两直线夹角和到角

k 2 k1 4直线l1和l2的夹角公式 tanα＝ 1 k 2 k1
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的过客，这一次却要同新婚不久的妻子奔赴到一个陌生的地方——江苏海涛州绿溪镇江苏花开啤酒厂工作。虽然花开啤酒厂他已于一月前去看 过一次，并跟海涛州人事局和花开啤酒厂的领导都谈过，对它有了一定的了解，但这一次是跟妻子一道去且极有可能要长期地生活在那里，心 情和之前全然不同，仿佛美好的生活已经在向自己频频招手！马启明的心都飞到天空中去了，如果此刻能有一幅卡通漫画的话，你会看见半空 中一颗跳动的心在快乐地舞蹈。在镇江下了火车以后，马启明小夫妇俩又马不停蹄地坐上开往海涛州的汽车。公共汽车刚离开长途汽车站差不 多十几分钟便停了下来，刘丽娟看着前面排成长队的车辆，以为遇到了堵车，再加之长途奔波的劳累，情绪有些低落。马启明安慰妻子说： “汽车马上就要过轮渡了，就是轮船拉着汽车横渡长江，你没有见过吧？感受一下人民解放军横跨长江的气度。”因为马启明上一次来过，他 知道,刘丽娟不知道。她新奇地想：汽车也能上船？也能横渡长江？在北方不要说没见过，连听都没听说过。“汽车也能上船，真的吗？真的要 过长江？”刘丽娟一下子兴奋起来。在渡口下了汽车，希奇地看着汽车驶上了轮渡。马启明站在微微晃动的甲板上，听着汽笛声，凝望着轮渡 行驶在波光粼粼的长江之上，竟有种人在梦中的感觉，面对浩瀚绵长的江水他的心胸突然豁然开朗，一缕缕清风吹拂着他的面颊，浑身自在、 舒坦。马启明突然对未来陌生的生活有了更多幢憬！刘丽娟呢！她紧紧地抓住马启明的手，生怕船突然沉到微波滚滚的长江里，而马启明会葬 身长江。马启明和刘丽娟是傍晚的时候才赶到海涛州的，转弯绕行距离离花开啤酒厂还有十多里，此时已经没有开往他们目的地---绿溪镇的班 车了，他们只好在海涛州住了下来。晚上睡觉，刘丽娟仿佛还在火车上奔波“哐当---哐当---哐当---”，辗转难眠。而马启明由于旅途劳累、 已经是疲惫不堪，倒在床上便酣然入睡，而把妻子的调动手续紧紧地搂在怀里才放心踏实，这可是用金银珠宝都换不来的超级宝贝。第二天， 马启明与刘丽娟起了个大早，吃完早饭便坐上汽车，汽车摇摇晃晃地驶出了车站。路面状况较差，坑洼不平，到处是碎石，路两面零散地立着 一些平房，多是些小卖部和小饭店，门脸矮矮小小的，似乎很有了些年代，门口竖着大大的、用纸板做的招牌“停车吃饭”，年纪轻轻的、打 扮花枝招展的饭店服务小小（是真正的小小还是假小小，马启明搞不清楚）在马路边不停地向过往司机招手，做着妩媚的动作，形成了一道独 特的“美人招手”的风景！很拉风！无时无刻不在挑战马启明的视觉底线。汽车颠簸了约四五十分钟，开开停停，终于到了啤酒厂所在的城 镇——绿溪镇。一下车，就看见远处两只高耸的砖红色大
tanα＝ α不为90O
k 2 k1 1 k 2 k1
二 知识应用与解题研究
3 例1、求直线l1：y＝－2x＋3，l2：y＝x－ 2 的夹角
解：由两条直线的斜率k1＝－2，k2＝1得
k 2 k1 1 ( 2) 3 tanα＝ 1 k k 1 ( 2) 2 1
∴α＝arctan3
解：设l1、l2、l3的斜率分别为k1，k2，k3，l1到l2
的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则k1＝
因为l1、l2、l3所围成的三角形是等腰三角形所 以θ1＝θ2，ｔaｎθ2＝tanθ1＝－3. 即 k k 3 2 ＝－3， 1 k3 k2
1 ( 1) k 2 k1 2 k2＝－1.∴tanθ1＝ 1 k 2 k1 1 ＝－3. 1 ( 1) 2
如上图所示，l1到l2的角是θ1，l2到l1的 角是θ2＝π－θ1，当直线l1与l2相交但不 垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角， 我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹 角. 当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是
2
请大家根据直线l1到l2的角与l1与l2夹角的 定义过程中，寻求一下两种角的取值范围有 何不同?
L2 ：3x+y-3=0
arctan1/2
L2：y=4
π 4
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3L1 ：5x-3y=9 L2： 6x+10y+7=0
课堂总结：
1直线l1到l2的角及两直线夹角的定义. 2 l1到l2的角的取值范围是（0， π ) l1与l2的夹角的取值范围是(0，π／2〕 k 2 k1 3直线l1到l2的角的公式 tanθ＝ 1 k1 k 2
如果1＋k1k2≠0
2 1
设l1、l2的倾斜角分 别是α1和α2，则k1＝ tanα1，k2＝tanα2由上 图(1)(2)分别知： θ＝α2－α1或θ＝π－ （α1－α2）＝π＋（α2 －α1） ∴tanθ＝tan（α2－α1） 或tanθ＝tan［π＋（α2 －α1）］＝tan（α2－α1） 于是 tanθ＝
l1到l2的角的取值范围是（0，
)，
l1与l2的夹角的取值范围是(0， ］ 2
目标3：
直线l1到l2的角的公式
tanθ＝
k 2 k1 1 k1 k 2
推导：设直线l1到l2的角为θ，l1：y＝k1x＋ b1，l2：y＝k2x＋b2. 如果1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，则θ＝ 2
.
一 新知探究
O
如图，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的 角是θ2.
目标1：
1.直线l1到l2的角
两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两 对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到 与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角.
注意：这一概念中l1、l2是有顺序的.
目标2：
直线l1与l2的夹角
1 2
k3 1 ＝－3 ，解得k3＝2. 1 k3
因为l3经过点(－2，0），斜率为2，写出 其点斜式方程为y＝2（x－(－2) 〕 即：2x－y＋４＝0 这就是直线l3的方程.
课堂练习
求下列直线L1到L2的角及夹角
1L1 ：x+y=5 2L1 ：x-y=5
3π 4 π 2 π-arctan1/2
复习回顾
1有斜率的两直线平行的充要条件是： 两直线的斜率相等，在y轴上的截距不 等.
2有斜率的两直线垂直的充要条件是： 两直线的斜率之积为－1.
到角与夹角
学习目标：
. 1.理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义. 2.掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式.
3.能根据直线方程求直线l1到l2的角及两直线夹角
例2、等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x －2y－2＝0，底边所在直线l2的方程是x＋y －1＝0，点(－2，0)在另一腰上，求这条腰 所在直线l3的方程. 分析：已经已知l3上一点，故 求出l3的斜率k3即可，如图， 根据等腰三角形的性质，可 得到π－θ1＝π－θ2，即θ1－θ2， 而θ1、θ2分别为直线l1到l2与l2 到l3的角，而根据公式这两角 都可用斜率表示，由此可建 立关于k3的方程.
2
1
t an 2 t an 1 k 2 k1 1 t an 2 t an 1 1 k 2 k1
根据两直线的夹角定义可知，夹角在 (0°，90°］范围内变化，所以夹角正切值 大于0或不存在.故可以由l1到l2的角的正切值 取绝对值而得到l1与l2的夹角公式. 目标4： 直线l1和l2的夹角公式