流体动力学基础

一、拉格朗日法与质点系
拉格朗日方法（lagrangian method）着眼于流场中每一个运动着的流体质点，跟踪观察每 一流体质点的运动轨迹和运动参数－跟踪追迹法。是以流场中每一流体质点作为描述流体运 动的方法，它以流体个别质点随时间的运动为基础，通过综合足够多的质点（即质点系）运 动求得整个流动。——质点系法
一元流(one-dimensional flow):流体在一个方向流动最为显著，其余两个方向的流动可忽略 不计，即流动流体的运动要素是一个空间坐标的函数。若考虑流道（管道或渠道）中实际 液体运动要素的断面平均值，则运动要素只是曲线坐标s的函数，这种流动属于一元流动。
（2）二元流 二元流(two-dimensional flow):流体主要表现在两个方向的流动，而第三个方向的流动可忽 略不计，即流动流体的运动要素是二个空间坐标（不限于直角坐标）函数。
A
质量流量（kg/s）：
qm
ρ
vdA
A
ρvA
如果dA不是过流断面，而是与微元流束相交的任意断面，则
体积流量（m3/s）： 质量流量（kg/s）：
qv
v ndA
A
qm
ρ
v ndA
A
2、净通量 流过全部封闭控制面A的流量称为净流量，或净通量。
qv
vnd
A
A
七、过流断面上的平均速度与动能动量修正系数
流场运动要素是时空（x,y,z,t）的连续函数： 速度
（x,y,z,t）——欧拉变量
控制体：将孤立点上的观察站扩大为一个有适当规模的连续区域。控制体相对于坐 标系固定位置，有任意确定的形状，不随时间变化。控制体的表面为控制面，控制 面上有流体进出。
质点的加速度
流体质点运动速度在欧拉法中，由于位置又是时间t的函数，所以流速是t的复合函 数，对流速求导可得加速度:
1、断面平均速度
过流断面上各点的流速是不相同的，所以常采用一个平均值来代替各点的实际流速，称断 面平均流速。
v qv
vdA
A
AA
2、动能及动能修正系数 动能（kinetic energy）：是指物体由于机械运动而具有的能量。 单位时间内通过过流断面的流体动能是：
Ek1 2
dm v21 ρ3vdA 2A
在恒定流中，流场中任意空间点的运动要素不随时间变化，所以时变加速度等于 零； 在均匀流中，质点运动速度不随空间位置变化，所以位变加速度等于零。
§3-2流体运动中的基本概念
一、定常流与非定常流（或恒定流与非恒定流）
二、均匀流与非均匀流
三、一元流、二元流与三元流
按流体运动要素所含空间坐标变量的个数分： （1）一元流
（3）三元流 三元流（three-dimensional flow):流动流体的运动要素是三个空间坐标函数。
四、迹线、流线
1、迹线 迹线(path line)某一质点在某一时段内的运动轨迹线。是拉格朗日法描述流体运动的基础。
2、流线 定义：流线（stream line）是表示某一瞬时流体各点流动趋势的曲线，曲线上任一点的切线 方向与该点的流速方向重合。流线是欧拉法描述流体运动的基础。图为流线谱中显示的流 线形状。
AρvndA tVρd V0
由奥－高公式
Aρv n d A (ρv )dV
V
根据控制体与时间的无关性
t
VρdVVρt dV
直角坐标系下连续性方程的微分形式
ρ(ρv)0 即 t
ρ(ρxv)(ρyv)(ρzv)0 t x y z
想一想：恒定、不可压情况下，连续性方程的微分形式。
§3-4流体微团的运动分析
第三章 流体动力学基础
流体动力学的基础知识、基本原理和基本方程。 内容重要，是整个课程的重点。
§3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型告诉我们：流体是由无数质点组成， 而流体质点是连续的、彼此无间隙的充满空间。通常把 由运动流体所充满的空间称为流场。表征流体运动的物 理量，通称为流体的流动参数。
故液体流动是无旋流。
§3-5实际流体的运动微分方程式
一、作用在流体微元上的应力
应力矩阵
二、本构方程 确定应力与应变的方程式叫本构方程。
其中
p： 在平衡流体，代表一点上的流体静压强； 在理想流体，代表一点上的流体动压强； 在不可压实际流体，代表一点上的流体动压强的算术平均值。
三、纳维－斯托克斯方程式 不可压实际流体的运动方程式—— N-S方程
一、流体与刚体比较
刚体的运动是由平移和绕某瞬 时轴的转动两部分组成。
流体质点的运动，一般除了
平移、转动外，还要发生变 形（角变形和线变形）。
二、流体微元的速度分解
A(x,y,z)点速度为vx, vy, vz，则C点的速度为：
dα dt ε xy
dβ dt
ωz
三、有旋流和无旋流
根据流体微团是否绕自身轴旋转，可分为有旋流和无旋 流。
理想流体在相同条件下，在流线上任意两点间的伯努利方程为：
二、粘性总流的伯努利方程式
粘性流体在定常、重力场、不可压条件下，在流线上任意两点间可列出伯 努利方程为
流线的作法： 在流场中任取一点，绘出某时刻通过该点的流体质点的流速矢量u1，再画出距1点很近
的2点在同一时刻通过该处的流体质点的流速矢量u2…，如此继续下去，得一折线1234 …， 若各点无限接近，其极限就是某时刻的流线。
流线的方程
根据流线的定义，可以求得流线的微分方程：
设ds为流线上A处的一微元弧长:
动能修正系数——是实际动能与按断面平均流速计算的动能的比值。
α121Aρρvv33AdA1v32A
v2dA1
A
2
层流流速分布 湍流流速分布
注意：动能修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水
断面上的流速分布，分布越均匀，α值越小，越接近于1.0。
2、动量及动量修正系数 动量（momentum)是物体运动的一种量度，是描述物体机械运动状态的一个重要物理 量。 单位时间内通过过流断面的流体动量是：
AρvndAtVρdV 或
AρvndA tVρd V0
特例
特例1 定常流动
t
ρd
V
V
0
则AρvndA 0 Nhomakorabea特例2 不可压缩流动
为常数
t
ρdV
V
0
则
AvndA0
流管流动的连续性方程的应用：
恒定流动时：
ρ1v1A1ρ2v2A2
对于不可压缩流体，则
v1A1v2A2
二、连续性方程的微分形式
连续性方程的积分形式：
代入上式得：
由两部分组成：等号右边第一项是时变加速度；后三项是位变加速度； （1）时变加速度（当地加速度）（local acceleration）——流动过程中流体由于速度随 时间变化而引起的加速度； （2）位变加速度（迁移加速度）（connective acceleration）——流动过程中流体由于速 度随位置变化而引起的加速度。
空间坐标
（a,b,c）为t=t0起始时刻质点所在的空间位置坐标，称为拉格朗日数。所以，任何质点在空间 的位置（x,y,z）都可看作是（a,b,c）和时间t的函数
（1）（a,b,c）=const , t为变数，可以得出某个指定质点在任意时刻所处的位置。
（2）（a,b,c）为变数,t=const，可以得出某一瞬间不同质点在空间的分布情况。
动量修正系数—K—是d实m际v动A量ρ与v2d按A断面平均流速计算的动量的比值。
β Aρρv2v 2A dA 1v1 2AA v2dA 1
动量修正系数是无量纲数，它的大小取决于总流过水断面的流速分布，分布越均匀，β 值越小，越接近于1.0。
层流流速分布 湍流流速分布
圆管层流 圆管紊流
断面流速分布 旋转抛物面
二、欧拉法与控制体
欧拉法（Euler method）是以流体质点流经流场中各空间点的运动即以流场作为 描述对象研究流动的方法——流场法 。它不直接追究质点的运动过程，而是以充满 运动流体质点的空间——流场为对象。研究各时刻质点在流场中的变化规律。将个 别流体质点运动过程置之不理，而固守于流场各空间点。通过观察在流动空间中的 每一个空间点上运动要素随时间的变化，把足够多的空间点综合起来而得出的整个 流体的运动情况。 （设立观察站的方法）
5、缓变流动 如果微小流束（流线）间的夹角及流束的曲率都非常小，这种流动称为缓变流动。反之急 变流。缓变流的过流断面可看作是平面。急变流的过流断面是曲面。
缓变流
六、流量、净通量
1、流量
单位时间内通过某一过流断面的流体量。体积流量qv或Q表示，质量流量qm。
体积流量（m3/s）：
qv
vdA vA
注意：无旋流和有旋流决定于流体质点本身是否旋转， 而与运动轨迹无关。
2.有旋流和无旋流的特性
（1）若wx=wy=wz=0，即
vz vy0 , vz vx0 , vy vx0 y z x z x y
则流动为无旋流，否则，为有旋流。
有旋流（涡流）——wx、wy、wz中任一个或全部不等于零的流体运动，绕 自身轴有旋转的运动。（与通常的旋转不同）流场内流体质点具有绕质点 自身任意轴的角速度。
性质：不能相交 ，流体质点不能穿过流管表面。 在定常时，形状和位置不随时间变化而变化。 非定常时，形状和位置可能随时间变化而变化。
2、流束 流管内的全部流体为流束。流束的极限是一条流线。极限近于一条流线的流束为微元流束。
3、总流 把流管取在运动液体的边界上，则边界内整股液流的流束称为总流。
4、过流断面 流束中处处与速度方向相垂直的横截面称为该流束的过流断面。
想一想理想流体、静止情况下的方程。
§3-6 伯努利方程式及其应用
一、流线上的伯努利方程式