求P {X ≤2}，P {X ＞3}； （3） 求分布密度f （x ）.
【解】（1）由00lim ()1lim ()lim ()x x x F x F x F x →+∞
→+
→-=⎧⎪⎨=⎪⎩得11A B =⎧⎨=-⎩
（2） 2(2)(2)1e
P X F λ
-≤==-
33(3)1(3)1(1e
)e P X F λ
λ-->=-=--=
(3) e ,0
()()0,
0x x f x F x x λλ-⎧≥'==⎨<⎩
25.设随机变量X 的概率密度为
f （x ）=⎪⎩
⎪
⎨⎧<≤-<≤.
,0,21,
2,10,其他x x x x 求X 的分布函数F （x ），并画出f （x ）及F （x ）.
【解】当x <0时F （x ）=0
当0≤x <1时0
()()d ()d ()d x
x
F x f t t f t t f t t -∞
-∞
=
=+⎰
⎰
⎰
2
0d 2
x
x t t ==⎰
当1≤x<2时()()d x
F x f t t -∞
=
⎰
1
1
1
1
22
()d ()d ()d d (2)d 13222221
2
x x f t t f t t f t t
t t t t
x x x x -∞==+=+-=+--=-+-⎰
⎰⎰⎰⎰
当x ≥2时()()d 1x
F x f t t -∞
=
=⎰
故
2
2
0,0 ,
01
2
()
21,12
2
1,2
x
x
x
F x
x
x x
x
<
⎧
⎪
⎪≤<
⎪
=⎨
⎪-+-≤<
⎪
⎪≥
⎩
8.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
4.8(2),01,0,
0,.
y x x y x
-≤≤≤≤
⎧
⎨
⎩其他求边缘概率密度.
【解】()(,)d
X
f x f x y y
+∞
-∞
=⎰
x
2
4.8(2)d 2.4(2),01,
=
0,.
0,
y x y x x x
⎧⎧
--≤≤
⎪
=
⎨⎨
⎩
⎪⎩
⎰
其他
()(,)d
Y
f y f x y x
+∞
-∞
=⎰
1
2
y
4.8(2)d 2.4(34),01,
=
0,.
0,
y x x y y y y
⎧-⎧-+≤≤
⎪
=
⎨⎨
⎩
⎪⎩
⎰
其他
题8图题9图
9.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
⎩
⎨
⎧<
<
-
.
,0
,
,
其他
e y
x
y
求边缘概率密度.
【解】()(,)d
X
f x f x y y
+∞
-∞
=⎰
e d e,0,
=
0,.
0,
y x
x
y x
+∞-
-
⎧⎧>
⎪
=
⎨⎨
⎩
⎪⎩
⎰
其他
()(,)d
Y
f y f x y x
+∞
-∞
=⎰