三角函数的应用导学案
三角函数应用-坡角、坡度 导学案
三角函数的应用导学案一、引入2．如图，水坝的横截面是梯形ABCD（DC∥AB），迎水坡BC的坡角α为30°，背水坡AD 的坡度i为1：1.2，坝顶宽DC＝2.5米，坝高5米．求：（1）坝底宽AB的长（结果保留根号）；（2）在上题中，为了提高堤坝的防洪能力，市防汛指挥部决定加固堤坝，要求坝顶CD 加宽0.5米，背水坡AD的坡度改为1：1.4，求横截面增加的面积．（结果保留根号）3．如图，水库大坝的横断面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角为30，背水坡AD的坡度为1：1.2，坝顶宽DC为2.5米，坝高CF为4.5米．求：（1）坝底AB的长；（2）坡BC的长；（3）迎水坡BC的坡度．4．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB的坡度为1：，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米．（1）真空管上端B到水平线AD的距离．（2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈0.4）5．如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡面AB的坡度为1：，坡面BC的坡度为1：1．（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF．（≈1.414，≈1.732）6．如图所示，已知BC是水平面，AB、AD、CD是斜坡．AB的坡角为42°，坡长为200米，AD的坡角为60°，坡长为100米，CD的坡比i＝1：2．（1）求坡顶A到水平面BC 的距离；（2）求斜坡CD的长度．（结果精确到1米，参考数据：sin42°≈0.70，≈1.73）7．如图，为了测量陶行知纪念馆AB的高度，小李在点C处放置了高度为1.5米的测角仪CD，测得纪念馆顶端A点的仰角∠ADE＝51°，然后他沿着坡度i＝1：2.4的斜坡CF走了6.5米到达点F，再沿水平方向走4米就到达了纪念馆底端点B．（结果精确到0.1，参考数据：sin51°≈0.78，cos51°≈0.63，tan51°≈1.23）（1）求点D到纪念馆AB的水平距离；（2）求纪念馆AB的高度约为多少米？8．小林从点A出发，沿着坡角为α的斜坡向上走了65米到达点B，且sinα＝．然后又沿着坡度i＝1：3的斜坡向上走了50米达到点C．（1）小明从A点到B点上升的竖直高度是多少米？（2）小明从A点到C点上升的高度CD是多少米？（结果保留根号）9．为了提升某片区网络信号，在坡度为i＝1：2.4的山坡上加装了信号塔PQ（如图所示），信号塔底端Q到坡底A的距离为5.2米．同时为了提醒市民，在距离斜坡底A点4.2米的水平地面上立了一块警示牌MN．当太阳光线与水平线成53°角时，测得信号塔PQ落在警示牌上的影子EN长为4米，求信号塔PQ的高．（结果精确到十分位，参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.3，i＝1：2.4＝5：12）10．如图，某数学研究小组测量山体AC的高度，在点B处测得山体A的仰角为45°，沿BC方向前行20m至点D处，斜坡DE的坡度为1：2，在观景台E处测得山顶A的仰角为58°，且点E到水平地面BC的垂直距离EF为10m．点B，D，C在一条直线上，AB，AE，AC在同一竖直平面内．（1）求斜坡DE的水平宽度DF的长；（2）求山体AC的高度．（结果精确到1m．参考数据sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，）11．如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝10米，AE＝21米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE的高度；（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米）12．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，求建筑物BC的高度．（参考数据：≈1.732）13．如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，李明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，≈1.414，≈1.732，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求点B距水平地面AE 的高度；（2）求广告牌CD的高度．。
三角函数的应用
龙文教育学科导学案教师:学生:日期: 12.1 星期:六时段: 15:00--17:00 课题三角函数的应用学习目标与考点分析1、了解测量中坡度、坡角的概念；2、掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题，学生把实际问题转化为数学问题的能力。
3、比较熟练的应用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角、方位角有关的实际问题；4、培养学生把实际问题转化为数学问题的能力。
学习重点重点：解直角三角形在测量方面的应用；难点：选用恰当的直角三角形，解题思路分析。
学习方法探究法、分析、对比、归纳总结学习内容与过程回顾所学，强化旧知1、若∠A是锐角，则＜sinA＜，＜cosA＜ ;正弦、正切值是随着角度的增大而，余弦是随着角度的增大而．2、总结的公式：3、坡度（坡比）：方位角：仰角：俯角：命题预测：本专题内容主要涉及两方面，一是锐角三角函数问题的基本运算，二是解直角三角形．其中，解直角三角形的应用题是中考重点考查的内容，题型广泛，有测建筑物高度的，有与航海有关的问题，有与筑路、修堤有关的问题．要注意把具体问题转化为数学模型，在计算时不能直接算出某些量时，要通过列方程的办法加以解决．师生互动，夯实基础例1、已知∠A 为锐角，且A cos ≤0.5，那么（ ） A ．0°＜∠A ≤60° B ．60°≤∠A ＜90° C ．0°＜∠A ≤30° D ．30°≤∠A ＜90° 例2、在△ABC 中，∠A 为锐角，已知 cos(90°－A ）=32，sin(90°－B ）=32，则△ABC 一定是（ ）A ．锐角三角形；B ．直角三角形；C ．钝角三角形；D ．等腰三角形例3、如图，在□ABCD 中，AB: AD = 3:2， ∠ADB=60°，那么cos Ａ的值等于（ ）Ａ．366- Ｂ．3226+ Ｃ．366± Ｄ．3226±例4、“曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。
职高第五章三角函数导学案
5.1.1任意角的概念教学目标：（1）引导学生用运动变化的观点了解角的概念的推广（2）明白“任意角”、“象限角”的概念教学重点：“任意角”、“象限角”的概念教学难点：“象限角”的判断预习案：一、复习：问题1：回忆初中我们是如何定义一个角的？______________________________________________________所学的角的范围是什么？______________________________________________________问题2：在体操、跳水中，有“转体0720”这样的动作名词，这里的“0720”，怎么刻画？______________________________________________________二、新知：1．角的概念角可以看成平面内一条______绕着它的_____从一个位置_____到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的________，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的______和______。
2．角的分类按__________方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做_________。
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个_________，它的______和_______重合。
这样，我们就把角的概念推广到了_______，包括_______、________和________。
3、角的表示（1）常用字母A 、B 、C 等表示（2）用字母αβγϕθ、、、、等表示（3）当角作变量时可用字母x 表示4．象限角、轴线角（非象限角）的概念我们常在 直角坐标系 内讨论角。
为了讨论问题的方便，使角的________与__________重合，角的___________与_______________________重合。
那么，角的_________(除端点外)落在第几象限，我们就说这个角是__________________。
任意角的三角函数导学案
课题：3.2.1 任意角的三角函数（第一课时）1. 掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2. 理解任意角的三角函数不同的定义方法；3. 已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.二教学重难点：重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义。
难点: 任意角的三角函数不同的定义方法；已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值.三复习回顾：复习1：（1）坐标轴上；（2）第二、四象限.复习2：锐角的三角函数如何定义在初中，我们如果要求一个锐角的三角函数值，经常把这个角放到一个直角三角形中求其比值，从而得到锐角三角函数的值。
那么，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标更方便的去求一个锐角的三角函数值吗我们可以采用以下方法：如图，设锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，那么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b，它与原点的距离0r>. 过P作x轴的垂线，垂足为M，则线段OM的长度为a，线段MP的长度为b.可得：xsin MP b OP r α==；cos α= = ，tan MPOMα== .四、新课学习：知识点1：三角函数的定义认真阅读教材P 11-P 12，领会下面的内容：由相似三角形的知识，对于确定的角α，这三个比值不会 随点P 在α的终边上的位置的改变而改变，因此我们 可以将点P 取在使线段OP 的长为r=1的特殊位置上， 这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标 表示的锐角三角函数的值为：sin MP OP α==_____；cos OM OP α==_____；tan MPOMα==___ 问题：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示. 那么，角的概念推广以后，我们应该如何得到任意角的三角函数呢 显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1，然后就可以类似锐角三角函数求值的方法得到该角的三角函数值.注：单位圆：在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆为单位圆.上述的点P 就是α的终边与单位圆的交点，这样锐角三角函数就可以用单位圆上的点的坐标表示。
正弦定理和余弦定理及应用(导学案)
课题：正弦定理和余弦定理及应用（导学案）学习目标：1、熟练掌握正弦定理及其变式的结构特征和作用2、探究三角形的面积公式3、能根据条件判断三角形的形状4.能根据条件判断某些三角形解的个数学法指导1.利用正弦定理可以将三角形中的边角关系互化，同时要注意互补角的正弦值相等这一关系的应用；2.利用正弦定理判定三角形形状，常运用变形形式，结合三角函数有关公式，得出角的大小或边的关系。
知识点梳理已知在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 的对边。
则：1.正弦定理：____________________===_______（ ）2.正弦定理的几个变形(1)a =________ ,b=_________ ,c=_________(2)sinA=_______, sinB=________ , sinC=_______(3)a:b:c =____________________.3、余弦定理222____________________________________________________________________________________a b c ===推论：cos ____________________________cos ____________________________cos ____________________________A B C === 4.在解三角形时，常用的结论 （1）在ABC ∆中，A>B ⇔______（大边对大角，大角对大边）( 2 ) A+B+C= ；sin sin()C A B =+； cos cos()C A B =-+（3）三角形的面积公式：=∆ABC S=∆ABC S基础练习：1、在ABC ∆中，ο45=A ，ο60=B ，4=b ，求a . 2、已知ο30=A ，4=a ，5=b ，则=B sin .3、已知8=b ，3=c ，ο60=A ，则=a .4、已知5=a ，13=b ，12=c ，求角B .5、在ABC ∆中，1=AB ，4=BC ，ο30=B ，则ABC ∆的面积等于 . 归纳：课堂探究题型一：探究三角形中的边角运算例1 在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο45=B ，求角A .变式：1、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο30=A ，求角B .2、在ABC ∆中，已知4=a ，24=b ，ο150=A ，求角B .题型二：探究三角形的面积求解例2 在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若角A 、B 、C 依次成等差数列，且1=a ，3=b ，求ABC S ∆.变式：在ABC ∆中，ο120=A ，5=AB ，7=BC ，求ABC ∆的面积.题型三：探究三角形的形状判断例3 在ABC ∆中，已知A b B a cos cos =，判断ABC ∆的形状.变式：1、已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 成等差数列，而A 、B 、C 三内角的对边a 、b 、c 成等比数列，判断ABC ∆的形状.反思总结高考真题体验：在ABC ∆中，B ∠，C ∠的对边分别为b ，c ，且ο45=∠B ，2=b ，3=c .（1）求C ∠；（2）求ABC S ∆.课后巩固1、 在ABC ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆的外接圆的周长为________ 2、在ABC ∆中,______,cos cos 的形状为则ABC BC b c ∆= 3、ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一定是_______4、在ABC ∆中，7:5:3sin :sin :sin =C B A ，那么这个三角形的最大角是_____5、已知三角形一个内角为ο60，周长为20，面积为310，求三角形的三边长。
1.6 三角函数模型的简单应用(导学案)---涂序星
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）说明 的图象是由 的图象经过怎样的变换得到?
二、应用举例二
例2画出函数y＝|sinx|的图象并观察其周期.
解：
变式练习3、画出函数y＝|cosx|的图象并讨论其函数性质
三、简单的三角方程（不定式）
例题3根据下列条件，求 内的角
； ；
变式练习4、课本P65页习题1.6 A组第1、2题
(3)若某船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2:00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？
变式练习5．一半径为3m的水轮如右图所示,水轮圆心O距离水面2m,已知水轮每分钟转动4圈,如果当水轮上P点从水中浮现时(图中P0)点开始计算时间.
(1)求P点相对于水面的高度h(m)与时间t(s)之间的函数关系式;
(2) P点第一次达到最高点约要多长时间?
【教或学反思】（本节课学了什么、学习中出现的问题，得到的启示等）
（教师“复备”栏或学生笔记栏）
：
y＝Asin(x＋)＋b
(1)求这一天6~14时的最大温差；
(2)写出这段曲线的函数解析式。
小结：怎样求解析式y＝Asin(x＋)＋b中的参数：
； ； ；
变式练习1、如图3-4-7所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线近似满足函数 ．
（1）求这一天的最大用电量及最小用电量；
（2）写出这段曲线的函数解析式．
5.0
21:00
2.5
6:00
5.0
15:00
7.5
24:00
5.0
(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并给出整点时的水深的近似数值(精确到0.001).
5.7 三角函数的应用
返回导航
(1)游客甲从最低点Q坐上摩天轮的座舱，转动t min后距离地面的高
度为H m，求在转动过程中，H关于t的函数解析式；
解析：以摩天轮中心O为原点，与地面平行的直线为x轴，建立直角坐标系．
2π
12
π
6
由题意得摩天轮的角速度ω＝ ＝ rad/min，
1
解析：∵周期T＝2×[
180
−
1
−
900
1
2π
]＝ ，∴ω＝ ＝150π，
75
T
又A＝300，∴I(t)＝300sin (150πt＋φ)，
1
将点(－ ，0)代入上式得sin
900
π
2
π
6
π
(φ－ )＝0，
6
π
6
又∵|φ|< ，∴φ－ ＝0，φ＝ ，
∴I(t)＝300sin
π
(150πt＋ )．
6
所以该商场的中央空调应在一天内开启时长为8小时．
返回导航
学习目标三
三角函数模型的拟合
例3 某“帆板”集训队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪
高度y(米)随着时间t(0≤t≤24，单位：小时)而周期性变化．每天各时
刻t的浪高数据的平均值如下表：
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.4 1.0
5π
4
π
2
3π
4
所以 ＋φ＝ ＋2kπ，k∈Z，即φ＝－ ＋2kπ，k∈Z，
三角函数 导学案
直角三角形边角关系导学案一、定义二、典型例题例1、如图，在Rt△ABC中，若tan A＝，AB＝10，则△ABC的面积为（）1题2题1、如图，在平面直角坐标系中，第一象限内的点P在射线OA上，OP＝13，cosα＝，则点P的坐标2、如图，D为平面直角坐标系内一点，OD与x轴构成∠1，那么tan∠1＝（）3、如图，在平面直角坐标系xOy中，AB＝2，连结AB并延长至C，连结OC，若满足OC2＝BC•AC，tanα＝3，则点C的坐标为（）3题4题5题4、如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若∠BCD＝30°，则sin∠A＝．5、如图，在△ABC中，∠B＝30°，tan C＝，AD⊥BC于点D．若AD＝4，求BC的长．6、如图，△ABC的顶点B，C的坐标分别是（1，0），（0，），且∠ABC＝90°，∠A＝30°，求点A的坐标．6题7题7、已知△ABC中，∠C=90°，tan A=12，D是AC上一点，∠CBD=∠A，则cos∠CDB的值为（）8、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝，则AC的长为（）A．B．3C．D．23．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，，则AC的长是（）A．B．3C．D．例2、△ABC中∠C＝90°，若AB＝2，∠A＝α，则AC的长为（）A．2sinαB．2cosαC．D．1、．Rt△ABC的边长都扩大2倍，则sin A的值（）A．不变B．变大C．变小D．无法判断18．如果将Rt△ABC各边的长度都扩大到原来的2倍，那么锐角∠A的正切值（）A．扩大到原来的2倍B．扩大到原来的4倍C．没有变化D．缩小到原来的一半19．把△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍，则锐角A的余弦值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的3倍D．无法确定20．将Rt△ABC的各边长都缩小到原来的，则锐角A的正切值（）A．不变B．缩小为原来的C．扩大为原来的2倍D．缩小为原来的5．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC的长是（）A．a•tanαB．a•cotαC．D．6．在Rt△ABC中，∠B＝90°，如果∠A＝α，BC＝α．那么AC的长是（）A．α•tanαB．α•tanαα•cotαC．D．例3、如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tan A＝，则CD的值为（）1、如图，在△ABC中，sin B＝，tan C＝，AB＝4，则AC的长为．1题2题2、如图，在△ABC中，∠A＝45°，tan B＝，BC＝10，则AB的长为．3、在△ABC中，∠B＝120°，AB＝4，BC＝2，求AC的长．3题例3、如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为（）42题2、如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）1．如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan B的值为（）A．B．C．D．11题4题7题4．如图，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan∠ABC的值为（）A．B．1C．D．7．如图所示，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在交点处，则∠ABC的正弦值为（）A．B．C．D．8．如图，点A、B、O都在格点上，则∠AOB的正弦值是（）B．C．D．A．8题9题10题9．如图，点A，B，C在正方形网格的格点处，sin∠ABC等于（）A．B．C．D．10．如图，在网格图形中，点A、O、B均在格点上，则tan∠AOB的值为（）A．B．2C．D．11．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则sin∠BOD的值是（）B．C．D．A．11题12题14题15题12．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则sinα的值是（）A．B．C．D．14．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos A的值是（）A．B．C．D．15．如图所示，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，则tan A的值为（）A．B．C．2D．216．如图，点A、B、C均在边长为1的正方形网格的格点上，则sin∠BAC的值为（）B．1C．D．A．B．16题17题22题17．如图，网格中小正方形的边长均为1，△ABC的顶点都在格点上，则cos∠BAC等于（）A．B．C．D．22．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点P，则sin∠APC的值为（）A．B．C．D．23．如图，在正方形方格纸中，每个小的四边形都是相同的正方形，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于点O，则tan∠BOD的值是（）B．C．D．A．B．22题23题25题24．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，则sin∠ABC的值为（）A．B．2C．D．25．如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B，C在格点上，则∠A 正切值是（）27．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为（）A．B．C．D．128．如图在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是（）A．B．C．D．529．如图，点A、B、C都在边长为1的正方形格点上，连接AB、BC，则cos∠ABC的值为（）A．B．C．D．1特殊角三角函数导学案一、推导30O 45O60OSinCostan二、典型例题例1、．在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（）1、已知α为锐角，且2cos（α+10°）＝，则α等于2、王明同学遇到了这样一道题，，则锐角α的度数为3、已知，α+45°为锐角，则α＝．4、△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若cos A＝，tan B＝1，则∠C＝．5、若sin（x﹣20°）＝，则x＝．例2、在△ABC中，若|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，且∠A、∠B为锐角，则∠C的度数是．7．在△ABC中，若，则∠C＝．8．在△ABC中，∠A、∠B为锐角，且|sin A﹣|+（﹣3tan B）2＝0，则∠C＝度．9．若（3tan A﹣）2+|2sin B﹣|＝0，则以∠A、∠B为内角的△ABC的形状是．10、在△ABC中，若，则∠C的度数为．例3、计算：2cos45°+2sin60°﹣tan60°．2sin30°﹣tan45°+cos230°．sin30°﹣tan30°•tan60°+cos245°．2cos60°+2sin30°+3tan45°．sin30°+|sin60°﹣1|﹣（﹣1）2021 2cos45°+（π﹣3.14）0+|1﹣|+（）﹣1 （﹣1）0+（）﹣2+|﹣2|+tan60°|1﹣|+（2022﹣π）0+（﹣）﹣2﹣tan60°﹣4sin30°+|﹣2| |﹣3|﹣2tan45°+（﹣1）2022﹣（﹣π）0（）﹣1﹣+3tan30°+|﹣2|2cos60°﹣（﹣）﹣2+|2﹣|﹣（π﹣2020）0．﹣（2021﹣π）0+|5﹣|﹣tan60°．2cos30°﹣（﹣3）﹣2+（π﹣）0﹣tan60°．sin45°﹣|2﹣|+（π﹣1）0+（﹣）﹣1．（﹣2）﹣2+3tan30°﹣|﹣2|+（π﹣2022）0．。
1.3.4三角函数应用(2015年人教A版数学必修四导学案)
y A sin x b
1.这一天 6～14 时的最大温差是多少？ 2.函数式中 A、b 的值分别是多少？ 3.写出这段曲线的函数解析式.
y
30 20
课题：
1.3.4 三角函数应用
班级：
姓名： 备 注
一：学习目标
1. 会用三角函数解决一些简单的问题， 体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型。 2. 观察函数图像，学会用待定系数法求解析式，能够将所发现的规律抽象 为恰当的三角函数模型。
二：课前预习
1．如果某种变化着的现象具有 角函数来描述。 2 ． y A sin(x ) 是 ，初相是 （性质） ，那么它就可以借助三
y A sin x b
1.这一天 6～14 时的最大温差是多少？ 2.函数式中 A、b 的值分别是多少？ 3.写出这段曲线的函数解析式.
y
30 20
10
O
6
10
14
x
例 2. 1、如图，点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物 体位移的正方向，若已知振幅为 3cm ，周期为 3s ，且物体向右运动到距平 衡位置最远处时开始计时。 （1）求物体对平衡位置的位移 x(cm) 和时间 t ( s ) 的函数关系； （2）求该物体在 t 5s 时的位置。 O
2、一根长 lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，
离 开 平 衡 位 置 的 位 移 s(cm) 和 时 间 t ( s ) 的 函 数 关 系 式 是
g t ),t [0,) 。 l 3 （1）求小球摆动的周期； （2）已知 g 980cm / s 2 ，要使小球摆动的周期是 1s ，线的长度应 当是多少？ （精确到 0.1cm ， 取 3.14 ） s 3 cos(
导学案019函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用教学目标：1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义，能画出函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对函数图象变化的影响．2.会用三角函数解决一些简单实际问题.教学重点：1.“五点法”作图及图象的变换是考查的重点．2.结合三角恒等变换考查y＝A sin(ωx＋φ)的性质及简单应用是考查的热点．教学过程：基础梳理二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图.三、函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤法一法二双基自测：1．函数y＝sinx2的图象的一条对称轴的方程是()A．x＝0B．x＝π2C．x＝π D．x＝2π2．(教材习题改编)已知简谐运动f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π3x＋φ(|φ|<π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π33．将函数y＝sin x的图象向左平移φ(0≤φ＜2π)个单位后，得到函数y＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x－π6的图象，则φ等于()A.π6 B.11π6 C.7π6 D.5π64．(教材习题改编)y＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4的振幅为________，频率和初相分别为________、________. 5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.关键点点拨： 31、确定 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0，|φ|<π)中的参数方法在由图象求解析式时，若最大值为M ，最小值为m ，则A ＝ M －m 2，k ＝M ＋m 2，ω由周期T 确定，即由2πω＝T 求出，φ由特殊点确定． 2．平移变换中的平移量从y ＝sin ωx (ω>0)到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的变换中平移量为|φ|ω(φ>0时，向左；φ<0时，向右)而不是|φ|.平移的距离是针对x 的变化量而言的．典例分析考点一：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像[例1] (2010·四川高考)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是 ( )A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π10B ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π5 C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π20[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)1．(2012·湖州模拟)要得到函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象，只需将函数y ＝cos 2x 的图象 ( ) A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π12个单位 C ．向左平移π6个单位D ．向左平移π12个单位2．(2011·北京西城区期末)函数f (x )＝sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象 ( ) A ．关于原点对称 B ．关于y 轴对称C ．关于点(－π8，0)对称D ．关于直线x ＝3π8对称3．(2012·徐州模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)画出函数y ＝f (x )在区间[0，π]上的图象．反思总结：1．用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式；②求出周期T ＝2πω；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．2．图象变换法 (1)平移变换①沿x 轴平移，按“左加右减”法则； ②沿y 轴平移，按“上加下减”法则． (2)伸缩变换①沿x 轴伸缩时，横坐标x 伸长(0＜ω＜1)或缩短(ω＞1)为原来的1ω倍(纵坐标y 不变)； ②沿y 轴伸缩时，纵坐标y 伸长(A ＞1)或缩短(0＜A ＜1)为原来的A 倍(横坐标x 不变). 考点二：三角函数图像的对称性[例2] (2010·福建高考)已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________________．[巧练模拟]———————(课堂突破保分题，分分必保！)4．(2011·安徽“江南十校”联考)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的最大值是 ( ) A.223 B.233 C.43 D.263反思总结：(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)解出；它还有无穷多个对称中心，它们是图象 与x 轴的交点，可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z)，解得x ＝k π－φω(k ∈ Z)，即其对称中心为(k π－φω，0)(k ∈Z)．(2)相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的距离也为T2. 考点三：求三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)解析式[例3] (2011·江苏高考)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f (0)的值是________．若本例函数图象变为如图所示，试求f (0)．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)5．(2012·南京模拟)已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图，则 f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.6．(2012·北京东城区期末)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求f (x )的最小正周期及解析式； (2)设g (x )＝f (x )－cos 2x求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值 ．[冲关锦囊]根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：(1)A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；(2)k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最高点＋最低点2；(3)ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；(4)φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.考点四：函数的y ＝A sin(ωx ＋φ)图像和性质的综合应用 [例4] (2011·重庆高考改编)设函数f (x )＝sin x cos x －3cos(x ＋π)cos x (x ∈R)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，再向上平移32个单位，平移后得到函数y ＝g (x )的图象，求y ＝g (x )在[0，π4]上的最大值．[巧练模拟]—————(课堂突破保分题，分分必保！)7．(2012· 绍兴模拟)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ， x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2.y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )． (1)求f (x )的最小正周期及φ的值； (2)若点R的坐标为(1,0)，∠PRQ＝2π3，求A的值．[冲关锦囊]认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题的关键．此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析式，再来研究其性质，因此对三角恒等变换的公式应熟练掌握．第一步：化成统一形式将函数f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式；第二步：求f (x )的最小正周期利用公式T ＝2π|ω|求f (x )的最小正周期；第三步：求g (x )的解析式利用代入法求g (x )的解析式并化为A cos(ωx ＋φ)的形式； 第四步：求g(x )的最值利用三角函数的单调性求g(x)的最大值．特别提醒：在具体问题中，我们面对的往往不是简单的正弦函数、余弦函数而是需要变形处理的三角函数，这些三角函数式大都可以转化成形如y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的函数加以解决；化简时，主要应用三角恒等变换知识进行等价变形，然后根据函数y ＝Asin(ωx ＋φ)＋k 的有关性质解题．一、选择题1．将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫0<φ<π2的图象，则φ＝( ) A.π3 B.π4 C.π6D.π122．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称 D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称3．为把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，这时对应于这个图象的解析式( )A ．y ＝cos 2xB ．y ＝－sin 2xC ．y ＝sin(2x －π4)D ．y ＝sin(2x ＋π4)4．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是图象与x 轴的交点，若PM ·PN＝0，则ω＝( )A ．8 B.π8 C.π4 D ．45．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωt ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安二、填空题6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝________.7．给出下列六种图象变换方法：(1)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的12；(2)图象上所有点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍； (3)图象向右平移π3个单位； (4)图象向左平移π3个单位；(5)图象向右平移2π3个单位； (6)图象向左平移2π3个单位．请用上述变换中的两种变换，将函数y ＝sin x 的图象变换到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π3的图象，那么这两种变换正确的标号是________(要求按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可)．三、解答题8．(2012·苏州模拟)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋n 的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，若A >0，ω>0,0<φ<π2，求函数的解析式．9．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4， (1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎么样的变化得到的； (3)求此函数的振幅、周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心． 解：(1)列表：描点、连线，如图所示：(2)“先平移，后伸缩”．先把y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π4个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象；再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象，最后将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4的图象．(3)周期T ＝2πω＝2π12＝4π，振幅A ＝3，初相是－π4.(4)令12x －π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得x ＝2k π＋32π(k ∈Z)，此为对称轴方程．令12x －π4＝k π(k ∈Z)，得x ＝π2＋2k π(k ∈Z)． 对称中心为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，0(k ∈Z)． 10．(2012·南通一模)如图，某市准备在道路EF 的一侧修建一条运动比赛道，赛道的前一部分为曲线段FBC ，该曲线段是函数y ＝A sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋2π3(A >0，ω>0)，x ∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B (－1,2)．赛道的中间部分为长3千米的直线跑道CD ，且CD ∥EF ，赛道的后一部分是以O 为圆心的一段圆弧 DE. (1)求ω的值和∠DOE 的大小；(2)若要在圆弧赛道所对应的扇形ODE 区域内建一个“矩形草坪”，矩形的一边在道路EF 上，一个顶点在半径OD 上，另外一个顶点P 在圆弧 DE上，且∠POE ＝θ，求当“矩形草坪”的面积取最大值时θ的值．解：(1)由条件，得A ＝2，T4＝3.∵T ＝2πω，∴ω＝π6.∴曲线段FBC 的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋2π3. 当x ＝0时，y ＝OC ＝ 3.又CD ＝3，∴∠COD ＝π4，即∠DOE ＝π4.(2)由(1)，可知OD ＝ 6.又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点P 在 DE上， 故OP ＝ 6.设∠POE ＝θ，0<θ≤π4，“矩形草坪”的面积为S ＝6sin θ(6cos θ－6sin θ)＝6(sin θcos θ－sin 2θ) ＝6⎝⎛⎭⎫12sin 2θ＋12cos 2θ－12 ＝32sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π4－3. ∵0<θ≤π4，故当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，S 取得最大值．。
《三角函数的应用》教学设计、导学案、同步练习
第五章三角函数《5.7三角函数的应用》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》5.7节三角函数的应用,在于加强用三角函数模型刻画周期变化现象的学习.本节教材通过例题,循序渐进地介绍三角函数模型的应用,在素材的选择上注意了广泛性、真实性和新颖性,同时又关注到三角函数性质(特别是周期性)的应用.培养他们综合应用数学和其他学科的知识解决问题的能力.培养学生的建模、分析问题、数形结合、抽象概括等能力.发展学生数学建模、数据分析、数学直观、数学抽象、逻辑推理的核心素养。
【教学目标与核心素养】【教学重难点】教学重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.教学难点:将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.【教学过程】请你查阅资料，了解振子的运动原理．由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为因此A＝20；振子振动的周期为0.6ｓ，即2π=0.6解得ω＝ω再由初始状态（t＝０）振子的位移为-20，可得sinφπ由交变电流的产生原理可知，电流i随时间t的变化规律可=Asin（ωt+φ）来刻画，其中ω2π表示频率，A表示振幅，φ表示初相．由图5.7.2(2)可知，电流最大值为５Ａ，因此A＝５；电型问题的分析解决，发展学生数学建模、逻辑推理，直A．该质点的运动周期为0.7sB．该质点的振幅为5cmC．该质点在0.1s和0.5s时运动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时运动速度为零【解析】由题图可知，该质点的振幅为5cm.【答案】 B2．与图中曲线对应的函数解析式是( )A．y＝|sin x| B．y＝sin|x|C．y＝－sin|x|D．y＝－|sin x|【解析】注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A，D.当x∈(0，π)时，sin|x|>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B，故选C.【答案】 C3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin t2(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( ) A．[0,5]B．[5,10]C．[10,15]D．[15,20]【解析】当10≤t≤15时，有32π<5≤t2≤152<52π，此时F(t)＝50＋4sin t2是增函数，即车流量在增加．故应选C.【答案】 C4．在电流强度I与时间t的关系I＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使t在任意1100秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值．【解】由题意得：T≤1100，即2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629.5.某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：t(h)03691215182124y(m)10.013.09.97.10.013.010.17.10.0根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝A sinωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出y＝A sinωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?【解】(1)从拟合曲线可知：函数y＝A sinωt＋b在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数《5.7 三角函数的应用》导学案【学习目标】1．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，并会用三角函数模型解决一些简单的实际问题．2．实际问题抽象为三角函数模型． 【重点难点】重点：分析、整理、利用信息,从实际问题中抽取基本的数学关系来建立三角函数模型,用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.难点：将某些实际问题抽象为三角函数的模型,并调动相关学科的知识来解决问题.【知识梳理】1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、|sin |y x 是以____________为周期的波浪型曲线. 【学习过程】 提出问题现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复特点的周期运动变化现象，如果某种变化着的现象具有周期性，那么就可以考虑借助三角函数来描述．本节通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．典例解析问题１ 某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振动的过程中，时间t （单位:s ）与位移y （单位:mm ）之间的对应数据如表5.7.1所示．试根据这些数据确定这个振子的位移关于时间的函数解析式．请你查阅资料，了解振子的运动原理．归纳总结现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的振动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的直角坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin （ωx+φ ）,x ∈［０，＋∞）表示，其中A ＞０， ω ＞０．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：A 就是这个简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；这个简谐运动的周期是T ＝2πω，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；这个简谐运动的频率由公式f =1T ＝ω2π给出，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；ωx+φ称为相位；x ＝０时的相位φ 称为初相．问题２ 如图 5.7.2（1）所示的是某次实验测得的交变电流i （单位：Ａ）随时间t 狋（单位：ｓ）变化的图象．将测得的图象放大，得到图5.7.2（２）．（１）求电流i 随时间t 变化的函数解析式； （２）当t=0,1600,1150,7600,160时，求电流i ． 请你查阅资料，了解交变电流的产生原理．【达标检测】1．如图所示的是一质点做简谐运动的图象，则下列结论正确的是()A．该质点的运动周期为0.7 sB．该质点的振幅为5 cmC．该质点在0.1 s和0.5 s时运动速度最大D．该质点在0.3 s和0.7 s时运动速度为零2．与图中曲线对应的函数解析式是()A．y＝|sin x|B．y＝sin |x|C．y＝－sin |x| D．y＝－|si n x|3．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F(t)＝50＋4sin t2(0≤t≤20)给出，F(t)的单位是辆/分，t的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的()A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]4．在电流强度I与时间t的关系I＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)中，要使t在任意1100秒的时间内电流强度I能取得最大值A与最小值－A，求正整数ω的最小值．5.某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是有关时间与水深的数据：数y＝A sin ωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求出y＝A sin ωt＋b的表达式；(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5 m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7 m，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，则在港内停留的时间最多不能超过多长时间(忽略进出港所用的时间)?【课堂小结】解三角函数应用题的基本步骤：(1)审清题意；(2)搜集整理数据，建立数学模型；(3)讨论变量关系，求解数学模型；(4)检验，作出结论．参考答案：学习过程问题1 振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原理可知，其位移狔随时间狋的变化规律可以用函数y=Asin（ωt+φ ）来刻画．根据已知数据作出散点图，如图5.7.1所示．由数据表和散点图可知，振子振动时位移的最大值为20mm ，因此A ＝20；振子振动的周期为0.6ｓ，即2πω=0.6 解得 ω ＝10π3；再由初始状态（t ＝０）振子的位移为-20，可得sin φ =－１，因此φ ＝- π2．所以振子位移关于时间的函数解析式为y=20sin （10π3t- π2） t ∈[０，＋∞）． 问题2 由图5.7.2(2)可知，电流最大值为５Ａ，因此A ＝５；电流变化的周期为150ｓ，频率为５０Ｈｚ，即ω2π＝５０，解得ω＝100π；再由初始状态（t ＝０）的电流约为4.33Ａ，可得sin φ =0.866，因此 φ 约为π3．所以电流i 随时间t 变化的函数解析式是: i=5sin （100πt+π3）,t ∈[100，＋∞）． 当t=1600时，i =5; 当t=1150时，i =0;当t=7600时，i =−5; 当t=160时，i =0;达标检测1． 【解析】 由题图可知，该质点的振幅为5 cm.【答案】 B2．【解析】 注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A ，D.当x ∈(0，π)时，sin |x |>0，而图中显然是小于零，因此排除选项B ，故选C.【答案】 C3．【解析】 当10≤t ≤15时，有32π<5≤t 2≤152<52π，此时F (t )＝50＋4sin t 2是增函数，即车流量在增加．故应选C.【答案】 C4． 【解】 由题意得：T ≤1100，即2πω≤1100，∴ω≥200π，∴正整数ω的最小值为629. 5. 【解】 (1)从拟合曲线可知：函数y ＝A sin ωt ＋b 在一个周期内由最大变到最小需9－3＝6(h)，此为半个周期，∴函数的最小正周期为12 h ，因此2πω＝12，ω＝π6.又∵当t ＝0时，y ＝10；当t ＝3时，y max ＝13，∴b ＝10，A ＝13－10＝3，∴所求函数的表达式为y ＝3sin π6t ＋10(0≤t ≤24)．(2)由于船的吃水深度为7 m ，船底与海底的距离不少于4.5 m ，故在船舶航行时，水深y 应大于或等于7＋4.5＝11.5(m)．令y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，可得sin π6t ≥12，∴2k π＋π6≤π6t ≤2k π＋5π6(k ∈Z )，∴12k ＋1≤t ≤12k ＋5(k ∈Z )．取k ＝0，则1≤t ≤5，取k ＝1，则13≤t ≤17；而取k ＝2时，25≤t ≤29(不合题意，舍)．从而可知船舶要在一天之内在港口停留时间最长，就应从凌晨1时(1时到5时都可以)进港，而下午的17时(即13时到17时之间)离港，在港内停留的时间最长为16 h.《5.7 三角函数的应用》同步练习一基础巩固1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I 变化的周期是 ( )A. B.50 C. D.1002.如图所示的是一个单摆,以平衡位置OA 为始边、OB 为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin,则当t=0时,角θ的大小及单摆的频率是( )A.,B.2,C.,πD.2,π3.如图所示为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为-5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零4.交流电的电动势E与时间t的关系为E=220sin,则下列判断正确的是 ( )A.电动势的最大值为110B.电动势的最小正周期为C.电动势的初相位为100πD.电动势等于0时,时间t的值为0.017 55.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是( )A.5B.6C.7D.86.一个物体的运动是简谐运动,位移x与时间t的关系为x=20cos,则这个物体的位移的最小正周期为________.7.一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),若弹簧振子运动的振幅为3,周期为,初相为,则这个函数的解析式为______. 8.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)= Asin(ωx+φ)+B A>0,ω>0,<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.根据以上条件求f(x)的解析式.能力提升9.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:x 1 2 3y 10 000 9 500 ?则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 ( )A.10 000元B.9 500元C.9 000元D.8 500元10.某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin 160πt+110,其中,f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数是________.11.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在地面上2 m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式.(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.素养达成12.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为8 cm,圆环的圆心O距离地面的高度为10 m,蚂蚁每12分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点P处.(1)试确定在时刻t(min)时蚂蚁距离地面的高度h(m).(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过14 m?5.7 三角函数的应用答案解析基础巩固1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系式为I=3sin 100πt,t∈[0,+∞),则电流I 变化的周期是( )A. B.50 C. D.100【答案】A【解析】选A.T===.2.如图所示的是一个单摆,以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(-π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ=sin,则当t=0时,角θ的大小及单摆的频率是( )A.,B.2,C.,πD.2,π【答案】A【解析】选A.当t=0时,θ=sin=,由函数解析式易知单摆的周期为=π,故单摆的频率为.3.如图所示为一简谐运动的图象,则下列判断正确的是( )A.该质点的振动周期为0.7 sB.该质点的振幅为-5 cmC.该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大D.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零【答案】D【解析】选D.该质点振动周期为0.8 s,振幅为5 cm,故A,B错误.该质点在0.1 s和0.5 s时的速度为零,故C错误.该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零,故D正确.4.交流电的电动势E与时间t的关系为E=220sin,则下列判断正确的是 ( )A.电动势的最大值为110B.电动势的最小正周期为C.电动势的初相位为100πD.电动势等于0时,时间t的值为0.017 5【答案】B【解析】选B.因为电动势的最大值为220,所以A错误,因为电动势的最小正周期为T==,所以B正确,因为电动势的初相位为100π×0+=,所以C错误,因为当220sin=0时,t=,k∈Z,所以D错误.5.一种波的波形为函数y=-sin x的图象,若其在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是( )A.5B.6C.7D.8【答案】C【解析】选C.函数y=-sin x的周期T=4且x=3时y=1取得最大值,因此t≥7.6.一个物体的运动是简谐运动,位移x与时间t的关系为x=20cos,则这个物体的位移的最小正周期为________.【答案】π【解析】因为正弦型函数y=Asin(ωx+φ)或余弦型函数y=Acos(ωx+φ)的最小正周期都是,所以T=.7.一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),若弹簧振子运动的振幅为3,周期为,初相为,则这个函数的解析式为________.【答案】y=3sin【解析】由题意得A=3,T=,φ=,则ω==7,故所求函数解析式为y=3sin .8.据市场调查,某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上,按月呈f(x)= Asin(ωx+φ)+B A>0,ω>0,<的模型波动(x为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元.根据以上条件求f(x)的解析式.【答案】函数解析式f(x)=2sin x+7.【解析】由题意得T=2×(9-3)=12,故ω==,A===2,B==7,又f(3)=9,故×3+φ=,即φ=0,所以函数解析式f(x)=2sin x+7.能力提升9.稳定房价是我国实施宏观调控的重点,国家出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响,某市房地产中介对本市一楼盘的房价做了统计与预测:发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足:y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),已知第一、二季度平均单价如表所示:x 1 2 3y 10 000 9 500 ?则此楼盘在第三季度的平均单价大约是 ( )A.10 000元B.9 500元C.9 000元D.8 500元【答案】C【解析】选C.因为y=500sin(ωx+φ)+9 500(ω>0),所以当x=1时,500sin(ω+φ)+9 500=10 000;当x=2时,500sin(2ω+φ)+9 500=9 500,所以ω可取,φ可取π,即y=500sin+9 500.当x=3时,y=9 000.10.某人的血压满足函数关系式f(t)=24sin 160πt+110,其中,f(t)为血压,t为时间,则此人每分钟心跳的次数是________.【答案】80.【解析】因为T==,所以此人每分钟心跳的次数为f==80.11.如图所示,一个摩天轮半径为10 m,轮子的底部在地面上2 m处,如果此摩天轮按逆时针转动,每30 s转一圈,且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时.(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式.(2)在摩天轮转动的一圈内,约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m. 【答案】(1) h=10sin t+12(t≥0).(2)此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.【解析】(1)设在t s时,摩天轮上某人在高h m处.这时此人所转过的角度为t=t,故在t s时,此人相对于地面的高度为h=10sin t+12(t≥0).(2)由10sin t+12≥17,得sin t≥,则≤t≤.故此人有10 s相对于地面的高度不小于17 m.素养达成12.如图,一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行,已知圆环的半径为8 cm,圆环的圆心O距离地面的高度为10 m,蚂蚁每12分钟爬行一圈,若蚂蚁的起始位置在最低点P处.(1)试确定在时刻t(min)时蚂蚁距离地面的高度h(m).(2)在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有多长时间蚂蚁距离地面超过14 m?【答案】(1)h=10-8cos t(t≥0). (2)有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14 m. 【解析】(1)设在时刻t(min)时蚂蚁达到点P,由OP在t分钟内所转过的角为t=t,可知以Ox为始边,OP为终边的角为t+π,则P点的纵坐标为8sin ,则h=8sin+10=10-8cos t,所以h=10-8cos t(t≥0).(2)h=10-8cos t≥14⇒cos t≤-⇒π+2kπ≤t≤π+2kπ(k∈Z).因为所研究的问题在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,故不妨令t ∈[0,12],所以4≤t≤8.所以在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内,有4分钟时间蚂蚁距离地面超过14 m.《5.7 三角函数的应用》同步练习二一、选择题1．一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移与时间的函数关系式是，其中是重力加速度，当小球摆动的周期是时，线长等于 ( ) A ．B ．C ．D ． 2．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．3．某人的血压满足函数关系式，其中，为血压，为时间（单位：分钟），则此人每分钟心跳的次数是 ( )A ．B ．C ．D ． 4．夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时cm l ()cm s ()st π3cos 3s ⎫=+⎪⎪⎭g 1 s l cm πg cm 2πg 2cm πg 2cm 4πg()d f l=()24sin 160π110f t t =+()f t t 60708090614()sin y A x B ωϕ=++12天气的温度大约是 （ ）A ．B ．C ．D ． 5．一半径为的水轮，水轮的圆心到水面的距离为，已知水轮每分钟旋转圈，水轮上的点到水面距离与时间(秒)满足函数关系式，则( )A ．，B ．，C ．，D ．，6．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数F （t ）=50+4sin （其中0≤t≤20）给出，F （t ）的单位是辆／分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ） A ．[0，5] B ．[5，10] C ．[10，15] D ．[15，20]二、填空题7．电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为8．振动量y sin(ωx ＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和，则它的相位是________．9．如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.25C ︒26C ︒27C ︒28C ︒1074P y x ()sin 7y A x ωϕ=++2π15ω=10A =152πω=10A =2π15ω=17A =152πω=17A =2t()A I ()s t π5sin 100π3I t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1s 200t =I 3210．某时钟的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点间的距离表示成的函数，则________，其中． 三、解答题11．如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为，圆上最低点与地面距离为，秒转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面距离为.(1)求与间关系的函数解析式；(2)设从开始转动，经过秒到达，求与间关系的函数解析式．12．某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB 的圆心角∠AOB=,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH ,其中M ,H 分别在OA ,OB 上,N 在上.设∠MON=θ,▱OMNH 的面积为S.(1)将S 表示为关于θ的函数; (2)求S 的最大值及相应的θ值.A 5cm OB 0t =A 12A B ()cm d ()s t d =cm []0,60t ∈ 4.8 m 0.8 m 60OA OA θOB Bh h θOA t OB h t π4AB5.7 三角函数的应用 答案解析一、选择题1．一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移与时间的函数关系式是，其中是重力加速度，当小球摆动的周期是时，线长等于 ( ) A ．B ．C ．D ． 【答案】D 【解析】∵，∴. 2．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由题意得：.结合图象知应该选C. 3．某人的血压满足函数关系式，其中，为血压，为时间（单位：分钟），则此人每分钟心跳的次数是 ( )A ．B ．C ．D ． 【答案】C 【解析】∵，∴. cm l ()cm s ()s t π3cos 3s ⎫=+⎪⎪⎭g 1 s l cm πg cm 2πg 2cm πg 2cm 4πgT =2π2πT ==()2cm 4πgl =()d f l =()2sin2ld f l ==()24sin 160π110f t t =+()f t t 607080902π1160π80T ==180f T==4．夏季来临，人们注意避暑．如图是某市夏季某一天从时到时的温度变化曲线，若该曲线近似地满足函数，则该市这一天中午时天气的温度大约是 （ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由题意以及函数的图象可知，，，所以，. ∵，∴. ∵，∴,∴. ∵图象经过点，∴，∴，∴可以取，∴.当时，，故选C.5．一半径为的水轮，水轮的圆心到水面的距离为，已知水轮每分钟旋转圈，水轮上的点到水面距离与时间(秒)满足函数关系式，则( )A ．，B ．，C ．，D ．，【答案】A 【解析】，，. 6．车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为 辆／分，上班高614()sin y A x B ωϕ=++1225C ︒26C ︒27C ︒28C ︒30A B +=10A B -+=10A =20B =1462T =-16T =2πT ω=π8ω=π10sin 208y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()14,30π3010sin 14208ϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭πsin 1418ϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭ϕ3π4π3π10sin 2084y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12x=π3π10sin 1220102027.07842y ⎛⎫=⨯++=⨯+≈ ⎪⎝⎭1074P y x ()sin 7y A x ωϕ=++2π15ω=10A =152πω=10A =2π15ω=17A =152πω=17A =60154T ==2π15ω=10A =峰期某十字路口的车流量由函数F （t ）=50+4sin （其中0≤t≤20）给出，F （t ）的单位是辆／分，t 的单位是分，则在下列哪个时间段内车流量是增加的 （ ） A ．[0，5] B ．[5，10]C ．[10，15]D ．[15，20]【答案】C【解析】函数可看成由和合而成，那么由（）得，所以函数在（）上单调递增，当时，，此时；故选C ． 二、填空题7．电流随时间变化的关系式是，则当时，电流为 【答案】 【解析】将代入得．8．振动量ysin(ωx ＋φ)(ω>0)的初相和频率分别是－π和，则它的相位是________． 【答案】3πx －π【解析】∵f ＝，∴T ＝，∴ω＝＝3π，又φ＝－π，∴y sin(3πx －π)，∴振动量y 的相位是3πx －π. 9．如图，是弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振动的位移，则这个振子振动的函数解析式是________.2t()()504sin 0202tF t t =+≤≤2t x =()504sin F x x =+22222t k k ππππ-≤≤+k Z ∈44k t k ππππ-≤≤+()()504sin0202tF t t =+≤≤[]4,4k k ππππ-+k Z ∈1k =[]3,5t ππ∈[][]10,153,5ππ⊆()A I ()s t π5sin 100π3I t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭1s 200t =I 2.5 A 1200t =π5sin 100π3I t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 2.5 A I =323223223π【答案】y ＝2sin (52πx +π4)【解析】A ＝2，T ＝2(0.5－0.1)＝0.8，∴ω＝2π0.8＝5π2，∴y ＝2sin (5π2x +φ)，将(0.1,2)代入得：5π2×0.1＋φ＝π2，∴φ＝π4，∴y ＝2sin (5π2x +π4).10．某时钟的秒针端点到中心的距离为，秒针匀速绕点旋转到点，当时间时，点与钟面上标的点重合，将、两点间的距离表示成的函数，则________，其中． 【答案】 【解析】由题意设，其中，. ∴. 三、解答题11．如图所示为一个观览车示意图，该观览车半径为，圆上最低点与地面距离为，秒转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动角到，设点与地面距离为.(1)求与间关系的函数解析式；(2)设从开始转动，经过秒到达，求与间关系的函数解析式．【答案】(1) (2)【解析】(1)过点作地面的平行线，过点作的垂线交于点．A 5cm OB 0t =A 12A B ()cm d ()s t d =cm []0,60t ∈π10sin60t 2sin 2d r t ω=5cm r =π30ω=π10sin 60d t =()cm 4.8 m 0.8 m 60OA OA θOB Bh h θOA t OB h t π5.6 4.8sin 2h θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭[)ππ4.8sin 5.6,0,302h t t ⎛⎫=-+∈+∞ ⎪⎝⎭O ON B ON BM ON M当时，，；当，时，上述解析式也适合．综上所述，.(2)点在上逆时针运动的角速度是，∴秒转过的弧度数为， ∴．12．某房地产开发商为吸引更多消费者购房,决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园.如图,已知扇形AOB 的圆心角∠AOB=,半径为R.现欲修建的花园为▱OMNH ,其中M ,H 分别在OA ,OB 上,N 在上.设∠MON=θ,▱OMNH 的面积为S.(1)将S 表示为关于θ的函数; (2)求S 的最大值及相应的θ值.【答案】（1）S=R 2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈；（2）θ=时,S 取得最大值R 2. 【解析】分析（1）分别过N ，H 作ND ⊥OA 于D ，HE ⊥OA 于E ，则HEDN 为矩形，求出边长，即可求S 关于θ的函数关系式；（2）利用二倍角公式、两角和的正弦函数化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，通过θ的范围求出S 的最大值及相应的θ角.ππ2θ<≤π2BOM θ∠=-0.8 5.6 4.8sin π2h OA BM θ⎛+=⎫=++ ⎪⎝⎭-0π2θ≤≤π2πθ<≤π5.6 4.8sin 2h θ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭A O πrad/s 30t π30t [)ππ4.8sin 5.6,0,302h t t ⎛⎫=-+∈+∞ ⎪⎝⎭π4AB π0,4⎛⎫⎪⎝⎭π82【详解】(1)如图,过N 作NP ⊥OA 于点P ,过H 作HE ⊥OA 于点E ,∵∠AOB=, ∴OE=EH=NP=R sin θ,OP=R cos θ,∴HN=EP=OP-OE=R (cos θ-sin θ), ∴S=HN ·NP=R 2(cos θ-sin θ)sin θ,θ∈.(2)S=R 2(cos θsin θ-sin 2θ)=R 2=R 2(sin 2θ+cos 2θ-1) =R 2,∵θ∈,∴2θ+,∴当2θ+,即θ=时,S 取得最大值,且最大值为R 2.π4π0,4⎛⎫⎪⎝⎭11-cos2sin2-22θθ⎛⎫ ⎪⎝⎭1212π2-14θ⎤⎛⎫+ ⎪⎥⎝⎭⎦π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭ππ3π,444⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ42=π82。
1.3.4三角函数模型的简单应用-导学案
-高一年级导学案 主备人：沈中明 审核人：朱梅 使用日期：2011年 5 月12日1.3.4三角函数模型的应用教学目标：1、了解函数y=Asin(ωx+ϕ)的实际意义，在“五点法”基础上理解A 、ω、ϕ对图像的影响；2、能够根据三角函数图像和性质，求三角函数解析式和解决一些简单的实际问题。
3、体会三角函数是描述周期现象的重要数学模型。
教学重难点：根据三角函数的图像和性质解决实际问题。
活动一、1.把正弦曲线向左平移7π个单位长度，然后把每个点的横坐标扩大到原来３倍（纵坐标不变），然后再把每个点的纵坐标扩大到原来的4倍（横坐标不变），所得到的图象的函数是：__________________. 2.把正弦曲线上每个点的横坐标缩短到原来1/3倍（纵坐标不变），然后向右平移4π个单位长度最后再把每个点的纵坐标缩短到原来的1/5倍（横坐标不变），所得到的图象的函数是：_____ ___. 3.请叙述下列的图像变换过程：y=41sin(3x-7π) → y=sinx y=5cos(21x+3π) → y=cosx 活动二、求函数解析式1、已知函数 图像如图1，求该函数解析式。
2、已知函数 图像如图2，3、已知函数 图像如图3b x A y +=sin )sin(ϕω+=x A y )sin(ϕω+=x A y4、已知函数 图像如图4活动三、1、已知函数y=Asin(ωx+ϕ)的图像上一个最高点为（2，2），从这个最高点到相邻最低点之间的曲线与x 轴交于点（6,0），求这个函数的解析式。
2、已知函数y=Asin(ωx+ϕ)（A ＞0，ω＞0,|ϕ|＜π）的最小正周期为32π，最小值为-2，且图像经过点（0,95π），求这个函数的解析式。
3、已知函数y=Asin(ωx+ϕ)+B （A ＞0，ω＞0,|ϕ|＜2π），在同一个周期内的最高点与最低点坐标分别为（2,2）、（8，-4），求这个函数的解析式。
yB x A y ++=)sin(ϕω4、在简谐运动f(x) =Asin(ωx+ϕ)+B ，ϕ∈（0，2π）的图像上，点（-41，1）是它的一个平衡位置，（41，3）是与该平衡位置相邻的一个最高点，求函数f(x)的解析式。
1.6 利用三角函数测高(第2课时)导学案
第一章直角三角形的边角关系《利用三角函数测高（第2课时）》一、教学任务分析知识与能力目标：能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果，能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.二、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：课前准备——自制测角仪、原理回顾、展示测量对象及说明、测量活动及数据收集、统计分析及总结、布置作业.第一环节课前准备活动内容：自制测角仪、分组（5——6人）活动目的：培养学生的动手能力.活动的注意事项：学生所做的测角仪测量角时不方便、误差较大.（解决方法：先展示样品）第二环节原理回顾活动内容：简单地回忆利用测角仪测量物体高度的方法：1、测量底部可以到达的物体的高度；2、测量底部不可以到达的物体的高度活动的注意事项：提醒学生注意：1）方法的选择；2）不要忽略了测角仪到地面的高度.第三环节展示测量对象及说明活动内容：，把学生分成5～6人一组.引导学生选定测量对象（即旗杆或其他物体），根据上节课的分析设计出本组测量的方案.同时发放记录表.活动报告年月日课题测量示意图测得数据测量项目第一次第二次平均值计算过程活动感受负责人及参加人员计算者和复核者指导教师审核意见备注活动的注意事项：1.教师要引导学生展示自己设计的方案.并帮助完善. 2.要做好分工.第四环节测量活动及数据收集活动内容：根据自己设计的方案进行测量与填写记录.活动的注意事项：教师提示要注意的实验的细节：(1)注意实验时的安全.(2)在测量的过程中.要产生测量误差，因此，需多测两组数据.并取它们的平均值较妥(3)正确地使用测倾器，特别要注意测量过程中正确、规范地读数.(4)积极参与测量活动.并能对在测量过程中遇到的困难，想方没法，团结协作，共同解决. 第五环节统计分析及总结活动内容：汇报各组实验活动的结果、比较分析结果.反思实验过程，在全班交流各组的实验活动感受.活动的注意事项：通过学生的感受，教师要引导学生总结测量物体高度的方法及恰当的选择方法.第六环节布置作业补充完善活动报告。
苏科版九年级数学教案《三角函数》导学案全章
《三角函数》导学案一、导学目标1.了解三角函数的定义和性质。
2.掌握三角函数在坐标系上的图象及其性质。
3.熟练运用三角函数的基本公式解决相关问题。
二、导学内容1.三角函数定义及基本性质（1）角度的定义：角度是指通过两条射线，以其公共端点为顶点，将平面分成两部分的区域。
（2）单位圆：半径为1的圆，圆心为原点O。
角度的终边与单位圆的交点称为角度的端点。
（3）弧度制与度数制的转换：-1个圆的弧度等于2π弧度；-1弧度等于180/π度。
（4）正弦、余弦和正切的定义：-在单位圆上，角度A的正弦（正弦值）是角A终边上的纵坐标值；-在单位圆上，角度A的余弦（余弦值）是角A终边上的横坐标值；-在单位圆上，角度A的正切（正切值）是角A终边上的纵坐标值与横坐标值的比。
2.三角函数的图象与性质（1）正弦函数sin(x)的图象：一条在坐标轴上下波动的曲线，周期为2π，最小值为-1，最大值为1（2）余弦函数cos(x)的图象：一条在坐标轴上下波动的曲线，周期为2π，最小值为-1，最大值为1（3）正切函数tan(x)的图象：一条在坐标轴上下无限延伸的直线，周期为π，有奇数个渐近线。
3.三角函数的基本公式（1）正弦函数的基本公式：sin(A+B) = sin(A)cos(B) +cos(A)sin(B)。
（2）余弦函数的基本公式：cos(A+B) = cos(A)cos(B) -sin(A)sin(B)。
（3）正切函数的基本公式：tan(A+B) = (tan(A) + tan(B))/(1 -tan(A)tan(B))。
三、导学要点1.仔细阅读教材相关内容，理解角度的定义和三角函数的定义及基本性质。
2.利用单位圆的性质，掌握角度的弧度制与度数制的转换方法。
3.观察并分析正弦、余弦和正切函数在坐标系上的图象，理解其周期、最大值、最小值等基本性质。
4.熟练掌握三角函数的基本公式，并能够灵活运用解决相关问题。
四、导学题目1.将45°转换成弧度制。
1.3 三角函数的计算 导学案(有答案)
1.3使用计算器进行三角函数的计算导学案班级：_____________姓名：_____________一、学习目标1、会用计算器由角求三角函数值，由三角函数值求角二、自主探究：阅读课本p14-16如图1-11，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线与水平面的夹角为∠α=16°，那么缆车垂直上升的距离是多少？解：用计算器求三角函数时，结果一般有10个数位，本书约定，如无特别说明，计算结果一般精确到万分位。
三．随堂练习2.一个人由山底爬到山顶，需要先爬40°的山坡300m,再爬30°的山坡100米，求山高（结果精确到0.1m）3.求图中避雷针CD的长度（结果精确到0.01m）四．当堂测试1.用计算器求下列各式的值：（1）tan32°（2）cos24.53°（3）sin62°11’(4)tan39°39’39’’2.如图，物华大厦离小伟家60m,小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是37°，求该大厦的高度（结果精确到0.1m）答案：三．随堂练习1.略2.解：300×sin40+100×sin30=242.8 m答：山高242.8 m3.解：在直角△ABC中，AB=20，∠CAB=50°，BC= AB×tan50°在直角△ABD中，AB=20，∠DAB=56°，BD= AB×tan56°所以CD=DB-CB=AB×tan56°-AB×tan50°=20×（tan56°-tan50°）≈5.82米答：图中避雷针CD的长度是5.82米四．当堂测试1.略2.解：如图所示，在Rt△ADE中，∵∠DAE﹦45°，AE﹦60m∴DE﹦AE﹦60m．在RtRt△AEC中，∵∠CAE﹦37°，AE﹦60m，答：该大厦的高度约为105.2m．。
北师大版数学必修四：《两角和与差的三角函数的应用》导学案(含解析)
第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):第4课时两角和与差的三角函数的应用1.能够熟练运用两角和与差的正弦、余弦和正切公式进行化简、求值、证明.2.强化学生在三角函数中的计算能力.3.培养学生整体换元的思想.前面我们共同学习了两角和与差的正弦、余弦和正切公式,并能进行简单的论证,两角和与差的正弦、余弦和正切公式,是对第一章三角函数的进一步巩固,也是与第二章平面向量的交汇点,又是解三角形必备的重要知识点.这一讲我们将进一步共同探究两角和与差的正弦、余弦和正切公式的综合应用,思考并回答下面几个问题.问题1:两角和与差的正弦、余弦和正切公式:C(α-β):=cos α·cos β+sin α·sin β;C(α+β):=cos α·cos β-sin α·sin β;S(α-β):sin(α+β)=;S(α+β):sin(α-β)=;T(α-β):tan(α-β)=;T(α+β):tan(α+β)=.问题2:两角和与差的正切公式的常用变形(1)tan α+tan β=;tan α-tan β=;(2)tan αtan β=1-=-1;(3)tan(α+β)-(tan α+tan β)=;(4)tan(α-β)-(tan α-tan β)=.问题3:常用的角的变换形式α=-β=β-;α=[(α+β)+]=[(α+β)-];(α+β)=(α-β)-(α-β);α-γ=+(β-γ).其中α、β、γ为任意角.问题4:辅助角公式a sin α+b cos α=sin(α+φ)=cos(α-θ),其中角φ、θ称为辅助角,由a,b的值唯一确定(tan φ=,tan θ=).1.sin 45°cos 15°+cos 225°sin 15°的值为().A.-B.-C.D.2.若0<α<,-<β<0,cos(+α)=,cos(-)=,则cos(α+)=().A.B.- C. D.-3.已知cos(α+)=,α∈(0,),则cos α=.4.若3sin x-cos x=2sin(x+φ),φ∈(-π,π),求φ的值.利用两角和与差的三角公式化简或求值(1)化简:;(2)求值:[2sin 50°+sin 10°(1+tan 10°)]·.两角和与差的三角公式在解三角形中的应用已知锐角△ABC中,sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证:tan A=2tan B;(2)设AB=3,求AB边上的高.利用两角和与差的公式求角已知α、β都是锐角,且sin α=,sin β=,求α+β.计算sin 43°cos 13°-sin 13°cos 43°的值等于().A.B.C.D.在△ABC中,已知tan A,tan B是方程3x2+8x-1=0的两个根,则tan C等于().A.2B.-2C.4D.-4若sin A=,sin B=,且A、B均为钝角,求A+B的值.1.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-·cos(θ+15°)的值等于().A.0B.C.D.-2.已知cos(x-)=-,则cos x+cos(x-)的值是().A.-B.±C.-1D.±13.在△ABC中,角A、B、C满足sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A,则cos A=.4.已知0<β<<α<,cos(-α)=,sin(+β)=,求sin(α+β)的值.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,以Ox轴为始边的两个锐角为α,β,它们的终边分别交单位圆于A,B两点,已知A,B两点的横坐标分别是和.(1)求tan(α+β)的值;(2)求α+2β的值.考题变式(我来改编):答案第4课时两角和与差的三角函数的应用知识体系梳理问题1:cos(α-β)cos(α+β)sin α·cos β+cos α·sin βsin α·cos β-cos α·sin β问题2:(1)tan(α+β)(1-tan αtan β)tan(α-β)(1+tan αtan β)(2)(3)tan(α+β)tan αtan β(4)-tan(α-β)tan αtan β问题3:(α+β)(β-α)(α-β)(β-α)(α-β)基础学习交流1.C原式=sin 45°cos 15°-cos 45°sin 15°=sin(45°-15°)=.2.C cos(α+)=cos[(+α)-(-)]=cos(+α)cos(-)+sin(+α)sin(-),而+α∈(,),-∈(,),∴sin(+α)=,sin(-)=,∴cos(α+)=×+×=.3.∵α∈(0,),∴α+∈(,),∴sin(α+)=,∴cos α=cos[(α+)-]=cos(α+)cos+sin(α+)sin=×+×=.4.解:3sin x-cos x=2(sin x-cos x)=2sin(x-),又∵φ∈(-π,π),∴φ=-.重点难点探究探究一:【解析】(1)原式===tan 15°=tan(60°-45°)===2-.(2)原式=(2sin 50°+sin 10°×)·sin 80°=(2sin 50°+2sin 10°×)×cos 10°=2[sin 50°·cos 10°+sin 10°·cos(60°-10°)]=2sin(50°+10°)=2×=.【小结】对于给角求值问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:①化为特殊角的三角函数值;②化为正、负相消的项,消去求值;③化分子、分母出现公约数进行约分求值.探究二:【解析】(1)∵sin(A+B)=,sin(A-B)=,∴⇒⇒==2,∴tan A=2tan B.(2)∵<A+B<π,sin(A+B)=,∴ tan(A+B)=-,即=-,将tan A=2tan B代入上式并整理,得2tan2B-4tan B-1=0,解得tan B=,舍去负值,得tan B=,∴ tan A=2tan B=2+.设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=+=,由AB=3,得CD=2+,∴AB边上的高等于2+.【小结】利用三角函数公式解三角形问题时,不仅要考虑使公式本身有意义的角度范围,还要考虑三角形内角需满足的要求.探究三:【错解】∵0<α<,0<β<,∴ 0<α+β<π,又∵cos α=,cos β=,∴sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=×+×=,又∵0<α+β<π,∴α+β=或.[问题]α+β会等于吗?[结论]通过求三角函数值求角度时,最好求角度范围内是单调函数的三角函数值,可避免进一步讨论或出错.α+β≠,∵α、β都是锐角,sin α=<,sin β=<,∴0<α<,0<β<,0<α+β<.于是,正确解答如下:∵0<α<,0<β<,∴ 0<α+β<π,又∵cos α=,cos β=,∴cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β=×-×=.又∵在0~π之间,余弦值为的角只有,∴α+β=.思维拓展应用应用一:A原式=sin(43°-13°)=sin 30°=,故选A.应用二:A根据韦达定理,有tan A+tan B=-,tan A tan B=-,则tanC=tan[π-(A+B)]=-tan(A+B)=-=2.应用三:∵A、B均为钝角且sin A=,sin B=,∴cos A=-=-=-,cos B=-=-=-.∴cos(A+B)=cos A cos B-sin A sin B=-×(-)-×=.①又∵<A<π,<B<π,∴π<A+B<2π.②由①②,知A+B=.基础智能检测1.A原式=sin[(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-·cos[(θ+45°)-30°]=sin(θ+45°)+cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-cos(θ+45°)-sin(θ+45°)=0.2.C cos x+cos(x-)=cos x+cos x+sin x=cos x+sin x=(cos x+sin x)=cos(x-)=-1.3.sin B cos A=sin C cos A+cos C sin A⇒sin B cos A=sin(C+A)=sin B,又sin B≠0,所以cos A=.4.解:∵0<β<<α<,∴<+α<π,<+β<π.又cos(-α)=sin(+α)=,∴cos(+α)=-=-,cos(+β)=-=-.∴sin[π+(α+β)]=sin[(+α)+(+β)]=sin(+α)cos(+β)+cos(+α)sin(+β)=×(-)-×=-.∴sin(α+β)=.全新视角拓展(1)由单位圆中三角函数的定义,可得cos α=,cos β=.由于α,β为锐角,所以sin α==,sin β==.从而tan α=7,tan β=,所以tan(α+β)===-3.(2)因为tan(α+2β)=tan[(α+β)+β]===-1,又0<α<,0<β<,所以0<α+2β<,从而α+2β=.思维导图构建sin(x+φ)cos(x-θ)。
苏科版九年级数学教案《三角函数》导学案全章(共8课时)
九年级 班 数学 学案
B
C
A
1
13
A
2
C
1
B B
A
C
3
5
结论：等角的正切值
例3．如图（1），∠A=3
60°的正切值．
上课时间：年月日
九年级班数学学案
的对边a与斜边c ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、
九年级班数学学案
(第6题)
，则下列结论正确的是( )。
上课时间：年月日
九年级班数学学案
上课时间：年月日
九年级班数学学案
九年级班数学学案
三角形中，已知有一个角是直角，我们把利用已知的元素求出末知元素的过程，
90°，
A
D B
九年级班数学学案．升国旗时，某同学站在离旗杆底部
两个村庄抢险，飞机在距地面村的俯角为60︒（如图）．求A、
上课时间：年月日
九年级班数学学案
小明为了测量停留在空中的气球的高度，他先在地面上找一点，站在这
然后向气球方向走了50米，测得气球的仰角°。
这时他就能算出气球的高度了。
他是如何求得气球的高度呢？
上课时间：年月日。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1．从 A 处观测铁塔顶部的仰角是 30°，向前走 100 米到达 B 处，观测铁塔的顶部的仰角
是 45°，求铁塔高。
D
300
450
A
B
C
2．如图所示，太阳光线与地面成 60°角，一棵倾斜的大树与地面成 30°角，这时测得
大树在地面上的影子约为 10 米，则大树的高约多少米（保留两个有效数字， 2 ≈1．41， 3
B
A C
8．如图，在一次数学课外活动中，小明同学在点 P 处测得教学楼 A 位于北偏东 60°方向， 办公楼 B 位于南偏东 45°方向。小明沿正东方向前进 60 米到达 C 处，此时测得教学楼 A 恰好 位于正北方向，办公楼 B 正好位于正南方向。求教学楼 A 与办公楼 B 之间的距离（结果精确到 0.1 米）。（供选用的数据： 2 ≈1.414 ， 3 ≈1.732 ）
0.7341，cos40°≈0.7660，tan43°≈0.9325，tan40°≈0.8391）
D
C
43°
40° ¤
A52mBiblioteka B6．山顶建有一座铁塔，塔高 CD=30m，某人在点 A 处测得塔底 C 的仰角为 20°，塔顶 D 的仰 角为 23°，求此人距 CD 的水平距离 AB．（参考数据：sin20°≈0.342， cos20°≈0.940， tan20°≈0.364， sin23°≈0.391， cos23°≈0.921， tan23°≈0.424）
3 ≈1.732 ，
5 ≈ 2.236 ）
D
海面
A 30°
B 60°
C
例 2：如图所示，小华同学在距离某建筑物 6 米的点 A 处测得广告牌 B 点、C 点的仰角分 别为 52°和 35°，求广告牌的高度 BC？(精确到 0.1 米)。(sin35°≈0.57， cos35°≈ 0.82， tan35°≈0.70； sin52°≈0.79， cos52°≈0.62 ，tan52°≈1．28)
例 5：如图：，某船向正东方向航行，在 A 处望见灯塔 C 在东北方向，前进到 B 处望见灯 塔 C 在北偏西 30°，又航行了半小时，望见灯塔 C 恰在西北方向，若船速为每小时 20 海里， 求 A．D 两点间的距离，（结果不取近似值）
4/7
7．如图 8，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 60 ，看这栋高楼底 部的俯角为 30 ，热气球与高楼的水平距离为 66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到 0.1 m，参考数据： 3 1.73 ）
≈1．73）
1/7
3．如图，一艘核潜艇在海面下 500 米 A 点处测得俯角为 30° 正前方的海底有黑匣子信号 发出，继续在同一深度直线航行 4000 米后再次在 B 点处测得俯角为 60° 正前方的海底有黑匣 子信号发出，求海底黑匣子 C 点处距离海面的深度？（精确到米，参考数据： 2 ≈1.414 ，
三角函数的应用
【学习目标】
1. 理解三角函数的定义（结合图形）； 2. 学会独立思考并与同学交流。
【学习过程】
例 1：如图所示，一条自西向东的观光大道 l 上有 A、B 两个景点，A、B 相距 2km，在 A 处测得另一景点 C 位于点 A 的北偏东 60°方向，在 B 处测得景点 C 位于景点 B 的北偏东 45° 方向，求景点 C 到观光大道 l 的距离。（结果精确到 0.1km）
（1）求乙建筑物高 DC ； （2）求甲、乙两建筑物之间的距离 BC （结果精确到 0.01 米）。 （参考数据： 2 ≈1.414，3 ≈1.732 ）
D
A
甲
乙
B
C
例 4：根据图中所给的数据，求得避雷针 CD 的长约为_______m（结果精确的到 0.01m）。
3/7
（可用计算器求，也可用下列参考数据求：sin43°≈0.6802，sin40°≈0.6428，cos43°≈
D
A C
①
B②
例 6：如图，斜坡 AC 的坡度（坡比）为 1： 3 ，AC＝10 米。坡顶有一旗杆 BC，旗杆顶端 B 点与 A 点有一条彩带 AB 相连，AB＝14 米。试求旗杆 BC 的高度。
5/7
9．为打击索马里海盗，保护各国商船的顺利通行，我海军某部奉命前往该海域执行护航
任务。某天我护航舰正在某小岛 A 北偏西 45 并距该岛 20 海里的 B 处待命。位于该岛正西方向 C 处的某外国商船遭到海盗袭击，船长发现在其北偏东 60 的方向有我军护航舰（如图 9 所 示），便发出紧急求救信号。我护航舰接警后，立即沿 BC 航线以每小时 60 海里的速度前去救 援。我护航舰需多少分钟可以到达该商船所在的位置 C 处？
B
52° C
35°
A
6米
D
4．在学习实践科学发展观的活动中，某单位在如图 8 所示的办公楼迎街的墙面上垂挂一 长为 30 米的宣传条幅 AE，张明同学站在离办公楼的地面 C 处测得条幅顶端 A 的仰角为 50°， 测得条幅底端 E 的仰角为 30°。 问张明同学是在离该单位办公楼水平距离多远的地方进行测 量？（精确到整数米）（参考数据：sin50°≈0.77， cos50°≈0.64， tan50°≈
（结果精确到个位。参考数据： 2 ≈1.4，3 ≈1.7 ）
北
北
60° C
B 45° A
10．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑（如图①）。为了测量雕塑的高度，小 明在二楼找到一点 C，利用三角板测得雕塑顶端 A 点的仰角为 30° ，底部 B 点的俯角为 45° ， 小华在五楼找到一点 D，利用三角板测得 A 点的俯角为 60° （如图②）。若已知 CD 为 10 米，请 求出雕塑 AB 的高度。（结果精确到 0.1 米，参考数据 3 1.73）。
2/7
1．20， sin30°=0.50， cos30°≈0.87， tan30°≈0.58）
例 3：甲、乙两楼相距 45 米，从甲楼顶部观测乙楼顶部的俯角为 30°，观测乙楼的底部 的俯角为 45°，试求两楼的高。
A 300 450
Er
D
B
C
5．线段 AB、DC 分别表示甲、乙两建筑物的高， AB⊥ BC，DC ⊥ BC ，从 B 点测得 D 点的仰角 为 60°从 A 点测得 D 点的仰角 为 30°，已知甲建筑物高 AB 36 米。