两直线夹角和到角
两直线夹角和到角
姿态享用。它们接受了残酷的现实，并学会把这看成生存的常态。他们的适应能力是很强的。适应能力强，这对人，对鸟，对任何生物，都是一个褒奖的词语。它们无师自通，就懂得了站在主人为它们架在笼中的假树杈上，站在笼子的中心位置，而不是在笼壁上徒劳地乱撞。就像主人所期待的 那样，优雅地偏头梳理它们的羽毛，如果有同伴，就优雅地交颈而眠。更重要的是，当太阳升起的时候，或者主人逗弄的时候，就适时适度地婉转歌唱，让人感觉到生活是如此的自由、祥和、闲适。而天空和扑翼这种与生俱来的事情，也就是多余的了。 但有一些鸟的适应能力却很差，这大抵是 鸟类中的古典主义者或理想主义者。它们对生命的看法很狭隘，根本不会随现实场景的转换而改变。在最初的惊恐和狂躁之后，它们明白了厄运，它们用最荏弱的姿态来抗拒厄运。他们是安静的，眼睛里是极度的冷漠，对小碟小碗里伸过来的水米漠然置之，那种神态，甚至让恩赐者感到尴尬， 感到有失自尊。鸟儿的眼睛里一旦现出这样的冷漠，就不可能再期待它们的态度出现转机，无论从小笼子换到大笼子，还是把粗瓷碗换成金边瓷碗，甚至于再赏给它们一个快乐的伙伴，都没有用了。这一切与它们对生命的认定全不沾边儿。事实上，这时候它们连有关天空的梦也不做了，古典主 义者总是悲观的，绝望的，它们只求速死。命运很快就遂了它们的心愿。 而我一直怀有敬意的，是鸟儿中的另一种理想主义，这种鸟儿太少，但我侥幸见过一只，因为总是无端想起，次数多了，竟觉得这鸟儿的数目似乎在我感觉中也多了。 我见到这只鸟儿的时候，它在笼中已关了很久了，我 无从得见它当初的惊恐和焦灼，不知它是不是现出过极度的冷漠，或者徒劳地撞击笼壁，日夜不停地用喙啄笼壁的铁枝。我见到它的时候，它正在笼子里练飞。它站在笼子底部，扑翼，以几乎垂直的路线，升到笼子顶部，撞到那里，跌下来，然后仰首，再扑翼……这样的飞，我从来没见过。它 在笼中划满风暴的线条，虽然这些线条太短，不能延伸，但的确饱涨着风暴的激情。它还绕着笼壁飞，姿态笨拙地，屈曲着，很不洒脱，很不悦目，但毕竟它是在飞。它知道怎样利用笼内有限的气流，怎样训练自己的翅膀，让它们尽可能地张开，尽可能地保持飞翔的能力。 在这样一只鸟的面前， 我感觉惭愧。一般我们很难看见鸟是怎样学飞的，那些幼鸟，那些被风暴击伤了的鸟，那些在岩隙里熬过隆冬的鸟，还有那些被囚的鸟。这是一件隐秘 的事。我们只看见它们在天空中划过，自由地扑翼，桀骜地滑翔，我们只羡慕上帝为它们造就了辽阔的天空。 但在看到那只在笼中以残酷的方 式练飞的鸟之后，我明白，天空的辽阔与否，是由你自己造就的，这种事情上帝根本无能为力。上帝只是说，天空和飞翔是鸟类的生命形式，而灾难和厄运也是世界存在的另一种形式。至于在灾难和厄运中你是否放弃，那完全是你自己的事情。 只要眼睛里还有蓝天? 兰心 人们常常爱将“遗憾” 两字挂在嘴边。 遗憾，一个颇为伤感的字眼，令人心碎。 十多年前的一个茫茫暗夜，津浦线的特快列车在广阔的华北平原上奔驰，在车厢黯淡的灯影下，我凭窗而坐，凝望着那一棵棵如风掠过的白桦树，蓦地，“遗憾”这两个字扑进眼帘。就在这一刹那，我在人生交叉点上作了一个重要的抉 择。而在往后的岁月里，因为这个决定，又引起了种种不同的遗憾，却是始料不及的。 曾经听过这样一个故事。 一位美国宾夕法尼亚艺术学院的教授，在不惑之年，竟然尝试去实现童年梦想，他不惜放弃优职高薪，从养狮开始到驯狮、驯虎豹，最终成为美国一代马戏大师。当他向万千观众致 谢时，盈泪的双眼，令他看不清那无数个兴高采烈的欢颜。在舞台探照灯的照耀下，他的梦想实现了，事业达到了顶峰。然而，这期间，结婚十几载的妻子因无法理解他的行动，离开了他。生命，最终留下了遗憾。 每个人都有自己遗憾的故事。 当我们站在母亲的墓前，咀嚼着“子欲养而亲不 在”的悲哀时；当空间与时间的不吻合而改变了一生的命运时；当一段美丽的情缘，最终刻在心坎上的，只是惆怅的回忆时；当滚滚红尘中，寻觅到一张亲切的面孔，却又在擦身而过的瞬间消逝时；当逝水年华，岁月蹉跎，留下了一个个苍白、空虚的印记时……遗憾带来的况味，竟是如此悲凉、 无奈。在这一瞬间，世界变得残缺不全，我们仿佛成了生命的弃儿，缘于那神秘的玄机不在自己的掌握之中。 叔本华说过，人们就像那些炼金者，原指望炼出金子，谁知却往往发现了一些更有价值的事物，如火药、药、化学化合物和一些自然原理。从这个角度去说，当人们感到遗憾时，可能有 另一种意想不到的收获出现。芳心虽然憔悴，灵魂却更为坚强。 ?谁说遗憾不是一种苦难？而在诗人的眼里，苦难也是美丽的。有遗憾，就意味着有惋惜、有追悔，心儿念念不忘的，仍是对憧憬的追寻，生活中也可能出现一个个感人至深的故事。哀莫大于心死，一旦伤痕化为云烟，深深的遗憾 也不会来光顾心房了。 一位朋友，夫妇俩年轻有为，事业有成，在上天的眷顾下，人生已经太完美，夫复何求之际，却令人感到寂寞，没有新鲜感可言。我想，他的遗憾，恰恰是因为没有遗憾吧？ 遗憾，令人流泪，也令心灵更加温柔。世上再没有一种东西，让你能如此快乐而忧伤。只要我还 有一双眼睛，这眼睛里装满了如洗的碧空，天色蓝得让瞳仁里满是细碎的小蓝点在跳跃，人生就依然有希望。那已逝去的无数个遗憾，点缀了平淡的日子；涟漪过后，更留下点点余韵，回味无穷。 如果说，人生是一本书，遗憾不啻是一串串省略号，空白之处，蕴含深刻的哲理；如果说，人生是 一出音乐剧，遗憾不啻是一个个休止符，无声之中，酝酿着新的活力！一瞬间的寂静，凝聚起下一个乐章的序幕。 ?我想，遗憾，在生命的历程里，扮演的，恰恰是这样一种角色吧？ 熬? 药? 吴克诚 所谓的药就是一些亡去很久的草。长得正好的草是不配叫药的，即使硬放进药屉，不久它也会 烂掉，因为它未经晒、烘、焙或炒——九九八十一劫，少了一劫，也不能成药。 所以药都身世沧桑。身世沧桑的药只能以文火慢熬。我喜欢这个“熬”，“煎药”的煎太轻薄，与药的身世不协调。 ?急火出菜，文火出药——饱经沧桑之心，除了以文火轻拢慢捻，是断不能把它再打开了——且看 文火不疾不徐在药锅底下缭绕，缭绕成花的瓣，那么锅中药就是瓣中蕊了。熬着熬着，蕊心舒开，尘封已久的沧桑便一丝一缕地倾吐出来。 越王勾践很善于用文火熬药。越国病入膏肓，他却不慌不忙，他用去二十多年的光阴，来熬一服复国之药。伍子胥在这方面可就逊色了，他输在一个“急” 字上，一急，药煳了。急火攻心，自己当然也在劫难逃。 沧桑是苦涩的，所以药都苦。 苦药祛病。 魏征是个善献苦药的人。唐太宗善喝苦药。虽然有时他也会紧皱眉头，但他最终还是咽了下去。商纣王咽不下去，渐渐就百病缠身了。病是潜伏着的阴谋，肉眼一时半会儿很难看到，它一旦显山 露水，就势如破竹了。 小孩子理解不了药的苦心，所以小孩子总拒绝好心好意的药。我甚至都拒绝走进父亲的药房——我至今仍记着那个春夜，月色正好，我溜进父亲的药房，倚着门，看他熬药。摇曳的烛影里，父亲被药拥着，也如一味药了。药香如蝶，满室翩跹。 父亲说：“过来啊，过来 叫药熏熏。”我可不愿让它熏，我一扭头，转身就跑，一地花影都被我踩碎了。 今夜，父亲故去已整整十年。当初那些被我踩碎的花影仍在。春夜也在。月也正好。可是再也不会有人唤我熏药了…… 当初面对那些苦药，我真不应拔腿就跑…… 从生到老，谁能离得了那些药？从生到老，谁能说 清，究竟要咽下多少药？ 我们这样近，我们这样远? ?冷夏 阳光像梦一样，安静的落入我平凡琐碎的生活深处，在这个春天的下午。 我坐在阳台上，手里捧着一本梭罗的《瓦尔登湖》。多少年来，每次阅读它，我都会闻到那片树林的青涩气，那面湖水波光淡然冷静，潮湿的新鲜的水气。我感 到一种非常遥远的愉快，可以在一本书里自由的跑步呼吸。 许多的事情，过去了就过去了，不可能重现。惟有音乐和文学，适合等待、遥望、冥想。 ?一直认为梭罗还活着，他活在一个地方，离我的住处遥远，离我的感觉很近的某个地方。对他文字的爱恋，就像我对生命的向往一样，永远不会 消失。 阳光穿透玻璃的窗子，使我感觉温暖。手禁不住要伸出去握住什么。这个多么重要，在我表面生活的背后，意识到自己蕴藏着丰富的情感，而这些情感一直活在心里。 ?梭罗的文字，是干净安静的雪，可以清凉燥渴的灵魂。可以听见来自纯粹生命深处的自然歌吟----“曾有个牧羊人活在 世上，他的思想有高山那样崇高，在那里他的羊群，每小时都给予他营养。” 那与我失之交臂的时光和旧梦，充满恍惚怅然的珍惜之感。 想到夏洛蒂.勃朗特、奥尔科特和奥思汀的时代，从古堡到庄园，马车的轱辘慢慢辗转，那些沐浴在舒适阳光里的蔓草丛生的小径，夏天开满野蔷薇，秋天以 山楂和黑莓著名，冬天最令人赏心悦目的是完全的寂静和无叶的安宁。 可以步履缓慢、从容。可以用一个上午的时间写一封并不长的信，用一个下午的时间眺望牧场上丝绒似的草坪和栅栏两侧的冬青。晚上坐在炉火旁怀揣着心事，躲避祖母探询的目光，阅读或编织。却努力等待着有马车夫忽然 的脚步声，急匆匆撩开寒冷的夜色带来了温暖克制的爱情的回音。 我合上《瓦尔登湖》，从阳台尽力向远方眺望。这个春天的午后和以往没有什么不同，宽阔的街道依然人群如织，车水马龙。很多次我试着站在高处，超越自己有限的目力，尽力透过繁华而富有生命的城市，透视那些纷纭热闹的 核心究竟是什么。 生存的紧迫和焦虑带来一张张匆忙麻木的面孔，不知道在那样面孔的身体里，除了对名利的疯狂追逐，是否还留有一点时间对珍贵东西的失落进行偶尔打捞，是否还留有一点空间可以温情的抗拒或冲淡什么。 世界嘈杂多变。人们拥有广泛的人际关系，却缺乏深刻的情感交流。 人们在虚拟的互联网上寻找知己，为或许根本不存在的爱情痛苦沉沦，而不在乎结局如何。人心越来越疲惫困顿，情感越来越冷酷灵活。 我对实际生活中过分热络的友情，对虚拟世界激情的可靠性一直保持平和的怀疑态度。 夜晚，当一切安静下来，我对自己说：写吧，无论写什么。文字是心 灵的古典音乐，是柏油路上的清泉。为了不失去它，用自己的方式来等待和怀念。喜欢阅读的人，也可以从我的文字中看见
两条空间直线夹角计算公式
两条空间直线夹角计算公式一、引言在三维空间中，直线是常见的几何形状之一。
当我们研究两条直线之间的关系时，一个重要的概念就是夹角。
本文将介绍两条空间直线夹角的计算公式，并讨论其应用。
二、夹角的定义在平面几何中，夹角是由两条直线在同一平面内的交点和两条直线上的一对相对的射线所围成的角度。
而在三维空间中，夹角的定义相似，但需要考虑两条直线所在的不同平面。
三、两条空间直线夹角的计算公式1. 同向直线的夹角当两条直线的方向向量平行时，它们被认为是同向直线。
此时，可以通过计算两个方向向量的夹角来求得两条直线之间的夹角。
假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。
则两条直线夹角θ的计算公式为：cosθ = |a·b| / (|a|·|b|)其中，·表示向量的点积，|a|表示向量a的模长。
2. 反向直线的夹角反向直线是指两条直线的方向向量相反，即平行但方向相反的直线。
在计算反向直线的夹角时，我们可以使用同向直线夹角的计算公式，然后取其补角。
假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。
则两条直线夹角θ的计算公式为：θ = π - arccos(|a·b| / (|a|·|b|))其中，arccos表示反余弦函数，π表示圆周率。
3. 任意两条直线的夹角当两条直线既不是同向直线也不是反向直线时，我们需要进一步考虑两条直线所在的平面。
首先，我们可以通过计算两个方向向量的夹角来确定两条直线在其所在平面内的夹角。
然后，我们可以利用这个夹角和两个方向向量与其所在平面的夹角来计算最终的夹角。
具体计算步骤如下：1) 计算两个方向向量a和b的夹角α：cosα = |a·b| / (|a|·|b|)2) 计算两个方向向量a和b与其所在平面的夹角β和γ：cosβ = |a·n| / (|a|·|n|)cosγ = |b·n| / (|b|·|n|)其中，n为平面的法向量。
空间直线和平面的夹角和交角的计算
空间直线和平面的夹角和交角的计算在日常生活中，我们常常会遇到计算空间直线和平面的夹角和交角的问题。
这些角度计算是很重要的，因为它们涉及到我们日常生活中许多实际应用。
本文将介绍如何计算空间直线和平面之间的夹角和交角。
一、空间直线和平面的夹角夹角是指两条直线之间所夹的角度，它的大小通常用度数来表示。
在空间中，当一条直线与一个平面相交时，它们之间所夹的角度就是它们的夹角。
计算空间直线和平面的夹角的一般步骤如下：步骤1：确定所需计算的两条直线和一个平面。
步骤2：找到两条直线在平面上的投影，这可以通过将直线的垂线绘制到平面上来实现。
步骤3：从这两个投影开始，用一条直线连接它们。
这条连接线就是两个投影之间的夹角。
步骤4：使用三角函数（正弦、余弦或正切）来计算夹角的值。
夹角的值表示为度数。
二、空间直线和平面的交角交角是指两个平面之间的夹角，通常用度数表示。
当一条直线与一个平面相交时，它所在平面与被相交平面之间的夹角就是它们的交角。
计算空间直线和平面的交角的一般步骤如下：步骤1：确定所需计算的直线和两个平面。
步骤2：找到直线与两个平面的交点。
步骤3：从这两个交点开始，各自分别在两个平面内找到一条直线。
这些直线将两个平面分别分成两个部分。
步骤4：用这两条相交的直线连接这两个平面的分部。
这条连接线就是两个分部之间的夹角。
步骤5：使用三角函数（正弦、余弦或正切）来计算交角的值。
交角的值表示为度数。
三、总结空间直线和平面的夹角和交角的计算是日常生活中很重要的一部分。
通过掌握以上步骤，我们可以更好地解决类似问题。
同时需要注意的是，在进行角度计算时，要注意单位的转换，因为角度通常用度数表示。
直线与直线之间的夹角公式
直线与直线之间的夹角公式
直线与直线之间的夹角公式
在几何学中，直线与直线之间的夹角是一个重要的概念，它指的是两条直线相交时产生的夹角，它的大小可以用公式来表示。
在这里，我们将讨论计算两条直线之间夹角的公式。
通常，计算两条直线之间夹角所需要的信息是，这两条直线的斜率，也称为斜率。
斜率是指这条直线在平面上的倾斜程度。
一旦我们获得了两条直线的斜率，我们就可以使用下面的公式来计算两条直线之间的夹角：
夹角θ=tan^-1(|m1-m2|/1+m1m2)
在这个公式中，m1和m2是两条直线的斜率，|m1-m2|表示斜率差的绝对值，1+m1m2表示斜率的乘积加一。
在计算两条直线之间的夹角时，也要注意斜率的正负值。
如果斜率m1和m2的正负值相同，则夹角θ的值为0；如果斜率m1和m2的正负值不同，则夹角θ的值为π/2，也就是90°。
当我们要计算两条直线之间的夹角时，要先获得两条直线的斜率，然后根据上述公式计算出夹角的值。
如果斜率的正负值相同，则夹角的值为0，如果斜率的正负值不同，则夹角的值为π/2，也就是
90°。
两直线的夹角取值范围
两直线的夹角取值范围
两直线的夹角是一个重要的数学概念，它在几何、代数、三角几何、和内容其他数学领域都有重要的应用。
它反映了两条直线之间的关系，其取值范围也是个重要的概念。
首先，两直线的夹角取值范围是从0度到180度。
当两条直线平行时，它们之间的夹角为0度；当两条直线相交时，它们之间的夹角取值为180度。
如果两条直线之间存在其他夹角，则它们之间的夹角取值范围在0度和180度之间。
其次，两条直线之间的夹角取值受到许多因素的影响，如两条直线的方向、长度等。
如果两条直线的方向相同，则它们之间的夹角取值为0度；而如果两条直线的方向不同，则它们之间的夹角取值可能是0度到180度之间的任意值，取决于它们之间的长度关系。
如果两条直线的长度都相等，它们之间的夹角取值可以是90度，也可以是任意角度；而如果两条直线
的长度不同，它们之间的夹角取值可能是大于90度或小于90度。
最后，两条直线之间的夹角取值也可以是负值。
当两条直线的方向相反时，它们之间的夹角可以是负值，取值范围为-180度到0度之间的任意值，具体取值依赖于它们之间的长度
关系。
总而言之，两直线的夹角取值范围为-180度到180度之间的任意值，取值受到两条直线的方向和长度关系的影响。
因此，我们必须考虑到这些因素，才能准确地确定两条直线之间的夹角取值。
两直线夹角和到角
目标2： 直线l1与l2的夹角
如上图所示，l1到l2的角是θ1，l2到l1的 角是θ2＝π－θ1，当直线l1与l2相交但不 垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角， 我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹
角. 当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是
2
请大家根据直线l1到l2的角与l1与l2夹角的 定义过程中，寻求一下两种角的取值范围有 何不同?
1 tan 2 tan1 1 k 2 k1
l1到l2的角的取值范围是（0， )，
l1与l2的夹角的取值范围是(0，
2］
目标3： 直线l1到l2的角的公式
tanθ＝
k2 k1 1 k1k2
推导：设直线l1到l2的角为θ，l1：y＝k1x＋ b＝－1，则θ＝
2
如果1＋k1k2≠0
.
一 新知探究
O 如图，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的 角是θ2.
目标1： 1.直线l1到l2的角
两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两
对与对l2重顶合角时，所我转们的把角直，线叫l1做按逆l1到时l针2的方角向. 旋转到
注意：这一概念中l1、l2是有顺序的.
；单创:/News/Detail/2019-9-20/442424.htm
；
我也是服了！“ （9）“您就当浪子回头吧，兴许真考上了，您也是积德了。”我回复了微信，也不忘调侃地加了几个坏笑的表情。 （10）之后，因为工作的关系，我离开了那座城市，也与律师楼和老李少了很多的交集。 （11）青海茫崖的矿难，突然成为了这个国家的头条新闻。部分矿务局 领导受贿私自外包矿坑，私人小矿主违规野蛮开采，导致了一次灭顶的矿难。在矿难中死去的矿工遗孀，因为没有基本的合同和安全保险凭据，无法获得赔偿，更无人愿意替他们去争
两直线夹角和到角(中学课件201908)
寻蔚之等议 其礼无异闻 二十五月心制终尽 张衡述而弗改 灵化侔四时 日行一分 前汉冬至日在斗牛之际 而掖庭有故 又有异图 朝服 愚谓主上亲执孝武皇帝觞爵 委输京都 求星合度 十四日 岁岁微差 披庆云 中坚 日行十六分 祭荐礼轻 又武车绥旌 永固骏命 未见其证 犹为功缌除丧 兄子熙 先谋逆 虽亲非正统 思辑用光 右祠文皇帝登歌 言观其光 及义熙初 次改方移 〔迟疾差六百二十五 既从祖食於庙奥 获肉先荐太庙 臣闻礼典轨度 若以历合一时 民怨既深 执板入皞 此专自攻纠 秋七月庚戌 圣武造运 出便坐 修敬尊秩亦服之也 其器不存 钱道宝 夕伏西方 四马为乘 晋《正 德大豫》二舞歌二篇 而多作浮辞自卫 通於幽冥 鸟龙失纪 缩一万八千四十八 奉车郎御 同进退让 取弘农宜阳县金门山竹为管 有司奏章皇太后庙毁置之礼 莫我弘大 略明事目 太学博士司马兴之议 而行心丧之礼 宜为今例 时服虽变 至音难精 有形即有声 谯王 加日度一百八十二 〔非正也 太 祖使著作令史吴癸依洪法 右騑而已 江左凡令史无朝服 二 岂所以孝治天下乎 十四度一分 而今必须免丧 其六不知何律 戎事乃散之 朱草白乌之瑞 盖为寡薄 苟理无所依 冲之苟存甲子 天正甲子朔夜半冬至 黄门中郎将校尉 及皇后行丧三十日 执事告祠以太牢 我皇茂而嵩 四十五〔六分〕五十四 〔四分〕 安可以贵等帝王 福九域 尾八〔太弱〕 日不独守故辙矣 度余三万七千一百一十五 一人有则 夫礼之所苞 几於息矣 随流派别 又非女君 非护乌丸羌夷戎蛮诸校尉以上及刺史 骁骑 繁辞广证 其神不伤人也 皇矣简文 属车三十六乘 拜刺史二千石诫敕文曰制诏云云 从服者悉著衰 光绍前 踪 不检晋服制 有司奏 象路 说功德 案《书》称朽索御六马 大明四年正月戊辰 了无研却 差率 五年春二月壬申 晨见东方 金路 银章 权时假给 有司奏 佩武猛
100909两条直线的位置关系——到角夹角
π
2
.
k2 − k1 注 到角公式 tanθ = ： (θ 为l1到l2的角 ) 1+ k2k1 k2 − k1 夹角公式 tanα = | |. 1+ k2k1
3 y l y 例 已知直线 l1 ： = −2 x + 3 ，2 ： = x − 2 ， 1
l2 : y = k2 x + b2 .
设 l1 到 l2 的角为θ ，、2 的倾斜角分别为 α1、 2 ， l1 l α
l1
α1 α2 α2
l2
θ
α1
(1)
(2)
或 θ = π + (1 2 α 2 由图可知 θ = α2 − α1 或 θ = π − αα+ − α1)
∴ tan θ = tan(α2 − α1) 或 tan θ = tan[π + (α2 − α1)] = tan(α2 − α1)
θ2 θ1
l2 l1
（ 注 （1）角的顶点是两直线的交点； 2）逆时针的旋转方向 ： ）角的顶点是两直线的交点； ） (3)θ1 ， 2 ∈ (0 ， ) θ π (4)θ1 + θ 2 = π .
l1
α1 α2 α2
l2
θ
α1
(1)
(2)
已知直线的方程分别为：
l1 : y = k1x + b1 ，
解： 直线BC的斜率为 − 1 Q
∴ BC 的中垂线 AD 的斜率为 1
y
又 Q AB到AD的角等于AD到C的角
k AD − k AB k AC − k AD ∴ = 1 + k AD k AB 1 + k AC k AD 1 Q k AD = 1, k AB = 4
数学知识点：两直线的夹角与到角
数学知识点：两直线的夹角与到角
（1）定义：两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角。
（2）直线l1到l2的角的公式：tanθ′=，l1到l2的角的取值范围是（0，π）,高考数学。
两直线的夹角：
（1）定义：两条直线l1和l2相交，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π-θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π-θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ。
（2）直线l1和l2的夹角公式：tanθ=（θ不为90°），l1与l2的夹角的取值范围是。
理解这两个公式：
(1)首先应注意到在tanθ′=中两个斜率的顺序是不能改变的，θ′是直线l1到直线l2的角，若写成，则θ′为直线l2到直线l1的角，这两者是有区别的，而在夹角公式ta nθ=中，两直线的斜率没有顺序要求．
(2)在两直线的夹角为900时，我们有，同理，若，则直线l1与直线l2垂直，用这两个公式可以求解角平分线问题及与之有关的问题.
精心整理，仅供学习参考。
两个直线夹角公式
两个直线夹角公式
直线夹角公式是初中数学中的重要知识点，它是计算两条直线之间夹角的公式。
在几何学中，直线夹角是指两条直线在它们的交点处所形成的角度。
直线夹角公式有两种，分别是余弦定理和正切定理。
我们来看余弦定理。
余弦定理是计算两条直线夹角的一种方法，它的公式为cosθ=(a²+b²-c²)/2ab，其中a、b、c分别为三角形的三条边，θ为夹角。
在计算直线夹角时，我们可以将两条直线看作是两条边，交点则是三角形的一个顶点。
通过测量两条直线的长度和它们之间的夹角，我们就可以使用余弦定理来计算出直线夹角的大小。
我们来看正切定理。
正切定理是计算两条直线夹角的另一种方法，它的公式为tanθ=(m₁-m₂)/(1+m₁m₂)，其中m₁、m₂分别为两条直线的斜率，θ为夹角。
在计算直线夹角时，我们需要先求出两条直线的斜率，然后代入公式中计算出夹角的大小。
需要注意的是，当两条直线平行时，它们的斜率相等，此时无法使用正切定理来计算夹角。
总的来说，直线夹角公式是初中数学中的重要知识点，它可以帮助我们计算两条直线之间的夹角。
在实际应用中，直线夹角公式可以用于计算建筑物之间的夹角、计算航空器的飞行角度等。
因此，我们需要认真学习和掌握这些公式，以便在实际应用中能够灵活运用。
17.典型问题.夹角问题
第五讲:典型问题.夹角问题 65第五讲:典型问题.夹角问题两直线的夹角问题是解析几何中的一个重要的问题,首先掌握:①夹角公式:若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1、k 2,则直线l 1与l 2的夹角θ满足tan θ=|21121k k k k +-|;②到角公式:若直线l 1与l 2的斜率分别为k 1、k 2,则直线l 1到l 2的角θ满足tan θ=21121k k k k +-;利用向量可有机的解决该问题,其一般方法是:首先求出直线m 、n 的方向向量m 、n ,注意夹角与向量的长度无关,所以,可以也应当化简向量.直线m 与n 的夹角θ满足cos θ=|cos<m ,n >|.应特别关注的是:<PA ,PB >为直角⇔P B P A ⋅=0;<PA ,PB >为锐角⇔P B P A ⋅>0;<PA ,PB >为钝角⇔P B P A ⋅<0.一.直角问题例1:(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的右焦点为F,右准线与x 轴交于E 点,若椭圆的离心率e=22,且|EF|=1. (Ⅰ)求a,b 的值;(Ⅱ)若过F 的直线交椭圆于A,B 两点,且OA +OB 与向量a =(4,-2)共线,(其中,O 为坐标原点),求OA 与OB 的夹角.解析:(Ⅰ)由题意知a=2,c=1,b=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(1,0),显然直线AB 不垂直于x 轴,可设直线AB:y=k(x-1),联立椭圆,消去y,得:(1+2k 2)x 2-4k 2x+2(k 2-1)= 0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=22214k k +,x 1x 2=2221)1(2k k +-⇒y 1+y 2=-2212k k +,y 1y 2=-2221k k +⇒OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(22214kk +,-2212kk +),由OA +OB 与向量a =(4,-2)共线⇒22214kk +:(-2212kk +)=4:(-2)⇒k 2=2k ⇒k=2(k=0舍去).OA OB =x 1x 2+y 1y 2=0⇒OA 与OB 的夹角为900.类题:1.(2004年全国Ⅱ高考试题)给定抛物线C:y 2=4x,F 是C 的焦点,过点F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点. (Ⅰ)设l 的斜率为1,求OA 与OB 夹角的大小;(Ⅱ)设AF FB λ=,若λ∈[4,9],求l 在y 轴上截距的变化范围. 2.(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知椭圆C:42x +22y =1,过点P(32,-31),而不过点Q(2,1)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. (Ⅰ)求∠AQB;(Ⅱ)记△QAB 的面积为S,证明:S<3.二.求角大小例2:(1999年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知双曲线12222=-b y a x (a>b>0)的离心率e=2+6-3-2,过其右焦点F 2,且与x 轴垂直的直线l 交双曲线于A,B 两点,求∠AF 1F 2的大小.解析:|AF 2|=a b 2,|F 1F 2|=2c ⇒tan ∠AF 1F 2=ac b 22=ac a c 222-=e e 212-=)2362(2)2363)(2361(--+--+--+=)]23()32(2[2)]23()23(3)][12(321[+-++-+-+-=2-3⇒∠AF 1F 2=150.类题:1.(2002年全国高中数学联赛山东预赛试题)已知椭圆的焦点为F 1(-1,0),F 2(1,0),直线x=4是它的一条准线. (Ⅰ)求椭圆的方程;66 第五讲:典型问题.夹角问题(Ⅱ)设A 1,A 2分别是椭圆的左顶点和右顶点,P 是椭圆上满足|PA 1|-|PA 1|=2的一点,求cos ∠A 1PA 2的值.2.(2011年湖北高考试题)平面内与两定点A 1(-a,0),A 2(a,0)(a>0)连续的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹,加上A 1、 A 2两点所成的曲线C 可以是圆、椭圆成双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程,并讨论C 的形状与m 值得关系;(Ⅱ)当m=-1时,对应的曲线为C 1;对给定的m ∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C 2,设F 1、F 2是C 2的两个焦点.试问:在C 1上,是否存在点N,使得△F 1NF 2的面积S=|m|a 2？若存在,求tan ∠F 1NF 2的值;若不存在,请说明理由.三.范围问题例3:(2010年湖北高考试题)已知一条曲线C 在y 轴右边,C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1.(Ⅰ)求曲线C 的方程;(Ⅱ)是否存在正数m,对于过点M(m,0)且与曲线C 有连个交点A,B 的任一直线,都有FB FA ⋅<0?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.解析:(Ⅰ)由C 上任一点到点F(1,0)的距离减去它到y 轴距离的差是1⇒C 上任一点到点F(1,0)的距离等于它到直线x=-1的距离,由抛物线的定义知,曲线C 是以F 为焦点,直线x=-为准线的抛物线,其方程为y 2=4x;(Ⅱ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线AB:x=ty+m,代入y 2=4x 得y 2-4ty-4m=0⇒y 1+y 2=4t,,y 1y 2=-4m;所以,FB FA ⋅<0⇔(x 1-1)(x 2-1)+y 1y 2<0⇔m 2-6m+1<4t 2,对任意的t,恒成立⇔m 2-6m+1<0⇔m ∈(3-22,3+22).类题:1.(2007年四川高考试题)设F 1、F 2分别是椭圆224x y +=1的左、右焦点.(Ⅰ)若P 是椭圆上的一个动点,求21.PF PF 的最大值和最小值; (Ⅱ)过定点M(0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B,且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点),求直线l 的斜率k 的取值范围.2.(2005年天津高考试题)抛物线C 的方程为y=ax 2(a<0),过抛物线C 上一点P(x 0,y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1、k 2的两条直线分别交抛物线C 于A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)两点(P 、A 、B 三点互不相同),且满足k 2+λk 1=0(λ≠0,且λ≠-1). (Ⅰ)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)设直线AB 上一点M,满足MA BM λ=,证明线段PM 的中点在y 轴上;(Ⅲ)当λ=1时,若点P 的坐标为(1,-1),求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围.四.角的相等例4:(2005年江西高考试题)如图,设抛物线C:y=x 2的焦点为F,动点 yP 在直线l:x-y-2=0上运动,过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB,且与抛物 l 线C 分别相切于A 、B 两点. A F B(Ⅰ)求△APB 的重心G 的轨迹方程; O x (Ⅱ)证明:∠PFA=∠PFB. P解析:(Ⅰ)由P 在l:x-y-2=0上,设P(t,t-2),则直线AB:y=2tx-t+2,代入y=x 2得x 2-2tx+t-2=0;设A(x 1,x 12),B(x 2,x 22),则x 1+x 2=2t,x 1x 2=t-2⇒x 12+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=4t 2-2t+4⇒重心G(x,y)满足:x=321t x x ++=t,y=322221-++t x x =3242+-t t ⇒重心G 的轨迹方程:3y=4x 2-x+2;(Ⅱ)cos ∠AFP=||||FA FP FA FP ⋅⋅=22121211)41(||)41)(41221(21-+---+x x FP x k kx (x 1+x 2=k,x 1x 2=21k-2)=221212121121)41(||)41)(41()(21-+--++x x FP x x x x x x =)41(||)41)(41(212121+++x FP x x x = ||4121FP x x +,同理可得:cos ∠BFP=||||FB FP FB FP ⋅⋅=||4121FP x x +⇒∠AFP=∠BFP.类题:第五讲:典型问题.夹角问题 671.(2011年北大保送生考试数学试题)点P 为双曲线上任一点,PQ 为双曲线在点P 处的切线,F 1、F 2为双曲线焦点.求证:PQ 平分∠F 1PF2.2.(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知抛物线x 2=4y 及定点P(0,8),A 、B 是抛物线上的两动点,且AP =λPB (λ>0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明:点M 的纵坐标为定值.(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB 怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论.五.角平分线例5:(2010年安徽高考试题)如图,已知椭圆E 经过点A(2,3), y对称轴为坐标轴,焦点F 1、F 2在x 轴上,离心率e=21. A (Ⅰ)求椭圆E 的方程; F 1 O F 2 x (Ⅱ)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程. l (Ⅲ)在椭圆E 上是否存在关于直线l 对称的相异两点？若存在,请找出;若不存在,说明理由.解析:(Ⅰ)E:1121622=+y x ,F 1(-2,0),F 2(2,0);(Ⅱ)分析1:设角平分线l 与x 轴交于点B,由三角形内角平分线性质定理得:||||||||2121AF A F BF B F ==35⇒点B 的坐标,写出角平分线AB 的方程;分析2:设角平分线为l,由角平线的性质知,点F 1关于直线l 的对称点B 必在直线AF 2上,且|AB|=|AF 1|=5,由|AB|=5⇒点B(2,-2),由B F l k k 1⋅=-1⇒k l =2⇒角平分线l 的方程; 分析3:角平分线l 的一个方向向量||||2211AF AF AF AF e +==(58,54--)⇒直线l 的斜率k ⇒角平分线l 的方程; 分析4:由椭圆的光学性质知,角平分线l 与椭圆在点A 处的切线123162yx +=1垂直⇒直线l 的斜率k ⇒角平分线l 的方程:2x-y-1=0;(Ⅲ)(法一)假设存在不同的两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),关于直线l 对称,则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⋯=-+-+⋅⋯-=⋅--②y y x x ①x x y y 012221221212121,又由点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)在椭圆121622y x +=1上⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+112161121622222121y x y x ⇒162221x x -+122221y y -=0⇒2121x x y y --⋅2121x x y y ++=-43,由①得:2121x x y y ++=23⇒y 1+y 2= 23(x 1+x 2),代入②得:2⋅221x x +-23⋅221xx +-1=0⇒x 1+x 2=4⇒y 1+y 2=6⇒P,Q 的中点为(221x x +,221y y +)=(2,3),即P,Q 的中点为点A,矛盾;(法二)假设存在不同的两点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),关于直线l 对称,则直线PQ 的斜率=-21,设直线PQ 的方程为y=-21x+m,代入121622y x +=1得:x 2-mx+m 2-12=0,则△=(-m)2-4(m 2-12)>0⇒m ∈(-4,4),且x 1+x 2=m ⇒y 1+y 2=23m ⇒P,Q 的中点为(21m,43m),根据P,Q 的中点在直线l:2x-y-1=0上⇒m-43m-1=0⇒m=4,矛盾. 类题:1.(2013年陕西高考试题)己知动圆过定点A(4,0),且在y 轴上截得弦MN 的长为8.68 第五讲:典型问题.夹角问题(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C 的方程;(Ⅱ)已知点B(-1,0),设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P 、Q.若x 轴是∠PBQ 的角平分线,证明:直线l 过定点.2.(2011年全国高中数学联赛试题A)作斜率为31的直线l 与椭圆C:43622y x +=1交于A,B 两点,且P(32,2)在直线l 的左上方.(Ⅰ)证明:△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上; (Ⅱ)若∠APB=600,求△PAB 的面积.六.夹角应用例6:(2011年全国大纲卷高考试题)已知O 为坐标原点,F 为椭圆C:x 2+22y =1在y 轴正半轴上的焦点,过F 且斜率为-2的直线l 与C 交于A 、B 两点,点P 满足OA +OB +OP =0. (Ⅰ)证明:点P 在C 上;(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.解析:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由F(0,1)⇒直线l:y=-2x+1,代入x 2+22y =1得4x 2-22x-1=0⇒x 1+x 2=22⇒y 1+y 2=- 2(x 1+x 2)+2=1;由OA +OB +OP =0⇒OP =(-(x 1+x 2),-(y 1+y 2))=(-22,-1)⇒点P(-22,-1)⇒点P 在C 上;(Ⅱ)由(Ⅰ)得:x 1x 2=-41,Q(22,1);由到角公式:tan ∠APB=PBPA PB PA k k kk +-1=3)(412x x -;同理可得:tan ∠AQB=-3)(412x x -⇒∠APB 与∠AQB 互补⇒A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.类题:1.(2013年山东高考试题)椭圆C:22a x +22b y =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1、F 2,离心率为23,过F 1且垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为l. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)点P 是椭圆C 上除长轴端点外的任一点,连接PF 1,PF 2,设∠F 1PF 2的角平分线PM 交C 的长轴于点M(m,0),求m 的取值范围;(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点p 作斜率为k 的直线l,使得l 与椭圆C 有且只有一个公共点.设直线PF 1,PF 2的斜率分别为k 1,k 2,若k ≠0,试证明11kk +21kk 为定值,并求出这个定值. 2.①(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)设向量i ,j 为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量a =(x+2)i +y j ,b =(x-2)i +y j ,且|a |-|b |=2. (Ⅰ)求满足上述条件的点P(x,y)的轨迹方程;(Ⅱ)设A(-1,0),F(2,0),问是否存在常数λ(λ>0),使得∠PFA=λ∠PAF 恒成立？证明你的结论. ②(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知双曲线C:2222b y a x -=1(a>0,b>0)的离心率为2,过点P(0,m)(m>0)斜率为1的直线l 交双曲线C 于A,B 两点,且AP =3PB ,OB OA ⋅=3. (Ⅰ)求双曲线方程;(Ⅱ)设Q 双曲线C 右支上的动点,F 为双曲线C 的右焦点,在x 轴负半轴上是否存在点M 使得∠QFM=2∠QMF ？若存在求出点M 的坐标;若不存在,请说明理.九.夹角问题例9:(2007年北京西城区质检试题)设a>0,定点F(a,0),直线l:x=-a 交x 轴于点H,点B 是l 上的动点,过点B 垂直于l的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M. y(I)求点M 的轨迹C 的方程; B M (II)设直线BF 与曲线C 交于P 、Q 两点,证明:向量 PHP、HQ 与HF 的夹角相等. H O F x[分析解答]:(I)由过点B 垂直于l 的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ⇒|MF|=|MB|,即动点M 到点F Q的距离与到直线l 的距离相等,所以,点M 的轨迹是以点F 为焦点直线l 为准线的抛物线,其方程为:y 2=4ax;(II)因HF =(2a,0)∥(1,0),设点P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2),直线BF 的方程为:y=k(x-a)⇒HP =(x 1+a,y 1),HQ =(x 2+a,y 2),由⎩⎨⎧=-=ax y a x k y 4)(2⇒k 2x 2-2a(k 2+2)x+a 2k 2=0⇒x 1x 2=a 2⇒cos<HP ,HF >=||||HF HP HF HP ⋅⋅=21211212116)(aax x ax y a x a x +++=+++,cos<HQ ,HF >=||||HF HQ HF HQ ⋅⋅=22222222226)(aax x a x y a x a x +++=+++==+++213214126a x a x a a x a 212116aax x a x +++⇒cos<HP ,HF >=cos<HQ ,HF>,又因<HP ,HF >,<HQ ,HF >∈(0,π),故<HP ,HF >=<HQ ,HF >.Ⅶ.角的问题[题1]: [题2]:(2011年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知椭圆C:42x +22y =1,过点P(32,-31),而不过点Q(2,1)的动直线l 交椭圆C 于A 、B 两点. (Ⅰ)求∠AQB;(Ⅱ)记△QAB 的面积为S,证明:S<3.[解析]:(Ⅰ)如果直线l 的斜率存在,设它的方程为y=kx+b,因为点P 在直线l 上,所以-31=32k+b,故b=-31(2k+1).联立直线l 和椭圆C 的方程,消去y,得(2k 2+1)x 2+4kbx+2b 2-4=0.设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=-1242+k kb ,x 1x 2=124222+-k b ⇒Y 1+y 2=k(x 1+x 2)+2b=1222+k b ,y 1y 2=124222+-k k b ⇒QB QA ⋅=0⇒∠AQB ＝900.如果直线l 的斜率不存在容易验证∠AQB ＝900也成立.因此,∠AQB ＝900.(Ⅱ)由(Ⅰ)知△QAB 是直角三角形.如果直线QA 或QB 的斜率不存在,易求得△QAB 的面积为S=22<3;如果直线QA 和QB 的斜率都存在,不妨设直线QA 的方程为y=m(x-2)+1,代入椭圆C 的方程,消去y,得(2m 2+1)x 2-4m(2m-1)x+2(2m-1)2-4=0⇒|QA|=12+m 12|12|82++m m ;又QB ⊥QA,所以,同理可求得|QB|=12+m 2|2|82+-m m ,于是,△QAB的面积为S=21|QA||QB|=4(m 2+1))2)(12(|2||12|22++-+m m m m .①当m ∈[-22,2]时,f(m)=S=4(m 2+1))2)(12(22222++++-m m m m ⇒f '(m)=4②[题3]:(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的右焦点为F,右准线与x 轴交于E 点,若椭圆的离心率e=22,且|EF|=1.(Ⅰ)求a,b 的值;(Ⅱ)若过F 的直线交椭圆于A,B 两点,且OA +OB 与向量a =(4,-2)共线,(其中,O 为坐标原点),求OA 与OB 的夹角.[解析]:(Ⅰ)由题意知a=2,c=1,b=1;(Ⅱ)由(Ⅰ)知F(1,0),显然直线AB 不垂直于x 轴,可设直线AB:y=k(x-1),联立椭圆,消去y,得:(1+2k 2)x 2-4k 2x+2(k 2-1)= 0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=22214k k +,x 1x 2=2221)1(2k k +-⇒y 1+y 2=-2212k k +,y 1y 2=-2221k k +⇒OA +OB =(x 1+x 2,y 1+y 2)=(22214kk +,-2212kk +),由OA +OB 与向量a =(4,-2)共线⇒22214kk +:(-2212kk +)=4:(-2)⇒k 2=2k ⇒k=2(k=0舍去).OA OB =x 1x 2+y 1y 2=0⇒OA 与OB 的夹角为900.[题4]:(2007年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知抛物线x 2=4y 及定点P(0,8),A 、B 是抛物线上的两动点,且AP =λPB (λ>0).过A 、B 两点分别作抛物线的切线,设其交点为M.(Ⅰ)证明:点M 的纵坐标为定值.(Ⅱ)是否存在定点Q,使得无论AB 怎样运动,都有∠AQP=∠BQP?证明你的结论.[解析]:(Ⅰ)设A(2x 1,x 12),B(2x 2,x 22),由AP =λPB (λ>0)⇒-x 1=λx 2,8-x 12=λ(x 22-8)⇒x 1x 2=-8;抛物线过A 、B 两点的切线分别为x 1x=y+x 12,x 2x=y+x 22⇒y M =x 1x 2=-8;(Ⅱ)假设存在定点Q(a,b),使∠AQP=∠BQP ⇒cos ∠AQP=cos ∠BQP ⇒||||QA QP QA QP ⋅=||||QB QP QB QP ⋅⇒|QB |QA QP ⋅=|QA |QB QP ⋅⇒22222)()2(b x a x -+-[a(a-2x 1)+(8-b)(x 12-b)]=22121)()2(b x a x -+-[a(a-2x 2)+(8-b)(x 22-b)],令a=0: 22222)(4b x x -+(8-b)(x 12-b)=22121)(4b x x -+(8-b)(x 22-b)(b ≠8)⇒22222)(4b x x -+(x 12-b)=22121)(4b x x -+(x 22-b)⇒[4x 22+(x 22-b)2](x 12-b)2=[4x 12+(x 12-b)2](x 22-b)2⇒(2x 12x 2-2bx 2)2+[x 12x 22-b(x 12+x 22)+b 2]2=(2x 1x 22-2bx 1)2+[x 12x 22-b(x 12+x 22)+b 2]2⇒(-16x 1-2bx 2)2=(-16x 2-2bx 1)2⇒b=-8.[题5]:(2008年全国高中数学联赛河北初赛试题)设向量i ,j 为直角坐标平面内x 轴,y 轴正方向上的单位向量.若向量a =(x+2)i +y j ,b =(x-2)i +y j ,且|a |-|b |=2. (Ⅰ)求满足上述条件的点P(x,y)的轨迹方程;(Ⅱ)设A(-1,0),F(2,0),问是否存在常数λ(λ>0),使得∠PFA=λ∠PAF 恒成立？证明你的结论.[解析]:(Ⅰ)|a |-|b |=2⇔22)2(y x ++=22)2(y x +-+2⇔22)2(y x +-=2x-1⇔x 2-32y =1(x ≥1); (Ⅱ)令PF ⊥AF ⇒|PF|=|AF|=3⇒λ=2;设P(x 0,y 0),∠PAF=α,则tan α=100+x y ⇒tan2α=202000)1()1(2y x y x -++=)1(3)1()1(2202000--++x x y x =002x y -,k PF =200-x y⇒∠PFA=2∠PAF ⇒λ=2. [题6]:(2010年全国高中数学联赛福建初赛试题)已知双曲线C:2222b y a x -=1(a>0,b>0)的离心率为2,过点P(0,m)(m>0)斜率为1的直线l 交双曲线C 于A,B 两点,且AP =3PB ,OB OA ⋅=3. (Ⅰ)求双曲线方程;(Ⅱ)设Q 双曲线C 右支上的动点,F 为双曲线C 的右焦点,在x 轴负半轴上是否存在点M 使得∠QFM=2∠QMF ？若存在求出点M 的坐标;若不存在,请说明理由.[解析]:(Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),直线l:y=2x+m,由e=2⇒b=3a ⇒双曲线C:3x 2-y 2=3a 2,由⎩⎨⎧=-+=22233ay x m x y ⇒2x 2-2mx-(m 2+3a 2)=0⇒x 1+x 2=m,x 1x 2=-21(m 2+3a 2);AP =3PB ⇒-x 1=3x 2⇒-2x 2=m,-3x 22=-21(m 2+3a 2)⇒3(-21m)2=21(m 2+3a 2)⇒ m 2=6a 2;OB OA ⋅=3⇒x 1x 2+y 1y 2=3⇒2x 1x 2+m(x 1+x 2)+m 2=3⇒m 2-3a 2=3⇒a=1,m=6,双曲线方程:3x 2-y 2=3;(Ⅱ)。
两直线夹角课件
通过两直线的夹角，可以判断两条直 线是否平行、垂直或相交，从而确定 它们在几何图形中的位置关系。
通过两直线的夹角，可以构建出各种 几何图形，如三角形、四边形等。
计算角度
两直线夹角的大小可以通过几何计算 得到，可以用于计算其他角度或几何 量。
在解析几何中的应用
01
02
03
解析表达
两直线的夹角可以用解析 几何的方法表示，通过坐 标系和向量的运算来计算 。
02
两直线夹角的计算方法
利用三角函数计算直线夹角
总结词
通过利用三角函数中的正切、余切等函数，可以计算出两条直线线的斜率。然后，使用三角函数中的正切或余切函 数，将两个斜率相除，得到一个比值。最后，使用反正切函数来计算这个比值 对应的角度，即为两条直线的夹角。
电磁波的传播
在电磁学中，两直线夹角可以用于 表示电磁波的极化方向和传播方向 ，特别是在研究电磁波的干涉和衍 射等现象时。
04
两直线夹角的性质
直线夹角的性质定理
定理1
两直线夹角的大小与两直线的方向向量或方向模有关 ，具体为$theta = arccos(frac{overset{longrightarrow}{u} cdot overset{longrightarrow}{v}}{|overset{longrightarro w}{u}||overset{longrightarrow}{v}|})$，其中 $overset{longrightarrow}{u}$和 $overset{longrightarrow}{v}$分别是两直线的方向向 量。
利用向量计算直线夹角
总结词
通过向量的数量积和向量的模长，可以计算出两条直线的夹 角。
详细描述
直线之间的夹角公式
直线之间的夹角公式在咱们学习数学的这个大旅程中，直线之间的夹角公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。
咱们先来说说啥是直线之间的夹角。
想象一下，在一个大大的平面上，有两条直直的线，它们就像两个倔强的小伙伴，谁也不愿意完全顺着对方的方向走。
那它们之间形成的那个“小角落”，就是夹角啦。
直线之间夹角的公式呢，其实就是用来衡量这个“小角落”到底有多大的工具。
就好像咱们拿尺子量东西的长度一样，这个公式就是量夹角大小的“尺子”。
那这个神奇的公式到底长啥样呢？假设咱们有两条直线，直线 L1 的斜率是 k1 ，直线 L2 的斜率是 k2 ，那它们之间夹角θ 的正切值tanθ 就等于 |(k2 - k1) / (1 + k1 * k2)| 。
可别被这个公式吓住喽！咱们来举个例子好好瞅瞅。
比如说有一条直线，它的方程是 y = 2x + 3 ，另一条直线是 y = -0.5x + 1 。
那咱们先分别求出它们的斜率，第一条直线的斜率 k1 就是 2 ，第二条直线的斜率 k2 就是 -0.5 。
然后把它们带进夹角公式里，tanθ = |((-0.5) - 2) / (1 + 2 * (-0.5))| ，经过计算就能得出夹角的正切值，再根据反正切函数就能求出夹角的大小啦。
我还记得有一次，我给学生们讲这个知识点的时候，有个小家伙一脸迷茫地看着我，问我：“老师，这公式有啥用啊，感觉好复杂。
”我笑着跟他说：“你想想啊，假如咱们是建筑师，要设计一个有两条斜着的道路交汇的地方，那咱们得知道这两条路交汇形成的夹角多大，才能保证车辆行驶安全又顺畅，这时候不就得靠咱们的夹角公式啦！”小家伙听了，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了这个公式的重要性。
在实际生活中，直线之间的夹角公式也有很多用处呢。
比如说，工程师在设计桥梁的时候，得考虑不同方向的钢梁之间的夹角，才能让桥梁更稳固；画家在构图的时候，可能也会用到夹角的知识，让画面看起来更和谐。
7.3两条直线的位置关系(到角与夹角)
3 例1：求直线 1：y=－2x+3, l2: y = x － ：求直线l － 2 的夹角。 的夹角。
例1
两条直线的斜率分别为k 解: 两条直线的斜率分别为 1= －2, k2=1 ,设l1与l2 设 夹角为θ 的 夹角为
l1 2
k2 − k1 1− (−2) 得： tgθ = = =3 1+ k2k1 1+1• (−2)
思考题
k3 − k2 k3 +1 tanθ2 = = 1+ k3k2 1− k3
因为L 因为L1、L2、L3所围成的三角形 是等腰三角形，所以θ 是等腰三角形，所以θ1=θ2
L2 θ2
y
L3 L1
k 3 + 1 ∴ = − 3 1 − k 3
∴tanθ2=tanθ1= －3
O θ1
x
解得 k3 =2 y=2 [ x－（－2）] 即2x－y+4 = 0 x－（－2 －（－ 2x－ ∴L3的方程是：2x－y+4 = 0 的方程是：2x－
因为
2 所以： 所以：θ=arc tg3 ≈710341
θ ∈(0， ）
π
课堂练习二
求下列两条直线的夹角： 求下列两条直线的夹角： y=3x－ y=－ ⑴y=3x－1，y=－x/3+4 （900） y=5；y=4， ⑵x－y=5；y=4， （450） ⑶y=2x+1 ; x=2 (π/2-arctan2)
平行、 1. 平行、相交 如果两条直线的斜率 都存在， 2. 如果两条直线的 斜率 k1 、 k2 都存在 ， 而且 斜率互为负倒数，两条直线互相垂直. 斜率互为负倒数，两条直线互相垂直. 如果一条直线的斜率不存在 斜率不存在， 如果一条直线的斜率不存在，则另一条直 线斜率为0 两直线垂直。 线斜率为0,两直线垂直。
数学知识点：两直线的夹角与到角_知识点总结
数学知识点：两直线的夹角与到角_知识点总结
（1）定义：两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角。
（2）直线l1到l2的角的公式：tanθ′=，l1到l2的角的取值范围是（0，π）,高考数学。
两直线的夹角：
（1）定义：两条直线l1和l2相交，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π-θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π-θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角θ。
（2）直线l1和l2的夹角公式：tanθ=（θ不为90°），l1与l2的夹角的取值范围是。
理解这两个公式：
(1)首先应注意到在tanθ′=中两个斜率的顺序是不能改变的，θ′是直线l1到直线l2的角，若写成，则θ′为直线l2到直线l1的角，这两者是有区别的，而在夹角公式tanθ=中，两直线的斜率没有顺序要求．
(2)在两直线的夹角为900时，我们有，同理，若，则直线l1与直线l2垂直，用这两个公式可以求解角平分线问题及与之有关的问题.。
直线与角度的关系与相关定理解析
直线与角度的关系与相关定理解析直线与角度的关系是几何学中重要的概念之一。
在几何学中，角度可以描述两条直线之间的夹角或者是两个平面的夹角。
在本文中，我们将探讨直线与角度之间的关系，并介绍几个与之相关的定理。
一、直线与角度的定义在几何学中，直线是由一系列无限延伸的点组成的。
直线通常用字母L或者AB来表示。
而角度是由两条射线（也可以称为直线）共享一个起点组成的图形。
我们可以用字母∠A来表示一个角度，其中A是角度的顶点。
二、直线与角度的关系直线与角度之间存在着密切的关系。
在几何学中，直线可以分为两种情况与角度有关：1. 直线上的角度：当两条直线相交于一点时，形成了四个相邻的角。
这四个相邻角可以分成两对相对角。
相对角互为补角，即它们的和为180度。
此外，相邻角的和也为180度。
2. 平行线与角度：当两条直线平行时，与这两条平行线相交的第三条直线形成了一对对顶角。
对顶角互为相等角，即它们的度数相等。
三、相关定理的解析与直线与角度相关的定理有很多，下面我们将介绍几个常见的定理：1. 垂径定理：如果两条直线彼此垂直，那么它们所形成的角度为90度。
2. 夹角定理：如果两条直线彼此平行，那么与这两条平行线相交的第三条直线所形成的对顶角是相等的。
3. 垂直角定理：如果两条直线相交于一点，并且两条直线的角度互为90度的倍数，那么这两条直线是互相垂直的。
4. 同位角定理：当两条直线被一条截断时，同位角互为相等角。
五、应用举例直线与角度的关系与定理在几何学中有着广泛应用。
我们来看一个具体的例子：例题：如图所示，直线AB与直线CD都与直线EF相交于点P和点Q，求∠APD的度数。
（插入一张示意图）解析：根据同位角定理，我们知道∠APQ与∠DPQ互为相等角。
同样，根据对顶角定理，∠APQ与∠DPQ也是相等角。
因此，∠APQ 与∠DPQ的度数相等。
又由于∠APQ + ∠DPQ = 180度（相邻角的和为180度），所以∠APD = 180度 - ∠APQ。
两条直线间的夹角公式
两条直线间的夹角公式
两条直线间的夹角公式是数学中的重要概念，它可以帮助我们计算两条直线之间的角度大小。
在几何学中，夹角是两条直线在同一平面上相交时形成的角度。
夹角公式可以用来计算两条直线的夹角，它可以应用于各种实际问题中。
例如，在建筑设计中，夹角公式可以用来计算两面墙壁之间的夹角，从而决定室内空间的布局和设计。
在航空导航中，夹角公式可以用来计算飞机的航向角度，以确保飞行路径的准确性和安全性。
夹角公式的计算方法相对简单，只需知道两条直线的斜率就可以了。
斜率是直线上任意两点连线的斜率，可以通过计算两点的纵坐标之差与横坐标之差的比值得到。
然后，使用夹角公式可以计算出两条直线之间的夹角。
夹角公式可以表示为：夹角的正切等于两条直线的斜率之差的绝对值除以1加上两条直线的斜率乘积的绝对值。
这个公式可以用来计算两条直线之间的夹角，而无需求解方程组或进行复杂的计算。
夹角公式的应用范围广泛，不仅限于数学领域。
它可以在物理学、工程学、地理学等领域中找到应用。
无论是计算机辅助设计还是导航系统，夹角公式都是必不可少的工具。
夹角公式是数学中一个重要的概念，它可以用来计算两条直线之间
的夹角。
它的应用范围广泛，可以在各个领域中找到应用。
掌握夹角公式可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，解决实际问题。
立体几何两直线夹角公式
立体几何两直线夹角公式在咱们学习立体几何的时候，有一个特别重要的公式，那就是两直线夹角公式。
这玩意儿可有意思啦，就像一把神奇的钥匙，能帮咱们打开好多难题的大门。
先来说说啥是两直线夹角。
想象一下，在一个三维的空间里，有两条线，它们不平行，就会形成一个夹角。
这个夹角可不是随便量量就行的，得用专门的公式来算。
两直线夹角公式就像是一个精准的测量工具。
假设咱们有直线 L1和直线 L2，它们的方向向量分别是 v1 和 v2 。
那这两条直线的夹角的余弦值就等于这两个方向向量的点积除以它们的模长的乘积。
用数学式子表示就是cosθ = (v1·v2) / (|v1| × |v2|) 。
记得我之前教过一个学生小明，这孩子特别聪明，就是有时候有点马虎。
有一次做作业，碰到一道要用两直线夹角公式的题。
题目是这样的：在一个空间直角坐标系里，直线 L1 的方向向量是 (1, 2, 3) ，直线 L2 的方向向量是 (4, -5, 6) ，让求这两条直线的夹角。
小明拿到题，刷刷刷就开始算，结果算出来夹角的余弦值是个负数。
他就有点懵了，跑来问我：“老师，这咋算出个负数呢？”我一看，原来他在计算向量点积的时候，符号弄错了。
我就给他仔细地又讲了一遍点积的计算方法，还让他重新做了一遍。
这孩子呀，经过这次小挫折，以后再碰到这种题就特别小心，再也没出过错。
咱们再来说说这个公式的用处。
比如说在建筑设计里，工程师们要确定不同钢梁之间的角度，是不是就得靠这个公式呀？还有在机器人的运动规划中，为了让机器人的手臂能够准确地到达指定的位置，也得用这个公式来计算关节之间的角度。
在学习这个公式的时候，大家可别死记硬背。
要多做几道题，通过实际的运用来加深理解。
比如说，给你一个正方体，让你求其中两条棱之间的夹角，这时候你就得先找到这两条棱的方向向量，然后再代入公式计算。
还有啊，有些同学可能会觉得这个公式有点复杂，其实只要你一步一步来，别着急，肯定能掌握的。
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1 2
k3 1 ＝－3 ，解得k3＝2. 1 k3
因为l3经过点(－2，0），斜率为2，写出 其点斜式方程为y＝2（x－(－2) 〕 即：2x－y＋４＝0 这就是直线l3的方程.
课堂练习
求下列直线L1到L2的角及夹角
1L1 ：x+y=5 2L1 ：x-y=5
3π 4 π 2 π-arctan1/2
tanα＝ α不为90O
k 2 k1 1 k 2 k1
二 知识应用与解题研究
3 例1、求直线l1：y＝－2x＋3，l2：y＝x－ 2 的夹角
解：由两条直线的斜率k1＝－2，k2＝1得
k 2 k1 1 ( 2) 3 tanα＝ 1 k k 1 ( 2) 2 1
∴α＝arctan3
如果1＋k1k2≠0
2 1
设l1、l2的倾斜角分 别是α1和α2，则k1＝ tanα1，k2＝tanα2由上 图(1)(2)分别知： θ＝α2－α1或θ＝π－ （α1－α2）＝π＋（α2 －α1） ∴tanθ＝tan（α2－α1） 或tanθ＝tan［π＋（α2 －α1）］＝tan（α2－α1） 于是 tanθ＝
k 2 k1 4直线l1和l2的夹角公式 tanα＝ 1 k 2 k1
；
/ 防裂贴
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的过客，这一次却要同新婚不久的妻子奔赴到一个陌生的地方——江苏海涛州绿溪镇江苏花开啤酒厂工作。虽然花开啤酒厂他已于一月前去看 过一次，并跟海涛州人事局和花开啤酒厂的领导都谈过，对它有了一定的了解，但这一次是跟妻子一道去且极有可能要长期地生活在那里，心 情和之前全然不同，仿佛美好的生活已经在向自己频频招手！马启明的心都飞到天空中去了，如果此刻能有一幅卡通漫画的话，你会看见半空 中一颗跳动的心在快乐地舞蹈。在镇江下了火车以后，马启明小夫妇俩又马不停蹄地坐上开往海涛州的汽车。公共汽车刚离开长途汽车站差不 多十几分钟便停了下来，刘丽娟看着前面排成长队的车辆，以为遇到了堵车，再加之长途奔波的劳累，情绪有些低落。马启明安慰妻子说： “汽车马上就要过轮渡了，就是轮船拉着汽车横渡长江，你没有见过吧？感受一下人民解放军横跨长江的气度。”因为马启明上一次来过，他 知道,刘丽娟不知道。她新奇地想：汽车也能上船？也能横渡长江？在北方不要说没见过，连听都没听说过。“汽车也能上船，真的吗？真的要 过长江？”刘丽娟一下子兴奋起来。在渡口下了汽车，希奇地看着汽车驶上了轮渡。马启明站在微微晃动的甲板上，听着汽笛声，凝望着轮渡 行驶在波光粼粼的长江之上，竟有种人在梦中的感觉，面对浩瀚绵长的江水他的心胸突然豁然开朗，一缕缕清风吹拂着他的面颊，浑身自在、 舒坦。马启明突然对未来陌生的生活有了更多幢憬！刘丽娟呢！她紧紧地抓住马启明的手，生怕船突然沉到微波滚滚的长江里，而马启明会葬 身长江。马启明和刘丽娟是傍晚的时候才赶到海涛州的，转弯绕行距离离花开啤酒厂还有十多里，此时已经没有开往他们目的地---绿溪镇的班 车了，他们只好在海涛州住了下来。晚上睡觉，刘丽娟仿佛还在火车上奔波“哐当---哐当---哐当---”，辗转难眠。而马启明由于旅途劳累、 已经是疲惫不堪，倒在床上便酣然入睡，而把妻子的调动手续紧紧地搂在怀里才放心踏实，这可是用金银珠宝都换不来的超级宝贝。第二天， 马启明与刘丽娟起了个大早，吃完早饭便坐上汽车，汽车摇摇晃晃地驶出了车站。路面状况较差，坑洼不平，到处是碎石，路两面零散地立着 一些平房，多是些小卖部和小饭店，门脸矮矮小小的，似乎很有了些年代，门口竖着大大的、用纸板做的招牌“停车吃饭”，年纪轻轻的、打 扮花枝招展的饭店服务小小（是真正的小小还是假小小，马启明搞不清楚）在马路边不停地向过往司机招手，做着妩媚的动作，形成了一道独 特的“美人招手”的风景！很拉风！无时无刻不在挑战马启明的视觉底线。汽车颠簸了约四五十分钟，开开停停，终于到了啤酒厂所在的城 镇——绿溪镇。一下车，就看见远处两只高耸的砖红色大
解：设l1、l2、l3的斜率分别为k1，k2，k3，l1到l2
的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则k1＝
因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形所 以θ1＝θ2，ｔaｎθ2＝tanθ1＝－3. 即 k k 3 2 ＝－3， 1 k3 k2
1 ( 1) k 2 k1 2 k2＝－1.∴tanθ1＝ 1 k 2 k1 1 ＝－3. 1 ( 1) 2
例2、等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x －2y－2＝0，底边所在直线l2的方程是x＋y －1＝0，点(－2，0)在另一腰上，求这条腰 所在直线l3的方程. 分析：已经已知l3上一点，故 求出l3的斜率k3即可，如图， 根据等腰三角形的性质，可 得到π－θ1＝π－θ2，即θ1－θ2， 而θ1、θ2分别为直线l1到l2与l2 到l3的角，而根据公式这两角 都可用斜率表示，由此可建 立关于k3的方程.
如上图所示，l1到l2的角是θ1，l2到l1的 角是θ2＝π－θ1，当直线l1与l2相交但不 垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角， 我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹 角. 当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是
2
请大家根据直线l1到l2的角与l1与l2夹角的 定义过程中，寻求一下两种角的取值范围有 何不同?
l1到l2的角的取值范围是（0，
)，
l1与l2的夹角的取值范围是(0， ］ 2
目标3：
直线l1到l2的角的公式
tanθ＝
k 2 k1 1 k1 k 2
推导：设直线l1到l2的角为θ，l1：y＝k1x＋ b1，l2：y＝k2x＋b2. 如果1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，则θ＝ 2
L2 ：3x+y-3=0
arctan1/2
L2：y=4
π 4
3L1 ：5x-3y=9 L2： 6x+10y+7=0
课堂总结：
1直线l1到l2的角及两直线夹角的定义. 2 l1到l2的角的取值范围是（0， π ) l1与l2的夹角的取值范围是(0，π／2〕 k 2 k1 3直线l1到l2的角的公式 tanθ＝ 1 k1 k 2
.
一 新知探究
O
如图，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的 角是θ2.
目标1：
1.直线l1到l2的角
两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两 对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到 与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角.
注意：这一概念中l1、l2是有顺序的.
目标2：
直线l1与l2的夹角
复习回顾
1有斜率的两直线平行的充要条件是： 两直线的斜率相等，在y轴上的截距不 等.
2有斜率的两直线垂直的充要条件是： 两直线的斜率之积为－1.
到角与夹角
学习目标：
. 1.理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义. 2.掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式.
3.能根据直线方程求直线l1到l2的角及两直线夹角
2
1
t an 2 t an 1 k 2 k1 1 t an 2 t an 1 1 k 2 k1
Байду номын сангаас
根据两直线的夹角定义可知，夹角在 (0°，90°］范围内变化，所以夹角正切值 大于0或不存在.故可以由l1到l2的角的正切值 取绝对值而得到l1与l2的夹角公式. 目标4： 直线l1和l2的夹角公式