三垂线定理
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1.直线与平面垂直的定义：
2.直线与平面垂直的判定定理：
3.平面的斜线，斜线在平面内的射影：
4.引入：若平面内一条直线与斜线的射影垂直，那么它和斜线垂直吗？
二、新授：
1.三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
已知： 分别是平面 的垂线和斜线， 是 在平面 内的射影， ，且
∴ ，又∵ ，∴
∴ ．
推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线
例3.在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心
求证:(1)PH底面ABC(2)△ABC是锐角三角形.
证明:(1)略
(2)设AH与直线BC的交点为E，连接PE由(1)知PH底面ABC
三、例题：
例1.已知：点 是 的垂心， ，垂足为 ，求证： ．
证明：∵点 是 的垂心，
∴
又∵ ，垂足为 ，
所以，由三垂线定理知， ．
例2.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
已知：∠BFra Baidu bibliotekC在α内，P，PEAB于E，PFAC于F且PE=PF，PO
求证：O在∠BAC的平分线上（即∠BAO=∠CAO）
注意：(1)三垂线指涉及的四线中三个垂直关系PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理
(2)要考虑a的位置，并注意两定理交替使用
(3)注意三垂线定理及其逆定理中的“平面内”三个字的重要性.
(4)利用定理的关键要善于从各种图形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”及“斜线的射影”.
求证： ；
证明：∵
∴ ，又∵
∴ 平面 ，
∴ ．
说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
(2)符号表达： .
(3)这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线.
2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
说明：符号表达： ．
补：平面α内有一正六边形,它的中心是O,边长是2 cm,OH⊥α,OH=4 cm,求点H到这个正六边形顶点和边的距离.
七、板书设计：
则A到直线OC的距离是，∠AOC的余弦值是.
答案：1. ;2.
3.如图，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=b，PA平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点．
求（1）Q到BD的距离；（2）P到平面BQD的距离．
五、小结：三垂线定理及其逆定理的证明用三垂线定理及其逆定理的应用
六、作业：课本P2912,13.
∴AE为PE在平面ABC的射影，
由三垂线定理：PEBC
∵PBPC即△BPC是直角三角形，BC为斜边
∴E在BC边上 由于AEBC，故B∠C都是锐角
同理可证：∠A也是锐角∴△ABC为锐角三角形
四、练习：
1.边长为a的正六边形ABCDEF在平面内，PA⊥，PA=a，则P到CD的距离为，P
到BC的距离为.
2.AC是平面的斜线，且AO=a，AO与成60º角，OC，AA＇⊥于A＇，∠ OC=45º，
证明：连接OE，OF∵PO
∴EO，FO分别为PE，PF在上的射影
∵PE=PF∴OE=OF∵PEAB，PFAC
∴OEAB，OFAC(三垂线定理的逆定理)
∴O到∠BAC两边距离相等
∴O在∠BAC的平分线上
变式：
已知： 在平面 内，点 ，垂足分别为 ，求证： ．
证明：∵ ，
∴ （三垂线定理逆定理）
∵ ，∴ ，
三垂线定理
教学目标：
1.掌握三垂线定理及其逆定理的证明
2.正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直
3.通过三垂线定理及三垂线逆定理的学习,渗透相对论观点
教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明
教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直
教学方法：启发式教学法
教 具：模具
教学过程
一、复习引入：
2.直线与平面垂直的判定定理：
3.平面的斜线，斜线在平面内的射影：
4.引入：若平面内一条直线与斜线的射影垂直，那么它和斜线垂直吗？
二、新授：
1.三垂线定理在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
已知： 分别是平面 的垂线和斜线， 是 在平面 内的射影， ，且
∴ ，又∵ ，∴
∴ ．
推广：经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线，如果斜线的这个角两边夹角相等，那么斜线在平面上的射影是这个角的平分线所在直线
例3.在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，H是△ABC的垂心
求证:(1)PH底面ABC(2)△ABC是锐角三角形.
证明:(1)略
(2)设AH与直线BC的交点为E，连接PE由(1)知PH底面ABC
三、例题：
例1.已知：点 是 的垂心， ，垂足为 ，求证： ．
证明：∵点 是 的垂心，
∴
又∵ ，垂足为 ，
所以，由三垂线定理知， ．
例2.如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这点在平面内的射影在这个角的平分线上
已知：∠BFra Baidu bibliotekC在α内，P，PEAB于E，PFAC于F且PE=PF，PO
求证：O在∠BAC的平分线上（即∠BAO=∠CAO）
注意：(1)三垂线指涉及的四线中三个垂直关系PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的判定和性质定理
(2)要考虑a的位置，并注意两定理交替使用
(3)注意三垂线定理及其逆定理中的“平面内”三个字的重要性.
(4)利用定理的关键要善于从各种图形中找出“平面的垂线”“平面的斜线”及“斜线的射影”.
求证： ；
证明：∵
∴ ，又∵
∴ 平面 ，
∴ ．
说明:(1)定理的实质是判定平面内的一条直线和平面的一条斜线的垂直关系；
(2)符号表达： .
(3)这两条直线可以是相交直线，也可以是异面直线.
2．三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
说明：符号表达： ．
补：平面α内有一正六边形,它的中心是O,边长是2 cm,OH⊥α,OH=4 cm,求点H到这个正六边形顶点和边的距离.
七、板书设计：
则A到直线OC的距离是，∠AOC的余弦值是.
答案：1. ;2.
3.如图，已知ABCD是矩形，AB=a，AD=b，PA平面ABCD，PA=2c，Q是PA的中点．
求（1）Q到BD的距离；（2）P到平面BQD的距离．
五、小结：三垂线定理及其逆定理的证明用三垂线定理及其逆定理的应用
六、作业：课本P2912,13.
∴AE为PE在平面ABC的射影，
由三垂线定理：PEBC
∵PBPC即△BPC是直角三角形，BC为斜边
∴E在BC边上 由于AEBC，故B∠C都是锐角
同理可证：∠A也是锐角∴△ABC为锐角三角形
四、练习：
1.边长为a的正六边形ABCDEF在平面内，PA⊥，PA=a，则P到CD的距离为，P
到BC的距离为.
2.AC是平面的斜线，且AO=a，AO与成60º角，OC，AA＇⊥于A＇，∠ OC=45º，
证明：连接OE，OF∵PO
∴EO，FO分别为PE，PF在上的射影
∵PE=PF∴OE=OF∵PEAB，PFAC
∴OEAB，OFAC(三垂线定理的逆定理)
∴O到∠BAC两边距离相等
∴O在∠BAC的平分线上
变式：
已知： 在平面 内，点 ，垂足分别为 ，求证： ．
证明：∵ ，
∴ （三垂线定理逆定理）
∵ ，∴ ，
三垂线定理
教学目标：
1.掌握三垂线定理及其逆定理的证明
2.正确地运用三垂线定理或逆定理证明两直线垂直
3.通过三垂线定理及三垂线逆定理的学习,渗透相对论观点
教学重点：三垂线定理及其逆定理的证明
教学难点：用三垂线定理及其逆定理证明两条异面直线的垂直
教学方法：启发式教学法
教 具：模具
教学过程
一、复习引入：